POLITECHNIKA WROCŁAWSKA WYDZIAŁ ELEKTRONIKI. Zakład Teorii Obwodów ANALOGOWA. Zbigniew Świętach dr inż.
|
|
- Weronika Witek
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 POLITECHNIKA WROCŁAWSKA WYDZIAŁ ELEKTRONIKI Zakład Teorii Obwodów TECHNIKA ANALOGOWA Zbigniew Świętach dr inż.
2 Czwórniki - program wykładu Koncepcja czwórnika Równania czwórnika, parametry własne czwórnika Przykłady wyznaczania parametrów własnych Własności czwórników: pasywność, odwracalność, symetria Czwórniki równoważne, przykłady Połączenia czwórników, przykłady Parametry robocze, przykłady
3 Koncepcja czwórnika 3 Czwórnik układ czterozaciskowy, który komunikuje się z otoczeniem wyłącznie za pomocą zacisków (węzłów) zgrupowanych w pary. W obrębie każdej pary węzłów, prąd wpływający do jednego węzła jest równy prądowi wypływającemu z drugiego węzła (regularność).
4 Koncepcja czwórnika 4 Regularność nie jest cechą własną czwórnika, zależy ona od sposobu włączenia czwórnika w sieć elektryczną. Czwórniki nie stanowią podzbioru układów czterozaciskowych. Ten sam układ czterozaciskowy może być w niektórych sieciach włączony regularnie, a w innych już nie. Przykład: Połączenie regularne układu czterozaciskowego Połączenie nieregularne układu czterozaciskowego
5 Czwórniki podział funkcjonalny: Koncepcja czwórnika czwórniki źródłowe zawierają autonomiczne źródła sygnałów (prądu lub napięcia); czwórniki źródłowe zazwyczaj pełnią funkcje generatorów (źródeł sygnałów) czwórniki finalne mogą lecz nie muszą zawierać autonomiczne źródła sygnałów (prądu lub napięcia); czwórniki finalne zazwyczaj pełnią funkcje obciążeń (odbiorników sygnałów) 5 czwórniki transmisyjne nie zawierają autonomicznych źródeł sygnałów (prądu lub napięcia); czwórniki transmisyjne pełnią funkcje transmisji sygnałów Dalej rozważane będą tylko stabilne czwórniki transmisyjne SLS. Czwórniki te złożone są tylko z elementów RLCM i/lub źródeł sterowanych tak dobranych, że zachowana jest stabilność analizowanych obwodów.
6 Koncepcja czwórnika Fizycznie realizowalne układy są BIBO stabilne. Dopuszczenie do rozważań układów stabilnych (posiadających co najwyżej jednokrotne bieguny na osi urojonej płaszczyzny s ) jest jednak konieczne od kiedy wykorzystujemy w analizie elementy bezstratne, np. kondensatory i induktory. 6 Układ stabilny lecz nie BIBO stabilny Układ BIBO stabilny (znaczna komplikacja modelu)
7 Koncepcja czwórnika Założenia przyjęte przy analizowaniu układów SLS (czwórników) metodą operatorowego przekształcenia Laplace a: 7 dowolne transmitancje (immitancje) układu nie posiadają biegunów w prawej półpłaszczyźnie płaszczyzny zespolonej s jeżeli istnieją bieguny na osi urojonej, to są one jednokrotne rozważane układy (czwórniki) nie zawierają autonomicznych źródeł sygnałów (napięciowych i prądowych) Komentarz: założenie bezźródłowości czwórnika jest jednocześnie założeniem zerowych warunków początkowych przy analizie układów metodą przekształcenia Laplace a. Współczynniki sterowania źródeł sterowanych przyjmują takie wartości, aby stabilność czwórnika została zachowana.
8 Cztery zaciski czwórnika można zestawić w pary na 6 sposobów. Równania czwórnika 4 = 6 8 Oznacza to, że czwórnik można opisać za pomocą 6 różnych macierzy. Generalnie dla ustalonego czwórnika część z tych macierzy może nie być dobrze określona, np. z powodu wystąpienia dzielenia przez zero w definicji elementów macierzy. Definicje wzmiankowanych macierzy zostaną podane w terminach przekształcenia Laplace a. Dalsze rozważania będą jednak przeprowadzane za pomocą metody symbolicznej (czwórniki stabilne SLS, pozostające w stanie ustalonym w warunkach pobudzenia sinusoidalnego). Taki sposób omawiania tematyki czwórników wydaje się być najlepiej dostosowany do wykonywania ćwiczeń laboratoryjnych dotyczących właśnie czwórników.
9 Równania czwórnika Równania admitancyjne (parametry własne, zwarciowe) I s = Y s U s I s U s y s y s I s =, U s =, Y s = I s U s y s y s 9 Równania impedancyjne (parametry własne, rozwarciowe) U s = Z s I s U s I s z s z s U s =, I s =, Z s = U s I s z s z s Jeżeli istnieją odpowiednie Y s = Z s, Z s = Y s macierze odwrotne, wówczas:
10 Równania czwórnika Równania hybrydowe (parametry własne, rozwarciowo - zwarciowe) U ( s ) I s s, s h s h s = H H = I s U s h s h s Równania hybrydowe odwrotne (parametry własne, zwarciowo - rozwarciowe) I ( s ) U s s, s g s g s = G G = U s I s g s g s Jeżeli istnieją odpowiednie H s = G s, G s = H s macierze odwrotne, wówczas: 0
11 Równania czwórnika Równania łańcuchowe (parametry własne, transmisyjne odwrotne) U ( s ) U s s, s a s a s = A A = I s I s a s a s Równania łańcuchowe odwrotne (parametry własne, transmisyjne) U ( s ) U s s, s b s b s = B B = I s I s b s b s Jeżeli istnieją odpowiednie A s = B s, B s = A s macierze odwrotne, wówczas:
12 Opis czwórnika w metodzie symbolicznej Przejście od analizy układu metodą przekształcenia Laplace a do analizy układu metodą symboliczną nie jest tak oczywiste jak się wydaje. Jeżeli założymy BIBO stabilność układu, wówczas przy dowolnych warunkach początkowych w chwili komutacji (wyłączenie dotychczas działających w układzie źródeł sygnałów i włączenie źródła sygnału sinusoidalnego), układ po dostatecznie długim czasie (zazwyczaj po nieskończenie długim czasie) znajdzie się w stanie ustalonym. W tym wypadku zamiana zmiennej przez podstawienie s jω jest uzasadniona bez żadnych dodatkowych ograniczeń. W układach stabilnych lecz nie BIBO stabilnych, których rozważanie jest konieczne ze względu na stosowanie elementów bezstratnych, stan ustalony może nigdy nie wystąpić.
13 Opis czwórnika w metodzie symbolicznej Przykład: 3 z I z = /, ω = ( ω / ( ω )) U = I R + j L LC 3 U = j = e 3 3 u t j arctan 3 3 = sin t arctan 3 3 Otrzymano wynik końcowy, sukces?...nie, w tym przypadku w układzie nie wystąpi stan ustalony. Rozpatrzmy ponownie ten przykład posługując się przekształceniem Laplace a.
