Autoregresyjne modele o rozłożonych opóźnieniach - Autoregressive Distributed Lags models

Transkrypt

1 Autoregresyjne modele o rozłożonych opóźnieniach - Autoregressive Distributed Lags models ADL

2 ADL Ogólna postać modelu ADL o p-opóźnieniach zmiennej zależnej i r-opóźnieniach zmiennej/zmiennych objaśniających jest następującą: y yt = µ + p r α y + β x + i t i j t j i= 1 j= 0 ξ t

3 Cel Oszacowanie długookresowego modelu popytu na szeroki pieniądz w Niemczech

4 Dane i zmienne odsezonowane kwartalne dane z okresów: 1975: :4 Zmienna zależna: m-logarytm nominalnej podaży Zmienne niezależne: y-logarytm realnego GDP p-logarytm poziomu cen rl, rs odpowiednio długo i krótkookresowa stopa procentowa D1990(1) 0-1(1-bardzo wysoki wzrost stóp procentowych, jaki nastąpił po upadku muru berlińskiego w ) D1991(1) 0-1(1-zmiana definicyjna szeregów m i y)

5 np.szoki Zasady wprowadzania 0-1 zmienne 1. jeśli zmienna objaśniana jest stacjonarną, to 0-1 zmienna dla okresu szoku powinna przyjmować wartości 0 przed nim oraz 1 w nim i we wszystkich kolejnych okresach. 2. dla zróżnicowanej zmiennej objaśnianej, zmienna 0-1 powinna przyjmować wartości 0 we wszystkich innych okresach, niż ten, na który wskazuje. 3. jeśli zmienna objaśniana jest niestacjonarna, to aplikuje się do niej podejście analogiczne jak do zmiennych zróżnicowanych.

6 Wstępna obróbka danych Zmienna czasowa: dane kwartalne: gen date=quarterly(obs,"yq") (dla Stat y 1960q1=0 itd.) dane miesięczne: gen date = monthly(obs, ym ) dane dzienne: gen date =daily(obs, yd )

7 Operator opóźnień Lx = x t t 1 gen y _1 = l. y gen y _ 2 = l. l. y gen y _ 22 = l2. y

8 Operator różnicowania Dx t = x x t t 1 gen dy = d. y

9 Wstępna obróbka danych zadeklarować szereg czasowy: tssetdate def: mr logarytm realnej podaży szerokiego pieniądza gen mr=m-p

10 Wykres zmiennej zależnej format date %tq scatter y date, c(l) s(i)

11 Wykres zmiennej zależnej mr q1 1980q1 1985q1 1990q1 1995q1 date

12 Stacjonarność szeregów czasowych

13 Proces ytjest słabo stacjonarny, jeśli zachodzą trzy następujące warunki: E( yt) = μ -wartość oczekiwana nie zależy od t (jest stała w czasie) Var(yt) = σ 2 -wariancja nie zależy od t (jest stała w czasie) Cov( y t,y t+h ) =γ h -wartość kowariancji dla dwóch obserwacji zależy jedynie od odstępu miedzy nimi, a nie od momentów czasu z których pochodzą obserwacje Słaba stacjonarność

14 y t ~IID(0,σ 2 ), cov(y t,y t+h )=0 set obs1000 gen t=_n tsset t gen white_noise=2*invnorm(uniform()) tslinewhite_noise, title(biały szum szereg statjonarny) Biały szum

15 Biały szum szereg stacjonarny whit te_noise t

16 dla α y t y t = 1 α + ε < 1 t, y t ε t ~ IID(0, σ - stacjonarna gen e = 10* invorm( uniform()) gen ar _1 = 0 replace ar _1 = 0.5* ar _1[_ n 1] + e if t > 1 tsline ar _1, title(pr oces AR(1) szereg stacjonarny) 2 ) AR(1)

17 Proces AR(1) - szereg stacjonarny ar_ t

18 y + = y t t, ~ IID(0, ε ε σ 1 t t 2 ) gen e = 10*invnorm(uniform()) gen random_walk = 0 replace random_walk = random_walk[_n-1] + e if t > 1 tsline random_walk, title(badzenie przypadkowe - szereg niestacjonarny) Błądzenie przypadkowe

