Zadanie 10. W zakładzie produkującym obuwie sportowe zbadano pracowników pod względem wieku rozpoczęcia pracy w tym zakładzie. Okazało się, że 25%

Transkrypt

1 STATYSTYKA OPISOWA Zadanie. Wzrost [cm] pewnej grupy dziewcząt przedstawia się następująco: 50, 5, 5, 5, 52, 52, 52, 52, 53, 53, 53, 53,, 55, 55, 55, 55, 55, 55, 56, 56, 56, 56, 56, 57, 57, 57, 57, 58, 58, 58, 59, 59, 60, 6. Na podstawie danych utworzyć szereg rozdzielczy punktowy oraz szeregi rozdzielcze przedziałowe o interwale cm oraz 2 cm, w dwóch wersjach: gdy przedziały klasowe mają wspólne granice oraz gdy nie mają wspólnych granic. Zadanie 2. Wzrost [cm] pewnej grupy chłopców przedstawia się następująco: 70, 7, 7, 7, 72, 72, 72, 72, 73, 73, 73, 73,, 75, 75, 75, 75, 75, 75, 76, 76, 76, 76, 76, 77, 77, 77, 77, 78, 78, 78, 79, 79, 80, 8, 27. Jaki jest przeciętny wzrost w badanej grupie? Jaką miarę położenia powinniśmy zastosować i dlaczego? Zadanie 3. W czteroosobowej rodzinie średnia miesięczna płaca wynosi 300 zł. Jakie wynagrodzenie otrzymuje mama, jeżeli ojciec miesięcznie zarabia 500 zł, syn 300 zł, a córka 200 zł? Zadanie 4. W małej prywatnej firmie zarobki pięciu zatrudnionych pracowników produkcyjnych wyniosły po 500 zł, kierownik i księgowa dostali po zł, natomiast właściciel: zł. Wyznacz średnią płacę w firmie. Ile osób zarabia poniżej średniej? Zadanie 5. Wysokość najważniejszych szczytów w najwyższym pasmach górskich w Polsce przedstawia się następująco: 35, 333, 346, 557, 723, 894, 987, 2064, 230, 2438, Jaka jest średnia wysokość wymienionych szczytów? Zadanie 6. Rozkład braków w 50 partiach samochodów dostarczonych w ciągu trzech kwartałów do salonu Fiata przedstawiono w poniższej tabeli. x i n i Obliczyć średnią, dominantę, medianę, kwartyle oraz zinterpretować otrzymane wyniki. Zadanie 7. Średni wiek w n-osobowej grupie uczniów wynosi lat. Najstarszy członek grupy ma 7 lat, a średnia wieku pozostałych wynosi 0 lat. Ilu uczniów liczy ta grupa? Zadanie 8. Przeprowadzone wśród 200 studentów badania ankietowe dotyczące ich sytuacji rodzinnej dostarczyły informacji na temat liczby posiadanego przez nich rodzeństwa. Okazało się, że 30% studentów nie miało rodzeństwa, a 90% miało nie więcej niż jednego brata lub siostrę. Natomiast 97% ogółu studentów posiadało nie więcej niż dwoje rodzeństwa oraz w badanej grupie studentów nie było ani jednego, który miałby więcej niż troje rodzeństwa. a) Na podstawie powyższych informacji ustalić postać rozkładu studentów według liczby posiadanego rodzeństwa. b) Określić i zinterpretować średnią, dominantę, kwartyle (oraz odpowiednio wybrane kwantyle). Zadanie 9. Współczynnik zmienności rozkładu płac w pewnym przedsiębiorstwie wynosi 0%, najwięcej pracowników otrzymuje pensję 200 zł netto, połowa otrzymuje nie więcej niż 300 zł. Zakładając, że rozkład płac jest umiarkowanie asymetryczny, jak kształtuje się typowa pensja (netto) w tym przedsiębiorstwie?

2 Zadanie 0. W zakładzie produkującym obuwie sportowe zbadano pracowników pod względem wieku rozpoczęcia pracy w tym zakładzie. Okazało się, że 25% rozpoczęło pracę przed ukończeniem 20 roku życia. Połowa między 20. a 23. Zakładając, że wartości pozycyjnych współczynników zmienności są identyczne, podaj w jakim wieku najczęściej rozpoczynał pracę statystyczny pracownik, a jaki wiek rozpoczęcia pracy charakteryzuje przeciętnego pracownika. Uzasadnić rozwiązanie. Zadanie. W punkcie skupu makulatury studenci wykonali projekt ze statystyki badając pewną losowo wybraną próbę z populacji wagi oddawanej makulatury. Obliczono, że mediana wynosi 2 kg i umiejscowiona jest w przedziale od 0 kg do 5 kg, którego liczebność wynosi 35. Jaka jest liczebność badanej próby, jeśli 30 osób z tej próby oddało makulaturę o wadzę mniejszej niż 0 kg? Zadanie 2. Rozkład liczby spóźnień na zajęcia 00 losowo wybranych studentów w ostatnim roku kształtował się w następujący sposób: Liczba spóźnień i więcej Liczba pracowników Wiedząc dodatkowo, że średnia liczba spóźnień w ostatnim przedziale wynosiła 6,2 scharakteryzować przeciętną liczbę spóźnień pracowników oraz jej zmienność w badanym okresie. Zadanie 3. Zbadano zużycie wody w gospodarstwach domowych w pewnym wieżowcu i otrzymano następujące dane: Zużycie w m 3 /os 2,5 i mniej 2,5-2,7 2,7-2,9 2,9-3, 3,-3,3 3,3 i więcej Liczba osób Obliczyć: a) przeciętne zużycie wody przez osobę w tym wieżowcu, b) medianę, c) dominantę, d) kwartyle, e) wyznaczyć typowy obszar zmienności, f) określić stopień asymetrii, g) czy rozkład jest lepto- czy platokurtyczny? Zadanie 4. Wzrost [w cm] 50 uczniów w pewnej szkole przedstawia się następująco: 60; 6; 6; 62; 62; 63; 63 63; 63; 63; 64; 64; 64; 64; 64; 65; 65; 65; 65; 66; 66; 66; 67; 67; 67; 68; 68; 68 69; 69; 70; 70; 70; 7; 7; 7; 72; 72; 73; 73; 74; 74; 75; 76; 76; 77; 78; 78; Informacje o wadze [w kg] tych uczniów zawarto w tabeli: Waga Odsetek uczennic

