WIELOMIANOWA APROKSYMACJA STRUMIENIA MAGNETYCZNEGO W MASZYNIE ASYNCHRONICZNEJ Z UWZGLĘDNIENIEM PIERWSZEJ I TRZECIEJ HARMONICZNEJ SMM

Transkrypt

1 Zeszyty Problemowe Maszyy Elektrycze Nr 88/ 5 Adam Warzecha Poltechka Krakowska WIELOMIANOWA APROKSYMACJA STRUMIENIA MAGNETYCZNEGO W MASZYNIE ASYNCHRONICZNEJ Z UWZGLĘDNIENIEM PIERWSZEJ I TRZECIEJ HARMONICZNEJ SMM POLYNOMIAL APPROXIMATION OF MAGNETIC FLUX IN ASYNCHRONOUS MACHINE INCLUDING THE FIRST AND THE THIRD MMF HARMONIC Abstract: The aer descrbes a recse method of aroxmato the relatos betwee the flux lkages of the wdgs ad the frst ad the thrd harmoc of MMF geerated by the wdgs currets. These olear fuctos are aroxmated by a Fourer seres of the frst harmoc osto ad by the two-varable olyomals of the amltudes of the both harmocs. They were formulated basg o the co-eergy fucto of ma magetc feld. The arameters of the olyomals are estmated base o the results of the feld modellg. Show results of the drect ad drect estmato method cofrm the correctess of the roosed ways of the calculatos. Preseted method s desged to more recse modellg wth crcut methods the saturato effects asychroous mache.. Wstę Modelowae efektów asyceowych w maszye asychroczej zaslaej w sosób douszczający obecość składowej zerowej rądów fazowych wymaga uwzględea w modelu matematyczym harmoczych rzeływu wyadkowego uzwojeń rzyajmej rzędu oraz. [].[]. Główe strumee skojarzoe z uzwojeam aleŝy wtedy traktować jako fukcje ęcu zmeych: amltudy fazy erwszej trzecej harmoczej wyadkowej SMM w szczele oraz kąta ołoŝea os magetyczej uzwojea []. Celem racy jest rzedstawee metody aroksymacj tych fukcj a baze erwotej fukcj koeerg główego ola magetyczego oraz zlustrowae ch własośc a rzykładze slka erśceowego małej mocy o elowym obwodze magetyczym. Pola rozroszeń będą uwzględae oddzele rzy załoŝeu lowośc ch obwodów magetyczych.. Określee fukcj aroksymujących strumee skojarzoe uzwojeń względem zmeych kątowych Ogólą ostać szeregu trygoometryczego aroksymującego fukcję koeerg główego ola magetyczego w maszyach cyldryczych o elowym obwodze magetyczym odaje raca []. Jego ajrostsza ostać uwzględająca tylko erwszy składk modelujący elowość jest astęująca: E E E ( ϕ... N Eco ( α α ( ( ( α α co ( gdze ozaczają rąd magesujący harmoczej rzędu oraz rówowaŝy odowedo harmoczej odstawowej harmoczej trzecej rzeływu wyadkowego atomast kąty α α określają fazy tych harmoczych względem stojaa. Te zastęcze zmee są zaym fukcjam zmeych odstawowych ϕ... N. Szereg aroksymujące strumee skojarzoe z uzwojeam są ochodym cząstkowym fukcj koeerg ola główego: ( α α gdze α ( α co (α ( α ( α α s (α ( α α ( (ab

2 5 Zeszyty Problemowe Maszyy Elektrycze Nr 88/ ( α ( α α s ( α α (ab rzy czym wk wk. Symbole w k k ozaczają lczbę zwojów oraz wsółczyk uzwojea dla harmoczej oraz. α γ α δ O s α γ Rys.. Przyjęte ozaczea kątowe dla harmoczych rzędu wyadkowej SMM Na tej odstawe o wrowadzeu ozaczeń: ; co co (5ab α co co ; (ab α główy strumeń skojarzoy z -tym uzwojeem moŝa zasać w zwartej ostac: gdze [ γ s γ ] [ γ s γ ] (7 ( a a γ ( a a γ ; Uwzględając sumę ( we wzorach (5 ( otrzymuje sę: s δ s δ δ δ gdze ( a a wsółczyk oraz (8ab (9ab δ. Wrowadzoe osadają wymar strumea są fukcjam obu rądów magesujących sełającym astęujące waruk wykające z własośc fzyczych: ( ( ( ( ( ( ( ( (ab (ab (ab atomast w szczególośc e moŝa wykluczyć: ( (. (ab Po uwzględeu w (7 wzorów (8 (9 otrzymuje sę ajrostszą ostać szeregu aroksymującego strumee główe: [ ( α α ( ( α α α ( ( α α α [ ( α α ( ( α α α ( ( α α ( zawerającą harmocze rzędów względem zmeej kątowej α. rzy stałych wartoścach. W szczególośc gdy trzeca harmocza wyadkowej SMM e wystęuje to szereg ( redukuje sę do ostac:

3 Zeszyty Problemowe Maszyy Elektrycze Nr 88/ 55 ( α α [ ( α α ( α α ] (5 wskazującej a moŝlwość geerowaa trzecej harmoczej asyceowej strumea skojarzoego rzez harmoczą odstawową SMM.. Określee fukcj aroksymujących strumee skojarzoe uzwojeń względem rądów magesujących Do aroksymacj składków fukcj koeerg wydzeloych we wzorze ( względem dwóch rądów magesujących moŝa zastosować welomay arzyste względem wektora rądów w astęującej ogólej ostac: E co (! ( W! ( W W W W W W W... ( Postac zredukowae dla uwzględea waruków ( ( ( są astęujące: E ( ( D D ( D D D ( D D D D D... Eco ( ( G G 5 ( G G G 5 G... (7 (8 Na tej odstawe formułuje sę welomay aroksymujące fukcje strume (5ab (ab które uwzględają zwązk omędzy m wykające z własośc erwotej fukcj koeerg. Welomay osadające wsóle wsółczyk układają sę w dwe gruy: (9ab E Eco (abcd Wsółczyk tych welomaów mogą być wyzaczoe a odstawe wdm amltudowych strume fazowych lub koeerg ola główego w maszye.. Procedura wyzaczaa wdma fukcj koeerg ola strume skojarzoych uzwojeń Przyjęte w modelu maszyy o elowym obwodze magetyczym wdmo amltudowe fukcj koeerg ola ( zawera dwuargumetowe fukcje rądów ; E E magesujących ( ( W wdme amltudowym strume ( wystęują dwe skorelowae fukcje (9 cztery skorelowae fukcje ( tych samych zmeych. Do wyzaczea tych fukcj wykorzystuje sę wyk oblczeń olowych koeerg ola całkowtego lub fazowych strume skojarzoych względem trzech zmeych α. Oblczea te α są wykoywae dla zadaych rądów w uzwojeach wytwarzających wyadkową SMM w szczele o rówomere rozłoŝoych ozycjach harmoczej odstawowej rzy zadaych wartoścach harmoczej trzecej o ustaloej ozycj kątowej α t. []. Rys.. Przykładowy rozkład ola wytwarzaego rzez trójfazowe rądy stojaa w slku erśceowym małej mocy

4 5 Zeszyty Problemowe Maszyy Elektrycze Nr 88/ Aalza FFT oblczoej fukcj koeerg omejszoej o koeergę ól rozroszea E E. wyzacza fukcje ( ( Aalogcza aalza fazowego strumea skojarzoego wyzacza amltudy szeregu aroksymującego (. Wybrae wyk otrzymae dla slka erśceowego. kw rzy zaslau uzwojeń stojaa rądam susodalym ze składową stałą rówą ołowe amltudy składowej zmeej rzedstawają rysuk. E co [J] α [deg] Rys.a. Fukcja koeerg ola główego względem ozycj os harmoczej odstawowej wyadkowej SMM E coρ [-] ρ/ Rys.b. Wdmo amltudowe fukcj koeerg odesoe do składowej stałej α [deg] Rys.a. Fukcja główego strumea skojarzoego względem ozycj os harmoczej odstawowej wyadkowej SMM ρ [-] ρ/ Rys.b. Wdmo amltudowe strumea główego odesoe do harmoczej odstawowej Obecość harmoczych arzystych w wdme strumea wyka z wrowadzea do rądów fazowych składowej stałej w celu detyfkacj fukcj (9 (. 5. Estymacja arametrów welomaów aroksymujących Welomay (9 ( aroksymujące amltudy szeregu strumea ( są ze sobą skorelowae orzez wsóle wsółczyk. Te same wsółczyk wystęują w welomaach ( (7 aroksymujących składk szeregu koeerg (. Z tych owązań wykają dwe metody estymacj arametrów fukcj aroksymujących strumee: ośreda bezośreda. Metoda ośreda bazująca a wdmach koeerg obejmuje tylko dwe eskorelowae fukcje ale wykorzystuje tylko ewelką część daych uzyskwaych z oblczeń olowych. Wymaga teŝ duŝej recyzj oblczeń aby wyzaczyć orawe fukcje ochode. Metoda bezośreda bazuje a wdmach strume fazowych obejmuje dwe skorelowae fukcje aroksymujące odowedo składową stałą harmoczą odstawową strume fazowych oraz cztery skorelowae fukcje aroksymujące amltudy harmoczych tych strume. Zagadee aroksymacj fukcj koeerg ola E co względem zmeych ( za omocą fukcj f o arametrach W jest osae rówaem: ( W ε E co f ( Aalogcze zagadee aroksymacj N fukcj skorelowaych strume skojarzoych za omocą fukcj f osuje układ rówań []:

