Zadania do wykładu Matematyka bankowa 1

Transkrypt

1 Zadania do wykładu Matematyka bankowa 1 Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, Łódź, Poland address: klimdr@math.uni.ldz.pl klimdr/

2 Bibliografia [1] M. Podgórska, J. Klimkowska, Matematyka finansowa, PWN. [2] S. G. Kellison, The Theory of Interest, McGraw-Hill Int. Ed. [3] E. Smaga, Arytmetyka finansowa, PWN. [4] M. Sobczyk, Matematyka finansowa, Placet. [5] M. Szałański, Podstawy matematyki finansowej, Elipsa. [6] M. Capinski, T. Zastawniak, Mathematics for Finance: An Introduction to Financial Engineering, Springer. 1

3 Zestaw 1 Zadanie 1 ([2]) An investment of $10000 is made into a fund at time t=0. The fund develops the following balances over the next 4 years: F 0 = 10000, F 1 = 10600, F 2 = 11130, F 3 = 11575, 20, F 4 = 12153, 96. If $5000 is invested at time t=2, under the same interest environment, find the accumulated value of the $5000 at time t=4. Zadanie 2 ([2]) Rozważmy funkcję wartości przyszłej kapitału postaci F t = t 2 + 2t + 3, t > 0. a) Wyznaczyć odpowiednią funkcję akumulacji a(t). b) Pokazać, że a(t) spełnia trzy własności funkcji akumulacji. c) Wyznaczyć I (n) odsetki za każdy z n okresów, n N. Zadanie 3 ([2]) Udowodnić, że F n F 0 = I (1) + I (2) I (n). Zadanie 4 ([2]) For the $5000 investment given in Ex. 1, find the amount of interest earned during the second year of investment, i.e. between times t = 3 and t = 4. Zadanie 5 ([2]) Rozważmy funkcję akumulacji daną wzorem at 2 + b. Jeśli $100 zainwestowane w momencie t = 0 osiąga wartość $172 w momencie t = 3, to jaką wartość osiągnie w momencie t = 10 kapitał $100 zainwestowany w momencie t = 5. Zestaw 2 Zadanie 6 ([3]) Jaką kwotę utworzy po czterech okresach kapitał 400 jp w modelu oprocentowania prostego przy stopie 1, 5%? Zadanie 7 ([2]) Find the accumulated value of $2000 invested for four years, if the rate of simple interest is 8% per annum. Zadanie 8 Jaka kwota utworzy po pięciu okresach kapitał o wartości 200 jp przy stopie prostej 5%? Zadanie 9 ([3]) Hurtownia udziela nabywcom towarów kredytu kupieckiego w postaci odroczonego o miesiąc terminu płatności faktury. Jeżeli zapłata nastąpi natychmiast, to nabywcy towaru przysługuje prawo skorzystania ze skonta 10%. Wartość zakupionego towaru wynosi 12 tys. jp. Czy opłaca się zaciągnać kredyt bankowy i skorzystać ze skonta, jeżeli miesięczna stopa kredytu bankowego wynosi 4% i bank stosuje kapitalizację miesięczną prostą? Zadanie 10 ([3]) Po podwyżce o 5% cena samochodu wynosi 58 tys. jp. Jaka była cena samochodu przed podwyżką? Zadanie 11 ([3]) Ustalić stan książeczki oszczędnościowej po 10 latach w modelu oprocentowania prostego przy rocznej stopie procentowej 12%, jeśli dokonano w niej następujących operacji finansowych: na początku wpłacono 10 jp, po pięciu latach wpłacono 20 jp, po następnym roku wypłacono 15 jp. 2

4 Zadanie 12 Przy jakiej rocznej stopie procentowej r i oprocentowaniu rocznym prostym kapitał 58 jp wygeneruje odsetki w wysokości 5 jp w ciągu dwóch lat? Zadanie 13 Po ilu latach kapitał 17 jp podwoi swoją wartość w modelu oprocentowania prostego rocznego przy rocznej stopie procentowej 10%? Zadanie 14 ([4]) Po 30% podwyższce cen telewizor kosztuje 1200 zł. Ustalić poprzednią cenę telewizora oraz kwotę podwyższki. Zadanie 15 ([4]) Wydawnictwo przyznało księgarni rabat w wysokości 15%. Jaka jest cena katalogowa książki i kwota wartości rabatu, jeśli za książkę księgarnia zapłaciła 9 zł. Zadanie 16 ([4]) Pierwotna należność za dostarczony towar w kwocie zł została podwyższona o 12, 5%, a następnie zmniejszona o 2, 5%. Ile wynosi ostateczna należność w stosunku procentowym do pierwotnej należności oraz w kwocie pieniężnej? Zadanie 17 ([4]) Dysponujemy kapitałem w wysokości 1000 zł. Za dwa miesiące chcemy uzyskać 1200 zł. Na jaki procent prosty musimy ulokować kapitał? Zadanie 18 ([4]) Jaki był kapitał początkowy, jeśli w modelu oprocentowania prostego rocznego po 4 latach przy rocznej stopie procentowej równej 34% wzrósł on do kwoty zł? Zadanie 19 ([4]) Kapitał w wysokości 600 zł zdeponowano w banku na okres 4 lat. Lokata ta przynosi dochód w wysokości 20% w skali roku przy prostej kapitalizacji odsetek. Oblicz kwotę należnych odsetek. Zadanie 20 Obliczyć roczny wspólczynnik akumulacji, jeśli kapitał 300 jp po roku wygenerował odsetki w wysokości 50 jp. Zadanie 21 Wyznaczyć wielkość rocznego współczynnika akumulacji w modelu oprocentowania prostego miesięcznego przy stopie 1, 5% w skali miesiąca. Zadanie 22 ([2]) A deposit of $1000 is invested at simple interest at time t = 0. The rate of simple interest during year t is equal to.01t for t = 1, 2, 3, 4, 5. Find the total accumulated value of this investment at time t = 5. 3