14 Opis czwórnika w metodzie symbolicznej Przykład: I z ( s ) = / z ( ( / )) U = I R + sl + s LC U U = ( s + s + ) ( s + 4)( s + ) s / 3 s / 3 = + s + 4 s + 3 u ( t ) = sin t arctan cos ( t ), t > 3 3 Rozwiązaniem problemu jest odpowiedni wybór warunków początkowych.
15 Opis czwórnika w metodzie symbolicznej Przykład: 5 Wynik: s / 3 3 U = u ( t ) = sin t arctan, t > 0 s Składowa swobodna rozwiązania nie wystąpiła, stan ustalony został osiągnięty w chwili t=0 +.
16 Opis czwórnika w metodzie symbolicznej 6 Otrzymany rezultat można uogólnić na dowolny stabilny obwód SLS, w którym pulsacja źródeł sygnałów sinusoidalnych po komutacji jest różna od biegunów rozpatrywanej transmitancji (immitancji) położonych na osi urojonej płaszczyzny zespolonej s. W stabilnym obwodzie SLS spełniającym powyższe założenie można zawsze dobrać warunki początkowe, tak aby po komutacji nie wystąpiła składowa swobodna rozwiązania. Obwód znajdzie się w stanie ustalonym dla pobudzeń sinusoidalnych o ustalonej pulsacji już w czasie t=0 +. Wówczas podstawienie s jω ma sens fizyczny i jest poprawne. Komentarz: oczywiście w praktyce nie ma potrzeby obliczania explicite wzmiankowanych warunków początkowych, ważne, że w układzie stabilnym SLS spełniającym założenie dotyczące pulsacji źródeł sygnałów, zawsze można osiągnąć stan ustalony.
17 Opis czwórnika w metodzie symbolicznej Pozostaje do rozpatrzenia ostatni przypadek, kiedy w stabilnym układzie SLS pulsacja źródeł sygnałów sinusoidalnych po komutacji jest identyczna z co najmniej jednym biegunem rozpatrywanej transmitancji (immitancji) położonym na osi urojonej płaszczyzny zespolonej s. Przykład: 7
18 Opis czwórnika w metodzie symbolicznej Wynik: U s = + ( s + ) u s + i C 0 L0 + u t = 0.5tsin t + u cos t + i sin t, t > 0 s C 0 L0 8 Analizowany obwód zachowuje się jak obwód niestabilny, niezależnie od wyboru warunków początkowych. Otrzymany rezultat jest generalną cechą układów stabilnych SLS, które nie są stabilne w sensie BIBO. Podsumowanie W układach stabilnych można stosować metodę symboliczną oraz stosować podstawienie s jω dla wszystkich pulsacji, z wyłączeniem pulsacji biegunów rozpatrywanej transmitancji (immitancji) położonych na osi urojonej płaszczyzny zespolonej s.
19 Opis czwórnika w metodzie symbolicznej Układy stabilne SLS, pobudzenie sinusoidalne, stan ustalony: s jω, ω R ω, ω,..., ω + { } b b bm U s U, I s I U s U, I s I Y s = Y, Z s = Z s= jω s= jω H s = H, G s = G s= jω s= jω A s = A, B s = B s= jω s= jω 9 W metodzie symbolicznej macierze czwórników są macierzami liczbowymi o wartościach zależnych od wybranej pulsacji ω.
20 Zależności pomiędzy macierzami czwórników 0 Stan ustalony, układy stabilne SLS, pobudzenie sinusoidalne.
21 Przykład wyznaczania zależności z tabeli A Y ) ) 3) 4) U = a U a I I = a U a I I = U / a + a / a U I = a U a U / a + a / a U I = U / a + a / a U I = a / a U + ( a a a / a ) U I = a / a U a a a a / a U I = U / a + a / a U
22 Przykład wyznaczania zależności z tabeli A Y I = a / a U ( a a a a ) / a U I = U / a + a / a U Y a det, det = = aa a a a a A A Powyższe przekształcenie istnieje jeżeli ma sens matematyczny, tzn. a 0.
23 Wyznaczanie parametrów własnych czwórnika 3 Parametry własne czwórnika są to elementy omawianych poprzednio macierzy czwórników. Przyjmujemy następujące oznaczenia: I U = 0, I = 0 = 0, U = 0 oznacza odpowiednio, rozwarcie węzłów AA, BB oznacza odpowiednio, zwarcie węzłów AA, BB Wejście czwórnika nazwa funkcjonalna, dotyczy wrót, do których aktualnie dołączony jest generator, tzn. wrót AA lub BB. Wyjście czwórnika nazwa funkcjonalna, dotyczy wrót, do których aktualnie dołączone jest obciążenie, tzn. wrót AA lub BB. Uwaga, zwarcie i rozwarcie traktowane jest również jako specyficzne obciążenie czwórnika.
24 Wyznaczanie parametrów własnych czwórnika 4 Metoda wykorzystująca bezpośrednio definicję macierzy czwórnika A =? ) I = 0 rozwarcie węzłów BB U U I U = + jω RC j ω CU = + jω RC a = = + j RC = + j U I = 0 I a = = j C = j U I = 0 ω ω
25 Wyznaczanie parametrów własnych czwórnika 5 Metoda wykorzystująca bezpośrednio definicję macierzy czwórnika ) U = 0 zwarcie węzłów BB ( ω ) a = = R LC + j L = + j I U = 0 a U I ω ω I = U R + jωl / LC ( ω ) I U ω LC R ω LC + jωl I = = ( ) + j + j A= j = = LC = I ( A) U = 0 det =
26 Wyznaczanie parametrów własnych czwórnika 6 Przekształcanie równań metody MPO ωl =, R=, α = 3 H=? ( ω ) ( α ) ( α ) ( ω ) / ( α ) / ( α ) ( α ) U = jωli + R + R U I0 = I + I I = I + U / + R U = I0 + R = + R I + I ) 3) ) U = I R+ j L + RI U = I R+ j L + RI I = I + U + R
27 Wyznaczanie parametrów własnych czwórnika 7 Przekształcanie równań metody MPO H=? H U = jωli + R / ( α + R) U I = I + U / α + R U I = I H U jωl R / ( α + R) j 0.4 = = / ( α R + ) 0.
28 Wyznaczanie parametrów własnych czwórnika 8 Przekształcanie równań metody MPV ωc R =, R = = 0.5, β = 3 Y =? ) I = / R + jωc U jωcu βi + I = jωcu + ( / R + jωc ) U I = / R + jωc U jωcu ) I = ( β / R + jωc ( + β) ) U + ( / R + jωc ( + β) ) U
29 Wyznaczanie parametrów własnych czwórnika 9 Przekształcanie równań metody MPV ωc R =, R = = 0.5, β = 3 Y =? I U I = / R + jωc U jωcu = Y, I U I = ( β / R + jωc ( + β) ) U + ( / R + jωc ( + β) ) U / R + jωc jωc + j j Y = ( / R ) ( ) = β jωc β / R jωc β j + 8j
30 Wyznaczanie parametrów własnych czwórnika 30 Przekształcanie równań metody MPV Dany jest obwód z tranzystorem (model małosygnałowy) pracującym w układzie OB. Należy wyznaczyć macierz admitancyjną tego obwodu. G G = 0 S, G = 0 S 3 = 0 S, G = 5 0 S α = 0.99 Y =?
