Analiza niestacjonarnego pola temperatury elektrycznego grzejnika podłogowego z wykorzystaniem procesora karty graficznej

Transkrypt

1 Jarosław FORENC Poltechka Bałostocka, Wydzał Elektryczy do:0.599/ Aalza estacjoarego pola temperatury elektryczego grzejka podłogowego z wykorzystaem procesora karty grafczej Streszczee. W artykule przedstawoo rówoległą metodę oblczaa estacjoarego pola temperatury elektryczego grzejka podłogowego sterowaego regulatorem dwupołożeowym. Dwuwymarowe rówae przewodctwa ceplego, opsujące rozkład pola temperatury w grzejku, zdyskretyzowao ejawą metodą różc skończoych. Do rozwązaa otrzymaego układu rówań zastosowao metodę BCGStab z prekodycjoerem Jacobego. Algorytm powyższej metody zamplemetowao a procesor karty grafczej. Abstract. he artcle presets a parallel method of computg the o-statoary temperature feld of a electrc floor heater regulated by a o/off cotroller. A two-dmesoal heat equato, whch descrbes a temperature feld dstrbuto the heater, was dscretzed wth the use of the mplct fte dfferece method. I order to solve the obtaed system of equatos, the BCGStab method wth the Jacob precodtoer was used. he algorthm of ths method was mplemeted o a graphcs processg ut. (he aalyss of a o-statoary temperature feld of a electrc floor heater wth the use of a graphcs processg ut). Słowa kluczowe: elektrycze ogrzewae podłogowe, pole temperatury, ejawa metoda różc skończoych, GPGPU. Keywords: electrc floor heatg, temperature feld, mplct fte dfferece method, GPGPU. Wstęp Systemy ogrzewaa podłogowego stosowae są w budowctwe od bardzo welu lat cągle zyskują a popularośc. Zdecydowały o tym przede wszystkm zalety tej metody dostarczaa cepła do pomeszczeń [-]: rówomery korzysty rozkład temperatury powetrza w pomeszczeu, odpoweda wlgotość powetrza zmejszająca prawdopodobeństwo powstawaa chorób układu krążea, wększa powerzcha pomeszczea ze względu a brak zewętrzych grzejków, możlwość wykorzystaa ekowecjoalych źródeł eerg, ske koszty westycyje oraz mejsze zużyce eerg ż w przypadku tradycyjych systemów grzewczych. Wyróża sę trzy typy ogrzewaa podłogowego []: wode, elektrycze oraz powetrze. W przypadku ogrzewaa wodego czykem grzewczym jest cepła woda cyrkulująca w rurach wykoaych z medz lub z tworzywa sztuczego. Ogrzewae elektrycze wykorzystuje eergę elektryczą dostarczaą poprzez le lub maty grzewcze. Najmej populare jest ogrzewae powetrze, w którym źródłem cepła jest gorące powetrze przepływające przez rury lub kaały grzewcze. Aalze symulacj pracy układów ogrzewaa podłogowego pośwęcoo wele publkacj. Dotyczyły oe zarówo ogrzewaa wodego [4-7], elektryczego [8-0], jak powetrzego [-]. Stosowae w ch były metody aaltycze [6-8,0,] lub umerycze [4,5,9,,]. W welu przypadkach zastosowae metod umeryczych w oblczeach termczych skutkuje długm czasem pracy komputera [5] wymaga wykorzystaa systemu o dużej wydajośc (komputery rówoległe, klastry, grdy). Iteresującą alteratywą dla tego typu systemów są, zacze tańsze, procesory kart grafczych (GPU). Wydajość oblczeowa jedego procesora grafczego welokrote przewyższa wydajość tradycyjego procesora (CPU). Zastosowae procesora grafczego w oblczeach termczych pozwala węc zacząco skrócć czas ch trwaa. echologa ta powszeche azywaa jest oblczeam ogólego przezaczea realzowaym a procesorach kart grafczych (GPGPU - Geeral-Purpose Computg o Graphcs Processg Uts) [4,5]. W artykule przedstawoo zastosowae procesora karty grafczej do wyzaczaa rozkładu estacjoarego pola temperatury w modelu elektryczego grzejka podłogowego pracującego z regulatorem dwupołożeowym. Otrzymae wyk przedstawoo w postac przebegów rozkładów temperatury w modelu grzejka. Oceoo przyspeszee oblczeń rówoległych wykoywaych a procesorze karty grafczej. Model grzejka zagadee brzegowo-początkowe ypową kostrukcję podłog [] z elektryczym ogrzewaem przedstawa rysuek. Rys.. Przekrój podłog