3 a) Utworzyć z szeregu szczegółowego szeregi rozdzielcze o rozpiętości równej 5, przyjmując za dolną granicę pierwszego przedziału wartość 60. b) Obliczyć średni wzrost uczennic wykorzystując dane z wszystkich szeregów. Uzasadnić przyczynę różnic w otrzymanych wartościach. c) Który z rozkładów cechuje większe zróżnicowanie, który większa asymetria, a który większe skupienie wartości wokół średniej? Zadanie 5. Skoczek narciarski A uzyskał na obiekcie o punkcie konstrukcyjnym 20 następujące wyniki (w metrach): 7; 7,5; 7,5; 8; 8; 9; 2,5; 2,5; 22; 23. Przeciętny skok skoczka B na tym samym obiekcie wynosił 9,7 m., natomiast suma kwadratów długości skoków wyniosła (m. kw.). Obaj sportowcy oddali taką samą liczbę skoków. Który z nich skakał równiej? Zadanie 6. Analiza długości dziennych rozmów telefonicznych przyjętych do realizacji w ciągu jednego dnia w centrali pewnej firmy dostarczyła następujących informacji: [w min] Czas trwania rozmów Poniżej Dystrybuanta empiryczna , , , , , , , ,00 Wiedząc, że najkrótszy czas trwania dziennych rozmów wynosił 2600 min, za pomocą klasycznych miar określić przeciętny poziom i zróżnicowanie czasu trwania dziennych rozmów. Zadanie 7. Dokonać wszechstronnej analizy porównawczej struktury wzrostu uczniów w dwóch klasach na podstawie danych zawartych w poniższej tablicy (wzrost w cm): Od Do Liczba uczniów w klasie B Liczba uczniów w klasie A

4 Zadanie 8. Obliczyć średnią prędkość pociągu między stacjami A i F, jeżeli na trasie są stacje B, C, D i E. Dane podane są w tabeli. Odcinek trasy Odległość między stacjami [w km] Średnia prędkość na odcinku [w km/h] A B 2 40 B C C D 5 50 D E E F 2 30 a) Czy większą część drogi pociąg jechał z prędkością większą od przeciętnej na trasie? Odpowiedź uzasadnić. b) Czy dłużej pociąg jechał z prędkością większą od średniej? Odpowiedź uzasadnić. Zadanie 9. Zbadano wiek pracowników cywilnych WKU na Śląsku. Okazało się, że 25% pracowników ma mniej niż 30 lat. Połowa jest między 30. a 40. rokiem życia. Zakładając, że rozkład jest symetryczny podaj jak kształtuje się typowy wiek pracownika, wiedząc, że współczynnik zmienności wynosi 20%. Zadanie 20. W oddziale pewnego banku największa liczba klientów instytucjonalnych zaciągnęła kredyt w wysokości 200 tys. złotych. Połowa zaciągnęła kredyt poniżej 500 tys. zł. Określ kierunek asymetrii. Zadanie 2. W oddziale stat-banku co czwarty klient instytucjonalny zaciągnął kredyt nie większy nić 50 tys. zł. Połowa klientów zaciągnęła więcej niż 50 tys. zł. i mniej niż 600 tys. zł, a co drugi klient więcej niż 500 tys. zł. Natomiast w oddziale math-banku połowa zaciągnęła kredyt wysokości 450 tys. zł. Co czwarty zaciągnął więcej niż 200 tys. zł., a trzech klientów z czterech zaciągnęło kredyt mniejszy niż 550 tys. zł. Który z rozkładów udzielonych kredytów cechuje silniejsza asymetria? Zadanie 22. Dane są rozkłady wieku dzieci w dwóch wieżowcach przedstawione w poniższych tabelach. Wiek dzieci w latach Liczba dzieci w wieżowcu A i więcej 5

5 Wiek dzieci w latach Liczba dzieci w wieżowcu B a) Czy można porównać siłę asymetrii tych rozkładów? Uzasadnić odpowiedź jeśli nie można, a w przeciwnym przypadku podać, który rozkład cechuje silniejsza asymetria b) W którym wieżowcu jest większe 2 i więcej 4 zróżnicowanie wieku dzieci? Odpowiedź uzasadnić. Zadanie 23. W oddziale math-banku najwięcej pracowników zarabia netto 800 zł. Połowa zarabia przynajmniej 900 zł. Jeżeli współczynnik zmienności pensji w tym oddziale banku wynosi 0% oraz asymetria jest umiarkowana, podaj jak kształtuje się typowa pensja netto w tym oddziale math-banku. Zadanie 24. Oblicz średnią prędkość samochodu, jeśli wiadomo, że: a) samochód jechał 30 minut z prędkością 00 km/h i 45 minut z prędkością 60 km/h. b) samochód jechał 50 km z prędkością 00 km/h i 45 km z prędkością 60 km/h. Jakie średnie należy zastosować i dlaczego? Zadanie 25. Gęstość zaludnienia w dwóch pięćdziesięciotysięcznych miastach wynosiła: w pierwszym 500 os./km 2, a w drugim: 500 os./km 2. Oblicz średnią gęstość zaludnienia obu tych miast. Zadanie 26. W Statlandii wyprodukowano pewien materiał w trakcie kilku procesów. W pierwszym procesie otrzymano 2 kg materii o gęstości 0 g/cm 3, w drugim 3 kg materii o gęstości 20 g/cm 3, a w trzecim kg materii o gęstości 5 g/cm 3. W ostatnim procesie zmieszano tak otrzymaną matrię i uzyskano 6kg gotowego materiału. Jaka jest średnia gęstość otrzymanego matriału? Jaką ma objetość uzyskany materiał? Zadanie 27. Wydajność pracy pewnej grupy robotników podana w sztukach wyprodukowanych podczas zmiany kształtuje się następująco: Z powyższych danych utworzyć szeregi rozdzielczy punktowy i rozdzielczy przedziałowy (o interwale równym 2) i na ich podstawie określić średnia arytmetyczną, dominantę i kwartyle. Zadanie 28. Zbadano 50 wyrobów pewnej firmy pod względem ilości braków i otrzymano następujące dane: x i n i Jakie wyroby przeważają w badanej produkcji: o ilości braków wyższej czy niższej od średniej? Zadanie 29. Płace pewnej firmy podlegają następującemu rozkładowi: Płace w setkach zł Liczba osób

