Wstęp. Proces stochastyczny { X. } jest. stacjonarny, oraz jeśli dla każdego t, proces { } spełnia równanie różnicowe:

Transkrypt

1 UNIWERSYTET ŚLĄSKI WYDIAŁ MATEMATYKI FIYKI CHEMII Ośode dydayczy w Rybu. KIERUNEK: FIYKA SPECJALNOŚĆ: EKONOFIYKA Modelowae szeegów czasowyc za omocą ocesów ARMA ARIMA alace w syseme SAS Sebasa aąc Paca lcecaca wyoaa od euem d Jaca Sys

2 Ss eśc Wsę...4 Pzedsawee oblemu deyfac Rozdzał. Modele ARMA ARIMA Sacoae szeeg ARMA..... Pzyczyowe odwacale ocesy ARMA... Defca.. Pocesu ARMA... Pzyład.. Poces śede ucome MA... Pzyład..3 Poces auoeges AR... 4 Defca..3 Pzyczyowego ocesu ARMA... Defca..4 Pocesu odwacalego ARMA Sacoay oces AR Pewas welomaów z z dla ocesów ARMA a zyczyowość odwacalość sacoaość ocesów ARMA Pocesy śede ucome esończoego zędu MA...3 Defca.5 Pocesu MA Wyzaczae fuc auoowaac dla ocesu ARMA...36 Meoda ewsza...36 Meoda duga...38 Pzyład.6. ozwązae meodą Fuca auooelac cząsowe PACF...43 Defca.7. Fuc auooelac cząsowe PACF...44 Defca.7. Fuc auooelac cząsowe z óby...44 Pzyład.7. Poces AR...45 Pzyład.7. Poces AR...47 Pzyład.7.3 Poces MA Pocesy esacoae ARIMA...49 Defca.8. Pocesu zegowaego...5 Defca.8. Pocesu ARIMA...5 Rozdzał. Esymaca aameów µ oaz ρ Esymaca śede µ Esymaca fuc auoowaac γ. auooelac ρ....54

3 Rozdzał 3. Pedyca model ARMA ARIMA Pzewdywae dla ocesów sacoayc Rówae edyc Rówae dla edyc z edym oem Rówaa dla zewdywaa z oem Meody euecye dla wyzaczaa aleszyc zewdywań...65 Pzewdywae euecye z wyozysaem algoymu Dub a Levso a...66 Pzewdywae euecye z wyozysaem algoymu owacyego Oblczea euecye dla zewdywaa ego ou Pzewdywae euecye dla ocesów ARMA z edym oem Pzewdywae euecye dla ocesów ARMA ego ou Pedyca esacoayc ocesów ARIMA...78 Rozdzał 4. Esymaca aameów model ARMA Esymaca ocesów auoegesyyc AR...8 Rówae Yule a - Wale a...8 Wsęa esymaca ocesu auoeges z wyozysaem algoymu Dub a Levso a...86 Pzyład 4. Poces AR...89 Pzyład 4. Poces AR z wyozysaem algoymu Dub a Levso a Esymaca ocesów śede ucome MA...9 Pzyład 4.3 Poces MA z wyozysaem algoymu owacyego Wsęa esymaca aameów ocesów ARMA Esymaoy meody awęsze waygodośc ameszyc wadaów dla ocesów ARMA Asymoycze własośc esymaoów MNW MNK...3 Pzyład 4.4 Poces AR...4 Pzyład 4.5 Poces MA...5 Pzyład 4.6 Poces ARMA Pzedzały ufośc dla aameów zyczyowyc odwacalyc ocesów ARMA Asymoycza omalość esymaoów aameów...7 Rozdzał 5. Kyea wybou zędu aameów Kyeum FPE Kyeum AICC... aończee.. 5 Uzuełee...6 Uzuełee...7 Uzuełee 3..3 Bblogafa

4 Wsę Nesza aca zawea wowadzee do modelowaa szeegów czasowyc za omocą lowyc model ARIMA. Modelowae dooywae będze z wyozysaem sysemu saysyczego SAS Sascal Aalyss Sysem. Pogam e es bogaym azędzem aalzy e ylo szeegów czasowyc ale óweż badzo óżyc dzedz aalzy saysycze. W ewszym ozdzale omówoo odsawowe defce własośc model sacoayc szeegów ARMA oaz esacoayc szeegów ARIMA. Jes o gua lowyc model służącyc do osu zeczywsyc ocesów socasyczyc. Oazue sę bowem że szeoa lasa sacoayc ocesów może być uwozoa z wyozysaem bałego szumu ao wymuszaące sły oawaące sę w zboze lowyc ówań óżcowyc óe są zwązae z oęcem ocesów ARMA ocesy z auoegesą AR ucomą śedą MA. Cocaż defcę a odam eszcze az o uż ua secyzumy zagadee óego doyczyć będze aca wowadzaąc defcę.8 ocesu ARMA : Poces socasyczy { ± ±...} es ocesem ARMA eśl { } es sacoay oaz eśl dla ażdego oces { } seła ówae óżcowe: gdze { } ~WN σ es bałym szumem a.. są aameam modelu. W acy zedsawoo óweż sosoby wyzaczaa fuc auoowaac auooelac oaz auooelac częścowe waz z zyładam gdyż są oe soe w deyfac daego ocesu. W ozdzałac 4 odao meody esymac aameów µ ρ. Rozdzał oaz.. Rozdzał 4 waz z zedzałam ufośc. W ozdzale 3 zedsawoo główy cel aalzy czyl edycę szeegów czasowyc. Naomas ozdzał 5 zedsawa yea wybou aameów. W uzuełeu odao meodę wyzaczaa esymaoów meodą awęsze waygodośc dla ocesu Gaussowsego oaz wsazao zyładowe esy losowośc esz. Tes Duba-Wasoa waz z zyładem osay es dołade w acy []. 4

5 Nesza aca oea sę zasadczo a obszeym oacowau eo szeegów czasowyc Bocwell a Davs a [] eda lcze zelczea dowodów zyładów zosały wyoae samodzele. Podsawowym celem acy es zedsawee wsółczesego odeśca do oblemu deyfac właścwego modelu ARMA dla zaobsewowaego szeegu czasowego esymac aameów ego modelu oaz edyc. Pzedsawee oblemu deyfac. Nec { } ozacza szeeg soygoway o śedą. Poblemem es zalezee abadze saysfacouącego modelu ARMA eezeuącego { }. Jeśl są zae z góy o ależy sozysać z ec esymac aameów osayc w Rozdzale 4. Jedaże zazwycza e mamy do czyea z aą syuacą węc odsawową sawą es deyfaca odowedc waośc. Na ewszy zu oa mogłoby sę wydawać że m węsze waośc ym lee będze model doasoway. Na zyład eśl doasowalśmy całą sewecę ocesów AR... wedy waość esymaoa σ meody awęsze waygodośc MNW aameu σ będącego waacą bałego szumu w modelu ARMA sada zasadczo w sosób moooczy waz ze wzosem. Jedaże musmy uważać a ebezeczeńswo zefowaa czyl a zby dołade doasowae modelu do oszczególyc obsewac. Say zyade zefowaa zdazyłby sę eśl weloma soa -ego doasuemy do obsewac wygeeowayc z modelu Y a b gdze { } es ezależym cągem sadayzowayc omalyc zmeyc losowyc. W ae syuac doasowae będze deale dla obsewac ozymayc w óbe ale obo somlowae osac modelu użyce go do edyc zyszłyc waośc może być obaczoe dużym błędam. Rozwęo szeeg yeów w szczególośc yeum AIC Aae a yeum FPE óe óbuą zaobegać zefowau zez suecze wyzaczae aładu zwązaego z wyowadzeem ażdego dodaowego aameu. Sawa a es aalogcza do zasąea w zwyłyc modelac eges wsółczya deemac R wsółczyem R ad óy w zecweńswe do R e zawsze wzasa zy dodau owe zmee do modelu. Fa e wya z ówoczesego sadu lczby so swobody dla esz modelu co wąże sę z eweualym sadem śede waac wewązguowe ozaczae zazwycza ao MSE. 5

6 W Rozdzale 5 omówmy oawoą uż a ba sysemayczego błędu fomułę yeum AICC zdefowaą asęuąco dla modelu ARMA z weoowym wsółczyam aameów : AICC l L S / / W. gdze L σ es waygodoścą dayc ób dla dayc osywayc Gaussowsm modelem ARMA z aameam σ a S es sumą wadaów esz zdefowaą w Rozdzale 4. Na odsawe aalzy osae w Rozdzale 5 zedsawmy wybó modelu dla óego waość AICC es mmala. Iucye możemy myśleć że welość / w owyższym ówau W. odae gaczą waość óe zeoczee śwadczy o zefowau. Jeśl uż zadzemy model óy mmalzue waość AICC o asęe musmy sawdzć doboć doasowaa zasadczo ozacza o sawdzee czy eszy o bały szum gaussows. Poblem e e będze omawamy w acy w Uzuełeu odao odsawowe esy losowośc esz. Wowadzee saysy AICC lub aalogcze eduue deyfacę modelu do dobze zdefowaego zadaa. Jedaże szuae modelu óy mmalzue AICC może być w zyadu bau aegoś omysłu a lasę badayc model badzo czasocłoe. Dlaego ależy użyć ozmayc ec óe omagaą zyśeszyć oces wybou modelu. Naważeszym azędzam używaym do wsazywaa waośc są fuca auooelac ACF częścowa fuca auooelac PACF w óbe Uzuełea oaz Rozdzał a w zyadu aameów modelu wsęe esymaoy m m m K aameów óe omówoo w Rozdzale 4. Meody esymac osae w ym ozdzale umożlwą am zalezee dla zadayc waośc właścwego modelu ARMA óy dobze doasue sę do ozymae se dayc. Aby ocedua a mała zasosowae mus seć co ame uzasadoe zyuszczee że dae są faycze ealzacą ocesu ARMA szczególe że są oe ealzacą ocesu sacoaego. Jeśl dae wyazuą własośc sugeuące esacoaość. ed sezoowość wedy może być oecze zobee asfomac a aby ozymać o c zasosowau owy szeeg óy es badze omaybly z założeam sacoaośc. Odcylee od sacoaośc może być sugeowae zez wyes szeegu czasowego lub fucę auooelac. 6

