Joanna Konieczna Repetytorium ze statystyki opisowej (materiał roboczy)
|
|
- Feliks Kołodziej
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 1. Dana jest niekompletna macierz danych surowych zawierająca informację o zmiennych X i Y oraz rozkłady zmiennych X i Y. Uzupełnij macierz tak, aby zmienne X i Y miały w tej populacji taki rozkład, jak przedstawiają tabelki. Nr kolejny obiektu X Y Rozkład X Rozkład Y x i P(X=x i ) y i P(Y=y i ) ,2 0 0, ,4 1 0, ,4 2 0,2 5 0 RAZEM 1,0 RAZEM 1, Dana jest macierz zawierająca informację o zmiennej X rok urodzenia respondenta. Dodaj do macierzy zmienną Y wiek respondenta, a następnie oblicz średni wiek osób biorących udział w tym badaniu. Nr kolejny resp. X Y 3. Średni wzrost uczniów pewnej klasy wynosi 152 cm, a mediana wzrostu 151 cm. a. Jakiego wzrostu powinien być nowy uczeń przyjmowany do tej klasy, aby nie zmienił się średni wzrostu uczniów w klasie? b. Jakiego wzrostu powinien być nowy uczeń, aby nie zmieniła się mediana wzrostu uczniów w klasie? Rozważ wszystkie przypadki. 4. Dany jest niekompletny rozkład zmiennej X. Uzupełnij ten rozkład w taki sposób, aby błąd modalnej był maksymalny. x i P(X=x i ) 1 2 0,
2 5. Dane są następujące parametry zmiennej X liczba opuszczonych dni pracy: Mo(X)=1; Me(X)=2; E(X)=1,5; b(x)=0,7; d(x)=0,8; D2(X)=1,1. Za opuszczone dni pracy pracodawca zmniejsza pracownikom wynagrodzenie według następującej reguły: - osoby, które opuściły co najwyżej 1 dzień otrzymują pełne wynagrodzenie (nic nie tracą); - osoby, które opuściły 2 dni tracą po 30 zł za każdy dzień; - osoby, które opuściły 3 dni i więcej tracą po 25 zł za każdy dzień. Ile będą wynosiły te same parametry (tj. modalna, mediana, średnia, błąd modalnej, odchylenie przeciętne i wariancja) zmiennej Y utracone dochody? Odpowiedzi należy uzasadnić poprzez podanie odpowiednich obliczeń. Jeśli któregoś parametru nie da się wyznaczyć należy to wyraźnie napisać. 6. W 15-osobowej zbiorowości zmienna X przyjmuje wszystkie wartości ze zbioru {0;1;2}. a. Jakie mogą być maksymalne wartości średniej i wariancji tej zmiennej? b. Podaj przykładowe rozkłady zmiennej X, dla których średnia i wariancja przyjmują maksymalne wartości. c. Czy możliwe jest aby jednocześnie średnia i wariancja były maksymalne? Uzasadnij odpowiedź. 7. Zmienna X przyjmuje w pewnej zbiorowości jedynie dwie wartości 0 i 1. Odchylenie przeciętne od mediany tej zmiennej wynosi 0,3. Ile wynoszą błąd modalnej i wariancja tej zmiennej? 8. Zmienna X przyjmuje w 50-osobowej zbiorowości wszystkie wartości ze zbioru {1;2;3;4;5}. Podaj taki przykładowy rozkład tej zmiennej, aby różnica między średnią a medianą była ujemna, a wartość bezwzględna tej różnicy możliwie największa. 9. Dany jest rozkład zmiennej X. Podaj rozkłady następujących funkcji zmiennej X: a. W=2X-1; b. Y=(X-1) 2 ; c. V= X-1 x i P(X=x i ) 0 0,3 1 0,2 2 0,4 3 0,1 10. W pewnej zbiorowości określone są zmienne X i Y. O każdym z niżej podanych zapisów powiedz, czy określa on stałą, czy zmienną: a. E(X Y) b. Me(X Y=1) c. D 2 (Y X=2) d. D 2 (Y) 11. Zbadano 10 par małżeńskich. Średnia zarobków żon wynosiła 1000 zł., a wariancja 400 zł 2. Wiadomo, że w tej zbiorowości każdy mąż zarabia o 20% więcej od swojej żony. Wyznacz średnią i wariancję różnicy dochodów męża i żony. 2
3 12. Dana jest rodzina rozkładów warunkowych zmiennych X i Y oraz brzegowy rozkład zmiennej Y. Wyznacz rozkład łączny liczebności tych zmiennych przy założeniu, że badana zbiorowość liczyła 100 osób. X\Y 1 2 y i P(Y=y i ) 0 0,3 0,2 1 0,7 1 0,1 0,4 2 0,3 2 0,1 0,2 razem 1,0 3 0,5 0,2 razem 1,0 1,0 13. O każdym z wymienionych niżej zdań wypowiedz się, czy jest ono prawdziwe,m czy też nie. Zmienna statystyczna to funkcja, której argumentami są jednostki obserwacji Zmienna statystyczna to odwzorowanie przyporządkowujące elementom badanej populacji liczby naturalne Zmienna statystyczna to funkcja określona na zbiorze liczb rzeczywistych Zmienna statystyczna to funkcja, której jedną z wartości jest modalna tej zmiennej 14. Zmienna przyjmuje z jednakowymi częstościami cztery wartości. Czy dla innych rozkładów zmiennej przyjmującej te same cztery wartości modalnych mogłoby być więcej (tak, czy nie?) wariancja mogłaby być większa (tak, czy nie?) błąd modalnej mógłby być większy (tak, czy nie?) entropia mogłaby być większa (tak, czy nie?) 15. W pewnej grupie liczącej 25 osób średnia, mediana i modalna wieku były równe po 