ZAJĘCIA III. Metody numeryczne w zadaniach identyfikacji
|
|
- Aneta Andrzejewska
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 ZAJĘCIA III Metody numeryczne w zadanach dentyfkacj Rozwązywane układów równań lnowych Mnmalzacja funkcj Symulacja układów dynamcznych Transformata sygnału do dzedzny częstotlwośc
2 WPROWADZENIE Komputerowa dentyfkacja obektów Współczesne systemy dentyfkacj wykorzystują do przetwarzana sygnałów pomarowych (danych dentyfkacyjnych) komputery. Na nch są wyznaczane rozwązana układów równań lnowych, jake powstają np. przy dentyfkacj model lnowych metodą najmnejszych kwadratów. Wskaźnk jakośc dopasowana odpowedz modelu do odpowedz obektu w przypadku dentyfkacj model o nelnowej zależnośc od parametrów są mnmalzowane metodam numerycznym optymalzacj nelnowej. Parametry losowe zakłóceń czy estymat parametrów są szacowane numerycznym metodam statystyk. Zmana dzedzny zmennej nezależnej w przypadku dentyfkacj w dzedzne częstotlwośc jest wykonywana na próbkach sygnałów numeryczną mplementacją transformaty czas-częstotlwość (np. FFT). Wreszce podstawowa czynność przy metodze dentyfkacj z modelem to symulacyjne generowane odpowedz modelu na zadane pobudzene w celu dopasowana do zmerzonej odpowedz dentyfkowanego obektu. Każda metoda numeryczna ma określone własnośc dotyczące odpornośc na zaburzene danych (spowodowane skończoną dokładnoścą reprezentacj lczb w komputerze), złożonośc oblczenowej szybkośc zbeżnośc do rozwązana metod teracyjnych. Ponższe opracowane daje przegląd wybranych algorytmów numerycznych wykorzystywanych w dentyfkacj obektów zarówno pod kątem zasady dzałana jak własnośc numerycznych z przykładam w Matlabe. Przykład (od problemu dentyfkacj do układu równań lnowych): Dzałane statycznego układu lnowego z dwoma wejścam jednym wyjścem możemy zapsać w postac modelu y = au + a2u2. Żeby wyznaczyć pomarowo współczynnk a a 2 musmy przygotować co najmnej dwa różne pomary wejść wyjść: { u () () (), u2, y }, { (2) (2) (2), 2, } u u y. Jak zapsać macerzowo problem do rozwązana?
3 ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ LINIOWYCH ZWYKŁYCH I NADOKREŚLONYCH Układem równań lnowych nazywamy układ jednoczesnych równań: a,x + a,2x a,nx n = b a2,x + a2,2x a2,nx n = b2 a x + a x a x = b m, m,2 2 m,n n m a, a,2 a, n x b a2, a2,2 a 2, n x 2 b 2, lub Ax = = = b am, am,2 a m, n xn bm Dla b=0 układ jest nazywany jednorodnym. W zależnośc od wartośc m n (wymarów macerzy A) może wystąpć: nedookreśloność to sytuacja gdy lczba newadomych x przewyższa lczbę równań (m<n). nadokreśloność to sytuacja gdy lczba równań przewyższa lczbę newadomych (m>n). Wtedy mogą stneć rozwązana sprzeczne. Szczególna nterpretacja sprzecznego układu równań ma mejsce w regresj lnowej. W tym przypadku poszukuje sę rozwązana, które spełna układ równań z najmnejszym błędem. Dla m=n układ równań ma jednoznaczne rozwązane. Problem: Jak rozwązać układ równań z kwadratową macerzą A? Pomysły: - Metoda wyznacznków jak w szkole średnej (bardzo dużo oblczeń) - Odwrócć macerz A pomnożyć przez tę odwrotność obe strony równana, wtedy x = A b (dużo oblczeń) - Przez proste operacje na obu stronach sprowadzć macerz A do jednostkowej (mało oblczeń)
4 Rozwązywane układu równań metodą elmnacj Gaussa Zakładamy, że macerz jest kwadratowa neosoblwa, z czego wynka że stneje jednoznaczne rozwązane. Zakładamy dodatkowo, że elementy dagonalne są nezerowe. Wtedy z ostatnch n- równań można wyelmnować x odejmując od -tego równana perwsze równane pomnożone przez m, 2,,, = a, a, = n Przekształcone równana przyjmują postać: a, a,2 a, n x b ( 2) ( 2) ( 2) 0 a2,2 a 2, n x 2 b 2 = ( 2) ( 2) ( 2) 0 a x n,2 an, n n bn gdze nowe współczynnk dane są wzoram: ( 2) a, 2,,, j = a, j m,a, j = n ( 2) b = b, 2,, m,b j = n Dalej postępujemy podobne z kolejnym elementam pod dagonalą, aż do momentu, gdy dolna trójkątna część macerzy zostane wyzerowana. Możemy wyzerować też górny trójkąt, ale ne ma potrzeby. Końcowa postać układu równań to: a, a,2 a, n x b ( 2) ( 2) ( 2) 0 a2,2 a 2, n x 2 b 2 = ( n) ( n) 0 0 a x b nn, n n Ostatn wersz pozwala na wyznaczene x n, na podstawe którego możemy wyznaczyć x n- z przedostatnego wersza, td. Poprzez kolejne podstawena w tył można wyznaczyć wektor newadomych x.
5 Przykład: Symbolczne na przypadku 2x2 Komputerowa dentyfkacja obektów Początkowa postać układu równań: a, a,2 x b a a = x b 2, 2,2 2 2 krok /: krok /2: krok 2/: a,2 b a x, a, a x = 2, a2,2 2 b 2 a,2 b a, x a, = x a,a2,2 a2,a,2 a,b2 a2,b 0 a 2, a, a,2 a x, = 0 x b a, 2 2, 2 a,a2,2 a2,a,2, a b a b (dzelmy wersz przez element dagonalny a, ) (zerujemy kolumnę: wersz - wersz x a, ) (dzelmy wersz2 przez element dagonalny a 2,2 ) krok 2/2: 0 x = 0 x 2 a b a b a a a a 2,2,2 2, 2,2 2,,2 a b a b a a a a, 2 2,, 2,2 2,,2 (zerujemy kolumnę2: wersz - wersz2 x a,2 ) Wynk zgadza sę z rozwązanem ze wzoru Cramera. Uogólnene elmnacj Gaussa dekompozycje macerzy LU, QR, SVD Elmnacja Gaussa może być wdzana jako rozkład (dekompozycja) macerzy A na loczyn macerzy trójkątnej dolnej górnej, tj. A = L*U. Macerz L to macerz współczynnków, przez które mnożone były wersze w trakce
6 elmnacj, a macerz U to macerz końcowego układu równań. Dekompozycję LU na macerze trójkątne wykonuje w Matlabe funkcja lu. Przy rozwązywanu zadań dentyfkacj rzadko korzysta sę bezpośredno z metod rozwązywana układów równań, poneważ te są wywoływane nejawne np. przy odwracanu macerzy. Efektywne rozwązane układu równań jest zamplementowane w Matlabe poprzez operatory dzelena macerzowego / \. Różnca mędzy nm ma tylko charakter kolejnośc operandów, obydwa korzystają z elmnacj Gaussa, obydwa są w szczególny sposób nterpretowane, jeśl macerz w manownku operacj ne jest kwadratowa. W tym przypadku wyznaczane jest rozwązane w sense najmnejszej sumy kwadratów (jak estymator LS, który będze nedługo omawany) wewnętrzne używana jest dekompozycja SVD lub QR (odpowednk LU dla macerzy nekwadratowych, których tu już ne omawamy). Przykład: Rozwązane naszego początkowego problemu dentyfkacyjnego możemy teraz wyznaczyć jako: U=[u, u2; u2, u22]; y=[y; y2]; a=nv(u)*y; % można ~ 3 razy szybcej precyzyjnej a=u\y; % wlasne tak Przyjmjmy U=[ 2;2 4], y=[3; 6]. Czy z takch danych pomarowych można wyznaczyć dobre rozwązane?
7 MINIMALIZACJA FUNKCJI Komputerowa dentyfkacja obektów Standardowe matematyczne sformułowane zadana mnmalzacj brzm: Dla danej funkcj f dla danego obszaru S E k znaleźć punkt x * S tak, że f(x * ) f(x) dla wszystkch x S, gdze E k jest k-wymarową przestrzeną eukldesową parametrów, x jest punktem tej przestrzen, czyl wektorem wartośc parametrów. Przestrzeń poszukwana wartośc parametrów może być ogranczona. Ogranczena mają najczęścej charakter przedzałów, rzadzej postać ogranczeń równoścowych czy nerównoścowych. x x x g ( ) = 0, =,, n l u x ( x ) 0, =,, g n Podstawowe dee rozwązań problemu mnmalzacj Przypadk rozwązywalne analtyczne: problemy LP (Lnear Programmng) - kryterum ogranczena są lnowym funkcjam parametrów problemy QP (Quadratc Programmng) - kwadratowe kryterum lnowe ogranczena Problemy NP (Nonlnear Programmng) wymagają użyca teracyjnych metod poszukwana opartych na nformacj o wartoścach kryterum w wybranych punktach przestrzen parametrów. Numeryczna mnmalzacja lokalna: poszukwane pojedynczego mnmum. Efektywne metody wykorzystują przyblżena pochodnych funkcj. W trudnych przypadkach (np. necągłośc) korzystają tylko z wartośc funkcj. Mnmalzacja globalna: poszukwane jednego punktu mnmalnego przy welu mnmach lokalnych. Jest to trudne zadane oblczenowe. Pomysły na rozwązane to welokrotne starty metody lokalnej z różnych punktów lub zasada błądzena wokół beżącego rozwązana dla znalezena sąsadującego lepszego rozwązana (np. smulated annealng, algorytmy genetyczne).
