MOdEL drganiowy LAMiNOWANEj PłYTY POddANEj WYMUSzENiU AkUSTYCzNEMU

Transkrypt

1 PRACE instytutu LOTNiCTWA 9, s. 3-5, Warszawa 013 MOdEL drganiowy LAMiNOWANEj PłYTY POddANEj WYMUSzENiU AkUSTYCzNEMU MIhał SzMIdt Instytut Lotnitwa Streszzenie W artykule opisano w sposób szzegółowy analizę drgań laminowanej płyty prostokątnej wymuszonyh przez iśnienie akustyzne. Wyhodzą od równania różnizkowego, opisująego wymuszone drgania płyty prostopadle laminowanej, przedstawiono, krok po kroku, analityzne rozwiązanie równania drgań metodą Fouriera. Uzyskane przez zaprogramowanie oraz wykonanie przez komputer skryptu matematyznego numeryzne rozwiązanie pozwoliło na sporządzenie przebiegów zasowyh wyhylenia dowolnego punktu płyty, jak również animaji odkształenia ałej powierzhni płyty. zięki temu na trójwymiarowyh wykresah zostały przedstawione kolejne postaie drgań własnyh oraz określono ih harakter i wielkość. Oblizenia i omówienie wyników przeprowadzono dla dwóh przypadków: płyty wykonanej z aluminium oraz z kompozytu włókno węglowe/żywia epoksydowa. Przyjęte założenia są zgodne z założeniami teorii płyt Kirhhoffa, zaś współzynniki tłumienia zostały zazerpnięte z literatury opisująej badania empiryzne przeprowadzone przez naukowów amerykańskih i hińskih. Opisany model drganiowy został opraowany w elu zbadania możliwośi zrealizowania w praktye konepji aktywnej redukji niskozęstotliwośiowego hałasu, panująego w kabinah samolotów z napędem turbośmigłowym. Wtórnym źródłem tego hałasu są pobudzone do drgań dźwiękiem generowanym przez śmigła ienkośiennie elementy poszyia kadłuba, w przybliżeniu dająe się zamodelować, jako prostokątna płyta wzbudzana iśnieniem jednorodnym, zmiennym w zasie jak funkja sinus. Słowa kluzowe: Fourier, drgania, tłumienie, hałas, iśnienie akustyzne, aluminium, kompozyt, płyta WStęp Niniejszy artykuł stanowi opis fragmentu pra prowadzonyh w Net Instytuie (pion Instytutu Lotnitwa w Warszawie) w dziedzinie hałasu kabinowego. zawiera szzegółowy opis modelu analityznego używanego do symulowania zjawiska przejśia przez ienkośienne elementy poszyia kadłuba, fali dźwiękowej z zewnątrz do wnętrza kabiny samolotu pasażerskiego. Jest to pierwszy etap na drodze do opraowania skuteznej metody aktywnego tłumienia drgań powłokowyh elementów kadłuba samolotu, w elah wyiszeniowyh.

2 MIhał SzMIdt Rozwijana metoda opiera się na konepji zastosowania maierzy naklejonyh na powłokowe elementy kadłuba piezoaktuatorów, które sterowane w aktywny sposób, mają redukować drgania śianek kadłuba, a tym samym ogranizać hałas jaki jest przenoszony do wnętrza samolotu. Metoda, w założeniu, skupia się jedynie na hałasie niskozęstotliwośiowym, a dzieje się tak z dwóh powodów: - głównym źródłem bardzo uiążliwego i trudnego do wyeliminowania obenymi metodami hałasu jest hałas generowany przez śmigła (samoloty turbośmigłowe i o napędzie tłokowym) - średnie i wysokie zęstotliwośi są skuteznie tłumione przez szeroko rozpowszehnione materiały dźwiękoizolayjne i dźwiękohłonne. 1. WypRoWadzeNIe zależnośi W niniejszym opraowaniu zajmiemy się analizą wymuszonyh drgań prostokątnej płyty kompozytowej złożonej z n = 7 warstw laminatu włókno węglowe żywia epoksydowa. Kąt laminowania wynosi 90. Wymuszenie stanowi równomiernie rozłożone wzdłuż wymiarów płyty (jednorodne) iśnienie akustyzne o wartośi 0pa, zmienne w zasie z zęstotliwośią ν, symulująe hałas o natężeniu 10dB. Wymiary płyty wynoszą a = 500, b = 500. Rys. 1. analizowana płyta W rozważaniah wykorzystamy teorię płyt Kirhhoffa [1]. W tym elu przyjmiemy następująe założenia upraszzająe: - proste prostopadłe do powierzhni środkowej płyty pozostają również prostymi prostopadłymi do odkształonej powierzhni środkowej - naprężenia w kierunku prostopadłym do powierzhni środkowej zaniedbywalnie małe w porównaniu do innyh naprężeń - grubość płyty jest wielokrotnie mniejsza od jej pozostałyh wymiarów - ugięie płyty jest tego samego rzędu wielkośi o grubość płyty - przemieszzenia styzne do powierzhni środkowej są znaznie mniejsze od ugięia w kierunku prostopadłym - składowe stanu odkształenia są małe - duża lizba warstw pozwala na pominięie sprzężeń giętno-skrętnyh w maierzy sztywnośi Model nie daje możliwośi uwzględnienia w symulajah uszkodzeń laminatu typu rozwarstwienie zy obeność zamkniętyh w materiale pęherzy powietrza.

