Reprezentacja sygnałów za pomocą szeregów funkcyjnych.

Transkrypt

1 1

2 Reprezentacja sygnałó za pomocą szeregó funkcyjnych. 2

3 Sygnały z którymi mamy do czynienia cyfroem przetorzaniu sygnałó są przebiegami o bardzo złożonym kształcie. Często celoym jest reprezentoać takie przebiegi x(n) postaci linioej kombinacji bardziej prostych przebiegó. To ykonać można za pomocą doboru zestau z góry określonych funkcji b (n), b 1 (n),..., b k (n),... oraz penych spółczynnikó liczboych c, c 1,..., c k,... 3

4 Wtedy sygnał x(n) zdefinioany za pomocą próbek z numerami, 1,..., -1 można przedstaić postaci: x( n) 1 = ckbk ( n) (1) c = Ε k k n= k = 1 x( n) b k ( n) (2) Tutaj { b k ( n)} - całokształt funkcji bazoych zdefinioanych na zbiorze od do -1 punktó; { c k } - spółczynniki rozkładu sygnału edług bazy, nazyane idmem sygnału; 4 -energia k-tej funkcji bazoej. Ε k

5 x( n) 1 = ckbk ( n) (1) c = Ε k k x( n) bk ( n) (2) n= k = 1 Ze zoró (1) i (2) ynika, iż sygnał cyfroy można zdefinioać za pomocą jego próbek dyskretnych chilach czasu lub za pomocą zbioru spółczynnikó idmoych. 5

6 Wybór bazy określa się zględami praktycznej lub matematycznej ygody. Zazyczaj iększości zadań CPS rozpatruje się sytuację gdy liczba funkcji bazoych jest skończona i dopasoana do rozmiaru sygnału. 6

7 x( n) = k = (1) c k b k ( n) W rozkładzie (1) koniecznie jest żeby zbiór funkcji bazoych odpoiadał nastepującym arunkom: 1. Funkcje bazoe poinne być linioo niezależne a b (n) + a 1 b 1 (n) a -1 b -1 (n) przy doolnych artościach spółczynnikó a i, oprócz przypadku, kiedy a = a 1 =...= a -1 =. 7

8 ajczęściej jako baze ybiera się zbiór linioo niezależnych funkcji ortogonalnych, dla których spełniony jest arunek: 1 n= b k ( n) b l ( n) =, k l, gdzie ( ) jest symbolem sprzężenia zespolonego. 8

9 W tym przypadku sygnał {x(n)} można rozpatryać jako ektor układzie spółrzędnych, którego osiami są funkcje bazoe. b 2 (n) Współczynnikami c 2 c 2 idmoymi są spółrzędne ektoró na odpoiednich osiach. c b (n) c 1 b 1 (n) 9

10 2. System musi być uporządkoany. To oznacza, że zbiorze indeksó ma miejsce relacja porządku okreslająca jaka z funkcji jest poprzedzająca i jaka jest następna. a przykład funkcje harmoniczne zykle uporządkoane są edług zrostu argumentu (częstotliości): 1, cos(x), cos(2x),..., cos(kx). 1

11 Od proadzonej relacji porządku zależy kształt idma i ygodność jego ykorzystyania. a przykład, przy analizie idmoej Fouriera systemó z ograniczonym pasmem częstotliości często zostają odrzucone składoe idma odpoiadające ysokim częstotliością. 11

12 3. Funkcje bazoe na przedziale ortogonalności poinni posiadać skończoną energię: 1 n= b 2 k ( n) p 12

13 4. System funkcji poinen torzyć rodzinę zupełną. To oznacza, że niemozlie jest dodanie ani jednej funkcji, która byłaby ortogonalna zględem reszty szystkich funkcji systemu. 13

14 Szeregi Fouriera 14

15 Tak ięc doolny sygnał okresoy możemy przedstaić postaci sumy ielu składoych. Jedną z metod takiego opisu sygnału nazyamy szeregami Fouriera. Metoda ta zakłada, że zbiór składoych ma częstotliości, które są ielokrotnościami jakiejś podstaoej częstotliości f: x( t) = 1 2 c + n= 1 a n sin(2 π nft) + n= 1 b n cos(2 π nft) 15