8 Numeryczne metody mnmalzacj lokalnej bez użyca pochodnych Metody wymagające podana przedzału zawerającego mnmum (w Matlabe funkcja fmnbnd) metoda złotego podzału metoda nterpolacj kwadratowej sześcennej Metoda smpleksów (w Matlabe fmnsearch) kerunek spadku wyznaczany z nachylena najprostszej fgury geometrycznej Metody lokalne wykorzystujące nformację z gradentu Naturalne w przypadku mnmalzacj lokalnej jest wykorzystane nformacj o zachowanu sę mnmalzowanej funkcj zawartej w jej pochodnych kolejnych rzędów. Informacje te są dostarczane przez użytkownka procedury mnmalzującej w postac jawnej, lub uzyskwane drogą numerycznego przyblżena różncowego. Najstarsze metody tego typu wykorzystywały nformację zawartą w perwszej pochodnej, opsującej nachylene zbocza funkcj w aktualnym punkce (stąd nazwa metody gradentowe). Przykładowo w metodze najwększego spadku (ang. Steepest Descent) następne przyblżene mnmum jest poszukwane w kerunku przecwnym do gradentu, tj. d=- f(x). W szczególnych przypadkach, jak np. funkcja Rosenbrocka, metody te są bardzo wolno zbeżne do rozwązana. Wyznaczene kerunku poszukwana mnmum jest perwszym etapem pojedynczego kroku metody mnmalzacj welowymarowej. Drugm etapem jest jednowymarowe poszukwane mnmum wzdłuż wyznaczonego kerunku, tzn. mnmalzacja względem α zależnośc: x x d = + k+ k α metodam np. złotego podzału, cągu Fbonaccego, metodam nterpolacj/ekstrapolacj.
9 Metody lokalne wykorzystujące nformację z hesjanu (macerzy drugch pochodnych) Metoda gradentowa używała modelu perwszego rzędu (lnowego) zachowana sę funkcj w okolcy beżącego punktu. Dokładnejsze wyznaczene kerunku poszukwana mnmum otrzymuje sę przy uwzględnenu nformacj różnczkowej drugego rzędu. Model otoczena beżącego punktu ma wtedy postać kwadratową, z zastępczym problemem mnmalzacj: T T mn c n xhx+ bx +, x R 2 gdze H jest symetryczną dodatno określoną macerzą hesjanu aproksymowanej funkcj, b wektorem gradentu w beżącym punkce, c stałą. Z przyrównana pochodnej modelu względem x do 0 otrzymuje sę kerunek d poszukwana mnmum (kerunek Newtona): d= H b Metody z bezpośrednm wyznaczanem hesjanu są nazywane metodam Newtona. Wyznaczane macerzy hesjanu jest jednak kosztowne oblczenowo. Z tego względu opracowano metody z teracyjną aktualzacją tej macerzy nazywane metodam quas-newtona (lub metodam zmennej metryk). Najpopularnejsze formuły aktualzacj to BFGS (pokazana dla przykładu): H qq HssH T T T = k k k k k k k+ H + k T T qs k k shs k k k s = x x q = f ( x ) f ( x ) k k+ k k k+ k DFP aktualzująca bezpośredno odwrotność macerzy hesjanu. Obydwe są do wyboru w Matlabe w funkcjach fmnunc, fmncon.
10 ALGORYTMY DLA PROBLEMU NIELINIOWEJ NAJMNIEJSZEJ SUMY KWADRATÓW (NLS) Problem najmnejszej sumy kwadratów czynnków nelnowych względem parametrów powstaje przy wszelkch dopasowanach typu least-squares, np. w dentyfkacj obektów dynamcznych metodą dopasowana odpowedz modelu do pomarów. Problem ma określoną strukturę, węc możemy sę spodzewać uproszczeń w oblczenach. 2 T Kryterum mnmalzacj ma węc postać: f ( x) = F ( x) = F( x) F( x ) Lcząc gradent G hesjan H kryterum uzyskamy: T ( ) = 2 ( ) ( ) Gx Jx Fx, gdze J jest jakobanem wektora F, T Hx ( ) = 2Jx ( ) Jx ( ) + Qx, ( ) gdze ( ) = F ( ) ( ) Q x x H x, H jest hesjanem -tej składowej. Pomjając czynnk Q pozbylśmy sę macerzy drugch pochodnych, korzystamy tylko z jakobanu. Metoda Gaussa-Newtona Stosując kerunek Newtona do powyższego uzyskamy jego wersję dla problemu NLS. Skutkuje to kerunkem będącym rozwązanem problemu lnowego LS: ( ) ( ) 2 2 mn Jxd+ Fx d T T czyl układu równań: Jx ( ) Jxd ( ) = Jx ( ) Fx ( )
11 Metoda Levenberga-Marquardta Jest to ulepszene metody Gaussa-Newtona dla przypadku kedy czynnk Q(x) ne może być pomnęty. Rozsądne wyjśce, to ne korzystać wtedy w ogóle z hesjanu tylko wybrać krok metody najwększego spadku. Take zachowane można zapewnć doberając współczynnk λ w uogólnonej regule wyznaczana kerunku: T ( ) ( ) + λ = ( ) ( ) Jx Jx Id JxFx Dla λ równego zero jest to kerunek Gaussa-Newtona natomast dla dużego λ perwszy czynnk zwązany z hesjanem trac na znaczenu o kerunku decyduje prawa strona zwązana z gradentem. Implementacją tej metody jest funkcja Matlaba lsqnonln (w starszych wersjach leastsq). Jest to metoda polecana np. do dentyfkacj, poneważ dobrze zachowuje sę z dala od mnmum (od dobrego dopasowana do pomarów) - wtedy korzysta z modelu lnowego najwększego spadku, jak w okolcy mnmum gdze modeluje kryterum funkcją kwadratową.
12 Przykład: Porównane efektywnośc poszczególnych metod na funkcj Rosenbrocka A B a) steepest descent 000 teracj b) quas-newton BFGS 40 teracj c) Gauss-Newton 48 teracj d) Levenberg-Marquardt 90 teracj C D
13 ROZWIĄZANIA PROBLEMU MINIMALIZACJI GLOBALNEJ Metoda pokryca satką prostokątną lub nerównomerną Poszukwane mnmum globalnego funkcj jest w tym przypadku zastąpone zadanem poszukwana mnmum dyskretnego skończonego zboru wartośc. Koneczność wyznaczana wartośc kryterum w wykładnczo rosnącej z wymarem problemu lczbe punktów. Proste metody poszukwana losowego Pokryce satką losową. Ulepszane rozwązana przez mnmalzację lokalną z najlepszego z wylosowanych punktów lub mnmalzacja lokalna z każdego z wylosowanych punktów z wyborem najlepszego rozwązana. Zaawansowane metody losowe Wprowadzene czynnka losowego do efektywnych metod mnmalzacj lokalnej (smpleksów, najwększego spadku, quas-newtona) zaburza kerunek poszukwana umożlwając przejśce do sąsednego dołka. Zmenny udzał czynnka losowego w kerunku powoduje, że w początkowej faze optymalzacj przeszukwana jest cała przestrzeń parametrów dla znalezena otoczena punktu mnmum globalnego, a faza końcowa wyznacza z wększą dokładnoścą położene tego punktu. Przykładem takej mplementacj jest metoda Smulated Annealng analoga do procesu chłodzena w termodynamce [zob. Numercal Recpes]. Algorytmy genetyczne Poszukwane mnmum wg zasad ewolucj bologcznej, stosowane głowne w problemach optymalzacj dyskretnej.