7 Budowa wyesu szeegu uawa czasam slą zależość zmeośc od ozomu szeegu a w am aze dae owy zosać wew zeszałcoe a by zeduować bądź całem wyelmować ę zależość. Gdy. wdać a wyese lowy wzos amludy zmeośc ocesu { U } waz ze wzosem wedy moża dooać asfomac V lu dzę czemu owy ozymay wyes może e uazywać żadego wzosu zmeośc V [3]. Tasfomaca logaymcza es faycze odoweda zawsze gdy { U } es szeegem óego odcylee sadadowe wzasa lowo ze śedą. Wyaz ogólyc las asfomac moża zaleźć w óżyc ozycac leauowyc. Jedą z ogólyc las asfomac wozą asfomace Box Cox a. Rówae osuące asfomacę f λ Box Cox a ma osać []: λ λ U U λ > f λ U W. lu U > λ Jeda ommo dooaa elmac edu sezoowośc wcąż możlwe es że fuca auooelac w óbe może odowadać ocesow esacoaemu lub awe esacoaemu co es sygałem że być może ależałoby zasosować oceduę óżcowaa osaą w ewszym ozdzale acy Rozdzał Ideyfaca dla czysego ocesu AR MA es ozsąda z bezośedm użycem ACF PACF wsęyc esymaoów m m oaz wsaźa AICC. Jedaże dla ocesów ARMA z obu waoścam óżym od zea ACF PACF es dużo udesza do eeac. Dlaego szuamy bezośedo waośc ac że AICC es blse mmalemu. Poszuwae może zosać zeowadzoe a wele sosobów. zez óbowae wszysc waośc ac że oem d. lub aleaywe osęować wg asęuącyc oów:. Uży MNW dla doasowaa ocesu ARMA lasy... do dayc asęe wybez model z ameszą waoścą AICC. acz z modelu ARMA z mmalym AICC elmuąc ede lub węce wsółczyów euąc sę błędem sadadowym esymowayc wsółczyów masymalzuąc awdoodobeńswo dla ażdego zeduowaego modelu oszacu waość AICC 3. wybez model z ameszym AICC 7

8 Jeżel < o fuca auooelac słada sę z ombac zaącyc fuc wyładczyc /lub susod łumoyc aomas eśl o wysą ocząowyc waośc wsółczya auooelac ρ ρ e odlegaącyc emu ρ... ogólemu scemaow. Fuca auooelac cząsowe ocesu ARMA ozcąga sę w esończoość zy czym dla dużyc odsęów zacowue sę a fuca auooelac cząsowe ocesu śede ucome czyl zależe od zędu śede ucome waośc aameów zeważaą w e człoy yu zaącyc fuc wyładczyc /lub susod łumoyc. Box Jes [4] ooowal doasowae ocesów o coaz wyższyc weloścac aameów aż do momeu edy eszy z a doasowaego ocesu e wyazuą auooelac. Sugeue sę że wysaczy do ego celu doasować model dla óego <3. Poże zedsawoo oces osęowaa. Sowadzee ocesu do szeegu sacoaego asfomace log óżcowae. Ideyfaca aameów ozez fucę ACF PACF 3. Wybó modelu wg yeum AICC model z waoścą mmalą 4. Esymaca aameów. 5. Weyfaca modelu - sawdzee czy eszy są ozładem Gaussowsm. 6. Pedyca szeegu Dagam osęowaa.sawdzee sacoaośc szeegu. Szeeg sacoay Nesacoay szeeg Sowadzee szeegu do sacoaego Tasfomaca log óżcowae szeegu.ocea aameów a odsawe ACF PACF Szeeg sacoay 3. Wybó modelu a odsawe AICC Reszy e Gaussowse 4. Esymaca aameów 5. Weyfaca modelu Reszy Gaussowse 6. Pedyca 8

9 Rozdzał. Modele ARMA ARIMA obsewac { W ozdzale ym zedsawoo ogóle defce ocesów ARMA ARIMA dla osu socasyczyc. Jeśl dae... } badzo waże lasy lowyc model do osu ocesów e wyazuą żadyc oczywsyc odcyleń od sacoaośc maą szybo maleącą fucę auooelac będzemy szual odowedc ocesów ARMA dla zedsawea dayc soygowayc o śedą. O le wau e są sełoe wedy szuamy asfomac dayc óa wygeeue owy szeeg óy będze sełał owyższe wau częso zeszałcee wyścowyc dayc sowadza sę do óżcowaa co sugeue am użyce ogólesze ż ARMA lasy ocesów ARIMA auo egegessve-egaed movg aveage. Kedy dae zosały zeszałcoe ozymalśmy szeeg sacoay edyym oblemem sae sę zalezee saysfacouącego modelu ARMA wyzaczee zdeyfowae. Pzydayc wsazówe w ym wyboze mogą dosaczyć: fuca auooelac częścowe auooelac z óby Rozdzał oaz wsęe esymaoy m m Rozdzał 4. Jedaże aszym aważeszym yeum w wyboze modelu będze AICC zmodyfowaa wesa yeum Aae a AIC Rozdzał 5. Według ego yeum oblczymy esymaoy awęsze waygodośc aameów oaz σ dla odowede dobaego wybeamy doasoway model z ameszym AICC. Jeśl doasoway model es saysfacouący eszy owy zyomać bały szum Gaussows es sawdzaący ę własość osay es w [] w uzuełeac wymeoo la esów owy być zeowadzoe dla mmalego modelu AICC z. aego dla óego yeum AICC ma ameszą waość a żeby meć ewość że eszy są zgode z c oczewaym zacowaem w ym modelu. Jeśl eszy w mmalym modelu AICC e są zgode z bałym szumem Gaussowsm wedy owe zosać sawdzoy y model w óym yeum AICC es blse mmum aż do momeu zalezea aego modelu óy zecodz esy doboc doasowaa. 9

10 W eóyc zyadac mała óżca w waośc AICC umowe me ż mędzy dwoma zadowalaącym modelam może zosać zgoowaa dla osoy modelu. W óźesze częśc acy ozważymy edycę ocesów ARIMA Rozdzał 3. Wowadzmy eaz oęce lasy model ARMA dla eezeowaa szeegów czasowyc. Uogóleem e lasy óa włącza szeo zaes esacoayc szeegów es lasa ocesów ARIMA z. ac ocesów óe o sończee welooym óżcowau eduuą sę do ocesów ARMA.. Sacoae ocesy ARMA Nec { } ± ±.... es ocesem sełaącym lowe ówae óżcowe ze sałym wsółczyam. Nazucee wauów sałyc wsółczyów owadz do zdefowaa aameycze odzy sacoayc ocesów zwayc ocesam ARMA. Twedzee. Dla dowole fuc auoowaac γ dla óe lm γ. dla dowolego > moża zaleźć oces ARMA z fucą auoowaac γ óa seła waue γ γ x x asosowae:. z owodu owyższego Twedzea. ocesy ARMA odgywaą luczową olę w modelowau dayc ocodzącyc z szeegów czasowyc. lowa suua ocesów ARMA owadz do ose eo lowe edyc.. Pzyczyowe odwacale ocesy ARMA ałożee: Nec { } ± ±... oaz ec zmee losowe są ezależe maą ae same ozłady ze śedą zeo waacą σ z. { } ~ d σ..4

11 uu wdzea własośc dugego zędu z. gouąc wszyse własośc ozładów łączyc ocesu { możemy wyowadzć z momeów E } za wyąem własośc dugego zędu z. yc óe oaz E s możemy ocesy e deyfować z lasą wszysc sacoayc ocesów maącyc śedą zeo fucą auoowaac : σ γ dla dla.5 Defca.. bałego szumu we ose Poces { } es azyway bałym szumem ze śedą waacą σ co zasuemy: { } ~WN σ.6 wedy ylo wedy gdy { } ma śedą zeo owaacę zadaą wzoem.5. Częso załadamy { }~d σ.7 co ozacza że zmee maą e sam ozład są ezależe. asosowae: Szeoa lasa sacoayc ocesów może być uwozoa z wyozysaem bałego szumu ao wymuszaące sły oawaące sę w zboze lowyc ówań óżcowyc óe są zwązae z oęcem ocesów ARMA ocesy z auoegesą AR ucomą śedą MA. Defca.. ocesu ARMA ± ±...} es ocesem ARMA eśl { } es sacoay oaz eśl dla { ażdego oces { gdze { } ~WN σ. Mówmy że oces { es ocesem ARMA. } seła ówae óżcowe: } es ocesem ARMA ze śedą µ eśl { µ}.9

