TESTOWANIE DZIAŠANIA PRZESTRZENNEGO MODULATORA FAZY WIATŠA
|
|
- Anna Witek
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 TESTOWANIE DZIAŠANIA PRZESTRZENNEGO MODULATORA FAZY WIATŠA Indywidualna Praca w Laboratorium Badawczym Michaª D browski Streszczenie Zbudowano i przetestowano ukªad umo»liwiaj cy przestrzenne ksztaªtowanie amplitudy i fazy wi zki ±wiatªa. Omówiono zasad dziaªania gªównego elementu ukªadu przestrzennego modulatora fazy (SLM). Przy u»yciu transformaty Fouriera wyja±niono mo»liwo± ksztaªtowania fazy wi zki ±wiatªa. Omówiono zasad dziaªania i przykªady samodzielnie wytworzonych fazowych siatek dyfrakcyjnych. Napisano programy komputerowe umo»liwiaj ce sterowanie prac modulatora i kamer CCD. Zademonstrowano mo»liwo± interferencji dwóch wi zek wytworzonych na modulatorze i przykªad precyzyjnej kontroli interferencji. Pokazano przykªad hologramu wytworzonego przez modulator, zarrejstrowanego przy pomocy kamery. 1 Przestrzenny modulator fazowy (SLM) Przestrzenny modulator fazy (SLM) to urz dzenie umo»liwiaj ce w arbitralny sposób kontrolowanie fazy wi zki ±wiatªa. U»ywany w do±wiadczeniu SLM Pluto (Holoeye) skªada si z macierzy komórek wypeªnionych ciekªym krysztaªem (w tym wypadku: nematykiem), umieszczonych na pªaszczy¹nie o wysokim wspóªczynniku odbicia. Modulator skªada si z matrycy o wymiarach 15,36mm x 8,64mm, zawieraj cej 1920 x 1080 pikseli pokrywaj cych okoªo 87% powierzchni modulatora [5]. Jest to modulator odbiciowy, zatem wi zka ±wiatªa przechodzi przez niego dwukrotnie. Zdj cie modulatora przedstawia rysunek 2. Zasada dziaªania urz dzenia jest nast puj ca. W nieobecno±ci pola elektrycznego cz steczki nematyka (o silnie wydªu»onym ksztaªcie) tworz struktur helisy (o± helisy jest jednocze±nie osi optyczn krysztaªu) powoduj c,»e o±rodek wykazuje dwójªomno± po przej±ciu przez komórk z ciekªym krysztaªem nast puje wzgl dna zmiana fazy pomi dzy promieniami zwyczajnym i nadzwyczajnym. W obecno±ci bardzo silnego pola elektrycznego cz steczki nematyka ustawiaj si równolegle, wzdªu» przyªo»onego pola, przez co ukªad nie rozró»nia obu polaryzacji ±wiatªa (zwyczajnej i nadzwyczajnej) i nie zostaje wprawadzone dodatkowe opó¹nienie fazowe jednej z polaryzacji. Zatem, reguluj c odpowiednio przykªadanym napi ciem (proporcjonalnym do przyªo»onego pola) mo»na uzyska dowolne opó¹nienie fazowe na ka»dym z pikseli matrycy modulatora. Rysunek 1: Zmiana orientacji cz steczek ciekªego krysztaªu pod wpªywem przyªo»onego pola elektrycznego E. Na komórk z ciekªym krysztaªem poda wi zka ±wiatªa oznaczona strzaªk. Przyªo»enie pola elektrycznego powoduje zmian wspóªczynnika zaªamania substancji o n = n 2 n 1, co pozwala regulowa zmian fazy ±wiatªa po przej±ciu przez komórk za pomoc przykªadanego napi cia. 1
2 Rysunek 2: PLUTO: High-Resolution LCOS Phase Only Spatial Light Modulator. Po lewej stronie wygl d zewn trzny modulatora fazy, po prawej stronie rysunku zdj cie przedstawiaj ce fragment modulatora matryc z macierz komórek wypeªnionych ciekªym krysztaªem. Dla pokazania wielko±ci urz dzenia, na fotograi znajduje si tak»e standardowa soczewka, u»ywana w eksperymentach. 2 Dziaªanie soczewki w j zyku transformaty Fouriera Niech na soczewk pada pªaska fala monochromatyczna opisana polem elektrycznym E(x, y), przedstawiona na rysunku 3. Soczewka wprowadza pewne opó¹nienie fazowe fali padaj cej tak,»e w przybli»eniu przyosiowym pole elektryczne za soczewk wynosi [1]: E (x, y) = E(x, y)e i k 2f (x2 +y 2 ) (1) gdzie: k liczba falowa fali padaj cej, f ogniskowa soczewki. Stosuj c przybli»enie Fresnela (dalekiego pola) mo»na pokaza,»e pole elektryczne fali w pªaszczy¹nie ogniskowej wyra»a si wzorem [2]: E(u, v) = k 2πif eikf e i k 2f (u2 +v 2) F{E(x, y)}( k f u, k v) (2) f Poniewa» mierzymy jedynie nat»enie wi zki ±wiatªa, mo»emy pomin nieistotne czynniki fazowe, otrzymuj c nat»enie w pªaszczy¹nie ogniskowej (b d ce kwadratem moduªu nat»enia pola elektrycznego): E(u, v) 2 F{E(x, y)}( k f u, k f v) 2 (3) Zatem, je»li na soczewk pada monochromatyczna fala pªaska, to obraz powstaj cy w ognisku jest w przybli»eniu Fresnela transformat Fouriera fali padaj cej. Mo»na pokaza,»e zachodz nast puj ce relacje [2]: dodanie fazy liniowej powoduje przesuni cie obrazu w pªaszczy¹nie ogniskowej (The Shift Theorem [1]) rysunek 3, dodanie fazy kwadratowej powoduje przesuni cie ogniska (przew»enia) wi zki w kierunku propagacji, transformat Fouriera funkcji gaussowskiej jest funkcja gaussowska przydatne do testowania dziaªania ukªadu pomiarowego. 2
3 Rysunek 3: Monochromatyczna fala pªaska padaj ca na soczewk skupiaj c doznaje zmiany ksztaªtu frontów falowych, co skutkuje skupieniem si wi zki w ognisku soczewki. Pole elektryczne wi zki w ognisku jest z dokªadno±ci do czynnika fazowego, transformat Fouriera pola przed soczewk. Poniewa» mierzymy nat»enie ±wiatªa, nieistotny czynnik fazowy mo»emy pomin. Zmieniaj c k t pod jakim fala pªaska pada na soczewk, mo»emy regulowa punkt skupienia si wi zki w pªaszczy¹nie ogniskowej. 3 Budowa ukªadu pomiarowego W ramach wiczenia zbudowano ukªad eksperymentalny, pozwalaj cy na wytworzenie zadanego rozkªadu amplitudy i fazy fali ±wietlnej. Gªównym elementem ukªadu jest przestrzenny modulator fazy, którego dziaªanie zostaªo opisane w rozdziale 1. Schemat ukªadu do±wiadczalnego przedstawia rysunek 4. Laser pracuj cy w podczerwieni wysyªa wi zk ±wiatªa, która po uformowaniu przy pomocy przesªony oraz powi kszeniu przy pomocy teleskopu soczewkowego (nie uwzgl dniono tych elementów na schemacie) pada na powierzchni modulatora. Za pomoc programu komputerowego, omówionego dokªadnie w rozdziale 5, mo»na zadawa na modulatorze okre±lony rozkªad fazy, zmieniaj c tym samym ksztaªt frontu falowego za modulatorem. Tak przetworzona wi zka pada na soczewk skupiaj c, która wprowadza dodatkowe przesuni cie fazowe (patrz rozdziaª 2), za któr znajduje si kamera CCD, mog ca przesuwa