ZASTOSOWANIE TEORII GIER DO OCENY SYTUACJI ZAGROŻENIOWYCH W KOPALNI W ZWIĄZKU Z WYSTĘPOWANIEM TĄPNIĘĆ

Transkrypt

1 ZASTOSOWANIE TEORII GIER DO OCENY SYTUACJI ZAGROŻENIOWYCH W KOPALNI W ZWIĄZKU Z WYSTĘPOWANIEM TĄPNIĘĆ Stanisła KRZEMIEŃ, Stanisła KOWALIK Politechnika Śląska, Gliice Summary: APPLICATION OF THE THEORY OF GAMES TO ESTIMATE A HAZARD SITUATIONS IN MINE IN CONNECTION WITH ROCKBURST OCCURRENCE In this ork compared rockburst hazard situations in respect of deferent ranges of variables hich describes this rockburst. The theory of zero-sum game in particular strategy dominant principle ere used. The survey as carried out on rockburst recorded in mine. WSTĘP W górnictie ażnym zagadnieniem jest bezpieczeństo pracy górnikó pracujących na dole kopalni. Górnicy narażeni są na ystępoanie szeregu zjaisk niebezpiecznych, takich jak strząsy podziemne, tąpania, zalanie odą, yrzuty gazó, zagrożenia metanoe, pożary. Zjaiska te nie zasze można przeidzieć i trudno je jak na razie opisać za pomocą ziązkó matematycznych [4]. Jedną z metod ykorzystyanych takich sytuacjach jest teoria gier. Zalczanie zagrożenia tąpaniami jest bardzo trudne ze na skomplikoany charakter fizyczny zjaisk zachodzących górotorze. Intensyna działalność naukoa, a także oparta na jej ynikach i dośiadczeniu zaodoym profilaktyka ruchoa spoodoały, złaszcza ostatnich latach, ograniczenie ilości tąpnięć. Uzyskanych rezultató nie można jednak uznać za zadoalające. Obseroane są zmiany dotychczasoego charakteru zjaiska ziązane z coraz bardziej skomplikoanymi arunkami proadzenia eksploatacji. Dotyczy to między innymi oddalenia się miejsc koncentracji naprężeń od czynnych yrobisk złaszcza rejonach, których arsty mocnych skał zalegają znacznej odległości od ybieranych pokładó. Ogranicza to między innymi skuteczność ielu stosoanych dotychczas metod prognozoania tąpań [6]. W górnictie ęgloym metody teorii gier odgryają szczególną rolę, gdyż górnicto jako takie proadzi grę z Naturą i gra ta może przybierać formy gry konkurencyjnej - gry z Naturą lub gry kooperacyjnej, jeśli umiejętnie ykorzystuje się rozpoznane praa natury (gry z Naturą) [5]. 93

2 Przemysł ydobyczy, a szczególnie górnicto ęgla kamiennego, którym dominują (przynajmniej Polsce) kopalnie głębinoe, ma to do siebie, że każda robota górnicza narusza istniejący, ustalony stan górotorze. Naruszenie tego stanu stanoi źródło zagrożeń, z czego ynika, że roboty należy proadzić tak, aby te zagrożenia były możliie najmniejsze [5]. Sztuka górnicza polega między innymi i na tym, aby proadzić grę z Naturą, a nie grę przeci Naturze. Dośiadczenia ielu pokoleń górnikó, a także yniki badań naukoych potierdzają, że można i to z zyskiem, ykorzystyać praa Natury przez odpoiednie proadzenie robót górniczych. Klasycznym przykładem tego jest ykorzystanie ciśnienia eksploatacyjnego do urabiania ęgla; o tych elementach traktują modele gry z Naturą [5]. Te i inne aspekty górnicta i bezpieczeństa poodują coraz iększe zainteresoanie jakościoo noymi metodami matematycznymi bardziej przydatnymi podejmoaniu trafnych decyzji i służących lepszej ocenie sytuacji zagrożenioych. W niniejszej pracy, biorąc pod uagę praktyczne aspekty teorii gier, zastosoano ją do oceny sytuacji zagrożenioych kopalni ziązku z ystępoaniem tąpnięć. Wykorzystano do tego teorię gier o sumie zeroej, a szczególności zasadę dominacji strategii. Rozażania przeproadzono na przykładzie zarejestroanych tąpnięć kopalni. PODSTAWOWE POJĘCIE TEORII GIER O SUMIE ZEROWEJ Rozażania dotyczyć będą gry duosoboej o sumie zeroej. Wszelkie nasze działania i przecinika nazyać będziemy strategiami. Najpier yjaśnimy, skąd bierze się określenie gra o sumie zeroej". Strategie gracza pierszego oznaczymy symbolami,..., m, natomiast strategie gracza drugiego,..., n. Każdej parze strategii ( i, j ) przyporządkoany jest określony ynik gry ij. Wynik ij oznacza ypłatę albo ielkość ygranej gracza pierszego yniku zastosoania przez gracza pierszego strategii i, a przez gracza drugiego strategii j. Gracz drugi traci ielkość ij. Innymi słoy: przy zastosoaniu pary strategii ( i, j ) gracz drugi płaci graczoi pierszemu ielkość ij. Jeśli ielkość ij jest ujemna, to gracz pierszy płaci graczoi drugiemu. Termin gra o sumie zeroej yodzi się stąd, że ygrana jednego gracza róna się przegranej drugiego gracza. Suma ypłat dla obydu graczy ynosi ięc zero. Taką grę możemy przedstaić postaci macierzoej [], [9], [0]. 94