3 ModeL drganiowy LaMINoWaNeJ płyty poddanej WyMuSzeNIu akustyznemu 5 analizie poddajemy drgania płyty prostopadle laminowanej, wobe zego mamy do zynienia z materiałem ortotropowym w skali makro, a zatem jej sztywność zależeć będzie tylko od ztereh współzynników z maierzy sztywnośi tj.,, 1 oraz 66. tłumienie wewnętrzne uwzględnimy i przyjmiemy, że jest zależne od dwóh współzynników α oraz β harakteryzująyh wartość oporów wiskotyznyh, odpowiednio przy śiskaniu/roziąganiu oraz śinaniu (α < β). W przypadku płyty z materiału izotropowego, równanie różnizkowe opisująe drgania wymuszone ma następująą postać: w( x, y, t) wxyt (,, ) wxyt (,, ) h pxyt (,, ) t t (1) W naszym przypadku lewa strona równania przyjmuje postać: wxyt (,, ) wxyt wx L (,, ) (, yt, ) 1 66 x x y y wxyt (,, ) h t wxyt (,, ) wxyt (,, ) wxyt (,, ) d 1 66 x x y y dt () Sztywnośi walowe płyty w poszzególnyh kierunkah (, 1, ) są funkją stałyh materiałowyh oraz lizby warstw kompozytu. Wyznazymy je w zależnośi od elementów maierzy sztywnośi (Q,Q 1, ). Q Q Q E E E E Jeśli przyjmiemy, że: 1 1 E E E 1 E 1 1 E 1 (3) () (5) F Q Q 1 n 3 n 1 P 1 3 n to sztywnośi walowe płyty dane będą następująymi zależnośiami: FPP1 h Q 3 (6) (7) (8)

4 6 MIhał SzMIdt PF FP h Q hq hq 3 (9) (10) () Współzynniki α oraz β określają wartość tłumienia wewnętrznego. doświadzalnym wyznazeniem ih wartośi zajęli się.. Siu i. W. Bert [3] oraz R. R. lary []. W pierwszej z wymienionyh pra przeanalizowane zostały drgania własne płyty kompozytowej złożonej z warstw laminatu włókna boru/żywia epoksydowa. dla pierwszej zęstośi własnej, przy swobodnyh brzegah płyty, oblizona wartość współzynnika tłumienia wynosi α = 0,1 (kąt laminowania 0 stopni) zaś β = 0,8 (kąt laminowania 90 ) i jest podawana jako stosunek mierzonego współzynnika tłumienia do wartośi współzynnika tłumienia krytyznego. W przypadku drugiej pray również analizowane były drgania własne płyt laminowanyh z kompozytu złożonego z włókien boru, zanurzonyh w osnowie z żywiy epoksydowej. Lizby warstw wynosiły 6, 1, zaś kąty laminowania to 0, 10, 30, 6, 60 oraz 90. także i w tym przypadku płyta miała swobodne brzegi. dla pierwszej zęstośi drgań własnyh zmierzone wartośi współzynnika tłumienia wynosiły: tabela 1. Wartośi współzynników tłumienia w zależnośi od sposobu ułożenia warstw laminatu oraz postai drgań opory ruhu wynikająe z lepkośi gazów otazająyh płytę są uwzględnione w powyższyh eksperymentalnie wyznazonyh współzynnikah (pomiary nie były przeprowadzane w próżni), o zyni je wygodnymi do naszyh oblizeń. analizują postaie drgań i odpowiadająe im współzynniki tłumienia, zamieszzone w tabeli 1., możemy zaobserwować, iż współzynnik tłumienia dla postai, w której płyta podlega nie tylko zgięiu ale i lokalnemu skręeniu jest średnio kilkukrotnie (od 1, do 0 razy) większy. prowadzi to do wniosku, iż współzynnik tłumienia odpowiadająy za tłumienie odkształeń tnąyh oraz skrętnyh (β) jest dominująym. zatem, biorą pod uwagę wyniki dla pięiu pierwszyh postai drgań własnyh, jakie uzyskali autorzy przytozonyh pra, przyjmiemy do dalszyh analiz wartość współzynnika tłumienia β na poziomie 0,8 wartośi współzynnika dla tłumienia krytyznego, zaś współzynnik α przyjmiemy 5-krotnie mniejszy dla każdej postai drgań. ponadto w pray [] możemy znaleźć interesująe porównanie tłumienia pierwszej postai płytowej panelu kompozytowego i płyty aluminiowej. Wynika z niego, iż współzynnik tłumienia w przypadku materiału kompozytowego jest około dwukrotnie większy przy takih samyh wymiarah po-