si wzdªu» kierunku propagacji wi zki ±wiatªa. Jak zostaªo to pokazane w poprzednim rozdziale, wi zki ±wiatªa posiadaj ce przed soczewk ró»n faz ogniskuj si w pªaszczy¹nie ogniskowej soczewki w ró»nych punktach. W szczególno±ci, mo»emy dzi ki temu podzieli nat»enie padaj cego ±wiatªa mi dzu ró»ne punkty w pªaszczy¹nie kamery. Przykªad takiej sytuacji przedstawia rysunek 5. Szczegóªowe informacje dotycz ce otrzymywania takich wi zek znajduj si w rozdziale 4 oraz w pracach [3] i [4]. Rysunek 4: Schemat budowy ukªadu do±wiadczalnego (dla uproszczenia pomini to nieistotne elementy): diodowy laser póªprzewodnikowy o dªugo±ci fali λ = 780nm, SLM - modulator fazy, f soczewka o ogniskowej 40cm, CCD - kamera z matryc CCD. Modulator wprowadza zale»n od poªo»enia faz φ(x, y), w zwi zku z czym pªaski front falowy E(x, y) padaj cy na modulator doznaje zmiany fazy, i za modulatorem jest opisywany zale»no±ci E(x, y)e iφ(x,y). Za soczewk front falowy przestaje by pªaski. 3
4 Rysunek 5: Obraz modulatora widziany przez kamer, znajduj c si w odlegªo±ci d = 8cm od ogniska soczewki (patrz rysunek 4). Na modulatorze wy±wietlono wi zk gaussowsk traaj c po pierwszego rz du ugi cia, powierzchnia modulatora jest obrazowana w zerowym rz dzie. Nat»enie ±wiatªa nie jest tracone dzielimy je pomi dzy poszczególne rz dy ugi cia. Widoczny na rysunku artefakt jest spowodowany odbiciem ±wiatªa od elementów ukªadu. Szczegóªowe informacje przedstawia rozdziaª 4. 4 Wytwarzanie dyfrakcyjnych siatek fazowych Przy pomocy przestrzennego modulatora fazy mo»na wytworzy tzw. fazowe siatki dyfrakcyjne. Zamiast modulatora odbiciowego rozwa»my modulator transmisyjny, co nie zmienia istoty zagadnienia, a znacznie mniej komplikuje wygl d rysunków. Niech na powierzchni modulatora, skªadaj c si z rz du komórek wypeªnionych ciekªym krysztaªem (sytuacja jednowymiarowa, któr ªatwo uogólni na dwa wymiary), pada pªaska monochromatyczna fala ±wietlna rysunek 6. Rysunek 6: Dziaªanie transmisyjnej fazowej siatki dyfrakcyjnej model jednowymiarowy. Wi zka padaj ca traa na rz d pikseli modulatora, do których przyªo»ono odpowiednie napi cie, co skutkuje rozdzieleniem nat»enia padaj cej wi zki pomi dzy poszczególne rz dy ugi cia siatki dyfrakcyjnej. Reguluj c wysoko±ci pr»ków (napi ciem) mo»emy zmienia ilo± ±wiatªa traaj c do pierwszego rz du ugi cia. 4
5 Jak pokazano w rozdziale 1, przykªadaj c do ka»dej w komórek odpowiednie napi cie, mo»na regulowa opó¹nieniem fazowym fali ±wietlnej przechodz cej przez dan komórk. W rozdziale 2 pokazano,»e fale maj ce ró»n faz zale»n od poªo»enia w pªaszczy¹nie prostopadªej do kierunku propagacji wi zki, ogniskuj si w pªaszczynie ogniskowej w ró»nych punktach. Dzi ki temu, zmieniaj c przykªadane do poszczególnych komórek z ciekªym krysztaªem napi cie, mo»emy wysyªa wi zk ±wiatªa w wybranym przez nas kierunku. Dziaªanie takie odpowiada zwykªej amplitudowej siatce dyfrakcyjnej w tym jednak przypadku nie tracimy nat»enia ±wiatªa, a jedynie rozdzielamy je pomi dzy poszczególne rz dy ugi cia siatki dyfrakcyjnej. Szczegóªy dotycz ce dziaªania dyfrakcyjnych siatek fazowych znajduj si w pracach [3] i [4] oraz na rysunku 6. Rysunek 7: Fazowa siatka dyfrakcyjna wytworzona na powierzchni modulatora. Kolor czarny oznacza brak przykªadanego napi cia, kolor biaªy maksymalne napi cie. W teorii do s siednich pikseli mo»emy przykªada rosn ce liniowo napi cie, otrzymuj c siatk dyfrakcyjn o okresie pr»ków równym d. W praktyce ograniczeniem jest rozmiar pikseli modulatora, przez co spada rozdzielczo± modulacji fazy. W teorii mo»na zadawa opó¹nienie fazowe, przykªadaj c odpowiednie napi cie, z nieograniczon dokªadno±ci. W eksperymencie ogranicza nas rozmiar pikseli modulatora, których szeroko± wynosi 8µm. W obr bie jednego piksela faza musi pozosta staªa, gdy» przykªadamy to samo napi cie do caªej powierzchni pojedynczej komórki z ciekªym krysztaªem. W zwi zku z tym nie jest mo»liwe zadanie liniowo narastaj cej fazy, co pokazano na rysunku 7 obrazy otrzymywane na kamerze nie odpowiadaj tranfsormacie Fouriera wi zki wytworzonej przez modulator, na którym zadano liniow siatk dyfrakcyjn. Skutkiem niezerowych rozmiarów pojedynczych pikseli jest powielenie obrazu na kamerze. Na jako± obrazowania ma równie» wpªyw wielko± pikseli matrycy kamery, których rozmiary wynosz 6,5 µm. Rysunek 8: Dyfrakcyjna siatka fazowa wytworzona na modulatorze oraz odpowiadaj cy jej obraz na kamerze CCD, znajduj cej si w ognisku soczewki. Zaznaczono kierunek modulacji fazy oraz numery poszczególnych rz dów ugi cia ±wiatªa, widziane na kamerze. Powy»sza sytuacja odpowiada dziaªaniu amplitudowej siatki dyfrakcyjnej. 5
6 Przykªad wytworzonej siatki i obrazu z kamery przedstawia rysunek 8. Wida,»e obraz wi zki na kamerze jest z dobrym przybli»eniem transformat Fouriera wi zki wytworzonej przez modulator [1]. Na rysunku zaznaczono kierunek modulacji fazy, który dobrze pokrywa si z kierunkiem powstawania kolejnych rz dów ugi cia siatki dyfrakcyjnej na kamerze. Inne przykªady siatek, które zostaªy wytworzone na modulatorze celem sprawdzenia poprawno±ci dziaªania ukªadu, przedstawia rysunek 9. Sposoby wytwarzania dyfrakcyjnych siatek fazowych zostan omówione w rozdziale 5. Rysunek 9: Przykªady fazowych siatek dyfrakcyjnych wytworzonych na modulatorze. Od lewego górnego rogu: siatka liniowa (20 pikseli na pr»ek), siatka liniowa modulowana gaussem (przew»enie o szeroko±ci w 0 = 50µm za soczewk ), siatka liniowa z dodan faz kwadratow (przesuni cie podªu»ne ogniska o d = 2cm), siatka liniowa modulowana w dwóch miejscach krzywymi Gaussa (odlegªymi o d = 4mm). 