31 Wyznaczanie parametrów własnych czwórnika 3 Przekształcanie równań metody MPV I = GU GU 3 α I + I = G3 + G4 U GU 3 3 αi = GU GU + ( G + G + G ) U równanie dla węzła nr równanie dla węzła nr równanie dla węzła nr 3
32 Wyznaczanie parametrów własnych czwórnika 3 Przekształcanie równań metody MPV I G 0 G U αi + I = 0 G + G G U αi G G3 G G G 3 U Równanie macierzowe zostanie zredukowane metodą eliminacji Gaussa
33 Wyznaczanie parametrów własnych czwórnika 33 Przekształcanie równań metody MPV Do równania dodano stronami równanie pomnożone przez -α oraz do równania 3 dodano stronami równanie pomnożone przez α: I G 0 G U I = αg G 3 + G 4 G 3 αg U 0 G α G3 G α G G 3 U Następnie zredukowano węzeł nr 3: nowe y = y y y / y ij ij in nj nn i, j =,, n = 3
34 Wyznaczanie parametrów własnych czwórnika 34 Wyznaczanie macierzy admitancyjnej ( α ) ( α ) y G G + G + G 3 y y G = G G 3 = ( α ) + + G ( α )( + α ) ( α ) + + ( G + αg ) G ( α ) G G G 3 α 50.5 ms 0.50 ms G G G 3 = G G G3 3 3 y G3 G4 G + G + G 3 = ms 0.05 ms Y y y = y y ms
35 Czwórniki zdegenerowane Para przewodników 0 A = B = H =, G = 0 0 Macierze Y, Z nie istnieją. 35 Mostek z przewodników 0 A = B = H =, G = 0 0 Macierze Y, Z nie istnieją.
36 Zwarcie dwustronne Czwórniki zdegenerowane 36 Z 0 0 = 0 0 Pozostałe macierze nie istnieją. Rozwarcie dwustronne Y 0 0 = 0 0 Pozostałe macierze nie istnieją.
37 Zwarcie/rozwarcie Czwórniki zdegenerowane 37 H 0 0 = 0 0 Pozostałe macierze nie istnieją. Rozwarcie/zwarcie G 0 0 = 0 0 Pozostałe macierze nie istnieją.
38 Czwórnik typu T Podstawowe czwórniki SLS Z z = = z = Z Z3 + Z z z Z + Z Z 38 Czwórnik typu PI y y Y = = y y Y + Y Y = Y Y3 + Y
39 Czwórnik typu G Podstawowe czwórniki SLS y y Y = = y y Y Y = Y Y3 + Y 39 Czwórnik mostkowy (krzyżowy) z z Z = = z z = Z + Z + Z + Z 3 4 Z + Z Z + Z Z Z Z Z Z3Z 4 ZZ ( Z + Z3 )( Z + Z 4 )
40 Podstawowe czwórniki SLS Transformator idealny n 0 / n 0 A =, B = 0 / n 0 n 0 n 0 / n H =, G = n 0 / n 0 Stała n przekładnia transformatora (liczba rzeczywista). Macierze Y, Z nie istnieją. 40 U = nu I I n Z n Z Z = U I U = / = = 0 I 0 /
41 Żyrator Podstawowe czwórniki SLS R rezystancja żyracji 4 Macierze H, G nie istnieją. 0 R A = B = / R 0 0 R 0 / R Z =, Y = R 0 / R 0 U = RI I = U / R Z = U / I Z 0 U I = = R Z 0
42 Żyrator Podstawowe czwórniki SLS Realizacja induktora 4 Energia dostarczona do układu: = = / u t i t R i t u t R i t = Cdu t / dt Z = du ( t ) ( t ) u t i t = Cu = dt di ( t ) = CR dt R =, Z 0 = Z 0 Z = jωcr = jω L L = CR t jωc ε t = u τ i τ dτ = i ( t) 0 ( τ ) ( τ ) = CR i di = ( t ) = 0.5CR i 0
43 Przykład doskonałej degeneracji czwórnika 43 Nullor - realizacja za pomocą żyratorów i ujemnych rezystancji. 0 0 U 0 I = 0 U 0 0 I U U = 0, I = 0, I - wartośći arbitralne We wrotach AA czwórnik jest jednocześnie zwarty i rozwarty. We wrotach BB prąd i napięcie są dowolne i niezwiązane ze sobą. Nie istnieje żadna macierz dla takiego czwórnika. Nullor jest przykładem czwórnika aktywnego.
44 Podstawowe czwórniki SLS Idealne źródło prądu sterowane napięciem 44 A 0 / α 0 0 =, Y = 0 0 α 0 Idealne źródło prądu sterowane prądem A =, H = 0 / α α 0
45 Podstawowe czwórniki SLS Idealne źródło napięcia sterowane napięciem 45 A / β =, G = 0 0 β 0 Idealne źródło napięcia sterowane prądem A =, Z = / β 0 β 0
46 Odwracalność obwodów ) Niech w gałęzi (m) obwodu działa pobudzenie napięciowe e (t), natomiast w gałęzi (n) obwodu mierzona jest reakcja, prąd i (t). 46 ) Następnie z gałęzi (m) usunięto pobudzenie napięciowe e (t), po czym w gałąź (n) włączono pobudzenie napięciowe e (t). W gałęzi (m) obwodu mierzona jest teraz reakcja, prąd i (t).
47 Odwracalność obwodów Obwód jest odwracalny ze względu na pobudzenia napięciowe, jeżeli dla wszystkich dopuszczalnych par sygnałów { e ( t ), i ( t )}, e ( t ), i ( t ) { } i dla wszystkich gałęzi obwodu spełniona jest implikacja: 47 t D, e t = e t i t = i t Analogiczną definicję można sformułować dla pobudzeń prądowych. Definicja - obwód nazywamy odwracalnym jeśli jest odwracalny ze względu na pobudzenia napięciowe i pobudzenia prądowe. Obwód odwracalny jest symetryczny energetycznie, co oznacza, że energia sygnałów jest jednakowo przenoszona z gałęzi (m) do (n) i odwrotnie.
48 Przykład Odwracalność obwodów 48 Uwaga: prąd płynący przez rezystor R 3 nie jest taki sam w układach ) i ). Żyratory i źródła sterowane zazwyczaj naruszają odwracalność, jednak zależy to od sposobu włączenia ich do układu i od współczynników sterowania źródeł. Elementy nieliniowe również przeważnie psują odwracalność. Jedynie nieliniowe elementy bilateralne nie naruszają odwracalności.