5 ModeL drganiowy LaMINoWaNeJ płyty poddanej WyMuSzeNIu akustyznemu 7 przeznyh i grubośi badanego elementu (stosunek boków prostokąta a/b = 6,6). Wykorzystamy tę informaję, by bazują na modelu jaki opraował autor [5], zbadać, przy zahowaniu tego samego rodzaju wymuszenia i sposobu podparia, jaki wpływ na poziom drgań płyty ma sama zmiana materiału, z którego wykonany jest panel. przejdziemy teraz do prawej strony równania (1), gdzie zapisane jest wymuszenie zewnętrzne. W rozpatrywanym przypadku wymuszenie dane jest iśnieniem akustyznym jednorodnym względem zmiennyh x, y (p z =onst) zaś zmieniająym się w zasie z zęstotliwośią νwpastai: pxyt (,, ) psin( t) (1) Równanie (1) jest równaniem niejednorodnym o jednorodnyh warunkah brzegowyh ((16), (17)). Rozwiążemy je metodą rozdzielenia zmiennyh (Fouriera). z wxyt (,, ) T ( tw ) ( xy, ) m1 n1 mn mn (13) Funkje własne W mn (x,y) przewidujemy w postai: W Spełniają one dobrze przyjęte założenia tj. zerowe przemieszzenia poprzezne płyty na brzegah i brak momentu reakyjnego na brzegah (podparie przegubowe). przemieszzenia opisuje zależność (1), natomiast momenty gnąe dane są wzorami: M mn x m x ( x, y) sin sin a ny b W x y W x y (, ) (, ) y x (1) M y W x y W x (, ) (, y) x y (15) powyższe założenia (15) możemy zapisać w postai odpowiednih (jednorodnyh) warunków brzegowyh: W ( 0, y) 0 W ( a, y) 0 mn mn W ( 0, y) 0 W ( b, y) 0 mn mn (16) oraz: Wmn (, 0 y) Wmn (, a y) 0 0 x x Wmn (, 0 y) Wmn (, b y) 0 0 y y (17)

6 8 MIhał SzMIdt po podstawieniu zależnośi (13) do równania (1) i oblizeniu odpowiednih pohodnyh ząstkowyh lewą stronę równania możemy zapisać w postai: L m1 n1 mx n y T y m mn a b sin sin ( ) a d m m n 1 66 dt a a b (18) 1 66 n b Rozwińmy teraz prawą stronę równania w szereg Fouriera: m n n a b b d dt h mx pz( x, y) ap sin sin mn a m1 n1 ny b (19) Jako, że iśnienie jest jednorodne (funkja stała) współzynniki a p mn są dane zależnośią: a b m x n y ap pz x y dxdy mn ab (, )sin sin a b 0 0 po dwukrotnym sałkowaniu po obszarze [0,a] x [0,b], otrzymujemy: p i j ap z os 1 os 1 mn mn (0) (1) zatem możemy zapisać prawą stronę równania w następująej postai: P sin t m1 n1 pz os i1 os j 1 m x n y sin mn a sin b () ix jy pomnóżmy obydwie strony równania przez funkje ortogonalne sin sin, ab a b a następnie dwukrotnie sałkujmy po obszarze [0,a] x [0,b], o prowadzi do warunku: n = i m = j (3) wobe zego lewa strona wygląda następująo: a b i x j y L dxdyt y m mn ab sin ( )sin ( ) ( ) a b a 1 66 m n n d a b b dt 0 0 d dt m m n 1 66 a a b n b h a prawa strona równania: ()

7 ModeL drganiowy LaMINoWaNeJ płyty poddanej WyMuSzeNIu akustyznemu a b pz os i1 os j 1 P sin t ij ab 0 0 i x j y sin sin dxdy a b 9 (5) ałka: a b 0 0 ix j y sin ( )sin ( ) a b dxdy ab (6) zatem równanie (1) przyjmuje postać: T y m m n n mn ( ) a a 1 66 b d b dt d dt m a 1 66 m a n b n b h pz os i 1 os ij j 1 sin t Wstawmy do tego równania o następuje: (7) m m n n 1 66 a a b k b m 1 66 m n a a b n b h m T () t y ij (8) pz osi 1os j1 F ij by otrzymać równanie osylatora harmoniznego (bez tłumienia) z wymuszeniem: ky y ' my" F sin( t) (9) Jest to równanie niejednorodne, wobe zego jego rozwiązanie przyjmiemy jako sumę ałki ogólnej równania jednorodnego i ałki szzególnej równania niejednorodnego. y y y 1 (30) ałkę ogólną y 1 równania jednorodnego (9) wyznazymy przez podstawienie eulera: y e rx (31)