5 Sterowanie ukªadem pomiarowym Oprogramowanie dostarczone przez producenta wraz z modulatorem [5] umo»liwia wytwarzanie fazowych siatek dyfrakcyjnych o kilku prostych ksztaªtach, lecz nie pozwala na precyzyjn kontrol nad parametrami tworzonych siatek. W tym celu stworzono w ±rodowisku programistycznym LabView progamy sªu» ce do kontrolowania pracy modulatora oraz do analizowania danych pochodz cych z kamery CCD znajduj cej si w ukªadzie. Schemat ideowy programu sªu» cego do deniowania proli tworzonych siatek dyfrakcyjnych przedstawia rysunek 10. Dane z programu steruj cego s wysyªane do modulatora, który jest podª czony do komputera jako drugi monitor. Na rysunkach 11 oraz 12 znajduj si stworzone z LabView interfejsy graczne do sterowania odpowiednio modulatorem i kamer. U»ytkownik ma kontrol nad prolem wytworzonej siatki oraz mo»e nia bie» co analizowa obraz z kamery CCD. Parametry, którymi mo»na manipulowa, s szczegóªowo opisane w podpisach pod odpowiednimi rysunkami. Rysunek 10: Schemat programu w ±rodowisku LabView sªu»acego do generowania fazowych siatek dyfrakcyjnych. Program pobiera od u»ytkownika parametry siatki, nast pnie w p tli wyznacza dla ka»dego piksela modulatora odpowiedni faz i przelicza j na napi cie. Obliczone dane s wy±wietlane na ekranie celem werykacji, jak równie» na powierzchni modulatora, podª czonego jako drugi monitor. 6
7 Rysunek 11: Interfejs graczny do sterowania modulatorem. Zaznaczone ramkami kontrolki umo»liwiaj dodanie fazy liniowej, kwadratowej, modulacji wi zk gaussowsk oraz okre±lenie poªo»enia wi zki na modulatorze. Program umo»liwia tworzenie dwóch niezale»nych siatek dyfrakcyjnych. W oknie programu mamy podgl d na powierzchni modulatora, jak równie» przekroje w dwóch pªaszczyznach. Rysunek 12: Interfejs graczny do sterowania kamer. Zaznaczone ramkami kontrolki umozliwiaj regulacj czasu na±wietlania matrycy CCD, jak równie» dopasowanie parametrów krzywej Gaussa do przekrojów wi zki gaussowskiej widzianej na kamerze, które mo»emy zmienia, reguluj c poªo»eniem suwaków w oknie podgl du kamery. Widoczne wi zki wytworzono za pomoc modulatora. 7
8 6 Precyzyjna kontrola interferencji Przy pomocy opisanych powy»ej programów mo»na sprawdzi, na ile dokªadnie jeste±my w stanie kontrolowa parametry wytwarzanych fazowych siatek dyfrakcyjnych. Wytwarzaj c na powierzchni modulatora dwie liniowe siatki dyfrakcyjne o ró»nej szeroko±ci pr»ków (odpowiednia 22 i 20 pikseli na pr»ek), modulowane krzywymi gaussowskimi, mo»emy obserwowa na kamerze powstaj cy obraz interferencyjny. Wi zki takie padaj na soczewk pod ró»nymi k tami, tym samym ogniskuj c si w ró»nych punktach. Sytuacj dla ró»nych poªo»e«kamery wzgl dem ogniska soczewki przedstawia rysunek 13. Obserwowana interferencja jest efektem zastosowania siatki dyfrakcyjnej przedstawionej w lewym górnym rogu rysunku 14. Obok widoczny jest przekrój obrazu widzianego przez kamer. Wida,»e dla piksela kamery o numerze 300 (zaznaczony strzaªk ) wyst puje konstruktywna interferencja. Zmieniaj c nieznacznie odlegªo± pomi dzy krzywymi Gaussa na modulatorze (lewy dolny róg na rysunku 14), w tym samym miejscu kamery obserwujemu interferencj destruktywn. Pokazuje to,»e mo»emy kontrolowa miejsce ugi cia wi zki ±wiatªa z modulatora z dokªadno±ci do pojedynczych pikseli kamery. Rysunek 13: Interferencja dwóch wi zek gaussowskich wytworzonych na modulatorze. Zaznaczono pªaszczyzny wraz z odlegªo±ci od ogniska, w których znajdowaªa si kamera. Od prawej: pocz tkowo widzimy oddzielne wi zki; w miar przesuwania kamery w lewo obserwujemy ich interferencj. Dalsze przesuwanie kamery w lewo powoduje osªabienie interferencji, gdy» zmniejsza si obszar przykrywania si obu wi zek. Rysunek 14: Obraz interferencji wi zek na kamerze. Lewa strona rysunku przedstawia dwie ró»ne fazowe siatki dyfrakcyjne inna jest odlegªo± pomi dzy dwiema wi zkami gaussowskimi, pozostaªe parametry identyczne. Po prawej stronie widzimy przekroje obrazu (w jednej pªaszczy¹nie) widzianego przez kamer CCD. Warto zwróci uwag na piksel oznaczony strzaªk w pierwszym przypadku zachodzi interferencja konstruktywna, w drugim destruktywna. 8
9 7 Wytwarzanie hologramów optycznych Przestrzenny modulator fazy mo»e sªu»y do wytwarzania hologramów optycznych, które nast pnie mo»na rejestrowa przy pomocy kamery CCD znajduj cej si w ukªadzie. Za pomoc dowolnego programu gracznego nale»y przygotowa informacj, któr ma znajdowa si na hologramie. Nast pnie przy pomocy oprogramowania dostarczonego wraz z modulatorem [5] przeksztaªcamy wczytany obraz na dyfrakcyjn siatk fazow o odpowiednim rozkªadzie fazy w pªaszczy¹nie modulatora. Program wykonuje po prostu odwrotn transformat Fouriera obrazka, z którego chcemy skonstruowa hologram. Zatem ustawiaj c kamer w ognisku soczewki (patrz rysunek 4), zgodnie z rozwa»aniami z rozdziaªu 2, w pªaszczy¹nie ogiskowej spodziewamy si otrzyma odkodowan informacj, któr wczytalimy przy pomocy przygotowanego obrazka. Efekt opisanej procedury przedstawia rysunek 15 w obrazie z kamery widoczny jest tak»e zerowy rz d ugi cia, w którym uzyskujemy obraz powierzchni modulatora. Rysunek 15: Hologram wygenerowany przy u»yciu modulatora. Kolejno: napis stworzony w dowolnym programie gracznym; powi kszony fragment fazowej siatki dyfrakcyjnej wytworzonej na powierzchni modulatora oraz obraz widziany przez kamer umieszczon w ognisku soczewki widoczny równie» obraz modulatora (zerowy rz d ugi cia). 8 Podsumowanie i wnioski W ramach wiczenia oprogramowano w ±rodowisku LabView przestrzenny modulator fazy ±wiatªa. Napisano progam umo»liwiaj cy wytworzenie na powierzchni modulatora precyzyjnych fazowych siatek dyfrakcyjnych, z mo»liwo±ci ªatwej manipulacji parametrami tworzonych siatek. Napisano równie» program do obsªugi kamery CCD, umo»liwiaj cy ogl danie hologramów wytwarzanych przez modulator SLM. Sprawdzono dziaªanie modulatora i stwierdzono,»e dziaªa on zgodnie z oczekiwaniami. Jednak»e modulator (na skutek zªego monta»u mechanicznego) wprowadza dodatkow faz, której nie jestemy w stanie kontrolowa. Kolejnym etapem pracy b dzie odzyskanie fazy wprowadzanej przez modulator SLM i wykalibrowanie modulatora, aby za pomoc napisanych programów komputerowych móc w sposób intuicyjny kontrolowa amplitud i faz wi zki ±wiatªa w przestrzeni. W przyszªo±ci zbudowany ukªad (po rozbudowie) posªu»y do generowania hologramów w parach atomów rubidu, wykorzystywanych do budowy pami ci kwantowej w Laboratorium Pami ci Kwantowych. Literatura [1] E. Hecht, Optics, 4th Edition, Addison Wesley (2002), Chapter 11. [2] B.E.A. Saleh, M.C.Teich, Fundamentals of Photonics, J.Wiley&Sons, Inc. (1991), Chapter 4. [3] J.A.Davis, D.M.Cottrell, J.Campos, M.J.Yzuel, I.Moreno, Appl. Opt. 23, (1999) [4] J.A.Davis, K.O.Valadez, D.M.Cottrell, Appl. Opt. 11, (2003) [5] Holoeye, Pluto SLM manual instrukcja obsªugi ciekªokrystalicznego SLM 9