16 Z poyższych rozazań ynika iż przebiegi złożone mogą być rozbite na iele prostych przebiegó sinusoidalnych i kosinusoidalnych o różnych częstotliościach. a przykład ciąg impulsó prostokątnych składa się z nieskończonej ilości sinusoid o różnych amplitudach. 1 1 ideal periodic signal t t real composition (based on harmonics) 16

17 Doolny przebieg okresoy może być reprezentoany przez szeregi Fouriera przy założeniu, że jest dostatecznie duże. Poszczególne składoe częstotliościoe znane są pod nazą harmonicznych, a cały zesta tych składoych nazya się idmem sygnału. Za pomocą uogólnionych szeregó Fouriera można przedstaić przebieg sygnału o doolnej postaci. 17

18 18

19 19

20 2

21 21

22 22

23 23

24 24

25 25

26 Jean Baptiste Joseph Fourier ( ) Urodził się 21 marca 1768 roku Auxerre, e Francji. Pochodził z bardzo biednej rodziny. W 9 roku życia stracił obydoje rodzicó. Brak pochodzenia i tytułu szlacheckiego uniemożliiły mu naukę szkole yższej. Sytuację zmieniła dopiero Reolucja Francuska. Fourier zainteresoania matematyczne łączył z działalnością polityczną. Był dukrotnie uięziony, dukrotnie udało mu się uniknąć gilotyny okresie Reolucji Francuskiej. 26

27 Współpracoał z aoleonem Bonaparte, który 182 mianoał go perfektem dzielnicy Francji z siedzibą Grenoble. I łaśnie tym okresie Fourier opracoał soją teorię. W 187r. praca Fouriera była recenzoana przez czterech znakomitych naukocó matematykó. Trzech z nich oceniło ją pozytynie, lecz czarty, J.L. Lagrange, podtrzymał soje krytyczne stanoisko sprzed 5 lat. W efekcie praca ta nie została opublikoana. Po poprakach i przeróbkach ukazała się postaci książkoej 15 lat później, 1822r. 27

28 Dyskretne przekształcenie Fouriera (DFT) 28

29 Dyskretne funkcji ykładnicze. 29

30 x( t) = 1 2 c + n= 1 a n sin(2 π nft) + n= 1 b n cos(2 π nft) Po piersze, rzeczyistych arunkach nie jest możlia realizacja nieskończonego sumoania, gdyż nigdy nie osiągnęlibyśmy yniku końcoego. Po drugie, czas przeznaczony na osiągnięcie artości yjścioej jest limitoany. Wynika stąd, że liczba częstotliości biorących udział obliczeniach jest ograniczona. 3

31 Dyskretna transformata Fouriera ( Discrete Fourier Transform DFT) ustala zajęmny ziązek między czasoej i częstotliościoej reprezentacjej sygnału przy jego rozkładzie na szereg składoych harmonicznych. Ona ma ielorakie zastosoania przy analizie idmoej i korelacyjnej, przy syntezie filtró, technice ykryania i oceny sygnałó. 31

32 a czas obecny opracoane są efektyne metody obliczania DFT, pozalające realizoać różne zadania CPS, które dotychczas byli nieroziązyalne z poodu dużej zlożoności obliczenioej. 32

33 W dyskretnej transformatie Fouriera ykorzystuje się system funkcji ykładniczych (angl. discrete exponential functions DEF) zdefinioanych za pomocą następującego zoru: def 2π 2π 2π ( k, n) = exp( j kn) = cos kn jsin kn, n,k =, 1 Oznaczmy 2π = exp( ). Wtedy def ( k, n) = k, n k n Wielkość, zykle nazya się spółczynnikiem skrętu i reprezentuje sobą ektor płaszczyźnie zespolonej. 33

34 34 Cały system DEF można zapisać postaci macierzy E, której ierse są numeroane za pomocą indeksu k, kolumny za pomocą indeksu n, a na skrzyźoaniu k-tego ersza i n-tej kolumny zapisana jest artość. n k, = M M L L L L L M M M M M L L kn k n E

