Metoda wyprowadzania licznych dynamik w Szczególnej Teorii Względności

Transkrypt

1 Metoda wyrowadzania liznyh dynaik w Szzególnej Teorii Względnośi Roan Szostek Politehnika Rzeszowska, Katedra Metod Ilośiowyh, Rzeszów, Polska rszostek@rz.edu.l Streszzenie: W artykule okazałe swoją nowatorską etodę wyrowadzania dynaik w Szzególnej Torii Względnośi. Metoda ta ozwala na wyrowadzenie w ehanie relatywistyznej nieskońzenie wielu dynaik. Pokazałe ięć rzykładów takih wyrowadzeń. Wykazałe w ten sosób, że dynaika znana dzisiaj jako dynaika Szzególnej Teorii Względnośi jest tylko jedną z nieskońzenie wielu ożliwyh. Nie a także żadnej odstawy, aby tą obowiązująą dynaikę relatywistyzną traktować jako wyjątkową, ani z owodów ekseryentalnyh, ani z owodów teoretyznyh. W związku z ty rozstrzygnięie, która z ożliwyh dynaik ehaniki relatywistyznej jest rawidłowy odele rzezywistośi ozostaje otwarty roblee fizyki.. Wrowadzenie Kineatyka zajuje się ruhe iał bez uwzględniania ih eh fizyznyh. Podstawowe ojęia kineatyki to: zas, ołożenie, transforaja, rędkość i rzysieszenie. Dynaika zajuje się ruhe iał aterialnyh od działanie sił. Podstawowe ojęia dynaiki to: asa bezwładna, siła, ęd i energia kinetyzna. Kineatyka i dynaika składają się na ehanikę. W artykule zajuję się ehaniką relatywistyzną, zyli Szzególną Teorią Względnośi, która w odróżnieniu do ehaniki klasyznej dotyzy także dużyh rędkośi. Obenie znana jest tylko jedna dynaika Szzególnej Teorii Względnośi. W artykule rzedstawiłe autorską etodę wyrowadzania liznyh dynaik dla tej teorii. Dynaikę relatywistyzną wyrowadza się na odstawie kineatyki relatywistyznej oraz jednego dodatkowego założenia, które ozwala wrowadzić do teorii ojęia: asy, ędu oraz energii kinetyznej.. Założenia kineatyki Szzególnej Teorii Względnośi Kineatyka Szzególnej Teorii Względnośi oarta jest na nastęująyh założeniah: I. Wszystkie układy inerjalne są równoważne. Założenie to oznaza, że nie a takiego zjawiska fizyznego, które wyróżnia jakiś układ inerjalny. W szzególny rzyadku oznaza ono, że nie a takiego zjawiska, do którego wyjaśnienia otrzebne jest ojęie bezwzględnego sozynku. Mateatyznie z założenia tego wynika, że każda transforaja zasu i wsółrzędnyh ołożenia a wsółzynniki o dokładnie takih sayh wartośiah lizbowyh jak transforaja odwrotna (z dokładnośią do znaku wynikająego z kierunku rędkośi oiędzy układai.

2 II. Prędkość światła w różni jest taka saa w każdy kierunku oraz w każdy układzie inerjalny. III. Transforaja zasu i wsółrzędnyh ołożenia oiędzy układai inerjalnyi jest liniowa. Często założenia te są zaisywane w innyh równoważnyh ostaiah. Na odstawie wyienionyh założeń ożna wyrowadzić transforaję Lorentza, na której oiera się Szzególna Teoria Względnośi. Istnieje wiele różnyh wyrowadzeń tej transforaji. Dwa wyrowadzenia zostały rzedstawione w onografii [3]. Dla naszyh otrzeb wygodne będą oznazenia rzyjęte na rysunku. Układy inerjalne oruszają się wzdłuż swoih osi. Prędkość / jest rędkośią układu U ierzoną rzez obserwatora z układu U. Prędkość / jest rędkośią układu U ierzoną rzez obserwatora z układu U. W Szzególnej Teorii Względnośi zahodzi, że / / Rys.. Względny ruh układów inerjalnyh U oraz U ( / /. Transforaja Lorentza z układu U do układu U a ostać / t ( t + ( ( / / ( /t + ( ( / / y (3 y, z z Transforaja Lorentza z układu U do układu U a ostać t t / t ( t + (4 ( / / ( / t + (5 ( / / y (6 y, z z Transforaja (-(3, a także (4-(6, zawiera ełną inforaję o kineatye relatywistyznej. / / U U 3. Wybrane własnośi kineatyki relatywistyznej Przy wyrowadzaniu dynaik otrzebne na będą dwa wzory z kineatyki, zyli ( oraz (3. Wyrowadziy je z transforaji (-(3.