BADANIE GEOMETRII WI ZKI POMPUJ CEJ W LASERZE Yb:KYW
BADANIE GEOMETRII WI ZKI POMPUJ CEJ W LASERZE Yb:KYW Indywidualna Praca w Laboratorium Badawczym Michaª D browski Streszczenie Wyznaczono geometri wi zki pompuj cej laser femtosekundowy z krysztaªem iterbu.
Bardziej szczegółowoFMZ10 K - Liniowy efekt elektrooptyczny
FMZ10 K - Liniowy efekt elektrooptyczny Materiaªy przeznaczone dla studentów kierunku: Zaawansowane Materiaªy i Nanotechnologia w Instytucie Fizyki UJ rok akademicki 009/010 prowadz cy: dr hab. Krzysztof
Bardziej szczegółowoPrzestrzenna modulacja wiązki o dowolnym rozkładzie amplitudy i fazy
Uniwersytet Warszawski Wydział Fizyki Michał Dąbrowski Nr albumu: 290853 Przestrzenna modulacja wiązki o dowolnym rozkładzie amplitudy i fazy Praca licencjacka na kierunku FIZYKA w zakresie FIZYKI DOŚWIADCZALNEJ
Bardziej szczegółowoOptyka geometryczna. Soczewki. Marcin S. Ma kowicz. rok szk. 2009/2010. Zespóª Szkóª Ponadgimnazjalnych Nr 2 w Brzesku
skupiaj ce rozpraszaj ce Optyka geometryczna Zespóª Szkóª Ponadgimnazjalnych Nr 2 w Brzesku rok szk. 2009/2010 skupiaj ce rozpraszaj ce Spis tre±ci 1 Wprowadzenie 2 Ciekawostki 3 skupiaj ce Konstrukcja
Bardziej szczegółowoPrzygotowanie wi zek kontroluj cych hologramy kwantowe w parach atomowych
Uniwersytet Warszawski Wydziaª Fizyki Joanna Zieli«ska Nr albumu: 276982 Przygotowanie wi zek kontroluj cych hologramy kwantowe w parach atomowych Praca licencjacka na kierunku Fizyka w zakresie Fizyki
Bardziej szczegółowoLXV OLIMPIADA FIZYCZNA ZAWODY III STOPNIA
LXV OLIMPIADA FIZYCZNA ZAWODY III STOPNIA CZ DO WIADCZALNA Za zadanie do±wiadczalne mo»na otrzyma maksymalnie 40 punktów. Zadanie D. Rozgrzane wolframowe wªókno»arówki o temperaturze bezwzgl dnej T emituje
Bardziej szczegółowowiczenie nr 3 z przedmiotu Metody prognozowania kwiecie«2015 r. Metodyka bada«do±wiadczalnych dr hab. in». Sebastian Skoczypiec Cel wiczenia Zaªo»enia
wiczenie nr 3 z przedmiotu Metody prognozowania kwiecie«2015 r. wiczenia 1 2 do wiczenia 3 4 Badanie do±wiadczalne 5 pomiarów 6 7 Cel Celem wiczenia jest zapoznanie studentów z etapami przygotowania i
Bardziej szczegółowo1 Trochoidalny selektor elektronów
1 Trochoidalny selektor elektronów W trochoidalnym selektorze elektronów TEM (Trochoidal Electron Monochromator) stosuje si skrzy»owane i jednorodne pola: elektryczne i magnetyczne. Jako pierwsi taki ukªad
Bardziej szczegółowoOptyka geometryczna. Zwierciadªa. Marcin S. Ma kowicz. rok szk. 2009/2010. Zespóª Szkóª Ponadgimnazjalnych Nr 2 w Brzesku
Optyka geometryczna Zespóª Szkóª Ponadgimnazjalnych Nr 2 w Brzesku rok szk. 2009/2010 Spis tre±ci 1 2 Jak konstuowa obraz w zwierciadle pªaskim 3 Konstrukcja obrazu w zwierciadle kulistym wkl sªym Równanie
Bardziej szczegółowoLekcja 8 - ANIMACJA. 1 Polecenia. 2 Typy animacji. 3 Pierwsza animacja - Mrugaj ca twarz
Lekcja 8 - ANIMACJA 1 Polecenia Za pomoc Baltiego mo»emy tworzy animacj, tzn. sprawia by obraz na ekranie wygl daª jakby si poruszaª. Do animowania przedmiotów i tworzenia animacji posªu» nam polecenia
Bardziej szczegółowoprzewidywania zapotrzebowania na moc elektryczn
do Wykorzystanie do na moc elektryczn Instytut Techniki Cieplnej Politechnika Warszawska Slide 1 of 20 do Coraz bardziej popularne staj si zagadnienia zwi zane z prac ¹ródªa energii elektrycznej (i cieplnej)
Bardziej szczegółowoWektory w przestrzeni
Wektory w przestrzeni Informacje pomocnicze Denicja 1. Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów. Pierwszy z tych punktów nazywamy pocz tkiem wektora albo punktem zaczepienia wektora, a drugi - ko«cem
Bardziej szczegółowoLXIV OLIMPIADA FIZYCZNA ZAWODY III STOPNIA
Za zadanie D mo»na otrzyma maksymalnie 40 punktów. Zadanie D. Maj c do dyspozycji: LXIV OLIMPIADA FIZYCZNA ZAWODY III STOPNIA CZ DO WIADCZALNA generator napi cia o przebiegu sinusoidalnym o ustalonej amplitudzie
Bardziej szczegółowoDyskretyzacja i kwantyzacja obrazów
Laboratorium: Cyfrowe przetwarzanie obrazów i sygnaªów Dyskretyzacja i kwantyzacja obrazów 1 Cel i zakres wiczenia Celem wiczenia jest zapoznanie si z procesami dyskretyzacji i kwantyzacji, oraz ze zjawiskami
Bardziej szczegółowoElementy geometrii w przestrzeni R 3
Elementy geometrii w przestrzeni R 3 Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 29 maja 2016 Podstawowe denicje Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów (A,B) z których pierwszy nazywa si pocz tkiem a drugi
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 5 Hologram gruby
Ćwiczenie 5 Hologram gruby 1. Wprowadzenie: Na poprzednim ćwiczeniu zapoznaliśmy się z hologramem Fresnela, który daje nam moŝliwość zapisu obiektu przestrzennego. Wadą jego jednak jest to, iŝ moŝemy go
Bardziej szczegółowoUkªady równa«liniowych
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I 0 in» 7 listopada 206 Ukªady równa«liniowych Informacje pomocnicze Denicja Ogólna posta ukªadu m równa«liniowych z n niewiadomymi x, x, x n, gdzie m, n N jest nast
Bardziej szczegółowoWICZENIE 2 Badanie podstawowych elementów pasywnych
Laboratorium Elektroniki i Elektrotechniki Katedra Sterowania i In»ynierii Systemów www.control.put.poznan.pl 1 Politechnika Pozna«ska WICZENIE 2 Badanie podstawowych elementów pasywnych Celem wiczenia
Bardziej szczegółowor = x x2 2 + x2 3.