6 Wokół jakiej kwoty skupiają się płace najliczniejszej grupy pracowników? Jakie osoby przeważają: z płacą niższą, czy wyższą od średniej? Zadanie 30. Zbadano staż pracy w pewnym zakładzie, dane przedstawiono w tabeli: Grupa wiekowa Staż w latach Liczba pracowników Najstarsi Średni Najmłodsi Przyjmuje się, że należy zwolnić 25% pracowników, jako kryterium przyjęto staż pracy i zwalniani są pracownicy o najniższym stażu pracy. Wyznacz staż pracy, do którego należy zwolnić pracownika. Zadanie 3. W pewnej prywatnej firmie wypłacono miesięczne premie uznaniowe wg następującego klucza: 5% ogółu zatrudnionych pracowników otrzymało po 200 zł, 60% dostało po 300 zł, 25% po 400 zł i 0% po 500 zł Obliczyć średnią premię przypadającą na jednego zatrudnionego w firmie. Zadanie 32. Dany jest uporządkowany zbiór wartości zmiennej X={2, 35, 49, 63, 77, 93, 00}. Które z hipotetycznych wartości średniej należy od razu (bez liczenia) wykluczyć? Hipotetyczne wartości średniej: 4, 5, 9, 25, 34, 54, 60, 00, 04, 05. Odpowiedź uzasadnić. Zadanie 33. W firmie pracuje 25 osób. Cztery osoby zarabiają nie więcej niż 400 zł, osiem zarabia nie więcej niż 800 zł, piętnaście otrzymuje nie więcej niż 200 zł oraz dwadzieścia jeden dostaje nie więcej niż 600 zł. Pozostałe osoby stanowią ścisłe kierownictwo firmy, jednak żadna z nich nie zarabia więcej niż 3000 zł. Jaka jest wysokość przeciętnej płacy miesięcznej w przedsiębiorstwie? Zadanie 34. Zbadano rozkład średnich ocen ze statystyki na przestrzeni 0 lat na pewnym wydziale jednej z polskich uczelni. Wyniki przedstawiono w tabeli: Lata Średnia ocena 3, 3,2 3,2 3,5 3,4 3,4 3,0 3,2 3,3 3,3 Liczba studentów Jaka jest średnia ocen ze statystyki z 0 lat? Jaka jest średnia ze statystyki z ostatnich 5 lat? Zadanie 35. W przedsiębiorstwie Statexport pracuje 00 pracowników fizycznych i 25 umysłowych. Typowy wiek pracownika fizycznego kształtuje się w przedziale od 30 do 40 lat. Średnia wieku pracowników umysłowych wynosi 25 lat. Typowy wiek wszystkich pracowników kształtuje się od 27 do 39 lat. Co można powiedzieć o wieku pana Heńka, który jest pracownikiem umysłowym?

7 Zadanie 36. Uzupełnić dane dotyczące wzrostu (w cm) w dwóch klasach. Średnia 60 Typowy obszar zmienności (57;65) Współczynnik zmienności Dominanta 60 Współczynnik asymetrii -0,2 Wariancja 25 Zadanie 37. Przeprowadzono analizę statystyczną przedsiębiorstwa przemysłowego Statprod pod względem stażu pracy i wieku pracowników. Na podstawie wpisanych danych uzupełnij pozostałe. Wiek Średnia 40 Staż Typowy obszar zmienności 5-25 Wariancja 49 Zadanie 38. W punkcie skupu zwierząt rzeźnych przeprowadzono badania próbne wagi cieląt. Wiadomo, że mediana wagi cieląt wynosi 46 kg i jest umiejscowiona w przedziale [40 kg, 50 kg], do którego należy 30 cieląt. Ponadto wiadomo, że w badanej zbiorowości jest 40 cieląt o wadze poniżej 40 kg. Ile liczy cała zbiorowość próbna? Zadanie 39. Czternastoosobowa grupa studentów pisała pracę kontrolną z matematyki. Wyniki sprawdzianu przedstawiają się następująco: 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5. Podaj średnią ocenę ze sprawdzianu ora wskaż dominantę. Oceń stopień zróżnicowania wyników sprawdzianu. Zadanie 40. Wydajność pracy pewnej grupy robotników podana w sztukach wyprodukowanych podczas zmiany kształtuje się następująco: Z powyższych danych utworzyć szeregi rozdzielcze punktowy i przedziałowy (o interwale równym 2) i na ich podstawie określić średnią arytmetyczną, dominantę i kwartyle. Przy obliczaniu przeciętnych pozycyjnych wykorzystać również metodę graficzną. Zadanie 4. Czas rozwiązania pewnego zadania (w minutach) przez grupę 220 uczniów charakteryzuje poniższy rozkład: Czas rozwiązania zadania Liczba uczniów

8 Wyznaczyć liczbowe granice obszaru zmienności dla typowych jednostek badanej zbiorowości. Zadanie 42. Zbadano 00 małżeństw pod względem liczby dzieci (cecha X) i czasu trwania małżeństwa (cecha Y). Wiedząc, że średnia arytmetyczna wartości kwadratów cechy Y wynosi 6 oraz x = 2, y = 0, S x =. Ocenić pod względem, której cechy badane małżeństwa są bardziej zróżnicowane. Zadanie 43. W pewnym sklepie dokonano obserwacji wielkości zakupów dokonywanych przez poszczególnych klientów. Okazało się, że każdy zakup był wyższy od 5 zł, 25% ogółu zakupów nie przekraczało sumy 50 zł, a 75% było niższe od 50 zł, na klienta. Jednocześnie wiadomo, że żaden zakup nie przekraczał sumy 300 zł. Wyznaczyć pozycyjny współczynnik zmienności. Zadanie 44. W dwóch przedsiębiorstwach przeprowadzono badanie robotników pod względem stażu pracy w zakładzie. Otrzymano następujące dane: Przedsiębiorstwo I x = 5 lat V = 20% Przedsiębiorstwo II x 2 = 0 lat V 2 = 25% Obliczyć x, S i V dla całej zbiorowości pracowników wiedząc, że liczba robotników w przedsiębiorstwie I wynosiła 20 osób a w drugim 80 osób. Zadanie 45. Określ kierunek skośności (asymetrii) rozkładu zmiennej X, której obserwacje przedstawia szereg: 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 0, 0, 0, 0,. Zadanie 46. Na podstawie poniższych danych dotyczących pensji otrzymywanych w dwóch przedsiębiorstwach A i B oceń który rozkład cechuje silniejsza asymetria. Pensja w j.p. Przedsiębiorstwo A Przedsiębiorstwo B Zadanie 47. Stu pracowników pewnego przedsiębiorstwa (60 mężczyzn i 40 kobiet) zbadano pod względem wieku, otrzymując następujące informacje: mężczyźni: x = 40 lat, D=35 lat A S = + 0,5 kobiety: x = 30 lat, D=33 lata A S = - 0,5 Obliczyć x,s i V dla całej zbiorowości 00 pracowników. Zadanie 48. Dokonać analizy porównawczej rozkładu wieku studentów studiów dziennych i zaocznych mając następujące dane: studia dzienne D = 9 lat, x = 20 lat, V = 0% studia wieczorowe M e = D = 25 lat, S = 2 lata

