Adaptacyjne Przetwarzanie Sygnałów. Filtracja adaptacyjna w dziedzinie częstotliwości

Transkrypt

1 W Filtracja adaptacyjna w dziedzinie częstotliwości Blokowy algorytm LMS (BLMS) N f n+n = f n + α x n+i e(n + i), i= N L Slide e(n + i) =d(n + i) f T n x n+i (i =,,N ) Wprowadźmy nowy indeks: n = kn ( ) N f k+ = f k + αn x kn+i e(kn + i) = f N k + α N g k, i= g k = ˆ N J k - uśredniona estymata gradientu funkcji kosztu J n = e (n) α N = αn - efektywny krok adaptacji algorytmu BLMS Algorytm BLMS w porównaniu z algorytmem LMS taka sama złożoność obliczeniowa potencjalnie wolniejsza zbieżność dla silnie skorelowanych sygnałów wejściowych (mocniejsze ograniczenie na α N ) Slide gorsza zdolność śledzenia niestacjonarności (rzadziej aktualizowane współczynniki filtru) gładsza krzywa zbieżności (smoother convergence) Algorytm BLMS stanowi punkt wyjścia do konstrukcji bardzo szybkich odmian algorytmu LMS, wykorzystujących do obliczeń efektywną obliczeniowo procedurę FFT Jacek Falkiewicz /

2 W Szybki algorytm LMS N =L - overlap-save method Współczynniki filtru adaptacyjnego w dziedzinie częstotliwości: F k = FFT f k, dim(f k )=dim() =L Slide 3 Diagonalna macierz danych wejściowych w dziedzinie częstotliwości: X k =diag{fft[x(kl L),,x(kL ),x(kl),,x(kl + L )]} L-elementowy wektor próbek sygnału wyjściowego otrzymujemy przez wykonanie operacji: y k =[y(kl),,y(kl + L )] T = {IFFT[X k F k ]} lastl {x} lastl oznacza wektor złożony z L ostatnich elementów wektora x Wektor błędu estymacji i jego transformata Fouriera po uprzednim uzupełnieniu zerami: e k =[d(kl) y(kl),,d(kl + L ) y(kl + L )] T = d k y k E k = FFT e k Slide 4 Wektor uśrednionej estymaty gradientu w dziedzinie częstotliwości: { } g k = IFFT[D k X H k E k ] firstl D k =diag[p (k),p (k),,p L (k)] - macierz zmiennych kroków adaptacji P i (k) =γp i (k ) + ( γ) X i (k), i =,,,L - odwrotności estymat średniej mocy sygnału wejściowego przypadającej na daną próbkę częstotliwości, <γ< Jacek Falkiewicz /

3 W Ostatecznie główna rekursja aktualizacji współczynników filtru w dziedzinie częstotliwości ma postać: F k+ = F k + αfft g k Właściwości: Slide 5 większa szybkość zbieżności niż algorytmu BLMS znacznie mniejsza złożoność obliczeniowa w stosunku do klasycznego algorytmu LMS; Complexity Ratio CR = 5log (L)+3 L (dla L = 4 CR= 6) opóźnienie sygnału wejściowego y(n) 3 Algorytmy TDAF (Transform Domain Adaptive Filter) Grupa algorytmów wykorzystujących właściwość ortogonalności przekształcenia DFT lub innych transformat dyskretnych w celu zwiększenia szybkości zbieżności algorytmu LMS X ( n) Slide 6 z - X ( n) dn ( ) z - L - punktowa transformata T X ( n) yn ( ) - z - FL- ( n) X L- ( n) Y L- ( n) Jacek Falkiewicz 3/

4 W Algorytm sliding DFT Slide 7 X k =diag{fft[x(n),,x(n L +)]} Y n = X n F n e(n) =d(n) T Y n E n = e(n) P i (n) =γp i (n ) + ( γ) X i (n) i =,,,L D n =diag[p (n),p (n),,p L (n)] F n+ = F n + αd n X H n E n Uzyskujemy poprawę szybkości zbieżności za cenę niewielkiego wzrostu złożoności obliczeniowej Stopień poprawy szybkości zbieżności algorytmu TDAF w stosunku do klasycznego algorytmu LMS zależy od wyboru transformaty Wybór transformaty Slide 8 Optymalną transformatą, zapewniającą taką kompensację rozrzutu wartości własnych macierzy autokorelacji R sygnału wejściowego, aby szybkość zbieżności wszystkich współczynników filtru była jednakowa, jest transformata Karhunena-Loève a (KLT) Umożliwia ona dekompozycję sygnału wejściowego x(n) na ciągi ortogonalne skojarzone z wektorami i wartościami własnymi macierzy autokorelacji tego sygnału: X i (n) =q T i x n, i =,,,L q i - i-ty wektor własny macierzy R skojarzony z wartością własną λ i Deterministyczna aproksymacja - dyskretna transformata kosinusowa DCT Zmniejszenie narzutu obliczeniowego - transformata WHT Walsh-Hadamard Transform (brak zbieżności do optymalnego rozwiązania wienerowskiego Jacek Falkiewicz 4/

5 W Algorytm TDAF-FS (TDAF Frequency Sampling) Bank filtrów NOI A () z X ( n) A () z X ( n) dn ( ) Slide 9 A () z X ( n) yn ( ) - A L-() z XL- ( n) F L- ( n) L- A i (z) = X i(z) X(z) = z L exp( jπi L )z Algorytm GSDAF (General Subband Decomposition Adaptive Filter) X ( n) F ( z N ) z - X ( n) F ( z N ) dn ( ) z - M - punktowa Slide transformata T X ( n) F ( z N ) yn ( ) - z - FM-( z N ) X M- ( n) Y M- ( n) Wymiar M transformaty T spełnia warunek M L Liczba współczynników filtrów adaptacyjnych wynosi L/M Jacek Falkiewicz 5/

6 W Wieloszybkościowa filtracja adaptacyjna w podpasmach (SAF - Subband Adaptive Filtering) BFA Slide F () z n DEC F () z n M- F n () z H n () z B F S I N T e ( n) e ( n) D E C B F A yn ( ) dn ( ) + + sn ( ) e M- ( n) - + B F A-bank filtrów analizy B F S-bank filtrów syntezy DEC-decymacja I N T - interpolacja Zalety filtrów SAF: zmniejszenie złożoności obliczeniowej w stosunku do algorytmu pracującego w pełnym pasmie potencjalny wzrost szybkości zbieżności w porównaniu z algorytmem LMS pracującym w pełnym pasmie Slide Wady filtrów SAF: wprowadzanie opóźnienia sygnału zjawisko aliasingu niweczące wzrost szybkości zbieżności Metody łagodzenia efektów aliasingu: skrośne filtry adaptacyjne filtry analizy i syntezy o dobrych parametrach (duże tłumienie i wąskie pasmo przejściowe) 3 nadpróbkowanie sygnałów w podpasmach Jacek Falkiewicz 6/