Przestrze«aniczna Def. 1. Przestrzeni aniczn zwi zan z przestrzeni liniow V nazywamy dowolny niepusty zbiór P z dziaªaniem ω : P P V (które dowolnej parze elementów zbioru P przyporz dkowuje wektor z przestrzeni
Bardziej szczegółowoWST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 203/4 Spis tre±ci Kodowanie i dekodowanie 4. Kodowanie a szyfrowanie..................... 4.2 Podstawowe poj cia........................
Bardziej szczegółowoWFiIS Imi i nazwisko: Rok: Zespóª: Nr wiczenia: Fizyka Dominik Przyborowski IV 5 22 J drowa Katarzyna Wolska
WFiIS Imi i nazwisko: Rok: Zespóª: Nr wiczenia: Fizyka Dominik Przyborowski IV 5 22 J drowa Katarzyna Wolska Temat wiczenia: Wyznaczanie stosunku przekrojów czynnych na aktywacj neutronami termicznymi
Bardziej szczegółowoLekcja 5 Programowanie - Nowicjusz
Lekcja 5 Programowanie - Nowicjusz Akademia im. Jana Dªugosza w Cz stochowie Programowanie i program wedªug Baltiego Programowanie Programowanie jest najwy»szym trybem Baltiego. Z pomoc Baltiego mo»esz
Bardziej szczegółowoEkstremalnie fajne równania
Ekstremalnie fajne równania ELEMENTY RACHUNKU WARIACYJNEGO Zaczniemy od ogólnych uwag nt. rachunku wariacyjnego, który jest bardzo przydatnym narz dziem mog cym posªu»y do rozwi zywania wielu problemów
Bardziej szczegółowoLekcja 6 Programowanie - Zaawansowane
Lekcja 6 Programowanie - Zaawansowane Akademia im. Jana Dªugosza w Cz stochowie Wst p Wiemy ju»: co to jest program i programowanie, jak wygl da programowanie, jak tworzy programy za pomoc Baltiego. Na
Bardziej szczegółowowiat o mo e by rozumiane jako strumie fotonów albo jako fala elektromagnetyczna. Najprostszym przypadkiem fali elektromagnetycznej jest fala p aska
G ÓWNE CECHY WIAT A LASEROWEGO wiat o mo e by rozumiane jako strumie fotonów albo jako fala elektromagnetyczna. Najprostszym przypadkiem fali elektromagnetycznej jest fala p aska - cz sto ko owa, - cz
Bardziej szczegółowoO kondensacie BosegoEinsteina powstaj cym w ZOA
O kondensacie BosegoEinsteina powstaj cym w ZOA Dobrosªawa BartoszekBober Zakªad Optyki Atomowej IF UJ 9 maja 2011 Dobrosªawa BartoszekBober 9 maja 2011 1 / 15 Plan seminarium BEC na chipie Budowa ukªadu
Bardziej szczegółowoNanostruktury, spintronika, komputer kwantowy
Nanostruktury, spintronika, komputer kwantowy Wykªad dla uczniów Gimnazjum Nr 2 w Krakowie I. Nanostruktury Skala mikrometrowa 1µm (mikrometr) = 1 milionowa cz ± metra = 10 6 m obiekty mikrometrowe, np.
Bardziej szczegółowoLekcja 3 Banki i nowe przedmioty
Lekcja 3 Banki i nowe przedmioty Akademia im. Jana Dªugosza w Cz stochowie Banki przedmiotów Co ju» wiemy? co to s banki przedmiotów w Baltie potramy korzysta z banków przedmiotów mo»emy tworzy nowe przedmioty
Bardziej szczegółowo40. Międzynarodowa Olimpiada Fizyczna Meksyk, 12-19 lipca 2009 r. ZADANIE TEORETYCZNE 2 CHŁODZENIE LASEROWE I MELASA OPTYCZNA
ZADANIE TEORETYCZNE 2 CHŁODZENIE LASEROWE I MELASA OPTYCZNA Celem tego zadania jest podanie prostej teorii, która tłumaczy tak zwane chłodzenie laserowe i zjawisko melasy optycznej. Chodzi tu o chłodzenia
Bardziej szczegółowoKondensat BosegoEinsteina na obwodzie scalonym (BEC on chip)
Kondensat BosegoEinsteina na obwodzie scalonym (BEC on chip) Dobrosªawa BartoszekBober Zakªad Optyki Atomowej IF UJ 6 marca 2011 Dobrosªawa BartoszekBober 6 marca 2011 1 / 16 Dobrosªawa BartoszekBober
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIE LASERÓW W METROLOGII. - miernictwo, nauka o pomiarach. Obejmuje wszystkie teoretyczne i praktyczne problemy zwi zane z pomiarami.
ZASTOSOWANIE LASERÓW W METROLOGII Metrologia - miernictwo, nauka o pomiarach. Obejmuje wszystkie teoretyczne i praktyczne problemy zwi zane z pomiarami. Cechy wi zki wiat a laserowego wykorzystywane w
Bardziej szczegółowoPodstawy modelowania w j zyku UML
Podstawy modelowania w j zyku UML dr hab. Bo»ena Wo¹na-Szcze±niak Akademia im. Jan Dªugosza bwozna@gmail.com Wykªad 2 Zwi zki mi dzy klasami Asocjacja (ang. Associations) Uogólnienie, dziedziczenie (ang.
