WST P DO KRYPTOGRAFII. Grzegorz Szkibiel. Jesie«2012/13

Transkrypt

1 WST P DO KRYPTOGRAFII Grzegorz Szkibiel Jesie«2012/13

2 Spis tre±ci 1 Kryptograa a steganograa Steganograa Szyfry przestawieniowe Systemy kryptograczne Klasyczne metody szyfrowania Szyfry cykliczne Monoalfabetyczny szyfr Beauforta Kody aniczne jednowymiarowe Permutacje alfabetu Analiza cz sto±ci wyst powania liter Homofony i nulle Jednostki dwuliterowe czyli digramy Szyfr Playfaira Podwójny szyfr Playfaira szyfr Delastelle'a Jednostki wieloliterowe Szyfry polialfabetyczne Ša«cuch szyfrów i DES Maszyny szyfruj ce Zasada dziaªania Jak zªamano szyfr ENIGMY Macierze szyfruj ce Algebra liniowa modulo N Szyfry Hill'a Aniczne przeksztaªcenia szyfruj ce

3 5 Pakowanie plecaka Postawienie problemu Szybko rosn ce ci gi Kryptosystem oparty na problemie pakowania plecaka Systemy z publicznym kluczem Numeryczna funkcja jednokierunkowa Funkcje skrótu poufno± i autentyczno± Wymiana kluczy funkcje jednokierunkowe System RSA Rozkªad liczb na czynniki Liczby wybrane losowo Zasada dziaªania systemu RSA Wpadka systemowa wspólny moduª Wpadka systemowa niski wykªadnik Teorio-liczbowe podstawy RSA Systemy pozycyjne Iterowane podnoszenie do kwadratu Twierdzenie Eulera i Maªe Twierdzenie Fermata liczby pseudo-pierwsze Chi«skie twierdzenie o resztach Kongruencje stopnia Gra w orªa i reszk przez telefon Zastosowania arytmetyki modulo m do rozkªadu liczb Wzory skróconego mno»enia Metoda ρ rozkªadu na czynniki Metoda faktoryzacji Fermata Bazy rozkªadu

4 10 Logarytm dyskretny Poj cie logarytm dyskretny System DiegoHellmana uzgadniania klucza System kryptograczny Masseya-Omury System ElGamala Protokoªy o zerowej wiedzy i przekazy nierozró»nialne Kolorowanie mapy Logarytm dyskretny Przekazy nierozró»nialne Dowód faktoryzacji

5 Rozdziaª 1 Kryptograa a steganograa Kryptograa jako dyscyplina matematyczna zajmuj ca si metodami przesy- ªania wiadomo±ci w zakamuowanej formie tak, aby tylko adresat mógª odczyta wiadomo±, rozwin ªa si w drugiej poªowie dwudziestego wieku chocia» byªa ona stosowana znacznie wcze±niej. Do czasów drugiej wojny ±wiatowej szyfrów oczywi±cie u»ywano, jednak aparat matematyczny nie byª stosowany do ich tworzenia. Prawdziwa bomba wybuchªa, kiedy u»ywane od lat dwudziestych maszyny mechaniczne zostaªy zast pione przez komputery o du»ej mocy obliczeniowej. Wówczas okazaªo si,»e praktycznie ka»dy szyfr wynaleziony do tego czasu mo»e by zªamany w stosunkowo krótkim czasie. Zaistniaªa potrzeba systemu szyfruj cego, który nie tylko chroniªby tajemnice wojskowe, ale przede wszystkim informacje bankowe ukryte w ogólnie dost pnej sieci komputerowej. Wiadomo przy tym,»e tego rodzaju system b dzie,,atakowany od samego pocz tku. Z drugiej strony, na pocz tku lat siedemdziesi tych ujawniono w ko«cu, kto zªamaª tajemnic niemieckiej ENIGMY. To zmusiªo wielu matematyków i informatyków do gª bszego zainteresowania si,,now dziedzin nauki, która stanowi najszersz drog od matematyki do informatyki. Kryptograa jednak»e jest nauk si gajac jeszcze czasów staro»ytnych. W trakcie wykªadu prze±ledzimy histori tej nauki oraz wejdziemy w nowoczesne metody szyfrowania. 5