5 Zeszyty Problemowe Maszyy Elektrycze Nr 88/ 57 M N f f f N ( W ( W M ( W N ε ε M ε N ( Oblczae wsółczyków W mmalzujących błędy aroksymacj ε olega a mmalzacj fukcj celu określoej jako błąd średokwadratowy odowedo dla fukcj koeerg układu fukcj strume: ε ε E ( W ( W P ( Eco ( f ( W N P ( ( f ( W ( W racy do tych oblczeń wykorzystao algorytm Gaussa-Newtoa stosoway w detyfkacj obektów dyamczych. Przyjęto aroksymację koeerg welomaem stoa oraz aroksymację strume welomaam 5 stoa. Bazę do oblczeń staowły wyk oblczeń olowych w (5x5x uktach rzestrze arametrów α dla α.. Prezetacja dwuwymarowych charakterystyk magesowaa Fukcje aroksymujące rerezetatywe charakterystyk strume względem rądów o wsółczykach oblczoych metodą ośredą rzestawają rysuk 5abcd. Składk strume wykające z wystęowaa trzecej harmoczej koeerg e rzekraczają 5% wartośc harmoczej odstawowej. Z tego względu dokładość loścowa tej metody e jest wystarczająca. Poadto rzy wększych asyceach ujawają sę wady aroksymacj welomaowej których e da sę usuąć rzez odesee stoa welomaów. Rysuk ab ozwalają oceć dokładość aroksymacj o wsółczykach wyzaczoych metodą bezośredą. Rozroszee uktów odwzorowujących trzecą harmoczą strume a rys.b rzy róŝych wartoścach rądu staow marę edokładośc daych źródłowych ochodzących z oblczeń ola..5 Rys.5a. Aroksymacja fukcj..5 Rys.5b. Aroksymacja fukcj..5 Rys.5c. Aroksymacja fukcj.. Rys.5d. Aroksymacja fukcj

6 58 Zeszyty Problemowe Maszyy Elektrycze Nr 88/ rzy Rys.a. Aroksymacja fukcj ( t. o - ukty z oblczeń olowych rzy Rys.b. Aroksymacja fukcj ( t o - ukty z oblczeń olowych 7. Podsumowae Model obwodowy maszyy asychroczej uwzględający elowość główego obwodu magetyczego oraz erwszą trzecą harmoczą rozkładu wyadkowej SMM w szczele zawera dwuwymarowe charakterystyk główych strume skojarzoych z uzwojeam określoe względem amltud tych harmoczych. Porawą ostać fukcj aroksymujących strumee otrzymuje sę a odstawe aroksymacj erwotej fukcj koeerg główego ola magetyczego względem kąta omędzy osam erwszej trzecej harmoczej SMM oraz względem ch amltud wyraŝaych rzez odowede rądy magesujące. Trudośc w sformułowau fukcj bazowych dostosowaych do aroksymacj tych charakterystyk owodują Ŝe koecze jest zastosowae aroksymacj welomaowej względem rądów ommo ograczoego rzedzału jej orawośc. Wyzaczae wsółczyków tych welomaów bazuje a wykach ser oblczeń olowych strume skojarzoych uzwojeń lub koeerg ola w maszye zaslaej symetryczym układem rądów ze składową stałą. Daym dla rocedury estymującej arametry są wdma amltudowe strumea fazowego w metodze bezośredej lub wdma koeerg ola w metodze ośredej. Oblczea wykoae dla slka małej mocy wykazały Ŝe metoda ośreda jest zdecydowae rostsza ale jej dokładość jest wystarczająca tylko dla charakterystyk modelujących harmoczą odstawową strume. Wyka to z ewelkego udzału charakterystyk wyŝszych harmoczych. Przedstawoy sosób formułowaa wyzaczaa dwuwymarowych charakterystyk magesowaa jest dedykoway dla model obwodowych maszy z rówomerą szczelą uwzględających odkształcee ola szczelowego w skutek elowośc obwodu magetyczego obecośc trzecej harmoczej SMM w szczele Lteratura [] Morera J.C. Lo T.A. Modellg of Saturated AC Maches Icludg Ar Ga Flux Harmoc Comoets IEEE Trasactos o Idustry Alcatos Vol. 8 No [] Sobczyk T.J. Mathematcal Model of Iducto Maches Accoutg for Saturato due to the Frst ad the Thrd MMF Harmocs Proceedgs of ICEM 98 Vol. / Istabul [] Warzecha A. Comutato of co-eergy fucto for o-lear model of woud rotor ducto motor Czasosmo Techcze sera Elektrotechka zeszyt /98 Wydawctwo Poltechk Krakowskej Kraków 998 s. 5. [] Korbaś G. Macek-Kamńska K. Badae rzydatośc wybraych gradetowych bezgradetowych metod mmalzacj do wyzaczaa arametrów modelu matematyczego slka dukcyjego Materały Koferecyje SME Gdańsk. [5] Kudła J. Modele matematycze maszy elektryczych rądu rzemeego uwzględające asycee magetycze rdze Wydawctwo Poltechk Śląskej Glwce 5. Autor dr Ŝ. Adam Warzecha Poltechka Krakowska Istytut Elektromechaczych Przema Eerg tel. ( 8 ewarzec@cyf-kr.edu.l Recezet Dr Ŝ. Wojcech Petrowsk