Wykład 1: Wprowadzenie. Założenia. Macierz i tensor naprężeń

Transkrypt

1 Wykład : Wprowadzenie. Założenia. Macierz i tensor naprężeń Wykłady opracowano na podstawie: Leszek CHODOR, dr inż. bud, inż.arch. leszek@chodor.co [] Timoschenko S. Goodier A.J.N., Theory of Elasticity Mc Graw Hill, nd, Oxford, 95, [] Piechnik S., Wytrzymałość materiałów dla wydziałów budowlanych, PWN, Warszawa 98, [] Rakowski J., Teoria sprężystości, Almamater, Politechnika Poznańska, /4, [4] Bower A., Linear Elasticity,, Lecture Notes, Division of Engineering Brown University, Spring 5, [5] Lebedev L.P., Cloud M.J., Tensor Analysis with Applications in Mechanics, World Scientific,, [6] Chodor L., publikacje własne - różne. [7] Strony www [dostępne na dzień wykładu] - różne

2 Program wykładów Program wykładu Wykład : TEORIA SPRĘZYSTOŚCI I PLASTYCZNOŚCI Kurs : 4 rok studiów ( rok II stopień), kierunku Budownictwo. Wykład Wprowadzenie, Założenia teorii sprężystości. tydzień Macierz i tensor naprężeń, Wykład Stan naprężeń i odkształceń, równania fizyczne, ujęcie macierzowe ZBTS Wykład Metody rozwiązania ZBTS i proste przykłady. 4 Metoda Ritza Wykład 4 Podstawy metod wariacyjnych w TS. 5 Metoda Ritza a MES Wykład 5 Wprowadzenie do MES. 6 Przykład belki na gruncie, belka Timoshenko, tarczy i płyty 7,8 Wykład 6 Nieliniowości fizyczne. Typy nieliniowości. Hipotezy. 9 Plastyczność. Teoria nośności granicznej Wykład 7 Pręty cienkościenne, Nośność nadkrytyczna Wykład 8 Ośrodki lepko-sprężyste Wykład 9 Implementacje numeryczne TSiP Wykład Wybrane zagadnienia TSiP. Podsumowanie 4,5 Politechnika Świętokrzyska, Leszek CHODOR, Teoria sprężystości i plastyczności

3 Teoria Sprężystości, a Wytrzymałość Materiałów Miejsce Teorii Sprężystości w Mechanice Teoria sprężystości (TS); Teoria plastyczności (TP) i Reologia (TR), są działami Mechaniki Ciała Odkształcalnego (MCO). Natomiast: Wytrzymałość materiałów (WM) jest historyczną nazwą TS można ją nazwać techniczną MCO, bo stawia sobie zadania takie jak MCO, lecz akceptuje wiele uproszczeń, weryfikowanych tylko przez doświadczenia - nie stanowi uporządkowanej dyscypliny, lecz raczej luźny (przypadkowy) zbiór rozwiązań. Uproszczenia przyjmowane w wytrzymałości materiałów nie mają często podstaw teoretycznych i dopiero po latach przyjęte tam hipotezy inżynierskie są weryfikowane i zastępowane nowymi technikami (Przykład: projektowanie słupów mimośrodowo ściskanych z zastosowaniem współczynnika wyboczeniowego -- w EC został zastąpiony metodą wykorzystującą obliczenia II rzędu, model D oraz ogólną metodę elementów skończonych - w miejsce współczynników wyboczeniowych w analizie P-delta uzyskuje się momenty zginające II rzędu, co jest już teoretycznie uzasadnione). Politechnika Świętokrzyska, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności

4 Teoria Sprężystości, a Wytrzymałość materiałów Miejsce Teorii Sprężystości w Mechanice TS rozważa problemy, które były zbyt skomplikowane do rozwiązania w historycznej WM i standardowo były rozwiązywane przez badania modelowe. Wraz z rozwojem technik obliczeniowych, klasyczna WM straciła na znaczeniu, a wrosła ranga teorii sprężystości, w tym nieliniowej oraz dla ciał niesprężystych (plastycznych, kruchych, lepkich). Mechanika budowli ( w tym mechanika teoretyczna, dynamika i stateczność) uzupełniają TS, szczególnie w komputerowej technice rozwiązania zagadnień brzegowych, choć raczej korzystają z ogólnych praw sformułowanych w MCO i tego powodu można uznać, że współczesna mechanika, wykorzystująca metody komputerowe jest niezależną gałęzią TS. TSiP jest nauką zajmującą się formułowaniem ogólnych praw rządzących zachowaniem ciał odkształcalnych wykonanych z różnych materiałów i o różnych własnościach poddanych rozmaitym obciążeniom i pozostających w środowiskach rozmaitej natury. Politechnika Świętokrzyska, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 4

5 Teoria Sprężystości, a Wytrzymałość Materiałów Miejsce Teorii Sprężystości w Mechanice []-str. TS zajmuje się ciałami sprężystymi, tj. takimi, które powracają do kształtu pierwotnego po zdjęciu obciążenia. TS pogłębia klasyczne podejście WM z pominięciem wielu założeń upraszczających, oraz analizuje nowe zagadnienia, wychodzące poza klasyczny zakres WM (np. konstrukcje powłokowe płyty, tarcze, nieliniowości geometryczne i fizyczne oraz, wprowadzenie czasu (reologia, a ostatnio również losowości (stochastyczna metoda elementów skończonych, itd.) Przykłady zadań TS (nierozwiązywalne przez WM): Zadanie Boussinesqa (półprzestrzeni sprężystej) Zagadnienie karbu Rozwiązanie płyty, powłoki [] [] Politechnika Świętokrzyska, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 5

6 Podstawy Teorii Sprężystości (TS) []-str., Fundamentalne założenia klasycznej TS:. O środku ciągłym (kontinuum materialnym ): cząsteczki ciała szczelnie wypełniają daną bryłę; Kontinuum jest : jednorodne (stałe materiałowe nie są funkcjami miejsca) izotropowe (własności mechaniczne nie zależą od kierunku) Uwaga: TS zajmuje się również ciałami niejednorodnymi i anizotropowymi, lecz nie będzie to przedmiotem niniejszego kursu.. O równowadze statecznej: rozważamy takie układy, które znajdują się w równowadze statecznej Uwaga: MCO zajmuje się również ciałami w ruchu (kinetyka, dynamika), lecz nie będzie to przedmiotem niniejszego kursu. Politechnika Świętokrzyska, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 6

7 Podstawy Teorii Sprężystości (TS) Fundamentalne założenia klasycznej TS:. Zasada zesztywnienia : inaczej założenie małych przemieszczeń. Uwaga: ) założenie nieprecyzyjne, lecz potrzebne do linearyzacji zagadnień dalej będziemy jawnie pokazywać zastosowanie założenia, ) Zasada zesztywnienia nie jest przyjęciem nieodkształcalności ciała (założeniem ciała sztywnego, którym zajmowała się mechanika teoretyczna ). a O małych pochodnych przemieszczeń rozważamy tylko takie przemieszczenia, których pochodne są małe (i ich potęgi mogą być pominięte jako wielkości małe wyższego rzędu) Politechnika Świętokrzyska, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 7

8 Podstawy Teorii Sprężystości (TS) Fundamentalne założenia klasycznej TS: 4. Założenie liniowo sprężystego materiału klasycznej teorii sprężystości. Materiał, z którego wykonane jest ciało jest liniowo sprężysty. Uwaga: ) sprężystość oznacza, że po zdjęciu obciążenia ciało powraca do pierwotnego stanu, ) liniowość oznacza, że zależność między odkształceniem, a naprężeniem jest liniowa (klasyczne Prawo Hooka), ) Założenie to pozwala zaniedbać historię obciążania (efekt Baushingera) WM Robert Hooke (65-7) pierwszy prezentuje to prawo w formie łacińskiego anagramu CEIINOSSITTUV = UT TENSIO, SIC VIS co tłumaczy się jakie wydłużenie, taka siła lub wydłużenie jest wprost proporcjonalne do siły. s=ee Politechnika Świętokrzyska, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 8