35 35 a przykład dla =8 macierz E 8 ma postać: = = E

36 =

37 Własności systemu DEF 37

38 1.Ortogonalność n= 1 kn ln, dla ( k l) = mod =, dla ( k l) mod Cecha ortogonalności skazuje na to, że iloczyn skalarny dóch doolnych ierszy macierzy E (z których jeden iersz jest sprzężony) jest rónym zeru przypadku różnych ierszy i róny przypadku ich koincydancji. 38

39 otacja macierzoa tej łasności ma następującą postać: E ( E = Τ ) I gdzie I jest macierzą jednostkoą. 39

40 4 2. Okresoość Jeśli kn = l+ r, óczas kn = l r = r, co pozala zapisać elementy macierzy E ze zminimalizoanymi artościami ykładnikó spółczynnikó skrętu. = = E

41 3. Symetryczność Τ E = E Własność symetryczności pozala łato znaleźć macierz odrotną E. Stąd ynika, że 1 1 E = E 41

42 42 4. Multiplikatyność., ) 2 1 ( 2, 1, ), 2 1 ( 2, 1 n n k n k n k n k k n k n k + + = = Własność ta oznacza, że przy mnożeniu dych ierszy (kolumn) macierzy E ze sobą otrzymujemy iersz (kolumnę) tej samej macierzy. umer ersza (kolumny) będzie róny sumie artości ykładnikó.

43 Dyskretna transformata Fouriera ma następujacą postać: c k 1 = n= kn x n, k =, 1, x n 1 1 = k = kn c k, n =, 1. Pierszy zór ma nazę dyskretnej transformaty Fouriera, zaś zor drugi nazya się odrotną transformatą Fouriera. Sekencia {x n } reprezentuje sobą próbki sygnału, zaś sekencja {c k }- spółczynniki idmoe. 43

44 Sformułoane łaśnie da rónania torzą parę DFT, którą niebaem przeanalizujemy dokładniej. W tej chili mamy do dyspozycji parę rónań umożliiających nam dokonyanie dyskretnych (cyfroych) zajemnych przekształceń miedzy dziedziną czasoą iczęstotliościoą. 44

45 W notacji macierzoej para transformat ygląda nastepujący sposób: C 1 = E X X 1 = E C 1 gdzie X = [,,..., ] Τ 1 x x1 x 1 C Τ 1 = [ c, c1,..., c 1 ] są odpoiednio ektorami próbek sygnału i spółczynnikó idmoych. 45

46 Wlasności DFT 46

47 1. Okresoość Widmo ytarzane za pośrednictem DFT jest okresoe: c = c l± k ± k 47

48 2. Ziązek ze spółczynnikami szeregu Fouriera Jeśli częstotliość probkoania została ybrana edług praa Szannona, to óczas DFT pozala na podstaie próbek x n yznaczyć idmo, które na interale k -1 odpoiada idmoi sygnału ejścioego. 48

49 Przy czym piersze (/2-1) artości {c k } odpoiadają spółczynnikom idmoym na dodatnich częstotliościach, ostatnie (/2-1) artości {c k } zaś, odpoiadają spółczynnikom idmoym na częstotliościach ujęmnych. a) b) k k 49

50 W przypadku transformaty odrotnej piersze (/2-1) artości x n odpoiadają dodatniej czesci próbek sygnału dziedzinie czasu, ostatnie (/2-1) artości zaś ujemnej części próbek dziedzinie czasu. 5

51 3. Linioość Jeśli X 1 -ektor składajacy się z próbek sygnału, C 1 -ektor spółczynnikó DFT, oraz α - peen skalar, óczas: αc α 1 = E ( X 1 ) 51

52 Ponadto jeśli X 1 -ektor składajacy się z próbek jednego sygnału, zaś Y 1 - ektor składajacy się z próbek drugiego sygnału, oraz ( X) ( Y) C i sa odpoiednio spółczynnikami DFT 1 C 1 pierszego i drugiego sygnału, óczas: C ( X) ( Y) 1 + C 1 = E 1 + ( X Y ) 1 52

