Matematyka bankowa. Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Łódzki. Dorota Klim

Transkrypt

1 Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Łódzki Matematyka bankowa klimdr klimdr@math.uni.lodz.pl 1 / 152

2 [1] M. Podgórska, J. Klimkowska, Matematyka finansowa, PWN. [2] S. G. Kellison, The Theory of Interest, McGraw-Hill Int. Ed. [3] E. Smaga, Arytmetyka finansowa, PWN. [4] M. Sobczyk, Matematyka finansowa, Placet. [5] M. Szałański, Podstawy matematyki finansowej, Elipsa. [6] K. Jajuga, T. Jajuga, Inwestycje, PWN. 2 / 152

3 Podstawowymi transakcjami finansowymi jest inwestowanie pewnych ilości pieniędzy w celu osiągnięcia zysku. Przykładem takiej inwestycji może być wpłata określonej kwoty na rachunek oszczędnościowy w banku. Kwotę tę nazywamy kapitałem, kapitałem początkowym, wartością poczatkową inwestycji (ang. principal, present value) i oznaczamy przez P, P V. 3 / 152

4 Kwotę jaką uzyskamy po pewnym czasie albo pod koniec inwestycji nazywamy kapitałem końcowym, kapitałem przyszłym, wartością przyszłą (ang. accumulated value, future value) i oznaczamy przez F, F t, F V. Będziemy zakładać, że F > P. Różnicę I = F P, czyli zysk z zainwestowanego kapitału nazywamy odsetkami (amount of interest lub krótko interest). 4 / 152

5 Miernikiem wielkości wygenerowanych odsetek w ustalonym czasie jest stopa procentowa i > 0 (rate of interest). Definiujemy ją jako stosunek odsetek do kapitału początkowego, czyli i = I P. Stopa procentowa jest przeważnie liczbą z przedziału (0, 1). Możemy ją wyrazić jako liczbę niemianowaną tj. liczbę w postaci ułamka dziesiętnego lub zwykłego albo wyrazić w procentach mnożąc przez 100%. 5 / 152

6 Przedział czasu uwzględniony w określających stopę procentową odsetkach nazywamy okresem stopy procentowej (period of interest). W praktyce najczęściej mamy do czynienia ze stopami określonymi dla okresu rocznego. Mówimy wtedy o rocznej lub w skali roku. 6 / 152

7 Przy badaniu problemów teorii zmiany kapitału w czasie oraz konsekwencji stąd wypływających podstawowymi pojęciami są: oprocentowanie, dyskontownie. 7 / 152

8 Oprocentowaniem nazywamy wyznaczanie odsetek. Najkrótszy przedział czasu, po którym zostały wyznaczone odsetki, nazywamy okresem. Natomiast czas pomiędzy początkiem i końcem inwestycji - czasem, czasem inwestycji, horyzontem czasowym inwestycji. Czas może być mierzony za pomocą różnych jednostek np. dni, miesięcy, roku, itp. Jednostka, którą będziemy mierzyć czas inwestycji nazywamy krótko okresem (period). Kapitalizacją odsetek lub krótko kapitalizacja nazywamy powiększanie kapitału o odsetki. Czas, po którym odsetki są skapitalizowane nazywamy okresem kapitalizacji. 8 / 152

9 Gdy okres stopy procentowej pokrywa się z okresem, to mówimy o oprocentowaniu zgodnym. W przeciwnym przypadku mówimy o oprocentowaniu niezgodnym. W zależności od sposobu ustalania odsetek wyróżniamy oprocentowanie proste (simple interest) i składane (złożone) (compound interest). W pierwszym przypadku oprocentowaniu podlega wyłącznie kapitał początkowy zaś w drugim oprocentowaniu podlega kapitał początkowy i wygenerowane w trakcie czasu odsetki. Przez warunki rozumiemy zbiór danych potrzebnych do wyznaczenia w sposób jednoznaczny wysokości odsetek należnych od ustalonego kapitału za ustalony czas. 9 / 152

10 Dyskontowaniem rzeczywistym lub krótko m nazywamy wyznaczanie wcześniejszych wartości kapitału w oparciu o wartości przyszłe. W szczególności m jest obliczanie wartości początkowej kapitału P na podstawie wartości końcowej F. Kwota D, o którą należy pomniejszyć F, aby otrzymać P, nazywa się dyskontem. 10 / 152

11 Niech [0, T ] będzie czasem inwestycji, T 0. Rozważmy inwestycję kapitału jednej jednostki. Niech a(t) 0 oznacza wartość przyszłą tego kapitału w momencie t [0, T ]. Funkcję a : t a(t) nazywamy funkcją akumulacji (accumulation function) jednej jednostki kapitału. 11 / 152

12 Funkcja akumulacji posiada następujące własności: 1. a(0) = a jest funkcja niemalejącą. Gdyby funkcja przyjmowała wartości mniejsze przy wzroście t, to generowała by ujemne odsetki, co od strony matematycznej jest możliwe natomiast od strony finansowej takimi przypadkami nie będziemy się zajmować. 3. Jeżeli generowane odsetki będą gromadzić się w sposób ciągły, to funkcja akumulacji też będzie ciągła. Jeżeli odsetki będą gromadzić się w sposób skokowy zależnie od okresu, to funkcja akumulacji będzie w tych punktach nieciągła a dokładnie będzie ciągła z prawej strony. Dla ustalonego t wartość a(t) będziemy nazywali t-okresowym czynnikiem akumulacji (accumulation factor). Matematyka bankowa 12 / 152

13 Jeżeli inwestycją będzie kapitał P, to wartość przyszła tego kapitału w czasie t [0, T ] wyrazi się wzorem F t = P a(t). Oczywiscie F 0 = P. W celu wyznaczenia wartości początkowej kapitału 1 jednostki po czasie T należy rozważyć fnkcję a 1 : t a 1 (t) spełniającą a 1 (t) a(t) = 1 dla każdego t [0, T ]. a 1 nazywamy funkcją dyskontowania (discount function) jednej jednostki kapitału. Dla ustalonego t wartość a 1 (t) będziemy nazywali t-okresowym czynnikiem dyskontowania (discount factor). Oczywiście dla kapitału F t wartość początkowa tego kapitału wyraża się wzorem P = F t a 1 (t). 13 / 152

14 Przypuśćmy teraz, że dana jest pewna inwestycja o horyzoncie czasowym [0, T ] i że w momencie t 1 [0, T ] został zainwestowany pewien kapitał P 1. W celu wyznaczenia wartości przyszłej F t2 tego kapitału w momencie t 2 [0, T ], t 2 > t 1 należy skorzystać ze wzoru F t2 = P 1 a 1 (t 1 ) a(t 2 ). 14 / 152

15 Dla t = 0, 1, 2,... będziemy częściej stosowali oznaczenie a(n) zamiast a(t), F n zamiast F t itp. Przez I n będziemy oznaczać odsetki uzyskane w n-tym okresie inwestycji. Zatem I n = F n F n 1 dla n = 1, 2, 3, / 152

16 Będziemy zakładać, że: -) czas składa się ze skończonej ilości podokresów będących okresami ; -) okres stopy procentowej r pokrywa się z okresem. 16 / 152

17 Zasady prostego są stosowane w obliczeniach bankowych transakcji krótkoterminowych (do jednego roku) oraz umowach zawieranych poza sferą bankową. Zasada prostego charakteryzuje się następującą cechą: odsetki uzyskane w czasie inwestycji po każdym okresie są generowane od wartości początkowej kapitału, czyli nie podlegają kapitalizacji w czasie a na końcu inwestycji. 17 / 152

18 Wyznaczymy postać ogólna ciągu {F n } n=1 przyszłych wartości kapitału P po czasie n, będącym całkowitą wielokrotnością okresu. Obliczanie wartości F n+1 na koniec (n + 1) go okresu przebiega następująco: do wartości F n z końca n-tego okresu kapitalizacji dopisujemy odsetki I n+1 przypadające za (n + 1)-szy okres. Tak więc ciąg (F n ) spełnia równanie rekurencyjne postaci F n+1 = F n + I n+1, n = 0, 1,... (1) z warunkiem początkowym F 0 = P. 18 / 152