8 10 MIhał SzMIdt które doprowadzi nas do równania harakterystyznego o postai: mr r k 0 (3) Wyznaznik tego równania może przyjmować wszystkie trzy wartośi (ujemną, zerową lub dodatnią), a którą z nih przyjmie zależeć będzie od wartośi współzynników α oraz β określająyh rodzaj tłumienia. Rozpatrzmy te przypadki: a) wyznaznik ujemny tłumienie podkrytyzne mk 0 (33) Wiemy z literatury, iż wartośi współzynnika tłumienia odkształeń skrętnyh/tnąyh są średnio kilkukrotnie większe, niż odkształeń roziągająyh/śiskająyh. Jeśli wię przyjmiemy β=5α możemy wyznazyć zakres w jakim muszą się mieśić wartośi współzynnika tłumienia odkształeń, by tłumienie było podkrytyzne: h m m n 1 66 n a a b b m m a a n b n b (3) wówzas otrzymujemy dwa różne pierwiastki zespolone: i km r1 m r i km m (35) a zatem ałka ogólna ma postać: y1 a e C km m t C m t a a 1 os b) wyznaznik zerowy tłumienie krytyzne sin km m t (36) mk 0 (37) przyjmują takie samo założenie jak poprzednio dohodzimy do warunku na α: h m m n n 1 66 a a b b m m a a n b n b (38)

9 ModeL drganiowy LaMINoWaNeJ płyty poddanej WyMuSzeNIu akustyznemu I wówzas równanie (31) ma jeden pierwiastek podwójny: a ałka ogólna równa się: r1, m y e C tc 1b m t b b 1 (39) (0) ) wyznaznik dodatni tłumienie nadkrytyzne oznaza, iż są dwa różne pierwiastki rzezywiste: () (1) (3) prowadząe do ałki ogólnej, jak następuje: 1 1 mk mk t t m y C e m C e () znajdziemy teraz metodą przewidywań ałkę szzególną y równania niejednorodnego (9). y C sin( t) C os( t) 3 (5) po oblizeniu pohodnyh i ih podstawieniu do równania (9) otrzymujemy wyrażenie: kc C m C sin( t) kc C m C os( t) F sin( t) (6) dzięki któremu możemy zapisać układ dwóh równań pozwalająy na wyznazenie stałyh 3 oraz : Stałe te wynoszą: F C3 k m k m kc3c m C 3 F kc C 3m C 0 (7) C F k m k m k m (8)

10 1 MIhał SzMIdt a wówzas ałka szzególna równania niejednorodnego (9) przyjmuje postać: y F sin t os t k m k m km (9) i wraz z każdą z trzeh (36), (0) oraz () ałek ogólnyh równania jednorodnego tworzy trzy kompletne rozwiązania równania niejednorodnego. Wyznazymy teraz brakująe stałe ałek ogólnyh. W tym elu musimy oblizyć pierwsze pohodne rozwiązania równania (9), wszystkih trzeh przypadków: (50) F y ' os( t) sin( t) k m k m k m C 1 mk mk t t m e C mk e m mk m przyjmują zerowe warunki pozątkowe: yt ( 0) 0 (51) y'( t 0) 0 Wyznazymy wartośi stałyh 1 oraz, dla każdego z trzeh przypadków a), b) oraz ): C F k km m a 1 m C a F ( m km) km k km m

11 C C C b 1 km F km m m k k km m F b 1 ModeL drganiowy LaMINoWaNeJ płyty poddanej WyMuSzeNIu akustyznemu k km m F m km km m km 13 (5) C km 6 F m km km m km m km By nie komplikować notaji, zapiszmy kompletne rozwiązanie równania (7), nie ofają podstawień (8): T podkr F ij () t sin( t) os( t) k m k m k m km os( t) F m e m t k km m ( m km) km sin( t ) km m T kr F ij () t sin( t) os( t) k m k m k m F e m t km mm k t k km m km (53)