53 iech X 4. Przesunięcie cykliczne Τ 1 = [ x, x1,..., x 1 ] C Τ 1 = [ c, c1,..., c 1 ] są odpoiednio ektorami próbek sygnału i spółczynnikó idmoych. Przy przesunięciu cyklicznym sygnału X 1 leo o l pozycji tak, iż ( X l) Τ 1 = [ xl,..., x 1, x,..., xl 1], l 1, 1 będziemy mieli: s 2π C 1= diag{ exp( j kl)} C 1, k, 1 53

54 Przy przesunięciu cyklicznym sygnału X 1 prao o l pozycji ten sposób iż! ( l X otrzymamy ) Τ 1 = [ x l,..., x 1, x,..., x l 1], l 1, 1 r 2π C 1= diag{ exp( j kl)} C 1, k, 1 Przy przesunieciu sygnału zględem czasu idmo amplitudoe (ielkość amplitud pojedynczych składoych harmonicznych) nie zmienia się. Zmianie podlegają tylko fazy 54 składoych harmonicznych (idmo fazoe).

55 5. Prao Parseala 1 1 n= 1 2 x n = c k Energia sygnału przed przetarzaniem róna się energii sygnału po przetarzaniu. k = 2 Energia się nie traci! 55

56 6. Symetria idma sygnału rzeczyistego Dla sygnałó rzeczyistych idmo ytarzane za pośrednictem DFT charakteryzuje się symetrią parzystą zdłuż osi rzeczyistej oraz symetrią nieparzystą zdłuż osi urojonej - ynika to z faktu, że spółczynniki skrętu zasze ystępują postaci par sprzężonych. Oznacza to po prostu, że jeśli mamy do czynienia z sygnałem rzeczyistym, óczas ilość niezbędnej do zapamiętania informacji dotyczącej idma częstotliościoego jest mniejsza, gdyż informacja ta potarza się. 56

57 7. Widmo amlitudoe a idmo fazoe 57

58 umeryczne obliczanie idma sygnału. Szybka transformata Fouriera 58

59 Mamy ięc narzędzie umożliiające dokonyanie obustronnych przekształceń między dziedziną czasoą i częstotliościoą, lecz dalszym ciągu nie iemy jaki sposób należy zaprogramoać urządzenie DSP by mogło realizoać dyskretne przekształcenie Fouriera. ie znamy także komplikacji na jakie możemy się natknąć podczas projektoania przetarzającego algorytmu DSP. 59

60 DFT jest niezykle efektyną metodą określania idma częstotliościoego doolnego sygnału. Jedyną niedoskonałością tej techniki jest znaczny czas niezbędny do obliczenia rezultatu końcoego. 6

61 Dzieje się tak dlatego, że celu ytorzenia pełnego zestau spółczynnikó yjścioych obyda skaźniki, k i n, poinny uzględnić cały zakres soich artości (od do -1) i ziązku z tym poinno być ykonane 2 obliczeń. c k 1 = = n kn x n, k =, 1, 61

62 62 Matrix Fourier the called is here 1) ( : (1) ().. : : :.... 1) ( : (1) () 1] [, for, ) ( ) ( 1) 1)( ( 1)1 ( 1) ( 1) 1( ) ( 1 1 = = = = = n k n k n n k x x x c c c k n x k c E X E C

63 63 Discrete Fourier Transform (DFT) ) / 2 exp( ) ( ) ( 1 nk j n x k c n π = = ) / 2 exp( ) ( 1 ) ( 1 nk j k c n x k π = =

64 c 1 = n= ( k) 1 = n= x( n)exp( j2 π nk / ) x( n){cos(2πnk / ) j sin(2πnk / )} x( n) = 1 1 = k= 1 c 1 k= c ( k)exp( j2 π nk / ) ( k){cos(2π nk / ) + j sin(2πnk / )} 64