9 Zadanie 49. W dwóch grupach pracowników liczących po 50 osób każda, zbadano przeciętne miesięczne wydatki na papierosy. Otrzymano następujące dane: grupa I: M e = 2800 zł. V Q = 24% Q = 500 zł grupa II: Q 3 = 300 zł V Q = 25% M e = 2300 zł. Porównać dyspersję wydatków w obu grupach. Porównać siłę i kierunek asymetrii. Zadanie 50. Badano w zakładzie staż zatrudnionych pracowników. Całą społeczność podzielono na dwie grupy pracowników: umysłowych i fizycznych. Pracowników umysłowych było 50 a fizycznych 4 razy tyle, co umysłowych. Średni staż pracy pracowników umysłowych wyniósł 5 lat, a fizycznych 2. Odchylenie standardowe dla staży pracowników fizycznych wynosi 4 lata, a dla umysłowych 5 lat. Obliczyć średni staż pracy i odchylenie standardowe dla ogółu pracowników. Zadanie 5. W przedsiębiorstwie A ma miejsce następujący rozkład płac: Płace z zł Fundusz płac w zł W przedsiębiorstwie B płaca przeciętna wynosi 755 zł, bezwzględne zróżnicowanie płac wynosi ±99,50 zł. Najliczniejsza grupa pracowników ma płacę 730,50 zł. W którym przedsiębiorstwie chciałbyś pracować w A czy B? Odpowiedź uzasadnić. BADANIE WSPÓŁZALEŻNOŚCI ZJAWISK Zadanie 52. W celu zbadania zależności stażu pracy od wydajności pracownika w dużym przedsiębiorstwie wylosowano w sposób niezależny stu pracowników. Wyniki podaje tabela: Staż Liczba sztuk na godzinę Wyznaczyć równanie regresji II rodzaju. Wykreślić empiryczną linie regresji I i funkcję regresji II rodzaju. Czy zasadne jest przyjęcie liniowej zależności między badanymi cechami. Zadanie 53.

10 Przeprowadzono analizę statystyczną przedsiębiorstwa przemysłowego Statprod pod względem stażu pracy i wieku pracowników. Na podstawie wpisanych danych uzupełnij pozostałe. Wiek Średnia 40 Typowy obszar zmienności 5-25 Wariancja 49 Wiedząc, że średnia iloczynu wieku i stażu pracy wynosi 807 oblicz współczynnik korelacji liniowej Pearsona oraz napisz równanie regresji stażu pracy do wieku pracowników. Zadanie 54. Typowa płaca w pewnym przedsiębiorstwie kształtuje się między 800 zł a 2200 zł. Typowy miesięczny przychód firmy kształtuje się między 780 tys. zł. a 780 tys. zł. 8% informacji o miesięcznej pensji pracownika jest wyjaśnianych przez zmienną opisującą miesięczny przychód firmy. Ile wynosi kowariancja między płacą w firmie, a jej przychodem? Zadanie 55. Dla pewnej grupy gospodarstw domowych zbadano roczne spożycie na osobę artykułów spożywczych ( w kg): ziemniaki A i buraki B. Otrzymano następujące wyniki: Spożycie A Spożycie B a) Wyznaczyć proste regresji spożycia wymienionych artykułów metoda najmniejszych kwadratów. b) Obliczyć współczynnik korelacji między tymi zmiennymi. Zadanie studentów rozwiązywało 2 testy ze statystyki. Wyniki testów (w punktach) kształtowały się następująco: Test A Test B Czy istnieje silna zależność między wynikami testów? Zadanie 57. Dana jest tablica korelacyjna stażu pracy (Y) pracowników w pewnym zakładzie oraz liczby pobranych przez nich pożyczek (X) z kasy zapomogowo-pożyczkowej. Liczba pożyczek Staż pracy w latach a) Porównać zmienność cechy X ze zmiennością cechy Y. b) Obliczyć współczynnik korelacji między stażem pracy pracowników a liczbą pobranych pożyczek. c) Wyznaczyć empiryczne linie regresji i przedstawić je na wykresie. Staż

11 d) Wyznaczyć parametry regresji liniowej stażu pracy względem liczby pożyczek i ocenić dokładność dopasowania danych do linii regresji. Zadanie 58. Związek korelacyjny dwóch zmiennych określają następujące wielkości: r xy = 0,8 e xy 2 = 0,82 S 2 (x) = 8 S 2 ( j) = 60 Czy korelacja miedzy zmiennymi ma charakter prostoliniowy czy krzywoliniowy? Zadanie 59. W fabryce zbadano, jak kształtuje się średnia wydajność pracowników w zależności od czasu nieprzerwanej pracy Czas pracy w godz Wydajność w szt./godz a) Określić rodzaj zależności korelacyjnej na podstawie wykresu rozrzutu i obliczyć współczynnik korelacji. b) Oszacować, ile sztuk na godziną może przeciętnie wyprodukować robotnik pracujący nieprzerwanie osiem godzin. Zadanie 60. Dana jest tablica korelacyjna: Waga ucznia [kg] Wzrost ucznia [cm] i więcej i więcej a) Jaka jest średnia waga, a jaki średni wzrost uczniów? Wyznaczyć równanie regresji II rodzaju. b) Czy zasadne jest przyjęcie liniowego modelu regresji? Wykreślić linię regresji I rodzaju. Zadanie 6. W fabryce zbadano jak kształtuje się średnia wydajność pracowników w zależności od czasu nieprzerwanej pracy. Czas pracy [h] Wydajność [szt/h] a) określ rodzaj badanej zależności korelacyjnej na podstawie wykresu rozrzutu i oblicz współczynnik korelacji b) jakiej wydajności należy oczekiwać od pracownika pracującego nieprzerwanie 9 godzin? w jakim stopniu wydajność pracownika zależy od czasu nieprzerwanej pracy a w jakim od innych czynników? Zadanie 62. Przeprowadzono w wybranej grupie studenckiej badania statystyczne dotyczące wyniku egzaminu końcowego ze statystyki (Y- w punktach), ilorazu inteligencji (X- w jednostkach IQ) i liczby godzin poświęconych na naukę przedmiotu (Z- w godzinach). Uzyskane dane przedstawia tablica

