JEDNOSTKI ATOMOWE =1, m e =1, e=1, ; 1 E 2 h = 4, J. Energia atomu wodoru lub jonu wodoropodobnego w jednostkach atomowych:

Transkrypt

1 do wyk ladu z Atom wodoru i jon wodoropodobny Ze - ladunek jadra, e - ladunek elektronu, µ - masa zredukowana µ = mem j m e+m j ( µ m e ) M j - masa jadra, m e - masa elektronu, ε 0 - przenikalność elektryczna próżni Ze ψ ψ = Eψ (1) µ 4πε 0 r n -g lówna liczba kwantowa E n = Z e 4 µ 3π ε 0 n n = 1,, 3,... () energia w J (jednostkach uk ladu SI); 1J = 1 1, = 6, ev JEDNOSTKI ATOMOWE =1, m e =1, e=1, 1 4πε 0 =1 jednostka d lugości (bohr): a 0 =0, m (promień pierwszej orbity w modelu atomu Bohra) jednostka energii (hartree) E h = m ea ; 1 E h = 4, J 0 1 µ ψ Z ψ = Eψ (3) r Przyjmujac µ = m e otrzymujemy dla atomu wodoru (Z=1) równanie Schrödingera: 1 ψ 1 ψ = Eψ (4) r Energia atomu wodoru lub jonu wodoropodobnego w jednostkach atomowych: Po przyj eciu µ = m e : E n = µz n n = 1,, 3,... (5) E n = Z n n = 1,, 3,... (6)

2 Dla atomu wodoru (Z=1) różnica energii poziomów n i n 1 (w hartree) wynosi: E n1 n = µ ( 1 n 1 1 n ) (7) E n1 n = hν = h c λ (8) ATOM WODORU

3 Funkcje falowe opisujace stan elektronu w atomie wodoru Liczby kwantowe: g lówna n = 1,, 3,... poboczna 0 l n 1 magnetyczna m: -l, l + 1,..., -1, 0, 1,..., l 1, l degeneracja poziomu energetycznego n ψ nlm (r, θ, ϕ) = R nl (r)y m l (θ, ϕ) (9) ψ 100 = N 1s e Zr/a 0 (1s) (10) ψ 00 = N s e Zr/a 0 ( Zr a 0 ) (s) (11) ψ 10 = N p e Zr/a 0 r cos θ (p 0 = p z ) (1) ψ 11 = 1 N p e Zr/a 0 r sin θe iϕ (p 1 ) (13) ψ 1 1 = 1 N p e Zr/a 0 r sin θe iϕ (p 1 ) (14) ψ 300 = N 3s e Zr/3a 0 (7 18 Zr + Z r ) (3s) (15) a 0 ψ 310 = N 3p e Zr/3a 0 (6 Zr a 0 )r cos θ (3p 0 = 3p z ) (16) ψ 311 = 1 N 3p e Zr/3a 0 (6 Zr a 0 )r sin θe iϕ (3p 1 ) (17) ψ 31 1 = a 0 1 N 3p e Zr/3a 0 (6 Zr a 0 )r sin θe iϕ (3p 1 ) (18) ψ 30 = N 3d e Zr/3a 0 r (3 cos θ 1) (3d 0 = 3d 3z r) (19) ψ 31 = 6N 3d e Zr/3a 0 r sin θ cos θe iϕ (3d 1 ) (0) ψ 3 1 = 6N 3d e Zr/3a 0 r sin θ cos θe iϕ (3d 1 ) (1) 3 ψ 3 = N 3de Zr/3a 0 r sin θe iϕ (3d ) () 3 ψ 3 = N 3de Zr/3a 0 r sin θe iϕ (3d ) (3). Ĥψ nlm = E n ψ nlm (4) ˆL ψ nlm = l(l + 1) ψ nlm (5) ˆL z ψ nlm = m ψ nlm (6) 3

4 Sposoby graficznego przedstawiania orbitali: wykres orbitalu 4

5 wykres g estości prawdopodobieństwa (kwadratu modu lu orbitalu) 5

6 radialna gestość prawdopodobieństwa - gestość prawdopodobieństwa znalezienia elektronu w odleg lości r od jadra (niezależnie od wartości katów θ i ϕ) kontur orbitalu Znak + umieszczony na jakiejś cześci konturu orbitalu oznacza, że dla tego obszaru wartości orbitalu (wartości funkcji) sa dodatnie; znak - oznacza, że te wartości sa ujemne 6