12 1 MIhał SzMIdt T ijnadkr F () t sin( t) os( t) k m k m k m F m e km km m km F m km km 6 km m km m km km t m e km t m W metodzie Fouriera poszukujemy rozwiązania będąego ilozynem funkji t(t) i W(x,y). Rozwiązaliśmy zarówno zagadnienie brzegowe ( W(x,y) ), jak i pozątkowe (t(t)), możemy już jawnie zapisać kompletne rozwiązanie równania opisująego poprzezne przemieszzenia punktów drgająej płyty. W tym elu wystarzy powyższe wyrażenia (53) uzupełnić o funkje własne (1), by otrzymać: w e podkr m t ix jy F ( x, y, t) sin( )sin( ) a b k km m i1 j1 km ( m km) km os( t) sin( m km m t) w kr m t ix jy F e ( x, y, t) sin( )sin( ) a b k km m i1 j1 km m m k km t (5) w nadkr ix jy ( x, y, t) sin( )sin( ) a b i1 j1 km 6 km F m e km km m km km t m F m km Wyznazone na drodze eksperymentu współzynniki tłumienia, odniesione do współzynnika tłumienia krytyznego zastosujemy do oblizenia ih wartośi bezwzględnyh. Jeśli hemy wykonać oblizenia dla tłumienia podkrytyznego, to iloraz h/ω ij musi zawierać się e m km m km km t m

13 ModeL drganiowy LaMINoWaNeJ płyty poddanej WyMuSzeNIu akustyznemu 15 w przedziale <0,1) (osiński [] str. 130). dla tłumienia krytyznego równa się dokładnie jednośi, natomiast w przypadku tłumienia nadkrytyznego, jest większy od jednośi. z inżynierskiego punktu widzenia tłumienie w laminowanej płyie należy przyjąć jako podkrytyzne. Wyznazmy wię górne ogranizenie przedziału, rozpatrują przypadek tłumienia krytyznego. Wówzas: h 1h (55) ij ij gdzie: h (, m - patrz podstawienia (8)) (56) m podstawiają powyższe do (.55), otrzymujemy: m m n 1 66 a a b n b m ij mk (57) założyliśmy β=5α, wię: h m m n 1 66 a a b m m a a n b n b n b (58) Jest to dokładnie takie samo wyrażenie jak to, które otrzymaliśmy poprzednio (35), o potwierdza prawidłowość oblizeń. W tym momenie stała pełzania α staje się funkją indeksów i i j. dla pierwszej zęstośi własnej, przy h 05, ij przyjmuje wartość 0, s. ostatnim etapem jest oblizenie wartośi skuteznej prędkośi drgań płyty. zdeydowano się na tę wielkość, ponieważ jest wprost proporjonalna do moy źródła dźwięku i pozwala bezpośrednio analizować proes drganiowy pod względem energetyznym. Wielkość ta zdefiniowana jest jako pierwiastek ze średniokwadratowej (w przedziale zasu od t 1 do t ) wartośi prędkośi, sałkowanej po obszarze płyty [axb]. v RMS t a b t v ( x, y, t) dxdydt ab( t t ) 1 (59) proedura ze skryptu najpierw (numeryznie) obliza v RMS, następnie dzieli tę wartość przez mianownik wyrażenia (3), by na końu - z wyznazonej lizby w ten sposób lizby - wyiągnąć pierwiastek kwadratowy. Rozwiązanie w(x,y,t) jest sumą i*j funkji własnyh. zatem v(x,y,t) również jest sumą i*j funkji własnyh. oznaza to, że być w zgodzie z definiją v RMS, musimy najpierw oblizyć sumę złożoną z i*j funkji własnyh v(x,y,t), a dopiero potem ją podnieść do kwadratu i sałkować po dx, dy, dt. Jednak taka kolejność wykonywania działań