49 Odwracalność obwodów F i, u = 0 Niech funkcja jest charakterystyką prądowo-napięciową nieliniowego dwójnika rezystancyjnego. Dwójnik nazywamy bilateralnym jeżeli równanie F ( i, u ) = 0 jest nadal spełnione. Opis dwójnika bilateralnego nie zmieni się przy jednoczesnej zmianie zwrotów prądu i napięcia na tym dwójniku. 49 Przykład = 3 = i t u t = - dwójnik bilateralny i t u t - dwójnik unilateralny Analogicznie definiuje się bilateralność dla dwójników pojemnościowych i indukcyjnych F ( q, u ) = 0 F ( i) ψ, = 0 Odwracalność obwodów wynika z odwracalności oddziaływań elektromagnetycznych w ośrodkach bilateralnych (w szczególności w ośrodkach liniowych zasada wzajemności).
50 Symetria obwodów Obwody symetryczne są szczególnym przypadkiem obwodów odwracalnych. Rozważamy ponownie przenoszenie sygnałów w obwodach odwracalnych: 50 t D, e t = e t i t = i t Obwód odwracalny: Obwód symetryczny: i t = i t t D, e t = e t ia t = ib t
51 Symetria obwodów Obwody symetryczne charakteryzują się tym, że można narysować ich schemat elektryczny, tak aby posiadał on oś symetrii (z uwzględnieniem wartości elementów). 5 Przykład Prąd płynący przez rezystor R 3 jest taki sam w układach ) i ) i jest równy 0.5 A.
52 Odwracalność, symetria czwórnika Odwracalność czwórnika implikuje dodatkowe zależności w macierzach Y H y = y, Z z = z h = h, G g = g opisujących taki czwórnik: 5 A det A =, B det B = Czwórnik symetryczny jest szczególnym przypadkiem czwórnika odwracalnego: Y H A y = y z = z, Z y = y z = z h = h g = g, G det ( H) = det ( G ) = det ( A) = det ( B) =, B a = a b = b
53 Odwracalność czwórnika typu RLCMT 53 Analizując sieci złożone tylko z elementów RLCMT i pobudzeń autonomicznych, okazuje się, że macierze Y metody MPV i macierze Z metody MPO są zawsze symetryczne niezależnie od wyboru zmiennych metody. Oznacza to, że sieci złożone z tej klasy elementów są odwracalne. Ważna własność : R rezystory L induktory C kondensatory Jeżeli czwórnik zbudowany został wyłącznie z elementów klasy RLCMT, to jest on odwracalny. M induktory sprzężone polem magnetycznym T transformatory idealne Uwaga żyrator (Ż) i źródła sterowane są najprostszymi modelami czwórników nieodwracalnych.
54 Pasywność w obwodach Niech poniższe wektory wierszowe złożone są odpowiednio ze wszystkich dopuszczalnych prądów i napięć gałęziowych w danym obwodzie i t = i t,..., i t, u t = u t,..., u t. n n 54 Całka oznaczona: t ( t ) = u i wyraża energię zgromadzoną w obwodzie do chwili t (apostrof ε = u τ i τ d τ oznacza transpozycję wektora). Definicja obwód nazywamy t D, ε t 0. pasywnym jeżeli: Definicja obwód nazywamy t D, ε t > 0. ściśle pasywnym jeżeli:
55 Bezstratność w obwodach Niech poniższe wektory wierszowe złożone są odpowiednio ze wszystkich dopuszczalnych prądów i napięć gałęziowych w danym obwodzie i t = i t,..., i t, u t = u t,..., u t. n n Rozważania ograniczamy do prądów i napięć całkowalnych z kwadratem, czyli do sygnałów o ograniczonej energii, tzn. Powyższe założenie implikuje, że każdy prąd i napięcie dąży do zera dla t ±. u d i 55 τ τ <, τ dτ <. Pasywny obwód jest bezstratny, wówczas gdy całkowita energia w nim zgromadzona jest równa zero. Definicja pasywny obwód nazywamy bezstratnym jeżeli: τ, τ τ τ τ 0. u i u i d =
56 Pasywność i bezstratność w obwodach 56 Przykłady poniższe własności można udowodnić korzystając bezpośrednio z definicji pasywności i bezstratności. Rezystor dwójnik ściśle pasywny. Kondensator, induktor dwójniki bezstratne. Zwarcie, rozwarcie dwójniki bezstratne. Induktory sprzężone czwórnik bezstratny. Transformator idealny i żyrator czwórniki bezstratne. Źródła autonomiczne prądu i napięcia dwójniki aktywne. Źródła sterowane prądu i napięcia dwójniki aktywne. Obwody bezstratne są idealizacją obwodów rzeczywistych, są przypadkiem granicznym, oddzielającym klasę układów pasywnych od układów aktywnych. Formalnie obwody bezstratne są jednak obwodami pasywnymi.
57 Pasywność i bezstratność czwórnika Energia jest funkcją addytywną stanu układu fizycznego. Wnioskujemy zatem, że każda sieć elektryczna zbudowana z obwodów pasywnych jest siecią pasywną. 57 Ważna własność : Jeżeli czwórnik zbudowany został wyłącznie z elementów klasy RLCMTŻ, to jest on pasywny. Jeżeli czwórnik zawiera źródła sterowane, to może lecz nie musi być czwórnikiem aktywnym. Określenie pasywności czwórnika na podstawie jego schematu lub na podstawie zadanej macierzy jest generalnie dość złożone. Badanie pasywności czwórnika sprowadza się do wykonania szeregu żmudnych i niestety niewygodnych obliczeniowo działań przeprowadzanych na macierzy danego czwórnika.
58 Pasywność i bezstratność czwórnika Niech macierz D(s) jest jedną z macierzy czwórnika: Y(s), Z(s), H(s) lub G(s). 58 Twierdzenie macierz D(s) jest macierzą czwórnika pasywnego SLS, wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona wymierną macierzą rzeczywistą dodatnią. Twierdzenie wymierną macierz rzeczywistą dodatnią D(s) można zrealizować jako jedną z macierzy Y(s), Z(s), H(s) lub G(s) czwórnika pasywnego SLS. Definicja macierz nazywamy wymierną i rzeczywistą jeżeli jest ona macierzą funkcji wymiernych zmiennej zespolonej s i funkcje te posiadają wyłącznie rzeczywiste współczynniki.
59 Pasywność i bezstratność czwórnika Definicja wymierna i rzeczywista macierz D(s) jest dodatnia jeżeli: 59 ) Żaden element macierzy D(s) nie ma biegunów dla Re(s)>0. ) Jeżeli elementy macierzy D(s) mają bieguny na osi urojonej s=jω, to są one jednokrotne, o macierzy residuów m lim ( ω ) { } K D D k m m = res s = s j bm s = s jωbm s jωbm km km obliczanej w każdym z biegunów sm = jωbm, m =,,..., M. Macierz K m jest macierzą liczbową, taką, że k = k, k 0, k 0, k k k k 0 m m m m m m m m k
60 Pasywność i bezstratność czwórnika Definicja wymierna i rzeczywista macierz D(s) jest dodatnia jeżeli: 60 3) Macierz D H (ω) (apostrof oznacza transpozycję) D D D ( ω ) ( s) ( s) { } ( ω ) d ( ω ) ( ω ) d ( ω ) H = + = s= jω d zwana częścią hermitowską macierzy D(s) spełnia następujące warunki dla każdej pulsacji ω R ( ω ) ( ω ) ( ω ) ( ω ) d ( ω ) d ( ω ) d ( ω ) d ( ω ) d = d, d 0, d 0 d 0 Jeżeli macierz D(s) jest wymierna, rzeczywista i dodatnia, to własności te posiadają również macierze: D ( s, D s ) α D ( s), α > 0.