22 lata, a odchylenie standardowe - 2 lata. Do grupy dołączyło pięć osób - jedna mająca 18 lat, dwie po 22 lata i 2 po 24 lata. Czy wynika z tego, że średnia wzrosła (tak, czy nie?) modalna nie zmieniła się (tak, czy nie?) odchylenie standardowe wzrosło (tak, czy nie?) mediana wzrosła (tak, czy nie?) 16. W pewnym zakładzie pracuje 2 razy więcej mężczyzn niż kobiet. Średnia wysokość dodatku rodzinnego pobieranego przez kobiety wynosi 350 zł, a przez mężczyzn 300 zł. Jaka jest średnia wysokość tego dodatku w całym zakładzie? Ile wynosiłaby ta średnia dla całego zakładu, gdyby z zakładu zwolniono połowę kobiet, a średnia wysokość dodatku rodzinnego w grupie pozostałych kobiet była na początkowym poziomie? 17. W Ministerstwie Powszechnej Szczęśliwości są dwa departamenty o identycznej strukturze i identycznej liczbie pracowników: Departament Uciech Cielesnych (DUC) oraz Departament Rozkoszy Duchowych (DRD). W DUC średnie zarobki wynoszą 500 sybarytów, mediana 482 sybaryty, wariancja 2500 sybarytów kwadratowych, a odchylenie przeciętne od mediany 30 sybarytów. W DRD każdy pracownik zarabia o 40% więcej niż jego odpowiednik z DUC. Oszacuj najdokładniej jak potrafisz średnią, medianę, wariancję i odchylenie przeciętne od mediany zarobków całego Ministerstwa Powszechnej Szczęśliwości. 3
4 TRANSLACJE 1. Zbadano 100-osobową grupę studentów. Niech X rok studiów, Y liczba niezdanych egzaminów; Z płeć (0 kobieta, 1 mężczyzna). A. Objaśnij osobie nieznającej statystyki, co oznaczają poniższe zapisy: P(Y=2 X>1) > P(Y=2 X=1) E(Z X=1) < E(Z X=4) P[Z=0 Y>E(Y)] > P[Z=0] B. Zapisz używając symboli statystycznych: W grupie osób, które nie zdały tylko jednego egzaminu najliczniejszy jest trzeci rok studiów Nieco ponad połowa mężczyzn nie zdała co najwyżej jednego egzaminu i jednocześnie ponad połowa mężczyzn nie zdała co najmniej jednego egzaminu. Na piątym roku studiów kobiety są liczniejsze niż mężczyźni. 2. W pewnej zbiorowości określono 2 zmienne: X płeć (0 mężczyzna; 1 kobieta) oraz Y wykształcenie (1 podstawowe; 2 średnie; 3 wyższe). A. Zinterpretuj podane niżej zapisy symboliczne, to znaczy napisz, czym charakteryzuje się zbiorowość, w której zachodzi podana relacja. P(X=1 & Y=1)=0,1 P(Y=3)=P(Y=3 X=0) E(X Y<2)<E(X Y 2) Mo(X Y=3)>Mo(X Y 2) B. Zapisz symbolicznie następujące zdania: Osoby z wykształceniem co najmniej średnim stanowią 50% badanej populacji 30% kobiet ma wykształcenie podstawowe W grupie mężczyzn częściej zdarzają się osoby ze średnim wykształceniem niż wśród kobiet osoby z wykształceniem podstawowym; Mężczyzn mających wyższe wykształcenie było w tej zbiorowości więcej niż kobiet ze średnim wykształceniem 3. Zbadano grupę studentów. Niech X oznacza rok studiów, a Y płeć (0 kobieta, 1 mężczyzna). Zapisz używając symboli statystycznych: 1. Najliczniejszy jest trzeci rok studiów. 2. Na trzecim roku kobiety stanowią większość. 3. Połowa mężczyzn studiuje na drugim roku. 4. Udział mężczyzn wśród studentów czwartego roku jest dwukrotnie mniejszy niż wśród studentów pierwszego roku. 4
5 4. W zbiorowości czytelniczek prasy kobiecej określono następujące zmienne: X ile różnych gazet ( tytułów ) kupuje regularnie Y ulubiony dział (1-życie gwiazd; 2-moda; 3-horoskopy; 4-porady intymne; 5-przepisy kulinarne) Z- czy ogląda seriale w TV (0-nie; 1-tak) W wykształcenie Poniżej przytoczone zostały stwierdzenia dotyczące badanej zbiorowości oraz propozycje zapisów symbolicznych tych stwierdzeń. O każdym z podanych zapisów symbolicznych wypowiedz się, czy jest on poprawny. W odpowiednią kratkę tabeli wpisz T (tak) lub N (nie). a. Czytelniczki z wykształceniem przynajmniej średnim rzadziej oglądają seriale w TV, niż czytelniczki z wykształceniem podstawowym. E (Z W=2 W=3) < E (Z W=1) E (Z W 2) > E(Z) P(Z=1 W 2) < P(Z=0 W 2) P(W=2 W=3 Z=1) < P (W=1 Z=1) b. Większość czytelniczek, które najbardziej lubią horoskopy i kupują regularnie więcej niż 2 tytuły, ma wykształcenie średnie. P (W=2 Y=3 X>2) > 0,5 Me (W Y=3 X>2) = 2 P (Y 3 X>2 W=2) < 0,5 P (W=2 Y=3 X>2) > P(W=2 Y 3 X 2) Dopasuj zdania do podanych zapisów symbolicznych. Przy każdym zdaniu wpisz T (tak) lub N (nie) w zależności od tego, czy odpowiada ono czy też nie podanemu zapisowi symbolicznemu> P (Y=1 W=3) = P (Y=5 W=1) Wśród czytelniczek z wyższym wykształceniem, najbardziej zainteresowane życiem gwiazd zdarzają się tak samo często, jak osoby z wykształceniem podstawowym wśród czytelniczek