6 1.1 Steganograa Jest wiele terminów okre±laj cych, z pozoru mogªoby si wydawa, t sam rzecz: kryptograa, kryptologia, kodowanie, steganograa, szyfrowanie itd. Jednak»e dla osób dogª bnie studiuj cych temat, ró»nice mi dzy tymi poj ciami staj si wyra¹ne. Steganograa, na przykªad zajmuje si kamuowaniem tekstu w dosªownym tego sªowa znaczeniu. Zakamuowanie (zakrycie) i odkrycie tekstu nie wymagaj skomplikowanych algorytmów, tylko pewnej zasady logicznej, szablonu, b d¹ odczynników chemicznych. Opiszemy tu najpopularniejsze metody steganografów. Jedn z metod jest u»ywanie w tek±cie dwóch charakterów pisania poszczególnych liter. Litery napisane inaczej utworz ukryty tekst. Innym sposobem jest robienie maªej przerwy tu» przed liter, któr chcieliby±my»eby adresat przeczytaª. Zamiast pisa dªugi i nic nie znacz cy tekst mo»na wykorzysta tekst ju» napisany (np. gazet lub ksi»k ) i zaznaczy potrzebne litery tak, aby nikt niepowoªany nie domy±liª si, ze co± jest zaznaczone: Sto dwadzie±cia zªotych jest mi znów potrzebne. Kochany Tato przy±lij mi je w czwartek. Ryby w tym jeziorze s wyj tkowo nieuchwytne. S t o dwadzie±cia zªotych j e s t mi znów potrze bne. Kochan y Ta t o przy±lij mi je w c zwartek. R yby w tym jez iorze s wyj tkowo ni euchwytne. Inn metod jest wskazanie ci gu liczb pokazuj cych pozycj danej litery b d¹ w alfabecie, b d¹ te» w jakiej± ksi»ce. Na przykªad posªuguj c si ksi»k Neal'a Koblitza,,Wykªad z teorii liczb i kryptograi mo»emy zaszyfrowa sªowo,,mama ci giem liczb Ci g ten rozszyfrowujemy licz c litery od okre±lonego miejsca w ksi»ce. W naszym przypadku jest to pocz tek tekstu,,wst pu. By wskaza po» dany ci g liczb mo»emy posªu»y si cho by pudeªkiem domina przesªanym w paczce. Aby ukry wiadomo± mo»na te» si posªu»y rebusem, lub te» labiryntem z literami w korytarzach. Prawidªowe przej±cie takiego labiryntu ujawni nam ukryty tekst. Podobnie, wiadomo± mo»emy schowa w obrazek z dziwnymi detalami, który staje si czytelny, gdy w odpowiedniej od niego odlegªo±ci mrugniemy oczami i zobaczymy trójwymiarowy rysunek. Obraz, jako taki, te» mo»e posªu»y steganografowi do ukrycia wiadomo±ci. Na przykªad pewne detale (¹d¹bªa traw lub tym podobne) mog ukªada si w kod Morse'a. Ciekaw grup metod steganogracznych jest zamiana ukrywanej wiado- 6

7 mo±ci w ªatwo, ale na pewno ¹le zrozumian wiadomo± brzmi c caªkiem nieszkodliwie. Mo»na rozró»ni tu dwie kategorie: maskowanie i zasªanianie. Maskowanie wymaga najpierw zgody obu stron co do przekazywanego kodu. Cz sto stosuj to bryd»y±ci, którzy trzymaj c odpowiednio papierosa lub robi c szereg niewinnych czynno±ci, w istocie przekazuj sobie informacje. Mistrzami w przekazywaniu zamaskowanych informacji s te» wi ¹niowie, którzy tworz swój swoisty»argon. niektóre sªowa w tym»argonie to dziura, paka wi zienie; ±nieg, cukier kokaina; obczyszczenie kradzie» itp. W czasie drugiej wojny ±wiatowej, Amerykanie zatrudnili radiooperatorów, którzy rozmawiali w swoim ojczystym j zyku Nawaho. Japo«czycy nie mogli przechwyci i zidentykowa»adnej z wysyªanych wiadomo±ci. Bardzo dobry (jak na tamte czasy) niemiecki szyfr ENIGMA zostaª, jak wiadomo, zªamany. Mówi c o maskowaniu, trudno jest tu nie wspomnie o audycjach radia BBC w 1944 roku, gdzie w±ród tzw, prywatnych wiadomo±ci zapodziaªo si hasªo,,dªugie struny jesiennych skrzypiec, a jaki± czas pó¹niej,,rani me serce monotonnym brzmieniem. Oznaczaªo to dokªadn dat i miejsce inwazji na Francj. Niemiecka Abwehra Admiraªa Canarisa rozszyfrowaªa dokªadnie t wiadomo±, która dotarªa do wszystkich niemieckich jednostek z wyj tkiem stacjonuj cej w Normandii VII armii. Do dzi± nie wyja±niono w peªni, dlaczego armia ta nie zostaªa ostrze»ona. Wspomnie mo»emy tak»e o audycjach Polskiego Radia, nadaj cych sªynne,,uwaga, uwaga, nadchodzi, KO-MA 27. Tak»e Japo«czycy,»eby przekaza swoim statkom wiadomo± o wojnie z USA u»yli sªów,,higaszi no kaze ame (wschodni wiatr, deszcz). Sªowa te zostaªy wplecione w prognoz pogody i powtórzone dwukrotnie. Z maskowaniem sªów za pomoc zjawisk meteorologicznych trzeba jednak mocno uwa»a, o czym przekonaªa si Miss Holly Golightly w lmie,, niadanie u Tianiego. Przekazana przez ni,,wiadomo± o pogodzie, która brzmiaªa,,±nieg w Nowym Orleanie byªa mocno podejrzana i stró»owie prawa skojarzyli to sobie z handlem kokain. Zasada zasªaniania tekstu najcz ±ciej jest typu,,czytaj nt liter po okre±lonym znaku. Mo»e to by spacja, pocz tek nowej linii tekstu lub samogªoska. Zasªanianie stosowali powszechnie»oªnierze, którzy chcieli przekaza miejsce swego pobytu rodzinie, ale nie mogli tego zrobi w ocjalny sposób. Dla jednego z nich nie sko«czyªo si to dobrze, poniewa» rodzice w li±cie powrotnym spytali go:,,gdzie jest to Nutsi? Nie mo»emy znale¹ tego w»adnym atlasie!. Równie» Kornel Makuszy«ski w ksi»ce,,szatan z siódmej klasy u»yª ten rodzaj zasªaniania. Bohater ksi»ki tak sprytnie 7