61 Uwagi: Pasywność i bezstratność czwórnika 6 Macierz D(s) czwórnika BIBO stabilnego SLS nie ma biegunów na osi urojonej s=jω. Wówczas wystarczy testować warunek 3) definicji, który jest równoważny następującej nierówności { } ω R Re U I + U I 0 sprawdzanej za pomocą metody symbolicznej. Nierówności tej nie można stosować zamiennie z warunkiem 3) w przypadku czwórnika stabilnego SLS, ponieważ nie wszystkie pulsacje są wówczas dopuszczalne w metodzie symbolicznej. Warunek ) jest zazwyczaj oczywisty i przeważnie od razu widać, czy jest on spełniony. Generalnie test warunku ) sprowadza się do zastosowania jednego z algebraicznych kryteriów stabilności wielomianów, np. kryterium Routha-Hurwitza lub kryterium rozkładu funkcji wymiernej w ułamek łańcuchowy.
62 Pasywność i bezstratność czwórnika 6 Macierz D(s) bezstratnego czwórnika stabilnego SLS jest macierzą wymierną, rzeczywistą i dodatnią, dla której D H (ω) 0. Przykład K Z s R + / ( sc) R = R R / C 0 R R =, Z H = 0 0 R R R R R = 0 i C > 0 > 0 i C > 0 < 0 lub C < 0 czwórnik bezstratny (i zdegenerowany) czwórnik pasywny czwórnik aktywny
63 Przykład Pasywność i bezstratność czwórnika 63 Y G = G = G3 = G + G G = = G β β G G β G β β β = β β 0 0 β 0, β + β = 3 > 0 czwórnik odwracalny, symetryczny i pasywny czwórnik nieodwracalny czwórnik pasywny
64 Koniec 64
u (0) = 0 i(0) = 0 Obwód RLC Odpowiadający mu schemat operatorowy E s 1 sc t = 0 i(t) w u R (t) E u C (t) C
Obwód RLC t = 0 i(t) R L w u R (t) u L (t) E u C (t) C Odpowiadający mu schemat operatorowy R I Dla zerowych warunków początkowych na cewce i kondensatorze 1 sc sl u (0) = 0 C E s i(0) = 0 Prąd I w obwodzie
Bardziej szczegółowoObwody prądu zmiennego
Obwody prądu zmiennego Prąd stały ( ) ( ) i t u t const const ( ) u( t) i t Prąd zmienny, dowolne funkcje czasu i( t) t t u ( t) t t Natężenie prądu i umowny kierunek prądu Prąd stały Q t Kierunek poruszania
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podsta Automatyki Transmitancja operatorowa i widmowa systemu, znajdowanie odpowiedzi w dziedzinie s i w
Bardziej szczegółowoWłasności i charakterystyki czwórników
Własności i charakterystyki czwórników nstytut Fizyki kademia Pomorska w Słupsku Cel ćwiczenia. Celem ćwiczenia jest poznanie własności i charakterystyk czwórników. Zagadnienia teoretyczne. Pojęcia podstawowe
Bardziej szczegółowoLaboratorium Wirtualne Obwodów w Stanach Ustalonych i Nieustalonych
ĆWICZENIE 1 Badanie obwodów jednofazowych rozgałęzionych przy wymuszeniu sinusoidalnym Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest Poznanie podstawowych elementów pasywnych R, L, C, wyznaczenie ich wartości na
Bardziej szczegółowoprzy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0
MODELE MATEMATYCZNE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Podstawową formą opisu procesów zachodzących w członach lub układach automatyki jest równanie ruchu - równanie dynamiki. Opisuje ono zależność wielkości fizycznych,
Bardziej szczegółowoInduktor i kondensator. Warunki początkowe. oraz ciągłość warunków początkowych
Termin AREK73C Induktor i kondensator. Warunki początkowe Przyjmujemy t, u C oraz ciągłość warunków początkowych ( ) u ( ) i ( ) i ( ) C L L Prąd stały i(t) R u(t) u( t) Ri( t) I R RI i(t) L u(t) u() t
Bardziej szczegółowoTeoria obwodów / Stanisław Osowski, Krzysztof Siwek, Michał Śmiałek. wyd. 2. Warszawa, Spis treści
Teoria obwodów / Stanisław Osowski, Krzysztof Siwek, Michał Śmiałek. wyd. 2. Warszawa, 2013 Spis treści Słowo wstępne 8 Wymagania egzaminacyjne 9 Wykaz symboli graficznych 10 Lekcja 1. Podstawowe prawa
Bardziej szczegółowoZaliczenie wykładu Technika Analogowa Przykładowe pytania (czas zaliczenia minut, liczba pytań 6 8)
Zaliczenie wyładu Technia Analogowa Przyładowe pytania (czas zaliczenia 3 4 minut, liczba pytań 6 8) Postulaty i podstawowe wzory teorii obowdów 1 Sformułuj pierwsze i drugie prawo Kirchhoffa Wyjaśnij
Bardziej szczegółowo9. METODY SIECIOWE (ALGORYTMICZNE) ANALIZY OBWODÓW LINIOWYCH
OBWOD SGNAŁ 9. METOD SECOWE (ALGORTMCZNE) ANALZ OBWODÓW LNOWCH 9.. WPROWADZENE ANALZA OBWODÓW Jeżeli przy badaniu obwodu elektrycznego dane są parametry elementów i schemat obwodu, a poszukiwane są napięcia
Bardziej szczegółowoSYNTEZA obwodów. Zbigniew Leonowicz
SYNTEZA obwodów Zbigniew Leonowicz Literatura: [1]. S. Bolkowski Elektrotechnika teoretyczna. Tom I. WNT Warszawa 1982 (s.420-439) [2]. A. Cichocki, K.Mikołajuk, S. Osowski, Z. Trzaska: Zbiór zadań z elektrotechniki
Bardziej szczegółowoPrzyjmuje się umowę, że:
MODELE OPERATOROWE Modele operatorowe elementów obwodów wyprowadza się wykorzystując znane zależności napięciowo-prądowe dla elementów R, L, C oraz źródeł idealnych. Modele te opisują zależności pomiędzy
Bardziej szczegółowoCzęść 1. Transmitancje i stabilność
Część 1 Transmitancje i stabilność Zastosowanie opisu transmitancyjnego w projektowaniu przekształtników impulsowych Istotne jest przewidzenie wpływu zmian w warunkach pracy (m. in. v g, i) i wielkości
Bardziej szczegółowoIII. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi
Bardziej szczegółowoObwody elektryczne prądu stałego
Obwody elektryczne prądu stałego Dr inż. Andrzej Skiba Katedra Elektrotechniki Teoretycznej i Informatyki Politechniki Gdańskiej Gdańsk 12 grudnia 2015 Plan wykładu: 1. Rozwiązanie zadania z poprzedniego
Bardziej szczegółowoPodstawy Elektrotechniki i Elektroniki. Opracował: Mgr inż. Marek Staude
Podstawy Elektrotechniki i Elektroniki Opracował: Mgr inż. Marek Staude Część 2 Analiza obwodów w stanie ustalonym przy wymuszeniu sinusoidalnym Przypomnienie ostatniego wykładu Prąd i napięcie Podstawowe
Bardziej szczegółowoTEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM
TEOR OBWODÓW SGNŁÓW LBORTORM KDEM MORSK Katedra Telekomunikacji Morskiej ĆWCENE BDNE ÓW PSWNCH RESTNCJNCH. Cel ćwiczenia Doświadczalne wyznaczenie parametrów macierzowych pasywnych czwórników rezystancyjnych
Bardziej szczegółowoMetody analizy obwodów w stanie ustalonym
Metody analizy obwodów w stanie ustalonym Stan ustalony Stanem ustalonym obwodu nazywać będziemy taki stan, w którym charakter odpowiedzi jest identyczny jak charakter wymuszenia, to znaczy odpowiedzią
Bardziej szczegółowoTeoria obwodów elektrycznych / Stanisław Bolkowski. wyd dodruk (PWN). Warszawa, Spis treści
Teoria obwodów elektrycznych / Stanisław Bolkowski. wyd. 10-1 dodruk (PWN). Warszawa, 2017 Spis treści Przedmowa 13 1. Wiadomości wstępne 15 1.1. Wielkości i jednostki używane w elektrotechnice 15 1.2.