19 Bładzenie przypadkowe - szereg niestacjonarny t random_walk

20 y + + = µ y t t t, ~ IID(0, ε ε σ 1 t 2 ) gen e = 10*invnorm(uniform()) gen random_walk_drift = 0 replace random_walk_drift=1+ random_walk_drift[_n-1] + e if t > 1 tsline random_walk_drift, title(bładzenie przypadkowe z dryfem - szereg niestacjonarny) Błądzenie przypadkowe z dryfem

21 Bładzenie przypadkowe z dryfem - szereg niestacjonarny t random_walk_drift

22 y t = α + β t + ε, ε I t t (0) gen e = 10*invnorm(uniform()) gen trend = *t + e tsline trend, title(trend deterministyczny - szereg niestacjonarny) Trend deterministyczny

23 Trend deterministyczny - szereg niestacjonarny trend t

24 m1 1998m1 2000m1 2002m1 2004m1 2006m1 t ppi cpi ProducerPriceIndex

25 Szereg niestacjonarny Obliczając przyrosty d razy Szereg stacjonarny Szereg zintegrowany stopnia d

26 y t = δyt 1 + ε t H 0 : δ = 0, y t ~ I (1) H : δ < 0, y ~ I 1 t (0) Test Dickey a-fullera

27 . dfuller mr, reg Dickey-Fuller test for unit root Number of obs = Interpolated Dickey-Fuller Test 1% Critical 5% Critical 10% Critical Statistic Value Value Value Z(t) MacKinnon approximate p-value for Z(t) = D.mr Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] mr L _cons Test DF

28 bgodfrey, lag(1,2,3,4). bgodfrey, lag(1,2,3,4) Breusch-Godfrey LM test for autocorrelation lags(p) chi2 df Prob > chi H0: no serial correlation Test Breusha-Godfrey a

29 . dfuller rl, reg Dickey-Fuller test for unit root Number of obs = Interpolated Dickey-Fuller Test 1% Critical 5% Critical 10% Critical Statistic Value Value Value Z(t) MacKinnon approximate p-value for Z(t) = D.rl Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] rl L _cons Test DF

30 bgodfrey, lag(1,2,3,4). bgodfrey, lag(1,2,3,4) Breusch-Godfrey LM test for autocorrelation lags(p) chi2 df Prob > chi H0: no serial correlation Test Breusha-Godfrey a

31 H H 0 1 : : δ δ = 0, < 0, y y t t ~ I (1) ~ I (0) Rozszerzony test Dickey a-fullera(adf)

32 Dfuller lr, lag(6) reg Augmented Dickey-Fuller test for unit root Number of obs = Interpolated Dickey-Fuller Test 1% Critical 5% Critical 10% Critical Statistic Value Value Value Z(t) MacKinnon approximate p-value for Z(t) = D.rl Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] rl L LD L2D L3D L4D _cons Test ADF

33 bgodfrey, lag(1/4) Breusch-Godfrey LM test for autocorrelation lags(p) chi2 df Prob > chi H0: no serial correlation Test Breusha-Godfrey a

34 Ctr+3 Search search net resources Kpss ściągnąć

35 Test KPSS

36 kpssmr KPSS test for mr Maxlag = 3 chosen by Schwert criterion Autocovariances weighted by Bartlett kernel Critical values for H0: mr is trend stationary 10%: % : %: % : Lag order Test statistic (trendostacjonarność) Test KPSS

37 . kpssd.mr KPSS test for D.mr Maxlag = 3 chosen by Schwert criterion Autocovariances weighted by Bartlett kernel Critical values for H0: D.mr is trend stationary 10%: % : %: % : Lag order Test statistic Test KPSS

38 Różnicowanie sezonowe np. kwartalne W modelu tym jedna ze zmiennych objaśniających jest też inflacja. Przyjmując standardowa definicje, że inflacja to stosunek poziomu cen w jednym okresie do poziomu cen w analogicznym okresie poprzedniego roku oraz pamiętając, że dysponujemy danymi kwartalnymi, mamy: S 4. p = p p t t 4 gen infl = s4. p