5 Zestaw 3 Zadanie 23 Wyznaczyć wartość przyszłą kapitału 300 zł po 5 latach według rocznej stopy 7% i rocznej kapitalizacj odsetek. Zadanie 24 Wyznaczyć wartość przyszłą kapitału 7800 zł po 10 miesiącach według stopy miesięcznej 2, 3% i miesięcznej kapitalizacji odsetek. Zadanie 25 Przy jakiej rocznej stopie r i rocznej kapitalizacji odsetek kapitał P podwoi swoją wartość po 5 latach? Ile wynosi a(5)? Zadanie 26 Przy jakiej miesięcznej stopie r i miesięcznej kapitalizacji odsetek kapitał 200 jp powiększy sie o 100 jp po 3 latach? Ile wynosi a(3)? Zadanie 27 ([2]) Find the accumulated value of $2000 invested for four years, if the rate of compound interest is 8% per annum. Zadanie 28 Find the accumulated value of $1000 invested for five months, if the rate of compound interest is.08% per month. Zadanie 29 Ile wynosi 1. półroczny 2. roczny czynnik akumulacji, jeżeli po pół roku kapitał 300 zł wygenerował odsetki 50 zł przy miesięcznej kapitalizacji odsetek? Zadanie 30 ([2]) It is known that $600 invested for two years will earn $264 in interest. Find the accumulated value of $2000 invested at the same rate of compound interest for three years. Zadanie 31 Ustalić stan konta po 15 miesiącach, jeżeli dokonano następujących operacji: na początku wpłacono 100 jp, następnie po trzech miesiącach wpłacono 80 jp, po kolejnych pięciu miesiącach wypłacono 30 jp. Bank stosuje model oprocentowania miesięcznego składanego przy stopie miesięcznej 0, 5%. Zadanie 32 Na początku każdego z czterech kolejnych lat wpłacano na konto kwoty odpowiednio: 20 jp, 40 jp, 15 jp, 10 jp. Roczna stopa procentowa wynosi 10%. Ustalić stan oszczędności na koniec 6 roku, jeżeli bank stosuje model kapitalizacji rocznej. Zadanie 33 ([3]) Rodzeństwo w wieku 8 i 10 lat otrzymało w spadku kwotę 500 jp, złożoną w banku według rocznej stopy 12% i rocznej kapitalizacji odsetek. Jak należy podzielić spadek, aby w momencie osiągnięcia przez każde z dzieci 21 lat wartości przyszłe części spadku każdego dziecka były takie same? Zadanie 34 ([2]) An investor age 35 deposits $10, 000 in a fund earning 7% compound interest until retirement at age 65. Find the amount of interest earned between ages 35 and 45, between ages 45 and 55, and between ages 55 and 65. 4