14 PRZEGLĄD FUNKCJI ANALIZY CZASOWEJ I CZĘSTOTLIWOŚCIOWEJ MODELI W MATLABIE Dzedzna czasu: step, mpulse, lsm, flter Stara postać wywołana ze współczynnkam transmtancj lub równań stanu, np.: step(k*w0^2, [ 2*ks*w0 w0^2]) Nowa składna (Matlab 6.x, klasy obekty) wymaga opsu systemu LTI, np.: step(tf(k*w0^2, [ 2*ks*w0 w0^2])) Jak to dzała: Wyznaczane odpowedz czasowej polega na sprowadzenu modelu do równoważnej postac dyskretnych równań stanu (lub fltra cyfrowego IIR) teracyjnym oblczanu kolejnych wartośc odpowedz. Jest to węc odpowednk prostego stałokrokowego algorytmu symulacj dynamcznej (o czym dalej). Możlwa automatyka doboru zakresu kroku na podstawe dynamk modelu. W dzałanu wykorzystywane są funkcje: c2d przejśce do równoważnego opsu dyskretnego z aproksymacją wejśca ZOH (zero order hold) lt/trange - automatyczny dobór kroku czasowego na podstawe mn(re[λ]) macerzy dynamk A. lt/tmscale automatyczny dobór zakresu czasu na podstawe max(re[λ]) macerzy dynamk A. Dzedzna częstotlwośc: bode, freqs, freqz Uwag o starej nowej składn wywołana jak wyżej Jak to dzała: Wyznaczane odpowedz częstotlwoścowej polega na wyznaczenu wartośc welomanów lcznka manownka w zadanych punktach częstotlwoścowych. Możlwa automatyka doboru zakresu kroku na podstawe dynamk modelu. Do tego wykorzystywana jest funkcja: freqpck automatyczny wybór zakresu częstotlwośc przez analzę położena zer begunów
15 METODY SYMULACJI KOMPUTEROWEJ - PRZYDATNOŚĆ MODELI DO OBLICZEŃ KOMPUTEROWYCH Metoda symulacj zależy od postac modelu. Jak zobaczymy są lepsze gorsze modele dla oblczeń numerycznych. Transmtancja (oblczena przez mnożene wdm zespolonych): Y( jω) = U( jω) G( jω) Komputerowe oblczena z tym modelem są wygodne gdy sygnały są okresowe o ogranczonym wdme. j k ( ) = kcos( ω0 + ϕk), U( jkω0 ) Ae ϕ j ( k arg( G) ) = k, Y( jkω0 ) = Ak G e ϕ +, y ( t) = Yk cos ω0t + arg[ Yk] u t A t k k ( ) Odpowedź mpulsowa (oblczena przez numeryczną całkę splotu w dzedzne czasu): () = () () = ( ) ( ) y t h t u t h τ u t τ dτ 0 Podstawowa nedogodność modelu splotowego to brak akumulacj nformacj z poprzednch punktów czasowych Równana stanu (oblczena przez teracyjne całkowane numeryczne zależnośc różnczkowej): dx ( t) dt ( () t, () t ), ( t ) = f x u x = x ( ) () t = () t, () t y g x u 0 0 Wyznaczane odpowedz model dyskretnych, typu FIR, IIR czy dyskretne równana stanu, polega na prostym mnożenu współczynnków próbek (analoga do modelu cągłego z całkowanem prostym algorytmem Eulera).
16 Przykład: Oblczena na modelu transmtancyjnym, przenoszene sygnału okresowego przez układ drugego rzędu. Poszukujemy odpowedz przetwornka drugego rzędu opsanego transmtancją wdmową: = ω jω (jaką wartość mają standardowe parametry K, ξ, ω 0 tego modelu?) ( ) 2 G jω na sygnał okresowy złożony z dwóch harmoncznych: () = sn( 0.5 ) + 0.2sn( ) = cos( 0.5 π 2) + 0.2cos( π 2) u t t t t t Wdmo sygnału ma dwa prążk dla pulsacj 0.5 [rad/s] o ampltudach 0.2 oraz fazach π Transmtancja wdmowa w częstotlwoścach prążków to: G( j0.5) =.33e j 2, G( j) 50e jπ Zrekonstruowany sygnał wyjścowy ma postać czasową: y t t π t 2 () =.33cos cos( π ) =. Implementację oblczeń w Matlabe dla dowolnej lczby składowych o zadanych częstotlwoścach zostawam jako zadane u(t) Magntude (db) Phase (deg) G(jw) y(t) Frequency (rad/sec)
17 Przykład: oblczena na modelu splotowym, przenoszene sygnału neokresowego przez układ perwszego rzędu. Poszukujemy odpowedz wzmacnacza dolnopasmowego opsanego odpowedzą mpulsową: 0t () 000e ht = (jaką wartość mają standardowe parametry K, T modelu?) na sygnał neokresowy mpulsu prostokątnego: () u t 50[mV], 0 t 0.3[ s] = 0[mV], 0 > t > 0.3[ s] 0.3s u(t 0 -t) u(t) t 0 t Zgodne z zależnoścą splotową, żeby wyznaczyć wartość odpowedz w pojedynczym punkce czasowym t 0, musmy scałkować loczyn odwróconego przesunętego sygnału wejścowego odpowedz mpulsowej układu: ( ) = ( ) ( ) y t h τ u t τ dτ W naszym przypadku sytuacja upraszcza sę, bo sygnał wejścowy w wększośc czasu jest zerowy zakres całkowana jest ogranczony: ( ) 50 ( τ ) y t0 = h dτ 0 t 0 t 0.3 Wyznaczene odpowedz w następnym punkce wymaga powtórzena całej procedury całkowana z nnym przesunęcem. h(τ) u(t 0 -τ) h(τ) y(t) t 0 t 0 -t τ τ y(t 0 ) t
18 Realzacja numeryczna Komputerowa dentyfkacja obektów Praktyczne całkowane zawsze prowadz sę w ogranczonym zakrese dzęk zmerzanu odpowedz mpulsowej z czasem do zera (wzmocnene statyczne układu to całka z jego odpowedz mpulsowej, odpowedź mpulsowa reprezentuje pamęć układu). W przypadku spróbkowanego co t sygnału wejścowego najprostsza realzacja to całkowane numeryczne metodą prostokątów z dyskretyzacją obcęcem odpowedz mpulsowej do N+ próbek: N N N ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y k t = t u k t t h t = t u k t h t = uk h f = 0 = 0 p = 0 W ten sposób dochodzmy do wyrażena analogcznego do splotu dyskretnego. Dokładnejsze oblczena są możlwe, jeśl znane są wartośc wejśca w dowolnej chwl t (np. przebeg dany analtyczne lub przez nterpolację mędzy próbkam) to można zastosować dokładnejsze algorytmy całkowana. W Matlabe take algorytmy całkowana to quad() - adaptacyjna rekursywna metoda Smpsona (trapezów) dokładnejsza quad8() - adaptacyjna rekursywna metoda Newtona-Cotesa (po szczegóły odsyłam do kursu Oblczeń Numerycznych /~ttward/numer). Przykład : Wyznaczene odpowedz układu RC (np. układ Sample&Hold w faze podtrzymana) o stałej czasowej T=[s] jednostkowym wzmocnenu na skokową zmanę wejśca. Metoda splotowa z dokładnejszą całką. Plk główny, odpowedz.m : plk funkcja.m : T=; tv=0:0.:5; yv=[]; for t=tv yv=[yv, quad8('funkcja, 0, 0, [], [], t, T)]; end; plot(tv, yv); functon f=funkcja(tau, t0, T) % uwaga: tau może być wektorem skok=tau<t0; h=/t*exp(-tau/t); f=h.*skok;
19 SYMULACJA Z MODELEM RÓWNAŃ STANU KRÓTKI PRZEGLĄD ALGORYTMÓW Problemem oblczenowym jest rozwązana dynamcznego równana stanu. Równane wyjśca jest prostą operacją arytmetyczną. Symulacja polega na wyznaczanu wartośc stanu w kolejnych chwlach czasu począwszy od stanu początkowego. dx ( t) dt ( () t, t), ( t ) = f x x = x 0 0 Informacja dostępna w beżącym (w szczególnośc zerowym) punkce: x dx dt = x x (, ) = f x t Wynka stąd najprostszy algorytm Eulera (ekstrapolacyjny): ( ) x x t f x t = + +, Jego odmaną jest nterpolacyjny algorytm Eulera w postac uwkłanej: (, ) x = x + t f x t x f(x,t ) x t t + x f(x +,t + ) x t t +?????? t t Wadą algorytmu Eulera jest kumulacja błędów w kolejnych krokach koneczność stosowana małych kroków symulacj t dla osągnęca dużej dokładnośc.
20 Grupa algorytmów Rungego-Kutty wykorzystuje dodatkową nformację w pośrednch punktach próbnych. Pochodna decydująca o następnym punkce trajektor rozwązana jest uśrednenem wartośc pochodnych ze wszystkch punktów próbnych. W ten sposób lokalna krzywzna trajektor (wyższe pochodne) mnej zaburza rozwązane numeryczne. Ilość punktów próbnych decyduje o rzędze metody. Przykładowo metoda RK rzędu czwartego ma postać: x = x + t + k k k k ( 2 2 ) gdze: x k (, ) = f x t t t k2 = f x + k, t t t k3 = f x + k2, t (, ) 4 3 k = f x + k t t + t x t k 2 k t + t/2 k 3 k 4 Tak jak metoda Eulera, metody Rungego-Kutty są samostartujące (wystarcza m pojedynczy punkt startowy x 0 ), w przecweństwe do dalej opsanych. t + t Tak jak nne algorytmy, metody RK mogą meć postać zmennokrokową, adaptacyjne dopasowującą krok symulacj do lokalnej dynamk stanu. Adaptacja dzała na zasadze porównana wynku metody z metodą wyższego rzędu (w przypadku RK z wększą loścą punktów próbnych). Jeśl ch wynk ne różną sę znaczne oznacza to dobrą dokładność. Jeśl sę różną, to zmnejszana jest długość koku t.
