Wstęp do sieci neuronowych, wykład 11 Łańcuchy Markova
|
|
- Maciej Matusiak
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wstęp do sieci neuronowych, wykład 11 Łańcuchy Markova M. Czoków, J. Piersa
2 1 Definicja Własności Losowanie z rozkładu dyskretnego 2 3
3 Łańcuch Markova Definicja Własności Losowanie z rozkładu dyskretnego wydział klub dom stołówka
4 Łańcuch Markova Definicja Własności Losowanie z rozkładu dyskretnego wydział klub P dom wydział stołówka klub dom wydział stołówka klub dom stołówka
5 Łańcuch Markova Definicja Własności Losowanie z rozkładu dyskretnego wydział klub P dom wydział stołówka klub dom wydział stołówka klub dom stołówka X 0 = dom, X 1 = w, X 2 = s, X 3 = w, X 4 = d, X 5 = s,...
6 Definicja (nieformalna) Definicja Własności Losowanie z rozkładu dyskretnego Dane mamy: przestrzeń stanów Σ, macierz przejścia P, P i,j oznacza prawdopodobieństwo przejścia ze stanu i-tego do j-tego w jednym kroku, ma to być prawdopodobieństwo więc j P i,j = 1, ponadto mamy zadany pewien stan początkowy p 0 (lub rozkład P 0, z którego ma pochodzić stan początkowy),
7 Definicja (nieformalna) Definicja Własności Losowanie z rozkładu dyskretnego Dynamika: jako stan w kroku t = 0 wybieramy stan początkowy p 0 (lub losujemy go z rozkładu początkowego),
8 Definicja (nieformalna) Definicja Własności Losowanie z rozkładu dyskretnego Dynamika: jako stan w kroku t = 0 wybieramy stan początkowy p 0 (lub losujemy go z rozkładu początkowego), jeżeli w kroku t > 0 jesteśmy w stanie i to jako stan dla kroku t + 1 wybieramy losowy, ale zgodnie z tablicą przejść, tj. stan 1-szy z prawdopodobieństwem P i,1, stan 2-gi z prawdopodobieństwem P i,2, stan i-ty z prawdopodobieństwem P i,i, itd.
9 Definicja (nieformalna) Definicja Własności Losowanie z rozkładu dyskretnego Dynamika: jako stan w kroku t = 0 wybieramy stan początkowy p 0 (lub losujemy go z rozkładu początkowego), jeżeli w kroku t > 0 jesteśmy w stanie i to jako stan dla kroku t + 1 wybieramy losowy, ale zgodnie z tablicą przejść, tj. stan 1-szy z prawdopodobieństwem P i,1, stan 2-gi z prawdopodobieństwem P i,2, stan i-ty z prawdopodobieństwem P i,i, itd. Jeżeli znamy stan w chwili t, to przejście do roku t + 1 nie zależy od stanu w krokach t 1, t 2...
10 Interpretacja Definicja Własności Losowanie z rozkładu dyskretnego Łańcuch Markowa można wygodnie reprezentować jako graf skierowany wierzchołkami są wszystkie stany Σ, jeżeli prawdopodobieństwo bezpośredniego przejścia z i do j jest dodatnie P ij > 0, to dodajemy krawędź (i, j) do grafu (z wagą P ij ), krawędzie nie muszą być symetryczne,
11 Interpretacja Definicja Własności Losowanie z rozkładu dyskretnego Łańcuch Markowa można wygodnie reprezentować jako graf skierowany wierzchołkami są wszystkie stany Σ, jeżeli prawdopodobieństwo bezpośredniego przejścia z i do j jest dodatnie P ij > 0, to dodajemy krawędź (i, j) do grafu (z wagą P ij ), krawędzie nie muszą być symetryczne, wagi krawędzi wychodzących z danego wierzchołka sumują się do jedynki, ta własność nie musi zachodzić dla krawędzi wchodzących.
12 Interpretacja Definicja Własności Losowanie z rozkładu dyskretnego wydział klub P dom wydział stołówka klub dom wydział stołówka klub dom stołówka
13 Stan przechodni Definicja Własności Losowanie z rozkładu dyskretnego stan a jest przechodni, jeżeli istnieje ścieżka wychodząca z a bez powrotu
14 Stan przechodni Definicja Własności Losowanie z rozkładu dyskretnego a stan a jest przechodni, jeżeli istnieje ścieżka wychodząca z a bez powrotu b c
15 Stan porwacający Definicja Własności Losowanie z rozkładu dyskretnego stan a jest powracający (rekurencyjny), jeżeli każda ścieżka wychodząca z a kiedyś może powrócić z powrotem do a
16 Stan porwacający Definicja Własności Losowanie z rozkładu dyskretnego a stan a jest powracający (rekurencyjny), jeżeli każda ścieżka wychodząca z a kiedyś może powrócić z powrotem do a b c
17 Klasa rekursji Definicja Własności Losowanie z rozkładu dyskretnego klasa rekursji maksymalny zbiór stanów powracających, pomiędzy którymi można swobodnie przechodzić, może być więcej niż jedna klasa rekursji, klasy rekursji można znaleźć algorytmami BFS lub DFS wyszukując silnie spójne składowe w grafie skierowanym,
18 Klasa rekursji Definicja Własności Losowanie z rozkładu dyskretnego klasa rekursji maksymalny zbiór stanów powracających, pomiędzy którymi można swobodnie przechodzić, może być więcej niż jedna klasa rekursji, klasy rekursji można znaleźć algorytmami BFS lub DFS wyszukując silnie spójne składowe w grafie skierowanym,
19 Łańcuch nieprzywiedlny Definicja Własności Losowanie z rozkładu dyskretnego jeżeli z wszystkich stanów da się dojść do wszystkich innych (jest tylko jedna klasa rekursji która obejmuje wszystkie stany), to łańcuch nazywamy nieprzywiedlnym b a c
20 Stan okresowy / nieokresowy Definicja Własności Losowanie z rozkładu dyskretnego Stan a jest nieokresowy, jeżeli z każdego stanu da się dojść do wszystkich innych oraz gcd{i : P(a w i krokach a)} = 1
21 Stan okresowy / nieokresowy Definicja Własności Losowanie z rozkładu dyskretnego Stan a jest nieokresowy, jeżeli z każdego stanu da się dojść do wszystkich innych oraz gcd{i : P(a w i krokach a)} = 1 d a b c a b c
22 Stan okresowy / nieokresowy Definicja Własności Losowanie z rozkładu dyskretnego Stan a jest nieokresowy, jeżeli z każdego stanu da się dojść do wszystkich innych oraz gcd{i : P(a w i krokach a)} = 1 d a b c a b c okresowy nieokresowy
23 Losowanie z rozkładu dyskretnego Definicja Własności Losowanie z rozkładu dyskretnego dane niech będzie n kategorii prawdopodobieństwa p 1,.., p n. chcemy wylosować jedną z kategorii, ale z odpowiadającym jej prawdopodobieństwem P(X = i) = p i
24 Losowanie z rozkładu dyskretnego Definicja Własności Losowanie z rozkładu dyskretnego dane niech będzie n kategorii prawdopodobieństwa p 1,.., p n. x 2 p=0.09 x 1 p=0.04 x 8 p=0.11 chcemy wylosować jedną z kategorii, ale z odpowiadającym jej prawdopodobieństwem x 3 p=0.25 x 7 p=0.26 P(X = i) = p i x 4 p=0.01 x 5 p=0.09 x 6 p=0.15
25 Algorytm naiwny Definicja Własności Losowanie z rozkładu dyskretnego P(X = i) = p i oblicz s i := i j=1 p j dla i = 1..n wylosuj u U (0,1) I := 1 while (s i < u) I + + return I
26 Algorytm naiwny Definicja Własności Losowanie z rozkładu dyskretnego P(X = i) = p i oblicz s i := i j=1 p j dla i = 1..n wylosuj u U (0,1) I := 1 while (s i < u) I + + return I Wartości s 1 do s n można liczyć na bieżąco w trakcie pętli. Jeżeli losowanie będzie wielokrotnie powtarzane, to lepiej będzie je zapamiętać w tablicy.
27 Algorytm podziału odcinka Definicja Własności Losowanie z rozkładu dyskretnego wygeneruj u U (0,1) l := 0 r := n do c := (l + r)/2 if (u > s c ) l := c else r := c while (l < r 1) return r
28 Algorytm generowania Definicja Własności Losowanie z rozkładu dyskretnego wylosuj u 1 Ex(p 1 ), u 2 Ex(p 2 )..., u n Ex(p n ) np. algorytmem odwracania dystrybuanty, Ex(λ) wylosuj T U (0,1) zwróć 1 λ ln(t ) znajdź indeks i, taki że u i = min(u 1,..., u n ) zwróć i
29 Twierdzenie Niech P (n) ij = (P n ) ij = prawdopodobieństwo przejścia z i do j w dokładnie n krokach. Ponadto niech łańcuch Markowa opisywany przez P będzie nieprzywiedlny i nieokresowy.
30 Twierdzenie Niech P (n) ij = (P n ) ij = prawdopodobieństwo przejścia z i do j w dokładnie n krokach. Ponadto niech łańcuch Markowa opisywany przez P będzie nieprzywiedlny i nieokresowy. Wtedy istnieje wektor probabilistyczny π i, i π i = 1, i π i > 0, taki że lim n + P(n) ij = π j.
31 Szkic dowodu Rozważmy stany początkowe i, i. Z obu wypuszczamy dwa łańcuchy, które ewoluują zgodnie z macierzą P, ale gdy się spotkają z pewnym stanie j w tej samej chwili, sklejają się i dalej ewoluują wspólnie. Mamy: Pij n Pi n j P(agenci jeszcze się nie skleili) A to zanika wraz z n do zera (por. rzucanie dwiema kośćmi do gry do czasu uzyskania pary tych samych wyników). To prawdopodobieństwo nie zależy od wyboru i, możemy zatem je oznaczyć P n µj prawdopodobieństwo dojścia do j po n kokach startując z losowego stanu.
32 Szkic dowodu 1 jest wartością własną P, więc istnieje wektor π taki, że πp = 1 π. π nie ma wartości ujemnych. Przypuśćmy przeciwnie. Niech π + = max(0, π) po współrzędnych. Elementy P są nieujemne (z założenia) więc mamy (rachunki po współrzędnych): π + P π + oraz πp > π Z drugiej strony P zachowuje prawdopodobieństwo j π j = j (πp) j, więc mamy sprzeczność. π nie może mieć współrzędnych ujemnych.
33 Szkic dowodu Zatem π możemy przyjąć, że π jest rozkładem probabilistycznym. lim n + (Pn i j Pn ij ) = 0 lim n + (Pn µj Pij n ) = 0 lim n + Pn ij = π j
34 Rozkład stacjonarny Rozkład π nazywany jest rozkładem stacjonarnym łańcucha Markowa. Odpowiednio długo symulowany MC (Markov Chain) zbiega do swojego rozkładu stacjonarnego.
35 Rozkład stacjonarny Interpretacja po dłuższym czasie obserwator może stwierdzić, że łańcuch podadł w rutynę, lokalnie nadal zachowuje się zgodnie z zadaną tablicą przejść, w szerszym oknie czasowym, ilość czasu spędzona w poszczególnych stanach zaczyna się stabilizować,
36 Jak znalźć rozkład stacjonarny Dane: łańcuch Markowa opisany przez macierz przejścia P.
37 Jak znalźć rozkład stacjonarny Dane: łańcuch Markowa opisany przez macierz przejścia P. Cel: chcemy znaleźć rozkład stacjonarny π.
38 Obserwacja przyp. P ij = prawdopodobieństwo przejścia z i do j w jednym kroku
39 Obserwacja przyp. P ij = prawdopodobieństwo przejścia z i do j w jednym kroku prawdopodobieństwo przejścia z i do j w dwóch krokach, przechodząc przez k wynosi zatem P(i k j) = P ik P kj
40 Obserwacja przyp. P ij = prawdopodobieństwo przejścia z i do j w jednym kroku prawdopodobieństwo przejścia z i do j w dwóch krokach, przechodząc przez k wynosi zatem P(i k j) = P ik P kj prawdopodobieństwo przejścia z i do j w dokładnie dwóch krokach, ale przez dowolny wierzchołek pośredni P(i k j) = P ik P kj
41 Obserwacja przyp. P ij = prawdopodobieństwo przejścia z i do j w jednym kroku prawdopodobieństwo przejścia z i do j w dwóch krokach, przechodząc przez k wynosi zatem P(i k j) = P ik P kj prawdopodobieństwo przejścia z i do j w dokładnie dwóch krokach, ale przez dowolny wierzchołek pośredni P(i j) = k P ik P kj
42 Obserwacja cd. prawdopodobieństwo przejścia z i do j w dokładnie dwóch krokach przez dowolny wierzchołek pośredni P(i 2kroki j) = k P ik P kj
43 Obserwacja cd. prawdopodobieństwo przejścia z i do j w dokładnie dwóch krokach przez dowolny wierzchołek pośredni P(i 2kroki j) = k P ik P kj zatem jest opisywane przez macierz P P = P 2,
44 Obserwacja cd. prawdopodobieństwo przejścia z i do j w dokładnie dwóch krokach przez dowolny wierzchołek pośredni P(i 2kroki j) = k P ik P kj zatem jest opisywane przez macierz P P = P 2, przez indukcję prawdopodobieństwo przejścia w krokach ze stanu i do j w k krokach jest opisywane przez macierz P k.
45 Sposób 1 oblicz macierz P i, gdzie i jest wysoką potęgą,
46 Sposób 1 oblicz macierz P i, gdzie i jest wysoką potęgą, zwróć jeden z wierszy otrzymanej macierzy,
47 Sposób 1 oblicz macierz P i, gdzie i jest wysoką potęgą, zwróć jeden z wierszy otrzymanej macierzy, UWAGA: algorytmu nie należy stosować z wyjątkiem sytuacji gdy P jest mała
48 Sposób 1 P = P 2 =
49 Sposób 1 P = P 2 = P 4 = P 8 =
50 Sposób 2 Algorytm: symulujemy wstępnie dużą ilość kroków łańcucha, tak by zbiegł do rozkładu stacjonarnego,
51 Sposób 2 Algorytm: symulujemy wstępnie dużą ilość kroków łańcucha, tak by zbiegł do rozkładu stacjonarnego, od określonego punktu przez N kolejnych iteracji zliczamy ilości stanów jakie przyjął łańcuch,
52 Sposób 2 Algorytm: symulujemy wstępnie dużą ilość kroków łańcucha, tak by zbiegł do rozkładu stacjonarnego, od określonego punktu przez N kolejnych iteracji zliczamy ilości stanów jakie przyjął łańcuch, za prawdopodobieństwo przyjęcia stanu i przyjmujemy ilość kroków w których łańcuch był w stanie i-tym π i := N
53 Sposób 2 Algorytm: symulujemy wstępnie dużą ilość kroków łańcucha, tak by zbiegł do rozkładu stacjonarnego, od określonego punktu przez N kolejnych iteracji zliczamy ilości stanów jakie przyjął łańcuch, za prawdopodobieństwo przyjęcia stanu i przyjmujemy ilość kroków w których łańcuch był w stanie i-tym π i := N Czasem się go określa jako MCMC = Markov Chain Monte Carlo.
54 Sposób 2 P =
55 Sposób 2 P = T = [ ]
56 Sposób P = T = [ ]
57 Sposób 2 Problem: Kiedy zakończyć wstępną symulację?
58 Sposób 2 Algorytm: oznaczmy T wstępną ilość kroków,
59 Sposób 2 Algorytm: oznaczmy T wstępną ilość kroków, w kroku 0 z każdego ze stanów wypuszczamy osobną ewoluującą po sieci kopię łańcucha,
60 Sposób 2 Algorytm: oznaczmy T wstępną ilość kroków, w kroku 0 z każdego ze stanów wypuszczamy osobną ewoluującą po sieci kopię łańcucha, jeżeli w pewnym kroku dwie kopie spotkają się w jednym stanie skejają się i dalej ewoluują razem (równoważnie usuwamy jedną z kopii),
61 Sposób 2 Algorytm: oznaczmy T wstępną ilość kroków, w kroku 0 z każdego ze stanów wypuszczamy osobną ewoluującą po sieci kopię łańcucha, jeżeli w pewnym kroku dwie kopie spotkają się w jednym stanie skejają się i dalej ewoluują razem (równoważnie usuwamy jedną z kopii), jeżeli w kroku T wszystkie łańcuchy zostały sklejone do jednego, to kończymy etap, jeżeli nie to przyjmujemy T :=2T i kontynuujemy.
62 Sposób 2 Uwaga! istnieją łańcuchy Markova, dla których ten algorytm się zapętli (ale dla takich nie istnieje rozkład stacjonarny nie spełniają założeń twierdzenia!).
63 Sposób 2 Uwaga! istnieją łańcuchy Markova, dla których ten algorytm się zapętli (ale dla takich nie istnieje rozkład stacjonarny nie spełniają założeń twierdzenia!). a b c a b c a b c 0 1 0
64 Błądzenie losowe
65 błądzenie losowe, modelowanie procesów biologicznych, fizycznych, społecznych etc. narzędzia statystyczne, symulowanie rynków finansowych, rozumowanie przy niepewnej wiedzy, np. w sieciach bayesowskich, algorytm generowania z dowolnego rozkładu (alg. Metropolisa-Hastlingsa) algorytmy typu symulowanego wyżarzania (następy wykład)
Wstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Łańcuchy Markowa
Wstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Łańcuchy Markowa M. Czoków, J. Piersa 2012-01-10 1 Łańcucha Markowa 2 Istnienie Szukanie stanu stacjonarnego 3 1 Łańcucha Markowa 2 Istnienie Szukanie stanu stacjonarnego
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne WYKŁAD 2-3. Łańcuchy Markowa. Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi.
Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3 Łańcuchy Markowa Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi. 2 Łańcuchem Markowa nazywamy proces będący ciągiem zmiennych
Bardziej szczegółowoSpacery losowe generowanie realizacji procesu losowego
Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego Michał Krzemiński Streszczenie Omówimy metodę generowania trajektorii spacerów losowych (błądzenia losowego), tj. szczególnych procesów Markowa z
Bardziej szczegółowoElementy modelowania matematycznego
Elementy modelowania matematycznego Łańcuchy Markowa: zagadnienia graniczne. Ukryte modele Markowa. Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ KLASYFIKACJA STANÓW Stan i jest osiągalny
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne
Wykład IV: dla łańcuchów Markowa 14 marca 2017 Wykład IV: Klasyfikacja stanów Kiedy rozkład stacjonarny jest jedyny? Przykład Macierz jednostkowa I wymiaru #E jest macierzą stochastyczną. Dla tej macierzy
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne WYKŁAD 2-3. Łańcuchy Markowa. Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi.
Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3 Łańcuchy Markowa Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi. Przykład Symetryczne błądzenie przypadkowe na prostej. 1 2 Łańcuchem
Bardziej szczegółowoReprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów
Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów 1 / 69 Macierz incydencji Niech graf G będzie grafem nieskierowanym bez pętli o n wierzchołkach (x 1, x 2,..., x n) i m krawędziach (e 1, e 2,..., e m). 2 / 69
Bardziej szczegółowoAlgorytm Metropolisa-Hastingsa
Seminarium szkoleniowe, 25 kwietnia 2006 Plan prezentacji 1 Problem Metoda MCMC 2 Niezależny algorytm Metropolisa-Hastingsa Bła dzenie losowe Zbieżność procedury Metropolisa-Hastingsa Problem Metoda MCMC
Bardziej szczegółowo19 marzec, Łańcuchy Markowa z czasem dyskretnym. Procesy Stochastyczne, wykład 6, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136
Procesy Stochastyczne, wykład 6, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 19 marzec, 2012 Przykłady procesów Markowa (i). P = (p ij ) - macierz stochastyczna, tzn. p ij 0, j p ij =
Bardziej szczegółowoĆwiczenia: Ukryte procesy Markowa lista 1 kierunek: matematyka, specjalność: analiza danych i modelowanie, studia II
Ćwiczenia: Ukryte procesy Markowa lista kierunek: matematyka, specjalność: analiza danych i modelowanie, studia II dr Jarosław Kotowicz Zadanie. Dany jest łańcuch Markowa, który może przyjmować wartości,,...,
Bardziej szczegółowoProcesy Markowa zawdzięczają swoją nazwę ich twórcy Andriejowi Markowowi, który po raz pierwszy opisał problem w 1906 roku.
Procesy Markowa zawdzięczają swoją nazwę ich twórcy Andriejowi Markowowi, który po raz pierwszy opisał problem w 1906 roku. Uogólnienie na przeliczalnie nieskończone przestrzenie stanów zostało opracowane
Bardziej szczegółowoAlgorytmy MCMC (Markowowskie Monte Carlo) dla skokowych procesów Markowa
Algorytmy MCMC (Markowowskie Monte Carlo) dla skokowych procesów Markowa Wojciech Niemiro 1 Uniwersytet Warszawski i UMK Toruń XXX lat IMSM, Warszawa, kwiecień 2017 1 Wspólne prace z Błażejem Miasojedowem,
Bardziej szczegółowoWykład 9: Markov Chain Monte Carlo
RAP 412 17.12.2008 Wykład 9: Markov Chain Monte Carlo Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz: Ewelina Rychlińska i Wojciech Wawrzyniak Wstęp W tej części wykładu zajmiemy się zastosowaniami łańcuchów Markowa
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 1 / 19 Zmienna losowa Definicja Dana jest przestrzeń probabilistyczna
Bardziej szczegółowoAnaliza Algorytmów 2018/2019 (zadania na laboratorium)
Analiza Algorytmów 2018/2019 (zadania na laboratorium) Wybór lidera (do 9 III) Zadanie 1 W dowolnym języku programowania zaimplementuj symulator umożliwiający przetestowanie algorytmu wyboru lidera ELECT
Bardziej szczegółowoAlgorytmy MCMC i ich zastosowania statystyczne
Algorytmy MCMC i ich zastosowania statystyczne Wojciech Niemiro Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Toruń i Uniwersytet Warszawski Statystyka Matematyczna Wisła, grudzień 2010 Wykład 3 1 Łańcuchy Markowa Oznaczenia
Bardziej szczegółowoWstęp do sieci neuronowych, wykład 14 Maszyna Boltzmanna
do sieci neuronowych, wykład 14 Maszyna Boltzmanna M. Czoków, J. Piersa Faculty of Mathematics and Computer Science, Nicolaus Copernicus University, Toruń, Poland 2014-01-21 Problemy z siecią Hopfilda
Bardziej szczegółowoDigraf. 13 maja 2017
Digraf 13 maja 2017 Graf skierowany, digraf, digraf prosty Definicja 1 Digraf prosty G to (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków, E jest rodziną zorientowanych krawędzi, między różnymi wierzchołkami,
Bardziej szczegółowoWstęp do sieci neuronowych, wykład 10 Sieci rekurencyjne. Autoasocjator Hopfielda
Wstęp do sieci neuronowych, wykład 10. Maja Czoków, Jarosław Piersa Wydział Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Mikołaja Kopernika 2012-12-19 Projekt pn. Wzmocnienie potencjału dydaktycznego UMK w Toruniu
Bardziej szczegółowoMetody Rozmyte i Algorytmy Ewolucyjne
mgr inż. Wydział Matematyczno-Przyrodniczy Szkoła Nauk Ścisłych Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego Podstawowe operatory genetyczne Plan wykładu Przypomnienie 1 Przypomnienie Metody generacji liczb
Bardziej szczegółowoMetody teorii gier. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.2
Metody teorii gier ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.2 Metody teorii gier Cel: Wyprowadzenie oszacowania dolnego na oczekiwany czas działania dowolnego algorytmu losowego dla danego problemu.
Bardziej szczegółowoWstęp do sieci neuronowych, wykład 9 Sieci rekurencyjne. Autoasocjator Hopfielda
Wstęp do sieci neuronowych, wykład 9. M. Czoków, J. Piersa 2010-12-07 1 Sieci skierowane 2 Modele sieci rekurencyjnej Energia sieci 3 Sieci skierowane Sieci skierowane Sieci skierowane graf połączeń synaptycznych
Bardziej szczegółowoPrawa potęgowe w grafach przepływu informacji dla geometrycznych sieci neuronowych
w grafach przepływu informacji dla geometrycznych sieci neuronowych www.mat.uni.torun.pl/~piersaj 2009-06-10 1 2 3 symulacji Graf przepływu ładunku Wspóczynnik klasteryzacji X (p) p α Rozkłady prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoWstęp do sieci neuronowych, wykład 9 Sieci rekurencyjne. Autoasocjator Hopfielda
Wstęp do sieci neuronowych, wykład 9. Maja Czoków, Jarosław Piersa Wydział Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Mikołaja Kopernika 2018-12-10 Projekt pn. Wzmocnienie potencjału dydaktycznego UMK w Toruniu
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład XIV: Metody Monte Carlo 19 stycznia 2016 Przybliżone obliczanie całki oznaczonej Rozważmy całkowalną funkcję f : [0, 1] R. Chcemy znaleźć przybliżoną wartość liczbową całki 1 f (x) dx. 0 Jeden ze
Bardziej szczegółowoWstęp do sieci neuronowych, wykład 10 Sieci rekurencyjne. Autoasocjator Hopfielda
Wstęp do sieci neuronowych, wykład 10. Maja Czoków, Jarosław Piersa Wydział Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Mikołaja Kopernika 2011-12-13 1 Modele sieci rekurencyjnej Energia sieci 2 3 Modele sieci
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 13: Teoria Grafów Gniewomir Sarbicki Literatura R.J. Wilson Wprowadzenie do teorii grafów Definicja: Grafem (skończonym, nieskierowanym) G nazywamy parę zbiorów (V (G), E(G)),
Bardziej szczegółowoGeometryczna zbieżność algorytmu Gibbsa
Geometryczna zbieżność algorytmu Gibbsa Iwona Żerda Wydział Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Jagielloński 6 grudnia 2013 6 grudnia 2013 1 / 19 Plan prezentacji 1 Algorytm Gibbsa 2 Tempo zbieżności
Bardziej szczegółowoZagadnienie najkrótszej drogi w sieci
L L Zagadnienie najkrótszej drogi w sieci 1 Rozważmy sieć, gdzie graf jest grafem skierowanym (digrafem) a jest funkcją określoną na zbiorze łuków. Wartość tej funkcji na łuku!"$#%'&, którą oznaczać będziemy
Bardziej szczegółowoGrafy Alberta-Barabasiego
Spis treści 2010-01-18 Spis treści 1 Spis treści 2 Wielkości charakterystyczne 3 Cechy 4 5 6 7 Wielkości charakterystyczne Wielkości charakterystyczne Rozkład stopnie wierzchołków P(deg(x) = k) Graf jest
Bardziej szczegółowoModelowanie motywów łańcuchami Markowa wyższego rzędu
Modelowanie motywów łańcuchami Markowa wyższego rzędu Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki 23 października 2008 roku Plan prezentacji 1 Źródła 2 Motywy i ich znaczenie Łańcuchy
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,
Bardziej szczegółowoE: Rekonstrukcja ewolucji. Algorytmy filogenetyczne
E: Rekonstrukcja ewolucji. Algorytmy filogenetyczne Przypominajka: 152 drzewo filogenetyczne to drzewo, którego liśćmi są istniejące gatunki, a węzły wewnętrzne mają stopień większy niż jeden i reprezentują
Bardziej szczegółowoDowód probabilistyczny Uwagi do dowodu Bibliografia. Prawo Haczykowe. Łukasz Bieniasz-Krzywiec
09.10.2008 Plan prezentacji 1 Wstęp Diagram Ferrersa Tableau Young a Haczyk (Hook) Twierdzenie Haczykowe 2 3 4 Diagram Ferrersa Wstęp Diagram Ferrersa Tableau Young a Haczyk (Hook) Twierdzenie Haczykowe
Bardziej szczegółowoMNRP r. 1 Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa (wykład) Grzegorz Kowalczyk
MNRP 18.03.2019r. Grzegorz Kowalczyk 1 Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa (wykład) Definicja (σ - ciało) Niech Ω - dowolny zbiór. Rodzinę F P (Ω), gdzie P (Ω) jest rodziną wszystkich podzbiorów
Bardziej szczegółowoAlgorytmy MCMC i ich zastosowania statystyczne
Algorytmy MCMC i ich zastosowania statystyczne Wojciech Niemiro Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Toruń i Uniwersytet Warszawski Statystyka Matematyczna Wisła, grudzień 2010 Wykład 1 1 Co to jest MCMC? 2
Bardziej szczegółowoAlgorytmy stochastyczne laboratorium 03
Algorytmy stochastyczne laboratorium 03 Jarosław Piersa 10 marca 2014 1 Projekty 1.1 Problem plecakowy (1p) Oznaczenia: dany zbiór przedmiotów x 1,.., x N, każdy przedmiot ma określoną wagę w(x i ) i wartość
Bardziej szczegółowoZbigniew S. Szewczak Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki. Graniczne własności łańcuchów Markowa
Zbigniew S. Szewczak Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki Graniczne własności łańcuchów Markowa Toruń, 2003 Co to jest łańcuch Markowa? Każdy skończony, jednorodny łańcuch Markowa
Bardziej szczegółowoProces rezerwy w czasie dyskretnym z losową stopą procentową i losową składką
z losową stopą procentową i losową składką Instytut Matematyki i Informatyki Politechniki Wrocławskiej 10 czerwca 2008 Oznaczenia Wprowadzenie ξ n liczba wypłat w (n 1, n], Oznaczenia Wprowadzenie ξ n
Bardziej szczegółowoUkłady stochastyczne
Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego 21 stycznia 2009 Definicja Definicja Proces stochastyczny to funkcja losowa, czyli funkcja matematyczna, której wartości leżą w przestrzeni zdarzeń losowych.
Bardziej szczegółowoMODELOWANIE STOCHASTYCZNE CZĘŚĆ II - ŁAŃCUCHY MARKOWA. Biomatematyka Dr Wioleta Drobik-Czwarno
MODELOWANIE STOCHASTYCZNE CZĘŚĆ II - ŁAŃCUCHY MARKOWA Biomatematyka Dr Wioleta Drobik-Czwarno Polecane Łańcuchy Markowa wizualnie: http://setosa.io/ev/markov-chains/ Procesy stochastyczne Procesem stochastycznym
Bardziej szczegółowoWstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Wykorzystanie sieci rekurencyjnych w optymalizacji grafowej
Wstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Wykorzystanie sieci rekurencyjnych w optymalizacji grafowej Maja Czoków, Jarosław Piersa Wydział Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Mikołaja Kopernika 2013-01-09
Bardziej szczegółowoJeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład XV: Zagadnienia redukcji wymiaru danych 2 lutego 2015 r. Standaryzacja danych Standaryzacja danych Własności macierzy korelacji Definicja Niech X będzie zmienną losową o skończonym drugim momencie.
Bardziej szczegółowoWielowymiarowy próbnik Gibbsa
29.05.2006 Seminarium szkoleniowe 30 maja 2006 Plan prezentacji Slgorytm MH i PG przypomnienie wiadomości Wielowymiarowy PG Algorytm PG z dopełnieniem Odwracalny PG Modele hierarchiczne Modele hybrydowe
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Metody specjalne Monte Carlo 24 listopada 2014 Transformacje specjalne Przykład - symulacja rozkładu geometrycznego Niech X Ex(λ). Rozważmy zmienną losową [X ], która przyjmuje wartości naturalne.
Bardziej szczegółowo26 marzec, Łańcuchy Markowa z czasem ciągłym. Procesy Stochastyczne, wykład 7, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136
Procesy Stochastyczne, wykład 7, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 26 marzec, 212 Łańcuchy z czasem ciągłym S = {, 1,..., }, B S = 2 S, ale T = [, ) lub T = (, ). Gdy S skończone,
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 3. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Uniwersytet Warszawski. 1 Instytut Matematyki
WYKŁAD 3 Witold Bednorz, Paweł Wolff 1 Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, 2010-2011 Schemmat Bernouliego Rzucamy 10 razy moneta, próba Bernouliego jest pojedynczy
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne. Twierdzenia graniczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 20.2.208 / 26 Motywacja Rzucamy wielokrotnie uczciwą monetą i zliczamy
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II Podaj przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ,
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II -. Udowodnij, że dla dowolnych liczb x n, x, δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x.. Wykaż, że n n k= δ k/n λ, gdzie λ jest miarą Lebesgue a na [, ].. Podaj przykład
Bardziej szczegółowoALHE. prof. Jarosław Arabas semestr 15Z
ALHE prof. Jarosław Arabas semestr 15Z Wykład 5 Błądzenie przypadkowe, Algorytm wspinaczkowy, Przeszukiwanie ze zmiennym sąsiedztwem, Tabu, Symulowane wyżarzanie 1. Błądzenie przypadkowe: Pierwszym krokiem
Bardziej szczegółowoPrzykłady grafów. Graf prosty, to graf bez pętli i bez krawędzi wielokrotnych.
Grafy Graf Graf (ang. graph) to zbiór wierzchołków (ang. vertices), które mogą być połączone krawędziami (ang. edges) w taki sposób, że każda krawędź kończy się i zaczyna w którymś z wierzchołków. Graf
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne
Wykład I: Istnienie procesów stochastycznych 21 lutego 2017 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin ustny z teorii 3 Do wykładu przygotowane
Bardziej szczegółowoWykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe
Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i
Bardziej szczegółowoPrzykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie.. A i B są niezależne, gdy P(A B) = P(A)P(B). P(A B i )P(B i )
Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie Podstawy Definicja 1. Schemat klasyczny - wszystkie zdarzenia elementarne są równo prawdopodobne, licząc prawdopodobieństwo liczymy stosunek liczby
Bardziej szczegółowoALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH
1 ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH WFAiS UJ, Informatyka Stosowana II stopień studiów 2 Dane w postaci grafów Przykład: social network 3 Przykład: media network 4 Przykład: information network
Bardziej szczegółowoDrzewa spinające MST dla grafów ważonych Maksymalne drzewo spinające Drzewo Steinera. Wykład 6. Drzewa cz. II
Wykład 6. Drzewa cz. II 1 / 65 drzewa spinające Drzewa spinające Zliczanie drzew spinających Drzewo T nazywamy drzewem rozpinającym (spinającym) (lub dendrytem) spójnego grafu G, jeżeli jest podgrafem
Bardziej szczegółowoSieci komputerowe. Wykład 8: Wyszukiwarki internetowe. Marcin Bieńkowski. Instytut Informatyki Uniwersytet Wrocławski
Sieci komputerowe Wykład 8: Wyszukiwarki internetowe Marcin Bieńkowski Instytut Informatyki Uniwersytet Wrocławski Sieci komputerowe (II UWr) Wykład 8 1 / 37 czyli jak znaleźć igłę w sieci Sieci komputerowe
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład XIII: Prognoza. 26 stycznia 2015 Wykład XIII: Prognoza. Prognoza (predykcja) Przypuśćmy, że mamy dany ciąg liczb x 1, x 2,..., x n, stanowiących wyniki pomiaru pewnej zmiennej w czasie wielkości
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne
Wykład I: Istnienie procesów stochastycznych 2 marca 2015 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin ustny z teorii 3 Do wykładu przygotowane są
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja
Bardziej szczegółowoModelowanie rynków finansowych z wykorzystaniem pakietu R
Modelowanie rynków finansowych z wykorzystaniem pakietu R Metody numeryczne i symulacje stochastyczne Mateusz Topolewski woland@mat.umk.pl Wydział Matematyki i Informatyki UMK Plan działania 1 Całkowanie
Bardziej szczegółowoRelacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011
Relacje opracował Maciej Grzesiak 17 października 2011 1 Podstawowe definicje Niech dany będzie zbiór X. X n oznacza n-tą potęgę kartezjańską zbioru X, tzn zbiór X X X = {(x 1, x 2,..., x n ) : x k X dla
Bardziej szczegółowoSortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych
Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych Metody boolowskie w informatyce Robert Sulkowski http://robert.brainusers.net 23 stycznia 2010 1 Definicja 1 (Cykl skierowany). Niech C = (V, A)
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń.
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. 3.2. Niezależność zdarzeń Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Niezależność dwóch zdarzeń Intuicja Zdarzenia losowe
Bardziej szczegółowoWYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA
DROGI i CYKLE w grafach Dla grafu (nieskierowanego) G = ( V, E ) drogą z wierzchołka v 0 V do v t V nazywamy ciąg (naprzemienny) wierzchołków i krawędzi grafu: ( v 0, e, v, e,..., v t, e t, v t ), spełniający
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Wykład XII: Zagadnienia redukcji wymiaru danych 12 maja 2014 Definicja Niech X będzie zmienną losową o skończonym drugim momencie. Standaryzacją zmiennej X nazywamy zmienną losową Z = X EX Var (X ). Definicja
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 11 Ogólna postać metody iteracyjnej Definicja 11.1. (metoda iteracyjna rozwiązywania układów równań) Metodą iteracyjną rozwiązywania { układów równań liniowych nazywamy ciąg wektorów zdefiniowany
Bardziej szczegółowoModelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski
Modelowanie zależności pomiędzy zmiennymi losowymi Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski P Zmienne losowe niezależne - przypomnienie Dwie rzeczywiste zmienne losowe X i Y
Bardziej szczegółowoKwantyle. Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p. , że. Możemy go obliczyć z dystrybuanty: P(X x p.
Kwantyle Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p, że P(X x p ) p P(X x p ) 1 p Możemy go obliczyć z dystrybuanty: Jeżeli F(x p ) = p, to x p jest kwantylem rzędu p Jeżeli F(x p )
Bardziej szczegółowoAlgorytmy MCMC i ich zastosowania statystyczne
Algorytmy MCMC i ich zastosowania statystyczne Wojciech Niemiro Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Toruń i Uniwersytet Warszawski Statystyka Matematyczna Wisła, grudzień 2010 Wykład 2 1 Podstawowe idee symulacji
Bardziej szczegółowoPorównanie algorytmów wyszukiwania najkrótszych ścieżek międz. grafu. Daniel Golubiewski. 22 listopada Instytut Informatyki
Porównanie algorytmów wyszukiwania najkrótszych ścieżek między wierzchołkami grafu. Instytut Informatyki 22 listopada 2015 Algorytm DFS w głąb Algorytm przejścia/przeszukiwania w głąb (ang. Depth First
Bardziej szczegółowo( n) Łańcuchy Markowa X 0, X 1,...
Łańcuchy Markowa Łańcuchy Markowa to rocesy dyskretne w czasie i o dyskretnym zbiorze stanów, "bez amięci". Zwykle będziemy zakładać, że zbiór stanów to odzbiór zbioru liczb całkowitych Z lub zbioru {,,,...}
Bardziej szczegółowoPlan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?
/9/ Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład --9 Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej
Bardziej szczegółowoNa A (n) rozważamy rozkład P (n) , który na zbiorach postaci A 1... A n określa się jako P (n) (X n, A (n), P (n)
MODELE STATYSTYCZNE Punktem wyjścia w rozumowaniu statystycznym jest zmienna losowa (cecha) X i jej obserwacje opisujące wyniki doświadczeń bądź pomiarów. Zbiór wartości zmiennej losowej X (zbiór wartości
Bardziej szczegółowoSeria 1. Zbieżność rozkładów
Seria Zbieżność rozkładów We wszystkich poniższych zadaniach (E, ρ) jest przestrzenią metryczną Wykazać, że dla dowolnych x, x n, δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x Sprawdzić, że n nk= δ k n λ, gdzie
Bardziej szczegółowoPrognozowanie i Symulacje. Wykład I. Matematyczne metody prognozowania
Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Szeregi czasowe 1 Szeregi czasowe 2 3 Szeregi czasowe Definicja 1 Szereg czasowy jest to proces stochastyczny z czasem dyskretnym
Bardziej szczegółowoWykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady
Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Magdalena Frąszczak Wrocław, 11.10.2017r Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe Doświadczenie
Bardziej szczegółowoProgramowanie dynamiczne i algorytmy zachłanne
Programowanie dynamiczne i algorytmy zachłanne Tomasz Głowacki tglowacki@cs.put.poznan.pl Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii
Bardziej szczegółowoFormy kwadratowe. Rozdział 10
Rozdział 10 Formy kwadratowe Rozważmy rzeczywistą macierz symetryczną A R n n Definicja 101 Funkcję h : R n R postaci h (x) = x T Ax (101) nazywamy formą kwadratową Macierz symetryczną A występującą w
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne 5.3 Rozkłady warunkowe i warunkowa wartość oczekiwana Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2015/2016 Prawdopodobieństwo wyraża postawę
Bardziej szczegółowo3. Podać przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ,
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II - Mówimy, że i) ciąg miar probabilistycznych µ n zbiega słabo do miary probabilistycznej µ (ozn. µ n µ), jeśli fdµ n fdµ dla dowolnej funkcji ciągłej ograniczonej
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo. Jacek Kłopotowski. Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH. 16 października 2018
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 16 października 2018 Definicja σ-algebry Definicja Niech Ω oznacza zbiór niepusty. Rodzinę M podzbiorów zbioru Ω nazywamy σ-algebrą (lub σ-ciałem) wtedy
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu.
Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. A Teoria Definicja A.1. Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową określoną na przestrzeni Ω nazywamy dowolną
Bardziej szczegółowoZofia Kruczkiewicz, Algorytmu i struktury danych, Wykład 14, 1
Wykład Algorytmy grafowe metoda zachłanna. Właściwości algorytmu zachłannego:. W przeciwieństwie do metody programowania dynamicznego nie występuje etap dzielenia na mniejsze realizacje z wykorzystaniem
Bardziej szczegółowoStrategie ewolucyjne (ang. evolu4on strategies)
Strategie ewolucyjne (ang. evolu4on strategies) Strategia ewolucyjna (1+1) W Strategii Ewolucyjnej(1 + 1), populacja złożona z jednego osobnika generuje jednego potomka. Kolejne (jednoelementowe) populacje
Bardziej szczegółowoWokół wyszukiwarek internetowych
Wokół wyszukiwarek internetowych Bartosz Makuracki 23 stycznia 2014 Przypomnienie Wzór x 1 = 1 d N x 2 = 1 d N + d N i=1 p 1,i x i + d N i=1 p 2,i x i. x N = 1 d N + d N i=1 p N,i x i Oznaczenia Gdzie:
Bardziej szczegółowoWykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa
Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład
Bardziej szczegółowoAlgorytmiczna teoria grafów
Przedmiot fakultatywny 20h wykładu + 20h ćwiczeń 21 lutego 2014 Zasady zaliczenia 1 ćwiczenia (ocena): kolokwium, zadania programistyczne (implementacje algorytmów), praca na ćwiczeniach. 2 Wykład (egzamin)
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i Struktury Danych.
Algorytmy i Struktury Danych. Grafy dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 9 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 9 1 / 20
Bardziej szczegółowoAlgorytmy mrówkowe (optymalizacja kolonii mrówek, Ant Colony optimisation)
Algorytmy mrówkowe (optymalizacja kolonii mrówek, Ant Colony optimisation) Jest to technika probabilistyczna rozwiązywania problemów obliczeniowych, które mogą zostać sprowadzone do problemu znalezienie
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna Kurs INP002009W. Wykłady 6 i 7 Rozwiązywanie układów równań liniowych. Karol Tarnowski A-1 p.
Analiza numeryczna Kurs INP002009W Wykłady 6 i 7 Rozwiązywanie układów równań liniowych Karol Tarnowski karol.tarnowski@pwr.wroc.pl A-1 p.223 Plan wykładu Podstawowe pojęcia Własności macierzy Działania
Bardziej szczegółowoZmienna losowa. Rozkład skokowy
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga * - materiał nadobowiązkowy Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 1 Zagadnienia
Bardziej szczegółowo1 Wartości własne oraz wektory własne macierzy
Rozwiązania zadania umieszczonego na końcu poniższych notatek proszę przynieść na kartkach Proszę o staranne i formalne uzasadnienie odpowiedzi Za zadanie można uzyskać do 6 punktów (jeżeli przyniesione
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń probabilistyczna
Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład
Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa- wykład 2
Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 2 Pojęcie dyskretnej przestrzeni probabilistycznej i określenie prawdopodobieństwa w tej przestrzeni dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Uniwersytet
Bardziej szczegółowozdarzenie losowe - zdarzenie którego przebiegu czy wyniku nie da się przewidzieć na pewno.
Rachunek prawdopodobieństwa Podstawowym celem rachunku prawdopodobieństwa jest określanie szans zajścia pewnych zdarzeń. Pojęcie podstawowe rachunku prawdopodobieństwa to: zdarzenie losowe - zdarzenie
Bardziej szczegółowo