Neoklasyczny model wzrostu
|
|
- Łukasz Rybak
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Neoklasyczny model wzrostu Krzysztof Makarski 1 Model 1.1 Za lożenia modelu Wst ep Ma wiele cech wspólnych z modelem Solowa. Oszczedności (oraz praca) sa endogeniczne. Oparty jest na mikropodstawach. Ponieważ oparty jest na mikropodstawach wprost mierzy dobrobyt konsumentów co daje naturalne kryterium oceny różnych polityk gospodarczych. W lasność kapita lu W podstawowej wersji modelu zak lada sie, że konsumenci posiadaja kapita l i wynajmuja go firmom. Latwo można pokazać, że jeżeli nie ma frykcji finansowych to nie ma znaczenia czy firmy czy gospodarstwa domowe sa w laścicielami kapita lu (pokaż to). Gospodarstwa domowe Reprezentatywne gospodarstwo domowe oferuje podaż pracy lt s firmom w zamian za p lace realna w t. Gospodarstwa domowe sa w laścicielami kapita lu i podejma decyzje inwestycyjne (wybieraja oszczedności - gospodarka zamknieta wiec oszczedności sa równe inwestycjom). Firmy przekazuja gospodarstwom domowym zyski w postaci dywidendy Π t (w równowadze doskonale konkurencyjnej zyski sa zero). Gospodarstwa domowe żyja wiecznie i wybieraja ścieżke konsumpcji c = (c 0, c 1, c 2,..., c t,...) oraz pracy l = (l0, l 1, l 2,..., l t,...). Chwilowa funkcja użyteczności o okresie t, u(c t, l t ) (na poczatku za lożymy dla uproszczenia u(c t, l t ) = log c t ) spe lnia > 0, u l (t) < 0 oraz u cc (t) < 0, gdzie i u l (t) to pochodne funkcji użyteczności ze wzgledu na odpowiednio c t i l t, a u cc to druga pochodna funkcji użyteczności po c t. (dodatnia i malejaca krańcowa użyteczność konsumpcji oraz ujemna krańcowa użyteczność z pracy). Gospodarstwa domowe sa niecierpliwe, zatem z punktu widzenia okresu 0 jednostka użyteczności w okresie t jest warta w okresie 0 β t. Użyteczność w cyklu życia dana jest za pomoca lub można to wyrazić krócej U( c, l) = β 0 u(c 0, l 0 ) + β 1 u(c 1, l 1 ) β t u(c t, l t ) +... U( c, l) = β t u(c t, l t ) Co okres gospodarstwa domowe uzyskuja dochody z wynajmu pracy w t l t oraz z wynajmu kapita lu r t k t, gdzie r t oznacza stope wynajmu kapita lu (nie jest to stopa procentowa). Dochody te sa albo skonsumowane albo przeznaczone na inwestycje x t. c t + x t = w t l t + r t k t + Π t (1) 1
2 Kapita l akumulowany jest zgodnie ze standardowym równaniem ruchu k t+1 = (1 δ)k t + x t (2) gdzie δ stopa deprecjacji kapita lu. Czasami wygodne jest wyrugowanie x t przez podstawienie z jednego z (2) do (1), wówczas otrzymujemy c t + k t+1 = w t l t + (r t + 1 δ)k t + Π t Problem gospodarstwa domowego ma postać: β t u(c t, l t ) {c t,k t,l t} p.w.c t + k t+1 = w t l t + (r t + 1 δ)k t + Π t l t [0, 1], k 0 dane Rozwiazanie problemu konsumenta. Aby rozwiazać problem konsumenta skonstruujemy funkcje Lagranża (oznaczmy przez λ t mnożnik Lagranża na ograniczeniu budżetowym z okresu t): L = β t u(c t, l t ) λ t (c t + k t+1 w t l t (r t + 1 δ)k t Π t ) co można też zapisać w d luższej, ale bardziej przejrzystej wersji L = (β 0 u(c 0, l 0 ) +...