zainteresowanych przepisami kulinarnymi. Tak samo często zdarzają się czytelniczki z wyższym wykształceniem najbardziej zainteresowane życiem gwiazd, co czytelniczki z wykształceniem podstawowym, dla których najciekawsze są przepisy kulinarne. Wśród czytelniczek z wyższym wykształceniem, najbardziej zainteresowane życiem gwiazd zdarzają się tak samo często, jak zainteresowane przepisami kulinarnymi wśród czytelniczek z wykształceniem podstawowym. Wśród czytelniczek najbardziej zainteresowanych życiem gwiazd, osoby z wyższym wykształceniem zdarzają się tak samo często, jak osoby z wykształceniem podstawowym wśród czytelniczek zainteresowanych przepisami kulinarnymi. 5
6 E (Z W=3 X > 1) > 0,5 Większość czytelniczek z wyższym wykształceniem, kupujących regularnie więcej niż jeden tytuł, ogląda seriale. Wśród osób oglądających seriale, ponad połowa ma wykształcenie wyższe i kupuje regularnie więcej niż jeden tytuł. Ponad połowę tej zbiorowości stanowią osoby z wyższym wykształceniem, kupujące regularnie więcej niż jeden tytuł i oglądające seriale. Jest więcej czytelniczek oglądających seriale, wśród osób z wyższym wykształceniem, które kupują regularnie więcej niż jeden tytuł, niż wśród osób z wykształceniem najwyżej średnim, kupujących regularnie tylko jedną gazetę. 5. Zbadano 100 par małżeńskich. Określono zmienne: X wiek męża, Y wiek żony oraz Z posiadanie dzieci (2 nie ma dzieci, 4 są dzieci). 1. Objaśnij osobie nieznającej statystyki, co oznaczają następujące zapisy. a. D 2 (X Y)=0 b. Me(Z X<27)<Me(Z X>27) 2. Zapisz używając symboli statystycznych a. Najmłodszy mąż jest starszy od najmłodszej żony; b. Większość małżeństw, w których żona jest starsza od męża nie ma dzieci. 6
STATYSTYKA 2. Katarzyna Abramczuk
STATYSTYKA 2 Katarzyna Abramczuk Zadanie 1 W malutkiej wiosce Malutkowo są tylko 4 domy. Mieszkają w nich: DOM 1 DOM 2 DOM 3 DOM 4 Matka (35) Matka (32) Matka (32) Pan Stefan (40) Ojciec (40) Ojciec (35)
Zadanie 2.Na III roku bankowości złożonym z 20 studentów i 10 studentek przeprowadzono test pisemny ze statystyki. Oto wyniki w obu podgrupach.
Zadanie 1.Wiadomo, że dominanta wagi tuczników jest umiejscowiona w przedziale [120 kg, 130 kg] i wynosi 122,5 kg. Znane są również liczebności przedziałów poprzedzającego i następnego po przedziale dominującym:
Charakterystyki liczbowe (estymatory i parametry), które pozwalają opisać właściwości rozkładu badanej cechy (zmiennej)
Charakterystyki liczbowe (estymatory i parametry), które pozwalają opisać właściwości rozkładu badanej cechy (zmiennej) 1 Podział ze względu na zakres danych użytych do wyznaczenia miary Miary opisujące
Podstawy statystyki - ćwiczenia r.
Zadanie 1. Na podstawie poniższych danych wyznacz i zinterpretuj miary tendencji centralnej dotyczące wysokości miesięcznych zarobków (zł): 1290, 1500, 1600, 2250, 1400, 1600, 2500. Średnia arytmetyczna
KURS STATYSTYKA. Lekcja 5 Analiza współzależności ZADANIE DOMOWE. Strona 1
KURS STATYSTYKA Lekcja 5 Analiza współzależności ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 W analizie współzależności a) badamy
STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;
Rozkłady statystyk z próby
Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny
Rozkłady statystyk z próby. Statystyka
Rozkłady statystyk z próby tatystyka Rozkłady statystyk z próby Próba losowa pobrana z populacji stanowi realizacje zmiennej losowej jak ciąg zmiennych losowych (X, X,... X ) niezależnych i mających ten
Miary statystyczne w badaniach pedagogicznych
Miary statystyczne w badaniach pedagogicznych Szeregi statystyczne Szczegółowy - gdzie materiał uporządkowany jest rosnąco lub malejąco Rozdzielczy - gdzie poszczególnym wariantom zmiennej przyporządkowane
Zadanie 1. a) Przeprowadzono test RESET. Czy model ma poprawną formę funkcyjną? 1
Zadanie 1 a) Przeprowadzono test RESET. Czy model ma poprawną formę funkcyjną? 1 b) W naszym przypadku populacja są inżynierowie w Tajlandii. Czy można jednak przypuszczać, że na zarobki kobiet-inżynierów
WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI ROZKŁAD EMPIRYCZNY
WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI ROZKŁAD EMPIRYCZNY Liczebności i częstości Liczebność liczba osób/respondentów/badanych, którzy udzielili tej konkretnej odpowiedzi. Podawana w osobach. Częstość odsetek,
a)dane są wartości zmiennej losowej: 2, 4, 2, 1, 1, 3, 2, 1. Obliczyć wartość średnią i wariancję.