39 Estymacja modelu ADL Model ten szacowany jest na danych kwartalnych, zasadne wydaje się wiec wprowadzenie do modelu 4-tych opóźnień zmiennych objaśniających: regmr mrl(1/4). l(1/4).mr l(0/4).y l(0/4).rl rll(0/4). l(0/4).rsl(0/4). (0/4).infl

40 . reg mr l(1/4).mr l(0/4).y l(0/4).rl l(0/4).rs l(0/4).infl Source SS df MS Number of obs = F( 24, 47) = Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Total Root MSE = mr Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] mr L L L L y L L L L rl L L L L rs L L L L infl L L L L _cons

41 Testowanie własności składnika losowego modelu ogólnego bgodfrey, lags(1/4) Breusch-Godfrey LM test for autocorrelation lags(p) chi2 df Prob > chi H0: no serial correlation

42 Ustalanie liczby opóźnień Liczbę opóźnień w modelu ogólnym ustaliłyśmy na podstawie kryterium od ogólnego do szczególnego. W pierwszej kolejności przetestowałyśmy łączną nieistotność ostatniego opóźnienia zmiennych objaśniających:

43 test l4.mr l4.y l4.rl l4.rs l4.infl ( 1) L4.mr = 0 ( 2) L4.y = 0 ( 3) L4.rl = 0 ( 4) L4.rs = 0 ( 5) L4.infl = 0 Ustalanie liczby opóźnień F( 5, 47) = 2.35 Prob> F =

44 Estymacja modelu ADL reg mr l(1/3).mr l(0/3).y l(0/3).rl l(0/3).rs l(0/3).infl bgodfrey, lags(1/4) test l3.mr l3.y l3.rl l3.rs l3.infl

45 Estymacja modelu ADL reg mr l(1/2).mr l(0/2).y l(0/2).rl l(0/2).rs l(0/2).infl bgodfrey, lags(1/4) test l2.mr l2.y l2.rl l2.rs l2.infl

46 Estymacja modelu ADL reg mr l.mr l(0/1).y l(0/1).rl l(0/1).rs l(0/1).infl bgodfrey, lags(1/4) test l.mr l.y l.rll.rs l.infl

47 . reg mr l.mr l(0/1).y l(0/1).rl l(0/1).rs l(0/1).infl Source SS df MS Number of obs = F( 9, 65) = Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Total Root MSE = mr Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] mr L y L rl L rs L infl L _cons

48 bgodfrey, lags(1/4) Breusch-Godfrey LM test for autocorrelation lags(p) chi2 df Prob > chi H0: no serial correlation. test l.mr l.y l.rl l.rs l.infl ( 1) L.mr = 0 ( 2) L.y = 0 ( 3) L.rl = 0 ( 4) L.rs = 0 ( 5) L.infl = 0 F( 5, 65) = Prob > F =

49 Testy test (infl=0) (l.infl=0) ( 1) infl = 0 ( 2) L.infl = 0 F( 2, 65) = 2.08 Prob > F = test (rl=0) (l.rl=0) ( 1) rl = 0 ( 2) L.rl = 0 F( 2, 65) = 3.69 Prob > F = test (rs=0) (l.rs=0) ( 1) rs = 0 ( 2) L.rs = 0 F( 2, 65) = 2.84 Prob > F =

50 . reg mr l.mr l(0/1).y l(0/1).rl Source SS df MS Number of obs = F( 5, 73) = Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Total Root MSE = mr Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] mr L y L rl L _cons

51 . bgodfrey, lags(1/4) Breusch-Godfrey LM test for autocorrelation lags(p) chi2 df Prob > chi H0: no serial correlation. test l.mr l.y l.rl ( 1) L.mr = 0 ( 2) L.y = 0 ( 3) L.rl = 0 F( 3, 73) = Prob > F =

52 ~ Testy diagnostyczne Normalność rozkładu składnika losowego ε (Test Jarque a-bery ) 2 ε ~ N( µ, σ ε 2 N( µ, σ ) ) skladnik skladnik losowy ma rozklad normalny losowy nie ma rozkladu normalnego

