Relacje binarne. Def. Relację ϱ w zbiorze X nazywamy. antysymetryczną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y) spójną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y)

Transkrypt

1 Relacje binarne Niech X będzie niepustym zbiorem. Jeśli ϱ X X to mówimy, że ϱ jest relacją w zbiorze X. Zamiast pisać (x, y) ϱ będziemy stosować zapis xϱy. Def. Relację ϱ w zbiorze X nazywamy zwrotną, gdy x X xϱx przeciwzwrotną, symetryczną, gdy x X xϱx gdy x, y X (xϱy yϱx) antysymetryczną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y) przeciwsymetryczną, gdy x, y X (xϱy yϱx) spójną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y) przechodnią, gdy x, y, z X (xϱy yϱz xϱz) Relacje zwrotne: równość obiektów, zawieranie zbiorów, słaba nierówność dla liczb, podzielność liczb, przystawanie figur. Relacje przeciwzwrotne: w zbiorze liczb, <, prostopadłość prostych na płaszczyźnie. Relacje symetryczne: równość obiektów, prostopadłość i równoległość prostych, przystawanie figur. Relacje antysymetryczne: równość obiektów, nierówność słaba lub ostra, zawieranie zbiorów, podzielność liczb. Relacje przeciwsymetryczne: ostra nierówność, ścisłe zawieranie zbiorów. Relacje spójne: nierówność słaba i ostra w zbiorze liczb. Relacje przechodnie: równość obiektów, nierówność słaba i ostra, podzielność liczb, zawieranie zbiorów, przystawanie figur. Pojecie relacji binarnej można uogólnić na przypadek dwóch niekoniecznie równych zbiorów X i Y. Wtedy każdy podzbiór ϱ X Y jest relacją binarną. Szczególnym przypadkiem relacji binarnej w X Y jest funkcja f : X Y. Relacja równoważności Def. Relację ϱ w zbiorze X nazywamy relacją równoważności, jeśli jest zwrotna, symetryczna i przechodnia. Uwaga: Relacje równoważności pozwalają utożsamiać (grupować) pewne obiekty mające wspólną wybraną cechę. 1

2 Przykład 1. Relacja równości obiektów w pewnym zbiorze X. Przykład 2. W zbiorze liczb naturalnych relacja mρn m i n mają taką samą ostatnią cyfrę. Przykład 3. W zbiorze podzbiorów pewnego zbioru n-elementowego relacja AρB A i B mają tyle samo elementów. Def. Niech ϱ będzie relacją równoważności w zbiorze X. Klasą abstrakcji elementu x X względem relacji ϱ nazywamy zbiór [x] ϱ = {y X : yϱx}. Każdy element y [x] ϱ jest reprezentantem tej klasy abstrakcji. Zbiór wszystkich klas abstrakcji względem relacji ϱ nazywamy zbiorem ilorazowym i oznaczamy X/ϱ. Przykład 1. Klasy abstrakcji są jednoelementowe. Przykład 2. Jest 10 różnych klas abstrakcji. Klasy: [1] ρ = {10k + 1 : k N},... [10] ρ = {10k : k N}. Przykład 3. Jest n+1 klas abstrakcji. Do danej klasy należą zbiory o tej samej liczebności. Dla obiektów należących do tej samej klasy abstrakcji często stosujemy oznaczenia: x y, x y, x y. Tw. Jeżeli ϱ jest relacją równoważności w zbiorze X, to 1. x X x [x] 2. x, y X ([x] = [y] xϱy) 3. x, y X ([x] [y] [x] [y] = ) Def. Rodzinę {A i : i I} podzbiorów zbioru X nazywamy podziałem zbioru X jeśli spełnione są następujące warunki: 1. i I A i 2. i, j I (i j A i A j = ) 3. A i = X. i I Tw. Jeśli ϱ jest relacją równoważności w zbiorze X to zbiór X/ϱ jest podziałem zbioru X. Jeśli rodzina {A i : i I} jest podziałem zbioru X, to relacja ϱ taka, że dla każdego x, y X xϱy i I (x A i y A i ) jest relacją równoważności w zbiorze X. 2