14 16 MIhał SzMIdt okazuje się być znaznie bardziej zasohłonna, niż na pozór błędna metoda: oblizenia sumy kwadratów (zamiast kwadratu sumy). zauważmy, że wszystkie ałki mieszane gdzie i = j są zerowe, to mamy pewność, iż ten sposób oblizania v RMS jest poprawny. dzieje się tak, ponieważ dla i = j funkje oraz sin j y sin i x są wzajemnie ortogonalne. a b opisane spostrzeżenie zostało pozytywnie zweryfikowane numeryznym eksperymentem, dzięki zemu uzyskano w ten sposób o najmniej o rząd wielkośi krótszy zas oblizeń v RMS.. RezuLtaty oblizeń. SpoStRzeżeNIa I WNIoSKI Na wszystkih poniższyh rysunkah na osiah pionowyh odłożono wyhylenie poprzezne punktów płyty w metrah. przebieg zasowy położenia punktu środkowego płyty przy wymuszeniu akustyznym 10dB o zęstotliwośi 100hz, oraz α 1,1 = 0,00966s o odpowiada silnemu tłumieniu podkrytyznemu (0,8 krytyznego), przedstawiony jest na rysunku 1. uwzględniona lizba funkji własnyh i*j = 100, pozwoliła osiągnąć nie tylko dokładny, ale i bardzo gładki wykres. grubość badanej płyty to 1,05mm (przyjęto 0,15mm na warstwę laminatu). dane materiałowe, tj. e 1 =,gpa, e =0,053gpa, g 1 = 0,06gpa oraz ν 1 =0,5, niezbędne do wyznazenia sztywnośi płytowyh,, 1 oraz 66 zostały zazerpnięte z pozyji [7]. Rys.. Wyhylenie punktu środkowego płyty w funkji zasu (tłumienie silne podkrytyzne) Wykres przedstawia typowe drgania tłumione. Widozne są szybko gasnąe drgania własne. Wytrąona z położenia równowagi płyta już po drugim okresie drgań zazyna osylować wokół położenia równowagi. obwiednia amplitudy wzbudzonyh drgań jednokrotnie przeina oś zasu, pozym asymptotyznie (szybko) zbiega do zera. drgania ustalone odbywają się z zęstotliwośią wymuszenia a ih amplituda wynosi 50µm. Są to duże drgania, lez w pełni usprawiedliwione znaznymi gabarytami płyty tj. 500x500mm. postać drgań płyty dla i*j = 5 funkji

15 ModeL drganiowy LaMINoWaNeJ płyty poddanej WyMuSzeNIu akustyznemu 17 własnyh obrazuje rysunek nr.. poza pierwszą postaią drgań własnyh praktyznie nie ujawniają się inne (wyższe). postać drgań przy tej zęstotliwośi wymuszenia nie zależy od wartośi współzynników tłumienia. Rys. 3. postać drgań płyty wymuszenia bazowego (100hz) postaie drgań kolejnyh zęstotliwośi własnyh wyglądają następująo: Rys.. pierwsza z. własna 1,8hz. Widozne po jednej półfali na kierunku x i y z przeprowadzonej symulaji odpowiedzi drganiowej płyty, w przedziale zęstotliwośi 0-00hz, możemy zaobserwować, iż dominująą postaią drgań jest pierwsza. Inne, wyższe, ujawniają się w sposób nieznazny i tylko przy wymuszeniu śiśle odpowiadająemu zęstotliwośi rezonansowej. prowadzi to do dwóh wniosków: - trudno jest wzbudzić inną niż pierwsza postać drgań, poprzez wymuszenie jednorodnym iśnieniem akustyznym, przyłożonym na ałej powierzhni płyty - zredukowanie hałasu przenoszonego przez płytę ogranizy się do zredukowania jej pierwszej postai drgań (przy założeniu niewzbudzenia wyższyh - samym układem regulaji), o znaznie upraszza zagadnienie.

16 18 MIhał SzMIdt Rys. 5. postaie drgań dla kolejnyh zęstotliwośi własnyh. od góry i od lewej (w nawiasah lizba półfal harakterystyznyh dla danej postai, w formaie (axb): 50.7 (1x), (x1), (1x3), (3x1), (1x), (x1)

17 ModeL drganiowy LaMINoWaNeJ płyty poddanej WyMuSzeNIu akustyznemu 19 przyjrzyjmy się teraz badanemu zjawisku pod względem energetyznym. oblizenia v RMS ze względu na zasohłonność ih wykonania zostały przeprowadzone dla i*j = 5 funkji własnyh, o i tak zapewnia dużą dokładność, gdyż różnia pomiędzy v RMS lizonym dla 5 i 100 funkji własnyh, przy wymuszeniu 1000hz, nie przekraza -3%. związane jest to ze znanym faktem, iż nawet przy wyższyh zęstotliwośiah wymuszenia, jedynie kilka pierwszyh postai drgań własnyh ujawnia się i ma wpływ na wypadkową postać drgań płyty. średnia z przedziału zasu od 10. do 1. sekundy drgań przy wymuszeniu 100hz v RMS wynosi 0,03m /s. pozostałe wyniki w poniższej tabeli: tabela. zestawienie ν RMS w zależnośi od zęstotliwośi wymuszająej Widzimy, że drgania płyty powoli narastają wraz ze wzrostem zęstotliwośi, aż do 35hz, gdzie ze względu na zbliżanie się zęstotliwośi wymuszenia do pierwszej zęstotliwośi drgań własnyh, możemy zaobserwować - harakterystyzny dla rezonansu - szybki wzrost amplitudy, ogranizony jednak przez znazne tłumienie wewnętrzne. przeprowadzenie oblizeń dla powyższyh wymiarów płyty miało na elu wyznazenie podstawowyh harakterystyk dynamiznyh (tj. harakterystyki amplitudowo zęstotliwośiowej, oraz postai drgań) obiektów, jakie mogą być badane na istniejąym na politehnie Warszawskiej stanowisku. Jednak z punktu widzenia konepji aktywnej redukji drgań ienkośiennyh elementów kadłuba samolotu, interesować nas będą znaznie mniej rozległe obiekty i tak, autor po oględzinah kilku typowyh samolotów aluminiowyh o konstrukji nitowanej, wytypował elementarny prostokąt rozpięty na podłużniah oraz wręgah kadłuba o stosunku boków około 1: oraz wymiarah 350x90mm. przedstawia go poniższa fotografia: Fot. 1. Rozmiary i proporje typowego elementu tworząego poszyie kadłuba samolotu o konstrukji nitowanej (I- Iryda ).

