WYZNACZANIE NIESTACJONARNEGO RUCHU CIECZY LEPKIEJ W DWU- I TRÓJWYMIAROWYCH ZAGŁĘBIENIACH Z JEDNĄ PORUSZAJĄCĄ SIĘ ŚCIANKĄ

Transkrypt

1 KOSMA Zbgew KALBARCZYK Rafał 2 PIECHNIK Bartosz 3 Rówaa Navera-Stokesa, estacoary ruch ceczy lepke, metoda sztucze ścślwośc, satk kartezańske, metoda prostych, zagłębea z edą poruszaącą sę ścaką WYZNACZANIE NIESTACJONARNEGO RCH CIECZY LEPKIEJ W DW- I TRÓJWYMIAROWYCH ZAGŁĘBIENIACH Z JEDNĄ PORSZAJĄCĄ SIĘ ŚCIANKĄ Prezetowaa est efektywa metoda wyzaczaa lamaro-turbuletego estacoarego ruchu ceczy lepke w obszarach o skomplkowaych kształtach. Do rozwązywaa dwu- trówymarowych zagadeń dla rówań Navera-Stokesa zapsaych w zmeych perwotych została zastosowaa zmodyfkowaa metoda sztucze ścślwośc a satkach kartezańskch. Zostały zapropoowae dwa umerycze podeśca - oparte a wykorzystau metody prostych w połączeu z przeeseem wszystkch zmeych z grac obszarów do ablŝszych węzłów rówomerych satek oblczeowych. Prezetowae są wyk testowych oblczeń umeryczych dla czterech zagłębeń z edą poruszaącą sę ścaką: kwadratowego, półkolstego, półsześceego półkulstego - porówae z symulacam umeryczym wykoaym za pomocą programu Fluet. SOLTIONS OF NSTEADY INCOMPRESSIBLE NAVIER- STOKES EQATIONS FOR TWO- AND THREE-DIMENSIONAL SHEAR DRIVEN CAVITY FLOWS A effcet method for smulatg usteady lamar-turbulet flows complex geometres s preseted. The exteso of the artfcal compressblty method to usteady flows was appled to solve two- ad three-dmesoal Naver-Stokes equatos prmtve varables o Cartesa grds. Two umercal approaches were proposed ths work, whch are based o the method of les process coucto wth trasfer of all the varables from the boudares to the earest uform grd kots. Some test umercal calculatos for flows half-square, semcrcular, half-cubc ad hemsphere cavtes wth oe uform movg wall were reported. The preset results were compared wth the Fluet solver umercal smulatos. Poltechka Radomska, Wydzał Mechaczy, Radom, ul. Krasckego 54. Tel: , , Fax: , E-mal: zbgew.kosma@pr.radom.pl 2 Poltechka Radomska, Wydzał Mechaczy, Radom, ul. Krasckego 54. Tel: , , Fax: , E-mal: rafalk.@ghet.pl 3 Poltechka Radomska, Wydzał Mechaczy, Radom, ul. Krasckego 54. Tel: , , Fax: , E-mal: bartosz_pechk@wp.pl