Zad Rozkład zmiennej losowej dyskretnej : a)dane są wartości zmiennej losowej: 2, 4, 2,,, 3, 2,. Obliczyć wartość średnią i wariancję. b)oceny z pracy klasowej w tabeli: Ocena 2 3 4 5 6 Liczba uczniów
Zadania ze statystyki, cz.6
Zadania ze statystyki, cz.6 Zad.1 Proszę wskazać, jaką część pola pod krzywą normalną wyznaczają wartości Z rozkładu dystrybuanty rozkładu normalnego: - Z > 1,25 - Z > 2,23 - Z < -1,23 - Z > -1,16 - Z
Matematyka podstawowa I. Liczby rzeczywiste, zbiory
Zadania wprowadzające: Matematyka podstawowa I Liczby rzeczywiste, zbiory 1. Liczba jest równa 2. Liczba jest równa 3. Wynikiem działania jest 4. Przedstaw w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego 5. Oblicz
STATYSTYKA - PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE
STATYSTYKA - PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE 1 W trakcie badania obliczono wartości średniej (15,4), mediany (13,6) oraz dominanty (10,0). Określ typ asymetrii rozkładu. 2 Wymień 3 cechy rozkładu Gauss
Porównywanie populacji
3 Porównywanie populacji 2 Porównywanie populacji Tendencja centralna Jednostki (w grupie) według pewnej zmiennej porównuje się w ten sposób, że dokonuje się komparacji ich wartości, osiągniętych w tej
Zestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) =
Zestaw : Zmienne losowe. Które z poniższych funkcji są dystrybuantami? Odpowiedź uzasadnij. Wskazówka: naszkicuj wykres. 0, x 0,, x 0, F (x) = x, F (x) = x, 0 x
Wielkość dziennego obrotu w tys. zł. (y) Liczba ekspedientek (x) 6 2 4 5,5 6,6
Zad. 1. Zbadano wydajność odmiany pomidorów na 100 poletkach doświadczalnych. W wyniku przeliczeń otrzymano przeciętną wydajność na w tonach na hektar x=30 i s 2 x =7. Przyjmując, że rozkład plonów pomidora
STATYSTYKA MATEMATYCZNA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA 1. Wykład wstępny 2. Zmienne losowe i teoria prawdopodobieństwa 3. Populacje i próby danych 4. Testowanie hipotez i estymacja parametrów 5. Najczęściej wykorzystywane testy statystyczne
Statystyka opisowa. dr inż. Aleksandra Czupryna-Nowak 1
Statystyka opisowa Zad 1 Obliczyć średnią wydajność robotnika, jeżeli wiadomo że: a) pracował 40 minut z wydajnością 90 szt/h oraz 20 minut z wydajnością 120 szt/h, b) wyprodukował 30 detali z wydajnością
Rozkłady zmiennych losowych
Rozkłady zmiennych losowych Wprowadzenie Badamy pewną zbiorowość czyli populację pod względem występowania jakiejś cechy. Pobieramy próbę i na podstawie tej próby wyznaczamy pewne charakterystyki. Jeśli
Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa
Spis treści Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp Bardzo często interesujący
Wartość danej Liczebność
IMIE I NAZWISKO ZADANIE 1 Średnia wieku w pewnej grupie studentów jest równa 23 lata. Średnia wieku tych studentów i ich opiekuna jest równa 24 lata. Opiekun ma 39 lat. Oblicz, ilu studentów jest w tej
STATYSTYKA MATEMATYCZNA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA 1. Wykład wstępny. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki 2. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez 5.
MIARY KLASYCZNE Miary opisujące rozkład badanej cechy w zbiorowości, które obliczamy na podstawie wszystkich zaobserwowanych wartości cechy
MIARY POŁOŻENIA Opisują średni lub typowy poziom wartości cechy. Określają tą wartość cechy, wokół której skupiają się wszystkie pozostałe wartości badanej cechy. Wśród nich można wyróżnić miary tendencji
Statystyka. Wykład 7. Magdalena Alama-Bućko. 16 kwietnia Magdalena Alama-Bućko Statystyka 16 kwietnia / 35
Statystyka Wykład 7 Magdalena Alama-Bućko 16 kwietnia 2017 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 16 kwietnia 2017 1 / 35 Tematyka zajęć: Wprowadzenie do statystyki. Analiza struktury zbiorowości miary położenia
Aby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania
Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Aby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania rozwiązywane na wykładzie, rozwiązywane na ćwiczeniach, oraz samodzielnie
1. Pokaż, że estymator MNW parametru β ma postać β = nieobciążony. Znajdź estymator parametru σ 2.
Zadanie 1 Niech y t ma rozkład logarytmiczno normalny o funkcji gęstości postaci [ ] 1 f (y t ) = y exp (ln y t β ln x t ) 2 t 2πσ 2 2σ 2 Zakładamy, że x t jest nielosowe a y t są nieskorelowane w czasie.