z elektryczym ogrzewaem podłogowym: - podkład betoowy, - zolacja cepla, - wylewka betoowa, 4 - zolacja przecwwlgocowa 5 - le grzeje, 6 - czujk temperatury Na podkładze betoowym umeszcza sę zolację termczą wykoaą ajczęścej z utwardzoego styropau. Izolacja ta zapobega przekau cepła w dół. Na styropae układa sę zolację przecwwlgocową. Kabel grzejy umeszczay jest a warstwe wylewk wstępej mocoway do podłoża za pomocą taśmy lub satk motażowej. Następe wylewaa jest betoowa warstwa wyrówująca. Na zewętrzych poowych krawędzach podłog stosuje sę dodatkową zolację w postac pasków lub taśm brzegowych zapobegających przekau cepła przez ścay pomeszczea. Na tak wykoaym grzejku podłogowym moża umeścć zaprawę klejową posadzkę lub położyć odpowedą wykładzę. Regulację temperatury w pomeszczeu zapewa termostat. Czujk temperatury motoway jest (w odległośc mmum 0,5 m od poowej krawędz) w strefe grzejej, jak ajblżej górej powerzch wylewk w rówej odległośc pomędzy dwoma odckam la. Moc długość la doberaa jest a podstawe wymagaej mocy grzewczej, wykającej ze strat cepła w pomeszczeu. Natomast odległość pomędzy 8 PRZEGLĄD ELEKROECHNICZNY, ISSN , R. 9 NR 9/05

2 odckam la (tzw. moduł C-C) określaa jest a podstawe powerzch użytkowej pomeszczea długośc la. Przestrzeo-czasowy rozkład pola temperatury jest zatem powtarzaly co x symetryczy względem os y. Aalzę rozkładu tego pola moża zatem ograczyć do obszaru wyróżoego a rysuku. Na górej powerzch grzejka (kotur 5 ) astępuje oddawae cepła do otoczea przez kowekcję promeowae. Opsuje to waruek brzegowy III rodzaju (Hakela): (5) x, y,t y dla yd x 0, x, t 0, x, y d,t gdze jest całkowtym współczykem przejmowaa cepła, zaś - temperaturą otoczea. Dola powerzcha modelu (kotur ) zajduje sę a gruce o stałej temperaturze g : (6) x, y 0,t dla x 0,x, t. g 0 Rys.. Aalzoway fragmet elektryczego grzejka podłogowego W aalzowaym modelu grzejka podłogowego założoo, że jego kostrukcja składa sę z trzech warstw (rys.): podkładu betoowego, zolacj ceplej wylewk betoowej. Pomęto zolację przecwwlgocową ze względu a jej małą grubość (ok. 0, mm) ewelk wpływ a przepływ cepła. Przyjmując, że długość rozpatrywaego układu jest zacze wększa ż wymary jego przekroju poprzeczego, rozkład termczego pola w grzejku może być modeloway jako płasko-rówoległy. W takm przypadku pole temperatury opsuje dwuwymarowe rówae przewodctwa ceplego [6]: () x,y,t x,y,t x,y,t gx,y,t, x y gdze (x,y,t) jest rozkładem temperatury w -tej warstwe grzejka ( =,,) oraz jest fukcją współrzędych geometryczych puktu (x,y) czasu t. Występujące w () g (x,y,t) określa objętoścową wydajość źródeł cepła (W/m ), zaś dyfuzyjość termczą -tej warstwy, opsaą zależoścą: (). c Ze względu a ewelk zakres temperatury pracy układu, założoo stałe wartośc (ezależe od temperatury) przewodośc ceplej -, cepła właścwego - c oraz gęstośc masy - w każdej warstwe modelu grzejka. Przyjęto, że poowe ścay grzejka są deale zolowae e astępuje a ch wymaa cepła z otoczeem. Wtedy w połowe odległośc mędzy lam (x = 0) temperatura (x,y,t) osąga mmum, zaś w pukce położea la (x = x ) - maksmum. W takm przypadku spełoe są astępujące waruk: () (4) t x,y,t 0 dla y 0, d, t 0, x x0 x, y,t 0 dla y 0, d, t 0. x xx Na obu gracach warstw (kotury 9 0 ) muszą być spełoe waruk cągłośc temperatury (7a,b) strumea cepła (8a,b): (7a) x, y d,t x, y d,t dla x 0,x, t 0, (7b) x, y d,t x, y d,t dla x 0,x, t 0, (8a) (8b) y y x, y,t x, y,t yd dla x 0,x y, t 0, x, y,t x, y,t yd dla x 0,x y, t 0. yd yd Masa la jest pomjale mała w stosuku do masy betou. Średca la jest ewelka w porówau do przekroju poprzeczego grzejka podłogowego. Z powyższych względów w aalze e jest uwzględaa struktura la pole w jego wętrzu. Kabel grzejy modeloway jest małym otoczeem S (powerzchą kotrolą) os la. Wspomaa powerzcha jest źródłem cepła zostae zdefowaa w astępym rozdzale. Oś la zajduje sę w pukce o