Gora czka Zachodniego Nilu: dynamika infekcji

Transkrypt

1 Gora czka Zachodniego Nilu: dynamika infekcji Joanna Rencławowicz & Mark Lewis & Pauline van den Driessche BIOFIZMAT2 Gora czka Zachodniego Nilu:dynamika infek

2 Wirus Zachodniego Nilu w Ameryce Północnej zachorowalność i śmiertelność Ptaki (0-100%) Konie (~40%) Ludzie (<0.1%) Komary - zero

3 Wirus Zachodniego Nilu Gospodarze wtórni Ptak (rezerwuar) Komar (wektor) Bird reservoir host Ludzie cykl życiowy wirusa Konie

4 West Nile Virus Model Larval mosquitoes Dead birds bird death rate (WNV) Recovered birds Infectious birds Biting rate x Transmission probability Susceptible mosquitoes Infectious mosquitoes Susceptible birds Removed mosquitoes

5 West Nile Virus Model Larval mosquitoes mosquito death rate (natural) Dead birds bird death rate (WNV) Recovered birds Infectious birds biting rate x transmission probability Susceptible mosquitoes Exposed Infectious mosquitoes mosquito birth rate Susceptible birds Removed Infectious mosquitoes

6 Wirus Zachodniego Nilu - Model Larwy komarów współczynnik umieralności (naturalnej) Zmarłe ptaki Wyleczone ptaki współczynnik ukąszeń x prawdopodobieństwo transmisji Podatne komary współczynnik urodzeń współczynnik umieralności (WNV) Zarażone ptaki Zainfekowane komary Podatne ptaki Zarażone komary

7 Compartments (klasy) Vectors: mosquitoes L V - larval (larwy) S V - susceptible (podatne) E V - exposed (zainfekowane) I V - infectious (zarażone)

8 Compartments (klasy) Vectors: mosquitoes L V - larval (larwy) S V - susceptible (podatne) E V - exposed (zainfekowane) I V - infectious (zarażone) Reservoirs: birds S R - susceptible (podatne) I R - infectious (zarażone) R R - recovered (wyleczone)

9 Parametry b V współczynnik urodzeń komarów d L,d V współczynnik śmiertelności larw/ komarów m V współczynnik dojrzałości komarów α V,α R prawdopodobieństwo transmisji wirusa przy uka szeniu dla komarów/ ptaków β R współczynnik uka szeń ptaków przez komary κ V współczynnik inkubacji wirusa u komarów γ R współczynnik zdrowienia ptaków η R współczynnik utraty odporności ptaków ε, D współczynnik dyfuzji komarów/ ptaków

10 Model zależny przestrzennie (P) Vectors (komary) L V t S V t E V t I V t = b V (S V +E V +I V ) m V L V d L L V = ε 2 S V x 2 α Vβ R I R N R S V +m V L V d V S V = ε 2 E V x 2 +α V β R I R N R S V (κ V +d V )E V = ε 2 I V x 2 +κ VE V d V I V

11 Model zależny przestrzennie (P) Reservoirs (ptaki) S R t I R t R R t = D 2 S R x 2 α Rβ R S R N R I V +η R R R = D 2 I R x 2 +α Rβ R S R N R I V γ R I R = D 2 R R x 2 +γ R I R η R R R

12 Uproszczenia Zainfekowane komary od razu staja siȩ zdolne do zakażenia: κ V E V 0

13 Uproszczenia Zainfekowane komary od razu staja siȩ zdolne do zakażenia: κ V E V 0 Ptaki po wyzdrowieniu staja siȩ od razu podatne na zarażenie: η R R R 0

14 Uproszczenia Zainfekowane komary od razu staja siȩ zdolne do zakażenia: κ V E V 0 Ptaki po wyzdrowieniu staja siȩ od razu podatne na zarażenie: η R R R 0 Całkowita liczba ptaków: N R (x,t) = S R (x,t)+i R (x,t)+r R (x,t),

15 Uproszczenia Zainfekowane komary od razu staja siȩ zdolne do zakażenia: κ V E V 0 Ptaki po wyzdrowieniu staja siȩ od razu podatne na zarażenie: η R R R 0 Całkowita liczba ptaków: N R (x,t) = S R (x,t)+i R (x,t)+r R (x,t), N R t = D 2 N R x 2