3 3.. Transforaja rędkośi Wyznazyy różnizki z transforaji (-(3 / ( + d (7 ( / / d ( / + d (8 ( / / dy (9 dy, dz dz Z układu inerjalnego U oraz układu inerjalnego U obserwowane jest oruszająe się iało U 3. W układzie U a ono rędkość 3/, natoiast w układzie U a rędkość 3/. Składowe tyh rędkośi zostały rzedstawione na rysunku. y U y 3/ / 3/ y t t y 3/ 3/ z 3 / 3 / z z U z 3/ / 3/ Rys.. Ruh iała widziany z dwóh układów inerjalnyh U oraz U. U Wsółrzędne ołożenia iała U 3 w układzie U wynoszą, y, z. W tej saej hwili zasu w układzie U wsółrzędne te wynoszą, y, z. Ponieważ iało U 3 orusza się, dlatego wsółrzędne te zieniają się w zasie. Gdy w układzie U uływa zas wtedy w układzie U uływa zas. Dla takih oznazeń ziany wsółrzędnyh ołożenia iała U 3 w układzie U w rzedziale zasu wynoszą d, dy, dz. Ziany wsółrzędnyh ołożenia iała U 3 w układzie U w rzedziale zasu wynoszą d, dy, dz. Prędkość iała U 3 w układzie inerjalny U a nastęująe składowe d dy y z 3 /, 3/, 3/ ( Prędkość iała U 3 w układzie inerjalny U a nastęująe składowe d dy y z 3 /, 3/, 3/ ( Gdy do równań ( wstawiay różnizki (7-(9 wtedy otrzyay ( / + d ( // 3/ / ( + d ( // y dy 3/ / ( + d ( // z dz 3/ / ( + d ( / / dz dz ( 3

4 Czyli 3/ y 3/ z 3/ /+ d / / + ( d / dy / ( // / + ( d / dz / ( // / + ( d / (3 Na odstawie ( otrzyujey szukaną transforaję rędkośi z układu U do układu U 3/ y 3/ z 3/ + 3/ / 3/ / + ( ( / / / / + + y 3/ 3/ / z 3/ 3/ / W szzególny rzyadku, gdy iało U 3 orusza się równolegle do osi zahodzi (4 y y z z,, (5 3 / 3/, 3/ 3/ 3/ 3/ 3/ 3/ Wtedy transforaja rędkośi (4 rzyjuje ostać wzoru na suowanie rędkośi równoległyh + 3/ / 3/ (6 3/ / Ziana rędkośi widziana z różnyh układów inerjalnyh Ciało sozywająe w układzie U 3 a hwilowe rzysieszenie do układu U 3'. Ruh tego iała jest obserwowany z układów U oraz U. Prędkośi układów inerjalnyh są do siebie równoległe. Przyjujey oznazenia okazane na rysunku 3. d 3/ 3'/ 3/ d 3/ 3'/ 3/ 3'/ 3'/ U 3' d 3/ d 3/ d 3/3 3'/3 3/ 3/ U 3 3'/ 3/ / U 3'/ 3/ / onstans U Rys. 3. Przyrosty rędkośi widziane w układah inerjalnyh U oraz U. 4

5 Wyznazyy różnizki z wzoru (6 d d + 3/ / 3/ / / + ( 3/ + / + ( 3/ // 3/ d3/ d 3/ (7 d3/ 3/ / + d 3/ / d 3/ (8 3/ / + Jeżeli układ U 3 jest układe U wtedy należy indeks 3 zaienić indekse. Otrzyujey d, d d (9 3 / d/ 3/ /, Na tej odstawie wzór (8 rzyjuje ostać d d 3/ / / / ( ( // Zależność ( wiąże ze sobą zianę rędkośi iała widzianą w układzie inerjalny U, w który znajduje się iało (d /, oraz zianę rędkośi widzianą z innego układu inerjalnego U (d /. układu U 3.3. Dylataja zasu Jeżeli w układzie U znajduje się nieruhoo iało, wtedy dla jego wsółrzędnyh zahodzi d Na odstawie transforaji zasu (7 otrzyujey ( d /d (+ // ( Na tej odstawie otrzyujey wzór na dylataję zasu dla iała nieruhoego względe d ( // / / ( ( (3 Zaisanie dylataji zasu w ostai (3 jest reyzyjniejsze od zaisu owszehnie stosowanego, onieważ a forę ilikaji. Dzięki takieu zaisowi jednoznaznie wiadoo, że taka dylataja obwiązuje, tylko dla iał nieruhoyh względe układu U (lub dla zdarzeń zahodząyh w ty say ołożeniu względe układu U. 4. Dynaiki w Szzególnej Teorii Względnośi Wszystkie rozważania będą rowadzone tylko dla odelu jednowyiarowego, zyli wszystkie analizowane wielkośi wektorowe będą równoległe do osi. Każdą wyrowadzoną dynaikę ożna łatwo uogólnić na rzyadki trójwyiarowe. 5