12 Rówae.8 zasuemy : gdze: B B ± ±. z z z... z. es welomaem soa z z z... z. es welomaem soa aomas B es oeaoem cofęca: B gdze ± ±..3 B B B K Weloma azywamy welomaem auoeges a weloma azywamy welomaem śede ucome ówaa óżcowego.. W zyadu eśl w modelu e wysęuą elemey zwązae ze śedą ucomą... model sowadza sę do modelu auoegesyego AR. Pocesy dla óyc... są zw. ocesam z ucomą śedą zędu MA. Pocesy ARMA służą ao lasa ocesów oówawczyc dla esowaa sacoayc szeegów czasowyc. c omocą moża suecze esymować dużą lasę sacoayc ocesów a węc osągąć óweż osaeczy cel aalzy am es edyca owyc obsewac. Pzyład.. Poces śede ucome MA ałożee: z wedy ówae. dae: B.4 oces azywamy ocesem z ucomą śedą zędu MA czyl a w óym ylo ocząowe wag es óże od zea. Rówae.4 moża ozsać asęuąco:... gdze { } ~WN aomas... są aameam modelu a - weloścą oóźea. σ.4

13 Rówae óżcowe. sowadza sę do.4 węc.4 es wedy edyym ozwązaem ówaa.. Należy zwócć uwagę że azwa śeda ucoma es eco myląca gdyż wag... e muszą sę sumować do edośc a e muszą być dodae. Poces MA es zawsze sacoay ezależe od waośc aameów. Isoe: gdze E E B E E.5 σ cov E E E gdze sozysao z fau że dla >. Dowód wymaga edye sozysaa z.4.5. >.6 Pzyład... Rozważmy oces MA 3 7 gdze ~ WN. Waośc bałego szumu wygeeowao dla cwl z ozładu omalego N wyozysuąc geeao lczb losowyc zaduący sę w ogame SAS w module Aalys- >Daa->Radom Vaaes. Poże zameszczoo wyes ozymae ealzac szeegu czasowego oaz odowadaący mu wyes zw. auooelogamu. Wyes. obsewac ocesu 3 7 gdze ~ WN 3

14 Wyes. Fuca Auooelac ACF ocesu 3 7 gdze ~ WN. Ozymay szał auooelogamu ma cecy óe wsazuą a ego ocodzee z ocesu MA z. esoość waośc fuc ACF dla >. Poblem e zosae omówoy w óźe zy omawau Fuc ACF dla ocesów MA. Pzyład..3 Poces AR. ałożee: z. Wedy z. ozymuemy: B.7 oces azywamy ocesem auoeges zędu AR. Gdy wedy: z.8 z z. zaem: B.9 B B.. 4.

15 5 asosuemy oceduę eacyą do. z wyozysaem: K.3 Jeśl oces { } es sacoay węc: E wedy E.4 es sałe. Jeśl < wedy lm.5 z.3 ozymuemy:..6 Sawdźmy czy sumy częścowe szeegu.7 wozą cąg Caucy ego. Suma częścowa dla ego szeegu ma osać S.8 Nec m : ' ' ' m m S S m m E m m m m δ δ δ δ m m m m

16 Gdy < wedy szeeg.3 es szeegem geomeyczym z ewszym wyazem zbeżym.3 zaem dla m z.9 ozymuemy : S.3 S m m co ozacza że zgode z yeum Caucy ego szeeg.7 wozy cąg Caucy ego. Naomas fa że cąg {S } es cągem Caucy ego ozacza że ze względu a zuełość zesze Hlbea L S L aa że S Uzuełee óe elemeam są S see zmea losowa S.33 m m. s. gdze m.s. ozacza zbeżość śedo wadaową z. S m S E S m S gdy m..34 gode z Uzuełeem swedzamy że oeważ szeeg S wozy cąg Caucy ego zaem z.6.34 wemy że see zmea losowa S a dołade P S.35 a maowce: do óe es zbeży szeeg.36 bezwzględe z awdoodobeńswem ówym. S w zaczeu zbeżośc śedo wadaowe zbeżośc Rówość dwóc zmeyc S z awdoodobeńswem ówym ede z. P S ozacza że ω ω dla wszysc ω E.37 gdze E es odzboem zdazeń zesze Ω óe zacodzą z awdoodobeńswem ówym zeo Uzuełee. 6

17 7 Poces { } oeśloy ówaem.36 es sacoay słabo Uzuełee. Isoe: E E E.38 E E E ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' lm lm cov lm cov σ δ σ ' ' lm lm σ σ σ.39 gdze sozysalśmy z fau że < wya wec że oces.36 es z doładoścą do momeów dugego zędu ocesem sacoaym: a E e zależy od.4a b cov σ e zależy od.4b Poado oces oeśloy zgode z.36 ao es edyym ozwązaem ówaa óżcowego.b co wya z oceduy óa doowadzła do ego ozymaa. Gdyby > wedy szeeg o awe soe.36 e es zbeży w L z. e zbega sę wedy do zmee losowe oeśloe zależoścą.3 lub.. Jeda możemy zeszałcć. z. do osac:.4 co moża zasać asęuąco:.4 Rozwążmy.4 euecye wyozysuąc d. aem: K.4

18 zaem:..4 Poeważ eaz > zaem dla sacoaego ocesu { } E mamy że E < es sałe odobe a ozedo w zależośc.6 ozymuemy:.43 oaz a ozedo z. dla <.36 a eaz dla > szeeg.44 es edyym sacoaym ozwązaem ówaa. zy >. Sacoae ozwązae.44 es ozwązaem z wyzedzeem z. zmea es soelowaa ze zmeym { s s> }. w.44 Na ogół w fzyce eseśmy zaeesowa ozwązaam z oóźeem. aem modeluąc sacoae szeeg czasowe yu AR ogaczymy sę a ogół do zyadu z < dla óyc ma osać.36 soelowaa ze zmeym { s } s z. ze zmeym w cwl ozedc. Pocesy z oóźeam azywamy óweż ocesam auoeges ezależym od zyszłośc lub ocesam zyczyowym. Moża óweż oazać że: Twedzee. Jeśl { ± ±...} es sacoaym ozwązaem z wyzedzeem z. e zyczyowym ówań AR : > { } ~WN σ.45 wedy { } seła óweż zyczyowe ówaa AR : ~ { ~ } ~WN ~σ.46 gdze a { ~ } odowedo dobaym bałym szumem. < aem możemy omąć w ozważaac ocesy AR z >. 8

19 Uwaga: Moża óweż oazać że e ma sacoaego ozwązaa ówań óżcowyc { aem e ma oęca AR z. } ~WN σ dla óyc. Pzyład..4. Poższy wyes zedsawa ealzacę ocesu AR z -.9 z. gdze ~ WN. Waośc szumu { K } wygeeowao.9 geeaoem SAS a. Wyes 3. obsewac ocesu AR.9 gdze ~ WN Pzedsawoo óweż wyesy fuc auoowaac auooelac wyzaczoe z.39 zy waoścac aameu Wyesy e mogą służyć ao wyesy oówawcze dla ocesów zeczywsyc zy c wsęe deyfac. 9

20 Fuca auoowaac Pocesu AR z Fuca auoowaac Wyes 4. Fuca Auoowaac ocesu AR.9 gdze ~ WN Fuca auooelac Pocesu AR z Fuca auooelac Wyes 5. Fuca Auooelac ocesu AR.9 gdze ~ WN

21 Fuca auoowaac Pocesu AR z Fuca auoowaac Wyes 6. Fuca Auoowaac ocesu AR.9 gdze ~ WN Fuca auooelac Pocesu AR z Fuca auooelac Wyes 7. Fuca Auooelac ocesu AR.9 gdze ~ WN

22 Defca..3 Pzyczyowego ocesu ARMA Poces ARMA oeśloy ówaem B B { } ~WN es ocesem zyczyowym lub zyczyową fucą bałego szumu { see cąg sałyc { ψ } σ..47 } wedy gdy ψ <.48 ac że zacodz: ψ ± ± mee ocesu { są ze sobą soelowae zaem zyczyowość es własoścą e yle samego } ale elac omędzy ocesam { } { }. Oeślee. Mówmy że { } es ocesem zyczyowym eśl ozymuemy go z ocesu { } zez zasosowae lowego fla. Defca..4 Pocesu odwacalego Poces ARMA zdefoway ówaem.47 es azyway ocesem odwacalym wedy gdy see cąg sałyc { π } a że π <.5 oaz π ± ± Podobe a dla ocesu zyczyowego odwacalość es własoścą ay ocesów { } { }. Waue wysaczaący oeczy odwacalośc ocesu ARMA es oday dale.