16 Uproszczenia Zainfekowane komary od razu staja siȩ zdolne do zakażenia: κ V E V 0 Ptaki po wyzdrowieniu staja siȩ od razu podatne na zarażenie: η R R R 0 Całkowita liczba ptaków: N R (x,t) = S R (x,t)+i R (x,t)+r R (x,t), N R t = D 2 N R x 2 N R (x,0) = N R = const. N R (x,t) = N R

17 Całkowita liczba dorosłych komarów: A V (x,t) = S V (x,t)+e V (x,t)+i V (x,t), Uproszczenia

18 Uproszczenia Całkowita liczba dorosłych komarów: A V (x,t) = S V (x,t)+e V (x,t)+i V (x,t), A V t L V t = ε 2 A V x 2 d V A V +m V L V = b V A V (m V +d L )L V

19 Uproszczenia Całkowita liczba dorosłych komarów: A V (x,t) = S V (x,t)+e V (x,t)+i V (x,t), A V t L V t = ε 2 A V x 2 d V A V +m V L V = b V A V (m V +d L )L V A V (x,0) = A V = const, L V (x,0) = L V = const. A V (x,t) = A V (t)

20 Uproszczenia Całkowita liczba dorosłych komarów: A V (x,t) = S V (x,t)+e V (x,t)+i V (x,t), A V t L V t = ε 2 A V x 2 d V A V +m V L V = b V A V (m V +d L )L V A V (x,0) = A V = const, L V (x,0) = L V = const. A V (x,t) = A V (t) b V = d V(m V +d L ) m V stacjonarnego A V,L V istnienie rozwia zania

21 Niech A V i N R bȩda stałymi. Uproszczony układ (S)

22 Uproszczony układ (S) Niech A V i N R bȩda stałymi. Układ (S) I V t I R t = ε 2 I V x 2 +α Vβ R I R N R (A V I V ) d V I V = D 2 I R x 2 +α N R I R Rβ R I V γ R I R N R

23 Postać macierzowa Układ (S) można zapisać jako ] ] [ IV [ IV ([ IV ]) I R t = D I R xx +f I R gdzie f = (f 1,f 2 ) T definiujemy jako f 1 (I V,I R ) = α V β R I R N R (A V I V ) d V I V N R I R f 2 (I V,I R ) = α R β R I V γ R I R N R [ ] ε 0 oraz D = 0 D

24 Własności (S) Własności układu (S), potrzebne, aby zastosować ogólne twierdzenia o falach biegna cych i tempie rozprzestrzeniania siȩ infekcji. f 1,f 2 sa niemaleja ce w wyrazach poza przeka tna. f nie zależy wprost od x ani od t. Macierz D jest diagonalna, o wyrazach na przeka tnej ściśle dodatnich.

25 Przestrzennie niezależny układ (S*) Przestrzennie jednorodne rozwia zania (S) spełniaja (S*), tj. układ ODE, : di V dt di R dt = α V β R I R N R (A V I V ) d V I V = α R β R N R I R N R I V γ R I R czyli [ IV ] ([ IV ]) I R t = f I R

26 Basic reproduction number Definicja Poziom namnażania siȩ wirusa (basic reproduction number) R 0 jest wartościa oczekiwana wtórnych zakażeń spowodowanych przez wprowadzenie pojedyńczej zarażonej jednostki do układu. WyznaczmyR Zapiszmy układ (S*) w postaci macierzowej: nowe zakażenia ( f ) minus pozostałe wyrazy (v). [ IV I R ] t = α V β R I R N R (A V I V ) α R β R N R I R N R I V [ dv I V γ R I R ]

27 Basic reproduction number 2. Linearyzujemy f i v wokół stanu równowagi (I V,I R ) = (0,0), gdzie wszystkie ptaki i komary sa podatne na zarażenie. F = 0 α V β R A V N R α R β R 0,V = d V 0 0 γ R

28 Basic reproduction number 3. R 0 jest promieniem spektralnym (dominuja ca wartościa własna ) dla FV 1. FV 1 = R 0 = 0 α V β R γ R α R β R d V 0 A V N R α V α R β 2 R d V γ R A V N R,