8 napisaª list,»e jego przyjaciele bez wi kszego trudu rozszyfrowali wiadomo±, któr chciaª przekaza : Serdecznie ukochany panie profesorze! Trzeba byªo takiego jak ja wariata, aby nie znaj c okolicy ruszy na dalek w drówk. Takim jednak szcz ±cie sprzyja. Ziemie okoliczne s bardzo pi kne, lecz Ejgoªa pi kniejsza. al mi jedynie,»e pana tu ze mn nie ma. Caªy jestem i zdrów. Znalazªem miªe towarzystwo i dlatego nie wiem dobrze, kiedy wreszcie powróc do Ejgoªy. B d¹cie jednak»e o mnie spokojni, cho bym nawet dªugo nie powracaª. Ogromnie mi t skno za panem, panie profesorze, za pani Mari i pann Wandeczk. ciskam wszystkich i ª cz ukªony dla caªego domu. Wdzi czny Ada±. Inny sposób zasªaniania wymaga szablonu, którym zasªania si napisany tekst. W okienkach szablonu odczytujemy nasz ukryt wiadomo±. Metoda ta wymaga jednak doskonaªego wyczucia miejsca umiej tno±ci dopasowania tekstu tak, aby odpowiedni wyraz znalazª si w wyznaczonym szablonem miejscu. 1.2 Szyfry przestawieniowe Szyfry przestawieniowe (lub anagramowe) s tak»e rodzajami steganogramów, mimo»e okre±la si je mianem,,szyfry. Dokªadnie,»eby zaszyfrowa pewien tekst, przestawiamy jego litery wedªug okre±lonej zasady. Przytoczymy tu dwa przykªady szyfrów przestawieniowych. Szyfr pªotowy. Ukªadamy litery tekstu,,wzdªó» pªotu, tj. wzdªó» ªamanej zªo»onej ze sko±nych odcinków. Wysoko± pªotu jest okre±lona liczb liter przypadaj c na jeden odcinek ªamanej. Nast pnie tekst zaszyfrowany odczytujemy wierszami. Na przykªad, chc c zaszyfrowa tekst INSYGNIA MIERCI pªotem o wysoko±ci 3, zapisujemy I G R N Y N A M E C S I I I 8

9 i przepisujemy ig±rnynamecsiii. Generalnie, przy szyfrowaniu obowi zuje zasada,»e w tek±cie zaszyfrowanym nie ma znaków interpunkcyjnych ani spacji. Mo»e to prowadzi do nieporozumie«, ale zasada ta utrudnia te» ewentualne ªamanie szyfru. Przy pªocie wysoko±ci 5, zaszyfrowany tekst kªsókipr ew»i, to KSI E PÓŠKRWI. Szyfr kwadratowy. Tekst, który chcemy zaszyfrowa wpisujemy w kwadrat (lub kilka takich samych kwadratów) wierszami, a jako szyfr odczytujemy kolumnami, i to wedªug pewnej permutacji. Na przykªad, u»yjemy kwadratu 4 4 z permutacj (12)(34) i zaszyfrujemy tekst KOMNATA TA- JEMNIC. Poniewa» tekst ten ma mniej ni» 16 liter, na jego ko«cu dopisujemy dowolne litery (tzw. nulle) i wpisujemy tekst w kwadrat K O M N A T A T A J E M N I C X Odczytuj c kolumy wg kolejno±ci , otrzymujemy otjikaanntmxmaec. Istotn wskazówk identykuj c szyfr kwadratowy jest fakt,»e liczba liter w tek±cie zaszyfrowanym jest wielokrotno±ci kwadratu liczby naturalnej n. Sama liczba n oznacza dªugo± boku kwadratu. Np. tekst aeim«lkifzinocyofz ma 18 liter, co mo»e oznacza,»e zostaª u»yty szyfr kwadratowy z kwadratem o boku 3, a do zaszyfrowania u»yto dwóch kwadratów. 1.3 Systemy kryptograczne Podstawowym elementem, który odró»nia steganogra od kryptograi jest system kryptograczny. Jest to poj cie które w przypadku metod kryptogra- cznych mo»na w miar ªatwo zdeniowa. Na pocz tek zdeniujmy kilka podstawowych elementów. Aby jednak wiadomo± mogªa by wysªana, najpierw trzeba j w jaki± sposób napisa. W tym celu u»ywamy alfabetu, który deniujemy jako dowolny zbiór sko«czony. Liczb elementów zbioru A (alfabetu) b dziemy oznacza przez A, #A lub A. Do zapisywania wiadomo±ci b dziemy u»ywa alfabetu ªaci«skiego A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z, 9