65 Przeglądając poprzednie da rónania możemy przekonać się, że każda kolejna składoa rónania zaiera sobie funkcję mnożeniadodaania, tak ięc DFT o = 1 (1- punktoe DFT) poinno ykonać co najmniej l 6 cykli maszynoych, naet przy zastosoaniu specjalizoanych procesoró DSP. Wykorzystując układ DSP o czasie cyklu rónym 5 ns operacja ta zajmie około,5 s i, ziązku z tym, maksymalna częstotliość próbkoania urządzenia nie może przekroczyć 2 Hz! 65

66 Rozpatrzmy pononie spółczynnik skrętu : = e 2π j ( ) Przekonamy się óczas, że ta sama artość ystępuje obliczeniach DFT ielokrotnie, gdyż jest ona funkcją okresoą o limitoanej liczbie odrębnych artości. 66

67 67

68 68

69 Zadaniem ięc szybkiego przekształcenia Fouriera (FFT), i jego odrotności (IFFT), jest ykorzystanie tej nadmiaroości celu redukcji liczby niezbędnych obliczeń cząstkoych. Z tego poodu istotne znaczenie mają procedury obliczenioe redukujące liczbę mnożeń i sumoań.! Jedną z takich procedur jest algorytm szybkiej transformaty Fouriera (FFT). 69

70 W roku 1965 pojaiła się publikacja pod tytułem Algorytmy dla obliczeń komputeroych zespolonych szeregó Fouriera" autorsta Cooleya i Tukeya. Pozycja ta miała przełomoe znaczenie, gdyż proponoała znaczne udoskonalenie DFT. Cooley J.W. Tukey J.W. 7

71 W przypadku algorytmu FFT złożoność obliczenioa ynosi /2 log 2, to znaczy że efekcie liczba ykonyanych operacji redukoana jest do /2 log 2 mnożeń i dodaań. a przykład dla =496 bezpośrednie ykorzystanie zoru dla DFT ymaga 16 milionó mnożeń. Algorytm FFT tym przypadku ymaga zaledie 49 tysięcy mnożeń. Ponad 3 razy mniej!!! 71

72 Ogólna postać szybkiego przekształcenia Fouriera obejmuje iele różnorodnych algorytmó o różnych łaściościach z ich zaletami i adami. a przykład FFT optymalizoane pod kątem użycia językó ysokiego poziomu nie będzie pradopodobnie praidłoo funkcjonoać przy zastosoaniu stałoprzecinkoych urządzeniach DSP. 72

73 iezależnie od tego szystkie algorytmy FFT ykorzystują podobne podejście do problemu zmniejszenia długiego algorytmu obliczenioego przez jego podział na krótsze i prostsze obliczenia DFT. Przyjrzyjmy się ięc szczegółom jednej z metod zamiany DFT przez bardziej przydatny FFT. 73

74 Pierszym krokiem proadzącym do redukcji algorytmu obliczenioego jest podział sygnału ejścioego x(n) na kilka przeplatających się sekencji. Operacja ta zykle nazyana jest decymacją czasoą.! 74

75 Weźmiemy pod uagę nasz sygnał oryginalny o próbkach i rozdzielimy go na die sekencje (jedną o indeksach parzystych, drugą o nieparzystych) 75

76 76

77 77

78 78

79 Podstaoą cegiełką algorytmu FFT jest operacja motylkoa: Flo graph of a 2-point DFT. 79

80 8

81 81

82 82

83 83

84 decymacja czasoa decymacja częstotliościoa 84

85 Adresacja bitoo-reersyjna 85

86 86

87 87

88 88

89 89

90 9

91 91

92 Shmuel Winograd r

93 93

94 94

95 Struktura WFFT dla =15 95

96 Struktura WFFT dla =15 96

97 Algorytm WFFT dla =5 97

98 Wielu ybitnych uczonych przyczyniło się do pogłębienia teoretycznej i praktycznej znajomości algorytmó FFT i licznymi symi ynalazkami zbliżyło chilę ich praktycznego zastosoania. Ramesh C. Agaral Sidney Burrus Thomas Parks 98

99 aukocy Politechniki Szczecińskiej, zajmujace się DSP Ryszard Stasiński Profesor PS Georgi Kucharie Profesor PS Alexander Ţariov Profesor PS 99