23 .3 Sacoay oces AR Rozważmy oces { czyl oces AR: } óy es ocesem auoeges zędu o waoścac zeczywsyc gdze { } ~WN σ gdze ± ±....5 Wowadzaąc cwlowo sałą ówą dla ocesu AR ze śedą ówą ale oówa.9 oces AR możemy zasać wyozysuąc oeao cofęca B.3 w asęuący sosób: gdze zgode z.: B { } ~WN σ.53 B B B... B.54 es zw. welomaem caaeysyczym omawaego ocesu aomas es ego ówaem caaeysyczym. B.55 Kozysaąc bezośedo z eudo oazać że dla ocesów AR mamy: a óweż że E Va Va ψ σ ψ γ.57a Cov E ψ ψ σ ψψ γ..57b Szeeg czasowy będący ealzacą zedsawoego ocesu caaeyzue sę ym że ego beżąca waość es sumą sończoe ombac lowe ozedc waośc ego szeegu oaz załócea losowego. Nazwa oces auoeges ocodz sąd że wzó.5 moża aować ao lowe ówae eges weloae zmee oóźoyc w czase waośc e zmee. względem 3

24 Moża oazać że: Aby zagwaaować sacoaość ocesu { } wsółczy muszą sełać ewe ogaczea óe moża oeślć badaąc ewas zw. ówaa caaeysyczego dla welomau caaeysyczego z : Oazue sę że zacodz wedzee: z z z K.58 z Twedzee.3 Jeśl wszyse ewas welomau caaeysyczego z leżą oza omeem edosowym z. sełaą zależość z > wedy oces AR zaday ówaem.5 ma edo sacoae słabe ozwązae: ψ ± ± óe zbega sę śedo wadaowo. Rozwązae.59 mlue auomaycze waue: E dla wszysc..6 Uwaga. W ozwązau.59 oawaą sę zmee edye z zeszłośc eaźeszośc zaem oces es zyczyowy. Wdać że.59 dla AR es uogóleem ocesu AR oeśloego ówaem.36 z.: ψ..6 Fa że edye zeszłe eaźesze zmee wcodzą w ozwązae.6 odeślamy mówąc że esończoa ucoma śeda.59 es edo soa a oces zyczyowy. aem oces { } es lowy będąc edosoe ucomą śedą bałego szumu { }. 4

25 Uwaga. W ayce wyozysuąc do modelowaa szeegów czasowyc oces.5 aoyamy a oblem zw. deyfac. Polega o a ym że zaąc szeeg czasowy ogozowae zmee musmy oeślć czy es o ealzacą ocesu auoeges. Jeżel es o ozosae yae aego zędu es o auoegesa. Ideyfaca aczęśce odbywa sę zez oówae własośc eoeyczyc fuc auooelac auooelac cząsowe ocesu z zacowaem sę wsółczyów auooelac auooelac cząsowe oszacowayc a odsawe szeegu czasowego. Uwaga. Poces.5 moża zasać asęuąco: K.5 Możąc owyższe ówae obusoe zez gdze > boąc waośc oczewae dołady acue es oże.-.6 a asęe dzeląc zez waość owaac γ Cov ozymuemy ówae Yula Wale a: gdze ρ es fucą auooelac: ρ ρ ρ K ρ >.6 γ ρ..63 γ Dla K w.6 ozymalśmy lowyc ówań azywayc ówaam Yule Wale a óe ozwalaą oeślć aameów K ocesu AR. Jeda aby mogło o mało mesce ależy wew oszacować auoowaacę ρ ρ K ρ a odsawe dayc z óby co oażemy óźe. Uwaga. Moża óweż oazać [] że ogóle ozwązae uładu ówań Yula Wale a.6 ma osać: ρ β ξ max.64 5

26 gdzeξ są ewasam ówaa caaeysyczego z.58 są ooścam yc ewasów a β są sałym es c.6. < max oówa gode z Twedzeem.3 wemy że.5 ma sacoae ozwązae gdy ewas z ówaa caaeysyczego sełaą zależość z >. Wedy ξ < co ozacza że ρ malee esoecale waz ze wzosem. Uwaga. Fa że szeeg.64 es w zyadu ξ < bezwzględe zbeży ocąga za sobą see gęsośc wdmowe dla ocesu { } []. Poższe dwa wedzea są luczowe dla zozumea sacoaośc ocesów zeszałcoyc będącyc ombacą lową zmeyc. Twedzee.4 Jeśl { } es dowolym cągem zmeyc losowyc ac że: su E <.65 eśl wedy szeeg ψ <.66 ψ B ψ B ψ.67 zbega sę bezwzględe z awdoodobeńswem ówym ede. Jeśl dodaowo su E <.68 wedy szeeg.67 zbega sę śedo wadaowo do e same gacy. 6

27 Twedzee.5 Jeśl { } es sacoaym ocesem z fucą auoowaac γ eśl wedy dla ażdego ψ <.69 szeeg.67 B ψ B ψ.67 ψ zbega sę zaówo bezwzględe z awdoodobeńswem ówym ede a śedo wadaowo do e same gacy. Jeśl Y ψ B.7 wedy oces { Y } es sacoay z fucą auoowaac: γ Y ψ ψ γ..7 Dowód: beżość ψ B wya z Twedzea.4. Naomas eśl σ E E / zaem E E c.7 Jeśl { } es ocesem sacoaym wedy c es sończoe ezależe od. Aby sawdzć sacoaość ocesu { Y } zauważmy Twedzee.4 że z śedo wadaowe zbeżośc szeegu.67 cągłośc loczyu wewęzego wya że:. EY E E E E ψ lm ψ lmψ ψ.73 gdze w ówośc E E }. sozysao ze sacoaośc ocesu { 7

28 8. E E Y Y E ψ ψ ψ ψ lm lm lm E E γ ψ ψ ψ ψ E γ ψ ψ.74 gdze sozysao z fau że: [ ] [ ] γ γ E E E E E Poeważ oces { } es sacoay co ozacza że E [ ] γ są sończoe e zależą od czasu zaem zgode z.73 mamy że Y E es sończoe ezależe od czasu a zgode z.74 sończoe ezależe od czasu es Y Y E. Poces { Y } es węc óweż sacoay. Kozysaąc z fuca auoowaac y γ zymue osać: Y Y E Y E Y Y E γ E E E ψ ψ γ ψ ψ γ ψ ψ zaem Y γ ψ ψ γ.75 c..d.

29 Uwaga. Podsumowae: owyższego wedzea wya że eżel oces { oces ψ B es óweż sacoay. } es sacoay o Ozacza o że oeao ψ B ψ B z ψ < zasosoway do ocesu sacoaego osada algebacze własośc szeegów oęgowyc z. eśl. α z α z α <.76a oaz β z β z β <.76b α z β z ψ z dla z.77 wedy oces ψ z α z β z.78 es óweż sacoay zacodzą własośc: ψ <.79a oaz α B β B β B α B ψ B.79b.4 Pewas welomaów z z dla ocesów ARMA a zyczyowość odwacalość sacoaość ocesów ARMA Twedzee.6 Nec { } będze ocesem ARMA dla óego e maą wsólyc ze. Wedy { } es ocesem zyczyowym Defca. wedy ylo wedy gdy z dla ażdego z C aego że z. Wsółczy { ψ } w.49 w defc ocesu zyczyowego ψ ± ± są wedy oeśloe zależoścą: ψ z ψ z z / z z.8 9

30 Twedzee.7 Wauem wysaczaącym dla sacoaośc słabe ocesu { welomau z leżały oza oęgem edosowym z. z > } es aby ewas. Jeśl dodaowo ewas welomau z leżą oza edosowym omeem o oces { } es odwacaly Defca.3 co ozacza że seą ae { π } że: π ± ± Twedzee.8 Nec { } będze ocesem ARMA dla óego welomay z z e maą wsólyc ze. Wedy oces { } es odwacaly Defca.3 wedy ylo wedy gdy z dla wszysc z C dla óyc z z. zea seą edye oza oęgem edosowym. Wsółczy { π } w.5.8 moża wedy wyzaczyć z elac: z π z z.8 π z z ależość.8 moża wedy zasać asęuąco: B.83 B Podsumowae. W śwele owyższyc ozważań odeślmy że w dalsze częśc acy soceuemy sę wyłącze a zyczyowyc odwacalyc ocesac ARMA. Ja wdzelśmy oazue sę że wowadzoe owyże wau azucae a welomay z z są soe z uu wdzea zyczyowośc odwacalośc ocesu ARMA. Oazue sę że z wyścem oza wau aby welomay z z e mały wsólyc ze aby z oaz z dla wszysc z C dla óyc z oawaą sę oblemy e ylo z baem zyczyowośc lub odwacalośc ocesu ale z baem sacoaośc ocesu []. 3

31 I a. cocaż z z e maą wsólyc ze ale z dla ewego z C dla óego z wedy e ma sacoaego ozwązaa ówaa ARMA B B. duge soy eśl z dla wszysc z C dla óyc z wedy z aalzy zesoloe wya że see omeń > w óym szeeg Laue a.8: ψ z ψ z z / z < z <.8 es bezwzględe zbeży. beżość owyższego szeegu odgywa luczową olę w dowodze oższego wedzea o seu sacoaego ocesu będącego edozaczym ozwązaem ówaa ARMA. Twedzee.9 Jeśl z dla ażdego z C aego że z wedy ówae ARMA B B ma edozacze sacoae ozwązae: gdze wsółczy ψ ± ± ψ są oeśloe z ówaa.8..5 Pocesy śede ucome esończoego zędu MA Defca.5 Pocesu MA Jeśl { } ~WN σ wedy mówmy że { } es ocesem ze śedą ucomą MA esończoego zędu ocesu { } eśl ylo see cąg { ψ } a że: ψ < ψ ± ± Pzyład.5. Poces MA : B.86a es śedą ucomą z { } gdze ψ K oaz ψ >..86b 3