12 Y X Z a) ustal, które z cech wykazują największą wewnętrzną zmienność b) oblicz współczynniki korelacji liniowej Pearsona między cechami X i Y, X i Z oraz Y i Z zbadaj współzależność cech za pomocą współczynnika Spearmana Zadanie 63. Zbadano wykształcenie małżonków w 9 rodzinach. Otrzymano następujące wyniki (Wwykształcenie wyższe, S-średnie, N- niższe) Żona W W Ś Ś W Ś Ś Ś W Mąż Ś W Ś Ś Ś Ś W Ś W Jak silna jest zależność między poziomem wykształcenia męża i żony? Zadanie 64. Porównaj współczynnik korelacji wyznaczony wg miary Pearsona ze współczynnikiem korelacji Spearmana dla następujących danych: X Y Zadanie 65. Jeżeli współczynnik determinacji liczby łóżek i liczby pokoi w 22 hotelach warszawskich wyniósł 94,5%, to na jakim poziomie oszacowano współczynnik korelacji tych zmiennych? Zadanie 66. Badając zależność korelacyjną pomiędzy liczbą godzin spędzonych na oglądaniu kreskówek (X) i liczbą godzin poświęconą na oglądanie Wiadomości (Y) Bolek i Lolek stwierdzili, że cov(x,y)=-2, Sx=, y =4, Sy=. Tola przyjaciółka chłopców jest zdania, że popełnili oni błąd. Kto ma rację i dlaczego? Zadanie 67. Producent napojów chłodzących zgromadził dane o ilości zamówień (tys. l] i średniej temperaturze dobowej (w o C) w ciągu 0 wybranych dni. Wyniki przedstawia tabelka Średnie temperatury dobowe Wielkość zamówienia a) czy istnieje zależność między ilością zamówień i temperaturą dobową. Jeśli tak jaka jest jej siła i kierunek? b) zbudować odpowiedni model regresji liniowej i ocenić poziom jego dopasowania do danych c) określić w jakim stopniu ilość zamówienia zależy od temperatury w jakim stopniu wzrośnie ilość zamówień, gdy temperatura wzrośnie o o C? Zadanie 68. Wyznacz reszty równania x*=-2y+8. Czy może to być równanie oszacowane KMNK? Zadanie 69. x i y j

13 Zbadano zależność między ilością reklam pewnego wyrobu emitowanych dziennie w TV (X), a wysokością obrotu [0 tys. zł] ze sprzedaży rozważanego wyrobu (Y). Dane przedstawia poniższa tablica X\Y a) wyznacz rachunkowo i graficznie funkcje regresji I-go rodzaju dla obu zmiennych b) oceń siłę związków korelacyjnych między zmiennymi i zinterpretuj otrzymane wyniki Zadanie 70. Tablica przedstawia średnie dzienne wydatki [zł]na słodycze i inne przekąski 80 dzieci w wieku od do 6 lat. Wiek\wydatki a) oblicz współczynnik korelacji pomiędzy zbadanymi wielkościami b) wyznacz parametry regresji liniowej stażu pracy względem liczby pożyczek i oceń dokładność dopasowania danych do linii regresji Zadanie 7. Analiza spożycia artykułu C zależnie od dochodu w losowej próbie gospodarstw domowych dostarczyła następujących informacji: średnie spożycie artykułu C na jedną osobę wynosi 2,5 [kg] średni miesięczny dochód na osobę wynosi 540 [tys. zł] współczynnik zmienności dochodu wynosi 5%, a spożycia 20% poziom kowariancji równa się 27 a) wypowiedzieć się na temat siły i kierunku zależności b) oszacować parametry funkcji regresji spożycia względem wielkości dochodów c) obliczyć poziom spożycia dla rodzin o dochodach średnich wynoszących 600[tys. zł] d) czy wysokość dochodu wpływa na poziom spożycia silniej niż inne czynniki? Zadanie 72. W badaniu zależności między wielkością opłat za zużycie energii elektrycznej (Y) a wielkością gospodarstw domowych (X) dla 80 wylosowanych wynika, ze cov(x,y)=32, x =4 [osoby], Sx=0,8, y =300 [zł], Sy=50 [zł]. a) oszacować parametry liniowej funkcji regresji wysokości opłat za zużycie energii elektryczne j względem wielkości gospodarstw domowych. b) jaka jest siła tej zależności? Zadanie 73. W pewnym zakładzie pracy przeprowadzono badanie zależności między stażem pracy (X) i odsetkiem braków w produkcji (Y) wykonywanej przez 35 robotników i otrzymano następujące wyniki: x =8 [lat], y =0 Vx=30%, Vy=25%