7 z = r cos θ ψ 10 = N p e Zr/a 0 r cos θ (p 0 = p z ) (7) Dla z > 0 wartości p z > 0 ( + na konturze), dla z < 0 wartości p z < 0 ( - na konturze). ψ 11 = 1 N p e Zr/a 0 r sin θe iϕ (p 1 ) (8) ψ 1 1 = 1 N p e Zr/a 0 r sin θe iϕ (p 1 ) (9) Funkcje falowe dla m 0 - wartości zespolone. Nie można narysować konturu. 1 (p 1 + p 1 ) = 1 N pe Zr/a 0 r sin θ(e iϕ + e iϕ ) = (30) = N p e Zr/a 0 r sin θ cos ϕ = N p e Zr/a 0 x = p x (31) i (p 1 p 1 ) = i N pe Zr/a 0 r sin θ(e iϕ e iϕ ) = (3) = i N p e Zr/a 0 r sin θ sin ϕ = N p e Zr/a 0 y = p y (33) p x i p y - to takie kombinacje liniowe p 1 i p 1, które maja wartości rzeczywiste Niech a,c 1, c, b 1, b - liczby, a f, g, h - funkcje. Jeśli ˆαf = af, ˆαg = ag i h = c 1 f + c g, to ˆαh = ˆα(c 1 f + c g) = c 1 ˆαf + c ˆαg = c 1 af + c ag = a(c 1 f + c g) (34) czyli ˆαh = ah, wiec h jest funkcja w lasna ˆα. Jeśli jednak ˆβf = b 1 f, ˆβg = b g i h = c 1 f + c g, to ˆβh = ˆβ(c 1 f + c g) = c 1 ˆβf + c ˆβg = c1 b 1 f + c b g (35) czyli ˆβh liczba h, wiec h nie jest funkcja w lasna ˆβ. p x i p y nie sa funkcjami w lasnymi ˆL z (wartość m nieokreślona!) Analogicznie: 3d x y i 3d xy to kombinacje liniowe 3d i 3d, natomiast 3d xz i 3d yz to kombinacje liniowe 3d 1 i 3d 1. 3d x y, 3d xy, 3d xz i 3d yz nie sa funkcjami w lasnymi ˆL z (wartość m nieokreślona!) 7

8 d xy dodatnie, gdy xy > 0 d yz dodatnie, gdy yz > 0 d xz dodatnie, gdy xz > 0 8

9 d x y dodatnie, gdy x y > 0 d 3z r 9

10 Dla orbitalnego momentu p edu (L): ˆL ψ nlm = l(l + 1) ψ nlm (36) ˆL z ψ nlm = m ψ nlm (37) l + 1 możliwych wartości rzutu L z na wyróżniony kierunek w przestrzeni (l -liczba ca lkowita o wartościach mi edzy 0 a n-1) W doświadczeniu Sterna-Gerlacha (191 r. - atomy srebra przelatywa ly miedzy biegunami niejednorodnego magnesu) atomy zachowywa ly sie tak, jakby momenty magnetyczne zwiazane z ich momentami pedu mog ly przyjać jedna z dwóch orientacji w polu magnetycznym. l + 1 = (38) l = 1???????? (39) POSTULAT: Elektron ma pewien dodatkowy moment pedu S niezwiazany z ruchem orbitalnym elektronu wokó l jadra SPIN Wartość kwadratu spinu: s(s + 1), gdzie s = 1 Wartość rzutu spinu: m s, magnetyczna spinowa liczba kwantowa m s = + 1 albo m s = - 1 ψ nlm (r, θ, ϕ) nie wystarcza. Trzeba wprowadzić funkcje spinowa. Ŝ α = 1 (1 + 1) α; Ŝ β = 1 (1 + 1) β (40) Ŝ z α = 1 α; Ŝ z β = 1 β (41) φ nlmms = ψ nlm σ ms (4) σ 1 = α, σ 1 = β (43) 10

11 Ścis le rozwiazania równania Schrödingera sa znane tylko dla kilku najprostszych uk ladów (czastka w pudle, rotator sztywny, oscylator harmoniczny, atom wodoru). Dla wiekszych uk ladów znajdowane sa rozwiazania przybliżone (czesto bardzo dok ladne). Zasada wariacyjna Dla dowolnej (porzadnej) funkcji próbnej ϕ ε = ϕ Ĥϕdτ ϕ ϕdτ E 0 (44) Czastka o masie m w jednowymiarowym pudle potencja lu o d lugości L = 1. Funkcja próbna ϕ = c 1 (x x ) + c (x x 3 ) ( kandydatka na funkcje opisujac a w przybliżeniu stan czastki w pudle. WAŻNE: spe lnia warunki brzegowe, które musi spe lniać rozwiazanie dla czastki w pudle o d lugości L = 1, czyli ϕ(0) = 0 i ϕ(1) = 0) c 1 i c parametry o nieznanej wartości liczbowej ε = ϕ Ĥϕdτ ϕ ϕdτ = (45) 1 [c 0 1(x x ) + c (x x 3 )] [c m dx 1 (x x ) + c (x x 3 )]dx 1 [c 0 1(x x ) + c (x x 3 )][c 1 (x x ) + c (x x 3 )]dx d (46) ε = ε(c 1, c ) (47) ε c 1 = 0, ε c = 0 (48) ε min E 1 (49) c 1 = 30 5, 48 c = 0 (50) Dla n = 1 i L = 1 czyli rzeczywiście ε min > E 1 ε min = 1, 013 h 8m (51) E n = n h 8mL (5) E 1 = h 8m (53) 11

