Metody numeryczne. Wykład nr 10. Dr Piotr Fronczak

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Metody numeryczne. Wykład nr 10. Dr Piotr Fronczak"

Urszula Wrona
7 lat temu
Przeglądów:

1 Meod ecze Wkład D Po Foczak

2 Rówaa óŝczkowe cząskowe RRC lczba zech L L L F ząd ówaa: ząd awŝsze pochode 3 3 b chaakeska: lowe qas-lowe elowe

3 C B A F E D C B A b c b a : : : :: : : : : : Nelowe lowe Qas Lowe c b a Nelowe lowe Qas Lowe

4 Skp sę a RRC co awŝe dgego zęd apoplaesze w fzce Ogóla posać RRC dgego zęd B -AC Kaegoa Pzkład < elpcze Rówae Laplace a paabolcze Rówae pzewodcwa cepła > hpebolcze Rówae falowe T T k T T c G C B A G C B A

5 Mowaca dla ake klasfkac Napossze ozwązaa: RóweŜ dla badze skoplkowach ówań lokale własośc ozwązae zaleŝą od zak waŝea B -AC. elpcze C paabolcze C hpebolcze C ; ; elpsa C C paabola C hpebola C ; ; Zagadka: Skaegoz ówae Schodgea.

6 Zakłada h h h [saka kwadaowa] h h [ ] h ' ' - - h h Elpcze RRC - dwwaowe zagadee bzegowe Rówae Laplace a [ ] ' ' h { } { } [ ] [ ] '' '' h h

7 { } Sąc waz wzacza : Pzkład: saka 33 Pze począkowe pzblŝee 3 Kozsa z eod eace Jacobego lb Gassa-Sedla szbsza zbeŝość S S S3 S

8 Kozsaąc z eod dokładch p. dekopozca LU s łoŝć acez o ozaze low. Wosek: Ms wpowadzć deksowae ówań odpowadaącch pko dwwaowe sak : k a pzkład wesza P P k P... Pzkład: ówae Possoa ϕ ρ gęsość ładk f poecał h h [ ] f [ P P P P P ] f P

9 Pzkład: Powezcha poecał pz losowo ozeszczoe gęsośc ładk

10 Paabolcze hpebolcze RRC Bezwaowe ówae pzewodcwa cepła z wake począkow dla L g < < gdze L szeokość dzedz ozwązań. Wak bzegowe: b L a gdze a b są fkca ede czas a g zaleŝ ede od połoŝea.

11 Dskezaca pzesze ozwązań czas deks pzeszeń deks PołoŜee w węźle w chwl :

12 Zaeaąc pochode a óŝce oze z błęde O z błęde O. Dale paszczaąc

13 Zae zdskezowae ówae a posać Defąc / oze schea aw Elea: - pk względa pz oblcza óŝc czasowe - pk względa pz oblcza óŝc pzeszee

14 Algo schea awego // a węzłów pzeszech sak // waek bzegow [] ew[] [].; // waek począkow fo ; <; { *sep; [] fc; }; // pęla czasowa fo ; <seps; fo ; <; ew[] alpha*[-] -*alpha*[] alpha*[]; Poble: waek sablośc schea Czl eśl podzel doeę [] a so podpzedzałów. o 5-5.

15 Aalza sablośc RozwaŜ schea aw dla ówaa cepła: α α Zae asz schea a posać: α Nech D będze dokład ozwązae ówaa. Nech N będze ecz ozwązae ówaa. Zae błąd zaokągleń N D Napsz ówae sablośc eod ecze kóe opsze ewolcę błęd w akce oblczaa kolech koków czasowch. ośe esablość eośe sablość

16 Rówae sablośc będze badać za poocą aalz Foea eoda vo Neaa. Rozwązae ecze oŝe zapsać ako N D 3 Podsawaąc 3 do oze D D D D D α D D D D D α α PoewaŜ z ówaa D D D D D α

17 α Zae RozwaŜ ozkład błęd w pew kok czasow. ZałóŜ dla wgod Ŝe. Błąd oŝa zapsać w posac szeeg Foea: : s cos 5 falowa lczba k k k k k e e b Czl ówae a błąd es ake sae ak ówae a fkcę.