19 Ponieważ oprocentowaniu podlega tylko kapitał początkowy P, to ciąg odsetek (I n ) jest ciągiem stałym o wyrazie ogólnym postaci I n = P i, n = 0, 1,. (2) Podstawiając (2) do (1) otrzymujemy równanie a stąd F n+1 = F n + P i, n = 0, 1,..., (3) F n+1 F n = P i, n = 0, 1,.... (4) 19 / 152

20 Wzór (4) wskazuje, że ciąg (F n ) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy P i i pierwszym wyrazie postaci F 1 = P + P i = P (1 + i). Zatem, w myśl (3) n-ty wyraz tego ciągu ma postać F n = P (1 + ni). (5) 20 / 152

21 Funkcja akumulacji wyraża się tutaj wzorem a(t) = a(n) dla t [n, n + 1), gdzie a(n) = 1 + ni, n = 0, 1,... jest n-okresowym czynnikiem akumulacji kapitału w modelu prostego. Z (5) otrzymujemy postać n-okresowego czynnika dyskontowania 1/(1 + ni) oraz wzór na wartość początkową kapitału P P = F n 1 + ni. (6) Zauważmy, że suma odsetek wytworzonych przez kapitał P w ciągu n okresów kapitalizacji jest równa różnicy wartości przyszłej F n i wartości teraźniejszej P a więc I = F n P = P ni. (7) Zatem wzór (5) wskazuje, że wartość przyszła kapitału P po n okresach kapitalizacji jest sumą wartości kapitału początkowego i odsetek za czas n. Matematyka bankowa 21 / 152

22 Model składanego jest stosowany w transakcjach średnioterminowych (od roku do pięciu lat) oraz długoterminowych (powyżej pięciu lat). Charakterystyką tego modelu jest to, że odsetki wygenerowane po każdym okresie podlegają kapitalizacji. Dlatego też w modelu składanego zakładamy, że okres kapitalizacji pokrywa się z okresem. 22 / 152

23 Wyznaczymy postać ogólna ciągu {F n } n=1 przyszłych wartości kapitału P po czasie n. Zgodnie z definicją po (n + 1) okresach kapitalizacji, przyjmując F 0 = P, otrzymujemy F n+1 = F n + I n+1, n = 0, 1, 2,..., (8) gdzie I n+1 są odsetkami wyznaczonymi w oparciu o dotychczas nagromadzony kapitał przez n okresów, czyli I n+1 = F n r, n = 0, 1, 2,.... (9) Zatem z (8) i (9) otrzymujemy F n+1 = F n (1 + r), n = 0, 1, 2,.... (10) Z powyższego wynika, że ciąg {F n } n=1 jest ciągiem geometrycznym o pierwszym wyrazie F 1 i ilorazie (1 + r). Reasumując wyraz ogólny ciągu {F n } n=1 jest postaci Matematyka bankowa F n = P (1 + r) n, n = 0, 1, 2,.... (11) 23 / 152

24 Funkcja akumulacji wyraża się tutaj wzorem a(t) = a(n) dla t [n, n + 1), gdzie a(n) = (1 + r) n, n = 0, 1,..., jest n-okresowym współczynnikem akumulacji. Ze wzoru (11) otrzymujemy wzór na wartość początkową P = F n, n = 0, 1, 2,.... (12) (1 + r) n Liczbę 1/(1 + r) n nazywamy n-okresowym współczynnikiem dyskontującym w tym modelu. Wartość sumy odsetek po n okresach, w myśl wzoru (11) i (12), przyjmie postać I = F n P = P [ (1 + r) n 1 ], n = 1, 2,.... (13) 24 / 152

25 Ze wzoru (12) wynika, że gdy znamy wartość kapitału początkowego P i końcowego F n oraz czas n, wówczas stopę procentową r obliczamy według wzoru F r = n n 1. (14) P Gdy natomiast znamy P, F n oraz stopę r, wtedy do obliczenia czasu n korzystamy ze wzoru n = ln ( F n /P ) ln(1 + r), (15) przy czym, jeśli obliczona w ten sposób wartość n nie jest liczbą naturalną, to nie istnieje czas, po którym w omawianym modelu kapitał P zwiększyłby swą wartość do F n. Matematyka bankowa 25 / 152

26 W praktyce zachodzi niekiedy potrzeba określenia czasu, po którym kapitał podwoi swoją wartość. Należy wtedy czas n wyznaczyć ze wzoru n = ln 2 ln(1 + r), (16) bądź, jeśli wystarczy przybliżona wartość, skorzystać z tzw. reguły 70, która mówi, że przy stopie r % w modelu składanego zgodnego kapitał podwaja swoją wartość w czasie równym 70/r okresów kapitalizacji. 26 / 152

27 i składane. Dla dowolnego n N przy ustalonej wartości P i r otrzymujemy zależność F p 1 = F s 1, F p n < F s n, n 2, gdzie F p n = P (1 + nr), F s n = P (1 + r) n. 27 / 152

28 Oprocentowanie nazywamy niezgodnym, gdy okres stopy procentowej nie jest równy okresowi kapitalizacji. Wyróżniamy tutaj dwa przypadki: O1 okres stopy procentowej jest całkowitą wielokrotnością okresu kapitalizacji - mówimy wówczas o kapitalizacji w podokresach; O2 okres kapitalizacji jest całkowitą wielokrotnością okresu stopy procentowej - mówimy wtedy o kapitalizacji w nadokresach. 28 / 152

29 Niech k oznacza stosunek okresu stopy procentowej r do okresu kapitalizacji, tj. k = okres stopy procentowej r. (17) okres kapitalizacji Mówiąc o r będziemy mieli na myśli stopę o okresie jednego roku. 29 / 152

30 W przypadku kapitalizacji w podokresach k jest liczbą naturalną natomiast w przypadku kapitalizacji w nadokresach k jest ułamkiem o mianowiniku będącym wielokrotnością licznika. Wyróżniamy następujące kapitalizacje oraz związany z nimi parametr k: ) czteroletnia, gdy k = 0, 25, ) dwuletnia, gdy k = 0, 5, ) roczna, gdy k = 1, ) półroczna, gdy k = 2, ) kwartalna, gdy k = 4, ) miesięczna, gdy k = 12, ) tygodniowa, gdy k = 52, ) dzienna, gdy k = / 152

31 W przypadku niezgodnego odsetki przypadające na jeden okres kapitalizacji wyznacza się na podstawie stopy, której okres pokrywa się z okresem kapitalizacji. Stopę o tej własności nazywamy stopą podokresową, dostosowaną, względną i ozn. przez i k. Stopę podokresową obliczamy ze wzoru i k = r k. (18) Stopę r, występującą w (18), nazywamy stopą nominalną. W praktyce bankowej stopa nominalna (roczna) jest zasadniczym nośnikiem informacji o ofercie bankowej, przy czym odsetki mogą być wyznaczane według stopy podokresowej. 31 / 152

32 Zauważmy, że wyznaczenie wartości przyszłej kapitału w modelu niezgodnego jest analogiczne do wyznaczenie wartości przyszłej kapitału w modelu zgodnego, z tą różnicą, że zamiast stopy nominalnej r należy zastosować stopę dostosowaną i k, której okres jest taki sam okres kapitalizacji, oraz zamiast liczby okresów n stopy nominalnej-liczbę okresów kapitalizacji m k, gdzie m k = nk. (19) Zauważmy, że przyjęte założenia implikują, że m k N. 32 / 152

33 Zatem wartość przyszła kapitału P po m k okresach kapitalizacji wynosi ) dla prostego ) dla składanego F mk = P (1 + m k i k ); (20) F mk = P (1 + i k ) m k. (21) 33 / 152