6 Zadanie 35 Obliczyć dochód banku uzyskany w ciągu 5 lat, który przyjął w depozyt kwotę jp według rocznej stopy 5% i wypożyczył tę kwotę według rocznej stopy 20%. Zadanie 36 ([1]) Jaką wartość osiągnie kapitał 1800 zł po 4 latach oprocentowania rocznego składanego przy rocznej stopie 6%? Jaką wartość mają odsetki naliczone za każdy rok? Przy jakiej stopie łączna wartość 4-letnich odsetek byłaby większa o 58 jp? Zadanie 37 ([1]) Po ilu latach oprocentowania rocznego składanego przy stopie 5, 52% wartość kapitału 1600 jp przekroczy 1900 jp? Ile wyniosą odsetki należne za kolejne 2 lata? Zadanie 38 Ile wynosi wartość końcowa kapitału 1000 zł po 5 latach, jeśli bank stosuje 1. model kapitalizacji rocznej przy rocznej stopie 12%? 2. model kapitalizacji półrocznej przy półrocznej stopie 6%? 3. model kapitalizacji miesięcznej przy miesięcznej stopie 1%? Zadanie 39 Według reguły 70 obliczyć przybliżony czas podwojenia wartości kapitału przy oprocentowaniu rocznym składanym i stopie rocznej: a) r = 2, 5%, b) r = 7, 5%. Zadanie 40 ([1]) Według reguły 70 obliczyć przybliżoną wartość stopy oprocentowania rocznego składanego, przy której kapitał podwoi swoją wartość w czasie: a) 7 lat, b) 10 lat. Zadanie 41 Obliczyć wartość 2-letnich odsetek od kwoty 790 zł, jeśli roczna stopa wynosi 8, 88% i kapitalizacja jest roczna. Zadanie 42 Co jest korzystniejsze dla właściciela kapitału: roczne oprocentowanie składane przy rocznej stopie procentowej 6%, czy roczne oprocentowanie proste przy rocznaj stopie 6%? Zadanie 43 W banku A obowiązuje miesięczna kapitalizacja odsetek przy miesięcznej stopie procentowej 3, 5%. W banku B obowiązuje roczne oprocentowanie proste przy stopie r w skali roku. Ile musi wynosić r aby wartości przyszłe kapitału P, otrzymane odpowiednio w banku A i B, po pięciu latach były identyczne? Czy wartości te będą identyczne również po 10 latach? Zadanie 44 Jaką wartość mają odsetki naliczone za 9 rok, jeśli kapitał 100 zł wygenerował odsetki w wysokości 15 zł po 5 latach rocznego oprocentowania składanego? Zadanie 45 Do banku wpłacono 2000 zł. Przez pierwsze trzy lata obowiązywała półroczna kapitalizacja odsetek przy półrocznej stopie 5%, przez następne dwa lata obowiązywała kwartalna kapitalizacja odsetek przy kwartalnej stopie 2%. Wyznaczyć wartość przyszłą po pięciu latach. Zadanie 46 Ile wynosi kwartalna stopa procentowa, jeżeli przy kwartalnej kapitalizacji odsetek odsetki za drugi kwartał od kwoty początkowej 20 jp wyniosły 2, 2 jp? 5

7 Zestaw 4 Zadanie 47 ([1]) Odsetki od 2-letniej lokaty o stałym oprocentowaniu prostym są naliczane po terminie. Pani X, która wpłaciła na lokatę 2300 zł, odebrała przy jej likwidacji 3047,50 zł. Obliczyć roczną stopę oprocentowania lokaty. Zadanie 48 ([1]) Przy jakiej rocznej stopie oprocentowania prostego wartość 2- letniej lokaty z odsetkami naliczanymi po terminie zwiększy się: a) o 15%, b) 1,5-krotnie, c) przynajmniej dwukrotnie? Zadanie 49 ([1]) Przedsiębiorca otrzymał półroczną pożyczkę w kwocie zł, zobowiązując się spłacać co miesiąc bieżące odsetki naliczane przy rocznej stopie 18%. Obliczyć wysokość rat spłacanych na koniec kolejnych miesięcy Zadanie 50 ([1]) Po jakim czasie oprocentowania prostego przy rocznej stopie 12, 5% wartość depozytu 4800 zł: a) podwoi się. b) zwiększy się o 25%. c) zwiększy się o 3000 zł. Zadanie 51 Wyznaczyć wartość przyszłą 700 jp po dwóch latach w modelu oprocentowania składanego przy 1. dwuletniej 2. rocznej 3. dziennej kapitalizacji odsetek i stopie nominalnej 7%. Zadanie 52 Wyznaczyć wartość przyszłą kwoty 1000 jp po dwóch latach w modelu oprocentowania 1. przy rocznej kapitalizacji odsetek 2. przy miesięcznej kapitalizacji odsetek 3. przy tygodniowej kapitalizacji odsetek i stopie nominalnej 7%. Zadanie 53 Ile wynosi nominalna stopa procentowa, jeżeli przy kwartalnej kapitalizacji z dołu odsetki za drugi kwartał od kwoty początkowej 20 jp wyniosły 2, 2 jp? 6

8 Zadanie 54 Ile musi wynosić nominalna stopa r, aby wartość 5-letnich odsetek od kwoty 1000 jp wyniosła przynajmniej 500 jp w modelu oprocentowania 1. prostego. 2. składanego rocznego. Zadanie 55 Wyznaczyć roczny czynnik akumulacji w modelu kapitalizacji 1. czteroletniej 2. rocznej 3. miesięcznej przy nominalnej stopie 12%. Zadanie 56 Wyznaczyć roczny czynnik akumulacji w modelu kapitalizacji 1. dwuletniej 2. rocznej 3. kwartalnej złożonej przy nominalnej stopie 10%. Zadanie 57 Po ilu latach oprocentowania składanego przy nominalnej stopie 15% kapitał P = 2500 jp wygeneruje odsetki a) I = 2500 jp. b) I = 3000 jp. Zadanie 58 Jaką wartość osiągnie kapitał początkowy 500 jp po roku przy 1. rocznej 2. miesięcznej 3. dziennej kapitalizacji odsetek i nominalnej stopie 7%? Zadanie 59 ([1]) Obliczyć wartość 2, 5-letnich odsetek od kwoty 790 jp, jeśli nominalna stopa wynosi 8, 88%, odsetki kapitalizują się 1. po każdym półroczu. 2. po każdym miesiącu. Zadanie 60 W banku A stosowana jest kapitalizacja półroczna przy nominalnej stopie r = 2, 7%, zaś w banku B oprocentowanie proste przy nominalnej stopie r. Ile musi wynosić r, aby roczne czynniki akumulacji w obu modelach były identyczne? 7