29 Rozwia zania stacjonarne (S) (0, 0) jest rozwia zaniem stacjonarnym (S).

30 Rozwia zania stacjonarne (S) (0, 0) jest rozwia zaniem stacjonarnym (S). I V = α Vα R β 2 R A V d V γ R N R α R β R (d V +α V β R ) I R = α Vα R β 2 R A V d V γ R N R α V β R (γ R +α R β R A V N R )

31 Rozwia zania stacjonarne (S) (0, 0) jest rozwia zaniem stacjonarnym (S). I V = α Vα R β 2 R A V d V γ R N R α R β R (d V +α V β R ) I R = α Vα R β 2 R A V d V γ R N R α V β R (γ R +α R β R A V N R ) jest dodatnim rozwia zaniem stacjonarnym jeśli czyli R 0 > 1. ( ) α V α R β 2 R A V d V γ R N R > 0

32 Płaszczyzna fazowa Macierz Jacobiego w punkcie (0, 0) J = Df(0) = d V α V β R A V N R α R β R γ R λ 1 +λ 2 = trj = (d V +γ R ) < 0 λ 1 λ 2 = detj = d V γ R α V α R β 2 R A V N R = d V γ R (1 R 2 0) Zauważmy, że ( ) jest równoważny warunkowi detj < 0 R 0 > 1.

33 Płaszczyzna fazowa R 0 < 1 Stan stacjonarny (wolny od infekcji-disease free) (0, 0) jest liniowo stabilny (wȩzeł).

34 Płaszczyzna fazowa R 0 < 1 Stan stacjonarny (wolny od infekcji-disease free) (0, 0) jest liniowo stabilny (wȩzeł). R 0 > 1 Stan stacjonarny (0, 0) jest liniowo niestabilny (siodło) oraz istnieje endemiczny stan stacjonarny (I V,I R ) - stabilny wȩzeł.

35 Płaszczyzna fazowa R 0 < 1 Stan stacjonarny (wolny od infekcji-disease free) (0, 0) jest liniowo stabilny (wȩzeł). R 0 > 1 Stan stacjonarny (0, 0) jest liniowo niestabilny (siodło) oraz istnieje endemiczny stan stacjonarny (IV,I R ) - stabilny wȩzeł. Stwierdzenie[Globalna stabilność endemicznego stanu stacjonarnego] Jeśli R 0 > 1 oraz I V (0)+I R (0) > 0, to endemiczny stan stacjonarny (IV,I R ) jest globalnie asymptotycznie stabilny w pierwszej ćwiartce.

36 Portret fazowy I V,I R (R 0 > 1) I R I R = dv I V N R α β R A I V V V N R I * R I V = γ R IR N R α R βr N I R R 0 A I V * V I V

37 Fale biegna ce Definicja Fala biegna ca z prȩdkościa c dla układu (S) nazywamy rozwia zanie u (I V,I R ), które ma postać u(x ct) i ła czy stany stacjonarne, a przy tym u( ) = u (IV,I R ) oraz u( ) = 0 (0,0). c u(x ct) z=x ct

38 Fale biegna ce Twierdzenie Istnieje minimalna prȩdkość fal biegna cych c 0 taka, że dla każdego c c 0 nieliniowy układ (S) ma nierosna ce rozwia zanie postaci fali biegna cej (I V (x ct),i R (x ct)) o prȩdkości c takie, że (I V ( ),I R ( )) = (I V,I R ) oraz (I V ( ),I R ( )) = (0,0). Jeśli c < c 0, nie istnieje fala biegna ca o tej postaci. Korzystamy z ogólniejszego twierdzenia (Li, Weinberger, Lewis, Volpert).

39 Prȩdkość rozprzestrzeniania siȩ infekcji i fale biegna ce Definicja Prȩdkościa rozprzestrzeniania siȩ infekcji dla nieliniowego układu u t = Du xx +f(u), z macierza dyfuzji D, gdzie f(0) = 0,f(u ) = 0 oraz u > 0, z niezerowymi warunkami pocza tkowymi na zwartym zbiorze, nazywamy liczbȩ c taka, że dla małych ǫ > 0 { } } lim t sup u(t, x) x (c +ǫ)t = lim t { sup u(t,x) u x (c ǫ)t =0

40 Prȩdkość fali vs c Twierdzenie Minimalna prȩdkość fali c 0 dla układu (S) jest równa c, czyli prȩdkości rozprzestrzeniania siȩ infekcji dla tego układu.