2 754 Zbgew KOSMA, Rafał KALBARCZYK, Bartosz PIECHNIK. WSTĘP Komputerowa symulaca przepływów ceczy lepke est obece obszarem tesywych badań aukowych, gdyŝ wele rzeczywstych problemów występuących w aerodyamce skch prędkośc oraz hydrodyamce moŝe być opsaych rówaam Navera-Stokesa przy załoŝeu stałe lepkośc płyu. Tak węc, ezmee cągle est obserwoway rozwó zaawasowaych metod rozwązywaa zagadeń wyzaczaa ruchu ceczy lepke, charakteryzuących sę duŝą efektywoścą dokładoścą. Fudametalą trudoścą poawaącą sę przy rozwązywau rówań Navera- Stokesa zapsaych w zmeych perwotych est brak pochode względem czasu w rówau cągłośc, co ogracza zastosowae umeryczych metod bezpośredego całkowaa w czase. W kosekwec, powstaą zasadcze trudośc w określeu sprzęŝea zma pola prędkośc ze zmaam pola cśea przy edoczesym zachowau w trakce oblczeń umeryczych waruku spełea rówaa cągłośc. Wększość opracowaych metod umeryczych przezaczoych do rozwązywaa rówań Navera-Stokesa wymaga rozwązywaa rówaa Possoa dla cśea a kaŝdym kroku czasowym, co staow awększą część czasu oblczeń umeryczych. Dla zwększea efektywośc zakresu zastosowań techk komputerowych do symulac umerycze Ŝyerskch zagadeń przepływowych, est poŝądae wykorzystae ych, me czasochłoych metod umeryczych, cechuących sę poŝądaą dokładoścą. Metoda sztucze ścślwośc, w które uka sę rozwązywaa rówaa Possoa dla cśea, wydae sę być edą z takch metod. MoŜa aktuale stwerdzć, Ŝe techk komputerowe mechak płyów oferuą rozmate algorytmy, które w coraz to wększym stopu mogą być zastosowae do szerokego zakresu praktyczych zagadeń Ŝyerskch w coraz to bardze skomplkowaych geometrach. Z tego powodu - pommo faktu, Ŝe satk strukturale estrukturale dyskretyzac obszarów są szeroko wykorzystywae w tych zastosowaach - potrzeba rozwaa dokładych efektywych geeratorów ego rodzau satek est edakŝe cągle stota. W wększośc zagadeń przepływowych o praktyczym zaczeu występue eda lub wele stref recyrkulacyych, powoduące zacze zwększee trudośc wykoywaa symulac umeryczych o zadowalaące dokładośc. Modele umerycze umoŝlwaące wyzaczae takch przepływów z duŝą dokładoścą są cągle potrzebe. Algorytmy oblczeowe, oparte zwykle a dyskretyzac obszarów metodam obętośc skończoych, elemetów skończoych lub róŝc skończoych, e pozwalaą a uzyskae rozwązaa dokładego, gdyŝ wprowadzaą matematycze umerycze edokładośc. Tak węc, uzyskae ostatecze rozwązae zawera róŝego rodzau błędy ezbęde est testowae oraz weryfkowae modelu matematyczego przez ego porówae z wykam badań eksperymetalych lub wykam ych oblczeń umeryczych. Artykuł został podzeloy a pęć rozdzałów, z których perwszy est wprowadzeem, drug - zawera ogóle sformułowae metody sztucze ścślwośc. W rozdzale trzecm omawae są szczegóły oblczeń umeryczych, czwarty est pośwęcoy prezetac owych wyków wykoaych symulac umeryczych dla czterech zagłębeń z edą poruszaącą sę ścaką. Kokluze zebrae zostały w rozdzale pątym.

3 WYZNACZANIE NIESTACJONARNEGO RCH CIECZY LEPKIEJ METODA SZTCZNEJ ŚCIŚLIWOŚCI Metoda sztucze ścślwośc była orygale zapropoowaa do wyzaczaa ustaloych przepływów ceczy lepke [-3] poprzez dodae do rówaa cągłośc pochode cśea względem czasu. Rozszerzee te metody dla przepływów eustaloych moŝa uzyskać dodaąc róweŝ pseudo-pochodą względem czasu do rówaa zachowaa mometu pędu. W kosekwec, rówaa opsuące estacoary ruch ceczy lepke moŝa zapsać we współrzędych kartezańskch w astępuące postac bezwymarowe [4, 5]: p V + = 0, τ β x V + τ x V V V p = + t x gdze V są składowym wektora prędkośc, p est cśeem, Re - lczbą Reyoldsa, β > 0 - parametrem charakteryzuącym sztuczą ścślwość. Rezultaty oblczeń pośredch dla tak sformułowaego waratu metody sztucze ścślwośc maą fzykale zaczee wtedy, gdy spełoy zostae postulat zachowaa masy, tz. eśl p τ = 0 V τ = 0. Jest edakŝe moŝlwe rozwaŝae cągłych zma czasu fzyczego. Rówaa ruchu ceczy lepke staą sę w te sposób rówaam o charakterze hperbolczym z pseudo-cśeowym falam propagowaym ze skończoą prędkoścą. Parametr sztucze ścślwośc β reprezetue sztuczą prędkość dźwęku wpływa a globale przyspeszee zbeŝośc procesu teracyego. Poprzez wykoae szeregu eksperymetów umeryczych akorzystesze okazało sę przyęce tego parametru z przedzału β = 0.8, take stałe wartośc są zadawae ako ezmee w całym obszarze rozwaŝaego przepływu. Fzycze waruk brzegowe dla rówań ruchu ceczy lepke () w zmeych perwotych wyraŝaą eprzekalość oraz brak poślzgu a ścakach cał stałych. Cśee e est zwykle zadawae a brzegu lecz est określae z rówań zachowaa mometu pędu moŝe być ustaloe wyłącze w edym pukce obszaru. Re x 3. METODOLOGIA OBLICZEŃ NMERYCZNYCH Perwote rówae Navera-Stokesa est dyskretyzowae a kaŝdym fzyczym kroku czasowym w astępuący sposób; x V, () V + 2 [ Η ( V, p ) + Η ( V, p )] = 0, V + t (2) gdze: p Η ( V, ) p = V V + V. x x Re x x

