Jednoznaczność dzielenia. Jednoznaczność dzielenia

Transkrypt

1 Jednoznaczność dzielenia MNiechmincałkowite,n 0 Wtedy istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych k i l taka że m=n k+l oraz 0 l< n Terminologia: m dzielna n dzielnik Sytuacjadlam 0in>0: k k iloraz l reszta n n n {}}{{}}{{}}{ l {}}{ 0 m Naprzykład: 13=5 2+3 oraz 0 3<5 Jednoznaczność dzielenia Wykład2,14X2008,str2 MNiechmincałkowite,n 0 Wtedy istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych k i l taka że m=n k+l oraz 0 l< n Terminologia: m dzielna n dzielnik Sytuacjadlam 0in>0: k iloraz l reszta l k {}}{ n n n n {}}{{}}{{}}{{}}{ m 0 Naprzykład: 13=5 ( 3)+2 oraz 0 2<5

2 Ostrzeżenie komputerowe Na liczbach ujemnych dzielenie komputerowe czasem odchodzi od tego wzorca Testowy program w C: #include<stdioh> void iloraz_reszta(intm,intn){ printf("%3i=(%2i)*(%2i)+(%2i)\n",m,n,m/n,m%n); } main(){ intm,n; m= 13;n= 5; iloraz_reszta(m,n); m=-13;n= 5; iloraz_reszta(m,n); m= 13;n=-5; iloraz_reszta(m,n); m=-13;n=-5; iloraz_reszta(m,n); } Ostrzeżenie komputerowe Wykład2,14X2008,str4 Na liczbach ujemnych dzielenie komputerowe czasem odchodzi od tego wzorca Mój komputer: 13=(5)*(2)+(3) -13=(5)*(-2)+(-3) 13=(-5)*(-2)+(3) -13=(-5)*(2)+(-3) Arytmetyka z twierdzenia: 13=( 5) ( 2)+( 3) 13=( 5) ( 3)+( 2) 13=( 5) ( 2)+( 3) 13=( 5) ( 3)+( 2) WjęzykuCnamoimkomputerzeznakresztyjesttakisamjakznak dzielnej a iloraz jest do tego dostosowany

3 Pozycyjne systemy liczbowe MNiechnimnaturalne,m 2Wtedyistniejedokładniejeden rozkład liczby n na sumę potęg m ze współczynnikami n=a 0 +a 1 m+a 2 m 2 ++a k m k takimi,że 0 a i <m dla i {0,1,,k} Dowód: Indukcja ze względu na n Przypn=0:oczywisty Przyp n > 0: Z twierdzenia o jednoznaczności dzielenia istnieje dokładnie jednaparaliczb(c 1,a 0 ),takichże n=a 0 +c 1 m i 0 a 0 <mprzy tymc 1 <n,więcstosujesięzałożenieindukcyjne: c 1 =a 1 +a 2 m++a k m k 1 i 0 a i <m dlawszystkichiwobectego: n=a 0 +c 1 m =a 0 +(a 1 +a 2 m++a k m k 1 ) m =a 0 +a 1 m+a 2 m 2 ++a k m k Pozycyjne systemy liczbowe Wykład2,14X2008,str6 MNiechnimnaturalne,m 2Wtedyistniejedokładniejeden rozkład liczby n na sumę potęg m ze współczynnikami n=a 0 +a 1 m+a 2 m 2 ++a k m k takimi,że 0 a i <m dla i {0,1,,k} Zapis liczby w układzie pozycyjnym: m podstawaukładu; a 0,a 1,a 2,a k cyfry Za co kochamy układy pozycyjne? Przykład układu niepozycyjnego: liczby rzymskie Zadanie: wykonać proste mnożenie XXXIV XVI????