współrzędych (x,y ). W pozostałych puktach modelu (poza otoczeem S ) gęstość wydzelaej mocy zeruje sę: (9) g x, y,t 0 dla x, y S t. 0 Układ grzejka podłogowego steroway jest regulatorem dwupołożeowym. Czujk regulatora zajduje sę pomędzy dwom odckam la - pukt A a rysuku. Jeśl temperatura puktu A osąge wartość OFF, to przepływ prądu w lu grzewczym jest przeryway wtedy: (0) A,t x, y S g x, y,t. OFF 0 Gdy temperatura puktu A spade do wartośc ON ( ON < OFF ), to przepływ prądu jest wzaway: () A,t x, y S g x, y,t g, ON gdze g jest stałą objętoścową wydajoścą źródła cepła. PRZEGLĄD ELEKROECHNICZNY, ISSN , R. 9 NR 9/05 8

3 W chwl t = 0 układ zajduje sę w stae ustaloym el e jest zaslay. Ze względu a e wartośc temperatury otoczea ( ) grutu ( g ) oraz przyjęte waruk brzegowe, e moża założyć jedakowej temperatury stau ustaloego dla wszystkch puktów modelu. Koecze jest wyzaczee rozkładu pola temperatury w stae ustaloym u (x,y) przy wyłączoym źródle cepła, co opsuje dwuwymarowe rówae przewodctwa [6]: () x x,y x,y u u 0. y W celu ujedozaczea rozwązaa powyższego rówaa ależy przyjąć podobe waruk brzegowe ()-(8) jak w przypadku rówaa (). We wspomaych zależoścach ależy zastąpć temperaturę (x,y,t) temperaturą u (x,y). Rozwązae rówaa () ze zmodyfkowaym warukam ()-(8) staje sę warukem początkowym dla rówaa (): () x,y,t 0 x,y. Rówaa ()-() oraz () opsują zatem zagadee brzegowo-początkowe, którego rozwązae modeluje pracę elektryczego grzejka podłogowego z regulatorem dwupołożeowym. Dyskretyzacja zagadea brzegowo-początkowego Do dyskretyzacj zagadea brzegowo-początkowego zastosowao ejawą metodę różc skończoych [6]. Przedstawoy a rysuku fragmet przekroju elektryczego grzejka podłogowego pokryto satką różc skończoych. Sposób umeracj węzłów satk pokazao a rysuku. Rys.. Fragmet satk różc skończoych Rówae () dyskretyzowao w przestrze czase. Druge pochode przestrzee zastąpoo cetralym lorazam różcowym, zaś pochodą perwszego rzędu względem czasu lorazem różcowym przedm. Otrzymao w te sposób dwuwymarowe rówae przewodctwa ceplego w postac różcowej: (4) k,l k,l x y t u g, gdze deksy dole (k,l) określają położee węzła w satce różc skończoych, zaś deks góry ozacza kolejy krok czasu. Zakładając jedakowy skok satk w keruku os x y (x = y) oraz dokoując odpowedch przekształceń, rówae (4) moża zapsać jako: 4Fo Fo k,l k,l (5) g x Fo, gdze Fo jest lczbą Fourera w -tej warstwe modelu grzejka: t (6) Fo. (x) W modelowau umeryczym la grzejego wydajość źródła cepła zwązaa jest z powerzchą kotrolą, którą jest połowa prostokąta utworzoego przez skok satk różc skończoych. Oś la zajduje sę a brzegu tego prostokąta. Wyka to z waruków symetr (), (4). Zatem stała objętoścowa wydajość źródła cepła wyraża sę zależoścą: Q (7) g, x y gdze Q jest lową gęstoścą wydzelaej mocy (W/m). Sterowae źródłem cepła wyka z opsaej w poprzedm rozdzale zasady pracy regulatora: g dla 0 A ON (8) g, 0 dla A OFF gdze A jest temperaturą puktu A. Ze względu a sposób modelowaa la grzejego, objętoścowe źródło cepła g będze występowało tylko w rówau jedego węzła leżącego a koturze 6 (pukt C a rysuku ). W przypadku węzłów (k,l) leżących wewątrz aalzowaego modelu mających cztery węzły sąsadujące (k+,l), (k-,l), (k,l+), (k,l-), wydajość g = 0. Zatem rówae (5) moża zapsać w prostszej forme: (9) 4Fo Fo k,l. k,l Węzły leżące a gracach modelu lub a gracach materałów wymagają wyzaczea ych rówań, uwzględających waruk brzegowe. Moża tego dokoać poprzez elmację z (9) estejących węzłów []. W przypadku brzegu oddającego cepło do otoczea (kotur 5 ) ależy z rówaa (9) wyelmować węzeł (k,l+). W tym celu zastosowao waruek (5) przekształcoy do postac różcowej: l l, (0) k k, [. y ] Wyzaczając z (0) temperaturę w węźle (k,l+), wstawając do (9) porządkując, otrzymao wzór różcowy dla węzłów leżących a koturze 5 : () Fo B Fo k,l BFo, k,l gdze B jest lczbą Bota wyrażoą zależoścą: 84 PRZEGLĄD ELEKROECHNICZNY, ISSN , R. 9 NR 9/05