Bardziej szczegółowoELEKTRONIKA W EKSPERYMENCIE FIZYCZNYM
ELEKTRONIKA W EKSPERYMENCIE FIZYCZNYM D. B. Tefelski Zakład VI Badań Wysokociśnieniowych Wydział Fizyki Politechnika Warszawska, Koszykowa 75, 00-662 Warszawa, PL 28 lutego 2011 Stany nieustalone, stabilność
Bardziej szczegółowo10. METODY NIEALGORYTMICZNE ANALIZY OBWODÓW LINIOWYCH
OWODY SYGNŁY 0. MTODY NLGOYTMCZN NLZY OWODÓW LNOWYCH 0.. MTOD TNSFGUCJ Przez termin transfiguracji rozumiemy operację kolejnego uproszczenia struktury obwodu (zmniejszenie liczby gałęzi i węzłów), przy
Bardziej szczegółowo1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych
W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Stabilność O układzie możemy mówić, że jest stabilny gdy układ ten wytrącony ze stanu równowagi
Bardziej szczegółowoINDEKS ALFABETYCZNY CEI:2002
185 60050-131 CEI:2002 INDEKS ALFABETYCZNY A admitancja admitancja... 131-12-51 admitancja obciążenia... 131-14-06 admitancja pozorna... 131-12-52 admitancja robocza... 131-14-03 admitancja wejściowa...
Bardziej szczegółowoPodstawy Elektrotechniki i Elektroniki. Opracował: Mgr inż. Marek Staude
Podstawy Elektrotechniki i Elektroniki Opracował: Mgr inż. Marek Staude Część 1 Podstawowe prawa obwodów elektrycznych Prąd elektryczny definicja fizyczna Prąd elektryczny powstaje jako uporządkowany ruch
Bardziej szczegółowoRÓWNANIE RÓśNICZKOWE LINIOWE
Analiza stanów nieustalonych metodą klasyczną... 1 /18 ÓWNANIE ÓśNICZKOWE INIOWE Pod względem matematycznym szukana odpowiedź układu liniowego o znanych stałych parametrach k, k, C k w k - tej gałęzi przy
Bardziej szczegółowoĆwiczenie nr 8. Podstawowe czwórniki aktywne i ich zastosowanie cz. 1
Ćwiczenie nr Podstawowe czwórniki aktywne i ich zastosowanie cz.. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się ze sposobem realizacji czwórników aktywnych opartym na wzmacniaczu operacyjnym µa, ich
Bardziej szczegółowo42. Prąd stały. Prawa, twierdzenia, metody obliczeniowe
Prąd stały. Prawa, twierdzenia, metody obliczeniowe 42. Prąd stały. Prawa, twierdzenia, metody obliczeniowe Celem ćwiczenia jest doświadczalne sprawdzenie praw obowiązujących w obwodach prądu stałego,
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 3 BADANIE OBWODÓW PRĄDU SINUSOIDALNEGO Z ELEMENTAMI RLC
Ćwiczenie 3 3.1. Cel ćwiczenia BADANE OBWODÓW PRĄD SNSODANEGO Z EEMENTAM RC Zapoznanie się z własnościami prostych obwodów prądu sinusoidalnego utworzonych z elementów RC. Poznanie zasad rysowania wykresów
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowodr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Bardziej szczegółowo11. CZWÓRNIKI KLASYFIKACJA, RÓWNANIA
OBWODY SYGNAŁY Wkład : Czwórniki klasfikacja, równania. CZWÓRNK KLASYFKACJA, RÓWNANA.. WELOBEGNNK A WELOWROTNK CZWÓRNK Definicja. Jeśli: wielobiegunnik posiada parzstą liczbę zacisków (tzn. mn) zgrupowanch
Bardziej szczegółowoSterowane źródło mocy
Sterowane źródło mocy Iloczyn prądu i napięcia jest zawsze proporcjonalny (równy) do pewnej mocy p Źródła tego typu nie mogą być zwarte ani rozwarte Moc ujemna pochłanianie mocy W rozważanym podobwodzie
Bardziej szczegółowoBadanie stabilności liniowych układów sterowania
Badanie stabilności liniowych układów sterowania ver. 26.2-6 (26-2-7 4:6). Badanie stabilności liniowych układów sterowania poprzez analizę równania charakterystycznego. Układ zamknięty liniowy i stacjonarny
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2018 Wstęp Stabilność O układzie możemy mówić, że jest stabilny jeżeli jego odpowiedź na wymuszenie (zakłócenie)
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Stabilność - definicja 1 O układzie możemy mówić, że jest stabilny gdy wytrącony ze stanu równowagi
Bardziej szczegółowoObwody sprzężone magnetycznie.