41 Prȩdkość fali vs c Twierdzenie Minimalna prȩdkość fali c 0 dla układu (S) jest równa c, czyli prȩdkości rozprzestrzeniania siȩ infekcji dla tego układu. Prȩdkość fali trudno znaleźć, ale wielkość c można wyznaczyć badaja c zlinearyzowany układ; zastosujemy rezultat Weinbergera, Lewisa, Li.

42 Zlinearyzowany układ (L) [ IV ] [ IV ] [ IV ] I R t = D I R xx +J I R gdzie J = Df(0) = d V α V β R A V N R oraz D = [ ε 0 0 D ] α R β R γ R

43 Funkcja f f 1 (I V,I R ) = α V β R I R N R (A V I V ) d V I V f 2 (I V,I R ) = α R β R N R I R N R I V γ R I R spełnia warunek podstyczności, czyli dla ρ > 0 ( ]) ] ] f ρ [ IV I R ρdf(0) [ IV I R = ρj [ IV I R

44 Liniowa odpowiedniość Twierdzenie (i) Prȩdkość rozprzestrzeniania siȩ infekcji c nieliniowego układu (S) oraz prȩdkość c dla zlinearyzowanego układu (L) istnieja oraz c = c. (ii) Prȩdkość rozprzestrzenienia siȩ c dla układu (L) jest dana wzorem c = inf λ>0 σ 1(λ) gdzie σ 1 (λ) jest najwiȩksza wartościa własna macierzy B λ = J +λ2 D λ

45 Prȩdkość rozprzestrzeniania siȩ c Wielomian charakterystyczny dla B λ p(σ;λ,ε) = σ 2 σ trj +(D+ε)λ2 λ + detj λ 2 Dd V εγ R +εdλ 2

46 Prȩdkość rozprzestrzeniania siȩ c Wielomian charakterystyczny dla B λ p(σ;λ,ε) = σ 2 σ P(σ;λ) = λ 2 p(σ;λ,0) trj +(D+ε)λ2 λ + detj λ 2 Dd V εγ R +εdλ 2

47 Prȩdkość rozprzestrzeniania siȩ c Wielomian charakterystyczny dla B λ p(σ;λ,ε) = σ 2 σ P(σ;λ) = λ 2 p(σ;λ,0) trj +(D+ε)λ2 λ + detj λ 2 Dd V εγ R +εdλ 2 Q - rugownik (resultant) wielomianu P i pochodnej P λ

48 Prȩdkość rozprzestrzeniania siȩ c Wielomian charakterystyczny dla B λ p(σ;λ,ε) = σ 2 σ P(σ;λ) = λ 2 p(σ;λ,0) trj +(D+ε)λ2 λ + detj λ 2 Dd V εγ R +εdλ 2 Q - rugownik (resultant) wielomianu P i pochodnej P λ Twierdzenie Przy ε 0, prȩdkość rozprzestrzeniania siȩ c = c dla nieliniowego układu (S) zbiega do pierwiastka z najwiȩkszej wartości własnej wielomianu Q(x).

49 Wielomian Q Q(c 2 ) = c 6 +c 4 D( 4θ 3 +12d V j 2d V θ 2 +18θj) +c 2 D 2 ( 18θd V j 12d 2 V j +d2 V θ 27j2 )+4D 3 d 3 V j gdzie j = detj, θ = trj oraz D jest współczynnikiem dyfuzji ptaków.

50 Oszacowania numeryczne dla c = c z ε = c*(d) D c ([ km dzien ]) jako funkcja dyfuzji D. Dla A V/N R = 20,β R = 0.3,γ R = 0.01,d V = 0.029,α V = 0.16,α R = 0.88/dzien, obserwowana prȩdkość rozprzestrzeniania siȩ 2.74km/dzien odpowiada współczynnikowi dyfuzji D rzȩdu 5.94km 2 /dzien.