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIE LASERÓW W HOLOGRAFII
ZASTOSOWANIE LASERÓW W HOLOGRAFII Holografia - dzia optyki zajmuj cy si technikami uzyskiwania obrazów przestrzennych metod rekonstrukcji fali (g ównie wiat a, ale te np. fal akustycznych). Przez rekonstrukcj
Bardziej szczegółowoStereometria (geometria przestrzenna)
Stereometria (geometria przestrzenna) Wzajemne poªo»enie prostych w przestrzeni Stereometria jest dziaªem geometrii, którego przedmiotem bada«s bryªy przestrzenne oraz ich wªa±ciwo±ci. Na pocz tek omówimy
Bardziej szczegółowoMODULATOR CIEKŁOKRYSTALICZNY
ĆWICZENIE 106 MODULATOR CIEKŁOKRYSTALICZNY 1. Układ pomiarowy 1.1. Zidentyfikuj wszystkie elementy potrzebne do ćwiczenia: modulator SLM, dwa polaryzatory w oprawie (P, A), soczewka S, szary filtr F, kamera
Bardziej szczegółowoWykªad 10. Spis tre±ci. 1 Niesko«czona studnia potencjaªu. Fizyka 2 (Informatyka - EEIiA 2006/07) c Mariusz Krasi«ski 2007
Wykªad 10 Fizyka 2 (Informatyka - EEIiA 2006/07) 08 05 2007 c Mariusz Krasi«ski 2007 Spis tre±ci 1 Niesko«czona studnia potencjaªu 1 2 Laser 3 2.1 Emisja spontaniczna...........................................
Bardziej szczegółowoOpis matematyczny ukªadów liniowych
Rozdziaª 1 Opis matematyczny ukªadów liniowych Autorzy: Alicja Golnik 1.1 Formy opisu ukªadów dynamicznych 1.1.1 Liniowe równanie ró»niczkowe Podstawow metod przedstawienia procesu dynamicznego jest zbiór
Bardziej szczegółowoZadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ. Marek Majewski Aktualizacja: 31 pa¹dziernika 2006
Zadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ Marek Majewski Aktualizacja: 1 pa¹dziernika 006 Spis tre±ci 1 Macierze dziaªania na macierzach. Wyznaczniki 1 Macierz odwrotna. Rz d macierzy
Bardziej szczegółowoEkonometria. wiczenia 1 Regresja liniowa i MNK. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 1 Regresja liniowa i MNK (1) Ekonometria 1 / 25 Plan wicze«1 Ekonometria czyli...? 2 Obja±niamy ceny wina 3 Zadania z podr cznika (1) Ekonometria 2 / 25 Plan prezentacji 1 Ekonometria
Bardziej szczegółowoCiaªa i wielomiany. 1 Denicja ciaªa. Ciaªa i wielomiany 1
Ciaªa i wielomiany 1 Ciaªa i wielomiany 1 Denicja ciaªa Niech F b dzie zbiorem, i niech + (dodawanie) oraz (mno»enie) b d dziaªaniami na zbiorze F. Denicja. Zbiór F wraz z dziaªaniami + i nazywamy ciaªem,
Bardziej szczegółowo1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci
Zebraª do celów edukacyjnych od wykªadowców PK, z ró»nych podr czników Maciej Zakarczemny 1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci dotycz cych funkcji elementarnych,
Bardziej szczegółowoWska¹niki, tablice dynamiczne wielowymiarowe
Rozdziaª 11 Wska¹niki, tablice dynamiczne wielowymiarowe 11.1 Wst p Identycznie, jak w przypadku tablic statycznych, tablica dynamiczna mo»e by tablic jedno-, dwu-, trójitd. wymiarow. Tablica dynamiczna
Bardziej szczegółowoLZNK. Rozkªad QR. Metoda Householdera
Rozdziaª 10 LZNK. Rozªad QR. Metoda Householdera W tym rozdziale zajmiemy si liniowym zadaniem najmniejszych wadratów (LZNK). Dla danej macierzy A wymiaru M N i wetora b wymiaru M chcemy znale¹ wetor x
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 8. Postacie obrazów na różnych etapach procesu przetwarzania
WYKŁAD 8 Reprezentacja obrazu Elementy edycji (tworzenia) obrazu Postacie obrazów na różnych etapach procesu przetwarzania Klasy obrazów Klasa 1: Obrazy o pełnej skali stopni jasności, typowe parametry:
Bardziej szczegółowoAproksymacja funkcji metod najmniejszych kwadratów
Aproksymacja funkcji metod najmniejszych kwadratów Teoria Interpolacja polega na znajdowaniu krzywej przechodz cej przez wszystkie w zªy. Zdarzaj si jednak sytuacje, w których dane te mog by obarczone
Bardziej szczegółowoZasilacz stabilizowany 12V
Zasilacz stabilizowany 12V Marcin Polkowski marcin@polkowski.eu 3 grudnia 2007 Spis tre±ci 1 Wprowadzenie 2 2 Wykonane pomiary 2 2.1 Charakterystyka napi ciowa....................................... 2
Bardziej szczegółowo2 Liczby rzeczywiste - cz. 2
2 Liczby rzeczywiste - cz. 2 W tej lekcji omówimy pozostaªe tematy zwi zane z liczbami rzeczywistymi. 2. Przedziaªy liczbowe Wyró»niamy nast puj ce rodzaje przedziaªów liczbowych: (a) przedziaªy ograniczone:
Bardziej szczegółowoElementy geometrii analitycznej w przestrzeni
Wykªad 3 Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni W wykªadzie tym wi kszy nacisk zostaª poªo»ony raczej na intuicyjne rozumienie deniowanych poj, ni» ±cisªe ich zdeniowanie. Dlatego niniejszy wykªad
Bardziej szczegółowoJanusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Zastosowanie eliptycznych równa«ró»niczkowych
Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdziaª 9 RÓWNANIA ELIPTYCZNE 9.1 Zastosowanie eliptycznych równa«ró»niczkowych cz stkowych 9.1.1 Problemy z warunkami brzegowymi W przestrzeni dwuwymiarowej
Bardziej szczegółowodet A := a 11, ( 1) 1+j a 1j det A 1j, a 11 a 12 a 21 a 22 Wn. 1 (Wyznacznik macierzy stopnia 2:). = a 11a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32
Wyznacznik Def Wyznacznikiem macierzy kwadratowej nazywamy funkcj, która ka»dej macierzy A = (a ij ) przyporz dkowuje liczb det A zgodnie z nast puj cym schematem indukcyjnym: Dla macierzy A = (a ) stopnia
Bardziej szczegółowoAndroid. Podstawy tworzenia aplikacji. Piotr Fulma«ski. March 4, 2015
Android Podstawy tworzenia aplikacji Piotr Fulma«ski Instytut Nauk Ekonomicznych i Informatyki, Pa«stwowa Wy»sza Szkoªa Zawodowa w Pªocku, Polska March 4, 2015 Table of contents Framework Jednym z najwarto±ciowszych
Bardziej szczegółowoCyfrowe Ukªady Scalone
Cyfrowe Ukªady Scalone Marcin Polkowski marcin@polkowski.eu 7 listopada 2007 Spis tre±ci 1 Wprowadzenie 2 2 Zadania ukªadu 2 3 Wykorzystane moduªy elektroniczne 3 3.1 7493 - cztero bitowy licznik binarny..................................