STATYSTYKA MATEMATYCZNA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA 1. Wykład wstępny. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki 2. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez 5.
Statystyka opisowa PROWADZĄCY: DR LUDMIŁA ZA JĄC -LAMPARSKA
Statystyka opisowa PRZEDMIOT: PODSTAWY STATYSTYKI PROWADZĄCY: DR LUDMIŁA ZA JĄC -LAMPARSKA Statystyka opisowa = procedury statystyczne stosowane do opisu właściwości próby (rzadziej populacji) Pojęcia:
Wybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka
Wybrane rozkłady zmiennych losowych Statystyka Rozkład dwupunktowy Zmienna losowa przyjmuje tylko dwie wartości: wartość 1 z prawdopodobieństwem p i wartość 0 z prawdopodobieństwem 1- p x i p i 0 1-p 1
Metody Statystyczne. Metody Statystyczne.
gkrol@wz.uw.edu.pl #4 1 Sprawdzian! 5 listopada (ok. 45-60 minut): - Skale pomiarowe - Zmienne ciągłe i dyskretne - Rozkład teoretyczny i empiryczny - Miary tendencji centralnej i rozproszenia - Standaryzacja
Egzamin ze Statystyki, Studia Licencjackie Stacjonarne czerwiec 2007 Temat A
(imię, nazwisko, nr albumu).. Przy rozwiązywaniu zadań, jeśli to konieczne, naleŝy przyjąć poziom istotności 0,01 i współczynnik ufności 0,95. Zadanie 1 W 005 roku przeprowadzono badanie ankietowe, którego
STATYSTYKA wykład 5-6
TATYTYKA wykład 5-6 Twierdzenia graniczne Rozkłady statystyk z próby Wanda Olech Twierdzenia graniczne Jeżeli rozpatrujemy ciąg zmiennych losowych {X ; X ;...; X n }, to zdarza się, że ich rozkłady przy
Zadanie Punkty Ocena
Statystyka matematyczna Test przykładowy na zaliczenie laboratorium / ćwiczeń PROSZĘ NIE ODWRACAĆ KARTKI PRZED ROZPOCZĘCIEM TESTU! Wskazówki: 1. Wybierz zadania, za które w sumie możesz otrzymać 30 punktów
Zad. 4 Należy określić rodzaj testu (jedno czy dwustronny) oraz wartości krytyczne z lub t dla określonych hipotez i ich poziomów istotności:
Zadania ze statystyki cz. 7. Zad.1 Z populacji wyłoniono próbę wielkości 64 jednostek. Średnia arytmetyczna wartość cechy wyniosła 110, zaś odchylenie standardowe 16. Należy wyznaczyć przedział ufności
LABORATORIUM Populacja Generalna (PG) 2. Próba (P n ) 3. Kryterium 3σ 4. Błąd Średniej Arytmetycznej 5. Estymatory 6. Teoria Estymacji (cz.
LABORATORIUM 4 1. Populacja Generalna (PG) 2. Próba (P n ) 3. Kryterium 3σ 4. Błąd Średniej Arytmetycznej 5. Estymatory 6. Teoria Estymacji (cz. I) WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE (STATISTICAL INFERENCE) Populacja
Elektrotechnika II [ Laboratorium Grupa 1 ] 2016/2017 Zimowy. [ Laboratorium Grupa 2 ] 2016/2017 Zimowy
Elektrotechnika II [ Laboratorium Grupa ] 206/207 Zimowy Lp Numer indeksu Pkt Kol Suma Popr Ocena Data Uwagi 97574 6 7 Db + 2 9758 ++0,9 5 7,9 Db + 3 99555 0,9+0,9 2,8 Dst + 4 97595 0,8++ 0 2,8 Dst + 5
Centralne twierdzenie graniczne
Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 4 Ważne uzupełnienie Dwuwymiarowy rozkład normalny N (µ X, µ Y, σ X, σ Y, ρ): f XY (x, y) = 1 2πσ X σ Y 1 ρ 2 { [ (x ) 1
Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1
Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1 Zadania rozwiązywane na wykładzie Zadania rozwiązywane na ćwiczeniach Przy rozwiązywaniu zadań najistotniejsze jest wykazanie się rozumieniem
Wartość danej Liczebność
ZADANIE 1 (5 PKT) Średnia wieku w pewnej grupie studentów jest równa 23 lata. Średnia wieku tych studentów i ich opiekuna jest równa 24 lata. Opiekun ma 39 lat. Oblicz, ilu studentów jest w tej grupie.
WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI ROZKŁAD STATYSTYK Z PRÓBY
WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI ROZKŁAD STATYSTYK Z PRÓBY Próba losowa prosta To taki dobór elementów z populacji, że każdy element miał takie samo prawdopodobieństwo znalezienia się w próbie Niezależne
KURS STATYSTYKA. Lekcja 2 Przedziały ufności i estymacja przedziałowa ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1
KUR TATYTYKA Lekcja Przedziały ufności i estymacja przedziałowa ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl trona 1 Część 1: TET Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 We wnioskowaniu statystycznym
Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Warszawie WSTĘPNA INFORMACJA O WYNIKACH PISEMNEGO EGZAMINU MATURALNEGO Z JĘZYKA ANGIELSKIEGO.
Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Warszawie WSTĘPNA INFORMACJA O WYNIKACH PISEMNEGO EGZAMINU MATURALNEGO Z JĘZYKA ANGIELSKIEGO Strona 1 z 27 Egzamin maturalny z języka angielskiego odbył się w całym kraju
Wnioskowanie statystyczne. Statystyka w 5
Wnioskowanie statystyczne tatystyka w 5 Rozkłady statystyk z próby Próba losowa pobrana z populacji stanowi realizacje zmiennej losowej jak ciąg zmiennych losowych (X, X,... X ) niezależnych i mających
Inżynieria Środowiska. II stopień ogólnoakademicki. przedmiot podstawowy obowiązkowy polski drugi. semestr zimowy
Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr../12 z dnia.... 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2017/2018 STATYSTYKA
Matematyka 2. dr inż. Rajmund Stasiewicz
Matematyka 2 dr inż. Rajmund Stasiewicz Skala ocen Punkty Ocena 0 50 2,0 51 60 3,0 61 70 3,5 71 80 4,0 81 90 4,5 91-5,0 Zwolnienie z egzaminu Ocena z egzaminu liczba punktów z ćwiczeń - 5 Warunki zaliczenia
METODOLOGIA BADAŃ HUMANISTYCZNYCH METODYKA NAUCZANIA JĘZYKA OBCEGO CZ.II
METODOLOGIA BADAŃ HUMANISTYCZNYCH METODYKA NAUCZANIA JĘZYKA OBCEGO CZ.II Podział zmiennych Zmienne zależne zmienne, które są przedmiotem badania, których związki z innymi zmiennymi chcemy określić Zmienne
Wybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka
Wybrane rozkłady zmiennych losowych Statystyka Rozkład dwupunktowy Zmienna losowa przyjmuje tylko dwie wartości: wartość 1 z prawdopodobieństwem p i wartość 0 z prawdopodobieństwem 1- p x i p i 0 1-p 1
Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn
Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średniej Wrocław, 21 grudnia 2016r Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja 10.1 Przedziałem
Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych
Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych Rozkład dwumianowy Rozkład normalny Marta Zalewska Zmienna losowa dyskretna (skokowa) jest to zmienna, której zbór wartości jest skończony lub przeliczalny.
Statystyka. Wykład 7. Magdalena Alama-Bućko. 3 kwietnia Magdalena Alama-Bućko Statystyka 3 kwietnia / 36
Statystyka Wykład 7 Magdalena Alama-Bućko 3 kwietnia 2017 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 3 kwietnia 2017 1 / 36 Tematyka zajęć: Wprowadzenie do statystyki. Analiza struktury zbiorowości miary położenia
Dystrybuanta i funkcja gęstości
Dystrybuanta i funkcja gęstości Dziedziną dystrybuanty zmiennej losowej jest zawsze: Zbiór liczb nieujemnych Zbiór liczb dodatnich Przedział (0,1) Zbiór liczb rzeczywistych Zbiorem wartości dystrybuanty
Wykład 5: Statystyki opisowe (część 2)
Wykład 5: Statystyki opisowe (część 2) Wprowadzenie Na poprzednim wykładzie wprowadzone zostały statystyki opisowe nazywane miarami położenia (średnia, mediana, kwartyle, minimum i maksimum, modalna oraz
W kolejnym kroku należy ustalić liczbę przedziałów k. W tym celu należy wykorzystać jeden ze wzorów:
Na dzisiejszym wykładzie omówimy najważniejsze charakterystyki liczbowe występujące w statystyce opisowej. Poszczególne wzory będziemy podawać w miarę potrzeby w trzech postaciach: dla szeregu szczegółowego,
STATYSTYKA POWTÓRZENIE WIADOMOŚCI
STATYSTYKA POWTÓRZENIE WIADOMOŚCI ZADANIE Średnia arytmetyczna wszystkich liczb pierwszych należacych do przedziału, 9) A) B), C) D), ZADANIE Średnia licz,,,,9,9,, jest liczba A) B), C) D), ZADANIE Diagram
Emerytury nowosystemowe wypłacone w grudniu 2018 r. w wysokości niższej niż wysokość najniższej emerytury (tj. niższej niż 1029,80 zł)
Emerytury nowosystemowe wypłacone w grudniu 18 r. w wysokości niższej niż wysokość najniższej emerytury (tj. niższej niż 9,8 zł) DEPARTAMENT STATYSTYKI I PROGNOZ AKTUARIALNYCH Warszawa 19 1 Zgodnie z art.
2 Ustalamy długość klasy, dzieląc rozstęp R przez liczbę klas, czyli przez 6. Klasy mają więc długość
Grupowanie i klasyfikowanie danych statystycznych Klasyfikacja danych statystycznych to procedura uporządkowania danych, polegająca na podziale zbioru wartości danych na przedziały (grupy), zwane klasami.
