środek masy 5. ŚRODEK MASY UKŁADU = i= + m2

Transkrypt

1 5. ŚRODEK MASY UKŁADU Środek asy układu składającego sę z cząstek zajuje określone połoŝene, które określay za poocą wektora R : R r (46) Przykładowo, dla układu złoŝonego z dwóch cząstek: R r + r + (47) środek asy Środek asy dwóch cząstek Wylczy prędkość środka asy, czyl: V dr R dt RóŜnczkując Równ. 47 względe czasu : R r v p P (48) gdze p jest pęde -tej asy, zaś P jest pęde całego układu cząstek. Przepszy powyŝszy rezultat jeszcze raz: gdze M ( M oŝna teŝ przepsać jako: P R (49) M ) jest całkowtą asą układu. ZauwaŜy, Ŝe Równane powyŝsze 3

2 P V lub P V M M (50) gdze V R jest prędkoścą środka asy. Gdy ne dzałają sły zewnętrzne (lub gdy dzałają, ale ch wypadkowa wynos zero), to Pconst zgodne z powyŝszy równane: V const (5) Zapaętajy: jeśl na układ cząstek ne dzałają sły zewnętrzne (lub gdy ch wypadkowa jest równa zeru) to prędkość środka asy jest stała (jeśl tylko całkowta asa układu ne ulega zane). RozwaŜy teraz sytuacje, gdy na układ cząstek dzała sła wypadkowa F. Wdzelśy juŝ, Ŝe dp F, a zate zgodne z Równ. 50: dt lub przepsując ten wynk: dp dt d F M V M a dt (5) F Ma (53) Równana 50, 5 53 pokazują na, Ŝe stosując pojęce środka asy, ops układu welu cał staje sę bardzo prosty sprowadza sę foralne do takch saych wzorów jak dla pojedynczej cząstk pod warunke, Ŝe zastąpy prędkość, pęd przyspeszene cząstk przez te sae welkośc, ale odnesone do środka asy. Przykłade lustrujący te zalety oŝe być ops aktu rozerwana sę granatu. Po wybuchu ( jego rozerwanu sę na tysące częśc), środek asy granatu dalej porusza sę po parabol (tak jakby ne było wybuchu), gdyŝ w oence eksplozj ne dzała na nego Ŝadna dodatkowa sła zewnętrzna. MoŜna powedzeć, Ŝe rozerwane sę granatu jest jego wewnętrzną sprawą. 4

3 Środek asy granatu po wybuchu porusza sę tak jakby wybuchu ne było 6. ZDERZEIA Jest to doskonały przykład zastosowana zasady zachowana pędu. RozwaŜy odchylene cząstk początkowo spoczywającej (M ) przez cząstkę nadbegającą (M ): M M v Przed zderzene: w spoczynku M v ' θ θ M v ' Po zderzenu (zderzene necentralne) Zderzene centralne necentralne a rysunku powyŝszy rozwaŝylśy od razu przypadek ogólny zderzena, tzn. zderzene necentralne; charakteryzuje je tzw. paraetr zderzena d. W przypadku d0, elbyśy zderzene centralne wtedy cząstk po zderzenu poruszałyby sę wzdłuŝ tej saej prostej co przed zderzene. Jeśl d 0, zderzene jest necentralne cząstk rozbegają sę w róŝnych kerunkach. 5

4 M, v d M, v Paraetr zderzena: d Zderzene spręŝyste nespręŝyste Ponadto, rozróŝnay zderzena spręŝyste nespręŝyste. Zderzene spręŝyste a ejsce wtedy, gdy całkowta energa echanczna (a zate knetyczna plus potencjalna) jest zachowana; ne a rozproszena energ echancznej na energe ceplną. W przecwny przypadku (występuje rozproszene energ echancznej na ceplną) wtedy ay rozproszene nespręŝyste. Ops zderzena w układze laboratoryjny Wróćy do przypadku przedstawonego na przedostatn rysunku. W układze laboratoryjny ay następującą sytuację początkową: v v v x, 0 Prawo zachowana zapszy osobno dla składowej x y: M v M v 'cosθ 0 M v 'snθ M v + M v 'snθ 'cosθ (54) ZałóŜy, Ŝe zderzena jest spręŝyste, tzn. ne a rozproszena energ echancznej na nne postac energ (np. na energę ceplną). W naszy przypadku całkowta energa knetyczna jest zachowana (ne a bowe zany energ potencjalnej). A zate: M v M (v') + M (v' ) Z układu równań wyznaczyy 3 paraetry, np.: v, v np. θ (w tak wypadku usy eć dany kąt θ ; określa on na stopeń necentralnośc zderzena, podobne jak paraetr d). ZauwaŜy, Ŝe rozwązane powyŝszego układu równań wyaga stosunkowo skoplkowanych przekształceń (druge z tych równań zawera kwadraty prędkośc). Dlatego opszey to sao zderzene w układze zwązany ze środke asy. Ops zderzena w układze środka asy Prostszy ops zjawska otrzyay w układze środka asy: (55) 6

5 Przed zderzene s.. M, u M, u s.. θ M, u ' po zderzenu M, u ' Prędkośc cząstek przed zderzene w układze środka asy oznaczay jako u u, zaś po zderzenu jako u u. Środek asy jest neruchoy w układze środka asy, węc oczywste są następujące równana: M u M u M u ' M u Ponadto, jeśl zderzene jest spręŝyste (energa knetyczna jest zachowana), to: ' (56) Stosując do powyŝszej relacj Równ. (56), otrzyujey: Z równana powyŝszego dostajey: czyl: (gdyŝ rozwaŝay tutaj tylko wartośc bezwzględne prędkośc). (57a) Ponadto, z Równ. 56 otrzyujey natychast: (57b) Wdzy, Ŝe wartość (oduł) prędkośc kaŝdej z cząstek pozostaje nezenona po zderzenu. Uzyskalśy tutaj wynk na prędkośc końcowe, wyraŝone w układze środka asy. Paętać trzeba, Ŝe prowadząc oblczena w układze środka asy, usy przelczyć prędkośc z układu laboratoryjnego do układu środka asy, zaś na końcu trzeba zrobć transforację w odwrotna stronę (tzn. z układu środka asy do układu laboratoryjnego). Wzory transforacyjne są ntucyjne oczywste: 7

6 v u + V v ' u ' + V ; ; v u v ' u ' + V + V (58) Równ uoŝlwają wylczene wartośc prędkośc po zderzenu. Pozostaje jeszcze znaleźć kąt θ (zakładay, Ŝe kąt jest znany θ ; określa on warunk zderzena necentralnego). Przeprowadzając proste rozwaŝana geoetryczne, oŝna wykazać, Ŝe 0 θ π oraz, Ŝe zwązek ędzy θ a θ jest następujący: tgθ snθ cosθ + M / M (59) 8