34 Twierdzenie 1. Dla każdej ustalonej wielokrotności okresu stopy procentowej r przyszła wartość kapitału P w modelu prostego jest stałą funkcją częstości kapitalizacji odsetek w ciągu roku. Twierdzenie 2. Dla każdej ustalonej wielokrotności okresu stopy procentowej r przyszła wartość kapitału P w modelu składanego jest rosnącą funkcją częstości kapitalizacji odsetek w ciągu roku. 34 / 152

35 Jeśli n, k są dowolnymi liczbami naturalnymi, to z powyższego otrzymujemy P (1 + m k i k ) P (1 + i k ) m k, (22) czyli ( P (1 + nr) P 1 + r ) nk, (23) k przy czym równość zachodzi tylko dla m k = n = k = / 152

36 Ponadto, gdy k 1 < k 2, to czyli P (1 + i k1 ) m k 1 < P (1 + i k2 ) m k 2, (24) P (1 + r ) k1 ( < P 1 + r ) k2. (25) k 1 k 2 36 / 152

37 Roczny czynnik akumulacji dla podokresowego jest postaci a(k) = (1 + i k ) k, (26) czyli a(k) = ( 1 + r k ) k, (27) oraz spełniona jest nierówność 1 + r ( 1 + r k ) k, (28) przy czym równość zachodzi jedynie dla k = / 152

38 Łączne odsetki wygenerowane po czasie m k wyniosą I = P [ (1 + i k ) m k 1 ], (29) czyli przy użyciu stopy nominalnej r [( I = P 1 + r ) nk ] 1. (30) k 38 / 152

39 W tym modelu wzory (12)-(16) będą prawdziwe przy podstawieniu za r stopy i k oraz za n liczby m k. Wzór w regule 70 przyjmie postać m k = 70 i, k gdzie i k % jest stopą procentową dostosowaną do okresu kapitalizacji. 39 / 152

40 Na początku podrozdziału założylismy, że n jest liczbą naturalną-jest całkowitą wielokrotnością stopy nominalnej r, oraz wyraża czas. Zauważmy, że wzory (20), (21), (22) i pozostałe nie zależą od dziedziny zmiennej n tzn. nie jest istotne to, że jest ona liczbą naturalną a istotne jest tylko to, że m k jest liczbą naturalną. Możemy zatem nasze rozważania uogólnić na przypadek, gdy n wyrażające czas w jednostce 1 roku (w latach) jest liczbą wymierną i taką, że m k = n k jest liczbą naturalną. Powyższe wzory nie zmienią swojej postaci zmienią się jedynie założenia dotyczące n. W konsekwencji od tego momentu będziemy przyjmować, że n jest liczbą wymierną wyrażającą czas w latach i taką, że m k jest liczbą naturalną. 40 / 152

41 Przypomnijmy definicję liczby e: lim (1 + a n) 1 an = e, n gdzie {a n } jest dowolnym ciągiem liczb rzeczywistych spełniającym lim n a n = / 152

42 Stąd po czasie n lat przy stopie r mamy lim (1 P + r ) nk [ ( = lim k k P 1 + r ) k ] nr r = P e nr k k 42 / 152

43 Kapitalizację ciągłą definiujemy jako graniczny przypadek kapitalizacji podokresowej, gdy liczba podokresów k w ustalonym czasie n zmierza do nieskończoności. Inaczej mówiąc, gdy odsetki są kapitalizowane w każdym momencie czasu. Wartość przyszłą kapitału P po czasie n przy stopie nominalnej r w kapitalizacji ciągłej definiujemy wzorem Matematyka bankowa F = P e nr, (31) zaś odsetki wygenerowane po tym czasie wyznaczamy ze wzoru I = P (e nr 1). (32) Roczny czynnik akumulacji w kapitalizacji ciągłej dany jest wzorem a(1) = e r. (33) 43 / 152

44 Po czasie n lat otrzymujemy następującą zależność pomiędzy wartościami przyszłymi kapitału w modelu prostego, składanego podokresowego i ciągłego ( P (1 + nr) P 1 + r ) nk P e nr k dla dowolnego k N, czyli pomiędzy rocznymi czynnikami akumulacji 1 + r ( 1 + r k ) k e r. (34) 44 / 152

45 Zasada równoważności stóp procentowych: Powiemy, że stopy procentowe są równoważne, jeżeli przy każdej z nich kapitał początkowy P generuje tej samej wielkości odsetki I po czasie n. 45 / 152

46 Załóżmy, że w banku A obowiązuje nominalna stopa procentowa r A oraz odsetki są generowane k A razy w ciągu roku, natomiast w banku B obowiązuje nominalna stopa procentowa r B oraz odsetki są generowane k B razy w ciągu roku. prostego w banku A w stosunku do banku B w odniesieniu do n lat oznacza zachodzenie równości: gdzie i ka = r A ka równość P (1 + m ka i ka ) = P (1 + m kb i kb ), (35) oraz i kb = r B kb. Stąd otrzymujemy k A i ka = k B i kb. (36) 46 / 152

47 W konsekwencji z powyższego po przekształceniach otrzymujemy r A = r B, (37) czyli, że w modelu prostego równoważność warunków nie zależy od czasu n oraz jest zagwarantowana wtedy, gdy nominalne stopy procentowe są identyczne. 47 / 152

48 W przypadku, gdy, zarówno w banku A jak i w banku B, stosowany jest model składanego podokresowego, równoważność warunków, w myśl wzoru (21), implikuje tj. P (1 + i ka ) m k A = P (1 + i kb ) m k B, (38) P (1 + i ka ) nk A = P (1 + i kb ) nk B. (39) 48 / 152

49 Zatem (1 + i ka ) k A = (1 + i kb ) k B, (40) co dowodzi, że równoważność warunków składanego nie zależy od czasu n, ponadto w celu zagwarantowania równoważności warunków roczne współczynniki akumulacji powinny być identyczne. 49 / 152

50 Ze wzoru (40) otrzymujemy wzór na równoważne stopy podokresowe oraz równoważne stopy nominalne k A k i kb = (1 + i ka ) B 1, (41) [ ( r B = k B 1 + r ) ka ] A k B 1. (42) k A W modelu kapitalizacji podokresowej równoważność warunków nie zależy od czasu n oraz jest zagwarantowana wtedy, gdy stopy podokresowe spełniają (41), czyli gdy stopy nominalne spełniają (42). 50 / 152

51 Ponadto otrzymujemy wzory na równoważność stóp rocznej i i podokresowej i k oraz i k = (1 + i) 1 k 1, i = (1 + i k ) k 1. (43) 51 / 152

52 Niech teraz w banku A i B obowiązuje kapitalizacja ciągła. Z równości rocznych współczyników akumulacji, tj. e r A = e r B, (44) dostajemy, że warunki będą równoważne wtedy, gdy stopy roczne będą identyczne. Oczywiście w takiej sytuacji powiemy, że stopy te są równoważne. 52 / 152

53 (effective rate of interest) r ef jest to wielkości zysku uzyskanego w ciągu 1 roku z zainwestowanej 1 jednostki kapitału, wypłacanego pod koniec roku. Definicę tę możemy opisać wzorem: r ef = a(1) a(0), czyli a(1) = 1 + r ef (45) 53 / 152

54 1. Ponieważ efektywna stopa mierzy wzrost kapitału w ciągu roku, to jest to roczna stopa procentowa. 2. Pojęcie efektywna jest używane w sytuacji, gdy odsetki są płacone raz do roku w przeciwieństwie do pojęcia nominalna, gdy odsetki są płacone częściej niż raz do roku. 3. najczęściej wyrażana jest w procentach. 4. Wielkość zainwestowanego kapitału jest w ciągu roku stała, tzn. w trakcie roku ani nie dokonujemy żadnej wpłaty ani wypłaty. 5. jest rozważana, gdy odsetki są płacone pod koniec roku. 54 / 152