9 Zadanie 61 Wyznaczyć wartość przyszłą 430 zł po 13 miesiącach oprocentowanych według stopy nominalnej 5, 5% i miesięcznej kapitalizacji odsetek. Zadanie 62 Jaki kapitał wygeneruje odsetki w wysokości 45 jp po pół roku w modelu kapitalizacji kwartalnej przy nominalnej stopie 4%? Zadanie 63 ([2]) Find the accumulated value of $100 at the end of two years, if the nominal annual rate of interest is 6% convertible quarterly. Zadanie 64 ([2]) Find the nominal rate of interest convertible semiannually at which the accumulated value of $1000 at the end of 15 years is $3000 Zadanie 65 Po ilu miesiącach oprocentowania składanego miesięcznego przy nominalnej stopie 15% kapitał P = 2500 jp wygeneruje odsetki a) I = 2500 jp. b) I = 3000 jp. Zadanie 66 ([1]) Pożczka 2700 zł otrzymana na początku roku będzie spłacana w 3 ratach na koniec lipca, listopada i grudnia. W każdej racie będzie spłacona 1/3 początkowej kwoty pożyczki oraz bieżące odsetki proste obliczane według nominalnej stopy 14, 4%. Obliczyć wysokość rat. Zadanie 67 Po dwóch tygodniach oprocentowania dziennego kapitał 300 zł zwiększył swoją wartość o 3%. Wyznaczyć wartość tego kapitału po kolejnych dwóch tygodniach. Zadanie 68 Wyznaczyć nominalną stopę procentową oprocentowania składanego kwartalnego równoważnego oprocentowaniu składanemu półrocznemu ze stopą nominalną 12%. Zadanie 69 Przy jakiej stopie kwartalnej i kwartalnej kapitalizacji kapitał 400 zł wygeneruje odsetki w wysokości 40 zł po piętnastu miesiącach? Zadanie 70 ([1]) Miesięczna stopa oprocentowania ROR wynosi 3%. Odsetki kapitalizuje się na koniec ostatniego dnia miesiąca, a w trakcie miesiąca nalicza się odsetki proste. Obliczyć saldo ROR na koniec kwietnia, jeśli: - saldo rachunku na koniec marca wynosiło 300 zł, - 4 kwietnia i 26 kwietnia wpłacono na rachunek po 1100 zł, - 12 kwietnia wypłacono z rachunku 900 zł. Zadanie 71 ([1]) Ile trzeba wpłacić na lokatę: a) roczną, b) półroczną, c) kwartalną, 8

10 aby w każdym przypadku odebrać kwotę 1000 zł, jeśli okresowa stopa oprocentowania każdej lokaty jest proporcjonalna do miesięcznej stopy 1%? Zadanie 72 ([2]) Aby otrzymać $600 pod koniec 8 roku osoba na początku zainwestowała $100, po 5 latach zainwestowała jeszcze $200 oraz pod koniec 10 roku zapłaciła kwotę X. Wyznaczyć X, jeśli nominalna stopa wynosi 8% i odsetki są kapitalizowane co pół roku. Zadanie 73 Bez użycia kalkulatora sprawdzić, która z ofert jest korzystniejsza: a) kapitalizacja roczna przy stopie rocznej 12%, b) kapitalizacja miesięczna przy stopie miesięcznej 1%, c) kapitalizacja kwartalna przy stopie 3%, d) kapitalizacja miesięczna przy stopie nominalnej 11, 9%. 9

11 Zestaw 5 - Oprocentowanie składane z ciągła kapitalizacją odsetek Zadanie 74 Oblicz przyszłą wartość kapitału 100 jp po 3 latach w kapitalizacji ciągłej przy stopie nominalnej r = 3%. Zadanie 75 Jaki kapitał wygeneruje odsetki 43 zł po 18 miesiącach przy ciągłej kapitalizacji odsetek i stopie nominalnej 2%. Zadanie 76 Oblicz odsetki przypadające za drugi rok w kapitalizacji ciągłej przy stopie nominalnej r = 9% od kapitału początkowego 100 jp. Zadanie 77 Jaka będzie przyszła wartość kapitału 5000 jp po 6 latach, jeśli bank przez pierwsze 2 lata stosował nominalną stopę 2% a następnie nominalną stopę 1, 5% w modelu kapitalizacji ciągłej? Zadanie 78 Po jakim czasie nastąpi wzrost kapitału początkowego 480 jp do kwoty 800 jp, przy założeniu ciągłej kapitalizacji odsetek przy nominalnej stopie procentowej r = 6%? Zadanie 79 Jakiej wielkości kapitał początkowy po 9 latach wygeneruje odsetki I = 348 jp w modelu kapitalizacji ciągłej przy nominalnej stopie r = 6%? Zadanie 80 Po ilu latach kapitał 600 zł wygeneruje zysk 200 zł, przy założeniu ciągłej kapitalizacji odsetek i nominalnej stopie procentowej 1, 2%? Zadanie 81 Po ilu miesiącach kapitał 580 jp wygeneruje odsetki 200 jp w modelu kapitalizacji ciągłej przy nominalnej stopie procentowej r = 4%? Zadanie 82 Oblicz przyszłą wartość kapitału 300 jp po 5 miesiącach w kapitalizacji ciągłej przy stopie nominalnej 5%. Zadanie 83 Oblicz odsetki po 3 latach w kapitalizacji ciągłej przy stopie nominalnej r = 9% od kapitału początkowego 50 jp. Zadanie 84 Oblicz odsetki za drugi rok w kapitalizacji ciągłej przy stopie rocznej 2, 3% od kapitału początkowego 50 jp. Zadanie 85 Po ilu latach kapitał podwoi swoją wartość przy rocznej stopie procentowej 12% i ciągłej kapitalizacji odsetek? 10