9 Uwaga : Podstawy Teorii Sprężystości (TS) [] (cały wykład) Rozważania prowadzimy w układzie współrzędnych matematycznym, tzn: kierunki i zwroty osi zgodne z układem z rysunku, czego skutkiem jest podobne znakowanie, a przede wszystkim zwykłe matematyczne transformacje (formuły przejścia pomiędzy różnymi układami współrzędnych) Stosujemy oznaczenia wskaźnikowe i umowę Einsteina sumowania po powtarzającym się wskaźniku [x,x,x ], co uprości zapis formuł. x x x Politechnika Świętokrzyska, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 9

10 Siła wewnętrz na, a siła przekrojo wa Układy sił, a siła wewnętrzna Twierdzenie o równoważności układów sił: jeśli dwa układy są równoważne, to sumy obu układów są równe i równe są momenty obu układów liczone względem tego samego punktu. Pojęcie sił wewnętrznych jest ogólne, a w analizie poszczególnych typów konstrukcji układy sił, zredukowane specyficznie dla rodzaju analizy też są specyficznie nazywane: Pręt: siły wewnętrzne zredukowane do środka pręta nazywamy silami przekrojowymi lub prętowymi. Umawiamy się, że środkiem pręta jest środek ciężkości jego przekroju poprzecznego płaszczyzną prostopadłą do osi pręta. Środek ciężkości leży więc na osi pręta. Siłami przekrojowymi są: N=siła osiowa, Q=siła poprzeczna, M s =moment skręcający, M g =moment zginający, B=bimoment (w prętach cienkościennych) Płyta siły wewnętrzne zredukowane do linii środkowej płyty nazywamy siłami płytowymi. Linią środkową płyty jest linia środków ciężkości jej przekroju poprzecznego płaszczyzną prostopadłą do powierzchni środkowej płyty. Politechnika Świętokrzyska, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności

11 Układy sił, a siła wewnętrzna Siła wewnętrz na jako funkcja wektorowa. Wektor wodzący, normalna zewnętrzna do przekroju u[a, a, a ] Siła wewnętrzna funkcja wektorowa P=P(r, u)dwóch wektorów [r i u]=[wektor wodzący, normalna zewnętrzna], która określa wypadkową sił międzycząsteczkowych z jakimi wszystkie punkty materialne odciętej części ciała działają na punkt materialny A Politechnika Świętokrzyska, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności A Płaszczyzna przekroju p Siły zewnętrzne Wektor wodzący r=[x,x,x ] x x x Siły międzycząste czkowe

12 Naprężenie, to gęstość sił wewnętrznyc h i jest funkcją wektorową dwóch wektorów: (r, u) Stan naprężeń, a macierz naprężeń Stan naprężeń, a macierz naprężeń [] str. 77,78,79 Siła wewnętrzna P funkcja wektorowa P=P(r, u)dwóch wektorów [r i u]=[wektor wodzący, normalna zewnętrzna], która określa wypadkową sił międzycząsteczkowych z jakimi wszystkie punkty materialne odciętej części ciała działają na punkt materialny A x x x p lim F P F P P (=gęstość sił wewn. =naprężenie p=p(r, u) P P ( r r) i i () Suma sił wewnętrznych przyporządkowanych powierzchni DF Stan naprężenia w punkcie, r=r, to zbiór wektorów naprężeń, przyporządkowanych wszystkim przekrojom bryły, przechodzącym przez punkt o wektorze wodzącym r, czyli stan naprężenia: df p p( r, ) p( Stan naprężenia jest więc funkcją wektorową tylko normalnej zewnętrznej u. Natomiast macierz naprężeń będzie funkcją wektorową tylko wektora wodzącego r W celu zdefiniowania macierzy naprężeń dokonajmy przekroju bryły tylko płaszczyznami prostopadłymi do osi kolejno: x, następnie x, a na końcu x. W pierwszym przypadku ustalamy więc wektor normalny do płaszczyzny u= u. Naprężenie staje się funkcją wektorową tylko wektora wodzącego punktu, czyli funkcja trzech jego współrzędnych skalarów (x,x,x ). Funkcję t oznaczamy następująco (patrz rysunek ): p p r, υ υ) p( r) p(,, ) Politechnika Świętokrzyska, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności ( [] (4) ()