3 Działania algebraiczne Niech A będzie niepustym zbiorem, n N 0. Def. Działaniem n-argumentowym (wewnętrznym) w zbiorze A nazywamy każdą funkcję f :A n A. Przykłady. Dodawanie i mnożenie to działania 2-argumentowe w zbiorach N, Z, Q, R. Odejmowanie nie jest działaniem wewnętrznym w zbiorze N, ale jest działaniem w zbiorach Z, Q, R. Dzielenie nie jest działaniem wewnętrznym w powyższych zbiorach, ale jest działaniem np. w zbiorach Q \ {0} i R \ {0}. Def. Niech F - układ działań w zbiorze A. Parę (A, F) nazywamy algebrą. Przykłady algebr: (N, +), (N, +, ), (Z, +, ), (Z, ), (Q, ), (Q, +,, ), (R, +), (R, +, ), (2 N,, ), (R R, ) zbiór funkcji rzeczywistych z działaniem składania. Działania binarne to działania 2-argumentowe (A ) f : A 2 A. Będziemy stosować oznaczenie: f(x, y) = x y. Def. Mówimy, że działanie w zbiorze A jest przemienne, jeśli a, b A a b = b a. Def. Mówimy, że działanie w zbiorze A jest łączne, jeśli a, b, c A (a b) c = a (b c). Działania dodawania i mnożenia liczb są łączne i przemienne. Działanie odejmowania i dzielenia nie jest łączne ani przemienne. Działanie składania w zbiorze funkcji f : X X jest łączne, ale nie jest przemienne. Działanie x y = x w zbiorze R jest łączne, ale nie jest przemienne, bo (a b) c = a b = a oraz a (b c) = a b = a, zaś a b = a, gdy b a = b. Działanie x y = x 2 + y 2 w zbiorze R jest przemienne, ale nie jest łączne, bo (x 2 + y 2 ) 2 + z 2 x 2 + (y 2 + z 2 ) 2. Działanie x y = x + y 2 w zbiorze R nie jest ani łączne, ani przemienne. Def. Niech, - działania binarne w A. Mówimy, że działanie jest rozdzielne względem działania, jeśli a, b, c A a (b c) = (a b) (a c) i a, b, c A (b c) a = (b a) (c a). 3

4 Mnożenie liczb jest rozdzielne względem dodawania. Działanie sumy jest rozdzielne względem przecięcia, a działanie przecięcia jest rozdzielne względem sumy w algebrze zbiorów (2 X,, ). Koniunkcja jest rozdzielna względem alternatywy, a alternatywa rozdzielna względem koniunkcji w algebrze zdań ({0, 1},, ). Def. Element e A nazywamy elementem neutralnym działania w zbiorze A, jeśli a A (e a = a e = a). Uwaga. Jeśli istnieje element neutralny działania w zbiorze A to jest on wyznaczony jednoznacznie (czyli może istnieć tylko jeden element neutralny danego działania). Elementem neutralnym działania dodawania jest liczba 0 w zbiorach Z, Q, R. W zbiorze N dodawanie nie ma elementu neutralnego. W zbiorach N, Z, Q, R elementem neutralnym mnożenia jest liczba 1. W algebrze funkcji (X X, ) elementem neutralnym składania jest funkcja identyczności id X. W algebrze zbiorów (2 X,, ) elementem neutralnym sumy jest, a elementem neutralnym przecięcia jest zbiór X. Nie każde działanie posiada element neutralny w danym zbiorze. Działanie x y = max{x, y} nie posiada elementu neutralnego w zbiorze R. Def. Niech e będzie elementem neutralnym działania w zbiorze A. Element b A nazywamy elementem odwrotnym do elementu a A, jeśli a b = b a = e. Jeśli taki element b istnieje, to element a nazywamy odwracalnym. W algebrze (Z, +, ) elementem odwrotnym do liczby x względem dodawania jest liczba x. Względem mnożenia odwrotności istnieją jedynie dla 1 i dla 1. W algebrach (Q, +, ), (R, +, ) odwracalne względem mnożenia są wszystkie liczby oprócz zera. W algebrze funkcji (X X, ) odwracalne są jedynie bijekcje. 4

5 Grupy Def. Algebrę (G, ), gdzie - działanie binarne, nazywamy grupą, jeżeli 1. działanie jest łączne 2. istnieje element neutralny działania 3. każdy element ze zbioru G jest odwracalny. Grupę (G, ) nazywamy przemienną (abelową), jeśli działanie jest przemienne. Przykłady grup: (Z, +), (R, +), (R \ {0}, ), (Z n, + n ) = ({0, 1,..., n 1}, dodawanie modulo n), D n =(zbiór izometrii n-kąta foremnego, złożenie izometrii), S n =(permutacje zbioru n-elementowego, złożenie permutacji). Pierścienie i ciała Def. Algebrę (P,, ), gdzie, - działania binarne, nazywamy pierścieniem, jeżeli 1. (P, ) jest grupą przemienną 2. działanie jest łączne 3. działanie jest rozdzielne względem działania. Pierścień (P,, ) nazywamy przemiennym, jeśli działanie jest przemienne. Element neutralny działania nazywamy zerem pierścienia (ozn. 0). Jeśli istnieje element neutralny działania, to nazywamy go jedynką pierścienia (ozn. 1). Przykłady pierścieni: (Z, +, ), (Q, +, ), (R, +, ), (R[x], +, ) (Z n, + n, n) Pierścień (P,, ) nazywamy ciałem, jeśli (P \ {0}, ) jest grupą przemienną. Przykłady ciał: (Q, +, ), (R, +, ), (Z p, + p, p), gdzie p - liczba pierwsza. 5