4 x () B dla x y. W przypadku wyzaczaa rówań dla węzłów zajdujących sę a powerzchach adabatyczych, 4 zastosowao waruek brzegowy () zapsay w postac różcowej: (9) 4 4 Fo Fo Fo Fo dla,, k,l k,l k,l () 0. x Następe z () wyzaczoo temperaturę w węźle (k-,l), którą wstawoo do (9), otrzymując astępującą zależość: k,l (4) 4Fo Fo. W aalogczy sposób, stosując waruek brzegowy (4), wyprowadzoo rówaa dla powerzch adabatyczych 6, 7 8 : k,l (5) 4Fo Fo. Na koturze 6 zajduje sę jede węzeł satk różc skończoych odpowadający położeu la grzejego w modelu. Rówae dla tego węzła otrzymao z (5) poprzez wyelmowae węzła (k+,l): (6) 4Fo Fo g k,l x Fo, gdze zgode z (8) zachodz g = g. Na gracach materałów (kotury 9 0 ) muszą być spełoe waruk (7a,b) (8a,b). Z powodu wększej dokładośc do wyzaczea rówań dla węzłów leżących a tych koturach zastosowao jedak metodę blasu eergetyczego [6]. Otrzymae rówaa mają astępującą postać: (7) 4 4 Fo Fo k,l Fo Fo dla, k,l ę samą metodę zastosowao do wyprowadzea zależośc dla węzłów rogowych. W przypadku węzłów łączących brzeg adabatyczy z brzegem oddającym cepło otrzymao odpowedo: (8a) (8b) Fo B Fo BFo k,l dla, 4 5 Fo B Fo BFo k,l dla. 5 6 Jeszcze ą postać przyjmą wzory dla węzłów łączących gracę materałów z powerzchą adabatyczą. Rówaa dla węzłów łączących kotury 9 oraz 4 0 będą mały postać: zaś dla węzłów łączących kotury oraz : (0) 4 4 Fo Fo Fo Fo dla,. k,l Wszystke węzły zajdujące sę a dolej powerzch podłog (kotur ) mają stałą temperaturę rówą temperaturze grutu g. Zapsując odpowede rówaa różcowe (4)-(0) dla kolejych węzłów satk różc skończoych otrzymuje sę układ algebraczych rówań lowych. W przypadku zastosowaa satk o K węzłach w keruku os x L węzłach w keruku os y, układ będze lczył K (L-) rówań. Odjęce wartośc od L wyka z faktu, ż temperatura węzłów zajdujących sę a koturze jest zaa. Rozpoczęce aalzy stau eustaloego grzejka podłogowego wymaga wyzaczea rozkładu pola temperatury w stae ustaloym przed załączeem zaslaa. Odpowede zagadee brzegowe postawoo a końcu poprzedego rozdzału. Obece rówae () zostało zdyskretyzowae poprzez zastąpee drugch pochodych przestrzeych cetralym lorazam różcowym. Po dokoau odpowedch przekształceń rówae to przyjęło astępującą postać różcową: () k,l k,l 4 0. Powyższa zależość obowązuje dla węzłów zajdujących sę wewątrz aalzowaego modelu mających cztery węzły sąsadujące. Dla węzłów zajdujących sę a gracach modelu lub materałów wyzaczoo owe rówaa. W tym celu zastosowao elmację brakujących węzłów lub metodę blasu eergetyczego. W przypadku brzegu oddającego cepło do otoczea (kotur 5 ) rówaa będą mały astępującą postać: x x () k,l k,l. Dla powerzch adabatyczych, 4 otrzymao: () k,l 4 0, zaś dla powerzch 6, 7 8 : (4) k,l 4 0. Rówaa dla węzłów a gracach materałów (kotury 9 0 ) opsuje poższa zależość: (5) k,l k,l 4 0 dla,. PRZEGLĄD ELEKROECHNICZNY, ISSN , R. 9 NR 9/05 85

5 Dla węzłów rogowych łączących brzeg adabatyczy z brzegem oddającym cepło 4 5 oraz 5 6 wyprowadzoo, odpowedo, astępujące rówaa: x x (6a) k,l, x x (6b) k,l. Rówaa dla węzłów łączących gracę materałów z powerzchą adabatyczą 9 oraz 4 0 będą mały postać: (7) k,l 0 dla,, zaś dla węzłów oraz : (8) k,l 0 dla,. Wszystke węzły zajdujące sę a koturze mają stałą temperaturę rówą temperaturze grutu g. Zapsując rówaa różcowe ()-(8) dla wszystkch węzłów satk różc skończoych otrzymuje sę układ algebraczych rówań lowych, którego rozwązae jest warukem początkowym dla układu rówań opsującego pracę grzejka w stae eustaloym. Program komputerowy rozwązujący układ rówań różcowych Do rozwązaa układu rówań różcowych apsao autorsk program komputerowy w języku C++. Dzałae programu moża podzelć a klka etapów. W perwszym etape odczytywaa jest geometra aalzowaego modelu grzejka podłogowego oraz jego parametry materałowe. Następe a podstawe geometr odczytaego sposobu