14 Współczynnik regresji odsetka braków względem stażu pracy wynosi -0,62 Co można powiedzieć o kierunku i sile korelacji między tymi zmiennymi Zadanie 74. Właściciel zakładu badał zależność między płacą (X), a liczbą braków (Y). W styczniu na podstawie losowo wybranej próby 20 pracowników, u których zaobserwowano liczbę elementów wadliwych od 20 do 60 i zarobki od,5 [mln. zł] do 4,2 [mln. zł] wyznaczono równania regresji: y=-2,79x-62,9 i x=-0,059y+4,28 a) wykreślić przedstawione linie regresji b) obliczyć i zinterpretować współczynnik korelacji oraz określić jakiego poziomu braków można się spodziewać u pracowników mających wynagrodzenie na poziomie 5 [mln. zł] c) w jakim stopniu liczba braków jest zależna od wysokości wynagrodzenia? d) jak zmieni się wynagrodzenia jeśli liczba braków wzrośnie o e) jak zmieni się liczba braków, gdy wynagrodzenia wzrosną o [mln. zł] Zadanie 75. Liczba dzieci (X) oraz wysokość wydatków [w 00 zł] (Y) dla 20 wybranych rodzin kształtowały się następująco: X\Y a) Na podstawie diagramu korelacyjnego dokonaj wzrokowej oceny charakteru zależności X i Y. b) Zbadaj siłę zależności krzywoliniowej zmiennych Zadanie 76. Dwa zakłady produkują identyczny wyrób. Modele kosztów miesięcznych są następujące (Xwielkość produkcji [tys. sztuk], Y- koszty [tys. zł]) I: y=0,4x+5,5 II: y=0,58x+5,5 Który z tych zakładów produkuje oszczędniej? Uzasadnij odpowiedź. Zadanie 77. W zakładach odzieżowych przeprowadzono badania w celu ustalenia zależności między długością serii produkcji [tys. sztuk] (X), a jednostkowym kosztem produkcji wyrobu [tys. zł] (Y). W rezultacie otrzymano następujące równania regresji: x=-0,003y+,7, y=-270x+560 a) podać interpretację współczynników regresji a, b b) co można powiedzieć o kierunku i sile zależności pomiędzy tymi cechami? c) jaki jest teoretyczny poziom kosztu jednostkowego przy długości serii 0 [tys. sztuk] d) jak zmieni się koszt jednostkowy jeśli długość serii wydłużymy o [tys. sztuk] Zadanie 78. Mamy dane : a =,6, Sx=6, Sy=0. Oblicz współczynnik determinacji. Zadanie 79. Które z poniższych wyników są niewiarygodne i dlaczego? a =-0,2, r xy =0,8 a =0,75, b =2,5 r xy =-0,75, b =-0,23 Zadanie 80.

15 Dla pewnej grupy gospodarstw domowych zbadano roczne spożycie na osobę maki i tłuszczów [kg]. Otrzymano następujące wyniki: Spożycie mąki [kg] Spożycie tłuszczów [kg] a) wyznacz proste regresji spożycia wymienionych artykułów metodą najmniejszych kwadratów b) oblicz współczynnik korelacji między tymi zmiennymi Zadanie 8. Dane są zmienne: X- koszt produkcji detalu [tys. zł], Y- liczba produkowanych detali [tys. sztuk]. Wiadomo, że : x =0, Sx=3, y =2, Vy=30%, a =720 [sztuk/tys. zł] a) ustalić siłę i kierunek współzależności cech b) oszacować koszt przy produkcji 0 [tys. sztuk] c) jak dużej produkcji należy się spodziewać przy założonym koszcie produkcji 2 [tys. sztuk]? d) określić poziom niedopasowania zmiennych Zadanie 82. Na podstawie przeprowadzonych badań dotyczących absencji chorobowej pracowników i ich wieku wiadomo, że: r xy =0,53, Sx=5 [lat], cov(x,y)=2,24, S y 2 =2,24. czy przedstawiona sytuacja jest możliwa? Zadanie 83. Badając zależność pomiędzy powierzchnią użytkową mieszkania [m 2 ] a liczbą osób w gospodarstwie rodzinnym dla losowo wybranej grupy 5 mieszkań otrzymano następujące rezultaty: - średnia liczba osób 3,6; odchylenie standardowe liczby osób,4 - średnia powierzchnia 50,7 [m 2 ]; odchylenie standardowe powierzchni 0,6 [m 2 ] - kowariancja powierzchni i liczby osób wynosi,2. Gospodarstwo rodzinne pana Kowalskiego liczy 4 osoby i zajmuje powierzchnię 52,3 [m 2 ]. Czy pan Kowalski może być zadowolony ze swojego mieszkania w stosunku do badanej grupy? Zadanie 84. Radzieccy uczeni stwierdzili, że równanie regresji opisujące zależność pomiędzy liczbą kupionych karpi (X), a liczbą otrzymanych prezentów (Y) wygląda następująco: y=-2x+0 (dla odpowiednich dodatnich wartości Y). Pozostałe parametry: cov(x,y)=2, x =2, y =6. Święty Mikołaj nie zgadza się z tymi wyliczeniami. Kto ma rację i dlaczego? Zadanie 85. Dla poniższych danych wyznacz linie regresji I-go i II-go rodzaju X\Y Zadanie 86. W wyniku pewnego badania statystycznego otrzymano następujące wyniki r xy =0,25, cov(x,y)=5, Sx=0, a wariancja wewnątrzgrupowa zmiennej X wyniosła 33,75. Oblicz e xy. Co można powiedzieć o otrzymanych wynikach? Zadanie 87. W wyniku pewnego doświadczenia otrzymano następujące obserwacje zmiennych X i Y.

16 X\Y ,5 0,4 2 0,25 0,2 Określić zależność korelacyjną pomiędzy tymi zmiennymi. Zadanie 88. Zbadaj niezależność zmiennych X i Y jeśli ich rozkłady są następujące: X\Y <;3) <3;5) <5;7) <7;0) 0,2 0, 2 0, 0,3 0, 3 0,2 BADANIE DYNAMIKI ZJAWISK Zadanie 89. Przeciętne zatrudnienie w pewnym przedsiębiorstwie w ostatnich czterech latach przedstawiało się się następująco: Kolejne lata Przeciętne zatrudnienie a) Obliczyć przyrosty absolutne i względne: jednopodstawowe (dla t=) i łańcuchowe b) Dokonać zamiany przyrostów na indeksy jednopodstawowe i łańcuchowe c) Ocenić dynamikę zatrudnienia i ustalić przeciętne tempo zmian zatrudnienia w badanym okresie d) Obliczyć wielkość zatrudnienia w bieżącym roku (t=5) wiedząc, że indeks dynamiki zatrudnienia w bieżącym roku wyniósł 75% Zadanie 90. Indeksy dynamiki produkcji (jednopodstawowe) w kolejnych kwartałach ubiegłego roku przedstawiały się następująco: (pierwszy kwartał = 00): 00%, 6%, 02%, 9%. O ile procent wzrosła produkcja w IV kwartale w stosunku do III, a o ile procent w stosunku do II? Zadanie 9. Dynamika dostaw odtwarzaczy mp3 do sklepów w pewnym mieście w ostatnich latach mierzona indeksami jednopodstawowymi kształtowała się następująco: 00%, 04%, 7%, 35%, 56%, 74%. Obliczyć indeksy łańcuchowe dostaw oraz wyznaczyć średnie roczne tempo wzrostu sprzedaży odtwarzaczy mp3 w badanym okresie. Zadanie 92. W jednym z punktów gastronomicznych objętych badaniem utarg w grudniu ubiegłego roku stanowił 220% utargu z grudnia roku poprzedniego, przy czym indeks mierzący zmiany w strukturze ilości sprzedawanych tam artykułów wyniósł 30%.O ile procent zmienił się utarg z tytułu zmian cen? Zadanie 93. Agregatowy indeks dynamiki ilości formuły Laspeyresa wyniósł 90%, indeks cen zaś według formuły Paaschego 30%. Ocenić zmiany wartości sprzedaży artykułów w badanym okresie. Zadanie 94. W fabryce opon samochodowych indeks cen według konstrukcji Paaschego wynosił 80%, a indeks wartości wynosił 90%. Ocenić dynamikę zmian ilościowych w produkcji tej fabryki. Zadanie 95.