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka W 2. Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne
METODY BADAŃ NA ZWIERZĘTACH ze STATYSTYKĄ wykład 3-4. Parametry i wybrane rozkłady zmiennych losowych
METODY BADAŃ NA ZWIERZĘTACH ze STATYSTYKĄ wykład - Parametry i wybrane rozkłady zmiennych losowych Parametry zmiennej losowej EX wartość oczekiwana D X wariancja DX odchylenie standardowe inne, np. kwantyle,
Statystyka i eksploracja danych
Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,
Pozyskiwanie wiedzy z danych
Pozyskiwanie wiedzy z danych dr Agnieszka Goroncy Wydział Matematyki i Informatyki UMK PROJEKT WSPÓŁFINANSOWANY ZE ŚRODKÓW UNII EUROPEJSKIEJ W RAMACH EUROPEJSKIEGO FUNDUSZU SPOŁECZNEGO Pozyskiwanie wiedzy
Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014
Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich Wrocław, 5 grudnia 2014 Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja Przedziałem ufności dla paramertu
Oszacowanie i rozkład t
Oszacowanie i rozkład t Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Oszacowanie i rozkład t 1 / 31 Oszacowanie 1 Na podstawie danych z próby szacuje się wiele wartości w populacji, np.: jakie jest poparcie
Analiza struktury i przeciętnego poziomu cechy
Analiza struktury i przeciętnego poziomu cechy Analiza struktury Pod pojęciem analizy struktury rozumiemy badanie budowy (składu) określonej zbiorowości, lub próby, tj. ustalenie, z jakich składa się elementów
Wszystkie wyniki w postaci ułamków należy podawać z dokładnością do czterech miejsc po przecinku!
Pracownia statystyczno-filogenetyczna Liczba punktów (wypełnia KGOB) / 30 PESEL Imię i nazwisko Grupa Nr Czas: 90 min. Łączna liczba punktów do zdobycia: 30 Czerwona Niebieska Zielona Żółta Zaznacz znakiem
WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI. Zmienna losowa i jej rozkład
WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI Zmienna losowa i jej rozkład ZMIENNA LOSOWA Funkcja X przyporządkowująca każdemu zdarzeniu elementarnemu jedną i tylko jedną liczbę x. zmienna losowa skokowa skończona
Rozkład normalny. Marcin Zajenkowski. Marcin Zajenkowski () Rozkład normalny 1 / 26
Rozkład normalny Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Rozkład normalny 1 / 26 Rozkład normalny Krzywa normalna, krzywa Gaussa, rozkład normalny Rozkłady liczebności wielu pomiarów fizycznych, biologicznych
Xi B ni B
Zadania ze statystyki cz.2 I rok Socjologii lic. Zadanie 1 Ustal dla danych zawartych w tabelach poniżej, prezentujących rozkład liczebności (ni) różnej wielkości gospodarstw domowych w dwóch populacjach,
P (A B) = P (A), P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A) P (B). P (A)
Wykład 3 Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Kiedy dwa zdarzenia są niezależne? Gdy wiedza o tym, czy B zaszło, czy nie, NIE MA WPŁYWU na oszacowanie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P (A B) = P
WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI. Test zgodności i analiza wariancji Analiza wariancji
WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI Test zgodności i analiza wariancji Analiza wariancji Test zgodności Chi-kwadrat Sprawdza się za jego pomocą ZGODNOŚĆ ROZKŁADU EMPIRYCZNEGO Z PRÓBY Z ROZKŁADEM HIPOTETYCZNYM
Wartość danej Liczebność
ZADANIE 1 (5 PKT) Tabela przedstawia pewne dane i ich liczebność a) Oblicz średnia arytmetyczna tych danych. b) Podaj medianę. c) Oblicz odchylenie standardowe. Wartość danej -4 2 4 7 20 Liczebność 7 2
Wykład 1. Podstawowe pojęcia Metody opisowe w analizie rozkładu cechy
Wykład Podstawowe pojęcia Metody opisowe w analizie rozkładu cechy Zbiorowość statystyczna - zbiór elementów lub wyników jakiegoś procesu powiązanych ze sobą logicznie (tzn. posiadających wspólne cechy
Zadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych
Zadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych Zad. 1 Średnia ocen z semestru letniego w populacji studentów socjologii w roku akademickim 2011/2012
Statystyka. Wykład 4. Magdalena Alama-Bućko. 19 marca Magdalena Alama-Bućko Statystyka 19 marca / 33
Statystyka Wykład 4 Magdalena Alama-Bućko 19 marca 2018 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 19 marca 2018 1 / 33 Analiza struktury zbiorowości miary położenia ( miary średnie) miary zmienności (rozproszenia,
Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe
Statystyka i opracowanie danych W4 Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Rozkład normalny wykres funkcji gęstości
Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =.
Prawdopodobieństwo i statystyka 3..00 r. Zadanie Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX 4 i EY 6. Rozważamy zmienną losową Z. X + Y Wtedy (A) EZ 0,
Drugie kolokwium z Rachunku Prawdopodobieństwa, zestaw A
Drugie kolokwium z Rachunku Prawdopodobieństwa, zestaw A Zad. 1. Korzystając z podanych poniżej mini-tablic, oblicz pierwszy, drugi i trzeci kwartyl rozkładu N(10, 2 ). Rozwiązanie. Najpierw ogólny komentarz
KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO
KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 6 Ciągłe zmienne losowe ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Zmienna losowa ciągła jest
Zad. 1. Wartość pożyczki ( w tys. zł) kształtowała się następująco w pewnym banku:
Zad. 1. Wartość pożyczki ( w tys. zł) kształtowała się następująco w pewnym banku: Kwota Liczba pożyczek pożyczki 0 4 0 4 8 8 12 40 12 16 16 Zbadać asymetrię rozkładu kwoty pożyczki w tym banku. Wynik
Statystyka. Wykład 4. Magdalena Alama-Bućko. 13 marca Magdalena Alama-Bućko Statystyka 13 marca / 41
Statystyka Wykład 4 Magdalena Alama-Bućko 13 marca 2017 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 13 marca 2017 1 / 41 Na poprzednim wykładzie omówiliśmy następujace miary rozproszenia: Wariancja - to średnia arytmetyczna
Statystyka. Wykład 8. Magdalena Alama-Bućko. 23 kwietnia Magdalena Alama-Bućko Statystyka 23 kwietnia / 38
Statystyka Wykład 8 Magdalena Alama-Bućko 23 kwietnia 2017 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 23 kwietnia 2017 1 / 38 Tematyka zajęć: Wprowadzenie do statystyki. Analiza struktury zbiorowości miary położenia
Statystyka opisowa. Literatura STATYSTYKA OPISOWA. Wprowadzenie. Wprowadzenie. Wprowadzenie. Plan. Tomasz Łukaszewski
Literatura STATYSTYKA OPISOWA A. Aczel, Statystyka w Zarządzaniu, PWN, 2000 A. Obecny, Statystyka opisowa w Excelu dla szkół. Ćwiczenia praktyczne, Helion, 2002. A. Obecny, Statystyka matematyczna w Excelu
Ćwiczenia 1-2 Analiza rozkładu empirycznego
Ćwiczenia 1-2 Zadanie 1. Z kolokwium z ekonometrii studenci otrzymali następujące oceny: 5 osób dostało piątkę, 20 os. dostało czwórkę, 10 os. trójkę, a 3 osoby nie zaliczyły tego kolokwium. Należy w oparciu
K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys. jp.