55 Efektywną stopę procentową możemy wyrazić za pomocą wartości przyszłej kapitału P następująco: r ef = (1 + r ef ) 1 1 = a(1) a(0) a(0) = F 1 P P = I 1 P. Otrzymujemy alternatywną definicję: Efektywną stopę procentową r ef definiujemy jako stosunek odsetek do kapitału, który wygenerował te odsetki w ciągu 1 roku. (46) 55 / 152

56 może być wyliczona dla dowolnego roku inwestycji. Niech r ef,n oznacza efektywną stopę w roku n-tym. Wówczas r ef,n = F n F n 1 F n 1 = I n F n 1, dla n = 1, 2, 3,..., (47) gdzie I n oznaczają odsetki za n-ty okres. oczywiście wzór (47) jest zgodny z wcześniejszą definicją. 56 / 152

57 W modelu prostego przy stałej stopie rocznej r, ze wzorów (46) i (47), otrzymujemy odpowiednio r ef = P r P = r, oraz r ef,n = P r P (1 + (n 1)r) = r 1 + (n 1)r, (48) dla n = 1, 2, 3,..., tj. stopa efektywna w pierwszym roku inwestycji jest identyczna ze stopą roczną oraz jest malejącą funkcją zmiennej czasu n przy stałym oprocentowaniu prostym. 57 / 152

58 W modelu składanego przy rocznej kapitalizacji odsetek według stopy rocznej r otrzymujemy oraz r ef = P (1 + r) P P = (1 + r) 1 1 = r, r ef,n = P (1 + r)n P (1 + r) n 1 (1 + r) 1 P (1 + r) n 1 = = r, 1 dla n = 1, 2, 3,.... Oznacza to, że stopa efektywna jest identyczna z roczną stopą rocznego i że nie zależy od czasu n. 58 / 152

59 Z powyższego i (43) możemy powiedzieć, że efektywna stopa procentowa jest to stopa rocznego równoważna stopie podokresowego czyli r ef = (1 + i k ) k 1, r ef = ( 1 + r k ) k 1. (49) Stąd i z zasady równoważności warunków otrzymujemy, że w modelu kapitalizacji podokresowej warunki są równoważne, gdy odpowiednie stopy efektywne są identyczne. 59 / 152

60 W przypadku ciągłego przy rocznej stopie r otrzymujemy oraz r ef = P er P P = e r 1, (50) r ef,n = P enr P e (n 1)r P e (n 1)r = e r 1, czyli stopa efektywna jest stałą funkcją zmiennej czasu n i wyraża się wzorem (50). 60 / 152

61 Konsekwencją definicji stopy efektywnej oraz zasady równoważności stóp procentowych jest to, że w celu obliczenia efektywnej stopy procentowej w modelu składanego podokresowego bądź ciągłego wystarczy od rocznego czynnika akumulacji odjąć / 152

62 Ponadto możemy powiedzieć, że 1. efektywna stopa procentowa jest równa stopie rocznej jedynie dla kapitalizacji rocznej. 2. efektywna stopa procentowa jest większa od stopy nominalnej w kapitalizacji składanej podokresowej różnej od rocznej. 3. efektywna stopa procentowa jest tym większa, im częściej kapitalizują się odsetki. 4. efektywna stopa procentowa jest największa przy ciągłej kapitalizacji odsetek. 62 / 152

63 Z punktu widzenia matematyki bankowej oczywiste jest, że wartość przyszła kapitału po nie będącym całkowitą wielokrotnością okresu kapitalizacji jest równa wartości po czasie m k składającym się z maksymalnej liczby okresów kapitalizacji w czasie t, tzn. jeżeli np. kapitalizacja jest miesięczna a nas interesuje wartość przyszła kapitału po 8 miesiącach i 2 tygodniach, to m k = 8. Taka metoda jest zgodna z naszymi wcześniejszymi ustaleniami, że wyzanczenie wartości przyszłej jest ściśle związane z okresem generowania i kapitalizowania odsetek. 63 / 152

64 Poznamy inne metody wyznaczenia wartości przyszłej kapitału po czasie t, które dla naszych rozważań stanowią czysto teoretyczny aspekt ale mają istotne zastosowanie w matematyce finansowej. 64 / 152

65 Na poczatek przypomnijmy, że wartość przyszła kapitału wyraża się wzorem: w modelu prostego F mk = P (1 + m k i k ) = P (1 + nr), w modelu składanego przy okresowej kapitalizacji odsetek ( F mk = P (1 + i k ) m k = P 1 + r ) nk, k gdzie n Q było takie, że m k = n k N. 65 / 152

66 Uogólnienie wzoru dla n = t, t > 0, w przypadku prostego jest równoważne z wyznaczeniem wartości przyszłej kapitału proporcjonalnie do długości czasu, czyli F t = P (1 + tr), (51) gdzie czas t wyrażony jest w latach. Wykresem funkcji t F t jest półprosta nachylona pod kątem P r do osi czasu. 66 / 152

67 W przypadku składanego najpierw zauważmy, że z (49) mamy ( F mk = P 1 + r ) nk [ ( = P 1 + r ) k ] n k k [ ( = P r ) k ] n 1 = P (1 + r ef ) n. k Zatem wzór na F mk możemy uogólnić następująco F t = P (1 + r ef ) t, (52) gdzie t jest czasem wyrażonym w latach. Funkcja t F t jest ciągła funkcją wykładniczą. 67 / 152

68 Jeżeli chcemy wartość F mk wyznaczyć bez odwoływania się do stopy efektywnej, to powyższy wzór zapiszemy następująco: F t = P (1 + i k ) tk. (53) 68 / 152

69 W przypadku kapitalizacji ciągłej mamy oczywiście F t = P e tr. 69 / 152

70 Przykład 1. Wyznaczyć wartość przyszłą kapitału 100 jp po 17 miesiącach w modelu prostego przy stopie rocznej 12%. Rozwiązanie: P = 100, t = 17/12, r = 0, 12. Ze wzoru (51) mamy ( F = ) 12 0, 12 = 117[jp]. 70 / 152

71 Przykład 2. Wyznaczyć wartość przyszła kapitału 100 jp po roku i 7 miesiącach przy kwartalnej kapitalizacji odsetek i nominalnej stopie 12%. Rozwiązanie: P = 100, t = 1 + 7/12 = 19/12, k = 4, r = 0, 12, i k = 0, 03, r ef = (1 + 0, 03) 4 1 = 0, Widzimy, że czas nie jest całkowitą wielokrotnością okresu kapitalizacji. Wartość przyszłą wyznaczymy korzystając ze wzoru (52) i (53). Mamy F = 100(1 + 0, 1255) = 120, 586 oraz F = 100(1 + 0, 03) = 120, / 152

72 Na koniec powiemy o jeszcze jednej metodzie wyznaczania wartości przyszłej kapitału po czasie t w modelu składanego (kapitalizacji złożonej). Niech F p t i F s t będą funkcjami określonymi odpowiednio wzorami (51) i (52). Zauważmy, że a) wykresy funkcji F p t i F s t przecinają się w dwóch punktach: dla t = 0 i t = 1, b) dla t (0, 1) F p t > F s t, c) dla t > 1 F p t < F s t. 72 / 152

73 Warto tutaj wspomnieć, że oprocentowanie składane jest stosowane niemal we wszystkich transakcjach finansowych średnio- i długoterminowych (powyżej jednego roku), rzadziej w transakcjach krótkotermnowych (do jednego roku), zaś oprocentowanie proste jest tylko czasem stosowane w transakcjach krótkoterminowych oraz pomocniczo do wyznaczenie wartości F t w niepełnym okresie kapitalizacji. 73 / 152