53 .predict reszty, r sktest reszty Skewness/Kurtosis tests for Normality joint Variable Pr(Skewness) Pr(Kurtosis) adj chi2(2) Prob>chi reszty histogram reszty, bin(40) kdensity reszty,norm

54 Reszty Wygenerujmy reszty dla tego modelu: predict reszty, r scatter reszty data Na podstawie wykresu czystych reszt czasami trudno jest wnioskować. Wygenerujmy reszty standaryzowane, które jeśli wyraźnie przekraczają wartość 2 (co do wartości bezwzględnej), to mogą wskazywać na obserwacje odstające. predict resztysd, rstudent scatter resztysd data

55 Obserwacje odstające Widać, że jedna z obserwacji wyraźnie odstaje. Uwzględnijmy więc w modelu opisywane zmienne zerojedynkowe: reg mr l.mr l(0/1).y l(0/1).rl d19901 d19911 predict resztysd1, rstudent scatter resztysd1 data sktest reszty1

56 Test RESET Test na prawidłowość formy funkcyjnej: Ovtest Ramsey RESET test using powers of the fitted values of mr Ho: model has no omitted variables F(3, 70) = 0.64 Prob > F =

57 Test Breusha-Pagana hettest, rhs Breusch-Pagan / Cook-Weisberg test for heteroskedasticity Ho: Constant variance Variables: L.mr y L.y rl L.rl chi2(5) = Prob > chi2 =

58 Test White imtest, white White's test for Ho: homoskedasticity against Ha: unrestricted heteroskedasticity chi2(20) = Prob > chi2 =

59 . reg mr l.mr l(0/1).y l(0/1).rl, robust Linear regression Number of obs = 79 F( 5, 73) = Prob > F = R-squared = Root MSE = Robust mr Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] mr L y L rl L _cons

60 Interpretacja mnożników -bezpośrednich - logarytm realnego GDP Β 0 = 0.71 interpretacja: wzrost realnego GDP o 1% powoduje natychmiastowy wzrost realnej podaży pieniądza o 0,71%. - Długookresowa stopa procentowa: Β 0 = interpretacja: wzrost długookresowejstopy procentowej o 1% powoduje natychmiastowy spadek realnej podaży pieniądza o 0.59%

61 Interpretacja mnożników -długookresowych Wzór ogólny: - logarytm realnego GDP : interpretacja: w długim okresie wzrost realnego GDP o 1 % powoduje. 0 1 α - Długookresowa stopa procentowa : interpretacja: w długim okresie wzrost długookresowej stopy procentowej. β = β + β 1 1

62 Równowaga długookresowa y* x = µ * + +β *

63 Testowanie przyczynowości w sensie Grangera. reg mr l.mr l.y l.rl Source SS df MS Number of obs = F( 3, 75) = Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Total Root MSE = mr Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] mr L y L rl L _cons

64 Testowanie przyczynowości w sensie. test l.y ( 1) L.y = 0. test l.rl Grangera F( 1, 75) = 3.30 Prob > F = ( 1) L.rl = 0 F( 1, 75) = 2.21 Prob > F =

65 Heteroskedastycznośćwarunkowa Test LM. archlm, lags(1/4) LM test for autoregressive conditional heteroskedasticity (ARCH) lags(p) chi2 df Prob > chi H0: no ARCH effects vs. H1: ARCH(p) disturbance

66 Badanie występowania heteroscedastycznościwarunkowej Jeśli wariancja zaburzenia losowego modelu nie jest stabilna w czasie mamy do czynienia z grupowaniem wariancji występowanie specyficznej formy heteroscedastyczności Najprostsza postac modelu ARCH(1)

67 Badanie występowania heteroscedastycznościwarunkowej

68 ARCH(1)

69 Test mnożników Lagrange ana występowanie efektu ARCH Hipoteza ta jest testowana za pomocą statystyki LM = TR 2, gdzie T i R 2 oznaczają odpowiednio liczbę obserwacji oraz R 2 dla regresji (*). Statystyka testowa ma rozkład (asymptotyczny) chi kwadrat z q stopniami swobody.

70 Dziękuję za uwagę