6 Aby w Szzególnej Teorii Względnośi wyrowadzić dynaikę koniezne jest rzyjęie dodatkowego założenia, które ozwala wrowadzić do teorii ojęia: asy, ędu oraz energii kinetyznej. W zależnośi od rzyjętego założenia otrzyuje się różne dynaiki iał. Masę bezwładną iała sozywająego w inerjalny układzie odniesienia oznazyy rzez (asa sozynkowa. Masę sozynkową ustala się na odstawie wzora jednostki asy oraz etody orównania dowolnej asy z ty wzore jednostki. Masę bezwładną iała nieruhoego w układzie U, widzianą z układu U oznazyy rzez / (asa relatywistyzna. Warto zwróić uwagę, że asa relatywistyzna jest w ty rzyadku asą bezwładną wystęująą w II zasadzie dynaiki Newtona, a nie asą wystęująą we wzorze na ęd, jak rzyjęto w Szzególnej Teorii Względnośi. W ten sosób rzyjęliśy inną definiję asy relatywistyznej niż ta, jaką rzyjęto w Szzególnej Teorii Względnośi. Taka definija asy relatywistyznej jest wygodniejsza rzy wyrowadzaniu dynaik. Ciało o asie bezwładnej znajduje się w układzie U. Działa na nie siła / owodująa rzysieszenie d / /. Stąd dla obserwatora z układu U, II zasada dynaiki Newtona a ostać d / / : a/ (4 Dla obserwatora z układu U asa bezwładna tego saego iała wynosi /. Dla tego obserwatora na iało działa siła / owodująa rzysieszenie d / /. Stąd dla obserwatora z układu U, II zasada dynaiki Newtona a ostać / / : f ( / a/ / a/ / (5 Równanie (5 oznaza, że ostulujey uogólnioną ostać II zasady dynaiki Newtona. Ta uogólniona ostać zawiera dodatkowy araetr f (. Z (4 wynika, że zawsze f (. W ehanie klasyznej f (, natoiast w obowiązująej dzisiaj dynaie STW f ( γ 3 (wzór (3. Ustalenie innej ostai araetru f ( rowadzi do innyh dynaik dla STW. Bezwładna asa relatywistyzna / jest ilozyne tego dodatkowego araetru f ( oraz bezwładnej asy sozynkowej. W ty artykule nie będziey osługiwali się araetre f ( tylko bezwładną asą relatywistyzną /. Dla ędu oraz energii kinetyznej rzyjujey definije identyzne jak w ehanie klasyznej. Dla obserwatora z układu U zianę ędu tego iała ożna zaisać w ostaiah d d (6 / / : / a/ d/ Dla obserwatora z układu U zianę ędu tego iała ożna zaisać w ostaiah d d (7 / / : / / a/ / / d/ gdzie: - d / jest zianą ędu iała o asie sozynkowej znajdująego się w układzie inerjalny U, jaką ierzy obserwator z tego saego układu inerjalnego U, - d / jest zianą ędu iała znajdująego się w układzie inerjalny U, jaką ierzy obserwator z układu inerjalnego U. nergia kinetyzna iała jest równa włożonej ray do jego rzysieszania. Dla obserwatora z układu U ziana energii kinetyznej tego iała wynosi d 6

7 d d d (8 / / / : / d/ / a/ d/ / d/ / d/ / / d/ gdzie: - d / jest zianą energii kinetyznej iała znajdująego się w układzie inerjalny U, jaką ierzy obserwator z układu inerjalnego U. 4.. Dynaika STW ze stałą siłą, zyli STW/ W ty odrozdziale zostanie wyrowadzony odel dynaiki iał oarty na założeniu, że siła rzysieszająa iało (równoległa do osi jest taka saa dla obserwatora z każdego inerjalnego układu odniesienia (stąd oznazenie. W odelu STW/ rzyjujey założenie, że Po odstawieniu (4 oraz (5 otrzyay 4... Masa relatywistyzna w STW/ (9 d Na odstawie ( oraz (3 otrzyujey / d / / : / d / / / (3 d (3 / ( // ( // Stąd asa relatywistyzna iała znajdująego się w układzie U, widziana z układu U, gdy sełnione jest założenie (9, wyraża się wzore 3/ / (3 ( / / 4... Pęd w STW/ Ciało o asie sozynkowej jest związane z układe U. Aby wyznazyć ęd tego iała względe układu U odstawiay (3 do (7 d 3/ 3 / / d/ d/ d 3/ / (33 ( // ( / Pęd iała jest suą rzyrostów jego ędu, gdy iało jest rzysieszane z układu inerjalnego U (iało a rędkość do układu inerjalnego U (iało a rędkość /, zyli Z ray [] (wzór 7, s. 67 ożna odzytać, że / 3 / d 3/ / (34 ( / d, a 3/ a a a ( (35 7