4 Pozycyjne systemy liczbowe Dla ludzi system dziesiętny: 156= Dla komputerów system binarny(dwójkowy): 156= Albo system heksadecymalny(szesnastkowy): 156 = = 9 16+C Dodatkowe cyfry dla układu szesnastkowego: 10=A 11=B 12=C 13=D 14=E 15=F Pozycyjne systemy liczbowe Wykład2,14X2008,str8 System szesnastkowy stosuje się m in do opisywania kolorów Trzy kolejne cyfry szesnastkowe oznaczają ilości składowych kolorów podstawowych czerwonego(red) zielonego(green) niebieskiego(blue) wdanejbarwiebarwjestwięc16 3 = F F8 00F 08F 0FF F F8 80F 88F 8FF F00 F80 FF0 F08 F88 FF8 F0F F8F FFF Zapis jednej cyfry szesnastkowej zajmuje 4 bity; więc zapis jednego koloruzajmuje3 4=12bitówStosujesięrównieżwiększągłębiębarw,po dwie cyfry szesnastkowe na kolor podstawowy to wymaga poświęcenia 24bitównabarwęidajeok mlnróżnychbarw

5 Arytmetyka reszt(arytmetyka modulo n) Niechn 2 DEFINICJA: (relacja modulo n) MDwieliczbycałkowitepiqsąrównemodulonjeślirównesąresztyzich dzielenia przez n: p n q def pmodn=qmodn Fakt: Mp n q p qjestpodzielneprzezn Fakt: MRelacja n jestrelacjąrównoważnościna Z;tznjest zwrotna: p n p symetryczna: jeśli p n q to q n p przechodnia: jeśli p n q i q n r to p n r Relacja równoważności pozwala podzielić zbiór Z na klasy abstrakcji: do każdej klasy wchodzą liczby o tej samej reszcie z dzielenia przez n Wykład2,14X2008,str10 Arytmetyka reszt(arytmetyka modulo n) Sklejamy liczby całkowite: n 1= 1 n=0 n+1=1 Inaczej: każdą liczbę m zastępujemy przezmmodn resztęzdzieleniamprzezn Arytmetyka liczb całkowitych na komputerze jest arytmetyką reszt (patrz niżej)

6 Arytmetyka reszt(arytmetyka modulo n) Sklejenie modulo jest rozdzielne względem dodawania, odejmowania i mnożenia liczb całkowitych: (m+k)modn = (mmodn+kmodn)modn (13+4)mod8=(13mod8+4mod8)mod8 =(5+4)mod8=9mod8=1 (m k)modn = (mmodn kmodn)modn (13 26)mod8=(13mod8 26mod8)mod8 =(5 2)mod8=3mod8=3 (m k)modn = (mmodn kmodn)modn (13 26)mod8=(13mod8 26mod8)mod8 =(5 2)mod8=10mod8=2 Arytmetyka komputerowa Wykład2,14X2008,str12 ujemne dodatnie arytmetyka 3-bitowa, czyli modulo2 3 =8 Arytmetyka liczb całkowitych w języku C w moim komputerze jest czterobajtowa;toznaczymodulo(2 8 ) 4 =2 8 4 =2 32 Dlategowgniego = bo 65536=2 16 (2 16 (2 16 1))mod2 32 =( )mod2 32 = 2 16 mod2 32

7 Ustalanie podzielności przy pomocy arytmetyki reszt MResztazdzielenialiczbym Nprzez9jestrównareszciezdzielenia sumycyfrliczbymprzez9 Dowód: Niechm 0,m 1,,m p będącyframidziesiętnymiliczbym;tzn: m=m 0 +m 1 10+m m p 10 p Ponieważ10mod9=1,więc mmod9=(m 0 +m 1 10+m m p 10 p )mod9 =(m 0 +m 1 1+m m p 1 p )mod9 =(m 0 +m 1 +m 2 ++m p )mod9 Wniosek: MLiczbam Ndzielisięprzez9bezresztywtedyitylkowtedy,gdyjej sumacyfrdzielisięprzez9bezreszty: 9 m 9 (m 0 +m 1 +m 2 ++m p ) Wykład2,14X2008,str14 Ustalanie podzielności przy pomocy arytmetyki reszt Oznaczenie:n m ndzielim (lub: mdzielisięprzeznbezreszty) Wniosek: M2 n liczbazłożonazostatniejcyfryndzielisięprzez2 4 n liczbazłożonazostatnichdwóchcyfrn dzielisięprzez4 5 n ostatniącyfrąliczbynjest0lub5 3 n sumacyfrliczbyndzielisięprzez3 9 n sumacyfrliczbyndzielisięprzez9 11 n naprzemiennasumacyfrliczbyndzielisięprzez11 MCzy ? ( ) 11 ( 5) false