13 Definicja macierzy naprężeń [] str. 79, 8 Naprężenia w przekrojach prostopadłych do osi. Macierz naprężeń jest zbiorem 9-ciu skalarnych funkcji. Skalarów. x Naprężenia x p i przekrojem u i x (r) (o normalnej równoległej do osi układu współrzędnych) jest wektorem w przestrzeni o -ch współrzędnych s ij (w ogólności niezerowych) Współrzędna s ij jest funkcją skalarną trzech skalarów x, x, x,, tzn s ij = s ij (x, x, x ) p p p [] [] p r, υ υ) p( r) p(,, ) ( p r, υ υ) p( r) p(,, ) ( p r, υ υ) p( r) p(,, ) Macierz naprężeń jest zbiorem skalarnych funkcji trzech zmiennych (x, x, x, ), które przedstawiają współrzędne naprężeń w tym samym punkcie o współrzędnych (x, x, x, ) uporządkowany w taki sposób, że wiersze są współrzędnymi naprężeń przyporządkowanych płaszczyznom przekrojów prostopadłych odpowiednio do osi x, x, x, Politechnika Świętokrzyska, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności ( σ [ ] [] (5) (6) (7) (8)

14 Naprężenie, to gęstość sił wewnętrznych i jest funkcją wektorową dwóch wektorów: (r, u) Umowa znakowania σ [ ] Macierz naprężeń : własności i znakowanie [] str. 8 Indeksy ij : pierwszy jest wskaźnikiem p (normalnej do płaszczyzny), drugi zaś oznacza kolejną współrzędną układu. Własności macierzy naprężeń:. Składowe, których długości leżą na diagonalnej macierzy, są prostopadłe do odpowiednich płaszczyzn przekrojów, pozostałe zaś współrzędne w kolejnych wierszach przedstawiają długości składowych, leżących w płaszczyznach podziału. Stąd też, elementy leżące na diagonalnej nazywać będziemy naprężeniami normalnymi, pozostałe zaśnaprężeniami stycznymi. Macierz naprężeń jest podstawą określania stanu naprężenia w każdym punkcie i dlatego będzie ona podstawowym przedmiotem poszukiwań TS,. Macierz naprężeń staje się uporządkowanym zbiorem liczb, jeśli ustalimy współrzędne punktu. 4. Macierz naprężeń jest macierzą kwadratową, symetryczną, nieosobliwą (istnieje macierz odwrotna) i określoną dodatnio (wyrazy diagonali są > oraz minory wszystkich rzędów > (twierdzenie Sylwestra). Umowa znakowania:. Naprężenia normalne są dodatnie (znak (+)), jeśli zwrot składowej tego naprężenia będzie zgodny ze zwrotem normalnej zewnętrznej płaszczyzny przekroju. Naprężenia styczne są dodatnie(znak (+)), jeśli : a) zwrot normalnej zewnętrznej płaszczyzny przekroju jest zgodny ze zwrotem osi współrzędnych, do której normalna jest równoległa, b) zwrot składowej naprężenia stycznego jest zgodny ze zwrotem osi współrzędnych do której ta składowa jest równoległa; naprężenia styczne sad dodatnie również w tym przypadku, gdy następuje równoczesna niezgodność zwrotów obu wymienionych par wektorów. Obraz graficzny macierzy naprężeń na poprzednim slajdzie oddaje istotę macierzy, jaką jest przyporządkowanie naprężeń płaszczyznom z odpowiednim wektorem normalnym, wskazującym, która część działa na którą. Z tej istoty wynika również konieczność specjalnej umowy znakowania, ponieważ zgodność z osiami współrzędnych nie jest jednoznaczna trzeba byłoby podawać z która częścią ciała mamy do czynienia. Politechnika Świętokrzyska, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności []

15 Macierz naprężeń : graficzny obraz []- str. 8, 8 Graficzny obraz macierzy naprężeń na sześcianie jednostkow ym A Punkt materialny o wymiarach dx * dx * dx Siły masowe G, G, G P Przykład Z symetrii macierzy naprężeń, wynika, że równe są naprężenia styczne na płaszczyznach wzajemnie prostopadłych i prostopadłe do krawędzi przecięcia tych płaszczyzn. Przykład obrazu naprężeń [] [ ] Politechnika Świętokrzyska, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności

16 Tensor naprężeń [] str. 8 Tw: Macierz naprężeń jest tensorem Dowód tw: cz. [] F Tw.: Macierz naprężeń jest tensorem Wektor normalnej zewnętrznej do ściany BCD: υ [ i ] [,, ] Ponieważ długość u jest równa, więc jego współrzędne są kosinusami kierunkowymi kątów między wersorem, a osiami współrzędnych i zachodzi równość (norma) F (9) A(x,x,x ) Długości krawędzi Dx, Dx, Dx () Dowód Tw. cz..: Jeśli oznaczymy pole powierzchni ścianki wynosi DF, a do osi x i DF i, to zachodzi Zgodnie z twierdzeniem o równoważności układów sił i zewnętrznych i wewnętrznych, układ sił działających na cos(, xi ) i () ścianki czworościanu jest równoważny układowi zerowemu [] Następnie jeśli założymy, że ze wszystkich naprężeń A ( x, x x x ), (, ) () jest naprężeniem średnim i oznaczymy je przez: na ściance ACD naprężenie w pkt p ( x, x x x) p ( j Politechnika Świętokrzyska, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 6 ()

17 Tw: Macierz naprężeń jest tensorem dowód. cz. Tensor naprężeń cd. []- str.8,84,85 Dowód tw. cz..: Analogicznie założymy w pkt. A, A, A naprężenia są średnie ze ścianek F, F, F i oznaczymy je: p (,, ); p (,, ); p (,, ) Siły wewnętrzne na poszczególnych ściankach uzyskamy przez przemnożenie tego średniego naprężenia przez pole powierzchni ścianki. Ponieważ układ sił wewnętrznych, działających na czworościan jest układem zerowym, więc suma sił S oraz moment względem dowolnego punktu jest równy. S= S F F F F Dzielimy (5) obustronnie przez DF; korzystamy z (), S F F F F (5) otrzymujemy (6), a stamtąd w S F F F F granicy przy Dx i (stały wektor normalnej zewnętrznej do DF M= (6) Postępując analogicznie z warunkiem M= i przechodząc do granicy przy Dx i, udowadniamy symetryczność macierzy naprężeń, czyli,, (7) i Wzory (6) z wykorzystaniem (7) (po opuszczeniu ^ ) można zapisać z wykorzystaniem umowy sumacyjnej Einsteina:, czyli po rozpisaniu (powtarzający indeks nakazuje sumowanie po tym indeksie) ij j Politechnika Świętokrzyska, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności (8) (4) (u=const) otrzymamy wyrażenia identyczne jak (6), lecz naprężenia będą teraz w punkcie A(x, x, x ) (opuszczamy znak średniej= ^ ) Wniosek : Jeśli dana jest macierz naprężeń w punkcie oraz dane są współrzędne wersora normalnego dowolnej płaszczyzny, którą przecinamy bryłę, to za pomocą wzoru (8) obliczymy współrzędne wektora naprężenie w tym przecięciu (9)