32 Pzyład.5. Poces AR z < zdefoway zez.7 es śedą ucomą z { } gdze ψ K..87 Pzyład.5.3 gode z Twedzeem.6 zyczyowy oces ARMA B B es śedą ucomą.49 z { } ze wsółczyam sełaącym waue ψ z z / z gdze z..8 Uwaga. W Defc.4 ocesu MA z { } wymaga sę aby mamy ogaczee do es zyczyowy. wyażało sę ozez s gdze s. Dlaego w zyładze.5.3 założylśmy że oces ARMA Jedaże awe dla e zyczyowego ocesu ARMA moża zaleźć cąg bałego szumu { } a że { } seła zyczyowe odwacale ówae ARMA es zaem * śedą ucomą z { } []. * Twedzee. Nec { } będze ocesem ARMA sełaącym ówae: B B { } ~WN gdze z z dla wszysc z C ac że z. σ.88 ~ ~ Iseą wedy welomay z z ezeowe dla z odowedo soa oaz oces bałego szumu { } a że oces { } seła zyczyowe odwacale ówaa: ~ * ~ * B B..89 Dowód []. Moża óweż oazać że: ~ a z z z z z < a z ~ b z.9 s< b z gdze a... a b... b s są zeam welomaów z z óe leżą wewąz omea edosowego. 3

33 Podsumowae. Należy zwócć uwagę że duża lasa sacoayc ocesów ma eezeacę MA. Twedzee. Jeśl { } es sacoaym ocesem z fucą auoowaac γ aą że γ dla > γ.9 wedy { } es ocesem MA z. że see oces bałego szumu { } a że: K.9 Dowód owyższego ważego z uu wdzea deyfac ocesów wedzea zadue sę w [] a s. 9. Duge ogólesze wedzee soe z ego samego owodu zadue sę oże. Twedzee. Jeśl { { } ma ę samą fucę auoowaac co ewe oces ARMA { Y } wedy } es óweż ocesem ARMA. Iacze mówąc see bały szum { } oaz wsółczy K K ae że : Dowód dla zyadu gdy { oższy scema []: Jeśl { W } gdze } { Y } są dwoma ocesam ze śedą zeo oea sę o K są wsółczyam AR dla ocesu { Y } wedy moża oazać że oces W K.94 ma fucę auoowaac ówą zeo dla lag >. W e syuac zgode z Twedzeem. oces { W } es ocesem MA z.: W K

34 Kozysaąc z owyższego ozumowaa mamy z.94.95: W K K.96 co ozacza że { } es ocesem ARMA. c..d Poże odae zosae wedzee soe dla wyzaczaa fuc auoowaac dla ocesu óy może być zasay w osac śede ucome MA z { }. Twedzea.5 zależośc.7 wya że: Twedzee.3 Poces MA Defca.4: ψ ± ±... gdze ψ <.84 es sacoay ze śedą ówą zeo fucą auoowaac: Dowód: γ σ ψ ψ..97 zależośc.7 w Twedzeu.5 mamy że eśl { } es sacoaym ocesem z fucą auoowaac γ eśl ψ < wedy dla ażdego oces { } oówa.67: ψ.98 es sacoay z fucą auoowaac: γ ψ ψ γ..7 Naomas z osac szeegu.84: ψ ± ± wya że: ψ dla

35 Poeważ oces { } wysęuący o awe soe.84 es bałym szumem zaem zgode z.5 : σ dla γ. dla zaem: γ σ δ dla { } ~WN σ. zgode z.7 ozymuemy że: γ ψ ψ γ ψ σ δ σ ψ ψ ψ. co dla dowolego moża osaecze zasać ao: γ σ ψ ψ. Śeda ocesu.84 es oczywśce ówa zeo aomas ego sacoaość wya wos z Twedzea.5. Uwaga! c..d. auważmy że owyższe Twedzee.3 azem z Pzyładem.5.3 w óym swedzoo że zyczyowy oces ARMA es ocesem MA całowce oeśla fucę auoowaac dowolego zyczyowego ocesu ARMA. Uwaga. Poęce ocesu AR wowadzoe wcześe óweż moża ozszezyć do zyadu gdy dąży do esończoośc. W szczególośc zauważmy że z Twedzea.8 zależośc.8.8 wya że ażdy odwacaly oces ARMA seła ówae: ψ ± ±....3 óy ma ę samą osać co oces AR.5 z. Ozacza o że zyczyowy oces ARMA es ocesem AR. 35

36 Ja uż wsomalśmy we wsęe waośc aameów ocesu moża wywosować a odsawe aalzy zacowań dwóc fuc: fuc auooelac ocesu ACF auocoelao fuco fuc auooelac cząsowe PACF Paal Auocoelao Fuco. Dlaego eż obece oszemy e dwe fucę oaz odamy wedzea oaz meody c wyzaczaa z zyładam. Esymacą Fuc ACF PACF zamemy sę w ozdzale. Meoda Boxa - Jesa [5] [6] oea sę a obsewac szałów fuc ACF PACF óe zależą od aameów zyłady omówmy óźe..6 Wyzaczae fuc auoowaac dla ocesu ARMA. Jes o zasadczy u a dodze oawego wybou ocesu ARMA. Jes a bowem doba zaomość szału eoeyczyc fuc auooelac częścowe auooelac uważe oówae z m szałów emyczyc auooelogamów ozwala a w maę ecyzye cocaż cągle wsęe oeślee właścwego zędu ocesu ARMA leżącego być może u odsaw obsewac. Obece odamy meody wyzaczaa fuc auoowaac. Meoda ewsza Ja wemy z.97 oówa Twedzee.3 Pzyład.5.3 z óyc wya że zyczyowy oces ARMA es ocesem MA fuca auoowaac γ zyczyowego ocesu ARMA daa es wzoem: γ σ ψ ψ.97 gdze ψ z ψ z z / z dla z.8 z z z... z.6a z z z... z.6b 36

37 37 Defuąc: dla > dla >.7 zasuąc.8 w osac z z z ψ ozymuemy : z z z z z z ψ ψ ψ K K K K.8 sąd: z z z ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ K K > gdy z z z z z gdy z z z z z K K K K.9 Poówuąc w.9 wsółczy zy z amęaąc że dla > dla > ozymuemy : ψ. a dla max lub max < :. ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ K M. a dla max > :.3 ψ ψ ψ ψ K..4 ależośc. do.4 moża zasać asęuąco: ψ.5 ψ ψ < max.6 < ψ ψ max.7 zy czym ogaczee w osae sume wya z dla >. Wau.5.6 są wauam bzegowym a ψ dla max a ówaa.7 ówaam swobodym.

38 Reuecye ozwązae.5.6 dae ψ ψ.8 ψ ψ ψ ψ...d... Naomas ogóle ozwązae ówań.7 ma osać []: gdze ξ ψ α ξ > max.9 K są óżym zeam welomau z a es weloooścą yc ewasów a że sełoy es waue:. gdze es soem welomau z. Lczba sałyc α oaz wsółczyów ψ gdze max es wedy edozacze oeśloa zez max wauów bzegowyc.5-6. Ozacza o że cąg waośc { ψ } moża wyzaczyć edozacze a sąd a odsawe.97 moża wyzaczyć fucę auoowaac γ. Meoda duga Obece odamy aleaywą meodę wyzaczaa fuc auoowaac zyczyowego ocesu ARMA daego ówaem: B B.. Oaa es oa a zalezeu óżcowyc ówań dla γ z ówaa. o zemożeu ażde soy ego ówaa zez wzęcu waośc oczewayc: E K óe ozymue sę { } E{ K } K a asęe.. 38

39 39 ole sozysamy z zedsawea.85 ocesu ARMA ao: ψ sąd ψ Po awe soe ówaa. ozymuemy: E E ' ' ' ψ ψ K { } K ' ' ' E ψ ozysaąc z fau że: { } E ' ' δ σ ozymuemy : ' ' ' ' ' ' ψ σ ψ σ δ σ ψ K.. Naomas z lewe soy ówaa. ozymuemy : E E E γ γ.3 gdze. Osaecze z..3 ozymuemy o odsaweu do.: ψ σ γ γ γ K dla max.4 Naomas dla max > ozymuemy ze względu a.7: γ γ γ K.5 Ogóle ozwązae ówaa.5 ma osać []: ξ β γ dla max.6 gdze waośc β oaz owaace są edozacze wyzaczoe z wauów bzegowyc.4 o ym a z ówań.8 wyzaczoo ψ ψ ψ K. Naomas ξ K są mescam zeowym z a a ozedo w zależoścac.9-.