12 Zestaw 6 - Porównanie oprocentowania prostego, składanego i ciągłego Zadanie 86 Co jest korzystniejsze: ciągła kapitalizacja przy nominalnej stopie 12%, czy miesięczna kapitalizacja przy 1. nominalnej stopie 12%? 2. nominalnej stopie 15%? Zadanie 87 Obliczyć największą i najmniejszą wartość odsetek wygenerowanych w ciągu 4 lat przez kapitał 4000 jp przy nominalnej stopie 14, 5%. Zadanie 88 Bez użycia kalkulatora sprawdzić, która z ofert jest korzystniejsza w ciągu roku: a) kapitalizacja dzienna przy stopie nominalnej 12%, b) kapitalizacja ciągła przy stopie 12%, c) kapitalizacja prosta godzinna przy stopie nominalnej 12%. Zadanie 89 Ile zarobi bądź straci właściciel kapitału 200 jp, jeśli po 9 miesiącach od dnia wpłaty bank z kapitalizacji dziennej przeszedł na kapitalizację ciągłą przy nominalnej stopie procentowej 4%? Zadanie 90 Co jest korzystniejsze: ciągła kapitalizacja przy nominalnej stopie 10%, czy półroczna kapitalizacja przy 1. nominalnej stopie 12%? 2. nominalnej stopie 10%? 3. nominalnej stopie 8%? Zadanie 91 Jaka będzie przyszła wartość kapitału 1000 jp po 5 latach, jeśli bank przez pierwsze 3 lata stosował nominalną stopę 3% a następnie nominalną stopę 2, 5% w modelu kapitalizacji ciągłej? 11

13 Zestaw 7 - Równoważność warunków oprocentowania. Równoważne stopy procentowe Zadanie 92 Mając roczną stopę oprocentowania prostego 18% wyznaczyć równoważną stopę: 1. miesięczną. 2. tygodniową letnią. Uzasadnić wyniki. Czy czas oprocentowania miał wpływ na wynik? Zadanie 93 Bank A stosuje oprocentowanie półroczne składane przy stopie nominalnej 12%, zaś bank B oprocentowanie kwartalne składane przy stopie nominalnej 12%. Bez użycia kalkulatora zbadać, czy warunki oprocentowania proponowane przez te banki są równoważnepo. Zadanie 94 Bank A stosuje oprocentowanie półroczne składane przy stopie nominalnej r A = 8%, zaś bank B oprocentowanie kwartalne składane przy stopie nominalnej r B = 6%. Czy warunki oprocentowania proponowane przez te banki są równoważne? Zadanie 95 W banku A obowiązuje półroczna kapitalizacja odsetek przy stopie nominalnej 18%, w banku B obowiązuje kwartalna kapitalizacji odsetek przy stopie nominalnej r. Ile musi wynosić stopa r, aby warunki oprocentowania w banku A i B były równoważne? Zadanie 96 Mając roczną stopę oprocentowania składanego rocznego 11% wyznaczyć równoważną stopę: 1. miesięczną. 2. tygodniową letnią. Wyznaczyć stopy nominalne w każdym z trzech podpunktów i omówić zależność. Zadanie 97 Mając półroczną stopę 6% wyznaczyć równoważną stopę kwartalną w modelu oprocentowania składanego. Zadanie 98 ([1]) Przy użyciu rocznego czynnika akumulacji wykazać nierównoważność stóp oprocentowania składanego i 4 = 3, 3% oraz i 12 = 1, 3%, a następnie obliczyć: 1. stopę i 12 równoważną stopie i 4 = 3, 3%. 2. stopę i 4 równoważną stopie i 12 = 1, 3% 12

