Fizyka Wyk ad W8 1. Fizyka Statystyczna

Transkrypt

1 Fizyka Wykad W8 Fizyka Statystyczna W dotychczas zrealizowanym kursie fizyki skupilimy si na ukadach fizycznych o niewielkiej liczbie stopni swobody tj. liczbie zmiennych niezalenych potrzebnych do opisania zjawisk w ukadzie. Dziaem fizyki, który zajmuje si ukadami o bardzo duej liczbie stopni swobody jest fizyka statystyczna. Posuguje si ona metodami probabilistycznymi: dlatego warunkiem koniecznym stosowalnoci metod z tej dziedziny jest ogromna liczba czstek - dla ustalenia skali - liczba Avogadro tj cząsteczek w gramorównoważniku substancji (w molu). Nie jest to warunek wystarczajcy bo np. dla bryy doskonale sztywnej liczba czstek jest bardzo dua ale liczba stopni swobody maa i metody statystyczne s nieodpowiednie. Natomiast aby okreli rozszerzalno bryy lub drgania jej atomów trzeba stosowa metody fizyki statystycznej

2 Fizyka Wykad W8 2 U podoa tej dziedziny - jak w przypadku wikszoci innych dziaów fizyki - ley ruch mechaniczny ale w specyficzny sposób: nie mona rozwiza ukadu równa ruchu dla tak wielu stopni swobody (rzdu np ) ale mona okreli pewne prawidowoci odnoszce si do ukadu jako caoci Prawa fizyki statystycznej wyróniaj si tym, e najczciej wystpuje w nich temperatura T. Podobnie jest w pokrewnej dziedzinie zwanej termodynamik Rónica midzy tymi dwoma dziedzinami jest taka, e termodynamika jest dziedzin fenomenologiczn powsta z obserwacji wyników dowiadcze fizyka statystyczna wywodzi te same zjawiska, które s omawiane w termodynamice, ale wychodzc z mikroskopowych zalenoci (mówimy: z zasad pierwszych ) Aby tego dokona potrzebne jest w fizyce statystycznej rozrónienie stan mikroskopowy (mikrostan): jest to stan wszystkich czstek ukadu Q( r,r 2,...,r N, p, p2,...,pn, t)

3 Fizyka Wykad W8 3 Na ogó stan mikroskopowy Q zmienia si w czasie: zapisujemy te zmiany w 6N wymiarowej przestrzeni fazowej wszystki pooe oraz pdów. Symbolicznie mona tak ewolucj przedstawi tak: w trakcie ewolucji mokrostany poruszaj sie po trajektorii w przestrzeni fazowej makrostan (stan makroskopowy): kademu mikrostanowi odpowiadaj charakterytyki okrelajce stan caoci ukadu Przykady energia wewnętrzna, magnetyzacja, koncentracja noników adunku Makrostan moe zmieni si w czasie tj. makroskopowa charakterystyka A(t) = A(Q(t)).

4 Fizyka Wykad W8 4 Zwiazek makrostanu A z mikrostanem Q jest znany jedynie w sensie statystycznym gdy mikrostanów nie jestemy w stanie ledzi. Dokadno wyznaczania charakterystyki makrostanu jest zwizana z liczb czstek N: gdzie A < A> <A> oznacza redni wartoc A 2 2 A= <(A- < A> ) = < A 2 >-< A> jest odchyleniem rednim standardowym Przykad: wida od razu, e dla niewielkiej liczby czstek (stopni swobody) bd metod fizyki statystycznej jest duy. Tak wic posiadamy oraz dobre metody fizyki dla niewielkiej liczby stopni swobody (mechanika) dla bardzo duej liczby stopni swobody ale dla ukadów mezoskopowych (średniej skali) mamy kopoty! Widzimy kluczow dla fizyki statystycznej potrzeb okrelenia charakterystyki makroskopowej A N wielkoci sredniej danej