POLITECHNIKA ŚLĄSKA WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA I ENERGETYKI INSTYTT MASZYN I RZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH LABORATORIM ELEKTRYCZNE Obwody sprzężone magnetycznie. (E 5) Opracował: Dr inż. Włodzimierz OGLEWICZ
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoWielkości opisujące sygnały okresowe. Sygnał sinusoidalny. Metoda symboliczna (dla obwodów AC) - wprowadzenie. prąd elektryczny
prąd stały (DC) prąd elektryczny zmienny okresowo prąd zmienny (AC) zmienny bezokresowo Wielkości opisujące sygnały okresowe Wartość chwilowa wartość, jaką sygnał przyjmuje w danej chwili: x x(t) Wartość
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012
1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie
Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e
Bardziej szczegółowoCzęść 4. Zagadnienia szczególne
Część 4 Zagadnienia szczególne a. Tryb nieciągłego prądu dławika Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, zima 2011/12 1 Model przetwornicy w trybie nieciągłego prądu DC DC+AC Napięcie
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 2 - podstawy matematyczne. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 2 - podstawy matematyczne Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Rzeczywiste obiekty regulacji, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe, n.p. turbulencje, wiele
Bardziej szczegółowo4. OBWODY LINIOWE PRĄDU STAŁEGO 4.1. ŹRÓDŁA RZECZYWISTE
OODY I SYGNŁY 1 4. OODY LINIOE PRĄDU STŁEGO 4.1. ŹRÓDŁ RZECZYISTE Z zależności (2.19) oraz (2.20) wynika teoretyczna możliwość oddawania przez źródła idealne do obwodu dowolnie dej mocy chwilowej. by uniknąć
Bardziej szczegółowoElektrotechnika teoretyczna
Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie RYSZARD SIKORA TOMASZ CHADY PRZEMYSŁAW ŁOPATO GRZEGORZ PSUJ Elektrotechnika teoretyczna Szczecin 2016 Spis treści Spis najważniejszych oznaczeń...
Bardziej szczegółowoDB Algebra liniowa semestr zimowy 2018
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Bardziej szczegółowoWykład 7 Transformata Laplace a oraz jej wykorzystanie w analizie stanu nieustalonego metodą operatorową część II
Wykład 7 Transformata aplace a oraz jej wykorzystanie w analizie stanu nieustalonego metodą operatorową część II Prowadzący: dr inż. Tomasz Sikorski Instytut Podstaw lektrotechniki i lektrotechnologii
Bardziej szczegółowoAutomatyka i robotyka
Automatyka i robotyka Wykład 5 - Stabilność układów dynamicznych Wojciech Paszke Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych, Uniwersytet Zielonogórski 1 z 43 Plan wykładu Wprowadzenie Stabilność modeli
Bardziej szczegółowoStabilność II Metody Lapunowa badania stabilności
Metody Lapunowa badania stabilności Interesuje nas w sposób szczególny system: Wprowadzamy dla niego pojęcia: - stabilności wewnętrznej - odnosi się do zachowania się systemu przy zerowym wejściu, czyli
Bardziej szczegółowoDr inż. Agnieszka Wardzińska 105 Polanka Konsultacje: Poniedziałek : Czwartek:
Dr inż. Agnieszka Wardzińska 105 Polanka agnieszka.wardzinska@put.poznan.pl cygnus.et.put.poznan.pl/~award Konsultacje: Poniedziałek : 8.00-9.30 Czwartek: 8.00-9.30 Impedancja elementów dla prądów przemiennych
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych ozważmy układ n równań liniowych o współczynnikach a ij z n niewiadomymi i : a + a +... + an n d a a an d a + a +... + a n n d a a a n d an + an +... + ann n d n an an a nn n d
Bardziej szczegółowoPlan wykładu. Własności statyczne i dynamiczne elementów automatyki:
Plan wykładu Własności statyczne i dynamiczne elementów automatyki: - charakterystyka statyczna elementu automatyki, - sygnały standardowe w automatyce: skok jednostkowy, impuls Diraca, sygnał o przebiegu
Bardziej szczegółowoDo podr.: Metody analizy obwodów lin. ATR 2003 Strona 1 z 5. Przykład rozwiązania zadania kontrolnego nr 1 (wariant 57)
o podr.: Metody analizy obwodów lin. T Strona z Przykład rozwiązania zadania kontrolnego nr (wariant 7) Zgodnie z tabelą Z- dla wariantu nr 7 b 6, c 7, d 9, f, g. Schemat odpowiedniego obwodu (w postaci
Bardziej szczegółowoSpis treści. Oznaczenia Wiadomości ogólne Przebiegi zwarciowe i charakteryzujące je wielkości
Spis treści Spis treści Oznaczenia... 11 1. Wiadomości ogólne... 15 1.1. Wprowadzenie... 15 1.2. Przyczyny i skutki zwarć... 15 1.3. Cele obliczeń zwarciowych... 20 1.4. Zagadnienia zwarciowe w statystyce...
Bardziej szczegółowo1 T. Sygnały. Sygnał okresowy f(t) Wartość średnia sygnału okresowego f(t) Sygnały f(t) Stałe. Zmienne f(t) const. Pulsujące Inne.
Sygnały Sygnały f(t) Stałe Zmienne f(t) const Pulsujące nne Zmieniające znak Zachowujące znak Oksowe Nieoksowe Odkształcone SNSODALNE nne Sygnał oksowy f(t) > t f ( t) f ( t + ) Wartość śdnia sygnału oksowego
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowoPodstawowe struktury algebraiczne
Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.
Bardziej szczegółowo5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Bardziej szczegółowoALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, MAT00405 PRZEKSZTAL CANIE WYRAZ EN ALGEBRAICZNYCH, WZO R DWUMIANOWY NEWTONA Uprościć podane wyrażenia 7; (b) ( 6)( + ); (c) a 5 6 8a ; (d) ( 5 )( 5 + ); (e) ( 45x 4 y
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...
Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x
Bardziej szczegółowoZajęcia nr. 3 notatki
Zajęcia nr. 3 notatki 22 kwietnia 2005 1 Funkcje liczbowe wprowadzenie Istnieje nieskończenie wiele funkcji w matematyce. W dodaktu nie wszystkie są liczbowe. Rozpatruje się funkcje które pobierają argumenty
Bardziej szczegółowoMet Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn
Metody numeryczne Wykład 3 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Pojęcia podstawowe Algebra
Bardziej szczegółowo3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.
1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne. Wykład 2. Płaszczyzna zespolona. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018)
Funkcje analityczne Wykład 2. Płaszczyzna zespolona Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018) Plan wykładu W czasie wykładu omawiać będziemy różne reprezentacje płaszczyzny zespolonej
Bardziej szczegółowoElementy elektroniczne i przyrządy pomiarowe
Elementy elektroniczne i przyrządy pomiarowe Cel ćwiczenia. Nabycie umiejętności posługiwania się miernikami uniwersalnymi, oscyloskopem, generatorem, zasilaczem, itp. Nabycie umiejętności rozpoznawania
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie
Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Procesy wykładniczego wzrostu i spadku (np populacja bakterii, rozpad radioaktywny, wymiana ciepła) można modelować równaniem
Bardziej szczegółowoPrzekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej
Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej Przygotowanie: Dariusz Pazderski Liniowe przekształcenie równania stanu Rozważmy liniowe równanie stanu i równanie wyjścia układu niesingularnego
Bardziej szczegółowoCZWÓRNIKI KLASYFIKACJA CZWÓRNIKÓW.