21 Grupa algorytmów Adamsa-Bashfortha Adamsa-Moultona wykorzystuje nformację w poprzedno wyznaczonych punktach zmennej stanu. Informacja o lokalnej krzywźne (wartośc wyższych pochodnych) jest węc naczej wydobywana kompensowana w rozwązanu. W ogólnej postac jest to zależność: K (, ) x = a x + t b f x t + k + k k + k + k k= k= 0 K Algorytmy perwszej grupy, tj. metody Adamsa-Bashfortha, mają charakter ekstrapolacyjny (b 0 =0) ne dają równana uwkłanego. Przykładowo, metoda rzędu trzecego: x = x + ( 23f 6f + 5f ) t Metody Adamsa-Moultona to metody nterpolacyjne, wymagające rozwązana równana uwkłanego (b 0 0). Przykładowo, metoda rzędu trzecego: x = x + ( 5f + 8f f ) t Szczególne efektywna stablna dla rozwązywana układów sztywnych (źle uwarunkowane równana stanu) okazała sę metoda Geara. Jest to algorytm uwkłany, korzysta tylko z poprzednch wartośc stanu z wartośc pochodnej stanu w szacowanym punkce. Przykładowo metoda Geara rzędu czwartego: x = ( 48x + 36x + 6x + 3x ) + 2 t f Do wystartowana tych metod, klka perwszych wartośc stanu wyznacza sę metodą samostartującą (np. RK). x x -2 t -2??? t - t t + t A co z symulacją obektów dynamcznych o parametrach rozłożonych? patrz następny wykład.
22 ŚRODOWISKO SYMULACJI W SIMULINKU Od strony technk symulacj, Smulnk dzała na baze opsu model równanam stanu, cągłym lub dyskretnym. Grafczne bloczk modelujące elementy dynamczne, na pozome kodu wykonywalnego zawerają take właśne opsy. Całkowane równań stanu może być wykonywane metodam stałokrokowym (fxed step) zmennokrokowym (varable step) czyl adaptacyjnym. Do wyboru mamy algorytmy: stałokrokowe : Rungego-Kutty (ode3 5), Eulera (ode, ode2), zmennokrokowe: RK (ode45, ode23), Adamsa-Bashfortha-Moultona (ode3), NDF (uogólnene Geara, ode5s), neomawane (ode23s, ode23t, ode23tb). Domyślny algorytm to zmennokrokowy od45 Rungego-Kutty czwartego rzędu z kontrolą adaptacj pątego rzędu. Panel zadawana parametrów symulacj znaczene wyberanej dokładnośc względnej bezwzględnej oblczeń pokazano na rysunkach.
23 W przypadku kedy generowane odpowedz elementu lub systemu w celu wyznaczena kryterum jest trudne do zrealzowana metodam analtycznym, wtedy wykorzystujemy symulację. Przykład połączena algorytmu mnmalzacj symulacyjne wyznaczonego kryterum przedstawa ponższy przykład. Przykład: optymalzacja kryterum jakośc wyznaczanego drogą symulacj Dla modelu symulacyjnego podanego w przykładze welokrotnej symulacj dla wyznaczena charakterystyk: Punkt mnmalny dla kryterum J (lna czerwona) chcemy wyznaczyć metodą mnmalzacj numerycznej Przykładowa sesja Matlaba ma postać: >> op=smset('reltol',e-5,'abstol',e-6, 'MaxStep',e-3, 'srcworkspace', 'current'); >> Topt=constr('eval_J',.5, [], 0.2, 2, [], op) Topt =.0403 gdze eval_j jest plkem z funkcją zwracającą wartość kryterum: functon [Jval, G]=eval_J(T,op) sm('ex_opt_t', 5*T, op); Jval=J; G=[]; W powyższym kodze zapewnono określoną dokładność maksymalny krok symulacj. Ostatna para parametrów wywołana funkcj smset określa środowsko (workspace) oblczana wyrażeń Matlaba, które pojawły sę w modelu Smulnka. Ustawene tego parametru na current powoduje, że w modelu symulacyjnym w Smulnku jest wdoczna zmenna lokalna T funkcj eval_j wywołującej symulację. Constant T.s+ Transfer Fcn Transport Delay u 2 Math Functon u Abs s Integrator s Integrator J To Workspace J2 To Workspace
24 SZYBKA DYSKRETNA TRANFORMATA FOURIERA Komputerowa dentyfkacja obektów Funkcja Matlaba fft wykonuje transformację danych czasowych do dzedzny częstotlwośc. Właścwa nterpretacja danych polega na wyznaczenu wartośc ampltudy, fazy częstotlwośc poszczególnych prążków wyznaczonego wdma. Dla N-punktowego FFT pulsacj próbkowana ( ) ( ) ( N ) ( k ) ω =, ω = k ω = ω, k =,, N ω s N k s N ω = ω = 0, ω = ω = ω ω s N N s N s ω s częstotlwość prążków wyznaczamy jako: Poneważ dla sygnałów rzeczywstych wdmo jest symetryczne, to ampltuda składowych o nezerowej częstotlwośc rozkłada sę po połowe na symetryczne prążk. Faza składowych symetrycznych jest zaś przecwna. Dodatkowo prążk wdma są skalowane wartoścą N. Ostateczne dla ff=fft(syg): A0 = abs( ff () ) N 2 A = abs ( ff () ), > N ϕ = angle ff, > ( ()) Efekty nepożądane w analze FFT to alasng rozmyce wdma. Ne omawamy tych problemów teoretyczne, a w praktyce zaobserwujemy je przy przetwarzanu pomarów na zajęcach.
25 ZADANIA KOMPUTEROWE ALGORYTMY OBLICZENIOWE W IDENTYFIKACJI Zadane Mnmalzacja kryterum dopasowana FFT Do zarejestrowanego z użycem karty pomarowej sygnału snusodalnego (dane dostępne na serwerze) dopasuj wzorcową snusodę sparametryzowaną przez ampltudę, częstotlwość fazę. Odczytaj dopasowane wartośc. Wyznacz te same welkośc poprzez algorytm FFT. Z czego wynkają różnce? Przedstaw hstogram z reszt dopasowana, które odpowadają szumow pomarowemu. Czy ten szum jest zdomnowany przez efekt kwantowana? Zadane 2 Wygeneruj dowolną metodą symulacj odpowedź obektu nercyjnego perwszego rzędu na sygnał wejścowy w postac rampy (sygnał lnowo narastający). Sprawdź, na jaką cechę wyznaczonej odpowedz wpływa wartość stałej czasowej. LITERATURA DODATKOWA Guzak T., Kamńska A., Pańczyk B., Skora J., Metody numeryczne w elektrotechnce, Wydawnctwa Poltechnk Lubelskej 998 Björck Å., Dahlqust G., Metody numeryczne, PWN Warszawa 987 Press W.H., Flannery B.P., Teukolsky S.A., Vetterlng W.T., Numercal Recpes n C, Cambrdge Unversty Press, Cambrdge 993 MathWorks, Optmzaton Toolbox - User Gude, 994 (dokumentacja dostępna na serwerze MathWorks)
Wykład IX Optymalizacja i minimalizacja funkcji
Wykład IX Optymalzacja mnmalzacja funkcj Postawene zadana podstawowe dee jego rozwązana Proste metody mnmalzacj Metody teracj z wykorzystanem perwszej pochodnej Metody teracj z wykorzystanem drugej pochodnej
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie zadań optymalizacji w środowisku programu MATLAB
Rozwązywane zadań optymalzacj w środowsku programu MATLAB Zagadnene optymalzacj polega na znajdowanu najlepszego, względem ustalonego kryterum, rozwązana należącego do zboru rozwązań dopuszczalnych. Standardowe
Bardziej szczegółowoModelowanie i obliczenia techniczne. Metody numeryczne w modelowaniu: Optymalizacja
Modelowane oblczena technczne Metody numeryczne w modelowanu: Optymalzacja Zadane optymalzacj Optymalzacja to ulepszane lub poprawa jakośc danego rozwązana, projektu, opracowana. Celem optymalzacj jest
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 9. jej modyfkacje. Oznaczena Będzemy rozpatrywać zagadnene rozwązana następującego układu n równań lnowych z n newadomym x 1... x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych
Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analza zagadneń różnczkowych 1. Układy równań lnowych P. F. Góra http://th-www.f.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letn 2006/07 Podstawowe fakty Równane Ax = b, x,
Bardziej szczegółowoProjekt 6 6. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH CAŁKOWANIE NUMERYCZNE
Inormatyka Podstawy Programowana 06/07 Projekt 6 6. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH CAŁKOWANIE NUMERYCZNE 6. Równana algebraczne. Poszukujemy rozwązana, czyl chcemy określć perwastk rzeczywste równana:
Bardziej szczegółowoMetody gradientowe poszukiwania ekstremum. , U Ŝądana wartość napięcia,
Metody gradentowe... Metody gradentowe poszukwana ekstremum Korzystają z nformacj o wartośc funkcj oraz jej gradentu. Wykazując ch zbeŝność zakłada sę, Ŝe funkcja celu jest ogranczona od dołu funkcją wypukłą
Bardziej szczegółowoLaboratorium ochrony danych
Laboratorum ochrony danych Ćwczene nr Temat ćwczena: Cała skończone rozszerzone Cel dydaktyczny: Opanowane programowej metody konstruowana cał skończonych rozszerzonych GF(pm), poznane ch własnośc oraz
Bardziej szczegółowoSZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODĄ PROPAGACJI ROZKŁADÓW
SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODĄ PROPAGACJI ROZKŁADÓW Stefan WÓJTOWICZ, Katarzyna BIERNAT ZAKŁAD METROLOGII I BADAŃ NIENISZCZĄCYCH INSTYTUT ELEKTROTECHNIKI ul. Pożaryskego 8, 04-703 Warszawa tel.