4 756 Zbgew KOSMA, Rafał KALBARCZYK, Bartosz PIECHNIK Następe, propoowaą techką oblczeń umeryczych est metoda prostych [6, 7]. kład rówań róŝczkowych cząstkowych (-2) est przekształcay do zagadea początkowego dla układu rówań róŝczkowych zwyczaych poprzez dyskretyzacę wszystkch pochodych względem zmeych przestrzeych łącze z warukam brzegowym dla pochode cśea za pomocą lorazów róŝcowych drugego rzędu. W te sposób uzyskuemy układ rówań róŝczkowych zwyczaych w postac ogóle gdze [ ] T, d = F ( ), (3) dt = p V est wektorem zmeych zaleŝych, F - operatorem róŝczkowaa przestrzeego. Metoda prostych ma wele zalet, spośród których ako awaŝeszą moŝa wymeć omęce koeczośc learyzac człoów elowych, poadto zagwaratowae są uwersalość prostota kodów umeryczych. Nektóre ograczea te metody są zwązae ze sztywoścą rówań róŝczkowych zwyczaych moŝlwoścą wystąpea ekedy establosc umeryczych. Otrzymay układ rówań róŝczkowych zwyczaych (3) moŝe być całkoway umerycze z wykorzystaem welu steących metod. Ewoluca rozwązaa do stau ustaloego ruchu ceczy lepke moŝe być bardzo efektywe osągęta edokrokową metodą predyktor-korektor wsteczego róŝczkowaa [8, 9] (0) = + t F ( ), ( q) ( ) ( = 0,,...) ( q+ ) = + t F q (4) lub teŝ metodą Galerka-Rugego-Kutty trzecego rzędu [0] () (2) = = 3 4 = 3 + t F ( ), () (2) + 4 t F () ( ) 2 (2) + t F ( ). 3, (5) Zapropoowaa została róweŝ praktycza metodologa rozwązywaa rówań Navera-Stokesa w obszarach o skomplkowaych geometrycze kształtach. Krzywolowe brzeg półkola lub półkul są aproksymowae prostolowym krawędzam lub przekątym łączącym kolee werzchołk rówomere satk, ablŝszym do l boczych zagłębeń (rys. ). W te sposób waruk brzegowe postawoe a krzywolowych brzegach są przeesoe w obszarze fzyczym do ablŝszych węzłów regulare satk o takch samych oczkach we wszystkch kerukach. Zastosowaa metodologa ma lcze zalety, w szczególośc prosty efektywy sposób geerowaa satk oraz omęce problemów zwązaych ze skośoścą satk.