17 Średnie roczne tempo wzrostu produkcji odtwarzaczy mp3 w pewnym zakładzie w ostatnich 3 latach wynosiło 4%. Wyznaczyć wielkość produkcji odtwarzaczy w kolejnym roku, jeżeli wiadomo, że w drugim roku zakład produkował 0000 odtwarzaczy. Zadanie 96. Przedsiębiorstwo produkujące meble kuchenne, na podstawie oceny własnych możliwości (zmiany cen surowców i energii) i badań marketingowych (oceny możliwości popytowych nabywców), zaplanowało zmiany w strukturze produkcji i cen. Strukturę i asortyment produkowanych mebli oraz prognozy przedstawia tabela: Asortyment Okres podstawowy Okres prognozowany Liczba sztuk Cena jedn. (w zł) Liczba sztuk Cena jedn. (w zł) Stoły okrągłe Stoły prostokątne Krzesła typu A Krzesła typu B Krzesła typu C a) Wykorzystując agregatowe indeksy wartości cen i ilości dokonać oceny proponowanych zmian. b) Wyznaczyć średnie ceny jednostkowe krzesła i stołu w okresach: badanym i prognozowanym. c) Wyznaczyć dynamikę cen przeciętnych. d) Podać interpretację wszystkich wyznaczonych indeksów. Zadanie 97. Spożycie chleba w ostatnich 5 latach ( ) w miejscowości A kształtowało się następująco: 200, 220, 90, 25, 240 ton w miejscowości B relacja zmian z roku na rok kształtowała się:.2,.5, 0.9,.. W miejscowości C relacja zmian w porównaniu z rokiem 997 kształtowała się:.,.8, 0.9,.3. Oblicz i porównaj średnie tempo zmian w poszczególnych miastach. Zadanie 98. Agregatowy indeks dynamiki ilości formuły Laspeyersa wyniósł 90%, indeks cen zaś według formuły Paaschego 30%. Ocenić zmiany wartości sprzedaży artykułów w dwóch badanych okresach. Zadanie 99. Tabela przedstawia ceny oraz wielkości produkcji towarów A i B w latach 2000 i Ustalić dynamikę wzrostu łącznej wartości wyrobów A i B. Wyrób Produkcja Ceny A B ,5 Zadanie 00. Pewna spółka składa 3 rodzaje komputerów A, B, C, tabela przedstawia wielkość produkcji poszczególnych komputerów w tys. szt. oraz koszty jednostkowe produkcji w PLN. Jak

18 zmieniły się koszty produkowanych komputerów w porównywanych okresach? Jaki wpływ na zmianę miała dynamika kosztów, a jaki dynamika ilości produkowanych komputerów? Wyrób Produkcja Koszty A B C Zadanie 0. W fabryce obuwia indeks cen według konstrukcji Paaschego wynosił 90%, a indeks wartości wynosił 80%. Ocenić dynamikę zmian ilościowych w produkcji tej fabryki. Zadanie 02. Dwa zakłady obuwnicze Z i Z 2 produkują te same asortymenty obuwia. Zakłady dokonały zmian ilościowych w wielkości produkcji poszczególnych asortymentów obuwia w roku 2002 w stosunku do roku poprzedniego. Zmiany te przedstawione zostały w tabeli. Asortyment obuwia Wartość produkcji rocznej w tys. PLN Zakład Z Zakład Z I II III IV Który z zakładów dokonał głębszych zmian w strukturze asortymentowej swojej produkcji? Zadanie 03. Dysponujemy informacjami o wielkościach sprzedaży badanej firmy w 200 i 2002 roku. Artykuł Wartość obrotów w tys. Zł 200 r r. Zmiana ilości sprzedaży w roku 2002 w stosunku do 200 A Wzrost o 5% B Bez zmian C Spadek o 0% Dokonać analizy agregatowej wartości obrotów, cen badanych artykułów i ilości sprzedaży.

19 ZMIENNA LOSOWA I JEJ ROZKŁADY Zadanie 04. x 0 x< y 0 y< 2 4 f ( x ) = x 3 x a f ( y ) = y 2 x b poza tym 0 poza tym a) Znaleźć wartości a i b tak, aby funkcje f(x) oraz f(y) były funkcjami gęstości prawdopodobieństwa zmiennych losowych x i y. b) Który rozkład cechuje silniejsza asymetria? Zadanie 05. W urnie znajduje się 00 losów, a wśród nich jedna wygrana za 250 zł, dwie po 50 zł, dwie po 00 zł, pięć po 50 zł oraz dziesięć po 20 złotych. Zmienną losową X jest wartość wygranej. a) Zapisać rozkład zmiennej losowej X, b) znaleźć wartość oczekiwaną zmiennej losowej X, c) znaleźć wariancję i odchylenie standardowe zmiennej X, d) określić stopień zmienności tej zmiennej, e) znaleźć dystrybuantę zmiennej losowej X. Zadanie 06. Dany jest rozkład zmiennej losowej X: X=x i P(X=x i ) 9 a) znaleźć wartość oczekiwaną zmiennej losowej X, b) znaleźć wartość wariancji oraz odchylenia standardowego zmiennej losowej X, c) znaleźć dystrybuantę zmiennej losowej X. Zadanie 07. Uzupełnij dane wiedząc, że E(X) = 0 X=x i P(X=x i ) Zadanie 08. Na podstawie danych z poprzedniego zadania oblicz wariancję i odchylenie standardowe zmiennej losowej X. Zadanie 09. Na podstawie poniższych danych znaleźć rozkład zmiennej losowej Y=X 2 X=x i P(X=x i ) Zadanie