10 który uto»samimy z liczbami 0, 1, 2,..., 25. B dziemy te» rozwa»a inne alfabety, którym w podobny sposób odpowiada b d liczby ze zbioru Z q wszystkich liczb caªkowitych nieujemnych i mniejszych od q. Zbiór ten ma t zalet,»e jego elementy mo»na dodawa, odejmowa i mno»y zgodnie z zasadami arytmetyki modulo q. Litery alfabetu mo»na ukªada w bloki liter. Blok dwuliterowy nazywamy digramem, trzyliterowy trigramem i, ogólnie, blok nliterowy nazywamy n gramem. Litery i bloki liter ukªadaj si w tekst. Oznaczmy przez A n zbiór wszystkich ngramów z alfabetu A. Tekstem nazywamy dowolny element zbioru A = A n. n 0 Generalnie, szyfrujemy tylko wiadomo±ci, które co± oznaczaj, wi c nie mog to by przypadkowe ci gi liter. Koniecznym zatem jest zdeniowanie poj cia j zyka. J zykiem nazywamy dowolny podzbiór zbioru A. Zaªó»my wi c,»e mamy wybrany konkretny j zyk oraz pewien tekst w tym j zyku. Tekst ów nazywamy jawnym lub otwartym. Alfabet A, w którym jest on napisany tak»e nazywamy jawnym. Aby przesªa tekst, szyfrujemy go. Mo»emy w tym celu u»y jednego alfabetu szyfrowego B (szyfry monoalfabetyczne), lub te» wielu alfabetów szyfrowych (szyfry polialfabetyczne). W tym drugim przypadku, u»ywa si raczej wielu kopii tego samego alfabetu. Zawsze jednak potrzebne nam jest przeksztaªcenie szyfruj ce, czyli funkcja ró»nowarto±ciowa E okre±lona w A o warto±ciach w B. Je±li m jest tekstem jawnym, to E(m) nazywamy kryptotekstem, lub szyfrem. W dalszej cz ±ci wykªadu b dziemy u»ywa synonimów wymienionych wy»ej poj, które oznacza b d to samo, je±li nie zostanie podana inna de- nicja. Na przykªad, sªowo,,tekst b dziemy stosowa zamiennie ze sªowem,,wiadomo±. Istnieje wiele mo»liwo±ci zdeniowania przeksztaªcenia E. Najpro±ciej jest zada bijekcj e : A B. Poniewa» B ma wówczas tyle samo elementów co A, wi c przyjmujemy,»e A = B. Przeksztaªcenie e generuje E w nastepuj cy sposób. Je»eli m = l 1 l 2... l q jest wiadomo±ci, to E(m) = e(l 1 )e(l 2 )... e(l q ). W podobny sposób generujemy E z funkcji ró»nowarto- ±ciowej e : A n B m. W tym wypadku, liczba liter w szyfrowanej wiadomo±ci musi by podzielna przez n. Je±li tak nie jest, nale»y dopisa do tej wiadomo±ci odpowiedni ilo± liter. Zdeniujemy teraz poj cie kryptosystemu. Kryptosystemem nazywamy 10

11 rodzin przeksztaªce«szyfruj cych {E k : k K}, gdzie K jest pewnym zbiorem (sko«czonym lub nie) zwanym przestrzeni kluczy. Dowolny element k przestrzeni kluczy nazywamy kluczem. Skoro dla dowolnego k odwzorowanie E k jest ró»nowarto±ciowe, istnieje odwzorowanie odwrotne D k, które nazywamy deszyfrowaniem. Je±li m jest wiadomo±ci jawn, to dla dowolnego klucza k, D k (E k (m)) = m. Nie musi jednak zachodzi E k (D k (m)) = m. 11