8 Po zastosowaniu ałki (35 do (34 otrzyujey wzór na ęd iała znajdująego się w układzie U i ierzony rzez obserwatora z układu U w ostai 3 / / / (36 / ( / / Wzór ten jest identyzny jak wzór na ęd znany ze Szzególnej Teorii Względnośi. Jest tak dlatego, że dynaika znana ze Szzególnej Teorii Względnośi jest wyrowadzona właśnie rzy założeniu (9. Zostało ono rzyjęte nieświadoie, gdyż uważano, że jest ono koniezne. Świadoość tego założenia ozwala na jego zianę i wyrowadzenie innyh dynaik. Jak już zostało wsoniane wześniej, rzyjęta rzez nas definija asy relatywistyznej jest inna niż definija rzyjęta w Szzególnej Teorii Względnośi. W naszy rzyadku asa relatywistyzna jest tą, która wystęuje w II zasadzie dynaiki Newtona (5. W ty konkretny rzyadku wyraża się ona zależnośią (3. W Szzególnej Teorii Względnośi asa relatywistyzna jest tą, która wystęuje we wzorze (36 na ęd Pęd w STW/ dla ałyh rędkośi Dla ałej rędkośi / << ęd (36 srowadza się do ędu z ehaniki klasyznej, gdyż / / / << ( nergia kinetyzna w STW/ Wyznazyy wzór na energię kinetyzną. Do wzoru (8 odstawiay zależność na asę relatywistyzną odaną w (3 d 3/ 3 / / / / d/ /d/ d 3/ / (38 ( // ( / nergia kinetyzna iała jest suą rzyrostów jego energii kinetyznej, gdy iało jest rzysieszane z układu inerjalnego U (iało a rędkość do układu inerjalnego U (iało a rędkość /, zyli / / 3 / ( / Z ray [] (wzór 74, s. 67 ożna odzytać, że d 3/ / (39 d (4 3/ ( a a Po zastosowaniu ałki (4 do (39 otrzyujey wzór na energię kinetyzną iała znajdująego się w układzie U i ierzoną rzez obserwatora z układu U w ostai / 3 3 / (4 / ( // Wzór ten jest identyzny jak wzór na energię kinetyzną znana ze Szzególnej Teorii Względnośi, z takih sayh owodów jak w rzyadku ędu (

9 4..5. nergia kinetyzna w STW/ dla ałyh rędkośi Zależnośi (4 ożna zaisać również w ostai ( / + ( / / / / (4 ( // + ( // / Na tej odstawie dla ałyh wartośi / << otrzyujey / / (43 / / + / / << / ( Siła w STW/ Ze względu na założenie (9 oiar wartośi tej saej siły rzez dwóh różnyh obserwatorów jest identyzny. 4.. Dynaika STW ze stałą zianą ędu, zyli STW/ W ty odrozdziale zostanie wyrowadzony odel dynaiki iał oarty na założeniu, że ziana ędu iała (równoległa do osi jest taka saa dla obserwatora z każdego inerjalnego układu odniesienia (stąd oznazenie. Ta dynaika wydaje się szzególnie interesująa, onieważ rawo zahowania ędu jest rawe fundaentalny. Założenie, że ziana ędu iała jest taka saa dla każdego obserwatora wydaje się być naturalny rozszerzenie tego rawa. W odelu STW/ zakładay, że 4... Masa relatywistyzna w STW/ d Po odstawieniu (6 oraz (7 otrzyay Na odstawie ( otrzyujey / / : d/ d /d/ d/ / d/ ( / Stąd asa relatywistyzna iała znajdująego się w układzie U, widziana z układu U, gdy sełnione jest założenie (45, wyraża się wzore / ( / / / (45 (46 (47 (48 9

10 4... Pęd w STW/ Ciało o asie sozynkowej jest związane z układe U. Aby wyznazyć ęd tego iała względe układu U odstawiay (48 do (7 d / / d / ( / / d / Pęd iała jest suą rzyrostów jego ędu, gdy iało jest rzysieszane z układu inerjalnego U (iało a rędkość do układu inerjalnego U (iało a rędkość /, zyli Z ray [] (wzór 5, s. 6 ożna odzytać, że / d / (49 / / d / (5 / d a+ ln, a a a a Po zastosowaniu ałki (5 do (5 otrzyujey wzór na ęd iała znajdująego się w układzie U i ierzony rzez obserwatora z układu U w ostai (5 / + + / ln ln / / ( Pęd w STW/ dla ałyh rędkośi Zależnośi (5 ożna zaisać również w ostai / / + / + / / ( // / ln ln (53 / / / / ( / / / / + / / / / ln / (54 / / / Na tej odstawie dla ałyh wartośi / << otrzyujey << e / e / / / / ln ln( e nergia kinetyzna w STW/ Wyznazyy wzór na energię kinetyzną. Do wzoru (8 odstawiay zależność na asę relatywistyzną odaną w (48 d / / / d / ( / / / d / / / / d / (55 (56

11 nergia kinetyzna iała jest suą rzyrostów jego energii kinetyznej, gdy iało jest rzysieszane z układu inerjalnego U (iało a rędkość do układu inerjalnego U (iało a rędkość /, zyli / / / / Z ray [] (wzór 56, s. 6 ożna odzytać, że d lna a Po zastosowaniu ałki (58 do (57 otrzyujey wzór na energię kinetyzną iała znajdująego się w układzie U i ierzoną rzez obserwatora z układu U w ostai d / (57 (58 / / ln ln( ln( / + / ln ln / ( // (59 ( nergia kinetyzna w STW/ dla ałyh rędkośi Zależnośi (6 ożna zaisać również w ostai / / / ln ln ( / / / ( // [ ( // ] / / ln ( / / ( / Na tej odstawie dla ałyh wartośi / << otrzyujey / << / / / ln / e / (6 (6 ( Siła w STW/ Ciało o asie sozynkowej jest związane z układe U. Działa na nie siła owodująa rzysieszenie. Dla obserwatora z tego układu siła rzysieszająa a zgodnie z (4 wartość d / / (64 Dla obserwatora z układu U siła rzysieszająa a zgodnie z (5 wartość d / / / (65 Jeżeli odzieliy stronai równanie (65 rzez (64, to na odstawie ( i (3 otrzyay