Bardziej szczegółowoSztuczne sieci neuronowe. Krzysztof A. Cyran POLITECHNIKA ŚLĄSKA Instytut Informatyki, p. 311
Sztuczne sec neuronowe Krzysztof A. Cyran POLITECHNIKA ŚLĄSKA Instytut Informatyk, p. 311 Wykład 6 PLAN: - Repetto (brevs) - Sec neuronowe z radalnym funkcjam bazowym Repetto W aspekce archtektury: zajmowalśmy
Bardziej szczegółowoWYZNACZENIE CHARAKTERYSTYK DYNAMICZNYCH PRZETWORNIKÓW POMIAROWYCH
Zakład Metrolog Systemów Pomarowych P o l t e c h n k a P o z n ańska ul. Jana Pawła II 6-965 POZNAŃ (budynek Centrum Mechatronk, Bomechank Nanonżyner) www.zmsp.mt.put.poznan.pl tel. +8 6 665 35 7 fa +8
Bardziej szczegółowo5. CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE
5. CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE Oprócz transmtancj operatorowej, do opsu członów układów automatyk stosuje sę tzw. transmtancję wdmową. Transmtancję wdmową G(j wyznaczyć moŝna dzęk podstawenu do wzoru
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Faktoryzacja SVD Metody iteracyjne. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Faktoryzacja SVD Metody teracyjne P. F. Góra http://th-www.f.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2013 Sngular Value Decomposton Twerdzene 1. Dla każdej macerzy A R M N, M N, stneje rozkład
Bardziej szczegółowoWykład 5 12/15/2013. Problemy algebry liniowej w Matlabie
Wykład 5. Problemy algebry lnowej w Matlabe. Analza sygnałów a) w dzedzne częstotlwośc b) w dzedzne czasu c) częstotlwoścowo-czasowa d) nagrywane analza dźwęku e) Sgnal Processng Toolbox Problemy algebry
Bardziej szczegółowoKlasyfkator lnowy Wstęp Klasyfkator lnowy jest najprostszym możlwym klasyfkatorem. Zakłada on lnową separację lnowy podzał dwóch klas mędzy sobą. Przedstawa to ponższy rysunek: 5 4 3 1 0-1 - -3-4 -5-5
Bardziej szczegółowoDiagonalizacja macierzy kwadratowej
Dagonalzacja macerzy kwadratowej Dana jest macerz A nân. Jej wartośc własne wektory własne spełnają równane Ax x dla,..., n Każde z równań własnych osobno można zapsać w postac: a a an x x a a an x x an
Bardziej szczegółowoNatalia Nehrebecka. Wykład 2
Natala Nehrebecka Wykład . Model lnowy Postad modelu lnowego Zaps macerzowy modelu lnowego. Estymacja modelu Wartośd teoretyczna (dopasowana) Reszty 3. MNK przypadek jednej zmennej . Model lnowy Postad
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi. Arkusz A II. Strona 1 z 5
MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Krytera ocenana odpowedz Arkusz A II Strona 1 z 5 Odpowedz Pytane 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Odpowedź D C C A B 153 135 232 333 Zad. 10. (0-3) Dana jest funkcja postac. Korzystając
Bardziej szczegółowoCAŁKOWANIE NUMERYCZNE całki pojedyncze
CAŁKOWANIE NUMERYCZNE całk pojedyncze Kwadratury nterpolacyjne Kwadratury nterpolacyjne Rozpatrujemy funkcję f() cągłą ogranczoną w przedzale domknętym [a, b]. Przedzał [a, b] dzelmy na skończoną lczbę
Bardziej szczegółowoPokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem
Zestaw zadań : Przestrzene wektorowe. () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawanem jako dodawanem wektorów operacją mnożena przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzeną lnową nad całem lczb zespolonych
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Bezouta i liczby zespolone Javier de Lucas. Rozwi azanie 2. Z twierdzenia dzielenia wielomianów, mamy, że
Twerdzene Bezouta lczby zespolone Javer de Lucas Ćwczene 1 Ustal dla których a, b R można podzelć f 1 X) = X 4 3X 2 + ax b przez f 2 X) = X 2 3X+2 Oblcz a b Z 5 jeżel zak ladamy, że f 1 f 2 s a welomanam
Bardziej szczegółowoKier. MTR Programowanie w MATLABie Laboratorium
Ker. MTR Programowane w MATLABe Laboraorum Ćw. Zasosowane bbloecznych funkcj MATLABa do numerycznego rozwązywana równań różnczkowych. Wprowadzene Układy równań różnczkowych zwyczajnych perwszego rzędu
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 5 WERYFIKACJA HIPOTEZ NIEPARAMETRYCZNYCH
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 5 WERYFIKACJA HIPOTEZ NIEPARAMETRYCZNYCH 1 Test zgodnośc χ 2 Hpoteza zerowa H 0 ( Cecha X populacj ma rozkład o dystrybuance F). Hpoteza alternatywna H1( Cecha X populacj
Bardziej szczegółowoWSPOMAGANE KOMPUTEROWO POMIARY CZĘSTOTLIWOŚCI CHWILOWEJ SYGNAŁÓW IMPULSOWYCH
Metrologa Wspomagana Komputerowo - Zegrze, 9-22 05.997 WSPOMAGANE KOMPUTEROWO POMIARY CZĘSTOTLIWOŚCI CHWILOWEJ SYGNAŁÓW IMPULSOWYCH dr nż. Jan Ryszard Jask, dr nż. Elgusz Pawłowsk POLITECHNIKA lubelska
Bardziej szczegółowoWikiWS For Business Sharks
WkWS For Busness Sharks Ops zadana konkursowego Zadane Opracowane algorytmu automatyczne przetwarzającego zdjęce odręczne narysowanego dagramu na tablcy lub kartce do postac wektorowej zapsanej w formace
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 6
Stansław Cchock Natala Nehrebecka Wykład 6 1 1. Zastosowane modelu potęgowego Przekształcene Boxa-Coxa 2. Zmenne cągłe za zmenne dyskretne 3. Interpretacja parametrów przy zmennych dyskretnych 1. Zastosowane
Bardziej szczegółowoAnaliza danych. Analiza danych wielowymiarowych. Regresja liniowa. Dyskryminacja liniowa. PARA ZMIENNYCH LOSOWYCH
Analza danych Analza danych welowymarowych. Regresja lnowa. Dyskrymnacja lnowa. Jakub Wróblewsk jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajeca.jakubw.pl/ PARA ZMIENNYCH LOSOWYCH Parę zmennych losowych X, Y możemy
Bardziej szczegółowoWykład X Rozwiązywanie zagadnień początkowych dla równań różniczkowych zwyczajnych
Wykład X Rozwiązywanie zagadnień początkowych dla równań różniczkowych zwyczajnych Postawienie zadania i podstawowe idee jego rozwiązania Metody samostartujące (Eulera, Rungego-Kutty) Metody niesamostartujące
Bardziej szczegółowoMinimalizacja globalna. Algorytmy genetyczne i ewolucyjne.