podzału modelu, geerowaa jest satka węzłów różc skończoych. Każdemu węzłow przypsywae są dwa parametry: typ węzła deks materału. yp węzła wyka z mejsca jego położea w modelu (wewętrzy, a koturze, rogowy) oraz przypsaych mu waruków brzegowych. Ideks materału ozacza atomast typ materału odpowadający daemu węzłow lub zawera formację o położeu węzła a gracy materałów. W trzecm etape oblczae są wartośc współczyków dwóch układów lowych rówań algebraczych. Perwszy układ rówań odpowada za wyzaczee pola temperatury w stae ustaloym (t = 0) przy wyłączoym źródle cepła. Natomast drug układ dotyczy aalzy pracy grzejka w stae eustaloym. Macerze współczyków obu układów rówań są rzadke (zawerają bardzo małą lczbę elemetów ezerowych). Z tego względu do przechowywaa ch w pamęc zastosowao metodę CSR (Compressed Sparse Row) [7, 8]. W metodze tej elemety ezerowe zapamętywae są werszam. W ostatm etape pracy programu rozwązywae są oba układy rówań. Jako perwsze wyzaczae są wartośc pola temperatury w stae ustaloym przed włączeem zaslaa. Operacja ta wymaga tylko jedokrotego rozwązaa układu. Natomast wyzaczee estacjoarego pola temperatury wymaga welokrotego rozwązaa drugego układu rówań dla kolejych chwl czasu. W tym przypadku jako przyblżee początkowe (krok = 0) przyjmuje sę wartośc pola temperatury w stae ustaloym przed włączeem zaslaa. W kolejych krokach ( =,, ) jako przyblżee początkowe stosowae są wartośc rozwązaa z kroku poprzedego. Włączee lub wyłączee zaslaa la grzejego wpływa a prawą stroę drugego układu rówań. Z tego względu w programe zdefowao dwa wektory wyrazów wolych odpowadające włączoemu wyłączoemu zaslau la grzejego. W zależośc od aktualego stau pracy grzejka stosoway jest odpowed wektor. Oblczea wykoywae są dla określoej lczby kroków wykającej z długośc przedzału czasu, w którym aalzowaa jest praca grzejka. Macerze współczyków obu rozwązywaych układów rówań są esymetrycze rzadke. Z tego względu do rozwązaa układów rówań zastosowao metodę teracyją - stablzowaą metodę wzajeme sprzężoych gradetów (BCGStab) [7, 8, 9] z prekodycjoerem Jacobego (dagoalym) [7, 8]. Główym zadaem prekodycjoera jest poprawa zbeżośc metody teracyjej. Rozwązywae układów rówań jest ajbardzej czasochłoym etapem pracy całego programu. Algorytm zastosowaej metody BCGStab składa sę z szeregu typowych operacj algebraczych a wektorach macerzach (p. możea macerzy przez wektor, dodawaa wektorów, oblczaa loczyu skalarego orm wektorów). Skrócee czasu wykoywaa powyższych operacj osągęto poprzez zastosowae w oblczeach procesora karty grafczej środowska CUDA (Compute Ufed Devce Archtecture) [4, 5]. CUDA umożlwa psae, komplowae uruchamae programów dzałających jedocześe a tradycyjych procesorach a procesorach grafczych frmy Nvda. Wraz ze środowskem dostarczae są dwe bblotek mplemetujące procedury algebry lowej a procesor GPU. W bblotece CUBLAS [0] zajdują sę fukcje przezaczoe dla macerzy gęstych, zaś w bblotece CUSPARSE [] - dla macerzy rzadkch. W opracowaym programe komputerowym zastosowao procedury z obu bblotek. Parametry modelu programu komputerowego W aalzowaym modelu elektryczego grzejka podłogowego (rys.) założoo, że perwsza trzeca warstwa wykoae są z betou o jedakowych parametrach materałowych, zaś druga warstwa - ze styropau. Przyjęte grubośc warstw oraz wartośc parametrów materałowych zestawoo w tabel. abela. Parametry materałowe modelu grzejka podłogowego Parametr Ozaczee Warstwa [jedostka] Grubość warstwy - [m] 0,5 0, 0,08 Przewodość cepla [W/(m K)],0 0,04,0 Cepło właścwe c [J/(kg K)] Gęstość masy [kg/m ] Pozostałe dae zastosowae w symulacj przedstawoo pożej: (9) g 4C, 0C, 9 W /( m K), Q x ON 0, 07 m, 5, 5C, y OFF 0, 7 m. 6, 5C, 0 W / m, Aalzoway fragmet modelu grzejka pokryto satką różc skończoych o K = 9 węzłach w keruku os x L = węzłach w keruku os y. Zastosowao satkę o skoku x = y = 0,00875 m. Otrzymao w te sposób układy algebraczych rówań lowych posadające PRZEGLĄD ELEKROECHNICZNY, ISSN , R. 9 NR 9/05