40 Pzyład.6.: Wyzaczyć waość ψ oaz γ dla ocesu { } ARMA sełaącego ówae: Meoda ewsza: gdze { 3 B 9 B B } ~WN σ.7 Poces e moża zasać w osac:..7 3 Kozysaąc z.8 ozymuemy zy aameac modelu 3 : 9 ψ 9 5 ψ ψ Poeważ ξ 3.9 es odwóym ewasem ówaa caaeysyczego: 3 9 z z z.3 sąd ogóle ozwązae.9 es osac: ψ α α 3.3 gdze ozysaąc z wyażeń z.8 ozymuemy: α α 4..3 Podsawaąc ozymae wy do.3 ozymuemy: ψ Wcześe.97 oazalśmy że: Poeważ w.33 mamy: γ σ ψ ψ.97 ψ 4 3 ψ zaem z.97 ozymuemy dla : γ σ ψ ψ σ σ σ σ σ σ K 4

41 oblczaąc oszczególe sumy: ozymuemy: K σ σ aem osaecze fuca auoowaac badaego ocesu.7 ma osać: 8 7 γ σ Meoda duga: Mamy oces day ówaem.7 :. 3 9 Po zemożeu ażde soy ego ówaa zez oczewayc ozymuemy zgode z.4: asęe wzęcu waośc γ γ γ σ ψ meody ewsze ozymalśmy wsółczy.8: ψ ψ ówaa.35 dla waośc ozymuemy: γ γ γ σ aomas dla ozymuemy: a γ γ γ σ b Kozysaąc z.9-3 wemy że odwóy ewase z wyos ξ 3. aem ogóle ozwązae fuc γ.6 zymue eaz osać: γ β β 3 o odsaweu za ozymuemy:.37 γ β γ β β γ β β

42 Podsawaąc.38 do ay ówań.36 ozymumy uład ówań: β 7β 8σ 8 7β 7β σ.39 Po ego ozwązau ozymuemy że: β β.4 co o odsaweu do ówaa.37 dae: 8 7 γ σ Wy.4 moża oówać z wyem ozymaym z ewsze meody.34. Wy e są deycze. Poższy wyes zedsawa fucę auoowaac aszego ocesu. ARMA Fuca Auoowaac lag 9 Wyes 8. Fuca auoowaac ocesu 3 4

43 .7 Fuca auooelac cząsowe PACF Podobe a fuca auooelac óweż fuca auooelac częścowe ese ze sobą fomacę o wewęze suuze zależośc sacoaego ocesu. ocesu. Podobe a ACF óweż PACF zależy edye od własośc dugego zędu dla Częścową auooelacą α dla lag moża wdzeć ao oelacę omędzy a zy oolowaym wływe zmeyc K. Ozacza o że zmea zosała dosooa do zmeyc K. a sue eges ozosałe eszy zmee e wyłumaczoe uż wływem zmeyc K zosały soelowae z odobe wozoym eszam zmee dosooe do zmeyc K. Obece zdefuemy fucę częścowe auooelac PACF Nec { } będze sacoaym ocesem ze śedą zeo fucą auoowaac γ aą że γ gdy oaz załóżmy że K ; K są wsółczyam w: s..4 { K } P Wedy z ówaa edyc Uzuełee : ozymuemy: P < s{ } > K.43 K ρ ρ M ρ ρ ρ M ρ ρ ρ M ρ 3 L L L L ρ ρ ρ ρ K.44 M M M ρ ρ 43

44 Defca.7. Fuca auooelac cząsowe PACF α sacoaego szeegu czasowego es zdefowaa zez: oaz : α Co.45a ρ α Co P P.45b s{ K } s{ K } gdze α azywamy auooelacą cząsową z oóźeem. Rzuowaa dla lub są oeśloe asęuąco: P s{ β β K.46 } gdze es aleszym lowym zewdywaem Uzuełee dla w zesze weoowe ozęe a K aomas ówae: < W >< W > W K.47 es ówaem zewdywaa Uzuełee gdze < K L> E K L. acodz óweż Rozdzał 3 3.4: α dla K.48 gdze es oeśloe edozacze zez.44. wąze.48 moża aować ao defcę α. Defca.7. Fuca auooelac cząsowe z óby α z oóźeem z { x Kx } es oeśloa odobe zez od wauem że dla ewyc oaz zacodz x x : α dla.49 gdze es wyzaczoe z.44 aomas ażda auooelaca ρ zasąoa es auooelacą z óby ρ Uzuełee. 44

45 Pzyład.7. Nec { czyl. 8 } będze zyczyowym ocesem AR :.5.8 aem: α Co Co Co Co Kozysaąc z fau że: Co ρ.5 oaz że: Co Co.5 ozymuemy: α Co.53 Wyzaczmy eaz α dla. Moża oazać Rozdzał 3 że eśl sacoay oces ma śedą ówą zeo wedy P. P. 3. } SP{... } SP{... Kozysaąc z Uzuełea ozymuemy: P s { K }.54 gdze w aszym zyładze. 8. Poeważ oces es sacoay zaem maceze owaac dla uładów zmeyc: T K T T T K K 3 K są ae same. aem eśl zacodz.54 o óweż: P węc dla : P K } s{ K }.55 s{ α Co P P s{ } { } K s K Co Co Co Co.56 gdze sozysao z fau że oeważ: ψ S S węc Co S dla s< 45

46 Podsumowuąc dla AR α α dla W aszym zyadu Wose z owyższego zyładu es a że oeważ dla ocesu AR: α dla zaem oelaca omędzy a es całowce wyelmowaa wedy gdy całowce usuemy z c fomacę o zmee. Poższy wyes zedsawa fucę częścowe auooelac o lewe oaz fucę częścowe auooelac z óby dla aszego ocesu. Realzacę ocesu { } wygeeowao geeaoem lczb losowyc SAS a z ozładu omalego. Wyes 9. Auooelaca cząsowa z óby dla ocesu daego ówaem 8 46

47 Podoby efe zacodz dla AR yle że ym azem ależy usuąć fomacę o zmeyc leżącyc omędzy zmeą a. Pzyład.7. Nec { } będze zyczyowym ocesem AR óy day es ówaem: Dla L gdze { } ~ WN σ.58 > mamy aleszym zewdywaem śedo-wadaowym es Uzuełee Pzyład : s.4 { K } P zaem eśl Y s K } wedy z wauu zyczyowośc Defca.3 { Y s{ } wedy oeważ s { } ozymuemy: < Y >< Y >..59 Dla > z.4 ozymuemy: α Co P s{ K } Co P..6 K s{ } Wos. Wdzmy że dla ocesów auoegesyyc wsaźem óy może am wsazać ząd auoeges es fuca auooelac częścowe. Gdyż dla > α. W zyadu ocesów MA wyes fuc auooelac częścowe moża wyzaczyć a w oższym zyładze. Pzyład.7.3 Nec { } będze ocesem śede ucome MA. Poces e możemy zasać ao: gdze { } ~ WN σ oaz.6 < 47

48 Kozysaąc z.97 Pzyładu.5. dla MA gdy moża oazać że dla mamy: Poeważ []: zaem:.64 α ρ /.6 P [ P.63 3 / } ] s { s{ } α Co / o oleyc zelczeac: 4 3 α dla.65 Poższy wyes zedsawa fucę częścowe auooelaco lewe oaz fucę częścowe auooelac z óby dla ocesu MA z 8. Realzacę ocesu { } wygeeowao geeaoem lczb losowyc SAS a z ozładu omalego. Wyes 9. auooelac cząsowe dla ocesu daego ówaem 8 48

49 Dla oówaa wyes fuc częścowe auooelac o lewe oaz fuc częścowe auooelac z óby dla ocesu MA z 8. Realzacę ocesu { } wygeeowao geeaoem lczb losowyc SAS a z ozładu omalego. Wyes. auooelac cząsowe dla ocesu daego ówaem 8.8 Pocesy esacoae ARIMA Pzedsawoe wyże ocesy ozwalaą a modelowae ogozowae sacoayc szeegów czasowyc. Jeżel szeeg czasowy e es sacoay o częso możemy zeszałcć go w szeeg sacoay w wyu oeac óżcowaa. Polega oa a d-oym oblczeu óżc óżcowau sąsedc wyazów szeegu. Czyl ewsza óżca d:.66 duga óżca d : d..67 Paame d usala sę a am ozome aby ozymay w wyu e oeac szeeg czasowy óżc był sacoay. 49

50 Defca.8. Pocesu zegowaego Szeeg sacoay óy moża sowadzć do szeegu sacoaego oblczaąc zyosy d azy azywamy szeegem zegowaym soa d. Osay oces óżcowaa moża zasać za omocą zw. oeaoa óżcowaa zędu d ozaczoego zez zdefowaego w.3 : d. Oeao d częso wyaża sę za omocą oeaoa cofęca B d d B..68 Ozymuemy zaem: B.69a lub B B B B B... d d d d d B d d l d B l l.7b sąd wya że oeace welomaam z B zebegaą a samo a a welomaac zwyłyc fuc zeczywsyc. Jeżel a szeeg czasowy {... } o lczbe wyazów zadzałamy oeaoem d acze mówąc oblczymy óżcę zędu d o ozymamy szeeg czasowy W d... } o lczbe wyazów - d. Gdy oaże sę o sacoay o możemy go { modelować wyozysuąc wyże zedsawoe ocesy ARMA. Defca.8. Pocesu ARIMA d Jeżel d es euemą lczbą całową wedy { Y } azywamy ocesem ARIMA d gdy d B es zyczyowym ocesem ARMA gdze aame auoeges aame śede oczące d aame lczby óżcowań. Ne ależy mylć oeaoa óżcowaa d d D B z oeaoem cofęca z lag D czyl z D B óy wyozysue sę do elmac sezoowośc z ewoyc dayc. Uogóleem ocesów ARMA a ocesy z eem sezoowoścą są ocesy SARIMA [] óym e będzemy sę zamowal w e acy cocaż o e e byłby udy. 5