Mnmalzacja globalna Algorytmy genetyczne ewolucyjne. Lnearyzacja nelnowego operatora g prowadz do przyblżonych metod rozwązywana zagadnena odwrotnego. Wynk takej nwersj jest slne uzależnony od wyboru modelu
Bardziej szczegółowoBADANIA OPERACYJNE. Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności. dr Adam Sojda
BADANIA OPERACYJNE Podejmowane decyzj w warunkach nepewnośc dr Adam Sojda Teora podejmowana decyzj gry z naturą Wynk dzałana zależy ne tylko od tego, jaką podejmujemy decyzję, ale równeż od tego, jak wystąp
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych
Komputerowa analza zagadneń różnczkowych 1. Układy równań lnowych P. F. Góra http://th-www.f.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letn 2007/08 Podstawowe fakty Równane Ax = b, x, b R N, A R N N (1) ma jednoznaczne
Bardziej szczegółowoZadanie na wykonanie Projektu Zespołowego
Zadane na wykonane Projektu Zespołowego Celem projektu jest uzyskane następującego szeregu umejętnośc praktycznych: umejętnośc opracowana równoległych wersj algorytmów (na przykładze algorytmów algebry
Bardziej szczegółowoKURS STATYSTYKA. Lekcja 6 Regresja i linie regresji ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1
KURS STATYSTYKA Lekcja 6 Regresja lne regresj ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowedź (tylko jedna jest prawdzwa). Pytane 1 Funkcja regresj I rodzaju cechy Y zależnej
Bardziej szczegółowoI. Elementy analizy matematycznej
WSTAWKA MATEMATYCZNA I. Elementy analzy matematycznej Pochodna funkcj f(x) Pochodna funkcj podaje nam prędkość zman funkcj: df f (x + x) f (x) f '(x) = = lm x 0 (1) dx x Pochodna funkcj podaje nam zarazem
Bardziej szczegółowoZestaw zadań 4: Przestrzenie wektorowe i podprzestrzenie. Liniowa niezależność. Sumy i sumy proste podprzestrzeni.
Zestaw zadań : Przestrzene wektorowe podprzestrzene. Lnowa nezależność. Sumy sumy proste podprzestrzen. () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawanem jako dodawanem wektorów operacją mnożena przez skalar :
Bardziej szczegółowoZastosowanie algorytmu z wykładniczym zapominaniem do korekcji dynamicznej metodą w ciemno
65 Prace Instytutu Mechank Górotworu PAN Tom 7, nr -, (5), s. 65-7 Instytut Mechank Górotworu PAN Zastosowane algorytmu z wykładnczym zapomnanem do korekcj dynamcznej metodą w cemno PAWEŁ JAMRÓZ, ANDRZEJ
Bardziej szczegółowoV. WPROWADZENIE DO PRZESTRZENI FUNKCYJNYCH
Krs na Stdach Doktoranckch Poltechnk Wrocławskej wersja: lty 007 34 V. WPROWADZENIE DO PRZESTRZENI FUNKCYJNYCH. Zbór np. lczb rzeczywstych a, b elementy zbor A a A b A, podzbór B zbor A : B A, sma zborów
Bardziej szczegółowoZapis informacji, systemy pozycyjne 1. Literatura Jerzy Grębosz, Symfonia C++ standard. Harvey M. Deitl, Paul J. Deitl, Arkana C++. Programowanie.
Zaps nformacj, systemy pozycyjne 1 Lteratura Jerzy Grębosz, Symfona C++ standard. Harvey M. Detl, Paul J. Detl, Arkana C++. Programowane. Zaps nformacj w komputerach Wszystke elementy danych przetwarzane
Bardziej szczegółowoSymulator układu regulacji automatycznej z samonastrajającym regulatorem PID
Symulator układu regulacj automatycznej z samonastrajającym regulatorem PID Założena. Należy napsać program komputerowy symulujący układ regulacj automatycznej, który: - ma pracować w trybe sterowana ręcznego
Bardziej szczegółowoAnaliza danych OGÓLNY SCHEMAT. http://zajecia.jakubw.pl/ Dane treningowe (znana decyzja) Klasyfikator. Dane testowe (znana decyzja)
Analza danych Dane trenngowe testowe. Algorytm k najblższych sąsadów. Jakub Wróblewsk jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajeca.jakubw.pl/ OGÓLNY SCHEMAT Mamy dany zbór danych podzelony na klasy decyzyjne, oraz
Bardziej szczegółowoSZTUCZNA INTELIGENCJA
SZTUCZNA INTELIGENCJA WYKŁAD 15. ALGORYTMY GENETYCZNE Częstochowa 014 Dr hab. nż. Grzegorz Dudek Wydzał Elektryczny Poltechnka Częstochowska TERMINOLOGIA allele wartośc, waranty genów, chromosom - (naczej
Bardziej szczegółowoMinimalizacja globalna, algorytmy genetyczne i zastosowanie w geotechnice
Mnmalzacja globalna, algorytmy genetyczne zastosowane w geotechnce Metoda sejsmczna Metoda geoelektryczna Podstawowy podzał ZAGADNIENIE PROSTE (ang. forward problem) model + parametry modelu dane (ośrodek,
Bardziej szczegółowoXXX OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP III Zadanie doświadczalne
XXX OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP III Zadane dośwadczalne ZADANIE D Nazwa zadana: Maszyna analogowa. Dane są:. doda półprzewodnkowa (krzemowa) 2. opornk dekadowy (- 5 Ω ), 3. woltomerz cyfrowy, 4. źródło napęca
Bardziej szczegółowoPattern Classification
attern Classfcaton All materals n these sldes were taken from attern Classfcaton nd ed by R. O. Duda,. E. Hart and D. G. Stork, John Wley & Sons, 000 wth the permsson of the authors and the publsher Chapter
Bardziej szczegółowoMETODA UNITARYZACJI ZEROWANEJ Porównanie obiektów przy ocenie wielokryterialnej. Ranking obiektów.
Opracowane: Dorota Mszczyńska METODA UNITARYZACJI ZEROWANEJ Porównane obektów przy ocene welokryteralnej. Rankng obektów. Porównane wybranych obektów (warantów decyzyjnych) ze względu na różne cechy (krytera)
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 7
Stansław Cchock Natala Nehrebecka Wykład 7 1 1. Zmenne cągłe a zmenne dyskretne 2. Interpretacja parametrów przy zmennych dyskretnych 1. Zmenne cągłe a zmenne dyskretne 2. Interpretacja parametrów przy
Bardziej szczegółowoKier. MTR Programowanie w MATLABie Laboratorium Ćw. 12
Ker. MTR Programowane w MATLABe Laboratorum Ćw. Analza statystyczna grafczna danych pomarowych. Wprowadzene MATLAB dysponuje weloma funcjam umożlwającym przeprowadzene analzy statystycznej pomarów, czy
Bardziej szczegółowoNatalia Nehrebecka. Zajęcia 3
St ł Cchock Stansław C h k Natala Nehrebecka Zajęca 3 1. Dobroć dopasowana równana regresj. Współczynnk determnacj R Dk Dekompozycja warancj zmennej zależnej ż Współczynnk determnacj R. Zmenne cągłe a
Bardziej szczegółowoRUCH OBROTOWY Można opisać ruch obrotowy ze stałym przyspieszeniem ε poprzez analogię do ruchu postępowego jednostajnie zmiennego.