51 Układ (P) L V t S V t E V t I V t S R t I R t R R t = b V (S V +E V +I V ) m V L V d L L V = ε 2 S V x 2 α Vβ R I R N R S V +m V L V d V S V = ε 2 E V x 2 +α V β R I R N R S V (κ V +d V )E V = ε 2 I V x 2 +κ VE V d V I V = D 2 S R x 2 α Rβ R S R N R I V +η R R R = D 2 I R x 2 +α Rβ R S R N R I V γ R I R = D 2 R R x 2 +γ R I R η R R R

52 Układ (P) Układ (S) I V t I R t = ε 2 I V x 2 +α Vβ R I R N R (A V I V ) d V I V = D 2 I R x 2 +α N R I R Rβ R I V γ R I R N R

53 Układ (P) Układ (S) Układ (S*) di V dt di R dt = α V β R I R N R (A V I V ) d V I V = α R β R N R I R N R I V γ R I R

54 Układ (P) Układ (S) Układ (S*) Układ (L) I V t I R t = ε 2 I V x 2 +α Vβ R A V I R N R d V I V = D 2 I R x 2 +α Rβ R I V γ R I R

55 Układ (P) Podsumowanie

56 Podsumowanie Układ (P) Układ uproszczony (S)

57 Podsumowanie Układ (P) Układ uproszczony (S) fale biegna ce Układ jednorodny (S*) (rozwia zania stacjonarne)

58 Podsumowanie Układ (P) Układ uproszczony (S) prȩdkość rozprzestrzenienia, fale biegna ce

59 Podsumowanie Układ (P) Układ uproszczony (S) prȩdkość rozprzestrzenienia, fale biegna ce Układ zlinearyzowany (L) (liniowa prȩdkość rozprzestrzeniania)

60 Podsumowanie Układ (P) Układ uproszczony (S) prȩdkość rozprzestrzenienia, fale biegna ce liniowa odpowiedniość Układ zlinearyzowany (L) (liniowa prȩdkość rozprzestrzeniania) Układ jednorodny (S*) (rozwia zania stacjonarne)

61 Podsumowanie Układ (P) twierdzenie porównawcze Układ uproszczony (S) prȩdkość rozprzestrzenienia, fale biegna ce liniowa odpowiedniość Układ zlinearyzowany (L) (liniowa prȩdkość rozprzestrzeniania) Układ jednorodny (S*) (rozwia zania stacjonarne)

62 Układ uproszczony (S) przy ÃV,ÑR. I V t I R t = ε 2 I V x 2 +α Vβ R I R Ñ R (ÃV I V ) d V I V = D 2 I R x 2 +α Ñ R I R Rβ R I V γ R I R Ñ R gdzie à V,Ñ R sa stałymi.

63 Twierdzenia porównawcze Twierdzenie Załóżmy, że N R (x,0) = Ñ R, b V = d V(m V +d L ) m V, L V (x,0) = L V0 = const., A V (x,0) = A V0 = const. Wtedy składowe (I V,I R ) rozwia zania układu (P) sa ograniczone z góry przez rozwia zania (ĪV,ĪR) uproszczonego układu (S) jeśli ( ) max A V0,A V0 d VA V0 m V L V0 m V +d V +d L Ã V oraz (I V (0)+E V (0),I R (0)) (ĪV(0),ĪR(0)).

64 Twierdzenia porównawcze Twierdzenie Załóżmy, że założenia poprzedniego twierdzenia sa spełnione oraz ) d V γ R ( 1+ d V κ V < α V α R β 2 R Ã V Ñ R Jeśli prȩdkość rozprzestrzeniania siȩ infekcji dla układu (P) istnieje i jest równa c P, to c P c, gdzie c jest prȩdkościa rozprzestrzeniania siȩ dla uproszczonego układu (S).

65 Twierdzenia porównawcze Uwaga Warunek ( d V γ R 1+ d V κ V ) < α V α R β 2 R Ã V Ñ R jest równoważny nierówności R 0 = α V α R β 2 RÃVκ V d V γ R Ñ R (κ V +d V ) > 1, gdzie R 0 jest poziomem namnażania siȩ wirusa (basic reproduction number) dla układu ODE odpowiadaja cego układowi (P).