14 Zadanie 99 Model oprocentowania półrocznego składanego ze stopą nominalną 23% zamienić na model oprocentowania 1. kwartalnego składanego 2. rocznego składanego zachowując równoważność warunków oprocentowania. Zadanie 100 Mając nominalną stopę 19% w modelu oprocentowania składanego z dzienną kapitalizacją odsetek wyznaczyć nominalną stopę oprocentowania składanego rocznego z zachowaniem równoważności warunków oprocentowania. Zadanie 101 Obliczyć 1. tygodniową 2. miesięczną 3. roczną stopę równoważną stopie kwartalnej 3% w modelu oprocentowania składanego. Zadanie 102 Sprawdzić, czy równoważne są następujący stopy oprocentowania składanego: kwartalna stopa 3% oraz półroczna stopa 6%. Zadanie 103 Zbadać bez użycia kalkulatora równoważność warunków oprocentowania przy stopach rocznych 12% w kapitalizacji rocznej i 12% w kapitalizacji ciągłej. Zadanie 104 Zbadać bez użycia kalkulatora równoważność warunków oprocentowania przy stopach rocznych 12% i 12, 5% w kapitalizacji ciągłej. Zadanie 105 Dla stopy rocznej 24% oprocentowania rocznego obliczyć równoważną stopę podokresową oprocentowania 1. półrocznego, 2. kwartalnego, 3. miesięcznego, 4. ciągłego, a następnie przy użyciu stopy podokresowej obliczyć dwuletnie odsetki od kapitału 1000 zł. Zadanie 106 Jeśli roczna stopa procentowa w modelu kaptalizacji ciągłej wynosi 10%, to jakie powinny być równoważne stopy nominalne oraz roczne dla kapitalizacji 1. miesięcznej? 2. półrocznej? 13

15 Zestaw 8 - Stopa efektywna Zadanie 107 For the $10000 investment given in Example 1 find the effective rate of interest for each of the fours years. Zadanie 108 Assume that F n = n. Find r ef,5, r ef,10. Zadanie 109 Assume that F n = 100(1, 1) n. Find r ef,5, r ef,10. Zadanie 110 If F 4 = 1000 and r ef,n =.01n, where n is a positive integer, find F 7. Zadanie 111 W modelu oprocentowania prostego wyznaczyć efektywną stopę procentową w każdym roku trzyletniej inwestycji, jeśli roczna stopa (nominalna) wynosi 10% Zadanie 112 Wyznaczyć stopę efektywną w modelu oprocentowania składanego przy kwartalnej kapitalizacji odsetek i stopie nominalnej 9%. Zadanie 113 Zamierzamy wpłacić na rachunek bankowy kwotę , 00 zł. Bank A oferuje nominalną stopę r A = 3% przy półrocznej kapitalizacji odsetek, bank B oferuje nominalną stopę r B = 2, 8% przy dziennej kapitalizacji odsetek, zaś bank C oferuje nominalną stopę r C = 2, 4% przy miesięcznej kapitalizacji odsetek. Wyznaczając stopę efektywną sprawdzić, który bank oferuje najkorzystniejsze warunki oprocentowania? Zadanie 114 Pewien kapitał ulokowano na procent składany. Kapitalizacja odsetek następuje pod koniec każdego kwartału, a efektywna stopa procentowa jest równa 13%. Ile wynosi równoważna kwartalna stopa procentowa a ile nominalna? Zadanie 115 Efektywna stopa procentowa wynosi 14%. Obliczyć równoważną okresową i nominalną stopę oprocentowania składanego przy kapitalizacji a) co kwartał. b) co 4 miesiące. c) co 1,5 miesiąca. d) ciągłej. Zadanie 116 Dla każdej stopy oprocentowania składanego: i 4 = 5%, i 1 = 20%, i 2 = 10, 5%, r ef = 19%, r c = 19% obliczyć stopę efektywną. Zadanie 117 Jaka jest nominalna stopa procentowa w modelu kapitalizacji miesięcznej, jeśli stopa efektywna wynosi 27%? Zadanie 118 Jaka jest nominalna stopa procentowa w modelu kapitalizacji ciągłej, jeśli stopa efektywna wynosi 24%? Zadanie 119 Wyznaczyć stopę efektywną dla nominalnej stopy procentowej 17% przy prostej kapitalizacji odsetek? Zadanie 120 Pewien kapitał złożono na procent składany. Kapitalizacja odsetek następuje co kwartał, a efektywna stopa procentowa wynosi 13%. Ile wynosi równoważna stopa kwartalna a ile nominalna? 14