18 0 MIhał SzMIdt przejdźmy do zbadania odpowiedzi drganiowej na wymuszenie akustyzne takih właśnie obiektów. W poniższej tabeli zostały zamieszzone wyniki oblizeń dla dwóh płyt o jednakowyh wymiarah poprzeznyh (350x90mm) i grubośi (0,59mm), lez wykonanyh z różnyh materiałów, tj. z duraluminium oraz z laminatu włókno węglowe/żywia epoksydowa. przedział zmian zęstotliwośi wymuszająej zawiera się w zakresie 1hz do khz. ułamkowe zęstotliwośi są to kolejne rezonanse komórki z szarym tłem. elem takiego zestawienia jest pokazanie jaki wpływ na zmniejszenie wartośi skuteznej prędkośi drgań powłoki ienkośiennej a tym samym, wprost proporjonalnie, hałasu kabinowego jaki jest przez nią generowany ma samo zastosowanie kompozytu do jej wykonania. tabela. zestawienie v RMS w zależnośi od zęstotliwośi wymuszająej

19 ModeL drganiowy LaMINoWaNeJ płyty poddanej WyMuSzeNIu akustyznemu 1

20 MIhał SzMIdt Rys. 6. porównanie harakterystyk amplitudowo zęstotliwośiowyh

21 ModeL drganiowy LaMINoWaNeJ płyty poddanej WyMuSzeNIu akustyznemu 3 SpoStRzeżeNIa zjawiska obserwowane do 10hz możemy określić jako quasi-statyzne ponieważ wpływ tłumienia wewnętrznego jest niezauważalny a odkształenia zależą jedynie od sztywnośi płyty. od około 70hz zazyna być widozna pierwsza różnia między słabym, a silnym tłumieniem, by osiągnąć największą wartość przy pierwszym rezonansie. Możemy zaobserwować duży wpływ sztywnośi materiału, gdyż nawet przy przyjęiu takiej samej wartośi współzynnika tłumienia, pole pod wykresem (energia przenikająa przez płytę) w przypadku materiału kompozytowego jest około -krotnie mniejsze niż w przypadku aluminium. poza rezonansami wpływ wartośi współzynników tłumienia na drgania jest mały. zjawiska harakterystyzne dla rozruhu np. takie jak wzbudzenie pierwszej postai drgań przy wymuszeniu o zęstotliwośi znaznie większej od pierwszej zęstotliwośi rezonansowej, dają się zaobserwować tylko w przypadku płyty o znaznyh wymiarah (patrz Rys. 1.). powyżej 1khz opraowany model zazyna ehować znazny wzrost zasu oblizeń (i to uwzględniają w oblizeniah tylko pierwszyh 5 funkji własnyh). powyżej khz na pojedynzy wynik trzeba zekać około godziny, o wykluza możliwość użyia modelu do symulowania układu aktywnego tłumienia drgań tyh zęstotliwośi. Nie jest to jednak zagrożenie, gdyż wytypowane do redukji drgań pasmo mieśi się w przedziale 0-00hz, w którym zas oblizeń spada do ok. 3s. W przedziale hz kompozyt ehują zauważalnie większe drgania dzieje się tak m.in. z uwagi na lizne rezonanse położone w tym zakresie, które poprzez znazne tłumienie wewnętrzne łązą się jedno roziągnięte na przedziale 1,5 khz maksimum. W tabeli przedstawiono wyniki oblizeń wszystkih zęstotliwośi własnyh każdej z płyt (komórki z żółtym tłem). znanym faktem jest, że nie wszystkie z nih ujawniają się jako rezonanse. zostało to sprawdzone i na rys. 3. zamieszzono postaie drgań każdej z ujawniająyh się zęstotliwośi własnyh obu płyt do khz. uwaga: by nie zaiemniać rysunku zamieszzono oblizone postaie płyty aluminiowej, ale przeprowadzone symulaje na modelu dowodzą, iż kolejne rezonanse płyty kompozytowej mają identyzny harakter. WNIoSKI zastosowanie kompozytu w sposób znaząy wpływa na zmniejszenie drgań płyty. dzieje się tak z dwóh powodów. po pierwsze, znaznie większa sztywność płytowa takiego elementu sprawia, iż odkształenia dla niskih oraz średnih zęstotliwośi są wyraźnie mniejsze. drugą kwestią jest sam współzynnik tłumienia wewnętrznego, który jak ustalili badaze [3], [] dla materiału kompozytowego jest około -krotnie większy.