18 Tw: Macierz naprężeń jest tensorem dowód. cz. Tensor naprężeń cd. [] str.85,86 Dowód tw. cz.. :Równanie (8) zapiszmy w postaci macierzowej Z (8) można odczytać, że macierz naprężeń jest tensorem drugiego rzędu. Z definicji bowiem, tensorem drugiego rzędu nazywamy macierz, która pomnożona przez wektor, daje w wyniku wektor. (8) j ij i υ p ] [ (9), czyli,, υ Przykład liczbowy. Niech w ustalonym punkcie B dana jest następująca macierz naprężeń, określona w układzie (x i ) Znależć współrzędne wektora naprężenia p u przy przecięciu bryły płaszczyzną przechodzącą przez punkt B o normalnej zewnętrznej [ ] 4 Rozwiązanie Wniosek : Do określenia stanu naprężenia wystarcza znajomość macierzy naprężeń w każdym punkcie, a więc znajomość funkcji s ij (x, x, x ). Wniosek : Macierz naprężeń jest tensorem, co ma ogromne praktyczne znaczenie, ponieważ pozwala wprost wykorzystać cały formalny aparat rachunku tensorowego, w tym umowę sumacyjną Einsteina. Jeśli stosujemy zapis wskaźnikowy. Szczególnie ważny jest wzór transformacyjny do nowego układu. [] Politechnika Świętokrzyska, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 8

19 Prawo tensorowe transformacji Transformacja macierzy naprężeń do innego układu []- str. 87 ' ' Macierz przejścia () współrzędne wersorów e i nowych osi x i w układzie starym Kolejne wiersze macierzy przejścia () są współrzędnymi wersorów (e i ) nowych osi, odniesionymi do układu starego (x i ), kolumny zaś przedstawiają współrzędne wersorów starych osi e i, określonych w układzie nowym (xi ). Macierz przejścia jest więc ortonormalna względem wierszy i kolumn, zachodzą relacje: ik ki jk kj ij, gdy _ i j, gdy _ i j ( x i Przykład liczbowy. W ustalonym punkcie B przy przecięciu bryły ) () : elementy macierzy naprężeń transformują się do nowego układu wg prawa tensorowego: ' ij ik jr kr (9) [] [] Politechnika Świętokrzyska, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 9

20 Transformacja macierzy naprężeń do innego układu- przykład [] str.88,89 Przykład transform acji macierzy naprężeń ' ij ik jr kr (9) W pkt B dana jest macierz naprężeń Znaleźć: a) długość naprężenia normalnego w pkt B przy przecięciu bryły płaszczyzną o wersorze normalnym u, b) Naprężenia styczne leżące w płaszczyźnie jak w (a) i równoległe do wersorów u, u υ,, ' υ,, Rozwiązanie ' a): Szukamy kr kr { k r '' υ,, [] [ ], (,,)}... ( ) k ( ) ( ) k k, r, r, r (,,) (,,) (,,) 4 Politechnika Świętokrzyska, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 9 Rozwiązanie b): zauważmy, że wersory u, u są wzajemnie ortogonalne, ich współrzędne tworzą macierz przejścia Zadanie sprowadza się więc do znalezienia ', ' co znajdziemy po rozpisaniu wzoru (9) dla (i=.j=) oraz (i=, j=) odpowiednio