16 Zadanie 121 Pewien kapitał złożono na procent składany. Kapitalizacja odsetek następuje co kwartał, a efektywna stopa procentowa jest równa 13%. Ile wynosi zgodna stopa procentowa odpowiadająca tej efektywnej a ile nominalna? Zadanie 122 Wyznaczyć stopę efektywną dla rocznej stopy 11, 9% przy ciągłej kapitalizacji odsetek. Zadanie 123 Dane są stopy oprocentowania składanego r 4, i 1, r c, i 2, przy czym a) Co oznacza każda z tych stóp? r 4 = ln(1 + i 1 ) = r c = i 2 = 12%. b) Dla każdej stopy podać (obliczyć) stopę nominalną, roczny czynnik akumulacji, stopę efektywną oraz równoważną stopę oprocentowania ciągłego. Zadanie 124 Find the accumulated value of $500 invested for five years at 8% per annum convertible quarterly. Find r ef,1, r ef,5 Zadanie 125 Wyznaczyć stopę efektywną dla każdego z czterech lat inwestycji przy rocznej stopie procentowej 12% i odsetkach prostych? Zadanie 126 Kwotę zł ulokowano na rachunku na okres 2 lat. Nominalna stopa procentowa wynosiła 9%. Jaki będzie stan konta po tym okresie, jeśli kapitalizacja odsetek miała miejsce na początku każdego kwartału. Wyznacz efektywną stopę dla każdego roku. Zadanie 127 Firma zamierza sprzedać nieruchomość drogą przetargu. Otrzymała oferty od trzech nabywców. Pierwszy z nich chciałby ją kupić natychmiast regulując należność gotówką w wysokości zł, drugi proponuje sume zł przy uregulowaniu należności za rok, trzeci zaś gotów jest zapłacić zł, ale po upływie 3 lat. Którą ofertę powinna wybrać firma, jeśli istnieje możliwość ulokowania gotówki w banku na procent składany 12% w skali roku? Zadanie 128 Złożono w banku kapitał w wysokości , 00 zł. Po upływie 10 lat kwota kapitału wzrosła do , 00 jp. Jaka będzie kwota kapitału po upływie dalszych 4 lat? Zadanie 129 Ulokowano w banku depozyt w wysokości zł na 14% w skali roku przy kwartalnej kapitalizacji odsetek. Czy warunki oprocentowania się pogorszą, jeśli stopa procentowa będzie obniżona o 1, 4 pkt procentowego i kapitalizacja kwartalna zostanie zastąpiona kapitalizacją miesięczną? Oblicz zysk bądź stratę właściciela depozytu. Zadanie 130 Bank A oferuje rachunek oszczędnościowy oprocentowany 5, 25% w skali roku przy dziennej kapitalizacji odsetek. Bank B oferuje lokatę terminową 3- miesięczną oprocentowaną 6% w skali roku. Która z ofert bankowych jest korzystniejsza, jeśli w ciągu roku nie planujemy żadnej wypłaty? 15

17 Zestaw 9 - Wartość przyszła kapitału po czasie t > 0 Zadanie 131 Wyznacz wartość kapitału zł po 13 miesiącach przy oprocentowaniu prostym i stopie procentowej 11, 3% w skali roku. Zadanie 132 Jaka jest obecna wartość kapitału, który po 28 dniach wygenerował zysk 300 zł przy ciągłej kapitalizacji odsetek i stopie procentowej 3% w skali roku. Zadanie 133 Wyznacz wartość kapitału zł po 1, 5 roku przy kwartalnej kapitalizacji odsetek i nominalnej stopie procentowej 6, 7%. Zadanie 134 Po jakim czasie kapitał zł wygeneruje odsetki 288 zł przy ciągłej kapitalizacji odsetek i stopie procentowej 8% w skali roku? Zadanie 135 Wyznacz wartość przyszłą kapitału 500 zł po 5 tygodniach w modelu kapitalizacji miesięcznej przy stopie nominalnej 14%. Zadanie 136 Jaka jest wartość kapitału 3000 zł po roku i 2 miesiącach przy półrocznej kapitalizacji odsetek i stopie nominalnej 11%? Zadanie 137 Jaka jest wartość kapitału zł po 82 dniach w modelu kapitalizacji miesięcznej przy stopie nominalnej 6, 7%? Zadanie 138 Find the accumulated value of $5000 at the end of 5 years and 4 months invested at 9% per annum: 1) Assuming compound interest throughout. 2) Assuming simple interest during the final fractional period 16

18 Zestaw 10 - Oprocentowanie przy zmiennej stopie procentowej. Stopa przeciętna Zadanie 139 Find the accumulated value of $1000 at the end of 15 years if the effective rate of iterest is 5% for the first 5 years, 4, 5% for the second 5 years, and 4% for the fird 5 years. Zadanie 140 The investor earns 15% during the first year, 5% during the second year, and 8% during the third year. Find the equivalent level effective rate of return over the three-year period. Zadanie 141 Bank zmienił oprocentowanie z 30% na 32%. Równocześnie bank wydłużył kapitalizację z kwartału na pół roku. Czy prawdziwa jest informacja banku, że zmiana ta nie pogorszy sytuacji klientów banku? Zadanie 142 W kolejnych kwartałach roku nominalna stopa procentowa wynosiła: 11%, 9%, 5%, 8%. Wyznaczyć przeciętną kwartalną stopę procentową, jeśli bank stosował kapitalizację kwartalną. Zadanie 143 Przez pierwsze pół roku nominalna stopa procentowa wynosiła 4% a przez kolejne pół roku była większa o 0, 5 punktu procentowego. Wyznaczyć roczną efektywną stopę procentową równoważną przeciętnej półrocznej stopie procentowej, jeśli bank stosował kapitalizację półroczną. Zadanie 144 W kolejnych kwartałach roku nominalna stopa procentowa wynosiła: 10%, 11%, 10%, 9%. Wyznaczyć roczną efektywną stopę procentową równoważną przeciętnej kwartalnej stopie procentowej, jeśli bank stosował kapitalizację kwartalną. Zadanie 145 Odsetki od 2-letniej lokaty zł obliczono według zmiennej stopy procentowej. Stopa nominalna w pierwszym i drugim roku wynosiła, odpowiednio, 10% oraz 12%. W pierwszym roku odsetki były kapitalizowane co miesiąc, w drugim na koniec roku. Obliczyć 1. dwuletni czynnik akumulacji oprocentowania lokaty. 2. przeciętną roczną stopę oprocentowania lokaty. 3. odsetki należne na koniec drugiego roku. Zadanie 146 Bank A proponuje 3-letnią lokatę o oprocentowaniu ciągłym przy zmiennej stopie procentowej. W pierwszym roku stopa r c wyniesie 3% i będzie się zwiększać o 0, 3 punktu procentowego w każdym następnym roku. Bank B proponuje lokatę 3-letnią o stałym oprocentowaniu kwartalnym przy stopie nominalnej 3, 5%. Która z lokat jest korzystniejsza dla klienta. Zadanie 147 Bank A proponował 5-letnią lokatę o oprocentowaniu ciągłym przy zmiennej stopie procentowej. W pierwszym roku stopa procentowa wynosiła 4% i była zmniejszana o 0, 1 punktu procentowego w każdym następnym roku. Bank B proponował lokatę 5-letnią o stałym oprocentowaniu kwartalnym z dołu przy stopie nominalnej 4%. Która z lokat była korzystniejsza dla klienta. 17