51 Defca a ozacza o że { } seła ówae óżcowe o osac: * B d B B B { }~WN σ.7 gdze z z są oleo welomaam soa gdze z dla z. Weloma * B ma zeo zędu d w z. Poces { } es sacoay wedy ylo wedy gdy d co ozacza że eduue sę o do ocesu ARMA. Możemy zauważyć że eśl d wedy możemy dodać dowoly weloma edu soa d - do { } bez auszaa ówaa ożcowego.7. Dlaego modele ARIMA zydae są do eezeowaa dayc z edem cocaż mogą być óweż używae do szeegów bez edu. wyąem zyadu gdy d śeda { szczególośc może wyosć zeo. } e es wyzaczoa zez ówae w e dla { Poeważ dla d ówae oeśla własośc dugego zędu dla ocesu {-B d } a } esymaca oaz σ będze bazować a obsewowayc waoścac zóżcowayc dla -B d. W celu oeślea lczby oeczyc óżcowań owo sę zeaalzować wyes dayc weścowyc fuc auooelac ACF. aczące zmay w ozome edece wzosowe lub zżowe wymagaą zwyle óżczowaa odowedego dla elmac eduz lag a sle zmay acylea zwyle wymagaą dwuoego óżcowaa. Sezoowe modele wymagaą odowedego óżcowaa sezoowego. Jeśl szacowae wsółczy auooelac zaaą wolo z długm oóźeam wedy ewsza oeaca óżcowaa es zwyle ozeba. [3]. W SAS e do ocey sacoaośc a węc do ocey czy le azy ozeba zóżcować szeeg aby był o sacoay osługuemy sę esem Dcey a Fulle a. Uzuełee 3. 5

52 Rozdzał. Esymaca aameów µ oaz ρ. Jeśl { } es zeczywsym sacoaym ocesem wedy uwzględaąc edye momey do dugego zędu włącze oces e es scaaeyzoway edye zez śedą µ fucę auoowaac γ.. aem esymaca µ γ. oaz fuc auooelac γ. ρ. a odsawe óby γ K odgywa asoeszą olę w obleme wosowaa a w ym w osuc właścwego modelu dla osu dayc.. Esymaca śede µ Neobcążoym esymaoem śede µ dla sacoaego ocesu { } es śeda z óby: K. E z. W ewsze oleośc ozważymy własośc śedo wadaowego błędu µ waac śede dla dużyc. Twedzee. Jeśl { wedy dla } es sacoaym ocesem ze śedą ówą µ fucą auoowaac γ. : σ. E µ o le γ.. E µ γ o le γ <.3 Dowód wedzea []. Isoym elemeem dowodu es oazae że: γ σ.4 γ.5 Uwaga: Wowadźmy ozaczee AN a asymoyczą omalość ozładu. 5

53 Twedzee. Jeśl { } es sacoaym ocesem µ ψ { } ~ d σ.6 gdze ψ <.7 oaz ψ.8 wedy: es v AN µ.9 gdze z.3 w Twedzeu. oaz z zależośc U.4 w Uzuełeu : mamy że σ γ ψ. v γ σ ψ. gdze γ. es fucą auoowaac ocesu { }. Uwaga. Powyższe wedzee es użyecze zy zadowau zyblżoe osac zedzału ufośc dla µ zy wysaczaąco duże óbe. Uwaga. Jeśl oces { doładą osać ozładu dla } es e ylo sacoay ale aże Gaussows wedy możemy zasać. Wyozysuąc wedzee o addyywośc ozładu omalego ozymuemy z Twedzea. wzou.4: ~ N µ γ. µ γ..3 lub / ~ N 53

54 zależość.3 ozwala a wyzaczee dołade osac zedzału ufośc dla µ o le zamy γ. : u σ u σ.4 α gdze σ σ a α waylem zędu ozładu N. α α σ daa es wzoem.4 aomas u α u es. Esymaca fuc auoowaac γ. auooelac ρ. Esymaoam dla γ ρ óym będzemy sę osługwać są saysy: γ.5 ρ γ / γ..6 gdze K.. Esymao γ fuc auoowaac γ zaday zez.5 es obcążoy. Jeda ego ozład asymoyczy dla ma śedą γ. Esymaoy γ maą óweż dla ażdego ważą własość zwązaą z euemą oeślooścą macezy : γ γ L γ Γ γ γ L γ.7 M M L M γ γ L γ Oazue sę że macez Γ moża zasać asęuąco: T Γ ΤΤ.8 gdze Τ es macezą soa : Τ M K K K Y M Y Y M K Y Y M Y Y K M K Y M K Y M.9 54

55 gdze: Y.... Dowód zależośc ao badzo osy omamy. Neuema oeśloość macezy esymaoów fuc auoowaac wya z ego że dla dowolego zeczywsego wymaowego weoa a zacodz: T T T T T T a Γ a a ΤΤ a a Τ a Τ. gdze T T T Τ es długoścą weoa T Τ a a Τ a. Ta węc macez fuc auoowaac z óby es eueme oeśloa. Wya z ego że macez fuc auooelac z óby: R es óweż eueme oeśloa. Γ. γ Uwaga. Czy óy oawł sę w defc esymaoa γ es czasam zasęoway zez. Oazue sę eda [] że wedy maceze Γ oaz oeśloe. R mogą e być eueme Będzemy sę węc zawsze osługwać defcam.5.6. Moża zauważyć óweż że z owodu symeyczośc macezy Γ ozymuemy o. Twedzee 3.: de Γ > eśl ylo γ >..3 Uwaga. Oszacowywae a odsawe óby... aameów γ oaz ρ a odsawe.5.6 es mało solde gdy < es ewele mesze od gdyż mamy wedy ewele a z óyc lczymy γ ρ. Dla see ylo eda aa aa. Naomas oszacowae dla es emożlwe. Box Jes sugeuą że użyeczy esymao dla ρ moża ozymać wedy gdy > 5 / 4. 55

56 Uwaga. Pzy wyboze dla zadaego zbou dayc właścwego modelu ARMA soą zeczą es możlwość ozozaa czy waośc fuc auooelac z ób są soe saysycze óże od zea. Poże odamy wedzee óe wyowada sę co do asymoyczego ozładu łączego dla ρ ρ... ρ zy. Twedzee o es użyecze zy swedzeu soośc saysycze waośc esymaoów ρ... w óbce. Twedzee.3. Jeśl { } es ocesem sacoaym: µ ψ { } ~ d σ.4 gdze : ψ <.5 E <.6 4 wedy dla ażdego { K} mamy: ρ es AN ρ W.7.8 ρ T.9 gdze: ρ T ρ ρ K ρ ρ ρ K ρ a W es macezą owaac óe eleme y zaday es fomułą Bale a: w ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ.3 lub ówoważe: w Dowód []. { ρ ρ ρ ρ } { ρ ρ ρ ρ }.3 56

57 Uwaga. Wowadzaąc zmee: Y { ρ ρ ρ ρ } N....3 gdze N N są zmeym losowym ezależym z am samym ozładem omalym z. d N odwołuąc sę do Twedzea.3 moża oazać dowód e es udy że / łączy ozład asymoyczy ozład weoa losowego ρ ρ es a sam a ozład weoa losowego Y T Y Y K z. Y T Y Y K ~ N.33 W ρ ρ AN / oaz : ~ W.34 Uwaga. Moża oazać [] że zmee: Y σ /.35 σ są d maą asymoycze ozład N oaz że gdze { } ~ d ρ ρ / całowce oeślaą gaczy ozład weoa losowego. Twedzee.4 W Twedzeu.3 moża zasąć waue.6 E < eco sleszym: 4 azucoym a cąg { ψ } []. ψ <.36 Uwaga. ałożea Twedzea.3 oaz Twedzea.4 są sełoe zez ażdy oces ARMA z σ gdze σ <. cągem { } ~ d Wao zauważyć że założee { } ~ d σ może być zasąoe w zyadu e osadaącyc deyczyc ozładów zmeyc wauam ogaczea dla 3 E 3 6 E. Tz. wau E < oaz E < óweż ozwalaą a wyowadzee 6 owyższego cealego wedzea gaczego Twedzee.3 Twedzee.4. 57

58 Pzyład Nezależy bały szum σ..37 Nec { } ~ d Wedy ρ l dla l >..38 zależośc.3 ozymuemy że: w { ρ ρ ρ ρ } { ρ ρ ρ ρ } K odsawaąc ρ l ρ δ l. ozymuemy : { ρ δ δ ρ δ δ }{ ρ δ δ ρ δ δ } K K.. z owyższego ówaa wdać że ylo dla δ oaz δ są ówe aem: { ρ } { ρ } ρ K.39 oeważ : węc: ρ dla w.4 dla γ l ρ l γ.4 dla w dla.4 Poeważ dla dużego a dołade dla mamy.7: ρ ρ ρ K ρ es AN ρ W.43 węc z.4 wdać że dla bałego ezależego szumu { } ~ d Cov ρ W w ρ ma osać: σ macez owaac K K W.44 M M O M K sąd wya że saysy: ρ ρ K ρ są w zyblżeu ezależe osadaą w zyblżeu ae same ozłady N. 58

59 Pzyład Śeda ucoma zędu Jeśl... gdze { } ~ d σ.4 wedy z fomuły Bale a.3 ozymuemy: w [ ρ K ρ ] dla >.45 Ozacza o że eśl aysuemy wyes fuc auooelac ρ w óbce w fuc wedy zbó yyczy dla oezy zeowe: H : ρ dla K ma dla ażdego K w zyblżeu osać: W u > < u α α.46 co zy ozome soośc α 5 dae: W 96 > < Ozacza o że eśl waośc ρ K w óbce maą być saysycze esoe óże od zea o owy zy ozome soośc α meścć sę w zedzale ufośc: u u dla ozomu ufośc α.48 α α z.. dla α 5 w zedzale: dla α ależośc.46 do.47 są dołade asymoycze z. dla. aem eśl aysuemy wyes fuc auooelac ρ w óbce wedy zy założeu awdzwośc oezy H : ρ K. a ozome soośc α 5 wemy że ooło 95% waośc ρ w óbce owo leżeć omędzy gacam: ± 96.5 Sełee ego wauu ozacza że e mamy odsaw a ozome soośc α 5 do odzucea oezy zeowe o ym że obsewace soe ocodzą z ocesu w óym zmee są ezależe maą deycze ozłady z. że { } ~ d ezależym bałym szumem. σ oces es 59