5 Fizyka Wykad W8 5 Najbardziej naturalna średnia to średnia w czasie: < A>= gdzie τ jest czasem urednienia. A( Q ( Jeli <A> jest stae w czasie to mamy do czynienia ze 0 t ) ) dt stanem równowagi ze wzgldu na zmienn makroskopow A. Ukad odosobniony (tj. taki, który nie wymienia ani czstek ani ciepa z otoczeniem) to po pewnym czasie (czas relaksacji) osiga stan równowagi. Podzia fizyki statystycznej fizyka statystyczna stanów równowagi przykad zagadnienia: wyznaczanie temperatury ciaa fizyka statystyczna stanów nierównowagi przykad zagadnienia: przepyw prdu elektrycznego

6 Fizyka Wykad W8 6 Zagadnienia równowagi nie naley myli z zagadnieniem stacjonarnoci: Przepyw prdu elektrycznego jest zjawiskiem nierównowagowym ale moe by stacjonarny lub niestacjonarny Zespoy statystyczne Gibbsa Obliczanie redniej obserwabli A jako redniej po czasie: Aśr = A( Q ( t ) ) dt 0 To jest bardzo dobra definicja redniej ale nie jest praktyczn receptą na jej obliczenie. Zazwyczaj trzeba czekać długo aby średnia osiągnęła stałą wartość (znamiona stanu równowagi!) Znacznie skuteczniejszym sposobem jest wykorzystanie koncepcji zespou statystycznego Gibbsa. Przykad: przypumy, e chcemy wyznaczy warto redni jakiego procesu przypadkowego np. rzutu monet lub kostk. Moemy: rzuca jedn monet tak dugo a bdziemy mieli dostatecznie du prób wyników rzutu by obliczy redni po czasie. Dla monety to nie zajmie duo czasu ale dla skomplikowanych procesów przypadkowych jak np. ruch Browna (ruch czstki kurzu w powietrzu) wyznaczenie rzetelnej redniej moe wymaga duej cierpliwoci

7 Fizyka Wykad W8 7 rzuci jednoczenie i w taki sam sposób bardzo wielk liczb identycznych monet (zespó monet) raz a nastpnie obliczy redni wyniku. < A>= P(Q) A(Q) Q P(Q) jest prawdopodobiestwem (ściślej gęstością prawdopodobieństwa) otrzymania stanu mikroskopowego Q (np. ora). P(Q) wyraa si jako procent tych ukadów zespou Gibbsa, które znajduj si w stanie Q. Podstawowy postulat fizyki statystycznej stanów równowagi Aśr =< A > U podstaw tego postulatu ley nastpujcy fakt: Stany mikroskopowe ukadu termodynamicznego s od siebie niezalene jeli odstp czasu pomidzy pomiarami tych stanów jest dostatecznie duy. Tak jest w zdecydowanej wikszoci sytuacji eksperymentalnych - pomiar zawsze wprowadza urednienie po pewnym czasie. Funkcje stanu W fizyce statystycznej (jak równiez w termodynamice) okrela si funkcje stanu ukadu termodynamicznego.

8 Fizyka Wykad W8 8 Oczywistym i najprostszym przykadem takiej funkcji jest rednia energia <E> ukadu rozumiana jako rednia energii po zespole statystycznym wszystkich mikrostanów ukadu (jest to tzw. energia wewntrzna ukadu). Okazuje si, e mona zdefiniowa wiele funkcji stanu. Jedn z najwaniejszych takich funkcji stanu jest entropia. Pojcie to powstao w termodynamice, gdzie wnioskujc z obserwacji wprowadzono Q pojcie entropii termodynamicznej S = T Q jest ciepem wymieniany z otoczenie w trakcie obserwowanego zjawiska T jest temperatur w jakiej ta wymiana zachodzi. Entropia termodynamiczna jest więc ciepłem zredukowanym (obliczanym na stopień temperatury) Boltzmann wprowadzi wyraenie na entropi wychodzc z przesanek fizyki statystycznej: S = k B ln g gdzie g liczb moliwych mikrostanów relizujcych dany makrostan, a k B =, J/K jest sta fizyczn (staa Boltzmanna) potrzebn po to aby entropia tak zdefiniowana bya równa entropii termodynamicznej. Tak zdefiniowana entropia ma wymiar energii na stopień temperatury. Entropia wskazuje kierunek przebiegu procesów termodynamicznych (tj. kierunek zmian stanu termodynamicznego).