74 Rozważmy czas t = z + q, gdzie z N {0}, q (0, 1). Oczywiście z < t < z + 1. Wyznaczenie wartości F t jest związana z wypukłą kombinacją wartości F z i F z+1 : F z+q = (1 q)f z + qf z+1 = (1 q)p (1 + r ef ) z + qp (1 + r ef ) z+1 = P (1 + r ef ) z [(1 q) + q(1 + r ef )] = P (1 + r ef ) z (1 + qr ef ), czyli F z+q = P (1 + r ef ) z (1 + qr ef ) (54) Dzięki tej metodzie podpunkt b) nie zajdzie. 74 / 152

75 Przykład 3. Mając dane z przykładu 2 wyznaczymy wartość przyszłą kapitału korzystając ze wzoru (54) Rozwiązanie. z = 1, q = 7 12, F = 100(1 + 0, 1255) 1 ( , 1255 ) = 120, / 152

76 OPROCENTOWANIE PRZY ZMIENNEJ STOPIE PROCENTOWEJ 76 / 152

77 Załóżmy, że czas składa się z n lat, n Q oraz, że dzieli się na m okresów o długości odpowiednio n 1, n 2,..., n m, n = n 1 + n n m, oraz że w j-tym okresie, j = 1, 2,..., m, mamy roczną stopę procentową r j. Wówczas po pierwszym okresie po drugim okresie i po m-tym okresie F n1 = P + P n 1 r 1, F n2 = P + P n 1 r 1 + P n 2 r 2, Matematyka bankowa F nm = P + P n 1 r 1 + P n 2 r P n m r m, 77 / 152

78 czyli ( F = P 1 + m n j r j ), (55) j=1 n-letni czynnik akumulacji wyraża się wzorem m a(n) = 1 + n j r j (56) j=1 78 / 152

79 Przykład 4. Wyznacz wartość przyszłą zł po 4 latach w modelu prostego, jeśli przez pierwsze 1, 5 roku była stopa roczna 2% a następnie stopa roczna 1, 9%. Rozwiązanie: n = 4, n 1 = 1, 5, n 2 = 2, 5, r 1 = 0, 02, r 2 = 0, 019, F = 10000(1 + 1, 5 0, , 5 0, 019) = / 152

80 z podokresową kapitalizacją odsetek Załóżmy, że czas składa się z n lat, n N, i w roku j-tym dana jest stopa efektywna r ef,j, gdzie j = 1, 2,..., n, po pierwszym roku po drugim roku po n-tym roku F 1 = P (1 + r ef,1 ), F 2 = F 1 (1 + r ef,2 ), F n = F n 1 (1 + r ef,n ). 80 / 152

81 Zatem F = P (1 + r ef,1 ) (1 + r ef,2 )... (1 + r ef,n ), tj. n F = P (1 + r ef,j ), (57) j=1 n-letni czynnik akumulacji wyraża się wzorem n a(n) = (1 + r ef,j ). (58) j=1 81 / 152

82 Przykład 5. Wyznacz wartość przyszłą zł po 5 latach składanego, jeśli przez pierwsze 2 lata była stopa efektywna 2% a następnie stopa efektywna 1, 9%. Rozwiązanie: n = 5, n 1 = 2, n 2 = 3, r 1 = 0, 02, r 2 = 0, 019, F = 10000( , 02) ( , 019) = 10992, / 152

83 Załóżmy teraz, że czas n składa się z m okresów o długości odpowiednio n 1, n 2,..., n m, n = n 1 + n n m, takich że w okresie j-tym dana jest stopa efektywna r ef,j, j = 1, 2,..., m. Po pierwszym okresie po drugim okresie po n m -tym okresie F n1 = P (1 + r ef,1 ) n 1, F n2 = F n1 (1 + r ef,2 ) n 2, F nm = F nm 1 (1 + r ef,m ) nm. 83 / 152

84 Zatem F n = P (1 + r ef,1 ) n1 (1 + r ef,2 ) n2... (1 + r ef,m ) nm, czyli m F = P (1 + r ef,j ) n j, (59) j=1 n-letni czynnik akumulacji wyraża się wzorem m a(n) = (1 + r ef,j ) n j. (60) j=1 84 / 152

85 Oczywiście czynnik (1 + r ef,j ) n j, j = 1, 2,..., m, możemy zastąpić z zachowaniem równoważności stóp procentowych, wzór (49), czynnikiem czyli ( 1 + r ) nj k j j, k j (1 + i (j) k j ) n jk j, gdzie r j jest stopą nominalną w okresie j, k j jest częstością kapitalizowania odsetek w tym okresie, n j k j jest ilością okresów kapitalizacji w tym okresie a i (j) k j jest stopa dostosowaną w tym okresie. Matematyka bankowa 85 / 152

86 Wzór (59) przyjmie postać m F = P (1 + i (j) k j ) n jk j, (61) j=1 zaś n-letni czynnik akumulacji m a(n) = (1 + i (j) k j ) n jk j. (62) j=1 86 / 152

87 Przykład 6. Wyznaczyć wartość przyszłą 100 zł po 1 roku i 8 miesiącach, jeśli przez przez pierwsze 8 miesięcy była kapitalizacja miesięczna i stopa nominalna 7%, przez następne pół roku była kapitalizacja kwartalna i stopa nominalna 8% a następnie kapitalizacja półroczna i stopa nominalna 6%. Rozwiązanie: n = , n 1 = 8 12, n 2 = 1 2, n 3 = 1 2, r 1 = 0, 07, r 2 = 0, 08, r 3 = 0, 06, k 1 = 12, k 2 = 4, k 3 = 2, ( F = ( = = 112, 265 ) 0, ( , ) 8 ( 1 + 0, , 08 4 ) ( 1 + ) 2 ( 1 + 0, , 06 2 ) 1 ) Matematyka bankowa 87 / 152

88 z ciągłą kapitalizacją odsetek Załóżmy teraz, że czas n składa się z m okresów o długości odpowiednio n 1, n 2,..., n m, n = n 1 + n n m, takich że w okresie j-tym dana jest stopa roczna r c,j, j = 1, 2,..., m. Po pierwszym okresie F n1 = P e n 1r c,1, Matematyka bankowa po drugim okresie po n m -tym okresie F n2 = F n1 e n 2r c,2, F nm = F nm 1 e nmrc,m. 88 / 152

89 Zatem F n = P e n 1r c,1 e n 2r c,2... e nmrc,m = P e n 1r c,1 +n 2 r c, n mr c,m, czyli m F = P e j=1 n jr c,j, (63) zaś n-letni czynnik akumulacji m a(n) = e j=1 n jr c,j. (64) 89 / 152

90 STOPA PRZECIĘTNA 90 / 152

91 Przeciętną roczną stopą procentową w czasie n nazywamy roczną stopę procentową, przy której wartość wartość n-letniego czynnika akumulacji jest taka sama jak wartość n-letniego czynnika akumulacji przy zmiennych stopach procentowych w czasie n. Roczną przeciętną stopę procentową będziemy oznaczać przez r prz. pozwala pozwala na ewentualne porównanie warunków przy zmiennych stopach procentowych 91 / 152

92 W myśl powyższej definicji w modelu prostego korzystając ze wzoru (56) otrzymujemy tj. m 1 + nr prz = 1 + n j r j, j=1 r prz = 1 m n j r j. (65) n j=1 Zauważmy, że gdy czas n jest podzielony na m równej długości okresów, to powyższy wzór przyjmie postać r prz = 1 m r j. m j=1 Matematyka bankowa 92 / 152

93 Przejdziemy teraz do wyznaczenia rocznej przeciętnej stopy procentowej r prz w modelu składanego z podokresową kapitalizacją odsetek. Załóżmy, że czas składa się z n lat, n N, i w roku j-tym dana jest stopa efektywna r ef,j, gdzie j = 1, 2,..., n. Ponieważ roczny czynnik akumulacji ze stopą roczną jest postaci 1 + r prz, to w myśl wzoru (58), po n latach otrzymujemy zależność Zatem n (1 + r prz ) n = (1 + r ef,j ). j=1 [ n r prz = (1 + r ef,j )] 1 n 1 (66) j=1 93 / 152

