Statystyka Opisowa WK Andrzej Pawlak. Intended Audience: PWR

Transkrypt

1 Statystyka Opisowa WK Andrzej Pawlak Intended Audience: PWR

2 POJĘCIA STATYSTYKI 1. Zbiór danych liczbowych pokazujących kształtowanie się określonych zjawisk i procesów (roczniki statystyczne). 2. Nazwy charakterystyk liczbowych obliczanych na podstawie zbiorowości próbnych (średnia arytmetyczna z próby, odchylenie standardowe) SAP AG. All rights reserved. Confidential 2

3 PRZEDMIOT, ZADANIA I CELE STATYSTYKI Statystyka to dyscyplina naukowa, której przedmiotem są metody pozyskiwania i prezentacji, a przede wszystkim analizy danych opisujących zjawiska masowe w celu uzyskania uogólnionych informacji na temat zjawisk, których te dane dotyczą SAP AG. All rights reserved. Confidential 3

4 Zastosowania inżynierskie W zastosowaniach inżynierskich dla poznania zjawiska lub potwierdzenia teorii posługujemy się eksperymentem. Inżynierowi potrzebny jest wtedy zestaw narzędzi oraz metod, które umożliwią mu pozyskiwanie zbiorów danych oraz operowanie na nich, w celu sformułowania odpowiednich wniosków SAP AG. All rights reserved. Confidential 4

7 PODSTAWOWE POJĘCIA STATYSTYCZNE Zbiorowość (populacja) statystyczna. 1. Są to zbiory dowolnych elementów materialnych lub zjawisk podobnych pod względem określonych właściwości. 2. Jeżeli przedmiotem badania są wszystkie jednostki zbiorowości to zbiorowość nazywamy zbiorowością generalną SAP AG. All rights reserved. Confidential 7

8 Jednostki statystyczne Elementy składowe zbiorowości to jednostki statystyczne lub jednostki badania. Zbiorowości statystyczne powinny być ściśle określone pod względem: 1. rzeczowym, kto lub co jest przedmiotem badania, 2. przestrzennym, lokalizacja zbiorowości, 3. czasowym, jakiego momentu lub okresu dotyczą badania 2013 SAP AG. All rights reserved. Confidential 8

9 Próba losowa Podzbiór populacji generalnej obejmujący część jej elementów wybranych (wylosowanych) wg określonego schematu nosi nazwę zbiorowości próbnej (próby). Jeżeli pobrana w sposób losowy próba jest dostatecznie liczna to jest to próba reprezentatywna SAP AG. All rights reserved. Confidential 9

10 Cechy statystyczne. Badaniu statystycznemu podlegają właściwości jednostek statystycznych zwane cechami. Biorąc pod uwagę liczbę cech poddanych badaniu zbiorowości statystyczne dzielimy na jedno- i wielowymiarowe SAP AG. All rights reserved. Confidential 10

11 Przykłady cech statystycznych A. Zbiorowość tej sali różni się pod względem płci, wzrostu, koloru oczu, miejsc zamieszkania, średniej za ostatni semestr. B. Zbiorowość stężeń ścieków dopływających do oczyszczalni różni się pod względem natężenia dopływy, BZT5, CHZT, mętności, ładunku zanieczyszczeń, stężenia metali ciężkich SAP AG. All rights reserved. Confidential 11

12 Statystyka opisowa. Problemami: 1. zorganizowania badań statystycznych, 2. opracowania i prezentacji materiału statystycznego oraz 3. sumarycznym opisem danych statystycznych zajmuje się statystyka opisowa SAP AG. All rights reserved. Confidential 12

13 Pozyskiwanie danych a) Badanie statystyczne (proces) b) Obserwacja statystyczna (pomiar, zliczenie) c) Zbiór (skończony lub nie) d) Elementy zbioru (materialne lub nie) e) Cechy (właściwości mierzalne lub nie) f) Badania (pełne lub częściowe) g) Losowy dobór prób 2013 SAP AG. All rights reserved. Confidential 13

14 Opracowanie materiału statystycznego Obejmuje czynność grupowania i zliczania. Pogrupowany lub zliczony materiał statystyczny jest prezentowany w postaci: 1. szeregów, 2. tablic lub 3. wykresów statystycznych SAP AG. All rights reserved. Confidential 14

15 SZEREGI STATYSTYCZNE SZEREGI STATYSTYCZNE Szczegółowe Rozdzielcze Przestrzenne Czasowe cech mierzalnych cech niemierzalnych momentów okresów punktowe przedziałowe 2013 SAP AG. All rights reserved. Confidential 15

16 Szeregi szczegółowe Szczegółowe (wyliczające) przy niewielkiej liczbie jednostek uporządkowany ciąg wartości badanej cechy tworzy szereg szczegółowy. Np. x 1 >=x 2 >=x 3 >=.>=x n SAP AG. All rights reserved. Confidential 16

17 Szeregi rozdzielcze 1 Zbiór wartości liczbowych uporządkowanych wg wariantów badanej cechy, przy czym poszczególnym wariantom przyporządkowuje się odpowiadające im liczebności. Budując szeregi dla cechy skokowej (dyskretnej) warianty możemy podać punktowo (np. liczba awarii na rurociągu) lub przedziałowo SAP AG. All rights reserved. Confidential 17

18 Szeregi rozdzielcze 2 Dla cech ciągłych buduje się szeregi rozdzielcze przedziałowe (zużycie wody na mieszkańca). Zestawienie wyników w postaci szeregu rozdzielczego nazywamy rozkładem empirycznym SAP AG. All rights reserved. Confidential 18

19 Liczba przedziałów Liczba przedziałów (klas) w szeregu zależna jest od obszaru zmienności cechy, od liczebności zbiorowości i od celu badania. W praktyce proponuje się, aby liczba klas mieściła się w granicach SAP AG. All rights reserved. Confidential 19

21 Wskaźniki struktury W szeregach rozdzielczych dla określenia rozkładu, czyli struktury badanej zbiorowości, stosuje się obok liczebności bezwzględnych, wskaźniki struktury zwane częstością, liczebnością względną lub frakcją). w i = n i /N, 0<=w i <=1 S w i =1; S n i =N SAP AG. All rights reserved. Confidential 21

23 Przykład 1 Zbiorowością jest tu 20 wybranych rurociągów, a badaną cechą liczba awarii w ciągu roku. Cecha ta może przyjmować następujące wartości (warianty): 0,1,2,3,4,5. Cecha tego typu (przyjmująca wartości ze zbioru przeliczalnego) jest cechą dyskretną (skokową) SAP AG. All rights reserved. Confidential 23

26 Przykład 2. Badając wskaźnik zużycia wody na mieszkańca na dobę przebadano 1393 gospodarstwa domowe. Zarejestrowano zmienność zużycia w granicach od 10 do 70 l/mk/dobę. Wyniki zestawiono w postaci szeregów rozdzielczych SAP AG. All rights reserved. Confidential 26

29 Dystrybuanta empiryczna Przyporządkowanie kolejnym wartościom cechy statystycznej odpowiadających im częstości skumulowanych (zsumowanych) nazywamy dystrybuantą empiryczną SAP AG. All rights reserved. Confidential 29

30 GRAFICZNA PREZENTACJA ROZKŁADU EMPIRYCZNEGO Do prezentacji materiału statystycznego wykorzystywane są również wykresy statystyczne. Rodzaje wykresów : 1. histogramów (wykresów słupkowych), 2. diagramów (wieloboków liczebności), 3. krzywych liczebności (częstości) SAP AG. All rights reserved. Confidential 30

31 Wykresy statystyczne Jeśli przy sporządzaniu wykresów korzysta się z układu współrzędnych to: 1. na osi odciętych x odkłada się zazwyczaj wartości cechy, 2. a na osi rzędnych y liczebności występowania wariantów cech lub ich częstości SAP AG. All rights reserved. Confidential 31

39 Standaryzacja wykresu Rozpiętość Standary zacja n i w i % i n i /i w i /i Pole , ,40 0,0146 0, , ,40 0,0190 0, , ,60 0,0256 0, , ,00 0,0230 0, , ,45 0,0089 0, ,00 1, SAP AG. All rights reserved. Confidential 39

41 Charakterystyki rozkładu cechy Do opisu rozkładu badanej cechy wykorzystuje się: A. miary położenia, B. miary zróżnicowania (zmienności, rozproszenia, dyspersji), C. miary asymetrii (skośności), D. miary koncentracji (w analizach ekonomicznych) SAP AG. All rights reserved. Confidential 41

43 Średnia arytmetyczna Najbardziej znaną miarą położenia jest średnia arytmetyczna. gdzie: n- liczba obserwacji, x i - indywidualne obserwacje (warianty cechy) SAP AG. All rights reserved. Confidential 43

44 Średnia ważona 1 Przy wyznaczaniu średniej w rozkładzie empirycznym cechy ciągłej dysponujemy szeregiem rozdzielczym i nie mamy informacji o konkretnych wartościach cechy, lecz jedynie o przedziałach jej wartości (np. zużycie wody oddo). W tej sytuacji średnią wyznacza się w sposób przybliżony wychodząc z założenia, że średnia wartość cechy w każdym z przedziałów jest równa środkowi przedziału SAP AG. All rights reserved. Confidential 44

45 Średnia ważona 2 Liczona jest ze wzoru: x 1 n k i1 * xi ni lub, gdy warianty zmiennej opisane są częstotliwością (wskaźnikiem struktury), to obliczamy wówczas średnią ważoną wzorem: x k i1 * xi wi 2013 SAP AG. All rights reserved. Confidential 45

46 x Własności średniej 1 1. x min <x< x max, 2. Suma odchyleń poszczególnych wartości zmiennej od średniej arytmetycznej jest równa zeru, czyli: n i1 k i1 k i1 ( xi x) ( x ( xˆ i x) i ni x) n i dla szeregu wyliczającego, dla szeregu rozdzielczego dyskretnego, dla szeregu rozdzielczego przedziałowego, 2013 SAP AG. All rights reserved. Confidential 46

47 Własności średniej 2 3. Średnia arytmetyczna sumy (różnicy) zmiennych równa się sumie (różnicy) ich średnich arytmetycznych, 4. Jeżeli wszystkie wartości zmiennej powiększymy (pomniejszymy, pomnożymy, podzielimy) o pewną stałą, to średnia arytmetyczna będzie równa sumie (różnicy, iloczynowi, ilorazowi) średniej arytmetycznej wyjściowych zmiennych i tej stałej, 2013 SAP AG. All rights reserved. Confidential 47

48 Średnia harmoniczna Średnią harmoniczną n liczb x 1,x 2,...,x n (w jednostkach względnych np.: km/h) nazywamy liczbę H, gdzie n i to wagi H = 1 x1 n 1... x2 1 xn H = n1 n1 x1 n n 2 2 x2... nn nn... xn 2013 SAP AG. All rights reserved. Confidential 48

50 Dominanta Dominanta (modalna, wartość najczęstsza) jest to taka wartość cechy, która w danym rozkładzie empirycznym występuje najczęściej. W szeregach rozdzielczych przedziałowych bezpośrednio można określić tylko przedział, w którym występuje dominanta (jest to przedział o największej liczebności) SAP AG. All rights reserved. Confidential 50

51 Dominanta x od dolna granica klasy, w której znajduje się dominanta, n d liczebność przedziału dominanty, n d-1 liczebność przedziału poprzedzającego przedział dominanty, n d+1 liczebność przedziału następującego po przedziale dominanty, h d rozpiętość przedziału dominanty, 2013 SAP AG. All rights reserved. Confidential 51

52 Graficzna metoda wyznaczania dominanty Graficzna metoda wyznaczania dominanty sprowadza się do wykreślenia histogramu liczebności z trzech przedziałów klasowych SAP AG. All rights reserved. Confidential 52

53 Warunki wyznaczania dominanty Wyznaczanie dominanty jest uzasadnione wówczas, gdy szereg spełnia następujące warunki: 1. rozkład posiada jeden ośrodek dominujący (jednomodalny), 2. asymetria rozkładu jest umiarkowana, 3. przedział klasowy zawierający dominantę i przedziały sąsiednie posiadają jednakowe rozpiętości SAP AG. All rights reserved. Confidential 53

55 Mediana Medianą rozkładu empirycznego M e nazywamy taką wartość cechy w szeregu uporządkowanym, która dzieli ogólną liczbę jednostek zbiorowości na połowy. M e = x (N+1)/2, gdy N jest nieparzyste (x N/2 + x (N/2+1) )/2, gdy N jest parzyste 2013 SAP AG. All rights reserved. Confidential 55

56 Wyznaczanie mediany Do wyznaczenia mediany można użyć szeregu skumulowanego lub dystrybuanty empirycznej. Mianowicie, medianę można określić jako taką pierwszą wartość cechy, dla której zachodzi n(x)>=n/2, czyli skumulowana liczebność rozkładu osiąga wartość n/2 lub F(Me)>=1/2, czyli dystrybuanta empiryczna przyjmuje wartość ½ SAP AG. All rights reserved. Confidential 56

57 Mediana cechy ciągłej W przypadku cechy ciągłej niezbędna jest interpolacja do wyznaczenia wartości mediany : x om - dolna granica przedziału, w którym znajduje się wartość mediany, n(x om ) liczebność skumulowana dla dolnej granicy przedziału mediany, h m /n m rozpiętość i liczebność przedziału mediany, n liczebność całkowita SAP AG. All rights reserved. Confidential 57

58 Miary zróżnicowania Zróżnicowanie (dyspersja) wartości cechy w zbiorze jest następną ważną charakterystyką rozkładu. Miarami klasycznymi są : A. Wariancja B. Odchylenie standardowe 2013 SAP AG. All rights reserved. Confidential 58

60 Własności wariancji Wariancja jest różnicą pomiędzy średnią arytmetyczną kwadratów wartości cechy i kwadratem średniej arytmetycznej tej cechy. s 2 1 n n i1 x 2 i x SAP AG. All rights reserved. Confidential 60

61 Równość wariancyjna Jeżeli zbiorowość podzielimy na k grup, to wariancja dla całej zbiorowości będzie sumą dwóch składników: s 2 1 n k i1 s A. średniej arytmetycznej z wariancji obliczonych dla populacji cząstkowych (wariancji wewnątrzgrupowej) oraz 2 i B. wariancji średnich grupowych (wariancji międzygrupowej) n i 1 n k i1 ( x i x) 2 n i 2013 SAP AG. All rights reserved. Confidential 61

62 Odchylenie standardowe Wariancja jest wielkością kwadratową. Aby uzyskać miarę zróżnicowania w jednostkach zgodnych z jednostkami badanej cechy należy obliczyć pierwiastek kwadratowy z wariancji. W wyniku pierwiastkowania uzyskamy miarę zwaną odchyleniem standardowym. s = sqr(s 2 ) 2013 SAP AG. All rights reserved. Confidential 62

63 Przykład 1 Dokonano pomiaru długości rur kanalizacyjnych produkowanych przez producentów A i B. Na podstawie pomiarów rozstrzygnąć, który producent powinien być dostawcą rur SAP AG. All rights reserved. Confidential 63

64 Przykład 2 Wykonano odczyty zużycia wody w trzech kolejnych dniach z różnych liczników. W dniu 1 odczytano 150 liczników otrzymując średnią wartość odczytu = 172 litry z odchyleniem standardowym 7 litrów. W dniu 2 odczytano 100 liczników otrzymując średnią wartość odczytu = 170 litry z odchyleniem standardowym 4 litrów. W dniu 3 odczytano 50 liczników otrzymując średnią wartość odczytu = 168 litry z odchyleniem standardowym 8 litrów. Należy przy wykorzystaniu równości wariancyjnej zbadać zróżnicowanie wskazań liczników we wszystkich 3 dniach łącznie SAP AG. All rights reserved. Confidential 64

65 Standaryzacja zmiennych Cechy mogą być przekształcone, z użyciem średniej arytmetycznej i odchylenia standardowego do postaci standardowej. Niech x będzie obserwacją należącą do zbioru danych o średniej x i odchyleniu standardowym s. Wartością standaryzowaną odpowiadającą obserwacji x i jest wartość u i otrzymana z przekształcenia u ( x x) / i i s 2013 SAP AG. All rights reserved. Confidential 65

67 Współczynnik zmienności Współczynnik zmienności wyrażony procentowo mówi jaki procent poziomu średniej stanowi odchylenie standardowe. V Współczynnik zmienności jest stosowany najczęściej przy porównywaniu zróżnicowania cechy w dwóch różnych rozkładach. V>20% świadczy o dużym zróżnicowaniu zbiorowości pod względem badanej cechy. s x 2013 SAP AG. All rights reserved. Confidential 67

68 MIARY ASYMETRII Z punktu widzenia potrzeb analizy statystycznej istotny jest nie tylko przeciętny poziom i wewnętrzne zróżnicowanie zbiorowości, ale również fakt, czy przeważająca liczba jednostek znajduje się powyżej czy poniżej przeciętnego poziomu badanej cechy. Problem ten wiąże się z oceną asymetrii rozkładu SAP AG. All rights reserved. Confidential 68

69 Asymetria rozkładu Asymetrię rozkładu określamy na drodze porównywania dominanty, mediany i średniej arytmetycznej. W rozkładach symetrycznych wszystkie miary położenia (x śr, D, Me) są sobie równe. x śr > Me > D, to rozkład charakteryzuje się asymetrią prawostronną, x śr < Me < D, to rozkład charakteryzuje się asymetrią lewostronną SAP AG. All rights reserved. Confidential 69

70 Miary asymetrii 1 Najprostszą miarą asymetrii jest wskaźnik skośności określony wzorem: Ws = x śr D. W przypadku asymetrii lewostronnej wskaźnik skośności jest ujemny, a prawostronnej dodatni. Określa on kierunek asymetrii SAP AG. All rights reserved. Confidential 70

72 Miary asymetrii 3 Współczynnik asymetrii można również obliczyć jako iloraz momentu centralnego 3 rzędu i sześcianu odchylenia standardowego. As = m 3 /s SAP AG. All rights reserved. Confidential 72

73 2013 SAP AG. All rights reserved. 73 Confidential Momenty centralne Moment centralny l-tego rzędu jest średnią arytmetyczną l-tych potęg odchyleń zmiennych od wartości średniej l n i i l x x n m ) ( 1 1 i l k i i l n x x n m ) ( 1 1 i l k i i l n x x n m ) ( ˆ 1 1

76 Andrzej Pawlak Politechnika Wrocławska pok. 236e-D2 Plac Grunwaldzki Wrocław M mailto:andrzej.pawlak@pwr.wroc.pl