RUCH OBROTOWY Można opsać ruch obrotowy ze stałym przyspeszenem ε poprzez analogę do ruchu postępowego jednostajne zmennego. Ruch postępowy a const. v v at s s v t at Ruch obrotowy const. t t t Dla ruchu
Bardziej szczegółowoStatystyka. Zmienne losowe
Statystyka Zmenne losowe Zmenna losowa Zmenna losowa jest funkcją, w której każdej wartośc R odpowada pewen podzbór zboru będący zdarzenem losowym. Zmenna losowa powstaje poprzez przyporządkowane każdemu
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka Katarzyna Rosiak-Lada. Zajęcia 3
Stansław Cchock Natala Nehrebecka Katarzyna Rosak-Lada Zajęca 3 1. Dobrod dopasowana równana regresj. Współczynnk determnacj R 2 Dekompozycja warancj zmennej zależnej Współczynnk determnacj R 2 2. Zmenne
Bardziej szczegółowoBADANIE STATYCZNYCH WŁAŚCIWOŚCI PRZETWORNIKÓW POMIAROWYCH
BADAIE STATYCZYCH WŁAŚCIWOŚCI PRZETWORIKÓW POMIAROWYCH. CEL ĆWICZEIA Celem ćwczena jest poznane: podstawowych pojęć dotyczących statycznych właścwośc przetwornków pomarowych analogowych cyfrowych oraz
Bardziej szczegółowoZAJĘCIA X. Zasada największej wiarygodności
ZAJĘCIA X Zasada najwększej warygodnośc Funkcja warygodnośc Estymacja wg zasady maksymalzacj warygodnośc Rodzna estymatorów ML Przypadk szczególne WPROWADZEIE Komputerowa dentyfkacja obektów Przyjęce na
Bardziej szczegółowoLaboratorium Pomiarów i Automatyki w Inżynierii Chemicznej Regulacja Ciągła
Zakład Wydzałowy Inżyner Bomedycznej Pomarowej Laboratorum Pomarów Automatyk w Inżyner Chemcznej Regulacja Cągła Wrocław 2005 . Mary jakośc regulacj automatycznej. Regulacja automatyczna polega na oddzaływanu
Bardziej szczegółowoAPROKSYMACJA QUASIJEDNOSTAJNA
POZNAN UNIVE RSITY OF TE CHNOLOGY ACADE MIC JOURNALS No 73 Electrcal Engneerng 213 Jan PURCZYŃSKI* APROKSYMACJA QUASIJEDNOSTAJNA W pracy wykorzystano metodę aproksymacj średnokwadratowej welomanowej, przy
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2 MOMENT BEZWŁADNOŚCI. Wykład Nr 10. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA Wykład Nr 10 MOMENT BEZWŁADNOŚCI Prowadzący: dr Krzysztof Polko Defncja momentu bezwładnośc Momentem bezwładnośc punktu materalnego względem płaszczyzny, os lub beguna nazywamy loczyn masy punktu
Bardziej szczegółowoProgramowanie Równoległe i Rozproszone
Programowane Równoległe Rozproszone Wykład Programowane Równoległe Rozproszone Lucjan Stapp Wydzał Matematyk Nauk Informacyjnych Poltechnka Warszawska (l.stapp@mn.pw.edu.pl) /38 PRR Wykład Chcemy rozwązać
Bardziej szczegółowoInterpolacja, aproksymacja całkowanie. Interpolacja Krzywa przechodzi przez punkty kontrolne
Interpolacja, aproksymacja całkowanie Interpolacja Krzywa przechodzi przez punkty kontrolne Aproksymacja Punkty kontrolne jedynie sterują kształtem krzywej INTERPOLACJA Zagadnienie interpolacji można sformułować
Bardziej szczegółowoDiagnostyka układów kombinacyjnych
Dagnostyka układów kombnacyjnych 1. Wprowadzene Dagnostyka obejmuje: stwerdzene stanu układu, systemu lub ogólne sec logcznej. Jest to tzw. kontrola stanu wykrywająca czy dzałane sec ne jest zakłócane
Bardziej szczegółowo5. Pochodna funkcji. lim. x c x c. (x c) = lim. g(c + h) g(c) = lim
5. Pocodna funkcj Defncja 5.1 Nec f: (a, b) R nec c (a, b). Jeśl stneje granca lm x c x c to nazywamy ją pocodną funkcj f w punkce c oznaczamy symbolem f (c) Twerdzene 5.1 Jeśl funkcja f: (a, b) R ma pocodną
Bardziej szczegółowo± Δ. Podstawowe pojęcia procesu pomiarowego. x rzeczywiste. Określenie jakości poznania rzeczywistości
Podstawowe pojęca procesu pomarowego kreślene jakośc poznana rzeczywstośc Δ zmerzone rzeczywste 17 9 Zalety stosowana elektrycznych przyrządów 1/ 1. możlwość budowy czujnków zamenających werne każdą welkość
Bardziej szczegółowoMETODA ELEMENTU SKOŃCZONEGO. Termokinetyka
METODA ELEMENTU SKOŃCZONEGO Termoknetyka Matematyczny ops ruchu cepła (1) Zasada zachowana energ W a Cepło akumulowane, [J] P we Moc wejścowa, [W] P wy Moc wyjścowa, [W] t przedzał czasu, [s] V q S(V)
Bardziej szczegółowoWYBRANE ZASTOSOWANIA OPTYMALIZACJI ROZMYTEJ W STEROWANIU PROCESAMI ODLEWNICZYMI
47/17 ARCHIWUM ODLEWNICTWA Rok 2005, Rocznk 5, Nr 17 Archves of Foundry Year 2005, Volume 5, Book 17 PAN - Katowce PL ISSN 1642-5308 WYBRANE ZASTOSOWANIA OPTYMALIZACJI ROZMYTEJ W STEROWANIU PROCESAMI ODLEWNICZYMI
Bardziej szczegółowoMatematyka obliczeniowa, II rok Matematyki (2015/2016) Metody numeryczne, III rok Informatyki, (2013/2014)
Matematyka oblczenowa, II rok Matematyk (2015/2016) Metody numeryczne, III rok Informatyk, (2013/2014) 1. Rozwązywane równań nelnowych 2. Arytmetyka zmennopozycyjna 3. Błędy w oblczenach. Uwarunkowane
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 6
Stansław Cchock Natala Nehrebecka Wykład 6 1 1. Zastosowane modelu potęgowego Model potęgowy Przekształcene Boxa-Coxa 2. Zmenne cągłe za zmenne dyskretne 3. Interpretacja parametrów przy zmennych dyskretnych
Bardziej szczegółowoOptymalizacja belki wspornikowej
Leszek MIKULSKI Katedra Podstaw Mechank Ośrodków Cągłych, Instytut Mechank Budowl, Poltechnka Krakowska e mal: ps@pk.edu.pl Optymalzacja belk wspornkowej 1. Wprowadzene RozwaŜamy zadane optymalnego kształtowana
Bardziej szczegółowoSYSTEMY UCZĄCE SIĘ WYKŁAD 7. KLASYFIKATORY BAYESA. Dr hab. inż. Grzegorz Dudek Wydział Elektryczny Politechnika Częstochowska.
SYSTEMY UCZĄCE SIĘ WYKŁAD 7. KLASYFIKATORY BAYESA Częstochowa 4 Dr hab. nż. Grzegorz Dudek Wydzał Elektryczny Poltechnka Częstochowska TWIERDZENIE BAYESA Wedza pozyskwana przez metody probablstyczne ma
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 6
Stansław Cchock Natala Nehrebecka Wykład 6 1 1. Interpretacja parametrów przy zmennych objaśnających cągłych Semelastyczność 2. Zastosowane modelu potęgowego Model potęgowy 3. Zmenne cągłe za zmenne dyskretne
Bardziej szczegółowoNeuron liniowy. Najprostsza sieć warstwa elementów liniowych
Najprostsza jest jednostka lnowa: Neuron lnowy potraf ona rozpoznawać wektor wejścowy X = (x 1, x 2,..., x n ) T zapamętany we współczynnkach wagowych W = (w 1, w 2,..., w n ), Zauważmy, że y = W X Załóżmy,
Bardziej szczegółowoKONSPEKT WYKŁADU. nt. METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH TEORIA I ZASTOSOWANIA. Piotr Konderla
Studa doktorancke Wydzał Budownctwa Lądowego Wodnego Poltechnk Wrocławskej KONSPEKT WYKŁADU nt. METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH TEORIA I ZASTOSOWANIA Potr Konderla maj 2007 Kurs na Studach Doktoranckch Poltechnk
Bardziej szczegółowoMetody Numeryczne w Budowie Samolotów/Śmigłowców Wykład I
Metody Numeryczne w Budowie Samolotów/Śmigłowców Wykład I dr inż. Tomasz Goetzendorf-Grabowski (tgrab@meil.pw.edu.pl) Dęblin, 11 maja 2009 1 Organizacja wykładu 5 dni x 6 h = 30 h propozycja zmiany: 6
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do Sieci Neuronowych Algorytm wstecznej propagacji błędu
Wprowadzene do Sec Neuronowych Algorytm wstecznej propagacj błędu Maja Czoków, Jarosław Persa --6 Powtórzene. Perceptron sgmodalny Funkcja sgmodalna: σ(x) = + exp( c (x p)) Parametr c odpowada za nachylene
Bardziej szczegółowo2012-10-11. Definicje ogólne
0-0- Defncje ogólne Logstyka nauka o przepływe surowców produktów gotowych rodowód wojskowy Utrzyywane zapasów koszty zwązane.n. z zarożene kaptału Brak w dostawach koszty zwązane.n. z przestoje w produkcj
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI I INFORMATYKI INSTYTUT AUTOMATYKI I INFORMATYKI KIERUNEK AUTOMATYKA I ROBOTYKA STUDIA STACJONARNE I STOPNIA
WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI I INFORMATYKI INSTYTUT AUTOMATYKI I INFORMATYKI KIERUNEK AUTOMATYKA I ROBOTYKA STUDIA STACJONARNE I STOPNIA PRZEDMIOT : : LABORATORIUM PODSTAW AUTOMATYKI 10. Dyskretyzacja
Bardziej szczegółowoKRZYWA BÉZIERA TWORZENIE I WIZUALIZACJA KRZYWYCH PARAMETRYCZNYCH NA PRZYKŁADZIE KRZYWEJ BÉZIERA
KRZYWA BÉZIERA TWORZENIE I WIZUALIZACJA KRZYWYCH PARAMETRYCZNYCH NA PRZYKŁADZIE KRZYWEJ BÉZIERA Krzysztof Serżęga Wyższa Szkoła Informatyk Zarządzana w Rzeszowe Streszczene Artykuł porusza temat zwązany
Bardziej szczegółowo( ) ( ) 2. Zadanie 1. są niezależnymi zmiennymi losowymi o. oraz. rozkładach normalnych, przy czym EX. i σ są nieznane. 1 Niech X
Prawdopodobeństwo statystyka.. r. Zadane. Zakładamy, że,,,,, 5 są nezależnym zmennym losowym o rozkładach normalnych, przy czym E = μ Var = σ dla =,,, oraz E = μ Var = 3σ dla =,, 5. Parametry μ, μ σ są
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać układu równań liniowych Układ liniowych równań algebraicznych
Bardziej szczegółowoEvaluation of estimation accuracy of correlation functions with use of virtual correlator model
Jadwga LAL-JADZIAK Unwersytet Zelonogórsk Instytut etrolog Elektrycznej Elżbeta KAWECKA Unwersytet Zelonogórsk Instytut Informatyk Elektronk Ocena dokładnośc estymacj funkcj korelacyjnych z użycem modelu
Bardziej szczegółowoWyznaczanie współczynnika sztywności zastępczej układu sprężyn
Wyznaczane zastępczej sprężyn Ćwczene nr 10 Wprowadzene W przypadku klku sprężyn ze sobą połączonych, można mu przypsać tzw. współczynnk zastępczej k z. W skrajnych przypadkach sprężyny mogą być ze sobą
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 4
Stansław Cchock Natala Nehrebecka Zajęca 4 1. Interpretacja parametrów przy zmennych zerojedynkowych Zmenne 0-1 Interpretacja przy zmennej 0 1 w modelu lnowym względem zmennych objaśnających Interpretacja
Bardziej szczegółowoMetody Numeryczne 2017/2018
Metody Numeryczne 7/8 Inormatya Stosowana II ro Inżynera Oblczenowa II ro Wyład 7 Równana nelnowe Problemy z analtycznym rozwązanem równań typu: cos ln 3 lub uładów równań ja na przyład: y yz. 3z y y.