3 Gracz Gracz m m m n n n mn W celu roziązania takiej gry poszukuje się punktu siodłoego gry stosując zasadę maksyminu i minimaksu. W tym celu znajduje się dolną (V ) i górną (V ) cenę gry. V = m a x m in i j { ij }, V = m in m a x j i { ij } dla i=,...,m; j=,...,n. Jeżeli V =V, to gra posiada punkt siodłoy, a gracze poinni stosoać strategie yznaczone przez ten punkt. W tym przypadku strategie maksyminoa i minimaksoa są strategiami optymalnymi dla graczy. Ceną gry jest tutaj liczba V=V =V. Jeżeli V V, to stosujemy strategie mieszane [], [], [9], [0]. Może się okazać, że pene strategie są lepsze od innych. Pozalają osiągnąć iększy zysk niezależnie od posunięć przecinika. Zapiszemy to teraz postaci ogólnej dla macierzy o m ierszach i n kolumnach. Móimy, że strategia k dominuje nad strategią l gracza pierszego, gdy: j kj lj (j=,...,n). Móimy, że strategia r dominuje nad strategią s gracza drugiego, gdy: i ir is (i=,...,m). Strategię dominujące zostaiamy, a strategie zdominoane eliminujemy [], [0]. Zasada dominacji pomaga upraszczać gry eliminując z rozażań strategie, które nie będą użyane. OCENA SYTUACJI ZAGROŻENIOWYCH W KOPALNI W ZWIĄZKU Z WYSTĘPOWANIEM TĄPNIĘĆ Przykład będzie dotyczył określenia zmiennych opisujących tąpnięcia miejscu ich ystępoania oraz ocenę zmian ich artości pod kątem zrostu zagrożenia tąpaniami. Wykorzystamy do tego dane zaarte pracy [6]. Jako zbiór zmiennych przyjęto [6]: Z - zmienna zagregoana zaierająca parametry górniczo-geologiczne oraz ytrzymałościoe skał miejscu tąpnięcia, k H - odległość miejsca tąpnięcia od kraędzi eksploatacyjnej, L S - odległość miejsca tąpnięcia od frontu eksploatacyjnego, 95

4 S - szerokość yrobiska. Dla każdej zmiennej określono przedziały ystępoania: ) dla zmiennej Z - przedział zaiera się granicach ( ) - przedział zaiera się granicach (60-700) - przedział 3 zaiera się granicach (70-800) - przedział 4 zaiera się granicach (80-000); ) dla zmiennej k H - przedział zaiera się granicach (0-0.4) - przedział zaiera się granicach (0.4-); 3) dla zmiennej L S - przedział zaiera się granicach (0-60) - przedział zaiera się granicach (6-80); 4) dla zmiennej S - przedział zaiera się granicach (-4) - przedział zaiera się granicach (4.-5) - przedział 3 zaiera się granicach (5.-6) [6]. Liczbę tąpnięć Dla poszczególnych kombinacji analizoanych przedziałó określono na podstaie 5 Kart Katalogoych Tąpań [6]. Dane dotyczące liczby tąpań zaarte są tablicy. W pracy [6] oprócz ielkości Z, k H, L S, S, storzono dodatkoe zmienne Z k H, Z L S, Z S, k H L S, k H S, L S S, Z k H L S, Z k H S, Z L S S, k H L S S, Z k H L S S. Dla szystkich ymienionych zmiennych stosuje analizę ariancji i oblicza ielkości testoe F i F kr dla ustalonego z góry poziomu istotności =0.05. W yniku przeproadzonej analizy ariancji za istotne uznano oddziałyanie następujących czynnikó, dla których F >F kr : Z, S, k H S, Z k H L S, k H L S S. Przejdziemy teraz do interpretacji tablicy języku teorii gier. Zmienne Z, k H, L S, S opisujące arunki postaania tąpań utożsamiamy z graczami, natomiast numery przedziałó ystępoania tych zmiennych ze strategiami. Liczba tąpnięć stanoi tu ynik gry. Np. przy zastosoaniu przez gracza Z strategii 4, przez gracza k H strategii, przez gracza L S strategii, przez gracza S strategii otrzymujemy ynik gry 8. Mamy tu do czynienia z grą czteroosoboą. Naszym zadaniem będzie ocenić, które strategie poszczególnych graczy są najbardziej niebezpieczne, tzn. najbardziej sprzyjają postaaniu tąpań. 96

5 Taką grę możemy zapisać postaci tablicy czteroymiaroej W={ i,j,k,l } (i=,,3,4; j=,; k=,; l=,,3). Tablica ta ma kształt hiperprostopadłościanu przestrzeni czteroymiaroej. Możemy ją przedstaić na płaszczyźnie postaci przekrojó ustalając die zmienne, np.: Gracz Z, i= Gracz Z, i= Gracz k H, j= Gracz k H, j= l G racz L S (k=) l Gracz Z, i= Gracz Z, i= Gracz k H, j= Gracz k H, j= l l Gracz Z, i=3 Gracz Z, i=3 Gracz k H, j= Gracz k H, j= l l Gracz Z, i=4 Gracz Z, i=4 Gracz k H, j= Gracz k H, j= l l Można też ustalić strategie k H i L S ; tedy otrzymujemy mniej przekrojó, ale o iększej liczbie elementó. 97

6 Gracz k H, j= Gracz k H, j= Gracz L S, k= Gracz L S, k= l 3 l 3 Gracz Z (i=) Gracz Z (i=) Gracz k H, j= Gracz k H, j= Gracz L S, k= Gracz L S, k= l 3 l 3 Gracz Z (i=) Gracz Z (i=) W yniku analizy tych przekrojó stierdzamy, że: - strategia i=3 dominuje nad strategią i= gracza Z, ponieaż 3,j,k,l,j,k,l j, k, l (j=,; k=,; l=,,3), - strategia i=3 dominuje nad strategią i= gracza Z, ponieaż 3,j,k,l,j,k,l j, k, l (j=,; k=,; l=,,3), - strategia i=4 dominuje nad strategią i= gracza Z, ponieaż 4,j,k,l,j,k,l j, k, l (j=,; k=,; l=,,3), - strategia l= dominuje nad strategią l= gracza S, ponieaż i,j,k, i,j,k, i, j, k (i=,,3,4; j=,; k=,), - strategia l= dominuje nad strategią l=3 gracza S, ponieaż i,j,k, i,j,k,3 i, j, k (i=,,3,4; j=,; k=,). 98

7 Z dalszych rozażań eliminujemy z gry strategie zdominoane, tj. strategie i=, i= gracza Z oraz strategie l=, l=3 gracza S. Należy zrócić uagę, że eliminacja z gry jednej strategii przestrzeni czteroymiaroej oznacza usunięcie z tablicy gry jednego przekroju trójymiaroego tej tablicy. Gdy usuamy strategię gracza Z, oznacza to usunięcie zbioru liczb umieszczonego prostopadłościanie o ymiarach 3, tj. dunastu liczb. Natomiast, gdy usuamy strategię gracza S, to eliminujemy zbiór liczb umieszczony prostopadłościanie o ymiarach 4, tj. szesnaście liczb. Część usuanych liczb jest spólna dla obydu graczy. Po yeliminoaniu strategii zdominoanych tablica ypłat zredukoała się do kostki sześciennej przestrzeni trójymiaroej o ymiarach. Przedstaiamy ją postaci dóch przekrojó: Gracz Z, i=3 Gracz Z, i=4, l=, l= Gracz L S Gracz L S Gracz k H (j=) k Gracz k H (j=) k Na podstaie tych macierzy zauażamy, że: - strategia j= dominuje nad strategią j= gracza k H, ponieaż i,,k, i,,k, i, k (i=3,4; k=,), - strategia k= dominuje nad strategią k= gracza L S, ponieaż i,j,, i,j,, i, j (i=3,4; j=,). Po yeliminoaniu z gry strategii j= gracza k H oraz strategii k= gracza L S otrzymujemy macierz ypłat następującej postaci: Gracz k H (j=) (l=) Gracz Z (i=) Widzimy, że strategia i=3 dominuje nad strategią i=4 gracza Z, ponieaż >9. 99

8 Postępując kolejności odrotnej do eliminoania strategii zdominoanych, możemy yciągnąć następujące nioski dotyczące parametró opisujących tąpnięcia pod zględem zagrożenia dla pracujących górnikó: ) sytuacja, gdy zmienna Z (70-800) jest bardziej niebezpieczna, niż gdy Z (80-000); ) sytuacja, gdy zmienna k H (0-0.4) jest bardziej niebezpieczna, niż gdy k H (0.4 - ); sytuacja, gdy zmienna L S (0-60) jest bardziej niebezpieczna, niż gdy L S (6-80); 3) sytuacja, gdy zmienna Z (70-800) jest bardziej niebezpieczna, niż gdy Z ( ); sytuacja, gdy zmienna Z (70-800) jest bardziej niebezpieczna, niż gdy Z (60-700); sytuacja, gdy zmienna Z (80-000) jest bardziej niebezpieczna, niż gdy Z ( ); sytuacja, gdy zmienna S(4. - 5) jest bardziej niebezpieczna, niż gdy S( - 4); sytuacja, gdy zmienna S(4. - 5) jest bardziej niebezpieczna, niż gdy S(5. - 6). ZAKOŃCZENIE W przeproadzonych rozażaniach potraktoano przykład dotyczący liczby tąpnięć zależności od zakresu zmiennych opisujących arunki charakteryzujące miejsce tąpnięcia, jako grę czteroosoboą o sumie zeroej. Kolejne i stopnioe eliminoanie strategii zdominoanych z tej gry pozoliło na uszeregoanie sytuacji zagrożenioych na mniej niebezpieczne i bardziej niebezpieczne. Innymi słoy pozoliło to dokonać oceny tych sytuacji zagrożenioych. LITERATURA. Kałuski J. ( 996): Podstay teorii gier. Wyd. Praconia Komputeroa J. Skalmierskiego, Gliice.. Kofler E. (963): Wstęp do teorii gier. PZWS, Warszaa. 3. Koalik S. (993): Wykorzystanie teorii gier do określania bezpieczeństa. Zeszyty Naukoe Politechniki. Śląskiej, Górnicto Nr 0, Gliice. 4. Koalik S. (996): Podejmoanie decyzji górnictie arunkach niepeności. Zeszyty Naukoe Politechniki Śląskiej, Górnicto Nr 8, Gliice. 5. Koalik S. (997): Wykorzystanie teorii gier do podejmoania decyzji górnictie. Skrypt Politechniki Śląskiej, Górnicto Nr 077, Gliice. 6. Krzemień S. (99): Systemoo-informacyjne modele oceny stanu zagrożenia strząsami górniczymi kopalniach ęgla kamiennego. Zeszyty Naukoe Politechniki Śląskiej, Górnicto Nr 98, Gliice. 7. Krzemień S. (99): Teoretyczne podstay określania miar stanu zagrożenia bezpieczeństa yrobiskach górniczych. Zeszyty Naukoe Politechniki Śląskiej, Górnicto Nr 04, Gliice. 8. Krzemień S. (99): Miary dynamiki zmian struktury niebezpiecznych zdarzeń obiektach górniczych. Zeszyty Naukoe Politechniki Śląskiej, Górnicto Nr 05, Gliice. 9. Luce R.D. & Raiffa H. (964): Gry i decyzje. PWE, Warszaa. 0. Tyszka T. (978): Konflikty i strategie. WNT, Warszaa. 00

9 Tablica Liczba tąpnięć dla poszczególnych kombinacji analizoanych przedziałó zmiennych Lp. Numer przedziałó Z Numer przedziałó k H Numer Przedziałó L S Numer przedziałó S Liczba tąpnięć Źródło: pozycja literatury [6] 0