Bardziej szczegółowoMiASI. Modelowanie systemów informatycznych. Piotr Fulma«ski. 18 stycznia Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska
MiASI Modelowanie systemów informatycznych Piotr Fulma«ski Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska 18 stycznia 2010 Spis tre±ci 1 Analiza systemu informatycznego Poziomy analizy 2
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoPrzetwarzanie sygnaªów
Przetwarzanie sygnaªów Wykªad 8 - Wst p do obrazów 2D Marcin Wo¹niak, Dawid Poªap Przetwarzanie sygnaªów Pa¹dziernik, 2018 1 / 27 Plan wykªadu 1 Informacje wstepne 2 Przetwarzanie obrazu 3 Wizja komputerowa
Bardziej szczegółowoMacierze i Wyznaczniki
Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja 1. Tablic nast puj cej postaci a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A =... a m1 a m2... a mn nazywamy macierz o m wierszach i n kolumnach,
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x, y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0, y 0 ) Pochodn cz stkow pierwszego rz du funkcji dwóch zmiennych wzgl
Bardziej szczegółowoLekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE
Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE I STAŠE 1 Liczby losowe Czasami spotkamy si z tak sytuacj,»e b dziemy potrzebowa by program za nas wylosowaª jak ± liczb. U»yjemy do tego polecenia: - liczba losowa Sprawd¹my
Bardziej szczegółowoLekcja 3 - BANKI I NOWE PRZEDMIOTY
Lekcja 3 - BANKI I NOWE PRZEDMIOTY Wiemy ju» co to s banki przedmiotów i potramy z nich korzysta. Dowiedzieli±my si te»,»e mo»emy tworzy nowe przedmioty, a nawet caªe banki przedmiotów. Na tej lekcji zajmiemy
Bardziej szczegółowo1 Elektrostatyka. 1.1 Wst p teoretyczny
Elektrostatyka. Wst p teoretyczny Dwa ªadunki elektryczne q i q 2 wytwarzaj pole elektryczne i za po±rednictwem tego pola odziaªuj na siebie wzajemnie z pewn siª. Je»eli pole elektryczne wytworzone jest
Bardziej szczegółowoMateriaªy do Repetytorium z matematyki
Materiaªy do Repetytorium z matematyki 0/0 Dziaªania na liczbach wymiernych i niewymiernych wiczenie Obliczy + 4 + 4 5. ( + ) ( 4 + 4 5). ( : ) ( : 4) 4 5 6. 7. { [ 7 4 ( 0 7) ] ( } : 5) : 0 75 ( 8) (
Bardziej szczegółowoĆwiczenie: "Ruch harmoniczny i fale"
Ćwiczenie: "Ruch harmoniczny i fale" Opracowane w ramach projektu: "Wirtualne Laboratoria Fizyczne nowoczesną metodą nauczania realizowanego przez Warszawską Wyższą Szkołę Informatyki. Zakres ćwiczenia:
Bardziej szczegółowoProste modele o zªo»onej dynamice
Proste modele o zªo»onej dynamice czyli krótki wst p do teorii chaosu Tomasz Rodak Festiwal Nauki, Techniki i Sztuki 2018 April 17, 2018 Dyskretny model pojedynczej populacji Rozwa»my pojedyncz populacj
Bardziej szczegółowoKrzywe i powierzchnie stopnia drugiego
Krzywe i powierzchnie stopnia drugiego Iwona Malinowska, Zbigniew Šagodowski 25 maja 2015 I. Malinowska, Z. Lagodowski Geometria 25 maja 2015 1 / 30 Rozwa»my dwie proste przecinaj ce si pod k tem α, 0
Bardziej szczegółowoRozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a).
Rozwi zania zada«z egzaminu podstawowego z Analizy matematycznej 2.3A (24/5). Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a). Zadanie P/4. Metod operatorow rozwi
Bardziej szczegółowoPodstawy statystycznego modelowania danych - Wykªad 7
Podstawy statystycznego modelowania danych - Wykªad 7 Tomasz Suchocki ANOVA Plan wykªadu Analiza wariancji 1. Rys historyczny 2. Podstawy teoretyczne i przykªady zastosowania 3. ANOVA w pakiecie R Tomasz
Bardziej szczegółowoPodstawy POV-Ray'a. Diana Doma«ska. Uniwersytet l ski. Diana Doma«ska (U ) Podstawy POV-Ray'a 1 / 13
Podstawy POV-Ray'a Diana Doma«ska Uniwersytet l ski Diana Doma«ska (U ) Podstawy POV-Ray'a 1 / 13 POV-Ray (Persistence of Vision Raytracer) jest j zykiem opisu sceny sªu» cym do tworzenia trójwymiarowej
Bardziej szczegółowoWykład 17: Optyka falowa cz.1.
Wykład 17: Optyka falowa cz.1. Dr inż. Zbigniew Szklarski Katedra Elektroniki, paw. C-1, pok.31 szkla@agh.edu.pl http://layer.uci.agh.edu.pl/z.szklarski/ 1 Zasada Huyghensa Christian Huygens 1678 r. pierwsza
Bardziej szczegółowoFunkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze
Funkcje, wielomiany Informacje pomocnicze Przydatne wzory: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 a 2 b 2 = (a + b)(a
Bardziej szczegółowoWyznaczanie krzywej rotacji Galaktyki na podstawie danych z teleskopu RT3
Wyznaczanie krzywej rotacji Galaktyki na podstawie danych z teleskopu RT3 Michaª Litwicki, Michalina Grubecka, Ewelina Obrzud, Tomasz Dziaªa, Maciej Winiarski, Dajana Olech 27 sierpnia 2012 Prowadz cy:
Bardziej szczegółowoLekcja 12 - POMOCNICY
Lekcja 12 - POMOCNICY 1 Pomocnicy Pomocnicy, jak sama nazwa wskazuje, pomagaj Baltiemu w programach wykonuj c cz ± czynno±ci. S oni szczególnie pomocni, gdy chcemy ci g polece«wykona kilka razy w programie.
Bardziej szczegółowoZbiory i odwzorowania
Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):
Bardziej szczegółowoRzut oka na zagadnienia zwi zane z projektowaniem list rozkazów
Rzut oka na zagadnienia zwi zane z projektowaniem list rozkazów 1 Wst p Przypomnijmy,»e komputer skªada si z procesora, pami ci, systemu wej±cia-wyj±cia oraz po- ª cze«mi dzy nimi. W procesorze mo»emy
Bardziej szczegółowoUkªady równa«liniowych - rozkªady typu LU i LL'
Rozdziaª 9 Ukªady równa«liniowych - rozkªady typu LU i LL' W tym rozdziale zapoznamy si z metodami sªu» cych do rozwi zywania ukªadów równa«liniowych przy pomocy uzyskiwaniu odpowiednich rozkªadów macierzy
Bardziej szczegółowo5. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach
Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach ( Niezale»ne szkody maja rozkªady P (X i = k) = exp( 1)/k!, P (Y i = k) = 4+k ) k (1/3) 5 (/3) k, k = 0, 1,.... Niech S = X 1 +... + X 500 + Y 1 +... + Y 500. Skªadka
Bardziej szczegółowoWst p do sieci neuronowych 2010/2011 wykªad 7 Algorytm propagacji wstecznej cd.