20 Na podstawie danych z poprzedniego zadania znaleźć rozkład zmiennej losowej: U= X 2 X Zadanie. Dystrybuanta zmiennej losowej X dana jest postaci: 0 x 0 3 F ( x) = x 0< x 3, 27 x> 3 a) znaleźć funkcję gęstości zmiennej losowej X, 2 b) obliczyć prawdopodobieństwo P < x<. 3 3 Zadanie 2. Obliczyć wartości parametrów: E(X) oraz D 2 (X) dla funkcji gęstości otrzymanej w poprzednim zadaniu. Zadanie 3. Masa ciała w populacji studentów Politechniki Śląskiej ma rozkład normalny N(75, 2). Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że masa ciała przypadkowo napotkanego studenta należy do przedziału: a) (60; 65), b) (78; 85), c) (74; 76), d) (08; 20). Zadanie 4. Masa jabłek w pewnym sadzie ma rozkład normalny N(50, 25). Obliczyć prawdopodobieństwo, że jabłko tego gatunku waży od 20 do 50. Zadanie 5. Zmienna losowa X ma w populacji rozkład N(m,30). Znajdź m wiedząc, ze P(X<80)=0,695 Zadanie 6. Jaki procent produkcji zakładów obuwniczych powinno stanowić obuwie o rozmiarach od 27do 33, jeżeli wiadomo, ze długość stopy u dorosłego człowieka jest zmienną losową o rozkładzie N(29,3). Zadanie 7. Dana jest funkcja prawdopodobieństwa zmiennej losowej X. 2 x i p i 0, 0,2 0, C 0,3 0, Wyznaczyć: a) stałą c b) wykres funkcji prawdopodobieństwa i jej histogram c) dystrybuantę i jej wykres d) prawdopodobieństwa: P(x=3), P(x=5), P(-2 x ) dwoma sposobami: z funkcji prawdopodobieństwa oraz z dystrybuanty e) podane prawdopodobieństwa zilustrować na wykresie Zadanie 8. Niech zmienna losowa X ma rozkład o gęstości: f ( x ) x = 4 0 dla 0 x c poza tym

21 Wyznaczyć: a) stałą c, b) wartość oczekiwaną, c) medianę d) modę. Zadanie 9. 6 x( x ) Zmienna losowa ma rozkład o gęstości: f ( x ) = 0 a) obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej X, b) zmiennej Y=2X- c) zmiennej Y=2X-. Zadanie 20. dla 0 x poza tym x 0 x k 2 k x k Znaleźć taką liczbę a, aby funkcja: f ( x ) = k < x a 2 k 0 poza tym była funkcją gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej x. Zadanie 2. Pociągi kolejki miejskiej odjeżdżają ze stacji co 6 minut. Zakładając, że rozkład czasu przybycia pasażera na stację jest jednostajny, obliczyć oczekiwaną wartość czasu oczekiwania na pociąg oraz wariancję czasu oczekiwania na pociąg. Zadanie 22. Z pewnego przystanku trolejbusy odjeżdżają co 5 minut. Zakładając, że rozkład czasu przybycia pasażera na przystanek jest jednostajny, obliczyć prawdopodobieństwo, że pasażer będzie czekał co najmniej 2 minuty. Zadanie 23. Z pewnego przystanku trolejbusy odjeżdżają co 5 minut. Zakładając, że rozkład czasu przybycia pasażera na przystanek jest wykładniczy z wartością oczekiwaną wynoszącą 2,5 minuty, obliczyć prawdopodobieństwo, że pasażer będzie czekał co najmniej 2 minuty. Zadanie 24. Czas bezawaryjnej pracy pewnego urządzenia energetycznego ma rozkład wykładniczy o wartości oczekiwanej 00 godzin. Obliczyć: a) medianę, b) prawdopodobieństwo, że bezawaryjny czas pracy urządzenia wynosi co najmniej 00 godzin. Zadanie 25. Czas obsługi pojedynczego klienta przez kasjerkę pewnego hipermarketu ma rozkład wykładniczy. Ustalono, że obsługa jednego klienta trwa średnio przez 3 minuty. Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że klient zostanie obsłużony krócej niż w 4 minuty. Zadanie 26. Czas mycia samochodu w myjni samochodowej na pewnej stacji benzynowej jest zmienną losową o rozkładzie jednostajnym w przedziale <20;40> minut. a) Obliczyć prawdopodobieństwo, że mycie samochodu potrwa krócej niż 25 minut, b) Obliczyć prawdopodobieństwo, że mycie samochodu będzie trwało nie dłużej niż 30 min i nie krócej niż 25 min. c) Jakie jest prawdopodobieństwo, że mycie potrwa dłużej niż 35 minut?

22 d) Jakie będą dane prawdopodobieństwa, gdy czas mycia będzie zmienną losową o rozkładzie normalnym z wartości oczekiwaną i odchyleniem standardowym takimi samymi jak przy rozkładzie jednostajnym? Zadanie 27. Czas mycia samochodu w myjni samochodowej na pewnej stacji benzynowej jest zmienną losową o rozkładzie normalnym (30 minut, 0 minut). a) Obliczyć prawdopodobieństwo, że mycie samochodu potrwa krócej niż 25 minut, b) Obliczyć prawdopodobieństwo, że mycie samochodu będzie trwało nie dłużej niż 30 min i nie krócej niż 25 min. c) Jakie jest prawdopodobieństwo, że mycie potrwa dłużej niż 35 minut? d) Jak zmienią się odpowiednie prawdopodobieństwa, gdy czas mycia samochodu będzie zmienną losową o rozkładzie jednostajnym w przedziale < m 3σ ; m+ 3σ >, gdzie m oraz σ są parametrami rozpatrywanego w zadaniu rozkładu normalnego?