5 WYZNACZANIE NIESTACJONARNEGO RCH CIECZY LEPKIEJ Rys.. Przykłady aproksymac krzywolowych l brzegowych 4. WYNIKI SYMLACJI NMERYCZNYCH Zagadea ruchu ceczy lepke w zagłębeach z górą poruszaącą sę ścaką maą waŝe zaczee poewaŝ moŝa zaleźć szereg przykładów przemysłowych urządzeń, w których tego rodzau przepływy struktury odgrywaą zasadczą rolę. Zateresowae przepływam w zagłębeach est spowodowae takŝe ch prostą geometrą oraz warukam brzegowym typu Drchleta. JedakŜe wewątrz zagłębeń fzyka przepływów e est prosta. MoŜe w ch występować edocześe klka charakterystyczych cech przepływu, które często występuą w procesach przemysłowych - take ak warstwy przyścee, wry róŝych rozmarów rozmate establośc. Poadto rezultaty umerycze dla zagłębeń trówymarowych e są lcze. W odróŝeu od zagadeń dwuwymarowych, przepływy w zagłębeach trówymarowych są bogate w skomplkowae zawska fzycze. Zasadczym edakŝe rozpowszechee sę badań takch przepływów est spowodowae ch przezaczeem ako zagadeń modelowych, przezaczoe do testowaa opracowywaych metod umeryczych do symulac ruchu ceczy lepke. Stąd teŝ, tesywe umerycze badaa takch zagadeń są cągle prowadzoe. Naczęśce badaym przez lczych autorów est klasycze uŝ zagadee ruchu ceczy lepke w zagłębeu kwadratowym (rys. 2a). Oblczea umerycze zostały wykoae metodą Rugego-Kutty-Galerka (5) dla lczb Reyoldsa: Re = 0 000, (krytycza lczba Reyoldsa: Re kr. 8000) a rówomere kwadratowe satce z krokem czasowym t = 0, krokem pseudo-czasowym 5 τ = 0 8 dokładoścą ε = 0 wyzaczaa stau ustaloego a kaŝde warstwe czasowe. Wyzaczoe le prądu po 00 tysącach krokach czasowych (waruk początkowe - rozwązae dla Re = 7500) kaŝdorazowo po astępych 0 tysącach krokach czasowych zostały przedstawoe a rysukach 2b-2d. Porówaa rozkładów prędkośc z rezultatam oblczeń wykoaym za pomocą programu Fluet są prezetowae a koleych rysukach 2e 2f. Symulace umerycze estacoarego ruchu ceczy lepke w półkolstym zagłębeu z górą poruszaącą sę ścaką (rys. 3a) zostały wykoae dla lczb Reyolda: Re = 7500 (00 tysęcy kroków czasowych) (0 tysęcy kroków czasowych) a rówomere satce z oczkem satk h = 300. W przypadku tego zagłębea wykorzystay został zapropooway sposób aproksymac krzywolowego brzegu (rys. ). Rysuk 3b 3c zaweraą obrazy l prądu, a rysuk 3d 3e - porówaa rozkładów prędkośc a wybraych lach x = cost y = cost z wykam oblczeń otrzymaych z wykorzystaem komercyego programu Fluet.

6 y y y 758 Zbgew KOSMA, Rafał KALBARCZYK, Bartosz PIECHNIK Y (a) (b) X x Y Y (c) X x x (d) X (e) (f) Rys. 2. Kwadratowe zagłębee: (a) geometra waruk brzegowe; le prądu rozkłady składowych prędkośc u oraz v a osach symetr: (b),(e) Re = 0 000, (c) Re = 2 500, (d),(f) Re = 5 000

7 WYZNACZANIE NIESTACJONARNEGO RCH CIECZY LEPKIEJ (a) Y y Y y (b) x.0 X (c) x.0 X (d) (e) Rys. 3. Półkolste zagłębee: (a) geometra waruk brzegowe; le prądu rozkłady składowych prędkośc u oraz v a lach x= y =0.25: (b),(d) Re = 7500, (c),(e) Re = Oblczea w półsześceym zagłębeu (rys. 4a) półkulstym zagłębeu (rys. 5a) zostały przeprowadzoe a rówomere satce o oczku h = 80, układ rówań róŝczkowych zwyczaych (-2) był całkoway edokrokową metodą predyktorkorektor wsteczego róŝczkowaa. Korekca była powtarzaa aŝ do osągęca 8 dokładośc ε 2 = 0. Pola prędkośc w płaszczyźe symetr oraz porówaa rozkładów prędkośc z rezultatam oblczeń wykoaym za pomocą programu Fluet są