12 d / / / / 3/ ( ( // / d/ Na odstawie (48 uzyskay związek oiędzy oiarai tej saej siły rzez dwóh różnyh obserwatorów (66 iało. / ( / / Największą wartość siły ierzy obserwator z układu inerjalnego, w który znajduje się / ( Dynaika STW ze stałą asą, zyli STW/ W ty odrozdziale zostanie wyrowadzony odel dynaiki iał oarty na założeniu, że asa iała jest taka saa dla obserwatora z każdego inerjalnego układu odniesienia (stąd oznazenie. W odelu STW/ zakładay, że Masa relatywistyzna w STW/ (68 / : Z tego względu dla obserwatora z układu inerjalnego U asa iała znajdująego się w układzie U, jest taka saa jak asa sozynkowa Pęd w STW/ Ciało o asie sozynkowej jest związane z układe U. Aby wyznazyć ęd tego iała względe układu U odstawiay (68 do (7 d / / d/ d/ (69 Pęd iała jest suą rzyrostów jego ędu, gdy iało jest rzysieszane z układu inerjalnego U (iało a rędkość do układu inerjalnego U (iało a rędkość /, zyli / / d (7 W tej dynaie relatywistyznej ęd wyraża się taki say wzore jak w ehanie klasyznej. / / nergia kinetyzna w STW/ Wyznazyy wzór na energię kinetyzną. Do wzoru (8 odstawiay zależność na asę relatywistyzną odaną w (68 d / / / d/ /d/ (7 nergia kinetyzna iała jest suą rzyrostów jego energii kinetyznej, gdy iało jest rzysieszane z układu inerjalnego U (iało a rędkość do układu inerjalnego U (iało a rędkość /, zyli

13 / / / /d/ (7 W tej dynaie relatywistyznej energia kinetyzna wyraża się taki say wzore jak w ehanie klasyznej Siła w STW/ Ciało o asie sozynkowej jest związane z układe U. Działa na nie siła owodująa rzysieszenie. Dla obserwatora z tego układu siła rzysieszająa a zgodnie z (4 wartość iało. d / / (73 Dla obserwatora z układu U siła rzysieszająa a zgodnie z (5 wartość d d / / / / (74 Jeżeli odzieliy stronai równanie (74 rzez (73, to na odstawie ( i (3 otrzyay Czyli / d / 3/ ( ( / / / d/ (75 3/ / ( / / ( (76 Największą wartość siły ierzy obserwator z układu inerjalnego, w który znajduje się / Dyskusja na teat dynaiki STW/ Uzyskanie dynaiki relatywistyznej, w której nie wystęuje asa relatywistyzna oraz wzory na ęd i energię kinetyzną są identyzne jak w ehanie klasyznej oże być zaskakująe, onieważ w ehanie relatywistyznej uważa się, że rozędzane iało oże uzyskać aksyalnie rędkość. Jednak ta dynaika jest foralnie orawna. Jeżeli rędkość / iała zbliża się do wartośi, wtedy zgodnie z (76 3/ (77 / ( / W układzie inerjalny U, w który znajduje się iało, oże na nie działać siła rzysieszająa / o dowolnej, ale skońzonej wartośi. Jednak z ersektywy układu inerjalnego U, względe którego iało a rędkość, ta saa siła a wartość zerową. Oznaza to, że z ersektywy układu U nie jest ożliwe wykonanie nad iałe ray, która będzie zwiększała jego energię kinetyzną w nieskońzoność. Z zależnośi (7 wynika, że energia kinetyzna jaką osiada iało o asie i rędkośi a wartość a (78 3

14 4.4. Dynaika STW ze stałą siłą na zas jej działania, zyli STW// W ty odrozdziale zostanie wyrowadzony odel dynaiki iał oarty na założeniu, że siła rzysieszająa iało (równoległa do osi odzielona rzez zas jej działania jest taka saa dla obserwatora z każdego inerjalnego układu odniesienia (stąd oznazenie / Masa relatywistyzna w STW// W odelu STW// rzyjujey założenie, że / / : Po odstawieniu (4 oraz (5 otrzyay d / / t / Na odstawie ( oraz (3 otrzyujey / t / / / d / / d/ d ( // ( ( / Stąd asa relatywistyzna iała znajdująego się w układzie U, widziana z układu U, gdy sełnione jest założenie (79, wyraża się wzore / t / (79 (8 (8 ( // ( Pęd w STW// Ciało o asie sozynkowej jest związane z układe U. Aby wyznazyć ęd tego iała względe układu U odstawiay (8 do (7 d / / / / d / ( // d / Pęd iała jest suą rzyrostów jego ędu, gdy iało jest rzysieszane z układu inerjalnego U (iało a rędkość do układu inerjalnego U (iało a rędkość /, zyli Z ray [] (wzór 54, s. 6 ożna odzytać, że 4 ( / d / (83 / / 4 / d / (84 ( d a+ + ln, a 3 ( a a ( a 4a a Po zastosowaniu ałki (85 do (84 otrzyujey wzór na ęd iała znajdująego się w układzie U i ierzony rzez obserwatora z układu U w ostai / (85 4

15 / / / ( + + / ( / + ln + ln 3 ( 4 ( ( / 4 ( / 4 (86 + / / t / + / / ln (87 ( / / / Pęd w STW// dla ałyh rędkośi Zależnośi (87 ożna zaisać również w ostai / / / (+ // / / + ln / (88 / ( ( // 4 ( / / / / + / / / / / + ln / (89 / ( ( // 4 / / Na tej odstawie dla ałyh wartośi / << otrzyujey e / e / / << / / + ln / + ln( e nergia kinetyzna w STW// Wyznazyy wzór na energię kinetyzną. Do wzoru (8 odstawiay zależność na asę relatywistyzną odaną w (8 d / / / / / d / ( / / / d / nergia kinetyzna iała jest suą rzyrostów jego energii kinetyznej, gdy iało jest rzysieszane z układu inerjalnego U (iało a rędkość do układu inerjalnego U (iało a rędkość /, zyli / / / 4 / ( / Z ray [] (wzór 58, s. 6 ożna odzytać, że d / 4 ( / / d / / (9 (9 (9 d (93 ( a ( a Po zastosowaniu ałki (93 do (9 otrzyujey wzór na energię kinetyzną iała znajdująego się w układzie U i ierzoną rzez obserwatora z układu U w ostai / / 4 ( / 4 ( / 4 (94 5

16 / / / ( // ( // Wzór na energię kinetyzną (95 został wyrowadzony w ray [], dzięki teu, że autor rzyjął ta inne założenie niż to, na który oarta została dynaika znana ze Szzególnej Teorii Względnośi. ( nergia kinetyzna w STW// dla ałyh rędkośi Dla ałej rędkośi / << energia kinetyzna (95 srowadza się do energii kinetyznej z ehaniki klasyznej, gdyż / << / / / / ( Siła w STW// Ciało o asie sozynkowej jest związane z układe U. Działa na nie siła owodująa rzysieszenie. Dla obserwatora z tego układu siła rzysieszająa a zgodnie z (4 wartość d / / (97 Dla obserwatora z układu U siła rzysieszająa a zgodnie z (5 wartość d / t / / / / (98 Jeżeli odzieliy stronai równanie (98 rzez (97, to na odstawie ( i (3 otrzyay d / / / / / / / 3/ ( ( / / / d/ Na odstawie (8 uzyskay związek oiędzy oiarai tej saej siły rzez dwóh różnyh obserwatorów iało. / / ( / / / (99 ( Najniejszą wartość siły ierzy obserwator z układu inerjalnego, w który znajduje się 4.5. Dynaika STW ze stałą asą na uływ zasu obserwatora (zyli STW// W ty odrozdziale zostanie wyrowadzony odel dynaiki iał oarty na założeniu, że asa iała odzielona rzez uływ zasu w układzie obserwatora jest taka saa dla obserwatora z każdego inerjalnego układu odniesienia (stąd oznazenie /. W odelu STW// zakładay, że Masa relatywistyzna w STW// 6

17 Na odstawie (3 otrzyujey / t / / t / : ( // ( ( Stąd asa relatywistyzna iała znajdująego się w układzie U, widziana z układu U, gdy sełnione jest założenie (, wyraża się wzore / t / ( / / ( Pęd w STW// Ciało o asie sozynkowej jest związane z układe U. Aby wyznazyć ęd tego iała względe układu U odstawiay (3 do (7 d / / / / d / ( / / d / / d / (4 Pęd iała jest suą rzyrostów jego ędu, gdy iało jest rzysieszane z układu inerjalnego U (iało a rędkość do układu inerjalnego U (iało a rędkość /, zyli Z ray [] (wzór 7, s. 67 ożna odzytać, że / / / d / (5 a d arsin, a / a> (6 Po zastosowaniu ałki (6 do (5 otrzyujey wzór na ęd iała znajdująego się w układzie U i ierzony rzez obserwatora z układu U w ostai / / / / / arsin arsin ( Pęd w STW// dla ałyh rędkośi Zależnośi (7 ożna zaisać również w ostai / / / arsin / Na tej odstawie dla ałyh wartośi / << otrzyujey / / / << / / (8 (9 7