9 Fizyka Wykad W8 9 Przykład: mao prawdopodobne jest aby gaz w pudeku spontanicznie zebra si w jednym naroniku zbiornika. Proces taki wymagałby zmniejszenia entropii czego zabraniaj prawa termodynamiki procesów równowagowych. Entropia Boltzmanna wie si z entropi wprowadzon znacznie póniej (lata 20-te i 40-te XX w.) w teorii informacji (informacja Shannona lub entropia Shannona). Przykad: Przypumy, e mamy g jednakowo prawdopodobnych mikrostanów (dla monety g=2, dla kostki do gry g=6, dla alfabetu Morse a g=2 a waciwie 3 itd.) Jeeli nie wykonalimy adnych pomiarów (np. rzutów kostk) to nasza niewiedza jest najwiksza i tym większa im wiksze jest liczba stanów g. Uwaamy, e nasza informacja I = 0. Po dokonaniu rzutu nasza informacja I 0 i znamy mikrostan. Chcemy teraz zwiza informacj I z liczb stanów g.

10 Fizyka Wykad W8 0 Wymagamy jednak aby informacja bya addytywna tj. aby gdy mamy dwa niezalene procesy (np. dwie kostki do gry) i liczba stanów g = g g 2 to aby I( g g )= I( g )+ I( g ) 2 2 Tak bdzie wtedy i tylko wtedy gdy I = K ln g przy czym w teorii informacji na ogó przyjmuje si K = /ln 2 = log 2 e. Ostatecznie informacja i wyraana jest w bitach. I = log 2 g Przykad: Przypumy, e mamy sowo o dugoci N skadajce si ze znaków Morse a: N kresek i N 2 kropek (pomijamy spacje!). Liczba stanów g wynosi N N! g = = ; N = N + N 2 n N! N 2! g jest w tym wypadku liczb moliwych sów, jakie mona przekaza takim alfabetem za pomoc N kresek i N 2 kropek.

11 Fizyka Wykad W8 Chcemy okreli informacj na symbol i = I/N Wstawiajc wyraenie na g do wzoru na informacj I oraz stosujc wzór Stirlinga ln Q! Q (ln Q - ) poprawny dla Q > 00 otrzymuje si przyblione wyraenie I N N N 2 N 2 i -K ln + ln N N N N N Wprowadzajc prawdopodobiestwo mikrostanu i: N i p = i N otrzymujemy wyraenie na informacj, dla 2 symboli. i = -K ( p ln p + p ln p ) 2 2 To wyraenie na informacj mona uogólni na przypadek wikszej liczby zdarze (symboli) i= - K p p i i ln i Uwaga na koniec przykadów: czsto odrónia si entropi informacyjn (miar niewiedzy) od informacji tj. czsto przyjmuje się S = -I.

12 Fizyka Wykad W8 2 Istniej trzy podstawowe zespoy statystyczne Gibbsa: zespó mikrokanoniczny, zespó kanoniczny i wielki zespó kanoniczny kady z nich reprezentowany jest przez odrbny rozkad statystyczny P(Q) zespó mikrokanoniczny: Szczególna rol w zrozumieniu zjawisk odgrywaj ukady izolowane od otocznia tj. takie, które nie wymieniaj ani energii ani czstek z otoczeniem. Dla takiego ukadu wszystkie mikrostany Q s jednakowo prawdopobne tj. P(Q) = const. Warto tej staej wynika z unormowania rozkadu statystycznego tj. P(Q)=, gdzie suma jest po wszystkich mikrostanach Q. To, e energia i liczba czstek ukadu izolowanego si nie zmienia to nie oznacza, e wiele innych wielkoci fizycznych w takim ukadzie nie moe si zmienia. Przykad: Rozpatrzmy entropi w przykadzie ze sowem zapisanym za pomoc alfebetu Morse a. Moe to by dowolny inny ukad o zawierajcy N elementów mogcych si znajdowa w 2 mikrostanach np. czstki o spinie /2 ). Q