19 Zadanie 148 Pięcioletnia lokata o wartości początkowej 5000 zł podlega rocznemu oprocentowaniu o zmiennej rocznej stopie procentowej: 3%, 3%, 3, 02%, 3, 12%, 2, 9%. Wyznaczyć roczną stopę przeciętną i miesięczną stopę przeciętna równoważną rocznej oraz wartość przyszłą kapitału po pięciu latach. Zadanie 149 W ciągu dwóch lat oprocentowanie rachunku bankowego było zmieniane wielokrotnie. W pierwszym półroczu stopa nominalna wynosiła 7%, a odsetki kapitalizowano pod koniec każdego kwartału. W trzecim kwartale odsetki były kapitalizowane pod koniec każdego miesiąca, a stopa nominalna wynosiła 6%. Następnie przez kolejne dwa miesiące obowiązywała kapitalizacja dwumiesięczna z dołu przy stopie nominalnej 6, 5%, przez kolejne pół roku odsetki były kapitalizowane pod koniec każdego kwartału przy stopie nominalnej 5, 75% a następnie do końca czasu oprocentowania lokaty obowiązywała kapitalizacja miesięczna z dołu przy nominalnej stopie 6, 3%. Obliczyć 1. efektywną stopę procentową dla każdego roku. 2. przeciętną stopę kwartalną. 3. wartość kapitału zł po dwóch latach stosując zmienne stopy podokresowe, stopy efektywne, stopy przeciętne. Zadanie 150 W banku A w kolejnych latach nominalna stopa procentowa wynosiła: 8%, 8, 2%, 8, 1%, 8%, zaś w banku B 7, 9%, 8, 4%, 8, 2%, 8, 1%. Wyznaczając przeciętną roczną stopę procentową w czasie 4 lat sprawdzić, który bank oferował korzystniejsze warunki oprocentowania w modelu oprocentowania 1. prostego. 2. miesięcznego skladanego. 3. kwartalnego składanego. Zadanie 151 W banku A w kolejnych latach nominalna stopa procentowa wynosiła: 8, 1%, 8, 2%, 8%, 7, 8%, 7, 8%, zaś w banku B 7, 9%, 8, 4%, 8, 2%, 8, 1%, 7, 7%. Wyznaczając przeciętną 1. roczną 2. podokresową stopę procentową w czasie 5 lat sprawdzić, który bank oferował korzystniejsze warunki oprocentowania w modelu oprocentowania 1. prostego. 2. półrocznego składanego. 3. miesięcznego składanego. Zadanie 152 Nominalna stopa lokaty 3-miesięcznej zmieniała się co kwartał i wynosiła 6, 5%, 6, 4%, 6, 6%, 6, 7%. Wyznaczyć przeciętną kwartalną i roczną stopę w czasie roku. 18

20 Zadanie 153 Przez pierwsze pół roku nominalna stopa procentowa wynosiła 6% a przez kolejne pół roku była większa o 0, 2 punktu procentowego. Wyznaczyć roczną i półroczną stopę przeciętną, jeśli bank stosował kapitalizację półroczną. Zadanie 154 W kolejnych kwartałach roku nominalna stopa procentowa wynosiła: 5, 5%, 5, 7%, 5, 4%, 5%. Wyznaczyć roczną efektywną stopę procentową równoważną przeciętnej kwartalnej stopie procentowej, jeśli bank stosował kapitalizację kwartalną złożoną z dołu. Zadanie 155 Bank A oferuje lokatę 3-miesięczną przy stopie procentowej (nominalnej) 5, 8%, zaś bank B lokatę półroczną przy stopie procentowej (nominalnej) 5, 6%. W banku A w kolejnych kwartałach roku stop procentowa zmniejszała się o 0, 1 punktu procentowego, zaś w banku B po pół roku stopa procentowa zwiększyła się o 0, 2 punku procentowego. Która z lokat jest korzystniejsza w ciągu roku? 19