18 nergia kinetyzna w STW// Wyznazyy wzór na energię kinetyzną. Do wzoru (8 odstawiay zależność na asę relatywistyzną odaną w (3 d / / / / / d / ( / / / d / / / d / ( nergia kinetyzna iała jest suą rzyrostów jego energii kinetyznej, gdy iało jest rzysieszane z układu inerjalnego U (iało a rędkość do układu inerjalnego U (iało a rędkość /, zyli / / / / / Z ray [] (wzór 73, s. 67 ożna odzytać, że a d a d / ( ( Po zastosowaniu ałki ( do ( otrzyujey wzór na energię kinetyzną iała znajdująego się w układzie U i ierzoną rzez obserwatora z układu U w ostai / / / / / + (3 / / / ( ( // ( nergia kinetyzna w STW// dla ałyh rędkośi Zależnośi (4 ożna zaisać również w ostai / / ( ( / (+ / / / + ( // ( / / (5 / / ( ( / / / / / + ( // + ( // Na tej odstawie dla ałyh wartośi / << otrzyujey / << / / / / (6 ( Siła w STW// Ciało o asie sozynkowej jest związane z układe U. Działa na nie siła owodująa rzysieszenie. Dla obserwatora z tego układu siła rzysieszająa a zgodnie z (4 wartość d / / (8 Dla obserwatora z układu U siła rzysieszająa a zgodnie z (5 wartość 8

19 d / t / / / / (9 Jeżeli odzieliy stronai równanie (9 rzez (8, to na odstawie ( i (3 otrzyay d / / / / / / / 3/ ( ( // / d/ ( Na odstawie (3 uzyskay związek oiędzy oiarai tej saej siły rzez dwóh różnyh obserwatorów iało. / / ( // ( / ( Największą wartość siły ierzy obserwator z układu inerjalnego, w który znajduje się 5. Ogólna ostać dynaiki W rzedstawionyh rzykładah rzyjęte zostały założenia, które ożna zaisać w ostaiah (3, (46, (68, (8 oraz (. Na tej odstawie widać, że założenie dla dynaiki relatywistyznej a ostać a a { a, b} d/ d / /, a, b R b ( b Znazenie fizyzne wzoru ( zależy od tego jakie ustali się wartośi araetrów a oraz b. Na rzykład, jeżeli a b, wtedy ten wzór rzyjuje ostać (9, równoważną ostai (3, z rzykładu ierwszego. Na odstawie ( oraz (3 otrzyujey Przyjujey oznazenia { a, b} / d a / b a d/ a ( ( / / (3 b/ ( ( / / b { } { a, b} a+ R (4 Teraz na odstawie (3 relatywistyzna asa bezwładna iała znajdująego się w układzie U, widziana z układu U, gdy sełnione jest założenie (, wyraża się w dynaie {} wzore { } / ( / / b (5 Każda taka asa relatywistyzna definiuje inną dynaikę relatywistyzną. Zgodnie z rzedstawionyi rzykładai ęd w dynaie {} wyraża się wzore (na odstawie foruł (7 oraz (5 / / / { } { } { } / d/ / d/ d/ (6 ( / / 9

20 / { } / d / (7 ( Zgodnie z rzedstawionyi rzykładai energia kinetyzna w dynaie {} wyraża się wzore (na odstawie foruł (8 oraz (5 / / / / { } { } { } / d/ / / d/ /d/ (8 ( // / { } / / d / (9 ( Zgodnie z rzedstawionyi rzykładai zależność oiędzy siłai w dynaie {} wyraża się wzore (na odstawie foruł (4, (5 oraz (, (3 { } / { } / { } / / { } / / 3/ ( ( // d / / d/ ( // ( // / d d (3 Na odstawie (5 otrzyujey { } / / ( / / ( ( / / 3/ ( / / 3 (3 6. Zestawienie wyrowadzonyh dynaik Zestawienie wyrowadzonyh wzorów na ęd oraz energię kinetyzną: Dynaika (3 / / / / (33 Dynaika / arsin / / / / arsin( // / / (34 / / ( ( / / / + ( / / (35

21 Dynaika / + / / ln /ln / + / ln ln ( / ( // [ ( // ] / / / / (36 (37 Dynaika 3/ (uznawana obenie dynaika STW / / (38 ( / / / ( / / / / + / (39 Dynaika + / / t / + / / ln (4 ( // / / / / ( / / (4 Na rysunku 4 zostały zestawione ędy z wyrowadzonyh dynaik. / / [ 8 /s] STW// STW/ STW/ STW// STW/ 3/ / / [ 8 /s] Rys. 4. Moduł ędu w dynaikah: STW/ (, STW// (/, STW/ (, STW/ (3/ oraz STW// (.

22 Na rysunku 5 zostały zestawione energie kinetyzne z wyrowadzonyh dynaik. / / [ 7 J/kg] Rys. 5. nergie kinetyzne w dynaikah: STW/ (, STW// (/, STW/ (, STW/ (3/ oraz STW// (. Na rysunku 6 zostały zestawione zależnośi oiędzy siłai z wyrowadzonyh dynaik. / / / STW/ STW// STW/ Rys. 6. Związki oiędzy oiarai tej saej siły rzez dwóh różnyh obserwatorów w dynaikah: STW/ (, STW// (/, STW/ (, STW/ (3/ oraz STW// (. 7. Jeszze ogólniejsza ostać dynaiki Zależność (5 na asę relatywistyzną ożna jeszze bardziej uogólnić. W ogólny rzyadku ożna bowie rzyjąć, że asa relatywistyzna wyraża się wzore { } f / / f ( (4 Gdzie f ( / jest dowolną funkją iągłą o nastęująyh własnośiah f STW// STW/ STW/ STW// STW/ STW// / f ( (43 / STW/ f ( (44 ( / / 3/ / 3/ / [ 8 /s] / [ 8 /s] f ( (45 Każda funkja f ( / definiuje inną dynaikę Szzególnej Teorii Względnośi.

23 8. Wnioski końowe W artykule rzedstawiona została oja autorska etoda wyrowadzania dynaik w Szzególnej Teorii Względnośi. Pokazanyh zostało ięć rzykładów takiego wyrowadzenia. Wyrowadzenie dynaiki oiera się na dwóh wzorah obowiązująyh w kineatye STW, zyli ( oraz (3. Aby wyrowadzić dynaikę STW koniezne jest rzyjęie do kineatyki dodatkowego założenia, które ozwala wrowadzić do teorii ojęia: asy, energii kinetyznej oraz ędu. Dynaika STW/ jest obenie uznawaną dynaiką Szzególnej Teorii Względnośi. Oiera się ona na założeniu, że każda siły równoległa do osi a taką saą wartość dla obserwatora z każdego inerjalnego układu odniesienia. Możliwe są jednak inne dynaiki zgodne z kineatyką Szzególnej Teorii Względnośi. Aby je wyrowadzić należy orzeć sie na inny założeniu. Rozstrzygnięie, która ze wszystkih ożliwyh dynaik Szzególnej Teorii Względnośi jest rawidłowy odele rzezywistyh roesów owinno być jedny z ważniejszyh zadań rzyszłej fizyki. Do weryfikaji różnyh dynaik użytezny oże być kaloryetr. Urządzenie to uożliwia oiar ilośi ieła wydzielanego odzas zatrzyania ząstek rozędzonyh do dużyh rędkośi. Na tej odstawie ożna wyznazyć wykresy energii kinetyznej rozędzonyh ząstek w funkji ih rędkośi, analogizne do tyh okazanyh na rysunku 5. Na tej odstawie ożna wskazać dynaikę, w której energia kinetyzna ząstek jest zgodna z ekseryentai. akt, że w raah Szzególnej Teorii Względnośi ożna wyrowadzić lizne dynaiki bardzo odważa rawdziwość wzoru. Według oih badań na odstawie ehaniki relatywistyznej nie ożna wyrowadzić wzoru wyrażająego energię wewnętrzną aterii [4]. Wszystkie wyrowadzenia tego wzoru są błędne. Związek oiędzy asą oraz energią ( ożna wrowadzić do STW jako niezależne założenie, ale nie wynika on z transforaji Lorentza, ani z założenia (9, na który oarta jest dynaika STW. Wtedy jednak istnieje otrzeba ekseryentalnego wykazania, jaka dokładnie jest ostać takiej zależnośi (n. dlazego nie / oraz ekseryentalnego zbadania, zy zasai ostać takiej zależnośi nie zależy od rodzaju aterii, której ona dotyzy. Przedstawiona etoda wyrowadzania dynaik oże zostać wykorzystana także w innyh teoriah kineatyki iał. W onografii [3] wykorzystano ją do wyrowadzania ztereh dynaik w Szzególnej Teorii teru. Bibliografia [] Воднев Владимир, Наумович Адольф и Наумович Нил. Основные математические формулы. Справочник. Минск, Издательство «Вышэйшая школа» Государственного комитета БССР, 988, ISBN [] Osiak Zbigniew, nergy in Seial Relatiity, Theoretial Physis, Isaa Sientifi Publishing, Vol. 4, No., -5, 9, ISSN [3] Szostek Karol,, Szzególna Teoria teru (język olski. Wydawnitwo Aelia, Rzeszów, Polska, 5, ( ISBN Szostek Karol,, Seial Theory of ther (język angielski. Publishing house AMLIA, Rzeszów, Poland, 5, ( ISBN [4] Szostek Karol,, jako składowa energii kinetyznej w rawie dla energii kinetyznej, 44 Zjazd izyków Polskih, Uniwersytet Wroławski, Wroław, Polska, -5 września 7. [5] Szostek Karol,, The deriation of the general for of kineatis with the uniersal referene syste (w języku angielski: Wyrowadzenie ogólnej ostai kineatyki z 3

24 uniwersalny układe odniesienia, Results in Physis, Volue 8, 8, , ISSN: -3797, htts://doi.org/.6/j.rin Deriation ethod of nuerous dynais in the Seial Theory of Relatiity Roan Szostek Rzeszow Uniersity of Tehnology, Deartent of Quantitatie Methods, Rzeszow, Poland Abstrat: The artile resents y innoatie ethod of deriing dynais in the Seial Theory of Relatiity. This ethod enables to derie infinitely any dynais in relatiisti ehanis. I hae shown fie eales of these deriations. In this way, I hae shown that the dynais known today as the dynais of Seial Theory of Relatiity is only one of infinitely ossible. There is also no reason to treat this relatiisti dynais as eetional, either for eeriental or theoretial reasons. Therefore, deterination of whih ossible dynais of relatiisti ehanis is a orret odel of reality reains an oen roble of hysis. 4