94 Załóżmy teraz, że czas n składa się z m okresów o długości odpowiednio n 1, n 2,..., n m, n = n 1 + n n m, takich że w okresie j-tym dana jest stopa efektywna r ef,j, j = 1, 2,..., m. Wówczas na mocy (60) dostaniemy czyli po przekształceniach m (1 + r prz ) n = (1 + r ef,j ) n j, j=1 [ m ] 1 r prz = (1 + r ef,j ) n n j 1. (67) j=1 94 / 152

95 W przypadku, gdy czas n lat składa się z m równej długości okresów, czyli n 1 = n 2 =... = n m i w każdym z m okresów mamy stopę podokresową i (j) k, gdzie k = k 1 = k 2 =... = k m, to możemy wyznaczyć przeciętną podokresową stopę procentową czyli (1 + i k,prz ) k = 1 + r prz, i k,prz = (1 + r prz ) 1 k 1. (68) 95 / 152

96 Przykład 7. Obliczyć przeciętną roczną i przecietną miesięczną stopę procentową po czasie 3 lat, jeśli roczna stopa procentowa w pierwszym roku wynosiła 2%, a następnie co roku zwiększała się o 0, 5 punktu procentowego. W celu obliczenia przeciętnej rocznej stopy korzystamy ze wzoru (67). Mamy r prz = (1, 02 1, 025 1, 03) , 4992%. Stąd, stosując wzór (68), gdzie k = 12, obliczymy przeciętną miesięczną stopę procentową: i 12,prz = (1, ) , 2059% 96 / 152

97 Możemy również pytać o przeciętną stopę podokresową i k,prz o okresie k w przypadku, gdy czas n jest podzielony na m okresów różnej długości i w każdym z tych okresów mamy częstość kapitalizowania odsetek k j, j = 1,..., m, oraz stopę podokresową i (j) k j. Wówczas z (62) m (1 + i k,prz ) nk = (1 + i (j) k j ) n jk j, j=1 więc [ m ] nk i k,prz = (1 + i (j) k j ) n jk j 1 (69) j=1 97 / 152

98 Przykład 8. Obliczyć przeciętną stopę kwartalną, jeśli w pierwszym półroczu obowiązywała stopa nominalna 12% i kapitalizacja kwartalna, zaś w drugim półroczu obowiązywała stopa nominalna 6% i kapitalizacja miesięczna. Roczny czynnik akumulacji wynosi a(1) = (1 + 0, 12) 2 ( , 06) 6 = 1, 0931, 12 W myśl wzoru (69) przeciętna kwartalna stopa wynosi [ ( i 4,prz = 1 + 0, 12) 2 ( , 06) 6 ] = 2, 25% / 152

99 Przejdziemy teraz do wyznaczenia przeciętnej stopy procentowej w modelu kapitalizacji ciągłej po czasie n. Załóżmy, że czas n składa się z m okresów o długości odpowiednio n 1, n 2,..., n m, n = n 1 + n n m, takich że w okresie j-tym dana jest stopa roczna r c,j, j = 1, 2,..., m. Ze wzoru (64) otrzymujemy czyli e nrprz = e m j=1 n jr c,j, r prz = 1 m n j r c,j. (70) n j=1 Widzimy, że stopa przeciętna jest tutaj średnia arytmetyczną stóp zmiennych w czasie 99 / 152

100 DYSKONTOWANIE. DYSKONTO Przypomnijmy, że m kapitału F lub krótko m nazywamy wyznaczanie wartości kapitału początkowego P na podstawie znanej wartości kapitału końcowego F. Kwotę, o którą należy pomniejszyć F, aby otrzymać P, nazywamy się dyskontem. Dyskonto i to pojęcia odgrywające bardzo ważną rolę w wielu obliczeniach finansowych, ale zależnie od kontekstu mogą mieć całkiem inne znaczenie. Wartość dyskonta będziemy oznaczać symbolem D. 100 / 152

101 Poniważ dyskonto jest różnicą pomiędzy wartością końcową i początkową kapitału, tj. D = F P, (71) to porównując ten wzór ze wzorem na odsetki I możemy zauważyc, że spełniona jest równość D = I. Mimo, że dyskonto wynosi tyle co odsetki, to te dwa pojęcia różnią się między sobą sposobem wyliczenia. Otóż, w celu obliczenia dyskonta należy posłużyć się wartościa przyszłą kapitału F, zaś w celu wyznaczenia odsetek należy posłużyć się wartością teraźniejszą kapitału P. 101 / 152

102 W zależności od stosowanego modelu wyróżniamy proste i składane, zaś w zależności od stosowanej stopy wyróżniamy dyskonto rzeczywiste i handlowe 102 / 152

103 Dyskontowanie proste rzeczywiste - wyznaczanie wartości kapitału początkowego na podstawie kapitału końcowego przy ustalonej stopie prostego. 103 / 152

104 Niech r będzie roczną stopą prostego i niech n Q będzie czasem liczonym w latach. Ponieważ P = F to dyskonto D jest dane wzorem D = F P = F F nr, (72) nr = F nr 1 + nr. (73) Liczbę a 1 (n) = 1 1+nr występującą we wzorze (72) nazywamy n-letnim współczynnikiem dyskontującym w modelu prostego. Oczywiście spełnione jest a 1 (n) a(n) = 1. Zauważmy, że jest on odwrotnością n-letniego współczynnika akumulacji w tym modelu. Matematyka bankowa 104 / 152

105 Dyskontowanie proste handlowe - wyznaczanie wartości kapitału początkowego na podstawie kapitału końcowego przy ustalonej stopie dyskontowej w modelu prostego. Dyskontem handlowym D h nazywamy opłatę za udzieloną pożyczkę uiszczoną w chwili otrzymania tej pożyczki, lub inaczej, odsetkami płatnymi z góry, procentem płatnym z góry. Pożyczkobiorca w chwili otrzymania pożyczki otrzymuje kwotę pożyczki F pomniejszoną o odsetki, które są traktowane jako zapłata za pożyczkę i potrącane z góry. Opłata ta wyznaczana jest według tzw. rocznej stopy dyskontowej d za czas n wyrażony w latach. Zatem D h = F dn. 105 / 152

106 Kwota, którą pożyczkodawca otrzymuje oznaczamy przez P, czyli P = F F dn, P = F (1 dn). (74) Oczywiście dyskonto handlowe jako opłata za pożyczkę ma sens, gdy nie przekracza kwoty pożyczki D h < F. 106 / 152

107 ZASADA RÓWNOWAŻNOŚCI STÓP PROCENTOWEJ I DYSKONTOWEJ Powiemy, że roczna stopa dyskontowa d i roczna stopa procentowa r są równoważne w czasie n, jeśli dyskonto handlowe oraz odsetki obliczone przy tych stopach są równe D h = I, stąd Stosując (74) otrzymujemy F dn = P rn. P d 1 dn = P r. 107 / 152

108 Z powyższego dostajemy: -) postać stopy r różwnoważnej stopie d r = -) postać stopy d różwnoważnej stopie r d = d 1 dn, (75) r 1 + rn, (76) -) czas po jakim stopy d i r są równoważne n = 1 d 1 r. 108 / 152

109 Zasada równoważności stóp procentowej i dyskontowej ma zastosowanie w praktyce bankowej. Otóż pozwala ona na zamianę pożyczki z odsetkami płatnymi z góry na pożyczkę z odsetami płatnymi z dołu i na odwrót. W pierwszym przypadku skorzystamy ze wzoru 75 a w drugim ze wzoru 76. Zasada ta ma również zastosowanie przy wyznaczeniu rentowności niektórych papierów wartościowych np. bonów skarbowych. 109 / 152