Bardziej szczegółowoEgzamin poprawkowy z Analizy II 11 września 2013
Egzamn poprawkowy z nalzy II 11 wrześna 13 Uwag organzacyjne: każde zadane rozwązujemy na osobnej kartce Każde zadane należy podpsać menem nazwskem własnym oraz prowadzącego ćwczena Na wszelk wypadek prosmy
Bardziej szczegółowoPodstawy teorii falek (Wavelets)
Podstawy teor falek (Wavelets) Ψ(). Transformaca Haara (97).. Przykład pewne metody zapsu obrazu Transformaca Haara Przykład zapsu obrazu -D Podstawy matematyczne transformac Algorytmy rozkładana funkc
Bardziej szczegółowou u u( x) u, x METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH, METODA ELEMENTÓW BRZEGOWYCH i METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH
METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH, METODA ELEMENTÓW BRZEGOWYCH METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH Szkc rozwązana równana Possona w przestrzen dwuwymarowe. Równane Possona to równae różnczkowe cząstkowe opsuące wele
Bardziej szczegółowoAutomatyzacja Statku
Poltechnka Gdańska ydzał Oceanotechnk Okrętownctwa St. nż. I stopna, sem. IV, kerunek: TRANSPORT Automatyzacja Statku ZAKŁÓCENIA RUCHU STATKU M. H. Ghaem Marzec 7 Automatyzacja statku. Zakłócena ruchu
Bardziej szczegółowo-Macierz gęstości: stany czyste i mieszane (przykłady) -równanie ruchu dla macierzy gęstości -granica klasyczna rozkładów kwantowych
WYKŁAD 4 dla zanteresowanych -Macerz gęstośc: stany czyste meszane (przykłady) -równane ruchu dla macerzy gęstośc -granca klasyczna rozkładów kwantowych Macerz gęstośc (przypomnene z poprzednch wykładów)
Bardziej szczegółowoSystemy. Krzysztof Patan
Systemy Krzysztof Patan Systemy z pamięcią System jest bez pamięci (statyczny), jeżeli dla dowolnej chwili t 0 wartość sygnału wyjściowego y(t 0 ) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej
Bardziej szczegółowoPracownia Automatyki i Elektrotechniki Katedry Tworzyw Drzewnych Ćwiczenie 3. Analiza obwodów RLC przy wymuszeniach sinusoidalnych w stanie ustalonym
ĆWCZENE 3 Analza obwodów C przy wymszenach snsodalnych w stane stalonym 1. CE ĆWCZENA Celem ćwczena jest praktyczno-analtyczna ocena obwodów elektrycznych przy wymszenach snsodalne zmennych.. PODSAWY EOEYCZNE
Bardziej szczegółowoProcedura normalizacji
Metody Badań w Geograf Społeczno Ekonomcznej Procedura normalzacj Budowane macerzy danych geografcznych mgr Marcn Semczuk Zakład Przedsęborczośc Gospodark Przestrzennej Instytut Geograf Unwersytet Pedagogczny
Bardziej szczegółowoliniowym w przeciwnym przypadku mówimy o programowaniu nieliniowym.
=DGDQLHSROHJDMFHQDSRV]XNLZDQLXPDNV\PDOQHMOXEPLQLPDOQHMZDUWRFLIXQNFMLZLHOX ]PLHQQ\FKSU]\MHGQRF]HVQ\PVSHáQLHQLXSHZQHMLORFLQDáR*RQ\FKZDUXQNyZ UyZQDOXE QLHUyZQRFLQRVLQD]Z]DGDQLDRSW\PDOL]DF\MQHJROXE]DGDQLDSURJUDPRZDQLD
Bardziej szczegółowoW praktyce często zdarza się, że wyniki obu prób możemy traktować jako. wyniki pomiarów na tym samym elemencie populacji np.
Wykład 7 Uwaga: W praktyce często zdarza sę, że wynk obu prób możemy traktować jako wynk pomarów na tym samym elemence populacj np. wynk x przed wynk y po operacj dla tego samego osobnka. Należy wówczas
Bardziej szczegółowoMETODA STRZAŁÓW W ZASTOSOWANIU DO ZAGADNIENIA BRZEGOWEGO Z NADMIAROWĄ LICZBĄ WARUNKÓW BRZEGOWYCH
RAFAŁ PALEJ, RENATA FILIPOWSKA METODA STRZAŁÓW W ZASTOSOWANIU DO ZAGADNIENIA BRZEGOWEGO Z NADMIAROWĄ LICZBĄ WARUNKÓW BRZEGOWYCH APPLICATION OF THE SHOOTING METHOD TO A BOUNDARY VALUE PROBLEM WITH AN EXCESSIVE
Bardziej szczegółowo) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie normalnym z następującymi parametrami: nieznaną wartością 1 4
Zadane. Nech ( X, Y ),( X, Y ), K,( X, Y n n ) będą nezależnym zmennym losowym o tym samym rozkładze normalnym z następującym parametram: neznaną wartoścą oczekwaną EX = EY = m, warancją VarX = VarY =
Bardziej szczegółowoEKONOMETRIA I Spotkanie 1, dn. 05.10.2010
EKONOMETRIA I Spotkane, dn. 5..2 Dr Katarzyna Beń Program ramowy: http://www.sgh.waw.pl/nstytuty/e/oferta_dydaktyczna/ekonometra_stacjonarne_nest acjonarne/ Zadana, dane do zadań, ważne nformacje: http://www.e-sgh.pl/ben/ekonometra
Bardziej szczegółowoEgzamin z Metod Numerycznych ZSI, Egzamin, Gr. A
Egzamin z Metod Numerycznych ZSI, 06.2007. Egzamin, Gr. A Imię i nazwisko: Nr indeksu: Section 1. Test wyboru, max 33 pkt Zaznacz prawidziwe odpowiedzi literą T, a fałszywe N. Każda prawidłowa odpowiedź
Bardziej szczegółowomgr inż. Wojciech Artichowicz MODELOWANIE PRZEPŁYWU USTALONEGO NIEJEDNOSTAJNEGO W KANAŁACH OTWARTYCH
Poltechnka Gdańska Wydzał Inżyner Lądowej Środowska Katedra ydrotechnk mgr nż. Wojcech Artchowcz MODELOWANIE PRZEPŁYWU USTALONEGO NIEJEDNOSTAJNEGO W KANAŁAC OTWARTYC PRACA DOKTORSKA Promotor: prof. dr
Bardziej szczegółowoKwantowa natura promieniowania elektromagnetycznego
Efekt Comptona. Kwantowa natura promenowana elektromagnetycznego Zadane 1. Foton jest rozpraszany na swobodnym elektrone. Wyznaczyć zmanę długośc fal fotonu w wynku rozproszena. Poneważ układ foton swobodny
Bardziej szczegółowoEwolucyjne projektowanie filtrów cyfrowych IIR o nietypowych charakterystykach amplitudowych
Adam Słowk Mchał Bałko Wydzał Elektronk Poltechnka Koszalńska ul. JJ Śnadeckch 2, 75-453 Koszaln Ewolucyjne projektowane fltrów cyfrowych IIR o netypowych charakterystykach ampltudowych Słowa kluczowe:
Bardziej szczegółowoBadanie współzależności dwóch cech ilościowych X i Y. Analiza korelacji prostej
Badane współzależnośc dwóch cech loścowych X Y. Analza korelacj prostej Kody znaków: żółte wyróżnene nowe pojęce czerwony uwaga kursywa komentarz 1 Zagadnena 1. Zwązek determnstyczny (funkcyjny) a korelacyjny.
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne, III rok Informatyki, 2013/2014
Metody numeryczne, III rok Informatyk, 2013/2014 1. Rozwązywane równań nelnowych 2. Arytmetyka zmennopozycyjna 3. Błędy w oblczenach. Uwarunkowane zadana. Numeryczna poprawność stablność algorytmu 4. Rozwązywane
Bardziej szczegółowo