21 Naprężen ia główne i kierunki główne, to wartości i wektory własne Ukłąd równań zadania własnego () z warunkie m () Wyznacz nik charakter ystyczny () Naprężenia główne definicja,[] str. 89 do 9 Naprężenie główne są to ekstremalne naprężenia normalne w punkcie ciała. Kierunki główne są to kierunki, na których działają naprężenia główne. Można udowodnić, że w płaszczyznach głównych (stowarzyszonych z naprężeniami głównymi) naprężenia styczne znikają. Zadanie: znaleźć takie (i) Wektory i liczby υ (i) aby [ ] υ υ () Znalezienie naprężeń głównych i wektorów głównych jest znane w rachunku tensorowym, jako poszukiwanie wektorów własnych i wartości własnych Zadanie wlasne () możemy zapisać w postaci macierzowej () () () Łatwo można zauważyć, że układ równań () jest jednorodny ze względu na szukane kosinusy kierunkowe aj (j=,,), a zatem rozwiązanie niezerowe istnieje wtedy, gdy wyznacznik macierzy utworzony ze współczynników przy niewiadomych jest równy zero, czyli Politechnika Świętokrzyska, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności () i NIE

22 Równani e charakter ystyczne Macierz główna Relacje naprężeń głównych Naprężenia główne technika i własności [] str.9do 96 Warunek zerowania wyznacznika () po rozpisaniu, przyjmie postać równania charakterystycznego (lub sekularnego, wiekowego) (znanego z algebry liniowej) Równanie charakterystyczne ma zawsze trzy pierwiastki rzeczywiste ( ze względu na symetrię macierzy naprężeń), które oznaczymy,, Macierz naprężeń w układzie (,,) przyjmuje postać [ ] glówna [] I I I I trσ i M det σ i I I const (4), const const, Naprężenia główne mogą mieć następujące relacje a) wszystkie różne b) dwa takie same c) wszystkie równe W zależności od relacji będziemy mieli inną technikę wyznaczania oraz interpretację wektorów własnych: a) dla każdego pierwiastka zeruje się () wektory własne wyznaczamy trzykrotnie z równań () po pominięciu dowolnego i zastąpieniu go przez warunek () b) wartości własnej pojedyńczej odpowiada wektor własny, wyznaczony jak w a), natomiast pierwiastkowi podwójnemu odpowiada cała płaszczyzna wektorów własnych prostopadła do stowarzyszonego z pierwiastkiem pojedynczym wyznaczamy go najczęściej z iloczynu wektorowego algebra liniowa. Przypadek występujący w praktyce dość często. c) każdy wektor jest wektorem własnym. Przy przecięciu bryły każdą płaszczyzną otrzymujemy wektor naprężenie prostopadły do tej płaszczyzny. Politechnika Świętokrzyska, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności

23 Naprężenia główne płaski stan naprężenia []- str. 96 Naprężen ie i kierunki główne w płaskim stanie naprężeni a σ ] [ Dla przypadku płaskiego równania i ilustracja graficzna ulegną znacznemu uproszczeniu: ( i ) I I I, I, I ( ( ) ) 4 4 t ( ( ( ) ( ) ) ) t t,, [],, ( ( ( ) ) ) Politechnika Świętokrzyska, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności

24 Ekstrema lne naprężeni a styczne w płaszczyz nach nachylon ych o 45 o do płaszczyz n głównych Ekstremalne naprężenia stycznych, koło Mohra [] str 96 do Tw. Płaszczyny, którym przyporządkowane są ekstremalne naprężenia styczne, przechodzą przez jedną z osi głównych i do pozostałych są nachylone pod kątem 45 o : Dowód, np. w []. Graficzną analizę stanu naprężenia dokonujemy zwykle w konstrukcji kół Mohra (znane zwm ; na tym kursie nie prowadzimy głębszej analizy, wskażemy tylko, że koła Mohra, to obraz nierówności, będących rozwiązaniem TS []) [] Koło Mohra, Nierówno ści Nierówności stanu naprężeń podstawa do konstrukcji Mohra [] Politechnika Świętokrzyska, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 4

25 Literatura podstawowa Stefan Piechnik Wytrzymałość materiałów, PWN 98, [] lub Mechanika techniczna ciała stałego, 6 Politechnika Świętokrzyska, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 5