60 Rozdzał 3. Pedyca model ARMA ARIMA 3. Pzewdywae dla ocesów sacoayc Temaem ego ozdzału es zewdywae waośc { } sacoaego ocesu wyozysuąc waośc ego ocesu dla { K }. Maąc dowolą domęą odzeszeń Μ zesze L Ω I P defuemy alesze zewdywae dla w Μ ao eleme odzesze Μ óy osada ameszą śedo wadaową odległość od elemeu. W Uzuełeu wsomelśmy Twedzee 6 że zuowae PΜ x x K es aleszą fucą P es aleszą lową ombacą zmeyc s K K a x x K óa dae zewdywae waośc zmeyc. 3. Rówae edyc Nec { } es ocesem sacoaym ze śedą µ fucą auoowaac γ. Wedy oces { Y } { µ } es ocesem sacoaym ze śedą ówą zeo fucą auoowaac γ. Moża oazać Pzyład 3. że : P Poże założymy że µ. Wedy: P s µ P Y K s Y Y 3. K s P K s 3. K Pzyład 3. Nec { Poazać że: } es sacoaym ocesem ze śedą µ. P s µ P Y K s Y Y gdze } { } K { Y µ. 6

61 6 Rozwązae: s P α α K 3.3 oaz : Y Y α µ α µ α α ozysaąc z 3.3 ozymuemy: α α o odsaweu ozymuemy: Y α µ α 3.4 gdze wowadzlśmy ozaczee: Y Y s Y P Y K Mamy µ E odsawaąc ę zależość do 3.3 ozymuemy: E E α µ α µ α α α α µ zaem: µ α µ α ozymuemy: µ Y c..d. 3.3 Rówae dla edyc z edym oem Nec Η Μ będze domęą lową odzeszeą s K ec ozacza zewdywae w edym ou oeśloe asęuąco: Η dla dla P 3.6

62 Poeważ Η zaem: K 3.7 gdze K sełaą ówae edyc Uzuełee dla x Η z. < x x y> dla ażdego y Μ óe zymue eaz osać: > < < lub >< > gdze x Η x Η y Η dla.... gode z uwagam w Uzuełeu loczy wewęzy < Y > seła olę waośc oczewae E Y : < Y > E Y 3. óa w zyadu zmeyc z µ es ówa Cov Y. owodu lowośc loczyu wewęzego ówae 3.9 moża zasać asęuąco: gdze γ < >. γ γ Uład ówań 3. moża zasać ówozacze ao: Γ γ 3. Γ γ γ T γ K γ T. 3.3 gdze [ ] K Dowód ześca z ówaa 3. do 3. Wowadźmy ozaczea: K T γ γ K γ 3.4 T c γ Cov Cov Cov 3.5 gdze osae dwa ześca wyaą z założea sacoaośc ocesu. acodz : c c 3.6 c γ c c γ... d. 3.7 γ 6

63 63 aem ówae 3. moża zasać ao: c c c c c c c c c c c c c c c M M L M M M M M L L 3.8 lub 3 γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ M M L M M M M M L L 3.9 Ozaczaąc: [ ] M Γ γ 3. Ozymuemy: γ Γ 3. c..d 3. wedzea o zuowau Uzuełee wya że ówae 3. ma zyame edo ozwązae co es zwązae z ym że zewdywae moża wyazć w osac 3.7 z.: dla ewego R. 3. Rówaa : Γ γ K 3.3 są azywae ówaam edyc z oem ówym ede. Cocaż może seć wele ozwązań ówaa 3. a eda ażde z c odsawoe do ówaa 3.7 mus ze względu a fa że es oeśloe edozacze Uzuełee Twedzee o zuowau dać o samo zewdywae. Poado gdy macez Γ es eosoblwa wedy see dołade edo ozwązae ówaa 3. a odwó.

64 W zyadu ym mamy: Γ γ 3.4 Wau oeśloe w oższym wedzeu w sosób wysaczaący gwaauą eosoblwość macezy Γ dla ażdego. Twedzee 3. Jeśl γ > γ dla 3.5 T Γ γ dla es eosoblwa dla wedy macez owaac [ ] ażdego. Dowód [] s.67 K Wos z wedzea 3. Pzy zacowau wauów wedzea 3. aleszym lowym zewdywaem dla wyażoym ozez K es: T K Γ γ 3.4 gdze: γ γ K γ T Γ γ [ ] śedo wadaowy błąd zewdywaa wyos: T γ γ γ v E Γ

65 3.4 Rówaa dla zewdywaa z oem Nalesze lowe zewdywae dla wyażoe ozez K dla moża zaleźć w sosób aalogczy do. Ta węc : gdze PΗ K 3.8 T K 3.9 es amolwe ozwązaem edyym gdy Γ es e osoblwa ówaa: Γ γ 3.3 gdze Isoe: γ γ γ K γ K sełaą ówae edyc Uzuełee z.: < >< >... sąd ozymuemy: T 3.3 γ γ z. zależość Meody euecye dla wyzaczaa aleszyc lowyc zewdywań. Poże zedsawmy dwa euecye algoymy służące do oeślaa zewdywań edego ou zdefowayc ówaem 3.6. Nasęe oażemy a moża e wyozysać do wyzaczea zewdywań ego ou P Η. Poceduy euecye moą dlaego a wele aycze zasosowae bowem bezośede wyzaczae P Η z ówań wymagałoby ozwązaa uładu ówań lowyc dla dużyc. Na dodae za ażdym azem gdy wzasa lczba obsewac cała ocedua musałaby być owazaa od owa. Algoymy zedsawoe oże ozwalaą a wyzaczee aleszyc zewdywań bez oeczośc lczea macezy odwoyc. 65

66 Poado ozwalaą oe a wyzaczae w oacu o zewdywaa ozymae dla obsewac a wyzaczee zewdywań oayc a obsewacac.... W dalsze częśc oażemy óweż a dug z zedsawoyc algoymów uława oblczee dołade waygodośc dla K } wedy gdy oces } es gaussows. { { Pzewdywae euecye z wyozysaem algoymu Dub a Levso a Poeważ zgode z 3.6: Η PΗ zaem moża wyazć w osac: K śedo wadaowy błąd zewdywaa ozaczoy v wyos: 3.3 v 3.33 E a z 3.6 dla fau że E ozymuemy że: v γ 3.34 Poższy algoym Dub a Levso a es euecyym scemaem dla wyzaczea T K oaz v dla K. Twedzee 3. Algoym Dub a Levso a Jeśl { } es sacoaym ocesem ze śedą ówą zeo fucą auoowaac γ aą że γ > γ dla wedy wsółczy śedo - wadaowe błędy v zdefowae ówaam sełaą zależośc: γ v γ 3.35 γ γ γ v 3.36 M M M 3.37 v [ ] 3.38 v

67 W Rozdzale zosały odae dwe defce fuc częścowe auooelac dla ocesu { zy lag a maowce: } α Co P P 3.4 s{ } { } K s K oaz: α 3.4 Dowód [] Cealą sawą w dowodze ego wedzea es ozład zesze Η a dwe oogoale odzeszee Η s{ K } Η s { P Η } gdze P Η es zuowaem a Η. Uwaga. O ówośc zależośc Pzy zacowau założeń Twedzea 3. zacodz zwąze: Co P P 3.4 s{ } { } K s K az ozdzał ewszy fuca PACF Defca.6.7. Pzewdywae euecye z wyozysaem algoymu owacyego Cealą sawą w dowodze wedzea 3. był ozład zesze Η a dwe oogoale odzeszee Η Η. Duga ocedua euecya zedsawoa oże w wedzeu 3.4 es zwązaa z ozładem oceduę Gam a - Scmd a. Η a oogoalyc odzesze w oacu o Poże zedsawoe wedzee 3.4 ma szeszy zaes zasosowań ż ozedo zedsawoe wedzee 3.. Pzyczyą es fa że douszcza oo ocesy { mogą być ocesam esacoaym ze śedą zeo fucą auoowaac: } óe κ < > E 3.43 Ta a ozedo defuemy Η s{ K } a we wzoze 3.6 a v Pzymuąc : 3.45 zauważaąc że zgode z 3.7 K

68 co ozacza że es lową ombacą { K } mamy że Η s{ K } moża óweż ozsać a { K } z. Η s K } 3.47 { zaem: Poże odamy euecyą oceduę wyzaczaa {... ; v } gdze. Twedzee 3.4 Algoym owacyy Jeśl { } ma śedą zeo oaz E κ gdze macez [ ] κ es eosoblwa dla ażdego K wedy zewdywae edego ou oaz c śedo wadaowe błędy v są zadae zwązam : 3.49 oaz: v κ v κ ν κ v v K 3.5 gdze dla za dug sład w zależośc a wsawamy zeo. Reuecye ozwązae ówań 3.5 es ose zebegaące w oleośc: v v ; v ; ;K 3.5 ; v3 68