8 Liczby pierwsze, względnie pierwsze, NWD DEFINICJA: MLiczbanaturalnap 2jestpierwsza,jeślidladowolnejn 1 z n p wynika,że n=1lubn=p MKolejne liczby pierwsze: Wykład2,14X2008,str16 Liczby pierwsze, względnie pierwsze, NWD DEFINICJA: MLiczbanaturalnap 1jestnajwiększymwspólnymdzielnikiemliczbcałkowitychmin,jeśli p mip n, z q m i q n wynika,że q p Oznaczenie: p = NWD(m, n) M NWD(12,18)=6 NWD(75,90)=15 NWD(21,110)=1

9 Liczby pierwsze, względnie pierwsze, NWD DEFINICJA: MLiczbynaturalneminsąwzględniepierwsze,jeśli NWD(m,n)=1 M NWD(12,18)=6 więc12i18 niesąwzględniepierwsze NWD(75,90)=15 więc75i90 niesąwzględniepierwsze NWD(21,110)=1 więc21i110 sąwzględniepierwsze MJeśliminsąwzględniepierwszei m (n k) to m k MPonieważ NWD(9,5)=1 i 9 11 to 9 55 Wykład2,14X2008,str18 Liczby pierwsze, względnie pierwsze, NWD (jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze) MDowolną liczbę naturalną m > 1 można jednoznacznie przedstawić w postaci iloczynu m=p 1 p 2 p n gdziep 1 p 2 p n iliczbyp 1,p 2,,p n sąpierwsze M 180= = MNWD(m, n) jest iloczynem liczb pierwszych występujących zarówno w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby m jak liczby n M NWD(180,1530)= =90

10 Wyznaczanie NWD algorytm Euklidesa 1NWD(n,0)=n 2jeślin>mtoNWD(n,m)=NWD(m,nmodm) 3jeślin<mtoNWD(n,m)=NWD(m,n) M NWD(504,2940) 3 = NWD(2940, 504) 2 =NWD(504,2940mod504)=NWD(504,420) 2 =NWD(420,504mod420)=NWD(420,84) 2 =NWD(84,420mod84)=NWD(84,0) 1 =84 Chińskie twierdzenie o resztach Wykład2,14X2008,str20 (o wyznaczaniu liczby jeśli znane są reszty Sun Tzu, IIIwne) MNiechp 1,p 2,,p n będąliczbamiparamiwzględniepierwszymi(czyli każda z każdą) Dla każdej n-tki liczb 0 q 1 <p 1 0 q 2 <p 2 0 q n <p n istnieje liczba całkowita q taka, że qmodp 1 =q 1 qmodp 2 =q 2 qmodp n =q n Wszystkietakieliczbysąrównoważnemoduloq 1 q 2 q n

11 Chińskie twierdzenie o resztach (Qin Jiushao, Dziewięć działów sztuki liczbowej, 1247) MZłodzieje ukradli ryż z trzech beczek Początkowo było tyle samo ryżu w każdejbeczce,niewięcejniż3000ho,aleniewiadomopoile wbeczceipozostało1ho,azłodziejczerpałzniejczerpakiemmieszczącym 11 ho, wbeczceiipozostało11ho,azłodziejczerpałzniejchodakiemmieszczącym 17 ho, wbeczceiiipozostało1ho,azłodziejczerpałzniejmiseczkąmieszczącą13ho Ile ryżu było początkowo w każdej beczce? Byłoqho,gdzie qmod11=1 więc q {1,12,23,,1+11 i} qmod17=11 więc q {11,28,45,,11+17 i} qmod13=1 więc q {1,14,27,,1+13 i} Pierwszą wspólną liczbą w tych ciągach jest 2289 to jest rozwiązanie