Dynamika pomiaru temperatury termoparą

Transkrypt

1 175 Prace Instytutu Mechaniki Górotoru PAN Tom 1, nr 1-4, (1), s Instytut Mechaniki Górotoru PAN Dynamika pomiaru temperatury termoparą WŁADYSŁAW CIERNIAK Instytut Mechaniki Górotoru PAN, ul. Reymonta 7; 3-59 Krakó Streszczenie Termopary składają się z dóch przeodó o różnych gęstościach. przeodnościach cieplnych i ciepłach łaściych. Pooduje to znaczną komplikację opisu temperatury złącza podczas szybkozmiennych pomiaró temperatury. W artykule rozpatrzono model ymiany ciepła przez nieskończenie długie przeody. Wyznaczono transmitancję temperatura-napięcie termopary. Dokonano przeliczeń transmitancji dla trzech różnych termopar (Rys. 1). Aproksymoano uzyskane transmitancje członami inercyjnymi pierszego rzędu uzyskując bardzo dobre rezultaty z yjątkiem termopary chromel-konstantan, które mają dużą różnicę pojemności cieplnych. Słoa kluczoe: pomiary temperatury, termopara 1. Wstęp Termoparą nazya się da przeody, których jedno złącze jest umieszczane miejscu pomiaru temperatury. Drugie końce znajdujące się innej temperaturze o znanej artości i tej temperaturze połączone są z doma przeodnikami ykonanymi z jednakoego materiału. Pomiędzy złączem i końcami przeodó termopary ystępuje mała różnica napięć (zjaisko Sebecka) [11]. Jeśli brak przepłyu prądu przeodnikach termopary to różnica napięć jest funkcją różnicy temperatury. Gdy przez przeody przepłya prąd następuje nich spadek napięcia (prao Ohma), ydziela się nich ciepło Joule a- Lenza proporcjonalnie do kadratu prądu. Przy ystępoaniu gradientu temperatury przeodnikach ydzielane jest ciepło proporcjonalne do płynącego prądu (zjaisko Thompsona) [11]. Gdy prąd płynie kierunku gradientu temperatury ciepło jest ydzielane a gdy prąd płynie kierunku przecinym ciepło jest pochłaniane. Przy przepłyie prądu przez złącze termoparoe następuje ydzielanie lub pochłanianie ciepła (zjaisko Peltiera) [11]. W stanie ustalonym gdy przez przeody termopary nie płynie prąd zjaiska Peltiera i Thompsona nie odgryają żadnej roli podczas pomiaru temperatury. W stanie nieustalonym gdy poprzek przeodó ystępują gradienty temperatury przeodach otoczeniu złącza termopary będą płynąć prądy co implikuje ystępoanie szystkich ymienionych zjaisk. Dokładne rozpatrzenie szystkich ymienionych zjaisk jest bardzo trudne. Wymaga roziązania rónań mechaniki płynó do opisu ymiany ciepła z poierzchnią przeodnikó termopary oraz rónań opisujących trójymiaroo zjaiska przepłyu prądu i ciepła toczeniu złącza termopary z uzględnieniem szystkich spomnianych zjaisk. W niniejszej pracy zostanie rozpatrzony najprostszy przypadek gdy ymianę ciepła z otoczeniem można opisać jednoymiaroym rónaniem różniczkoym z pominięciem szystkich ymienionych zjaisk z yjątkiem zjaiska Sebecka.. Termiczny model złącza Jak już spomniano termopara jest zbudoana z dóch przeodnikó o różnych łaściościach. Istotnymi łaściościami dla badania dynamiki złącza termopar są: przeodności cieplne, gęstości i ciepła łaście obu metali. Metale stosoane na termopary różnią się tymi łaściościami. Z tego zglądu przy zmianie temperatury płynu otoczeniu złącza, temperatury obu metali muszą się różnić.