110 Weksel jest to dokument zobowiązujący do zapłaty określonej kwoty w ustalonym terminie w przyszłości. Kwotę tę nazywamy wartością nominalną weksla i ozn. F, W nom. Termin, w którym weksel ma być spłacony, nazywamy jego terminem wykupu (spłaty). Wartość weksla obliczoną na podstawie jego wartości nominalnej przy ustalonej stopie dyskontowej d na określony dzień poprzedzający termin jego wykupu nazywamy wartością aktualną (handlową) weksla i ozn. P, W akt. Czas pomiędzy wartością aktualną a nominalną weksla jest liczony w latach według reguły bankowej (zgodnie z regułą bankową czas w latach oblicza się jako iloraz dokładnej liczby dni i długości roku bankowego, czyli 360 dni). W rachunku weksli stoswane jest dyskonto proste handlowe. W związku z tym, jeśli l oznacza ilość dni zawartych pomiędzy terminem wykupu a terminem wystawienia weksla, to dyskonto handlowe wynosi D h = F d l / 152 Matematyka bankowa

111 Posiadacz weksla (wierzyciel), nie chcąc czekać na zwrot należności od wystawcy weksla (dłużnika) aż do terminu wykupu weksla, może go zamienić na gotówkę w banku (jeżeli ten wyrazi zgodę). Operację taką nazywamy bankowym dyskontem (zm) weksla. Bank, który weksel zdyskontował może przedstawić go do dyskonta w banku centralnym i tę operację nazywa się redyskontem (rem) weksla. 111 / 152

112 ZASADA RÓWNOWAŻNOŚCI WEKSLI Powiemy, że dwa weksle o wartościach nominalnych F (1) i F (2) i terminie wykupu n (1) i n (2) są równoważne w ustalonym dniu poprzedzającym ich wykup, jeśli wartości aktualne obu weksli w tym dniu przy stopie d są równe. W myśl tej zasady mamy F (1) (1 dn (1) ) = F (2) (1 dn (2) ), gdzie n (i) oznacza czas od terminu aktualizacji do terminu wykupu weksla o wartości nominalnej F (i), i = 1, / 152

113 Ponieważ warunek równoważności jest zależny od dnia na który następuje aktualizacja obu weksli, to nie zachowuje się on na inny dzień. Pojęcie równoważności weksli wykorzystuje się przy operacji odnowienia weksla, która oznacza zamianę istniejącego weksla na weksel równoważny o innym terminie wykupu. 113 / 152

114 Bon skarbowy (treasury security), to krótkoterminowy papier dłużny emitowany przez Ministerstwo Finansów za pośrednictwem NBP. Bon skarbowy potwierdza jego posiadaczowi (nabywcy) zobowiązanie emitenta, czyli Skarbu Państwa, z tytułu zaciągniętej pożyczki. Bony skarbowe są, podobnie jak weksle papierami sprzedawanymi z dyskontem. Wynagrodzeniem nabywców bonów jest różnica pomiędzy wartością nominalną F, W nom a ceną zakupu bonu P, inaczej wartością bieżącą, rynkową bonu, czyli dyskonto. 114 / 152

115 Dyskonto wyliczamy ze wzoru D h = F dn, n-czas wyrażony w latach według reguły bankowej. Koszt poniesiony przez emitenta dany jest roczną stopą dyskontową d d = D h F n. Dochód nabywcy dany jest roczną stopą procentową zwaną stopą zwrotu (rentowności), która jest równoważna stopie dyskontowej. Wyznaczymy ją ze wzoru (75) lub równoważnie r = D h P n. 115 / 152

116 DYSKONTOWANIE SKŁADANE Dyskontowanie składane rzeczywiste - wyznaczanie wartości kapitału początkowego na podstawie kapitału końcowego przy ustalonej stopie składanego. 116 / 152

117 Niech n Q będzie czasem liczonym w latach. Ponieważ P = F to dyskonto D jest dane wzorem D = F P = F F 1 (1 + r ef ) n, (77) 1 (1 + r ef ) n, stąd ( ) 1 D = F 1 (1 + r ef ) n. (78) 117 / 152

118 Liczbę a 1 1 (n) = (1+r ef ) nazywamy n-letnim n współczynnikiem dyskontującym w modelu składanego. Oczywiście spełnione jest a 1 (n) a(n) = 1. Zauważmy, że jest on odwrotnością n-letniego współczynnika akumulacji w tym modelu. 118 / 152

119 Wartość a 1 (1) = 1 1+r ef, czyli roczny czynnik dyskontujący, definiuje kapitał dla którego wartość przyszła po 1 roku przy stopie rocznej r ef wyniesie 1 jednostkę. 119 / 152

120 Dyskontowanie składane handlowe - wyznaczanie wartości kapitału początkowego na podstawie kapitału końcowego przy ustalonej stopie dyskontowej w modelu składanego. 120 / 152

121 Niech d będzie roczną stopą dyskontową. Ponieważ jest to wyznaczanie wartości wcześniejszej mając wartość późniejszą w taki sposób, że od wartości późniejszej odejmujemy dyskonto wyliczone według stopy dyskontowej d, to dla ustalonego n mamy Następnie F n = F n+1 F n+1 d = F n+1 (1 d). F n 1 = F n F n d = F n (1 d). 121 / 152

122 W końcu F 0 = F 1 F 1 d = F 1 (1 d). (79) 122 / 152

123 Zatem F 0 = F 1 (1 d) = F 2 (1 d)(1 d) =... = F n+1 (1 d)... (1 d). Wzór P = F (1 d) n definiuje wartość kapitału początkowego za pomocą kapitału końcowego i stopy dyskontowej d. 123 / 152

124 ZASADA RÓWNOWAŻNOŚCI STÓP PROCENTOWEJ I DYSKONTOWEJ Ze wzoru (79) możemy wyznaczyć postać stopy dyskontowej w pierwszym roku inwestycji d 1 = F 1 F 0 F 1 = I 1 F 1, Widzimy, że jest to stosunek odsetek do wartości przyszłej kapitału po pierwszym roku. 124 / 152

125 Uogólniając to spostrzeżenie możemy wyznaczyć stopę dyskontową w każdym roku inwestycji: Stąd d n = F n F n 1 F n = I n F n, n = 1, 2,.... d n = F n 1 r ef F n 1 (1 + ref) = r ef 1 + r ef, n = 1, 2,..., co dowodzi, że w modelu dyskontowania składanego stopa dyskontowa jest stała, gdy stopa procentowa jest stała 125 / 152

126 oraz stopa dyskontowa i procentowa (efektywna) są równoważne, gdy d = r ef, 1 + r ef lub Istotnie r ef r ef = d 1 d. r ef F n d = F n = F n 1 (1 + r ef ) = F n 1 r ef. 1 + r ef 1 + r ef 126 / 152

127 STOPA DYSKONTOWA A CZYNNIK DYSKONTOWANIA KAPITAŁU Ponieważ a 1 (1) = 1 1+r ef oraz d = r ef 1+r ef, to możemy zauważyć, że d = r ef a 1 (1), czyli stopa dyskontowa d jest wartością początkową dla stopy procentowej w czasie 1 roku, czyli zdyskontowaną wartością r ef. 127 / 152

128 Ponadto d = r ef = 1 + r ef 1 = 1 a 1 (1), 1 + r ef 1 + r ef 1 + r ef czyli Stąd a 1 (1) = 1 d. a 1 (n) = (1 d) n. 128 / 152

129 . Stopa inflacji W dotychczasowych rozważaniach dotyczących zmian wartości pieniądza w czasie nie uwzględnialiśmy procesu ekonomicznego polegającego na zwiększeniu ilości pieniądza w obiegu w stopniu silniejszym od wzrostu ilości towarów na rynku, przejawiającego się we wzroście cen towarów i usług w tym czasie. Wzrost ten nazywamy inflacją, od łacińskiego słowa inflatio-nadęcie. Zjawiskiem odwrotnym do inflacji jest deflacja, która charakteryzuje się spadkiem cen. 129 / 152