22 MIhał SzMIdt Interesująa jest natomiast obserwaja wyższyh (można zaobserwować już przy 000hz) zęstotliwośi, w przypadku któryh przewaga kompozytu zanika, ponieważ zazyna wtedy odgrywać ważką rolę 3-i złon równania osylatora harmoniznego, tj. złon masowy. przy wysokih zęstotliwośiah, drgająa płyta staje się wibrująą masą i nie ma znazenia ani jej sztywność ani tłumienie w układzie a przede wszystkim jej masa, która dla jednakowyh wymiarów geometryznyh, większa w przypadku płyty aluminiowej (jak,7 do 1,6). przeprowadzone analizy pokazują, iż z punktu widzenia konepji aktywnej redukji hałasu niskozęstotliwośiowego (umownie do około 00hz), wystarzy się skupić jedynie na pierwszej postai drgań, ewentualnie z uwzględnieniem nieznaznyh odkształeń harakterystyznyh dla drugiej w kolejnośi, a 3-iej ze względu na występująyh lizbę pół-fal postać drgań. zaproponowana konepja redukji hałasu kabinowego może zostać zrealizowana ponieważ sterowanie jedną (maksymalnie dwiema) postaiami drgań wybranyh elementów poszyia kadłuba można wykonywać na tyle szybko, by układ w zasie rzezywistym był w stanie się dostrajać, adaptują tym samym do zmiennyh warunków lotu, takih jak iśnienie, obroty silnika, itp. BIBLIogRaFIa [1] praa zbiorowa pod redakją M. Bijak - żohowskiego, Wytrzymałość Konstrukji, tom wydanie I, ofiyna Wydawniza politehniki Warszawskiej, 00. [] z, osiński, teoria drgań, wydanie I, pwn, Warszawa, 1980, [3],, Siu,, W, Bert, Sinusoidal Response of omposite-material plates With Material damping, Journal of engineering for Industry, May 197 [] R, R, lary, Vibration harateristis of unidiretional Filamentary omposite Material panels, omposite Materials: Seond onferene, amerian Soiety for testing and Materials Speial tehnial publiation 97, 197, pp, 15-38, [5] M, Szmidt analiza drgań płyty prostokątnej z naklejonymi elementami piezoelektryznymi, prae Instytutu Lotnitwa nr 19, Warszawa 008, [6] R, Brett Williams, gyuhae park, daniel J, Inman and W, Keats Wilkie*, an overview of omposite atuators with piezoerami Fibers, enter for Intelligent Material Systems and Strutures, department of Mehanial engineering, Virginia polytehni Institute and State university, 310 durham hall, Blaksburg, Va , *Researh Sientist: NaSa Langley Researh enter, [7] W, Kurnik, a, tylikowski, Mehanika elementów Laminowanyh, ofiyna Wydawniza pw, Warszawa, 1997.

23 ModeL drganiowy LaMINoWaNeJ płyty poddanej WyMuSzeNIu akustyznemu 5 ANALiTYCAL vibration PLATE MOdEL WiTh ACOUSTiC ExCiTATiON abstrat An analytial study of the vibration harateristi of an aluminum and arbon/epoxy orthogonally laminated omposite plates has been onduted. By solving the vibration equation with Fourier method, step by step, the analytial solution has been derivated. The numerial solution has been ahieved by developing and alulating on a omputer a short program. Then it was possible to draw a position of eah point from the zero time to any time, with unlimited time or spae resolution. Also 3-dimensional plots has been developed and where used to reate an animations whih shows the subsequent vibration modes. Calulations and the disussion of the results were onduted for the two ases: the plate made of aluminum and the plate made of arbon/epoxy omposite. Assumptions whih have been taken are ompatible with the assumptions of the Kirhhoff plate theory. The value of the damping oeffiients has been taken from the papers desribing the experiments onduted by an Amerian and Chinese sientist. esribed vibration model has been developed in order to examine the possibility of realization on a physial model an ative noise redution onept in the turbo-propeller airrafts. This onept is about reduing the vibration of the fuselage walls, whih, exited by the propeller tonal noise, beomes a seondary soure of noise. Those walls, approximately, an be onsidered as a retangular plates exited by the pressure - homogenous and osillating as a sinus funtion. Key words: Fourier, vibrations, damping, noise, aousti pressure, aluminum, omposite, plate