Sprawdzian 2. Zadanie 1. Za pomocą KMNK oszacowano następującą funkcję produkcji: Gdzie: P wartość produkcji, w tys. jp (jednostek pieniężnych) K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys.
Statystyka. Wykład 9. Magdalena Alama-Bućko. 24 kwietnia Magdalena Alama-Bućko Statystyka 24 kwietnia / 34
Statystyka Wykład 9 Magdalena Alama-Bućko 24 kwietnia 2017 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 24 kwietnia 2017 1 / 34 Tematyka zajęć: Wprowadzenie do statystyki. Analiza struktury zbiorowości miary położenia
Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby
Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby Przypomnijmy Populacja Próba Wielkość N n Średnia Wariancja Odchylenie standardowe 4.2 Rozkład statystyki Mówimy, że rozkład statystyki (1) jest dokładny,
Statystyka. Zadanie 1.
Statystyka Zadanie 1. W przedsiębiorstwie Statexport pracuje 100 pracowników fizycznych i 25 umysłowych. Typowy wiek pracownika fizycznego kształtuje się w przedziale od 30 do 40 lat. Średnia wieku pracowników
STATYSTYKA OPISOWA Przykłady problemów statystycznych: - badanie opinii publicznej na temat preferencji wyborczych;
STATYSTYKA OPISOWA Przykłady problemów statystycznych: - badanie opinii publicznej na temat preferencji wyborczych; - badanie skuteczności nowego leku; - badanie stopnia zanieczyszczenia gleb metalami
Zmienne losowe dyskretne i Zmienne losowe ciągłe Rozkład Normalny
Zmienne losowe dyskretne i Zmienne losowe ciągłe Rozkład Normalny 1. Wyprodukowanie określonej liczby wyrobów przez jednego pracownika w ciągu godziny jest zmienną losową o następującym rozkładzie prawdopodobieństwa:
LOGIKA MATEMATYCZNA. Poziom podstawowy. Zadanie 2 (4 pkt.) Jeśli liczbę 3 wstawisz w miejsce x, to które zdanie będzie prawdziwe:
LOGIKA MATEMATYCZNA Poziom podstawowy Zadanie ( pkt.) Która koniunkcja jest prawdziwa: a) Liczba 6 jest niewymierna i 6 jest liczbą dodatnią. b) Liczba 0 jest wymierna i 0 jest najmniejszą liczbą całkowitą.
Żródło:
Testy t-studenta są testami różnic pomiędzy średnimi czyli służą do porównania ze sobą dwóch średnich Zmienne muszą być zmiennymi ilościowym (liczymy i porównujemy średnie!) Są to testy parametryczne Test
Wykład 3. Metody opisu danych (statystyki opisowe, tabele liczności, wykresy ramkowe i histogramy)
Wykład 3. Metody opisu danych (statystyki opisowe, tabele liczności, wykresy ramkowe i histogramy) Co na dzisiejszym wykładzie: definicje, sposoby wyznaczania i interpretacja STATYSTYK OPISOWYCH prezentacja
Skrypt 29. Statystyka. Opracowanie L2
Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 29 Statystyka 1. Przypomnienie
Kolokwium ze statystyki matematycznej
Kolokwium ze statystyki matematycznej 28.05.2011 Zadanie 1 Niech X będzie zmienną losową z rozkładu o gęstości dla, gdzie 0 jest nieznanym parametrem. Na podstawie pojedynczej obserwacji weryfikujemy hipotezę
Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
29 marca 2011 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś
Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
31 marca 2014 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś
MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ
MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ Opracowała: Milena Suliga Wszystkie pliki pomocnicze wymienione w treści
ESTYMACJA. Przedział ufności dla średniej
ESTYMACJA Przedział ufności dla średniej W grupie 900 losowo wybranych pracowników przedsiębiorstwa średnia liczba dni nieobecności w pracy wynosiła 30, a odchylenie standardowe 3 dni. a) Przyjmując współczynnik
Statystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28
Statystyka #5 Testowanie hipotez statystycznych Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik rok akademicki 2016/2017 1 / 28 Testowanie hipotez statystycznych 2 / 28 Testowanie hipotez statystycznych