CZWÓRNK jest to obwód elektryczny o dowolnej wewnętrznej strukturze połączeń elementów, mający wyprowadzone na zewnątrz cztery zaciski uporządkowane w dwie pary, zwane bramami : wejściową i wyjściową,
Bardziej szczegółowoTransmitancje układów ciągłych
Transmitancja operatorowa, podstawowe człony liniowe Transmitancja operatorowa (funkcja przejścia, G(s)) stosunek transformaty Laplace'a sygnału wyjściowego do transformaty Laplace'a sygnału wejściowego
Bardziej szczegółowoMetodę poprawnie mierzonego prądu powinno się stosować do pomiaru dużych rezystancji, tzn. wielokrotnie większych od rezystancji amperomierza: (4)
OBWODY JEDNOFAZOWE POMIAR PRĄDÓW, NAPIĘĆ. Obwody prądu stałego.. Pomiary w obwodach nierozgałęzionych wyznaczanie rezystancji metodą techniczną. Metoda techniczna pomiaru rezystancji polega na określeniu
Bardziej szczegółowoUkład regulacji automatycznej (URA) kryteria stabilności
Układ regulacji automatycznej (URA) kryteria stabilności y o e G c (s) z z 2 u G o (s) y () = () ()() () H(s) oraz jego wartością w stanie ustalonym. Transmitancja układu otwartego regulacji: - () = ()
Bardziej szczegółowoPracownia Fizyczna i Elektroniczna 2014
Pracownia Fizyczna i Elektroniczna 04 http://pe.fw.ed.pl/ Wojciech DOMNK ozbłysk gamma GB 08039B 9.03.008 teleskop Pi of the Sky sfilmował najpotężniejszą eksplozję obserwowaną przez człowieka pierwszy
Bardziej szczegółowoRealizacja regulatorów analogowych za pomocą wzmacniaczy operacyjnych. Instytut Automatyki PŁ
ealizacja regulatorów analogowych za pomocą wzmacniaczy operacyjnych W6-7/ Podstawowe układy pracy wzmacniacza operacyjnego Prezentowane schematy podstawowych układów ze wzmacniaczem operacyjnym zostały
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą
Bardziej szczegółowo1 Macierze i wyznaczniki
1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)
Bardziej szczegółowoMetody rozwiązywania ob o w b o w d o ów ó w e l e ek e t k r t yc y zny n c y h
Metody rozwiązywania obwodów elektrycznych ozwiązaniem obwodu elektrycznego - określa się wyznaczenie wartości wszystkich prądów płynących w rozpatrywanym obwodzie bądź wartości wszystkich napięć panujących
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone i
Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 15 BADANIE WZMACNIACZY MOCY MAŁEJ CZĘSTOTLIWOŚCI
1 ĆWICZENIE 15 BADANIE WZMACNIACZY MOCY MAŁEJ CZĘSTOTLIWOŚCI 15.1. CEL ĆWICZENIA Celem ćwiczenia jest poznanie podstawowych właściwości wzmacniaczy mocy małej częstotliwości oraz przyswojenie umiejętności
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne: Elektrotechnika i elektronika. Klasa: 1Tc TECHNIK MECHATRONIK. Ilość godzin: 4. Wykonała: Beata Sedivy
Wymagania edukacyjne: Elektrotechnika i elektronika Klasa: 1Tc TECHNIK MECHATRONIK Ilość godzin: 4 Wykonała: Beata Sedivy Ocena Ocenę niedostateczną uczeń który Ocenę dopuszczającą Wymagania edukacyjne
Bardziej szczegółowoĆ w i c z e n i e 1 POMIARY W OBWODACH PRĄDU STAŁEGO
Ć w i c z e n i e POMIAY W OBWODACH PĄDU STAŁEGO. Wiadomości ogólne.. Obwód elektryczny Obwód elektryczny jest to układ odpowiednio połączonych elementów przewodzących prąd i źródeł energii elektrycznej.
Bardziej szczegółowoDefinicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń
Bardziej szczegółowoWłasności wyznacznika
Własności wyznacznika Rozwinięcie Laplace a względem i-tego wiersza: n det(a) = ( 1) i+j a ij M ij (A), j=1 gdzie M ij (A) to minor (i, j)-ty macierzy A, czyli wyznacznik macierzy uzyskanej z macierzy
Bardziej szczegółowoPracownia Automatyki i Elektrotechniki Katedry Tworzyw Drzewnych Ćwiczenie 2. Analiza obwodów liniowych przy wymuszeniach stałych
Pracownia Automatyki i lektrotechniki Katedry Tworzyw Drzewnych Ćwiczenie ĆWCZN Analiza obwodów liniowych przy wymuszeniach stałych. CL ĆWCZNA Celem ćwiczenia jest praktyczno-analityczna ocena złożonych
Bardziej szczegółowo3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B
1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =
Bardziej szczegółowoPrzeksztacenie Laplace a. Krzysztof Patan
Przeksztacenie Laplace a Krzysztof Patan Wprowadzenie Transformata Fouriera popularna metoda opisu systemów w dziedzinie częstotliwości Transformata Fouriera umożliwia wykonanie wielu użytecznych czynności:
Bardziej szczegółowo3. Macierze i Układy Równań Liniowych
3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x
Bardziej szczegółowoSiła elektromotoryczna
Wykład 5 Siła elektromotoryczna Urządzenie, które wykonuje pracę nad nośnikami ładunku ale różnica potencjałów między jego końcami pozostaje stała, nazywa się źródłem siły elektromotorycznej. Energia zamieniana
Bardziej szczegółowoBaza w jądrze i baza obrazu ( )
Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem
Bardziej szczegółowoTeoria sterowania - studia niestacjonarne AiR 2 stopień
Teoria sterowania - studia niestacjonarne AiR stopień Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. Inż. Katedra Inżynerii Systemów Sterowania Wykład 4-06/07 Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoR 1 = 20 V J = 4,0 A R 1 = 5,0 Ω R 2 = 3,0 Ω X L = 6,0 Ω X C = 2,5 Ω. Rys. 1.
EROELEKR Ogólnopolska Olimpiada Wiedzy Elektrycznej i Elektronicznej Rok szkolny 9/ Rozwiązania zadań dla grupy elektrycznej na zawody stopnia adanie nr (autor dr inŝ. Eugeniusz RoŜnowski) Stosując twierdzenie
Bardziej szczegółowoRównanie przewodnictwa cieplnego (II)
Wykład 5 Równanie przewodnictwa cieplnego (II) 5.1 Metoda Fouriera dla pręta ograniczonego 5.1.1 Pierwsze zagadnienie brzegowe dla pręta ograniczonego Poszukujemy rozwiązania równania przewodnictwa spełniającego
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia całkowe. Wykład 1
Przekształcenia całkowe Wykład 1 Przekształcenia całkowe Tematyka wykładów: 1. Liczby zespolone -wprowadzenie, - funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej, - funkcja zespolona zmiennej zespolonej. 2. Przekształcenie
Bardziej szczegółowo1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
Bardziej szczegółowoTEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM
TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM AKADEMIA MORSKA Katedra Telekomunikacji Morskiej ĆWICZENIE 7 BADANIE ODPOWIEDZI USTALONEJ NA OKRESOWY CIĄG IMPULSÓW 1. Cel ćwiczenia Obserwacja przebiegów wyjściowych
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Bardziej szczegółowo