12 Postulat nierozróżnialności jednakowych czastek Funkcja falowa Φ(1, ) opisuje stan dwóch czastek, przy czym wszystkie wspó lrzedne (przestrzenne i spinowa) jednej czastki oznaczono w skrócie jako 1, a dla drugiej czastki jako. Czastki sa nierozróżnialne. Φ(1, ) = Φ(, 1) (54) Uogólnienie dla dowolnie wielu czastek Φ(1, ) = ±Φ(, 1) (55) Φ(1,, 3, 4,..., n) = Φ(, 1, 3, 4,..., n) (56) funkcja symetryczna wzgledem przestawienia (permutacji) dowolnych dwóch nierozróżnialnych czastek Φ(1,, 3, 4,..., n) = Φ(, 1, 3, 4,..., n) (57) funkcja antysymetryczna wzgledem przestawienia (permutacji) dowolnych dwóch nierozróżnialnych czastek Uk lady czastek, dla których spinowa liczba kwantowa s = 1, czyli np dla elektronu i innych fermionów opisywane sa przez funkcje falowe antysymetryczne wzgledem permutacji czastek. Uk lady bozonów opisywane sa przez funkcje symetryczne wzgledem permutacji czastek. 1

13 Jeśli wszystkie wspó lrzedne elektronu 1 sa takie same jak dla elektronu, co zapisujemy: Φ(1,, 3, 4,..., n) = Φ(1, 1, 3, 4,..., n), to Φ(1,, 3, 4,..., n) = Φ(, 1, 3, 4,..., n) (58) oznacza i musi być wówczas Φ(1, 1, 3, 4,..., n) = Φ(1, 1, 3, 4,..., n) (59) Φ(1, 1, 3, 4,..., n) = 0 (60) Zatem także Φ(1, 1, 3, 4,..., n) = 0 (61) czyli g estość prawdopodobieństwa znalezienia dwóch jednakowych fermionów w tym samym punkcie przestrzeni wynosi 0. Atom dwuelektronowy (atom helu, Z=): Dla uproszczenia: jednostki atomowe, nieskończenie cieżkie jadro: Atom wieloelektronowy (liczba elektronów n) Ĥ = r 1 r + 1 r 1 (6) Ĥ = 1 n i i=1 n i=1 Z r i + n i>j=1 1 r ij (63) Jednoelektronowa funkcja falowa ψ zależaca tylko od wspó lrzednych przestrzennych elektronu - orbital Jednoelektronowa funkcja falowa ϕ zależaca zarówno od wspó lrzednych przestrzennych jak i do spinu elektronu - spinorbital 13

14 PRZYBLIŻENIE JEDNOELEKTRONOWE Każdemu elektronowi przyporzadkowujemy oddzielny spinorbital, a funkcje falowa opisujac a stan uk ladu wieloelektronowego tworzymy z tych spinorbitali. Dwa elektrony - dwa różne spinorbitale Φ (1, ) = ϕ 1 (1)ϕ ()? (64) funkcja falowa musi być antysymetryczna wzgl edem permutacji elektronów Φ (1, ) = ϕ 1 (1)ϕ () ϕ 1 ()ϕ (1) (65) Φ(1, ) = 1 [ϕ 1 (1)ϕ () ϕ 1 ()ϕ (1)] (66) 1 Dzieki wspó lczynnikowi funkcja Φ(1, ) jest znormalizowana, jeśli ϕ 1 (1) i ϕ () sa ortogonalne i znormalizowane Φ(1, ) = 1 ϕ 1 (1) ϕ 1 () ϕ (1) ϕ () (67) Dla uk ladu n-elektronowego Φ(1,,..., n) = 1 n! ϕ 1 (1) ϕ 1 ()... ϕ 1 (n) ϕ (1) ϕ ()... ϕ (n).... ϕ n (1) ϕ n ()... ϕ n (n) (68) Wyznacznik Slatera 14