Wst p do sieci neuronowych 2010/2011 wykªad 7 Algorytm propagacji wstecznej cd. M. Czoków, J. Piersa Faculty of Mathematics and Computer Science, Nicolaus Copernicus University, Toru«, Poland 2010-11-23
Bardziej szczegółowo1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna
1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna Liczby w pami ci komputera przedstawiamy w ukªadzie dwójkowym w postaci zmiennopozycyjnej Oznacza to,»e s one postaci ±m c, 01 m < 1, c min c c max, (1) gdzie m nazywamy
Bardziej szczegółowoEkonometria. wiczenia 2 Werykacja modelu liniowego. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 2 Werykacja modelu liniowego (2) Ekonometria 1 / 33 Plan wicze«1 Wprowadzenie 2 Ocena dopasowania R-kwadrat Skorygowany R-kwadrat i kryteria informacyjne 3 Ocena istotno±ci zmiennych
Bardziej szczegółowoInstrukcja obsługi Norton Commander (NC) wersja 4.0. Autor: mgr inż. Tomasz Staniszewski
Instrukcja obsługi Norton Commander (NC) wersja 4.0 Autor: mgr inż. Tomasz Staniszewski ITM Zakład Technologii Maszyn, 15.10.2001 2 1.Uruchomienie programu Aby uruchomić program Norton Commander standardowo
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 11. Wprowadzenie teoretyczne
Ćwiczenie 11 Komputerowy hologram Fouriera. I Wstęp Wprowadzenie teoretyczne W klasycznej holografii w wyniku interferencji wiązki światła zmodyfikowanej przez pewien przedmiot i spójnej z nią wiązki odniesienia
Bardziej szczegółowox y x y x y x + y x y
Algebra logiki 1 W zbiorze {0, 1} okre±lamy dziaªania dwuargumentowe,, +, oraz dziaªanie jednoargumentowe ( ). Dziaªanie x + y nazywamy dodawaniem modulo 2, a dziaªanie x y nazywamy kresk Sheera. x x 0
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoPolitechnika Krakowska im. Tadeusza Kościuszki. Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2014/2015
Politechnika Krakowska im. Tadeusza Kościuszki Karta przedmiotu Wydział Mechaniczny obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 014/015 Kierunek studiów: Inżynieria Wzornictwa Przemysłowego
Bardziej szczegółowoArkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne
Arkusz maturalny Šukasz Dawidowski Powtórki maturalne 25 kwietnia 2016r. Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 1. 9 8 2. 0, (1) 3. 8 9 4. 0, (8) 3 4 4 4 1 jest liczba Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 3 4 4 4
Bardziej szczegółowoMacierze i Wyznaczniki
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I.in». 5 pa¹dziernika 6 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja. Tablic nast puj cej postaci a a... a n a a... a n A =... a m a m...
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Analiza matematyczna 2; MatematykaS-I 0 lic 21 maja 2018 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(, y b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu
Bardziej szczegółowoPodstawy Fizyki IV Optyka z elementami fizyki współczesnej. wykład 15, Radosław Chrapkiewicz, Filip Ozimek
Podstawy Fizyki IV Optyka z elementami fizyki współczesnej wykład 5, 3.04.0 wykład: pokazy: ćwiczenia: Czesław Radzewicz Radosław Chrapkiewicz, Filip Ozimek Ernest Grodner Wykład 4 - przypomnienie interferencja
Bardziej szczegółowoHOLOGRAFIA CYFROWA. II Pracownia Fizyczna Ćwiczenie Z28, T. Kawalec 1
H HOLOGRAFIA CYFROWA Cel ćwiczenia W tym ćwiczeniu wykonywana jest tak zwana bezsoczewkowa holografia fourierowska (lensless Fourier-transform holography), zwana też holografia kwazi-fourierowską. Jest
Bardziej szczegółowoNumeryczne zadanie wªasne
Rozdziaª 11 Numeryczne zadanie wªasne W tym rozdziale zajmiemy si symetrycznym zadaniem wªasnym, tzn. zadaniem znajdowania warto±ci i/lub wektorów wªasnych dla macierzy symetrycznej A = A T. W zadaniach
Bardziej szczegółowoLiniowe zadania najmniejszych kwadratów
Rozdziaª 9 Liniowe zadania najmniejszych kwadratów Liniowe zadania najmniejszych kwadratów polega na znalezieniu x R n, który minimalizuje Ax b 2 dla danej macierzy A R m,n i wektora b R m. Zauwa»my,»e
Bardziej szczegółowoPrzeksztaªcenia liniowe
Przeksztaªcenia liniowe Przykªady Pokaza,»e przeksztaªcenie T : R 2 R 2, postaci T (x, y) = (x + y, x 6y) jest przeksztaªceniem liniowym Sprawdzimy najpierw addytywno± przeksztaªcenia T Niech v = (x, y
Bardziej szczegółowoLab. 02: Algorytm Schrage
Lab. 02: Algorytm Schrage Andrzej Gnatowski 5 kwietnia 2015 1 Opis zadania Celem zadania laboratoryjnego jest zapoznanie si z jednym z przybli»onych algorytmów sªu» cych do szukania rozwi za«znanego z
Bardziej szczegółowoLekcja 9 Liczby losowe, zmienne, staªe
Lekcja 9 Liczby losowe, zmienne, staªe Akademia im. Jana Dªugosza w Cz stochowie Liczby losowe Czasami potrzebujemy by program za nas wylosowaª liczb. U»yjemy do tego polecenia liczba losowa: Liczby losowe
Bardziej szczegółowoWstawianie gotowych rysunków w texu - informacje podstawowe.
Wstawianie gotowych rysunków w texu - informacje podstawowe. By móc wstawi rysunek musimy w preambule pliku dopisa odpowiedni pakiet komend : \usepackage. W przypadku graki doª czamy pakiet:graphicx, (nieco
Bardziej szczegółowoc ANALIZA I ROZWI ZANIA ZADA FIZYKA - POZIOM ROZSZERZONY (NOWA FORMUŠA) MATURA, MAJ 2015
c ANALIZA I ROZWI ZANIA ZADA FIZYKA - POZIOM ROZSZERZONY (NOWA FORMUŠA) MATURA, MAJ 2015 Opracowanie rozwi za«zada«: Mariusz Mroczek Oprawa graczna: Mariusz Mroczek Publikuj : Mariusz Mroczek, EDUKARIS
Bardziej szczegółowoRelacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X.
Relacje 1 Relacj n-argumentow nazywamy podzbiór ϱ X 1 X 2... X n. Je±li ϱ X Y jest relacj dwuargumentow (binarn ), to zamiast (x, y) ϱ piszemy xϱy. Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór
Bardziej szczegółowoANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku
Bardziej szczegółowoEkonometria Bayesowska
Ekonometria Bayesowska Wykªad 6: Bayesowskie ª czenie wiedzy (6) Ekonometria Bayesowska 1 / 21 Plan wykªadu 1 Wprowadzenie 2 Oczekiwana wielko± modelu 3 Losowanie próby modeli 4 wiczenia w R (6) Ekonometria
Bardziej szczegółowoZastosowania matematyki
Zastosowania matematyki Monika Bartkiewicz 1 / 126 ...czy«cie dobrze i po»yczajcie niczego si nie spodziewaj c(šk. 6,34-35) Zagadnienie pobierania procentu jest tak stare jak gospodarka pieni»na. Procent
Bardziej szczegółowo