6 ewadomych. Aalzowao estacjoare pole temperatury w cągu 4 h od włączea zaslaa la grzejego. Przy założoej długośc kroku po czase t = s, dało to w sume 4 00 kroków metody oblczeowej. Wszystke oblczea wykoao a komputerze klasy PC wyposażoym w procesor Itel Core Quad CPU Q9650,00 GHz, 4 GB pamęc RAM DDR, dysk SeralAA 5 GB oraz kartę grafczą Ggabyte Nvda GeForce GX480 (480 rdze CUDA, 56 MB pamęc RAM GDDR5). Komputer pracował pod kotrolą 64- btowego systemu operacyjego Mcrosoft Wdows 7 Professoal PL. Na komputerze zostało zastalowae środowsko Mcrosoft Vsual Studo 008 Stadard Edto oraz współpracujące z m środowsko CUDA w wersj 5.5. W opracowaym programe komputerowym wszystke oblczea zmeoprzeckowe wykoywao w podwójej precyzj (double). Wyk oblczeń ch terpretacja Na rysuku 4 przedstawoo otrzymae przebeg temperatury w trzech puktach grzejka (A, B, C). W aalzowaym zakrese czasu pracy układu moża wyróżć dwa charakterystycze przedzały. W perwszym, trwającym ok. 0,5 godzy, astępuje rozgrzewae grzejka podłogowego. Natomast w drugm przedzale układ pracuje z regulatorem. Pukt A zajdują sę a powerzch podłog, pomędzy dwoma odckam la grzejego (rys.). Jego położee odpowada mejscu umeszczea czujka temperatury. emperatura puktu A jest ajższa a powerzch podłog, gdyż jego odległość od źródła cepła jest ajwększa. Pukt B zajduje sę bezpośredo ad lem grzejym, węc jego temperatura jest ajwyższa wśród wszystkch puktów powerzch podłog. Pukt C określa atomast temperaturę la grzejego. Jest to ajwyższa temperatura w całym przekroju poprzeczym aalzowaego modelu. emperatura ta ulega ajwększym zmaom po włączeu zaslaa la grzejego. emperatura [ºC] Czas [h] Rys.4. Przebeg temperatury w wybraych puktach grzejka Wpływ pracy regulatora a temperaturę w charakterystyczych puktach A B pokazao a rysuku 5. Po włączeu zaslaa la grzejego temperatura wszystkch puktów modelu grzejka rośe. Gdy temperatura puktu A osąge wartość OFF astępuje wyłączee zaslaa la. Pommo tego temperatura puktu A jeszcze przez pewe czas wzrasta, osągając wartość maksymalą w pukce (rys.5). Następe zaczya spadać gdy osąge wartość ON (pukt a rysuku 5) astępuje poowe włączee zaslaa la grzejego. Jedakże zam strumeń cepła dotrze do puktu A jego temperatura będze jeszcze przez pewe C B A czas spadała osągając mmum w pukce (rys.5). Opsaa sytuacja powtarza sę dla każdego cyklu pracy regulatora. Aalzując przebeg temperatury a rysuku 5 moża zauważyć, że przedzały czasu, w których zaslae la jest włączoe są zacze dłuższe ż przedzały czasu, w których zaslae jest wyłączoe. Na przykład po perwszym wyłączeu przerwa w zaslau trwała ok. godzy. Po upływe tego czasu układ poberał prąd przez poad 4 godzy. emperatura [ºC] 7,5 7 6,5 6 5,5 5 OFF ON 4, Czas [h] Rys.5. Praca grzejka podłogowego z regulatorem Z praktyczego puktu wdzea ajwększe zaczee mają rozkłady temperatury a powerzch podłog. Na rysuku 6 przedstawoo rozkłady dla trzech wybraych chwl czasu, odpowadających puktom - a rysuku 5. W przypadku wszystkch rozkładów temperatura puktu A jest ajższa, zaś temperatura puktu B - ajwyższa. Najwększe różce pomędzy ajceplejszym ajzmejszym puktem podłog występują dla krzywych r. Ne przekraczają oe jedak ºC, a zatem e powy być odczuwale przez użytkowków ogrzewaa podłogowego. Przy wyłączoym zaslau la grzejego wszystke pukty powerzch podłog mają prawe jedakową temperaturę (krzywa r ). emperatura [ºC] A 7,5 7 6,5 6 5,5 5 4,5 0 0,0 0,0 0,0 0,04 0,05 0,06 0,07 Odległość [m] Rys.6. emperatura a powerzch podłog w wybraych chwlach czasu: [s], [s], [s] Na rysuku 7 przedstawoo rozkład pola temperatury w przekroju poprzeczym grzejka w trzech chwlach czasu. Aalzując rysuk moża dokłade zaobserwować mejsce położea la grzewczego w wylewce betoowej oraz spadek temperatury a zolacj ceplej. B B A PRZEGLĄD ELEKROECHNICZNY, ISSN , R. 9 NR 9/05 87