8 760 Zbgew KOSMA, Rafał KALBARCZYK, Bartosz PIECHNIK prezetowae a rysukach 4b 4c-d oraz 5b 5c-d, dla kaŝdego przykładu oblczea zostały wykoae z 30 tysącam kroków czasowych. Wykoae oblczeń z wykorzystaem programu Fluet okazało sę moŝlwe edye w zakrese przepływów turbuletych, przyęto aczęśce stosoway model turbulec k-ε. (a) (b) (c) (d) Rys. 4. Półsześcee zagłębee: (a) geometra waruk brzegowe; pola prędkośc rozkłady składowych prędkośc u oraz v a lach x = 0.6 y = 0.25 w płaszczyźe z = : (c) Re = 2000, (b),(d) Re = 2500

9 WYZNACZANIE NIESTACJONARNEGO RCH CIECZY LEPKIEJ (a) (b) (c) (d) Rys. 5. Półkulste zagłębee: (a) geometra waruk brzegowe; pola prędkośc rozkłady składowych prędkośc u oraz v a lach x = 0.8 y = 0.4 w płaszczyźe z = : (c) Re = 200, (b),(d) Re = WNIOSKI Przedstawoe algorytmy wyzaczaa estacoarego ruchu ceczy lepke oparte a wykorzystau metody sztucze ścślwośc w połączeu z metodą prostych okazały sę geerale bardzo skuteczym dokładym sposobem symulac lamaro-turbuletych przepływów ceczy lepke w zagłębeach o róŝych kształtach dla umarkowaych lczb Reyoldsa. Stwerdzoo bardzo duŝą efektywość metody predyktor-korektor wsteczego róŝczkowaa metody Galerka trzecego rzędu do całkowaa układów rówań róŝczkowych zwyczaych, eśl chodz o czasy uzyskwaa rozwązań stacoarych. Bardzo duŝym osągęcem est teŝ opracowae efektywe praktycze metodolog rozwązywaa zagadeń ruchu ceczy lepke w obszarach ograczoych krzywolowym brzegam powerzcham krzywolowym. Zastosowae algorytmy wydaą sę być obecuące borąc pod uwagę ch złoŝoość oblczeową oraz dosyć dobrą zgodość z rezultatam symulac komputerowych wykoaym w programe Fluet. Algorytmy te mogą być łatwo zaadaptowae do symulac umerycze przepływów ceczy

10 762 Zbgew KOSMA, Rafał KALBARCZYK, Bartosz PIECHNIK lepke róŝych zagadeń przepływowych o praktyczym zaczeu. Rodz sę edakŝe przy tym pytae, które z porówaych wyków oblczeń umeryczych moŝa uzać za dokładesze, czy wyk oblczeń własych, czy teŝ wyk uzyskae za pomocą programu Fluet - moŝe to rozstrzygąć eksperymet laboratoryy. 6. BIBLIOGRAFIA [] Chor A.J.: A umercal method for solvg compressble vscous flow problems, Joural of Computatoal Physcs, 967, 2: [2] Aderso D.A., Taehll J.C., Pletcher R.H.: Computatoal Flud Mechacs ad the Heat Trasfer, Washgto, Hemsphere Publshg Corporato 984. [3] Fletcher C.A.J.: Computatoal Techques for Flud Dyamcs : Fudametal ad Geeral Techques, Berl-Hedelberg-New York, Sprger-Verlag 988. [4] Soh W.Y, Goodrch J.W.: steady soluto of compressble Naver-Stokes equatos, Joural of Computatoal Physcs, 988, 79: [5] Drkaks D., Rder W.: Hgh-Resoluto Methods for Icompressble ad Low-Speed Flows, Berl-Hedelberg, Sprger-Verlag [6] Oymak O., Selçuk N.: Method of les soluto of tme-depedet two-dmesoal Naver-Stokes equatos, Iteratoal Joural for Numercal Methods Fluds, 996, 23: [7] Specal Issue o the Method of Les, Joural of Computatoal ad Appled Mathematk, 2005, 83: [8] Harer E., Norset S.P., Waer G.: Solvg Ordary Dfferetal Equatos I: Nostff Problems, Berl-New York, Sprger-Verlag 987. [9] Harer E., Waer G.: Solvg Ordary Dfferetal Equatos II: Stff ad Dfferetal-Algebrac Problems, Berl-New York, Sprger-Verlag 99. [0] Cockbur B., Shu C.-W.: The Ruge-Kutta dscotuous Galerk method for coservato laws V, Joural of Computatoal Physcs, 998, 4: