Skrypt do wyk ladu. Teoria sprz eżonych klasterów i jej zastosowanie do w lasności molekularnych

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Skrypt do wyk ladu. Teoria sprz eżonych klasterów i jej zastosowanie do w lasności molekularnych"

Transkrypt

1 Skrypt do wyk ladu Teoria sprzeżonych klasterów i jej zastosowanie do w lasności molekularnych Tatiana Korona Pracownia Chemii Kwantowej Wydzia l Chemii Uniwersytet Warszawski (wersja 2.1d) 3 grudnia 2012 Informacja odnośnie podanej literatury: podana jest wy l acznie literatura, z której bezpośrednio korzysta lam w przygotowaniu wyk ladu. Pe lny zestaw odnośników do teorii sprzeżonych klasterów liczy lby pare tysiecy pozycji! Dr. Micha lowi Przybytkowi należa sie duże podziekowania za uważna lekture pierwszej wersji każdego rozdzia lu i za wiele uwag, które przyczyni ly sie mam nadzieje do wiekszej przejrzystości manuskryptu.

2 WYK LAD 1 1 Przestrzeń Focka Możliwe jest wyprowadzenie teorii sprzeżonych klasterów w pierwszej kwantyzacji, ale o wiele wygodniej jest zrobić to w drugiej. Za lóżmy, że mamy zbiór M spinorbitali ortonormalnych φ p (x), F-1 p = 1,2,...,M. Ze spinorbitali możemy skonstruować wyznaczniki Slatera F-2, np. dla N elektronów (N M), Φ p1,p 2,...,p N (x 1,x 2,...,x N ) = 1 N! φ p1 (x 1 ) φ p2 (x 1 )... φ pn (x 1 ) φ p1 (x 2 ) φ p2 (x 2 )... φ pn (x 2 )... φ p1 (x N ) φ p2 (x N )... φ pn (x N ) (W1-1) Dla N elektronów możemy utworzyć ( M N) liniowo niezależnych wyznaczników. Każdemuwyznacznikowipodporzadkowujemy wektor liczb obsadzeń k 1 k 2...k M (occupation number vector), gdzie k p przyjmuje wartość 0 lub 1 w zależności od tego, czy spinorbital jest wolny, czy zajety. Przyk lad 1 4 spinorbitale, 2 elektrony. Jednym z możliwych do utworzenia wyznaczników jest: Φ 13 (x 1,x 2 ) = 1 2 φ 1 (x 1 ) φ 3 (x 1 ) φ 1 (x 2 ) φ 3 (x 2 ) Odpowiada mu wektor liczb obsadzeń k = Przestrzeń wektorowa, rozpiet a na wektorach liczb obsadzeń, nazywamy przestrzenia Focka i oznaczamy F(M). Wymiar F(M) wynosi 2 M (mamy 2 możliwości obsadzenia jednego spinorbitalu oraz M spinorbitali, czyli } {{ }). F(M) dzielimy na podprzestrzenie, otrzymane przez podzia l N M razy elektronówmiedzym spinorbitali,oznaczanef(m,n),gdzien = 0,1,2,...,M: F(M) = F(M,0) F(M,1)... F(M,N)... F(M,M)(W1-2) Podprzestrzeń F(M,0) zawiera tylko jeden wektor } {{ } vac, nazywany stanem prawdziwej (inaczej: fizycznej) próżni (true vacuum M razy state). F-1 Dla wygody wprowadzamy uogólniona wspó lrzedn a x, obejmujac a wspó lrzedne przestrzenne r = (x,y,z) i wspó lrzedn a spinowa m s = ± 1. F-2 2 czyli zantysymetryzowane iloczyny spinorbitali 2

3 F(M, N) zawiera wszystkie wektory liczb obsadzeń, dla których M k p = N p=1 (W1-3) Każdy wektor z F(M) można przedstawić w postaci liniowej kombinacji wektorów bazy, czyli wektorów liczb obsadzeń: a = k a k k, gdzie a k jest liczba zespolona. Przyk lad 2 Czasteczka H 2, orbitale σ g i σ u, czyli 4 spinorbitale: σ g α, σ g β, σ u α, σ u β. Jeden z najprostszych przypadków metody CI polega na znalezieniu optymalnych wspó lczynników przy konfiguracjach elektronowych σg 2 i σu, 2 czyli Ψ = c c Można zdefiniować iloczyn skalarny 2 wektorów w przestrzeni Focka. Zacznijmy od dwóch wektorów bazy, m k = M δ mi k i δ mk = 1 jeśli wektory m i k s a takie same 0 jeśli wektory m i k sa różne i=1 Dla dowolnych wektorów mamy (W1-4) a b = km a k b m k m = k a k b k (W1-5) Zauważmy, że dzieki wprowadzeniu przestrzeni Focka swobodnie operujemy uk ladami o zmiennej ilości elektronów. 2 Operatory kreacji i anihilacji W drugiej kwantyzacji pos lugujemy sie tzw. operatorami kreacji i anihilacji w celu konstrukcji wszystkich innych operatorów i stanów. Dla przestrzeni Focka F(M) mamy M operatorów kreacji X p i M operatorów anihilacji X p F-3. Operator kreacji X p w dzia laniu na vac daje wektor liczb obsadzeń p...0 F-4. Jeślichcemyopisaćdzia lanieoperatorakreacjinadowolny wektor k, to musimy zwrócić też uwage na znak utworzonego wektora. F-3 Inna spotykana konwencja zapisu operatorów kreacji to X p. F-4 same zera oprócz jedynki na miejscu p-tym 3

4 Wracajac do interpretacji wyznacznikowej możemy powiedzieć, że operacja X p k polega na dostawieniu z lewa kolumny φ p (x 1 ) φ p (x 2 ). φ p (x N+1 ) do już istniejacego wyznacznika dla N elektronów i uzupe lnienia ostatniego wiersza o φ pi (x N+1 ): φ p (x 1 ) φ p1 (x 1 ) φ p2 (x 1 )... φ pn (x 1 ) φ p (x 2 ) φ p1 (x 2 ) φ p2 (x 2 )... φ pn (x 2 ).... φ p (x N ) φ p1 (x N ) φ p2 (x N )... φ pn (x N ) φ p (x N+1 ) φ p1 (x N+1 ) φ p2 (x N+1 )... φ pn (x N+1 ) (W1-6) Widzimy,żeabyotrzymaćwyznacznikzw laściw akolejności a kolumn, należy odpowiednia ilość razy przestawić kolumne ze spinorbitalem φ p : tyle razy, ile jest kolumn o numerze p i mniejszym od p. Przyk lad 3 M=3 X = 111 X = 111 X = 111 Ogólnie można zapisać, p 1 = ( 1) k j j=1 } {{ } Γ k p X p k 1 k 2...k p...k M = δ kp0 k 1 k p...k M }{{} Czy stan p jest wolny? = Γ k pδ kp0 k 1 k p...k M (W1-7) Jeśli spinorbital φ p jest już obsadzony, to otrzymamy X p k 1 k p...k M = 0 = X px pγ k p k 1 k p...k M (W1-8) czyli w dzia laniu na dowolny wektor k mamy X px p k = 0 (W1-9) 4

5 Podzia lajmy teraz na wektor k raz operatorem X px q, a raz X qx p, q > p: X px q k 1 k 2...k p...k q...k M = = X pδ kq0γ k q k 1 k 2...k p...1 q...k M = } {{ } k = δ kp0γ k p δ kq0γ k q k 1 k p...1 q...k M = (ponieważ p < q, mamy Γ k p = Γ k p) = δ kp0γ k pδ kq0γ k q k 1 k p...1 q...k M X qx p k 1 k 2...k p...k q...k M = = X qδ kp0γ k p k 1 k p...k q...k M = } {{ } k = δ kq0γ k q δ kp0γ k p k 1 k p...1 q...k M = = δ kp0γ k pδ kq0γ k q k 1 k p...1 q...k M (bo Γ k q = ( 1) 1p Γ k p) Dodajac stronami oba równania otrzymujemy, dla p q: (X px q +X qx p) k = 0 (W1-10) co razem z wynikiem dla p = q (równanie (W1-9)) daje X px q +X qx p = 0 = [X p,x q] + (W1-11) Jest to znana relacja antykomutacji dla operatorów kreacji. Inny zapis antykomutatora to {X p,x q}. Szukamy operatora sprzeżonego hermitowsko do X p F-5. Operatory sprzeżone hermitowsko α i α spe lniaja zależność: ( αb a ) = α a b (W1-12) X p k = 1 X p k = m m X p k = m } {{ } rozwiniecie jedynki = m m X pm k = = m = m m Γ m p δ mp0 m 1 m p...m M k = m Γ m p δ mp0δ m1 k 1 δ m2 k 2...δ 1kp...δ mm k M = = Γ k pδ kp1 k 1 k p...k M F-5 Tzn. musimy podać, jak taki operator dzia la na dowolny wektor bazy k. 5

6 Dla operatorów anihilacji mamy nastepuj ace zależności: X p k 1 k p...k M = 0 w szczególności X p vac = 0, oraz (W1-13) [X p,x q ] + = 0 (W1-14) Podzia lajmy na wektor k operatorem X px p, zwanym operatorem liczby obsadzeń (occupation-number operator), oraz operatorem X p X p: X px p k = Γ k pδ kp1x p k 1 k p...k M = (Γ k p) 2 δ kp1 k = δ kp1 k X p X p k = Γ k pδ kp0x p k 1 k p...k M = (Γ k p) 2 δ kp0 k = δ kp0 k Po zsumowaniu tych równań stronami otrzymujemy: (X px p +X p X p) k = (δ kp1 +δ kp0) k = k Dla p q postepuj ac analogicznie, jak w przypadku wyprowadzenia antykomutatora dla operatorów kreacji dostajemy: (X px q +X q X p) k = 0 (dla p q). Stad dla dowolnych p, q otrzymujemy: [X p,x q ] + = δ pq (W1-15) Wszystkie operatory i funkcje falowe sa wyrażane w drugiej kwantyzacji za pomoca operatorów kreacji i anihilacji. Ważna role odgrywaja operatory, zachowujace liczbe elektronów (oczywiście musza one posiadać taka sama liczbe operatorów kreacji, jak i anihilacji). Przyk lad 4 Przyk ladowe operatory, zachowujace liczbe elektronów: a) operator liczby elektronów (w dzia laniu na wektor k daje liczbe elektronów, p. równanie (W1-3)): ˆN = M X px p p=1 b) operator podstawienia spinorbitali (spinorbital exchange) X p q = X px q c) 2-cia lowy operator podstawiania spinorbitali (,,cia lo to elektron) Xrs pq = X px qx s X r Z prawej strony sa najpierw oba operatory anihilacji, tak aby operator Xrs pq w dzia laniu na wektory k o liczbie obsadzeń mniejszej od 2 dawa l zero (gdybyśmy np. użyli definicji X p rx q s, to dla q = r taki operator może dać niezerowy wynik w dzia laniu na wektor s...0 M!). Uwaga na zamieniona kolejność r,s! 6

7 Operator jednoelektronowy, który zapisujemy w pierwszej kwantyzacji jako: w drugiej kwantyzacji ma postać ˆf = M p,q=1 fp q = ˆf(x 1,x 2,...,x N ) = f q px px q, φ p(x)ˆf(x)φ q (x)dτ N ˆf(x i ) i=1 gdzie Operator dwuelektronowy: ĝ(x 1,x 2,...,x N ) = 1 2 w drugiej kwantyzacji ma postać ĝ = 1 2 gpq rs = M p,q,r,s=1 g rs pqx px qx s X r, N i,j=1,i j ĝ(x i,x j ) φ p(x 1 )φ q(x 2 )ĝ(x 1,x 2 )φ r (x 1 )φ s (x 2 )dx 1 dx 2 gdzie 3 Iloczyn normalny Iloczyn normalny (normal product) operatora S = S 1 S 2...S n (gdzie S i może być zarówno operatorem kreacji, jak i anihilacji), oznaczany N[S], to taka postać operatora, która ma wszystkie operatory kreacji przestawione jak najbardziej w lewo (przestawienia odbywaja sie zgodnie z regu lami antykomutacji, czyli zamiana miejscami sasiednich operatorów powoduje pomnożenie przez -1). Przyk lad 5 Znajdowanie iloczynu normalnego a) N[X 1 X 2] = X 1 X 2 b) N[X 1 X 2 ] = X 2 X 1 c) N[X 1 X 2 X 3X 3 ] = X 2 X 3 X 1X 3 Ponieważ X p vac = 0, to N[S] vac = 0, o ile S zawiera przynajmniej jeden operator anihilacji. Podobnie vac N[S] = 0, o ile S zawiera przynajmniej jeden operator kreacji. W rezultacie vac N[S] vac = 0, 7 (W1-16)

8 o ile S zawiera jakikolwiek operator kreacji badź anihilacji. 4 Kontrakcje Kontrakcja (zwana też zweżeniem) dwóch operatorów kreacji badź anihilacji S p i S q nazywamy operator: S p S q = S p S q N[S p S q ] (W1-17) Przyk lad 6 Kontrakcje dla wszystkich kombinacji operatorów kreacji i anhilacji: a) X px q = X px q N[X px q ] = 0 b) X p X q = X p X q N[X p X q] = X p X q +X qx p = δ pq c) X px q = X px q N[X px q] = 0 d) X p X q = X p X q N[X p X q ] = 0 5 Twierdzenie Wicka Twierdzenie Wicka mówi, że każdy operator może być przedstawiony w postaci: S = S 1 S 2...S n = N[S 1 S 2...S n ]+ N[S 1 S 2...S n ] (W1-18) gdzie suma przebiega po wszystkich możliwych kontrakcjach. Dzieki twierdzeniu Wicka i równaniu (W1-16), w celu obliczenia vac S vac musimy jedynie znaleźć ca lkowicie skontraktowana cześć tej sumy. 8

9 Przyk lad 7 Wyraźmy X p rx q s przez 1- i 2-cia lowy operator podstawienia spinorbitali używajac regu l antykomutacji (a) i twierdzenia Wicka (b) a) b) X p rx q s = X p X r X q X s = Xp( X qx r +δ rq )X s = } {{ } X qx r+δ rq = X px qx r X s +δ rq X px s = X px qx s X r +δ rq X px s X p rx q s = X px r X qx s = N[X px r X qx s ]+N[X px r X qx s ]+N[X px r X qx s ]+ +N[X px r X qx s ]+N[X px r X qx s ]+N[X px r X qx s ]+ +N[X px r X qx s ]+N[X px r X qx s ]+ +N[X px r X qx s ]+N[X px r X qx s ] = = X px qx r X s δ rq N[X px s ] δ rq 0 = = X px qx s X r +δ rq X px s = X pq rs +δ rq X p s Zauważmy, że wiekszość kontrakcji mogliśmy od razu odrzucić, pos lugujac sie regu lami z poprzedniego przyk ladu. 6 Próżnia Fermiego Wygodnie jest wprowadzić stan próżni Fermiego F-6. W tym celu wybieramy jeden wektor liczb obsadzeń dla N elektronów (odpowiadajacy najcześciej wyznacznikowihartree-fockadlastanupodstawowegointeresuj acejnascz asteczki). Spinorbitale zajete w tym stanie nazywamy dziurowymi (hole) i oznaczamy literami i,j,k,l, a spinorbitale niezajete czastkowymi (particle) i oznaczamy literami a, b, c, d. Dowolne spinorbitale oznaczamy literami p,q,r,s. Mamy wiec: 0 = X i 1 X i 2...X i N vac (W1-19) F-6... bo zazwyczaj startujemy z wyznacznika Hartree-Focka dla N elektronów, a wypisywanie N-krotnych kontrakcji jest co najmniej uciażliwe. 9

10 Podzia lajmy operatorami X i, X i, X a i X a na 0 : X i 0 = 0 X i 0 = Γ 0 i 1 i1 1 i2...0 i...1 in 0 a1...0 a...0 M X a 0 = Γ 0 a 1 i1 1 i2...1 i...1 in 0 a1...1 a...0 M X a 0 = 0. Widać, że operatory anihilacji dla stanów dziurowych dzia laj a na stan 0 jak operatory kreacji, a operatory kreacji dla stanów dziurowych dzia laj a nań jak operatory anihilacji. Wygodnie jest wprowadzić tymczasowo nowy zestaw operatorów, zdefiniowanych jako: Y i = X i Y i = X i Y a = X a Y a = X a i dodatkowo funkcje h i p, sprawdzajace, czy mamy do czynienia ze stanem czastkowym czy dziurowym: h(i) = 1 h(a) = 0 p(i) = 0 p(a) = 1 Wprowadzonyformalizmnazywamyformalizmemcz astkowo-dziurowym(particle-hole formalism (p-h)). Dla operatorów Y obowiazuj a te same regu ly antykomutacji, co dla operatorów X, możemy też wprowadzić iloczyn normalny (p-h) dla operatora S (oznaczany {S} lub czasami n[s]) i kontrakcje: S p S q = S p S q {S p S q } (W1-20) Podobnie jak i dla operatorów X, tak i dla operatorów Y tylko kontrakcja Y p Y q = δ pq, inne kontrakcje sa równe 0. To znaczy, że X a X b = δ ab X i X j = δ ij. (W1-21) Dla operatorów Y i nowych (,,górnych ) kontrakcji również dzia la twierdzenie Wicka. 10

11 7 Hamiltonian w formalizmie p-h Wygodnie jest wprowadzić hamiltonian w postaci iloczynu normalnej w formalizmie p-h. Dla uproszczenia od teraz, kiedy używamy operatorów typu X, pomijamy litere X i piszemy same wskaźniki. (pr qs) = p (1)q (2)r 1 12 r(1)s(2)dτ1dτ2. Wykorzystamy też od razu znajomość tego, które kontrakcje moga dawać wynik różny od zera (p. równanie (W1-21)). H = h q pp q + 1 (pr qs)p q sr = 2 pq pqrs = ( ) h q p {p q}+{p q} + 1 ( (pr qs) {p q sr}+{p q sr}+{p q sr}+ 2 pq pqrs ) +{p q sr}+{p q sr}+{p q sr}+{p q sr} = = ( ) h q p {p q}+δ pq h(p) + 1 ( (pr qs) {p q sr} δ ps h(p){q r}+ 2 pq pqrs ) +δ pr h(p){q s}+δ qs h(q){p r} δ qr h(q){p s} δ ps h(p)δ qr h(q)+δ pr h(p)δ qs h(q) = = h q p{p q}+ h i i + 1 (pr qs){p q sr} 1 (ir qi){q r}+ 2 2 pq i pqrs iqr + 1 (ii qs){q s}+ 1 (pr ii){p r} 1 (pi is){p s}+ 1 [ (ij ji) +(ii jj)] = iqs ipr ips ij = h i i + 1 ( ) (ii jj) (ij ji) + ( h q p + ) [(pq ii) (pi iq)] {p q}+ 2 i ij pq i } {{ } } {{ } E 0 fp q + 1 (pr qs){p q sr} = 2 pqrs } {{ } V N = E 0 +F N +V N = E 0 +H N W E 0 rozpoznajemy energie Hartree-Focka, a pozosta la cześć to hamiltonian w postaci iloczynu normalnego, H N = fp{p q q}+ 1 (pr qs){p q sr} (W1-22) 2 pq pqrs Zauważmy, że 0 H N 0 = 0. Literatura: 1. J. Paldus, X. Li, A critical assessment of coupled cluster method in quantum chemistry, Adv. Chem. Phys., 110, 1 (1999); 11

12 2. T. Helgaker, P. Jørgensen, J. Olsen, Molecular Electronic-Structure Theory, wyd. John Wiley, 2000; rozdzia l 1 pt. Second Quantization. 12

13 WYK LAD 2 1 Wprowadzenie dok ladnej teorii sprz eżonych klasterów W teorii sprzeżonych klasterów (coupled clusters) przedstawiamy funkcje falowa w postaci Ansatzu F-1 CC Ψ = e T Φ 0 (W2-1) gdzie Φ 0 to funkcja odniesienia (referencyjna), która jest zazwyczaj wyznacznik Hartree-Focka (czyli 0 próżnia Fermiego), a T jest operatorem, produkujacym wzbudzenia z Φ 0 : T = N n=1 T n gdzie N to liczba elektronów. T n = 1 n! 2 i 1 i 2...in a 1 a 2...an t i 1i 2...i n a 1 a 2...a n } {{ } X a 1 X a 2...X a n X in...x i2 X i1 } {{ } amplituda n-cia lowy operator podstawienia spinorbitali (W2-2) Niezależne operatory podstawienia spinorbitali mamy dla i 1 > i 2 >... > i n i a 1 > a 2 >... > a n, wiec w powyższym wzorze kompensujemy,,overcounting dajac 1. Ponieważ n! 2 zbiory wskaźników (index, indices) dla spinorbitali zajetych (occupied) i wirtualnych (virtual) sa roz l aczne, mamy np. X ab ij = X ax b XjXi = X ax b XiXj = X ax ix b Xj = Xa i X b j = = X b X ax jx i = X b XjX ax i = X b jx a i co dowodzi, że operatory T komutuja: [T n,t m] = 0 (W2-3) Możnaudowodnić(Hubbard),żeoperatorT n jest,,po l aczony (connected), tzn. że nie można go wyrazić w postaci iloczynu niższych wzbudzeń. Latwo sprawdzić, że jeśli sumowanie w równaniu (W2-2) rozciaga sie do N elektronów, to Ansatz CC jest równoważny FCI (czyli FCC=FCI). W metodzie FCI (full CI) przedstawiamy funkcje falowa w postaci: Ψ FCI = N C n Φ 0. n=0 F-1 W niemieckim to s lowo ma wiele znaczeń, najlepiej pasujacym do sytuacji polskim odpowiednikiem jest s lowo,,za lożenie badź,,punkt wyjściowy. 13

14 Aby pokazać, że FCC=FCI, podajemy poniżej metode przejścia od jednego zbioru operatorów do drugiego (nie zak ladamy normalizacji funkcji FCI do jedności, zamiast tego używamy normalizacji pośredniej: Φ 0 Ψ FCC = 1). Ψ FCC = e T Φ 0 = (1+T 1 +T 2 +T T N + 1 2! T2 1 +T 1 T T 1 T N 1 +T N )Φ 0 Rozwiniecie to sie urywa, bo możemy zanihilować co najwyżej N dziur. C 0 = 1 C 1 = T 1 C 2 = T T2 1 C 3 = T 3 +T 1 T T3 1 C 4 = T 4 +T 1 T T T2 1T T Cześć,,connected po l aczona operatora C 2 Cześć,,disconnected roz l aczona operatora C 2 W wyprowadzeniu użyliśmy równania (W2-3), dzieki czemu można by lo np. zapisać 1 (T1T2 +T2T1) = T1T2. 2 Podstawiamy Ansatz CC do równania Schrödingera bez czasu: (H N +E 0 )Ψ = (E kor +E 0 )Ψ H N Ψ = E kor Ψ H N e T Φ 0 = E kor e T Φ 0 mnożymy z lewej strony przez e T e T H N e T Φ 0 = E kor Φ 0 Wykorzystujac znany wzór e A Be A = B +[B,A]+ 1 2! [[B,A],A]+ 1 3! [[[B,A],A],A]+... możemy zapisać ostatnie równanie w postaci rozwinietej (H N +[H N,T]+ 1 2! [[H N,T],T]+ 1 3! [[[H N,T],T],T] ! [[[[H N,T],T],T],T])Φ 0 = E kor Φ 0 (W2-4) Rozwiniecie to urywa sie, bo T jest operatorem wzbudzeń, a H N jest operatorem 2-cia lowym. Aby to sobie lepiej wyobrazić, sprawdźmy recznie najprostszy komutator, czyli [F N,T 1 ]. Stosujemy konwencje sumacyjna Einsteina, 14

15 czyli zak ladamy sumowanie po powtarzajacych sie wskaźnikach. Pamietamy też o tym, że i j = δ ij, ab = δ ab, natomiast inne kontrakcje, tzn. ip, a q, znikaja. Stosujemy tu uogólnione twierdzenie Wicka, które mówi, że dla operatorów, które cześciowo już sa w postaci iloczynu normalnego, nie rozpatrujemy kontrakcji wewnatrz tych iloczynów. W naszym przypadku pomijamy p q i a i. F N T 1 = f q p{p q}t i a{a i} = = f q pt i a[{p qa i}+{p qa i}+{p qa i}+{p qa i}] = = f q pt i a[{p qa i}+δ qa {p i}+δ pi {qa }+δ pi δ qa ] = = f q pt i a{p qa i}+f a pt i a{p i}+f q i ti a{qa }+f a i t i a, T 1 F N = fpt q i a{a ip q} = (bo ip i a q sa =0) = f q pt i a{p qa i} Żeby przejść z {a ip q} do {p qa i}, dokonaliśmy parzystej liczby przestawień operatorów, wiec znak sie nie zmieni l. Jak widać, komutator [F N,T 1 ] zawiera tylko takie cz lony, które maja co najmniej jeden wspólny wskaźnik, bo niezwiazana cześć F N T 1 skasuje sie z T 1 F N : [F N,T 1 ] = f a pt i a{p i}+f q i ti a{qa }+f a i t i a PonieważF N madwawskaźniki,rozwinieciekomutatorowe(równanie(w2-4)) urywa sie po dwóch cz lonach, a dla V N (cztery wskaźniki) po czterech cz lonach. Jeśli wyznacznik referencyjny Φ 0 jest optymalny, to f a i = 0 (twierdzeniebrillouina)ica lkowicieskontraktowanacześćpowyższegowzoru znika. Warto jest wyprowadzić do końca ww. wzór na komutator w przypadku orbitali kanonicznych Hartree-Focka, dla których macierz Focka jest diagonalna. Wtedy f i j = δ ijǫ i, f a b = δ ab ǫ a, f a i = 0, i w rezultacie otrzymujemy [F N,T 1] = ǫ at i a{a i}+ǫ it i a{ia }+0 = = ǫ at i a{a i} ǫ it i a{a i} = (ǫ a ǫ i)t i a{a i} 2 Podejście diagramatyczne Doszliśmy do momentu, w którym wygodnie jest wprowadzić podejście diagramatyczne. Oznaczmy pustymi kropkami operatory T n (nazywamy je wez lami (vertex)), wype lnionymi kropkami operator V N, natomiast krzyżykiem operator F N. Operatory kreacji i anihilacji X p i X p sa oznaczane przezliniezestrza lkami, przyczymlinie, odpowiadajace operatorom kreacji, wychodza z wez lów, a linie, odpowiadajace operatorom anihilacji, wchodza do wez lów (czyli obiekty czastki lub dziury sie tworza i znikaja). Operatory dziurowe sa skierowane w prawo, a operatory czastkowe w lewo. 15

16 Kontrakcja może zajść tylko wtedy, gdy l aczona linia nie zmienia kierunku. Jeśli przestawiamy diagramatycznie iloczyn operatorów AB, to operator A umieszczamy na diagramie z lewej strony. Jeśli operatory A i B komutuja (amplitudy T), to kolejność nie ma znaczenia. Zazwyczaj ustawiamy wiec amplitudy pionowo jedna nad druga. F-2 Przyk lad 1 a) T 1 = t i aa i b) T 2 = t ij ab a b ji c) V N = (pr qs){p q sr} i a i b a j Przyokazjiwygodniejestwprowadzićpojeciepoziomuwzbudzenia(excitation level). Operatory T n maja poziom wzbudzenia równy +n, natomiast poziom wzbudzenia operatorów F N i V N może być równy odpowiednio 1,0,+1 oraz 2, 1,0,+1,+2. W podejściu diagramatycznym latwo jest zobaczyć, dlaczego równanie (W2-4) urywa sie po 1 2 [[F N,T],T] i po 1 24 [[[[V N,T],T],T],T]: Można zapisać, że e T H N e T = (H N e T ) C = [H N (1+T 1 +T T2 1 +T 1 T )] C, F-2 Inna czesto spotykana konwencja rysowania diagramów to góra dó l (linia czastkowa jest skierowana do góry). 16

17 gdzie litera,,c oznacza, że bierzemy jedynie cześć po l aczon a (connected), czyli diagramy sk ladaj ace sie z,,jednego kawa lka. 3 Równania CC Równanianaenergiekorelacjiinaamplitudyotrzymujemyrzutuj ac równanie (W2-4) na odpowiednio stan próżni Fermiego i na wyznaczniki 1-,2-,...- krotnie wzbudzone. Wyznacznik jednowzbudzony otrzymujemy przez podzia lanie 1-cia lowym operatorem podstawienia spinorbitali na wyznacznik odniesienia: Φ a i = X a i 0 0 (H N e T ) C 0 = E kor 0 0 = E kor (W2-5) Φ a i (H N e T ) C 0 = E kor Φ a i 0 = 0 (W2-6) Φ ab ij (H N e T ) C 0 = E kor Φ ab ij 0 = 0 (W2-7) itd. F-3 Aby ustalić, które cz lony rozwiniecia uczestnicza w tych wzorach, wygodnie jest użyć koncepcji poziomu wzbudzenia. Dla energii korelacji sumaryczny poziom wzbudzenia operatorów musi być równy 0, wiec tylko takie cz lony moga dawać niezerowy wk lad: E kor = 0 H N (F N T 1 ) C (V N T 2 ) C (V NT 2 1) C 0 Jeszcze latwiej jest to zauważyć w podejściu diagramatycznym: operator V N może mieć maksymalnie 4 linie skierowane w prawo (2 linie czastkowe i 2 dziurowe), wiec jeśli mamy uzyskać ca lkowicie skontraktowany cz lon, to musimy dać po prawej stronie operatory T majace w sumie 4 linie, czyli 1 operator T 2 lub 2 operatory T 1. Mamy H = H N + 0 H 0, stad 0 H 0 = 0 H N H 0, a stad już wynika, że 0 = 0 H N 0. E kor = 0 (F N T 1 ) C (V N T 2 ) C (V NT1 2) C 0 W dalszych rysunkach w tym rozdziale pomijamy strza lki, ponieważ interesuje nas tylko ogólna struktura równań, np. ilukrotnie wzbudzone operatory T wystepuj a w danym równaniu. Jeśli zachodzi taka potrzeba, takie szkielety diagramów można uzupe lnić o strza lki, rysujac je na wszystkie możliwe sposoby, jak to zrobiliśmy w Przyk ladzie 1 dla operatora V N. F-3 Ψ A Ψ taki zapis czesto sie stosuje, chociaż lepiej by loby stosować zapis z jedna kreska: Ψ AΨ. Jeśli mamy dwie kreski, to dopiero ta lewa oddziela bra od ketu. 17

18 Zauważmy, że we wzorze na energie korelacji mamy jedynie operatory T 1 i T 2. Przeprowadźmy teraz podobna analize równań zrzutowanych na wyznaczniki 1- i 2-krotnie wzbudzone. W równaniach zrzutowanych na wyznaczniki 1-krotnie wzbudzone sumaryczny poziom wzbudzenia wynosi +1. Taki wynik możemy uzyskać na kilka sposobów: 0 = Φ a i [ F N + F N T 1 + F N (T T2 1 ) + (wzbudzenia: ) +V N T 1 + V N (T T2 1 ) + V N(T 3 +T 2 T T3 1 )] C 0 ( ) Zwróćmy uwage, że w równaniach zrzutowanych na wzbudzenia pojedyncze mamy co najwyżej amplitudy potrójnie wzbudzone. Przypadek +1+1, czyli F NT 1 nie daje wk ladu,,connected : Rzutowanie na wzbudzenia podwójne (uwaga na brak 1 6 T3 1 ): 0 = Φ ab ij [ F NT 2 + F N (T 3 +T 1 T 2 ) + +V N + V N T 1 + V N (T T2 1 ) + V N(T 3 +T 2 T T3 1 )+ 18

19 +V N (T 4 + T 3 T T T 2T T4 1 )] C 0 Tutaj mamy amplitudy co najwyżej poczwórnie wzbudzone. Ogólnie amplitudy n-krotnie wzbudzone pojawiaja sie po raz pierwszy w równaniach zrzutowanych na wzbudzenia (n 2)-krotne. Równania zrzutowane na wzbudzenia potrójne: 0 = Φ abc ijk [F NT 4 +F N T 3 +V N T 2 +V N (T 3 +T 2 T 1 )+V N (T 4 +T 3 T T 2T 2 1)+ +V N (T 5 +T 4 T 1 +T 3 T T2 2T T 3T T 2T 3 1)] C 0 Przypadek +2+1, czyli V NT 1 nie daje wk ladu,,connected. Zauważmy brak 1 2 T2 1 dla przypadku +1+2, 1 6 T3 1 dla przypadku 0+3 oraz 1 24 T4 1 dla przypadku 1+4, co wynika z braku możliwości po l aczenia V N z dana ilościa amplitud T. Żeby obliczyć energie korelacji, potrzebujemy amplitud pojedynczo i podwójnie wzbudzonych, ale żeby je otrzymać, musimy rozwiazać uk lad sprzeżonych równań nieliniowych na amplitudy t, zawierajacych również amplitudy potrójnie, poczwórnie itd. wzbudzone. Na marginesie: Jeślibyśmy mieli dok ladne amplitudy T 3 i T 4, to moglibyśmy je podstawić do równań (W2-6) i (W2-7) i otrzymać dok ladne T 1 i T 2 (czyli dokonalibyśmy,,odprzegniecia wyższych wzbudzeń). Te T 1 i T 2 można by nastepnie podstawić do wzoru na energie korelacji. W wyniku takiej procedury uzyskalibyśmy dok ladn a energie korelacji. Oczywiście zazwyczaj nie znamy dok ladnych T 3 i T 4, ale możemy uzyskać ich przybliżenia ze,,źród la zewnetrznego, np. z MRCI. Taka metoda poprawiania energii korelacji nosi nazwe metody poprawionej zewnetrznie (externally corrected method) (rozwijanej przez Paldusa i wsp., m.in. Piecucha). Zajmijmy sie najpierw wzorem na energie. Ponieważ obliczamy wartość 19

20 średnia z 0, szukamy jedynie pe lnych kontrakcji: E kor = 0 fpt q i a{p q}{a i}+ 1 2 (pr qs)1 4 tij ab {p q sr}{a b ji}+ pqia + pqrsijab pqrsijab 1 2 (pr qs)1 2 ti at j b {p q sr}{a i}{b j} 0 = = 0 pqiaf q pt i a{p qa i}+ + pqrsijab 1 2 (pr qs)1 4 (tij ab +2ti at j b )[{p q sra b ji}+{p q sra b ji}+ +{p q sra b ji}+{p q sra b ji} 0 = = fi a t i a + 1 [(ia jb) (ja ib)][ tij ab +ti at j b ] = ia ijab = fi a t i a + 1 [(ia jb) (ja ib)] tij ab + ia ijab + 1 [(ia jb) (ja ib)]t i 4 at j b + 1 [(ia jb) (ja ib)]t i 4 at j b = ijab ijab (zamieniamy wskaźniki i i j w ostatniej sumie) = fi a t i a + 1 [(ia jb) (ja ib)][t ij 4 ab +ti at j b tj at i b ] ia ijab Zauważmy,żecz lonwnawiasiematesam asymetriepermutacyjn azewzgledu na przestawienie wskaźników, co samo t ij ab. Jeśli jako wyznacznika odniesienia (referencyjnego) używamy zoptymalizowanego wyznacznika Hartree-Focka, to mamy fi a = 0 (twierdzenie Brillouina). Dobrze jest jednak trzymać ten cz lon w równaniach na energie korelacji oraz na amplitudy (dla amplitud dodatkowo niediagonalne f i j i f a b). Jako przyk lad użyteczności takiego podejścia może pos lużyć obliczenie momentu dipolowego metoda różnic skończonych bez relaksacji orbitalnej. Wtedy do diagonalnej (w bazie orbitali kanonicznych Hartree- Focka) macierzy f p q bedziemy mieli dodane pole U i wypadkowym operatorem Focka w polu bedzie F +U, który ma niezerowe elementy pozadiagonalne pochodzace od U. 4 Przybliżone metody CC Przybliżone metody w teorii sprzeżonych klasterów otrzymujemy a) zaniedbujac wyższe wzbudzenia w T; b) dodatkowo zaniedbujac niektóre cz lony w równaniach na amplitudy; c) wprowadzajac a posteriori, czyli po obliczeniu amplitud, poprawki do energii korelacji. 20

21 Wtabelceponiżejpodanesa przyk ladowe przybliżone metody CC, pierwsza kolumna zawiera uwzgledniany poziom T. T = a a+b a+c T 1 CCS a T 2 CCD T 1 +T 2 CCSD CC2,QCISD CCSD(T) T 1 +T 2 +T 3 CCSDT CC3,CCSDT-1 CCSDT(Q) T 1 +T 2 +T 3 +T 4 CCSDTQ a Dla energii metoda CCS jest równoważna z HF, bo jeśli fi a = 0, to Ekor CCS = ia fa i t i a = 0. Zajmijmy sie teraz najprostszym i historycznie pierwszym podejściem CCD. Równania na amplitudy t ij ab otrzymujemy z równań: Φ ab ij [F N T 2 +V N +V N T V NT 2 2] C 0 = 0 dla wszystkich i,j,a,b takich, że i > j i a > b. Po wstawieniu rozwinieć na F N, V N i T 2 i przeprowadzeniu odpowiednich kontrakcji otrzymamy uk lad równań na amplitudy t ij ab. Zauważmy, że bedzie to uk lad równań kwadratowych. Schematycznie można taki uk lad przedstawić w postaci: 0 = a I + J b IJ t J + JK c IJK t J t K, I = 1,2,...,(liczba amplitud t I ) I oznacza zbiór wskaźników (ijab). Ten uk lad równań ze wzgledu na jego duże rozmiary rozwiazujemy iteracyjnie. Uk lady równań kwadratowych maja wiele rozwiazań, nie zawsze rzeczywistych, co potencjalnie może stanowić problem w obliczeniach. Z drugiej strony wiemy o zwiazku miedzy amplitudami CC i amplitudami (liniowych) metod CI, wiec można sie spodziewać, że wybierajac odpowiedni punkt startowy i odpowiednia metode iteracyjna otrzymamy w laściwe rozwiazanie (tzn. odpowiadajace fizycznemu stanowi podstawowemu badanego uk ladu). Idea metody iteracyjnej jest nastepuj aca: dzielimy cz lon liniowy b IJ t J = d I t I + b IJt J, J J a nastepnie przenosimy d I t I na lewa strone: d I t I = a I + J b IJt J + JK c IJK t J t K. W ten sposób przygotowaliśmy równanie do procedury iteracyjnej, która wyglada nastepuj aco: d I t (n) I = a I + J b IJt (n 1) J + JK c IJK t (n 1) J t (n 1) K. 21

22 Dlaorbitalikanonicznychmamy(F N T 2 ) C = (ǫ i +ǫ j ǫ a ǫ b )t ij ab {a b ji}, wiec zazwyczaj jako d I stosujemy różnice energii orbitalnych. Jako t (0) podstawia sie najcześciej 0. Problem wielu rozwiazań równań CCD zosta l zbadany m.in. przez Kowalskiego i wsp. przy użyciu metody homotopii. Użycie metody iteracyjnej do rozwiazywania równań CC pozwala nam dodatkowouzmys lowićsobiezwi azekmiedzymetod accametod arachunku zaburzeń Møllera-Plesseta, czyli wielocia lowego rachunku zaburzeń (manybody perturbation theory MBPT) F-4. Np. w pierwszej iteracji, jeśli stosujemy orbitale kanoniczne i startujemy z zerowych amplitud, otrzymamy energie MP2. 5 Konsystencja rozmiarowa Jeśli mamy uk lad, sk ladaj acy sie z dwóch nieoddzia luj acych czasteczek A i B,toodmetodyprzybliżonejoczekujemy, żejejenergieifunkcjefalowebed a spe lnia ly warunek tzw. konsystencji rozmiarowej (size-consistency), tzn. że energia ca lego uk ladu A+B bedzie sie równa la sumie energii czasteczek A i B, obliczonych ta sama metoda. Hamiltonian takiego uk ladu H = H A +H B (oddzia lywanie V AB = 0). Ponieważ zbiór zmiennych dla A i B jest roz l aczny, to jeśli znamy rozwiazania dla A i B: H AΨ A = E AΨ A H BΨ B = E BΨ B to możemy zapisać rozwiazania dla problemu w lasnego AB jako F-4 Dla nas,,cia lo =elektron HΨ AB = E ABΨ AB, Ψ AB = Ψ AΨ B E AB = E A +E B. 22

23 Przyk lad 2 Metoda CID nie jest konsystentna rozmiarowo, podczas gdy metoda CCD jest: Ψ CID = (1+C 2 )Φ 0 Ψ CCD = e T 2 Φ 0 = (1+T T2 2 + )Φ 0 = (1+C 2 +C 4 + )Φ 0 gdzie C 2 = T 2 C 4 = 1 2 T2 2 itp. Jak widać, CCD uwzglednia też (wieksz a) cześć wzbudzeń poczwórnych, tzw.(disconnectedquadruples) patrznastepnywyk lad. Np. dla dwóch czasteczek wodoru A i B (geometria: czasteczki sa równoleg le i prostopad le do osi l acz acej środki czasteczek, odleg lość HH w czasteczce 1.4 bohra, odleg lość AB 10 bohrów; baza aug-ccpvtz), otrzymujemy nastepuj ace wyniki w j.at.: EAB CCD = 2, EA CCD = 2, EAB CID = 2, Dla uk ladu 2-elektronowego E CID = E CCD. Czego brakuje metodzie CID w tym przypadku: Ψ CID A Ψ CID B = (1+C2 A )(1+C2 B )Φ A 0Φ B 0 = = (1+C2 A +C2 B + C2 A C2 B } {{ } )Φ A 0Φ B 0 wzbudzenia poczwórne, nie uwzgledniane w CID dla dimeru Literatura: 1. J. Paldus, X. Li, A critical assessment of coupled cluster method in quantum chemistry, Adv. Chem. Phys., 110, 1 (1999); 2. R.J. Bartlett, Coupled-cluster theory: an overview of recent developments, w Modern Electronic Structure Theory, wyd. D. R. Yarkony, Signapore,

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem

Bardziej szczegółowo

TEORIA FUNKCJONA LÓW. (Density Functional Theory - DFT) Monika Musia l

TEORIA FUNKCJONA LÓW. (Density Functional Theory - DFT) Monika Musia l TEORIA FUNKCJONA LÓW GȨSTOŚCI (Density Functional Theory - DFT) Monika Musia l PRZEDMIOT BADAŃ Uk lad N elektronów + K j ader atomowych Przybliżenie Borna-Oppenheimera Zamiast funkcji falowej Ψ(r 1,σ 1,r

Bardziej szczegółowo

celu przyjmijmy: min x 0 = n t Zadanie transportowe nazywamy zbilansowanym gdy podaż = popyt, czyli n

celu przyjmijmy: min x 0 = n t Zadanie transportowe nazywamy zbilansowanym gdy podaż = popyt, czyli n 123456789 wyk lad 9 Zagadnienie transportowe Mamy n punktów wysy lajacych towar i t punktów odbierajacych. Istnieje droga od każdego dostawcy do każdego odbiorcy i znany jest koszt transportu jednostki

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych

Rozwiązywanie układów równań liniowych Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy

Bardziej szczegółowo

Notatki do wyk ladu IV (z 27.10.2014)

Notatki do wyk ladu IV (z 27.10.2014) Dla orbitalnego momentu p edu (L): Notatki do wyk ladu IV (z 7.10.014) ˆL ψ nlm = l(l + 1) ψ nlm (1) ˆL z ψ nlm = m ψ nlm () l + 1 możliwych wartości rzutu L z na wyróżniony kierunek w przestrzeni (l -liczba

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. . Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21

Bardziej szczegółowo

po lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x)

po lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x) Stan czastki określa funkcja falowa Ψ zależna od wspó lrzȩdnych określaj acych po lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x) Wartości funkcji

Bardziej szczegółowo

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a

Bardziej szczegółowo

Dyskretne modele populacji

Dyskretne modele populacji Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 19 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Zadania o liczbach zespolonych

Zadania o liczbach zespolonych Zadania o liczbach zespolonych Zadanie 1. Znaleźć takie liczby rzeczywiste a i b, aby zachodzi ly równości: a) a( + i) + b(4 i) 6 i, b) a( + i) + b( + i) 8i, c) a(4 i) + b(1 + i) 7 1i, ( ) a d) i + b +i

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy

Bardziej szczegółowo

Dyskretne modele populacji

Dyskretne modele populacji Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 17 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których

Bardziej szczegółowo

Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych

Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych Pawe l Józiak 007-- Poje cia wste pne Wielomianem zmiennej rzeczywistej t nazywamy funkcje postaci:

Bardziej szczegółowo

Grupy i cia la, liczby zespolone

Grupy i cia la, liczby zespolone Rozdzia l 1 Grupy i cia la, liczby zespolone Dla ustalenia uwagi, b edziemy używać nast epuj acych oznaczeń: N = { 1, 2, 3,... } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2,... } - liczby ca lkowite, W = { m n

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe

Bardziej szczegółowo

1. PODSTAWY TEORETYCZNE

1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny

POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny Funkcja Falowa Postulat 1 Dla każdego układu istnieje funkcja falowa (funkcja współrzędnych i czasu), która jest ciągła, całkowalna w kwadracie,

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Uproszczony 1 j. ezyk PCF

P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Uproszczony 1 j. ezyk PCF 29 kwietnia 2013, godzina 23: 56 strona 1 P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki Uproszczony 1 j ezyk PCF Sk ladnia: Poniżej Γ oznacza otoczenie typowe, czyli zbiór deklaracji postaci (x : τ).

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie Robotów. Ćwiczenie 6. Mariusz Janusz-Bielecki. laboratorium

Zastosowanie Robotów. Ćwiczenie 6. Mariusz Janusz-Bielecki. laboratorium Zastosowanie Robotów laboratorium Ćwiczenie 6 Mariusz Janusz-Bielecki Zak lad Informatyki i Robotyki Wersja 0.002.01, 7 Listopada, 2005 Wst ep Do zadań inżynierów robotyków należa wszelkie dzia lania

Bardziej szczegółowo

Analiza stanu naprężenia - pojęcia podstawowe

Analiza stanu naprężenia - pojęcia podstawowe 10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE 1 10. 10. Analiza stanu naprężenia - pojęcia podstawowe 10.1 Podstawowy zapisu wskaźnikowego Elementy konstrukcji znajdują się w przestrzeni fizycznej.

Bardziej szczegółowo

SYSTEM DIAGNOSTYCZNY OPARTY NA LOGICE DOMNIEMAŃ. Ewa Madalińska. na podstawie prac:

SYSTEM DIAGNOSTYCZNY OPARTY NA LOGICE DOMNIEMAŃ. Ewa Madalińska. na podstawie prac: SYSTEM DIAGNOSTYCZNY OPARTY NA LOGICE DOMNIEMAŃ Ewa Madalińska na podstawie prac: [1] Lukaszewicz,W. (1988) Considerations on Default Logic: An Alternative Approach. Computational Intelligence, 44[1],

Bardziej szczegółowo

CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L METODA HÜCKLA. Ćwiczenia. http://zcht.mfc.us.edu.pl/ mm

CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L METODA HÜCKLA. Ćwiczenia. http://zcht.mfc.us.edu.pl/ mm CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L METODA HÜCKLA Ćwiczenia Zwi azki organiczne zawieraj ace uk lady π-elektronowe Sprzȩżony uk lad wi azań podwójnych: -C=C-C=C-C=C-C=C- Skumulowany uk lad wi azań podwójnych:

Bardziej szczegółowo

Podstawowe działania w rachunku macierzowym

Podstawowe działania w rachunku macierzowym Podstawowe działania w rachunku macierzowym Marcin Detka Katedra Informatyki Stosowanej Kielce, Wrzesień 2004 1 MACIERZE 1 1 Macierze Macierz prostokątną A o wymiarach m n (m wierszy w n kolumnach) definiujemy:

Bardziej szczegółowo

Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ).

Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ). Odwzorowania n-liniowe; formy n-liniowe Definicja 1 Niech V 1,..., V n, U będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Odwzorowanie G: V 1 V n U nazywamy n-liniowym, jeśli dla każdego k [n] i wszelkich

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy i algebry. (wykład prof.prof. J. Wojtkiewicza i K. Napiórkowskiego) ALGEBRA, przestrzenie wektorowe

Zadania z analizy i algebry. (wykład prof.prof. J. Wojtkiewicza i K. Napiórkowskiego) ALGEBRA, przestrzenie wektorowe Zadania z analizy i algebry. (wykład prof.prof. J. Wojtkiewicza i K. Napiórkowskiego) ALGEBRA, przestrzenie wektorowe Zadanie Zbadać czy wektor v mażna przedstawić jako kombinację liniową wektorów e i

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0. 5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,

Bardziej szczegółowo

Układy wieloelektronowe

Układy wieloelektronowe Układy wieloelektronowe spin cząstki nierozróżnialność cząstek a symetria funkcji falowej fermiony i bozony przybliżenie jednoelektonowe wyznacznik Slatera konfiguracje elektronowe atomów ciało posiadające

Bardziej szczegółowo

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO Gra w sensie niżej przedstawionym to zasady którymi kierują się decydenci. Zakładamy, że rezultatem gry jest wypłata,

Bardziej szczegółowo

Zadania. kwiecień 2009. Ćwiczenia IV. w laściwe dla rotatora sztywnego hetoronuklearnej moleku ly. Rozwiazanie E JM = 2 J(J + 1).

Zadania. kwiecień 2009. Ćwiczenia IV. w laściwe dla rotatora sztywnego hetoronuklearnej moleku ly. Rozwiazanie E JM = 2 J(J + 1). kwiecień 9 Ćwiczenia IV Zadania Zadanie Obliczyć kanoniczna sum e statystyczna funkcj e podzia lu, energi e swobodna i ciep lo w laściwe dla rotatora sztywnego hetoronuklearnej moleku ly Rozwiazanie :

Bardziej szczegółowo

Metody symulacji w nanotechnologii

Metody symulacji w nanotechnologii Metody symulacji w nanotechnologii Jan Iwaniszewski A. Formalizm operatorowy Załóżmy, że nasz układ kwantowy posiada dyskretny zbiór funkcji własnych ϕ k, k =,,.... Tworzą one bazę w całej przestrzeni

Bardziej szczegółowo

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji

Bardziej szczegółowo

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Zagadnienie dane jest następująco: znaleźć funkcje własne i wartości własne operatora energii dla cząstki umieszczonej w nieskończonej studni potencjału,

Bardziej szczegółowo

Symetria w obliczeniach molekularnych

Symetria w obliczeniach molekularnych Zak lad Metod Obliczeniowych Chemii UJ 15 marca 2005 1 2 Możliwości przyspieszenia obliczeń 3 GAMESS 2004 4 Zastosowania symetrii Zmniejszenie zapotrzebowania na zasoby (procesor, pami eć, dysk) Utrzymanie

Bardziej szczegółowo

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Wyrażeniem algebraicznym nazywamy wyrażenie zbudowane z liczb, liter, nawiasów oraz znaków działań, na przykład: Symbole literowe występujące w wyrażeniu algebraicznym nazywamy zmiennymi.

Bardziej szczegółowo

Wartości i wektory własne

Wartości i wektory własne Dość często przy rozwiązywaniu problemów naukowych czy technicznych pojawia się konieczność rozwiązania dość specyficznego układu równań: Zależnego od n nieznanych zmiennych i pewnego parametru. Rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)

Bardziej szczegółowo

WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU

WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Karolina Kalińska MATEMATYKA: PRZYKŁADY I ZADANIA Włocławek 2011 REDAKCJA WYDAWNICTWA PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Matematyka:

Bardziej szczegółowo

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji I LO im. F. Ceynowy w Świeciu Radosław Rudnicki joix@mat.uni.torun.pl 17.03.2009 r. Typeset by FoilTEX Streszczenie Celem wykładu jest wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci

Bardziej szczegółowo

Wykłady z matematyki Liczby zespolone

Wykłady z matematyki Liczby zespolone Wykłady z matematyki Liczby zespolone Rok akademicki 015/16 UTP Bydgoszcz Liczby zespolone Wstęp Formalnie rzecz biorąc liczby zespolone to punkty na płaszczyźnie z działaniami zdefiniowanymi następująco:

Bardziej szczegółowo

Obliczenia naukowe Wykład nr 6

Obliczenia naukowe Wykład nr 6 Obliczenia naukowe Wykład nr 6 Paweł Zieliński Katedra Informatyki, Wydział Podstawowych Problemów Techniki, Politechnika Wrocławska Literatura Literatura podstawowa [1] D. Kincaid, W. Cheney, Analiza

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE A. RÓWNANIA RZĘDU PIERWSZEGO Uwagi ogólne Równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego zawiera. Poza tym może zawierać oraz zmienną. Czyli ma postać ogólną Na przykład

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest

Bardziej szczegółowo

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0 MODELE MATEMATYCZNE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Podstawową formą opisu procesów zachodzących w członach lub układach automatyki jest równanie ruchu - równanie dynamiki. Opisuje ono zależność wielkości fizycznych,

Bardziej szczegółowo

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4) Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego

Bardziej szczegółowo

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. 1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy

Bardziej szczegółowo

Kombinacje liniowe wektorów.

Kombinacje liniowe wektorów. Kombinacje liniowe wektorów Definicja: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F, niech A V Zbiór wektorów A nazywamy liniowo niezależnym, jeżeli m N v,, v m A a,, a m F [a v + + a m v m = θ a =

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie z dynamicznej optymalizacji

Wprowadzenie z dynamicznej optymalizacji Wprowadzenie z dynamicznej optymalizacji Lukasz Woźny 29 kwietnia 2007 Spis treści 1 Optymalizacja statyczna a optymalizacja dynamiczna 2 1.1 Ekstrema lokalne funkcji wielu zmiennych - statyka...... 2

Bardziej szczegółowo

Układy równań nieliniowych (wielowymiarowa metoda Newtona-Raphsona) f(x) = 0, gdzie. dla n=2 np.

Układy równań nieliniowych (wielowymiarowa metoda Newtona-Raphsona) f(x) = 0, gdzie. dla n=2 np. Układy równań nieliniowych (wielowymiarowa metoda Newtona-Raphsona f(x 0, f ( f, f,..., f n gdzie 2 x ( x, x 2,..., x n dla n2 np. f ( x, y 0 g( x, y 0 dla każdej wielowymiarowej rozwinięcie w szereg Taylora

Bardziej szczegółowo

Podstawą w systemie dwójkowym jest liczba 2 a w systemie dziesiętnym liczba 10.

Podstawą w systemie dwójkowym jest liczba 2 a w systemie dziesiętnym liczba 10. ZAMIANA LICZB MIĘDZY SYSTEMAMI DWÓJKOWYM I DZIESIĘTNYM Aby zamienić liczbę z systemu dwójkowego (binarnego) na dziesiętny (decymalny) należy najpierw przypomnieć sobie jak są tworzone liczby w ww systemach

Bardziej szczegółowo

Uzgadnianie wyrażeń rachunku predykatów. Adam i orzeszki. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010

Uzgadnianie wyrażeń rachunku predykatów. Adam i orzeszki. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010 Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 1 Podstawienia Motywacja Podstawienie 2 Sk ladanie podstawień Motywacja Z lożenie podstawień

Bardziej szczegółowo

1. Matematyka Fizyki Kwantowej: Cześć Druga

1. Matematyka Fizyki Kwantowej: Cześć Druga . Matematyka Fizyki Kwantowej: Cześć Druga Piotr Szańkowski I. PRZESTRZEŃ WEKTOROWA Kolejnym punktem naszej jest ogólna struktura matematyczna mechaniki kwantowej, która jest strukturą przestrzeni wektorowej

Bardziej szczegółowo

1 Działania na macierzach

1 Działania na macierzach 1 Działania na macierzach Dodawanie macierzy Dodawać można tylko macierze o tych samych wymiarach i robi to się następująco: [ 1 3 4 5 6 ] + [ 0 3 1 3 7 8 ] = [1 + 0 + 3 3 + 1 4 3 5 + 7 6 + 8 ] = [1 5

Bardziej szczegółowo

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE Zarządzanie i Inżynieria Produkcji studia stacjonarne Konspekt do wykładu z Matematyki 1 1 Postać trygonometryczna liczby zespolonej zastosowania i przykłady 1 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

PRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc

PRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc PRAWA ZACHOWANIA Podstawowe terminy Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc a) si wewn trznych - si dzia aj cych na dane cia o ze strony innych

Bardziej szczegółowo

Analiza kongruencji. Kongruencje Wykład 3. Analiza kongruencji

Analiza kongruencji. Kongruencje Wykład 3. Analiza kongruencji Kongruencje Wykład 3 Kongruencje algebraiczne Kongruencje jak już podkreślaliśmy mają własności analogiczne do równań algebraicznych. Zajmijmy się więc problemem znajdowania pierwiastka równania algebraicznego

Bardziej szczegółowo

Fizyka laboratorium 1

Fizyka laboratorium 1 Rozdzia l Fizyka laboratorium.. Elementy analizy matematycznej Funkcje Zmienna y nazywa sie zmienna zależna albo funkcja zmiennej x, jeżeli przyjmuje ona określone wartości dla każdej wartości zmiennej

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych

Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych 13 maja 2005 1 Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1 (równanie liniowe). Równaniem liniowym będziemy nazwyać równanie postaci: ax = b, gdzie x oznacza niewiadomą,

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON.

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Zadanie 6. Dane są punkty A=(5; 2); B=(1; -3); C=(-2; -8). Oblicz odległość punktu A od prostej l przechodzącej

Bardziej szczegółowo

Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga

Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga Anna Romanowska January 29, 2016 4 Kraty i algebry Boole a 41 Kraty zupe lne Definicja 411 Zbiór uporza dkowany (P, ) nazywamy krata zupe lna,

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe wyższych rzędów

Równania różniczkowe wyższych rzędów Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1.2 Rozwiązanie ogólne............................... 2 1.3 Obniżanie rzędu

Bardziej szczegółowo

Podstawy Robotyki Określenie kinematyki oraz dynamiki manipulatora

Podstawy Robotyki Określenie kinematyki oraz dynamiki manipulatora Podstawy Robotyki Określenie kinematyki oraz dynamiki manipulatora AiR V sem. Gr. A4/ Wicher Bartłomiej Pilewski Wiktor 9 stycznia 011 1 1 Wstęp Rysunek 1: Schematyczne przedstawienie manipulatora W poniższym

Bardziej szczegółowo

Wykład 16: Atomy wieloelektronowe

Wykład 16: Atomy wieloelektronowe Wykład 16: Atomy wieloelektronowe Funkcje falowe Kolejność zapełniania orbitali Energia elektronów Konfiguracja elektronowa Reguła Hunda i zakaz Pauliego Efektywna liczba atomowa Reguły Slatera Wydział

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2015 1 / 16 Homo oeconomicus=

Bardziej szczegółowo

Metoda największej wiarygodności

Metoda największej wiarygodności Metoda największej wiarygodności Próbki w obecności tła Funkcja wiarygodności Iloraz wiarygodności Pomiary o różnej dokładności Obciążenie Informacja z próby i nierówność informacyjna Wariancja minimalna

Bardziej szczegółowo

KMO2D. Kolizje między-obiektowe w 2D

KMO2D. Kolizje między-obiektowe w 2D KMO2D Kolizje między-obiektowe w 2D I. Wstęp 3 lata temu na temat kolizji nie miałem żadnego pojęcia. Przyszedł jednak czas, gdy postanowiłem napisać pierwszą porządną grę i pojawił się, wtedy problem.

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 1 / 16 Definicja Niech V,

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl System dziesiętny 7 * 10 4 + 3 * 10 3 + 0 * 10 2 + 5 *10 1 + 1 * 10 0 = 73051 Liczba 10 w tym zapisie nazywa się podstawą systemu liczenia. Jeśli liczba 73051 byłaby zapisana w systemie ósemkowym, co powinniśmy

Bardziej szczegółowo

Arytmetyka liczb binarnych

Arytmetyka liczb binarnych Wartość dwójkowej liczby stałoprzecinkowej Wartość dziesiętna stałoprzecinkowej liczby binarnej Arytmetyka liczb binarnych b n-1...b 1 b 0,b -1 b -2...b -m = b n-1 2 n-1 +... + b 1 2 1 + b 0 2 0 + b -1

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 1. Ciała Definicja 1. Układ { ; 0, 1; +, } złożony ze zbioru, dwóch wyróżnionych elementów 0, 1 oraz dwóch działań +:, : nazywamy ciałem

Bardziej szczegółowo

Studnia skończona. Heterostruktury półprzewodnikowe studnie kwantowe (cd) Heterostruktury mogą mieć różne masy efektywne w różnych obszarach:

Studnia skończona. Heterostruktury półprzewodnikowe studnie kwantowe (cd) Heterostruktury mogą mieć różne masy efektywne w różnych obszarach: Heterostruktury półprzewodnikowe studnie kwantowe (cd) Studnia skończona Heterostruktury mogą mieć różne masy efektywne w różnych obszarach: V z Okazuje się, że zamiana nie jest dobrym rozwiązaniem problemu

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA BINARNA. Dziesiątkowy system pozycyjny nie jest jedynym sposobem kodowania liczb z jakim mamy na co dzień do czynienia.

ARYTMETYKA BINARNA. Dziesiątkowy system pozycyjny nie jest jedynym sposobem kodowania liczb z jakim mamy na co dzień do czynienia. ARYTMETYKA BINARNA ROZWINIĘCIE DWÓJKOWE Jednym z najlepiej znanych sposobów kodowania informacji zawartej w liczbach jest kodowanie w dziesiątkowym systemie pozycyjnym, w którym dla przedstawienia liczb

Bardziej szczegółowo

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu: Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie

Bardziej szczegółowo

Rezolucja w rachunku predykatów. Przedrostkowa koniunkcyjna postać normalna. Formu ly ustalone. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010

Rezolucja w rachunku predykatów. Przedrostkowa koniunkcyjna postać normalna. Formu ly ustalone. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010 Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 1 Postać klauzulowa formu l 2 Regu la rezolucji Regu la rezolucji dla klauzul ustalonych Regu la rezolucji dla klauzul ustalonych a spe lnialność Ogólna

Bardziej szczegółowo

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 5 Kalkulacja sk ladki netto I

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 5 Kalkulacja sk ladki netto I Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 5 Kalkulacja sk ladki netto I 1 Kodeks cywilny Tytu l XXVII, Umowa ubezpieczenia Dzia l I. Przepisy ogólne Dzia l II. Ubezpieczenia majatkowe

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT jest specyficznym problemem z zakresu zastosowań programowania liniowego. ZT wykorzystuje się najczęściej do: optymalnego planowania transportu towarów, przy minimalizacji kosztów,

Bardziej szczegółowo

Działania na przekształceniach liniowych i macierzach

Działania na przekształceniach liniowych i macierzach Działania na przekształceniach liniowych i macierzach Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 5 wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa,

Bardziej szczegółowo

2. LICZBY RZECZYWISTE Własności liczb całkowitych Liczby rzeczywiste Procenty... 24

2. LICZBY RZECZYWISTE Własności liczb całkowitych Liczby rzeczywiste Procenty... 24 SPIS TREŚCI WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI ALGEBRAICZNE 7 Wyrażenia algebraiczne 0 Równania i nierówności algebraiczne LICZBY RZECZYWISTE 4 Własności liczb całkowitych 8 Liczby rzeczywiste

Bardziej szczegółowo

6 Homomorfizmy przestrzeni liniowych

6 Homomorfizmy przestrzeni liniowych konspekt wykladu - 2009/10 1 6 Homomorfizmy przestrzeni liniowych Definicja 6.1. Niech V, U be przestrzeniami liniowymi nad cialem K. Przeksztalcenie F : V W nazywamy przeksztalceniem liniowym (homomorfizmem

Bardziej szczegółowo

Metoda Hückla. edzy elektronami π. Ĥ ef (i) (1) i=1. kinetyczna tego elektronu oraz energie

Metoda Hückla. edzy elektronami π. Ĥ ef (i) (1) i=1. kinetyczna tego elektronu oraz energie Notatki do wyk ladu X (z 08.12.2014) Metoda Hückla Uproszczona wersja metody orbitali molekularnych (MO) w przybliżeniu liniowej kombinacji orbitali atomowych (LCAO) stosowana do opisu struktury elektronowej

Bardziej szczegółowo

2. Równania nieliniowe i ich uk lady

2. Równania nieliniowe i ich uk lady Metoda Newtona stycznych dla równania f(x) 0: x n+ x n f(x n) f (x n ) Chcemy rozwia ι zać uk lad N równań dla N niewiadomych f (x,x,,x N ) 0 f (x,x,,x N ) 0, f N (x,x,,x N ) 0 krócej: Czy jest jakaś analogia?

Bardziej szczegółowo

II. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU. Janusz Adamowski

II. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU. Janusz Adamowski II. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU Janusz Adamowski 1 1 Przestrzeń Hilberta Do opisu stanów kwantowych używamy przestrzeni Hilberta. Przestrzenią Hilberta H nazywamy przestrzeń wektorową

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 Obszar określoności równania Jeżeli występująca w równaniu y' f ( x, y) funkcja f jest ciągła, to równanie posiada rozwiązanie. Jeżeli f jest nieokreślona w punkcie (x 0,

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 10, 11.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Geometryczne intuicje Dla pierścienia R = R mamy

Bardziej szczegółowo

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0 Równania różnicowe 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp Ponadto

Bardziej szczegółowo

Macierze Lekcja I: Wprowadzenie

Macierze Lekcja I: Wprowadzenie Macierze Lekcja I: Wprowadzenie Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej Definicja Niech dane będą dwie liczby naturalne dodatnie m i n. Układ m n liczb ułożonych w prostokątną tablicę złożoną z m

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania, seria 5.

Rozwiązania, seria 5. Rozwiązania, seria 5. 26 listopada 2012 Zadanie 1. Zbadaj, dla jakich wartości parametru r R wektor (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)} R 3? Rozwiązanie. Załóżmy, że (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)}.

Bardziej szczegółowo

Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I

Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I Katarzyna Grabowska, KMMF 1 listopada 013 1 Odwzorowanie styczne i cofnięcie formy cd: 1.1 Transport pola wektorowego i cofnięcie formy W poprzednim paragrafie

Bardziej szczegółowo