130 Za przyczynę inflacji możemy m.in. przyjąć: 1. brak równowagi w budżecie państwa - gdy wydatki przewyższają wpływy, 2. monopolizację gospodarki - monopoliści formują ceny, 3. ingerencję państwa w politykę banku centralnego, 4. nadmierną emisję pieniądza - przez dodatkowy dodruk. 130 / 152

131 Ze względu na charakter inflację dzielimy na: 1. pełzającą (< 5% w skali roku), 2. kroczącą (5 10%), 3. megainflację (10 50%), 4. galopującą (50 100%), 5. hiperinflację (> 100%). 131 / 152

132 Miarą inflacji jest stopa inflacji i inf, która spełnia równanie Fishera i = (1 + i re )(1 + i inf ), (80) gdzie i oznacza nominalną stopę procentową, wyrażającą obserwowaną zmianę wartości kapitału w czasie, zaś i re oznacza realną (rzeczywistą) stopę procentową, wyrażającą realny (rzeczywisty) przyrost wartości kapitału w czasie. Oczywiście stopy te mają ten sam okres. 1 Irving Fisher ( )-amerykański ekonomista, uważany za jednego z największych monetarystów dwudziestego wieku. 132 / 152

133 Realna stopa procentowa występująca we wzorze Fishera nazywana jest realną stopą ex ante, tj. stopą wyrażającą prognozowane zmiany cen (zmiany wartości pieniądza w czasie), stanowi ona istotny czynnik przy podejmowaniu decyzji gopodarczych. Stopa procentowa wyrównywana ze względu na aktualne zmiany cen nazywamy stopą ex post. 133 / 152

134 Wyznaczymy postać rocznej stopy inflacji w przypadku, gdy w ciągu roku zaobserwowano zmiany stóp inflacji więcej niż raz. Korzystając z zasady równoważności stóp procentowych oraz definicji stopy przeciętnej otrzymujemy czyli 1 + i inf = (1 + ī inf,1 )(1 + ī inf,2 )... (1 + ī inf,m ), m i inf = (1 + ī inf,j ) 1, (81) j=1 gdzie: -) okres 1 roku jest podzielony na m jednakowej długości podokresów, -) w każdym j-tym podokresie mamy okresową stopę inflacji ī inf,j, j = 1,..., m. Matematyka bankowa 134 / 152

135 Z powyższego otrzymujemy wzór na przeciętną podokresową stopę inflacji ī inf,prz = (1 + i inf ) 1 m 1. Czynnik 1 + i inf nazywamy okresowym (rocznym) czynnikiem inflacji. 135 / 152

136 Wartość realna kapitału w czasie Uwzględniając inflację realną miarą wzrostu kapitału w czasie jest realna stopa procentowa, która z równania Fishera jest postaci i re = 1 + i 1 + i inf 1 lub i re = i i inf 1 + i inf. 136 / 152

137 Bardzo często w praktyce ekonomicznej realny przyrost kapitału wyraża się za pomocą przybliżonej stopy realnej postaci ī re = i i inf, przy czym im większa jest stopa inflacji tym większy jest błąd przybliżenia. 137 / 152

138 Aby zrozumieć istotę realnego wzrostu kapitału rozważmy sytuację, że bank w danym roku zaoferował kredyt roczny oprocentowany 6% w skali roku, oczekując, że poziom cen w ciągu roku wzrośnie o 2%. Zatem pod koniec roku bank będzie miał zysk z udzielonego kredytu w wysokości i re = 6% 2% 1 + 2% = 3, 92%. Jeżeli zaś poziom cen w ciągu roku wyniesie 8%, to i re = 6% 8% 1 + 8% = 1, 85%, czyli bank zarobi ujemne odsetki. Taka sytuacja byłaby korzystna dla kredytobiorcy a nie dla kredytodawcy. 138 / 152

139 Ogólna zasada brzmi: Kiedy realna stopa jest niska, to istnieją silniejsze bodźce do tego, żeby zaciągać pożyczki i słabsze do tego, aby ich udzielać 2. 2 F. S. Mishkin (przekład A. Mincewicz), Ekonomika pieniądza, bankowości i rynków finansowych, PWN / 152

140 Zmiany wartości kapitału w czasie z uwzględnieniem inflacji Zauważmy, że po ustalonym czasie zauważalna wartość przyszła F nom kapitału P przy stopie o tym zgodnym okresie i wyniesie F nom = P (1 + i), zaś realna przy stopie i re o tym samym okresie F re = P (1 + i re ). Wartości F nom i F re nazywamy odpowiednio nominalną i realną wartością przyszłą kapitału. 140 / 152

141 Ze wzoru Fishera i powyższego otrzymujemy następującą relację pomiędzy tymi wartościami F re = F nom 1 + i inf. (82) Wnioskujemy stąd, że w celu obliczenia wartości realnej kapitału po ustalonym czasie wystarczy wartość nominalną tego kapitału podzielić przez czynnik inflacji. 141 / 152

142 Przekształcając (82) ( F re = F nom 1 i ) inf 1 + i inf otrzymujemy wzór, który pozwala stwierdzić o ile niższa jest wartość realna od wartości nominalnej. (83) 142 / 152

143 Oznaczając i inf d inf = 1 + i inf wzór (83) możemy zapisać następująco F re = F nom (1 d inf ). Stopa d inf mierzy spadek wartości kapitału w ustalonym czasie. 143 / 152

144 Nominalna wartość odsetek wynosi oraz realna ich wartość I nom = F nom P = P i, I re = I nom 1 + i inf. (84) 144 / 152

145 Realny przyrost wartości kapitału P w tym czasie wynosi I r =F re P = F nom 1 + i inf P = F nom P P i inf 1 + i inf = P i P i inf 1 + i inf = P (i i inf ) 1 + i inf = I re P d inf, tj. I r = I re P d inf. (85) 145 / 152

146 Widzimy, że realny przyrost kapitału jest różny od realnej wartości odsetek a dokładniej zachodzi I r < I re. Różnica ta wynika ze spadku wartości początkowej kapitału spowodowanym inflacją. 146 / 152

147 Mając dany kapitał F t, dla t > 0, często zachodzi potrzeba wyznaczenia wartości wcześniej bądź późniejszej tego kapitału. Mówimy wtedy o aktualizacji wartości kapitału na moment wcześniejszy bądź późniejszy. 147 / 152

148 Aktualizowanie wartości F t w modelu prostego na moment t 0, gdy 0 t 0 < t, polega na odjęciu od wartości F t odsetek prostych naliczonych od wartości początkowej przez czas t t 0 przy stopie rocznej r, czyli F t0 = F t P (t t 0 )r, W przypadku, gdy t 0 > t, to aby zaktualizować F t należy odsetki proste za czas t 0 t dodać do kapitału F t. Wówczas F t0 = F t + P (t 0 t)r. 148 / 152

149 Ponieważ to ze wzoru P = F t + P (t 0 t)r = F t P (t t 0 ), Ft 1+tr otrzymujemy F t0 = F t 1 + t 0 r 1 + tr. (86) 149 / 152

150 W modelu oprocetnowania składanego dla 0 t 0 < t należy zastosować zasadę dyskontowania wartości F t na czas t t 0, zaś dla t 0 > t należy zastosować zasadę kapitalizowania wartości F t na czas t 0 t. Zatem 1 F t0 = F t (1 + i k ) k(t t 0) = F 1 t (1 + r ef ) t t, 0 t 0 < t, 0 oraz F t0 = F t (1 + i k ) k(t 0 t) = F t (1 + r ef ) t 0 t, t < t 0, 150 / 152

151 i w konsekwencji F t0 = F t (1 + i k ) k(t 0 t) = F t (1 + r ef ) t 0 t, t > 0, t 0 0, (87) 151 / 152

152 Aktualizacja wartości F t na moment t 0 0 w modelu składanego z ciągłą kapitalizacją odsetek dana jest wzorem F t0 = P e (t 0 t)r, (88) gdzie r jest roczną stopą procentową a momenty t i t 0 są mierzone okresem stopy r. 152 / 152