13 Fizyka Wykad W8 3 Niech n bdzie liczb obiektów znajdujcych si w stanie A (np. kropek). Zgodnie z definicj Boltzmanna entropia S = k B ln g W naszym przypadku g jest dane przez zasady kombinatoryki jako N N! g = = n n! (N - n)! N To wyraenie ma maksimum dla n =. 2 Wniosek: liczba stanów jest najwiksza gdy poowa czstek ukadu znajduje si w stanie A a poowa w B. entropia takiego stanu jest najwiksza Wida, e ukad bdzie si znajdowa w takim makrostanie, dla którego entropia jest maksymalna! makrostanowi temu odpowiada najwiksza liczba mikrostanów, którego go realizuj - jest wic najbardziej prawdopodobny. Std bierze si interpretacja entropii jako miary chaotycznoci (nieuporzdkowania): gdy liczba równowanych realizacji danego makrostanu jest najwiksza najwieksza jest te nieokrelono mikrostanu w jakim ukad si znajduje.

14 Fizyka Wykad W8 4 warunki równowagi dwóch ukadów Równowaga w mechanice: E wystarczy zarzda = 0 gdzie E jest całkowitą energią układu jest zmienn wzgldem, której równowaga ma by osignita Równowaga w sensie fizyki statystycznej jest o wiele bardziej skomplikowanym pojciem: wymaga uwzgldnienia oprócz minimum energii jeszcze liczby stanów mikroskopowych g przy zadanym stanie makroskopowym. Na ogó im wiksza energia danego makrostanu tym wiksza liczba stanów mikroskopowych, które je realizuj. Oznacza to, e prawdopodobienstwo takiego stanu bdzie wiksze. Jak określi stan równowagi ukadu odosobnionego? Przyjmuje si, e jest to stan jaki ustala si po dostatecznie dugim czasie. Staoc naley tu rozumie w sensie staoci redniej statystycznej charakterystyk makroskopowych ukadu. okazuje si, e takie okrelenie dobrze odzwierciedla obserwacje. naturalnym kryterium równowagi ukadu odosobnionego jest wic stan o najwikszej entropii

15 Fizyka Wykad W8 5 A jaka bdzie równowaga w ukadzie odosobnionym, który skada si z dwóch podukadów termodynamicznych w kontakcie ze sob? Dla ustalenia uwagi wybieramy najbardziej naturalne wielkoci makroskopowe: energi E objto V liczb czstek w ukadzie N Ukad jako cao jest odosobniony wic jest w równowadze termodynamicznej E+ E2= E V +V 2= V N + N 2= N Pomidzy podukadami moe zachodzi wymiana energii, objtoci oraz liczby czstek ale w taki sposób aby równowaga caoci nie bya naruszona: E= - E2 ; V = - V 2 ; N= - N 2

16 Fizyka Wykad W8 6 W stanie równowagi caego ukadu entropia jest maksymalna (ekstremum): ds = ds ds2 =0 S S ds = de+ E E2 de2 + S S dv + V V 2 dv 2 + S S dn + N N 2 dn 2= 0 W analogii do termodynamiki definiuje si w fizyce statystycznej: S temperatur = T E S cinienie p=t V S potencja chemiczny = - T N Potencja chemiczny jest to energia potrzebna na dodanie (odjcie) jednej czstki w ukadzie. Dla póprzewodników (i w całej fizyce ciała stałego) potencja chemiczny jest równy energii Fermiego.

17 Fizyka Wykad W8 7 Po podstawieniu tych definicji ds = T - T 2 de dn = 0 T T 2 gdzie energia E, objto V oraz liczba czstek N s zmiennymi niezalenymi. Jak wida warunkiem równowagi dwóch podukładów jest wyrównanie temperatury podukadów (T = T 2 ), cinienia (p = p 2 ) oraz potencjaów chemicznych (μ = μ 2 ). Ten ostatni warunek spełniony zostaje przez przekazanie odpowiedniej liczby cząstek z jednego podukładu do drugiego. + p T - p T 2 2 dv Uwagi: bardzo wiele przyrzdów póprzewodnikowych opiera swoje dziaanie na zjawisku równowagi termodynamicznej przy zmiennej liczbie czstek czsto dwa podukady w równowadze nie s rozdzielone fizycznie np. jednym podukadem mogą by elektrony naleące do jednego pasma a drugim - elektrony znajdujce si w drugim paśmie.