18 PoewaŜ ówae óŝcowe a błąd es lowe zachowae kaŝdego waz szeeg es podobe do zachowaa całego szeeg. Zae wsacz ozwaŝć wzos błęd powego waz k b e 6 Czasową zaleŝość błęd względ pząc Ŝe aplda błęd b es fkcą czas. PoewaŜ błąd ośe lb alee zwkle wkładczo z czase oŝe zapsać e e gdze k es zeczwse ale a oŝe bć zespoloe. Podsawaąc 7 do oze a a e k k a k a k a k a k e e e 7 e e e e e e 8 gdze α

19 e a e e e e e e 8 k a k a k a k a k e e e Dzeląc 8 obsoe pzez e a e k e a k k e e 9 Kozsaąc z zaleŝośc oze gdze Kozsaąc z zaleŝośc oze cos β e a e β e β cos β s e a β k β cos β s β

20 Defąc współczk wzocea błęd G Oczeke b błąd e aasał z kok a kok G Zae a k e e a e s β

21 s β s β s s β β s s β β Waek zbeŝośc schea awego

22 G G G kok czasow wkładk poęg Pzpo sobe Ŝe współczk wzocea błęd Czl: N N N G Zwóć wagę Ŝe asz schea aw [ ] α oŝe pzedsawć w posac ówaa acezowego Rówae włase z waośca włas G

23 Zae a kład ówań eowach G Meoda Jacobego Pzpoee z wkład 3 Jako ozwązae począkowe obea sę dowol weko p. weko zeow oblcza sę kolee eace: Kolee pzblŝea wozą cąg wekoów. JeŜel see gaca ego cąg wed es oa ozwązae kład ówań lowch. Cąg wekoów s bć zae cąge zbeŝ. Tw. Cąg okeślo wzoe * pz dowol wekoze es zbeŝ wed lko wed gd ρα<. ρα poeń spekal acez α a λ λ waośc włase acez α.

24 Twedzee powŝsze ów a Ŝe ab asz schea e bł ozbeŝ o wszske waośc włase G szą leŝeć a płaszczźe zespoloe bo G ogą bć zespoloe wewąz okęg o poe. W asz pzpadk waośc G bł zeczwse węc weź cekawsz pzpadek: Uwaga: sablość kaŝdego poble ehoogeczego Zasos schea: p p p p f bada paszczaąc ówae do posac hoogecze. óŝca zwkła óŝca wsecza Zasępąc Paęaąc Ŝe oaz Ŝe p p p p G e k

25 oze Dzeląc obsoe pzez p k p k p k G e G e G e p k G e G p e k G k k β e e e Wosek: schea es esabl dla kaŝdego.

26 Poa coś wklepać ; dh./; d.*dh; fo;<; { Xdoble/; [][].*ep-*x-.5*x-.5; [][].*ep-*x-.5-d*x-.5-d; }; Jede kok czasow: Wak począkowe fo;<; { L-; P; Wak bzegowe peodcze f L; f P; [][][P][]-*[][][L][]*d*d/dh/dh*[][]-[][]; }; fo;<; { [][][][]; [][][][]; };

27 MoŜa oblczć waek sablośc dla podaego schea ale e es poso G s β G Czl a ówae kwadaowe

28 Schea eaw Elea - pk względa pz oblcza óŝc czasowe - pk względa pz oblcza óŝc pzeszee Schea aw Schea eaw Wóć do ówaa cepła Bło: Teaz:

29 3 3 M M O O λ λ λ λ Zae a kład ówań z acezą ódagoalą. kó s ozwązać w kaŝd kok czasow.

30 Sablość schea eawego Posępąc aalogcze do popzedch pzpadków pze po pa pzekszałceach G s k co dae ogaczee a G: G co es spełoe dla dowolego oczwśce wększego od zea. Zae schea eaw es zawsze sabl.

31 θ θ Schea Caka-Ncholsoa MoŜe wobazć sobe badze ogól schea: gdze θ. Pz θ ½. Pewsza pochoda czasowa ako óŝca ceala w l/ Dga pochoda pzeszea ako óŝca ceala waŝoa l l l l l l l l

32 Po pa pzekszałceach l l l l l l A zae zow a kład ówań z acezą ódagoalą. MoŜa pokazać Ŝe kład es zawsze sabl. Pzewaga ad scheae eaw błąd O zaas O. Poówae scheaów:

Podobne dokumenty

Równania różniczkowe cząstkowe

Równania różniczkowe cząstkowe Meod ecze Wkład Rówaa óżczkowe cząskowe d hab. Po Foczak Rówaa óżczkowe cząskowe RRC lczba zech F ząd ówaa: ząd awższe pochode 3 3 b chaakeska: lowe qas-lowe elowe C B A F E D C B A b c b a : : : : : :