7 Czasy oblczeń oraz wyzaczoe przyspeszea przedstawoo w tabel Rys.7. Pole temperatury w przekroju poprzeczym grzejka w wybraych chwlach czasu: [s], [s], [s] Przyspeszee oblczeń rówoległych W celu ocey wydajośc oblczeń rówoległych wykoywaych z wykorzystaem procesora karty grafczej, wyzaczoo przyspeszee oblczeń S. W klasyczych oblczeach rówoległych przyspeszee defowae jest jako loraz czasu wykoaa programu sekwecyjego a jedym procesorze czasu wykoaa programu rówoległego a daej lczbe procesorów []. W przypadku zastosowaa procesorów kart grafczych przyspeszee defowae jest w y sposób []: tcpu (40) S, tcpu GPU gdze t CPU jest czasem wykoaa programu sekwecyjego tylko a tradycyjym procesorze (CPU), zaś t CPU+GPU jest czasem wykoaa programu rówoległego a tradycyjym procesorze (CPU) procesorze karty grafczej (GPU). Do wyzaczea przyspeszea oblczeń wykorzystao program rówoległy opsay wcześej w pracy oraz jego wersję sekwecyją dzałającą tylko a procesorze CPU. W programe sekwecyjym do realzacj operacj a wektorach macerzach zastosowao bblotekę Itel Math Kerel Lbrary (MKL) w wersj 0. [4]. Bbloteka ta zawera procedury algebry lowej (BLAS - Basc Lear Algebra Subprograms) zoptymalzowae pod procesory frmy Itel. Oblczea przeprowadzoo dla różej gęstośc satk różc skończoych. W tabel zestawoo zastosowae satk oraz charakterystykę odpowadających m układów algebraczych rówań lowych (tz. lczbę ewadomych lczbę ezerowych elemetów macerzy współczyków). abela. Podzał modelu grzejka podłogowego parametry układu rówań Satka Lczba ezerowych Lczba elemetów macerzy ewadomych współczyków abela. Czasy dzałaa przyspeszee oblczeń (CPU - własy program, CPU+GPU - środowsko CUDA) Satka Czas oblczeń CPU [s] CPU+GPU [s] Przyspeszee 9 6,4 79,64 0, 57 65,4 66,0 0, , 408,74, ,00 49, 7, , ,0,66 W przypadku zastosowaa rzadkej satk różc skończoych (9, 57 65) e otrzymao przyspeszea oblczeń. Ozacza to, że wykorzystae dodatkowego procesora GPU wydłużyło czas oblczeń w porówau z oblczeam wykoywaym tylko a procesorze CPU. Dopero w przypadku gęstszych satek otrzymao skrócee czasu dzałaa programu. W przypadku satk 5 76 skrócoo czas oblczeń poad -krote (z prawe 0 godz do eco poad godz). Uwag końcowe W artykule przedstawoo aalzę eustaloego pola temperatury w welowarstwowym modelu elektryczego grzejka podłogowego pracującego z regulatorem dwupołożeowym. W tym celu apsao autorsk program komputerowy wykorzystujący w oblczeach tradycyjy procesor oraz procesor karty grafczej. Otrzymae wyk oblczeń przedstawoo w postac przebegów rozkładów temperatury. Zbadao wydajość opracowaego programu komputerowego. Zastosowae procesora GPU pozwolło a skrócee czasu oblczeń tylko w przypadku zastosowaa gęstej satk różc skończoych. Brak przyspeszea dla rzadkej satk jest spowodoway ewystarczającym obcążeem procesora grafczego, wykającym ze zbyt małej lczby elemetów macerzy wektorów występujących podczas rozwązywaa układów rówań metodą BCGStab. Należy jedakże podkreślć, że otrzymae przyspeszea oblczeń są porówywale z wykam prezetowaym w ych publkacjach. W pracy [5] aalzowao mplemetację metody BCGStab z prekodycjoerem wykorzystującym epeły rozkład LU (complete-lu precodtoer) podczas rozwązywaa testowych układów rówań. Dla macerzy esymetryczych otrzymao przyspeszea od 0,5 do 8,6. Podobe badaa wykoao w pracy [6] otrzymując przyspeszea w zakrese od do. Z kole w pracy [7] metodę BCGStab zastosowao do rozwązaa układu rówań powstałego podczas aalzy problemu termczego, otrzymując przyspeszea od, do 6,0. W opracowaym programe komputerowym wszystke oblczea zmeoprzeckowe wykoae zostały w podwójej precyzj (double). Procesory kart grafczych mają wększą wydajość w przypadku zastosowaa pojedyczej precyzj. Jedakże w opracowaym programe e było to możlwe, gdyż zastosowae pojedyczej precyzj spowodowało brak zbeżośc metody teracyjej podczas wyzaczaa waruku początkowego. Praca zrealzowaa w ramach projektu badawczego Poltechk Bałostockej r S/WE//0. LIERAURA [] Żukowsk M., Ogrzewae podłogowe, Ofcya Wydawcza Poltechk Bałostockej, Bałystok, (009). 88 PRZEGLĄD ELEKROECHNICZNY, ISSN , R. 9 NR 9/05