2 176 Władysła Cierniak Aby otrzymać prosty ynik przyjmuje się, że oba przeody mają nieskończoną długość oraz że przepły płynu jest do nich poprzeczny, a temperatura otaczającego je płynu na całej ich długości jest jednakoa. Zakłada się rónież, że przejmoanie ciepła przez oba przeody jest identyczne. Przyjęcie założenia o nieskończonej długości jest uzasadnione tym, że zykle stosunek średnicy przeodó termopar do ich długości jest bardzo mały i przyjęte uproszczenie spooduje nieduże błędy. Ponad to przyjmuje się, że przeodności cieplne, gęstości i ciepła łaście dla bu przeodó są niezależne od temperatury. Podobne założenia przyjmuje się dla płynu otaczającego przeody. Rónanie opisujące ymianę ciepła przez prosty drut jest często spotykane odpoiedniej literaturze i nie ma potrzeby go yproadzać [1]. Ma ono postać: d D T ( x, t) d cp T( x, t) (, ) ( ) 4 mnu T x t Tp t x 4 t (1) gdzie: c p ciepło łaście, J/kgK, d średnica przeodu, m, Nu liczba Nusselta, -, T p temperatura płynu, K, T temperatura przeodu, K, λ D spółczynnik przeodności cieplnej przeodu, W/Km, λ m spółczynnik przeodności cieplnej płynu, W/Km, ρ gęstość przeodu, kg/m 3. Wproadzając oznaczenia: M 4 m Nu () d D cp n (3) D Rónanie (1) można przedstaić postaci: T ( x, t) T( x, t) M T (, ) ( ) x t Tp t n x t (4) Ponieaż przeodniki termopary mają różne parametry to miejscu stąpienia spoiny ystępuje skokoa zmiana spółczynnikó M i n. Z tego zględu ygodnie jest umieścić spoinę zerze układu spółrzędnych oraz rozpatryać roziązanie zagadnienia oddzielnie dla dodatnich i ujemnych spółrzędnych. Do roziązania zagadnienia potrzebne są arunki brzegoe i początkoe. W początku układu spółrzędnych gdzie jest umieszczona spoina przyjmuje się, że po jej obu stronach temperatura termopary ma tę samą artość. W dużej odległości od spoiny zdłuż przeodó temperatura ulega tylko bardzo nieielkim zmianom. Wobec tego formalnie arunki brzegoe można przyjąć nieskończoności. Zapis ma postać: Dla x T (, t) T ( t) (5) Dla x T ( x, t) x (6) Dla x T ( x, t) x (7) Warunek początkoy przyjmuje się postaci: T ( x,) T ( ) (8) p

3 Dynamika pomiaru temperatury termoparą 177 Przedstaione arunki brzegoe nie pozalają yznaczyć temperatury złącza. Do yznaczenia temperatury złącza zostanie ykorzystana róność strumieni ciepła po jego du stronach. Zgodnie z praem Fouriera można napisać: d T (, )) 1 t T (, t) D d D ) 4 x 4 x (9) gdzie: λ D1 i λ D oznaczają spółczynniki przeodności cieplnej odpoiednio pierszego i drugiego przeodnika, W/Km Poddając przekształceniu Laplace a rónanie (4) dla arunkó brzegoych (5) do (8), po przekształceniach otrzymuje się rónanie: T ( x, s) ( M ns) T (, ) ( ) (,) ( ) ( ) x s MTp s nt x MTp s ntp x (1) Jego ogólne roziązanie jest postaci: MTp ( s) ntp( ) T( x, s) cosh( x M ns) 1 acosh( x M ns) M ns b sinh M ns ( x M ns ) (11) Pochodna tego roziązania o zmiennej x yraża się zorem: T ( x, s) 1 MTp() s ntp() a( M ns) bexp( x M ns) x M ns 1 MTp() s ntp() b a M ns exp x M ns M ns ( ) ( ) (1) Dla leej części termopary x <, dla której: M = M 1, n = n 1, a = a 1, b = b 1 dla x = z arunku (7) i zoru (1) nika, że musi zachodzić: MT 1 p () s nt 1 p() b1 a1( M1 n1s) M1 n1s (13) Dla praej części termopary x >, dla której: M = M, n = n, a = a, b = b dla x = z arunku (6) i zoru (1) nika, że musi zachodzić: MT p() s nt p() b a( M ns) M n s (14) Z arunku (5) zoru i zoru (11) T (, s) a a (15) 1 Roziązanie układu rónań (13) i (14) oraz (15) daje następujący ynik: MT 1 p() s nt 1 p() b1 T(, s)( M1 n1s) (16) M n 1 s 1 MTp() s ntp() b T, s M ns M ns ( )( ) (17)

4 178 Władysła Cierniak Warunek róności strumieni ciepła płynącego przez złącze ma postać: T (, t )) T (, t )) D x x D1 (18) Wykorzystanie zoró (11), (16), (17) i (18) przy zeroym arunku początkoym rónaniu (18) po przekształceniach daje ynik: T (, s) D1M1 Tp () s ( M n s) M M ( M n M n ) s n n s D1 1 1 D D D D M MM ( M n Mn) snns ( M ns) () Poyższy zór ma postać uniemożliiającą łate oszacoanie łaściości dynamicznych termopar. Po ykorzystaniu podstaień (), (3) i proadzeniu oznaczeń 4 m Nu 4 1 m Nu d 1cp1 d cp (1) oraz zamiany przekształcenia Laplacea na przekształcenie Fouriera można go przedstaić postaci (). T (, j) 1 Tr Tp ( j) D 1 j 1 ( 1 ) j D 1 D1 1 D1 j 1 ( 1) j () Jak pokazują zory (1) i () na szybkość działania termopar ma pły odbiór ciepła proporcjonalny do yrażenia 4λ m Nu oraz iloczyny d ρc p. Mniejsze znaczenie mają przeodności cieplne metali. Właściości metali i ich stopó stosoanych na termopary zostały zebrane tabeli (1). Szybkość działania termopar szybko rośnie z odrotnością kadratu ich średnicy. Zykle przeody stosoane na termopary mają średnice nie mniejsze niż. mm. Dostępne są bardzo cienkie przeody z metali o dużej plastyczności. Takimi metalami są: miedź, molibden, nikiel, platyna, ren i złoto. Bardzo cienkie (rzędu mikrometró) przeody są rónież ykonyane ze stopó platyny i rodu. Dostępne są druty o grubości kilkudziesięciu mikrometró z konstantanu. Szybkości termopar można ziększyć poiększając stosunek ich poierzchni do objętości. Procedura polega na ykonaniu złącza z dosyć grubych przeodó a następnie ich spłaszczenia przez kolejno potarzane procesy kucia i ygrzeania [9]. Liczbę Nusselta dla cienkich drutó umieszczonych poietrzu dobrze jest obliczać ze zoru Collinsa-Williama [] zeryfikoanego przez różnych badaczy, stanoiącego aproksymację yniku pomiaró poietrzu przy ciśnieniu atmosferycznym, dla 38 < T p < 98 C, 1.41 < T /T p <, 7 < l/d < 866,.5 < V < 4.7 m/s,.1 < Kn <.3. Re n T Nuc A B m Tp gdzie: T m średnia artość temperatury poietrza i drutu, K, T p temperatura poietrza, K, której spółczynniki są zaarte tabeli ()..17 (3)

5 Dynamika pomiaru temperatury termoparą 179 Dla bardzo cienkich przeodó należy uzględnić stosunek średnicy drutu do średniej odległości przebyanej przez cząsteczki gazu pomiędzy zderzeniami nazyanym liczbą Knudsena z zastosoaniem zoru []: Nuc Nu 1 KnNu (4) c Lp. Naza metalu lub stopu Tab. 1. Termiczne łaściości metali stosoanych na termopary Napięcie Przeodność Ciepło Gęstość Temperatura Wytrzymałość zględem cieplna łaście ρc ρ topnienia na rozryanie p 1 6 platyny λ c p μv/k kg/m 3 W/kgK J/kgK K MPa J/m 3 K Źródło danych [1] 1 miedź [5] [1] molibden 14.5 [1] [1] 3 nikiel [5] [1] [1] [1] 4 platyna [7] [3] [5] 5 ren [1] 6 olfram 11. [5] [1] 7 złoto [1] [1] [1] 8 żelazo [1] [5] 9 Ni 95% Al % Mn % Si 1% [5] 1 alumel Ni 95% Mn % Al. % [5] 11 Ni 85% Cr 1% [5] 1 kantal P Ni 9% Cr 1% [5] kantal N 13 Ni 98-97% Si -3% [5] 14 konstantan Cu 55% Ni 45% [5] 15 chromel Ni 9% Cr 1% [5] 16 Pt 9% Rh 1% [5] 17 Pt 8% Ir % [5] Dla małych prędkości, porónaniu z prędkością dźięku, liczbę Knudsena yraża edług [4] zależność: Ma RiTm Kn (5) Re pd cp (6) c v gdzie: c p ciepło łaście gazu przy stałym ciśnieniu, J/kgK, c v ciepło łaście gazu przy stałej objętości, J/kg/K,

6 18 Władysła Cierniak p ciśnienie gazu, Pa, R i indyidualna stała gazoa, J/kilomolK, η spółczynnik lepkości dynamicznej gazu, Pas. Tab.. Zestaienie parametró do zoru (3) Lp spółczynnik. < Re < < Re < 14 n A.4 Dla oceny łaściości dynamicznych złącz termparoych przeliczono charakterystyki częstotliościoe dla trzech termopar z drutó o grubości 5 μm. Jedna z termopar składa się z drutu złotego i platynoego a druga z drutu chromeloego i konstantanoego natomiast trzecia z drutó z alumelu i kantalu P. Termopary platyna złoto są obecnie intensynie badane gdyż mają doskonałe łaściości metrologiczne. Do obliczeń została ybrana ta termopara rónież ze zględu na duże różnice przeodnościach cieplnych obu metali. Dla drugiej termopary różnice przeodności są mniejsze a iększe są różnice pojemnościach cieplnych. Przeody trzeciej termopary ykazują najmniejsze różnice zaróno dla przeodności i pojemności cieplnej. Obliczenia przeproadzono dla suchego poietrza o prędkości 1 m/s. Dane poietrza przyjęte do obliczeń zostały umieszczone tabeli (3). A yniki zostały zamieszczone tabeli (4). Tab. 3. Parametry poietrza przyjęte do obliczeń Lp Parametr Wartość Jednostka Źródło informacji 1 temperatura K - ciśnienie 1135 Pa - 3 gęstość 1.41 kg/m 3-4 indyidualna stała gazoa J/kgK [8] 5 przeodność cieplna.59 W/Km [1] 6 spółczynnik lepkości dynamicznej Ns/m [1] Charakterystyki częstotliościoe termopar (transmitancje) można aproksymoać modelem pierszego rzędu opisanego poniższym rónaniem: T r T (, j) a T ( j) j p a (3) gdzie: ω a = πf a f a częstotliość graniczna, Hz. Moduł poyższego yrażenia ma postać: T r T (, j) 1 Tp ( j) 1 a (4) Charakterystyki częstotliościoe ybranych termopar opisanych tabeli (4) są pokazane na rysunku (1). Wykresy i 3 pokazują termoparę chromel konstantan. Wykres narysoany linią ciągłą przedstaia pełny model edług zoru (). Wykres narysoany linią przeryaną pokazuje model pierszego rzędu opisanego zorem (4). Przeody termopary chromel konstantan mają najiększe różnice pojemność cieplnych. Wykresy 1 oraz 4 pokazują łaściości termopar złoto-platyna oraz alumel-kantal. Aproksymacja ich charakterystyk zorem (4) jest tak dokładna, że różnice skali tego rysunku są nieidoczne.

7 Dynamika pomiaru temperatury termoparą 181 Tab. 4. Zestaienie danych do obliczeń i yniki Lp. Rodzaj przeodu Parametr Jednostka Złoto Platyna Chromel Konstantan Alumel Kantal P 1 średnica przeodu μm 5 prędkość poietrza m/s 1 3 liczba Reynoldsa liczba Knudsena liczba Nusselta przeodność cieplna przeodó W/Km iloczyn ciepła łaściego i gęstości J/Km 3.48E6.83E6 1.9E6 3.71E6 1.5E6 1.11E6 8 częstotliość graniczna pojedynczego przeodu Hz średnia artość częstotliości granicznych obu przeodó termopary Hz częstotliość graniczna termopary aproksymoanej modelem pierszego Hz rzędu z inercją 11 napięcie termopary na jeden Kelin μ/k Porónanie iersza 9-tego i iersza 1-ego pozala ysnuć niosek, że częstotliość graniczna edług aproksymacji zorem (4) e szystkich przypadkach jest nieco iększa od średniej artości częstotliości granicznych obu par przeodó. Tr Rys. 1. Wykresy transmitancji (charakterystyk częstotliościoej) ybranych termopar o średnicy 5 μm umieszczonych suchym poietrzu, którego prędkość ynosi 1 m.s. 1. termopara alumel-kantal, edług zoró () i (4);. termopara chromel konstantan, edług zoru (); 3. termopara chromel konstantan, edług zoru (4); 4. termopara złoto-platyna zoró () i (4) f, Hz F rys.1

8 18 Władysła Cierniak 3. Wnioski Z prostej analizy ykresó z rysunku (1) ynika możliość stosoania dynamicznego modelu termopary postaci członu inercyjnego pierszego rzędu. Częstotliość graniczna takiej termopary (jak to ynika z tabeli (4), iersze 8 i 9) jest z dosyć dobrym przybliżeniem róna średniej artość częstotliości granicznych przeodó termopary. Praca została ykonana roku 1 ramach prac statutoych realizoanych IMG PAN Krakoie, finansoanych przez Ministersto Nauki i Szkolnicta Wyższego. Literatura 1. Bruun H.H. Hot-ire anemometry, principles and signal analysis. Oxford University Pres, Ne York Collis D.C., Williams M.J. Tu-dimensional convection from heated ires at lo Reynolds numbers. J. Fluid Mech. 6, , Lipczyński J., Sokołoicz M., Olczak S., Rybka E. Tablice Matematyczne, Fizyczne i Astronomiczne. Wydanicta Szkolne i Pedagogiczne, Warszaa Lomas Ch.G. Fundamentals of hot ire anemometry. Cambridge University Press. 5. Michalski L., Eckersdorf K. Pomiary temperatury. Wydanicta Naukoo-Techniczne, Warszaa Oleśkieicz-Popiel Cz., Wojtkoiak J. Eksperymenty ymianie ciepła. Wydanicto Politechniki Poznańskiej, Poznań Strickert H. Hitzdrat-und Hitzfi lmanemometrie. VEB Verlag Technk Berlin Rażnijeić K. Tablice Cieplne z Wykresami. Tłumaczenie z Rażnijeić, Toplinskie Tablice i Dijagramy, 1964 Technićka Kniga, Zgreb. 9. Rysz J. Informacja pryatna. 1. Wiśnieski S. Wymiana ciepła. Państoe Wydanicto Naukoe, Warszaa Wróbleski A.K., Zakrzeski J.A. Wstęp do fi zyki. Tom, Wydanicto Naukoe PWN Warszaa Wikipedia. Dynamics of the measurement of temperature ith thermocouple Abstract Thermocouples combine to ires of a different density, heat conductance and specific heat. These differences may cause difficulties in description of the couple temperature during measurement of fast variable processes. A model of heat exchange through infinitely long ires as considered. A transmittance of temperature-thermocouple voltage as derived. The transmittance as calculated for a set of three temperatures (Fig. 1). Approximation of the transmittances ith a first order inertial terms gave good results ith exception of the nickel constantan thermocouple, hich has a big difference of heat capacitances. Keyords: measurement of temperature, thermocouple