8 [] Watso R.D., Chapma K.S., Radat Heatg & Coolg Hadbook, McGraw-Hll Compaes, (004). [] Woodso R.D., Radat Floor Heatg, Secod Edto, McGraw-Hll, New York, (009). [4] Sattar S., Farhaeh B., A parametrc study o radat floor heatg system performace, Reewable Eergy, (006), No. 0, [5] Holopae R., uomaala P., Pppo J., Ueve grddg of thermal odal etworks floor heatg smulatos, Eergy ad Buldgs, 9 (007), No. 0, [6] J X., Zhag X., Luo Y., A calculato method for the floor surface temperature radat floor system, Eergy ad Buldgs, 4 (00), No. 0, [7] Lu Y., Wag D., Lu J., Study o heat trasfer process for slab heatg floor, Buldg ad Evromet, 54 (0), [8] Gołębowsk J., Kwećkowsk S., Dyamcs of threedmesoal temperature feld electrcal system of floor heatg, Iteratoal Joural of Heat ad Mass rasfer, 45 (00), No., 6-6. [9] L K., Zhag Y., Xu X., D H., Yag R., Q P., Modelg ad smulato of uder-floor electrc heatg system wth shapestablzed PCM plates, Buldg ad Evromet, 9 (004), No., [0] Gołębowsk J., Kwećkowsk S., Zaręba M., Bycul R.P., Aalza eustaloego pola termczego w elektryczych grzejkach podłogowych w lach prądu stałego, Polska Akadema Nauk - Komtet Elektrotechk, Ofcya Wydawcza Poltechk Bałostockej, Warszawa-Bałystok, (00). [] Bozkır O., Cabazoğlu S., Usteady thermal performace aalyss of a room wth seral ad parallel duct radat floor heatg system usg hot arflow, Eergy ad Buldgs, 6 (004), No. 6, [] Gołębowsk J., Forec J., Parallel computatos of the step respose of a floor heater wth the use of a graphcs processg ut. Part : Models ad algorthms, Bull. Pol. Ac.: ech., 6 (0), No. 4, [] Gołębowsk J., Forec J., Parallel computatos of the step respose of a floor heater wth the use of a graphcs processg ut. Part : Results ad ther evaluato, Bull. Pol. Ac.: ech., 6 (0), No. 4, [4] Farber R., CUDA Applcato Desg ad Developmet, Morga Kaufma, Amsterdam, (0). [5] Cook S., CUDA Programmg. A Developer s Gude to Parallel Computg wth GPUs, Morga Kaufma, Amsterdam, (0). [6] Icropera F., De Wtt D., Bergma., Lave A., Itroducto to Heat rasfer, Joh Wley&Sos, Hoboke, (007). [7] Barrett R., Berry M., Cha.F., Demmel J., Doato J.M., Dogarra J., Ejkhout V., Pozo R., Rome Ch., Va der Vorst H., emplates for the Soluto of Lear Systems: Buldg Blocks for Iteratve Methods, SIAM, Phladelpha, (994). [8] Saad Y., Iteratve Methods for Sparse Lear Systems, Secod Edto, SIAM, (00). [9] Va der Vorst H., B-CGSAB: A fast ad smoothly covergg varat of B-CG for the soluto of osymmetrc lear systems, SIAM J. Sc. ad Stat. Comput., (99), No., [0] CUBLAS Lbrary, User Gude, NVIDIA Corporato, Sata Clara, CA, (0). [] CUSPARSE Lbrary, NVIDIA Corporato, Sata Clara, CA, (0). [] Karbowsk A., Newadomska-Szykewcz E. (red.), Programowae rówoległe rozproszoe, Ofcya Wydawcza Poltechk Warszawskej, Warszawa, (009). [] Jall-Marad V., Davah V., SIMD-based large-scale traset stablty smulato o the graphcs processg ut, IEEE ras. o Power Systems, 5 (00), No., [4] Itel Math Kerel Lbrary. Referece Maual, MKL 0. Update 0, Itel Corporato, (0). [5] Naumov M., Icomplete-LU ad Cholesky precodtoed teratve methods usg CUSPARSE ad CUBLAS. Whte Paper, NVIDIA Corporato, Lodo, (0). [6] Naumov M., Precodtoed Block-Iteratve Methods o GPUs, Proceedgs Appled Mathematcs ad Mechacs, (0), No., -4. [7] Haer S., Shrmpto J.S., Fully resolved smulato of partcle deposto ad heat trasfer a dfferetally heated cavty, Iteratoal Joural of Heat ad Flud Flow, 50 (04), -5. Autorzy: dr ż. Jarosław Forec, Poltechka Bałostocka, Wydzał Elektryczy, ul. Wejska 45D, 5-5 Bałystok, E-mal: j.forec@pb.edu.pl. PRZEGLĄD ELEKROECHNICZNY, ISSN , R. 9 NR 9/05 89