β t u( c t, l t ) + β t+1 u(c t+1, l t+1 ) +...) [ λ 0 (c 0 + k 1 w 0 l 0 (r δ)k 0 Π λ t ( c t + k t+1 w t l t (r t + 1 δ)k t Π t + ] +λ t+1 (c t+1 + k t+2 w t+1 l t+1 (r t+1 + (1 δ)) k t+1 ) Π t Nastepnie liczymy warunki pierwszego rzedu (czyli pochodne funkcji Lagranża ze wzgledu na c t i k t+1 ). Powyżej zaznaczone sa miejsca gdzie wystepuj a te zmienne: oraz warunek transwersalności 1 Upraszczajac L ct = β t λ t = 0 L lt = β t u l (t) + λ t w t = 0 L kt+1 = λ t + λ t+1 (r t δ) = 0 λ t k t+1 = 0 t β t = λ t β t u l (t) = λ t w t λ t = λ t+1 (r t δ) λ tk t+1 = 0 t Nastepnie einujemy λy. Podstawiajac z pierwszego równania pod λ t = β t i λ t+1 = β t+1 u c (t + 1) otrzymujemy β t u l (t) = β t w t β t = β t+1 u c (t + 1) (r t δ) t βt k t+1 = 0 1 Warunek transwersalności nie b edzie wyprowadzany. Jest to warunek konieczny i s l uży do wykluczenia pewnych ścieżek (np. takiej prawie nic nie konsumujemy i tylko oszcz edzamy i tak w nieskończoność, co oczywiście jest nieoptymalne). Warunku tego należy po prostu nauczyć si e na pami eć. 2
3 Upraszczajac otrzymujemy u l (t) = w t βu c (t + 1) = (r t δ) t βt k t+1 = 0 Podsumowujac z problemu konsumenta otrzymujemy u l (t) = w t (3) βu c (t + 1) = (r t δ) (4) t βt k t+1 = 0 (5) Z problemu konsumenta otrzymujemy (3)-(5). Zauważ, że jeżeli u(c t, l t ) = log c t to u l (t) = 0 co daje l t = 1 (leży na ograniczeniu). Interpretacja warunków pierwszego rzedu Zauważ, że warunek (3) to jest identyczny do warunku na optymalny wybór otrzymywanego na kursie średnio-zaawansowanej mikroekonomii, który mówi, że wartość bezwzgledna MRS równa jest stosunkowi cen (tutaj w t ) MRS (lt,c t) = u l (t) = w t (6) Podobna sytuacja wystepuje w przypadku warunku (4). Wówczas mamy wybór pomiedzy konsumpcja dziś i jutro, zatem z lewej strony bedziemy mieli MRS (ct,c t+1). Pytanie co jest stosunkiem cen. Zauważmy, że cena konsumpcji dziś i jutro musi być wyrażona w tych samych jednostkach, niech to bed a jednostki dobra konsumpcyjnego w okresie t. Z definicji cena dobra c t wynosi 1. Jeżeli konsument natomiast zrezygnuje z konsumpcji jednostki dobra dziś to jutro bedzie móg l kupić (r t δ) jednostek c t+1. Oznacza to że 1 jednostka dobra c t+1 w okresie t kosztuje r t+1+1 δ. Zatem otrzymujemy MRS(ct,c t+1) = βu c (t + 1) = 1 1 = r t δ (7) r t+1+1 δ Również warunek transwersalności (5) ma interpretacje ekonomiczna. t βt k t+1 = 0 (8) Zauważ, że β t oznacza krańcowa użytecznościa. Zatem ten warunek oznacza, że w nieskończoności gospodarstwa domowe trzymaja kapita l tylko wtedy jeżeli nie jest on nic wart. Firmy Firmy wynajmuja kapita l i prace od gospodarstw domowych i wykorzystuja je do produkcji. Celem firm jest maksymalizacja zysk. Mamy do czynienia z wieloma ma lymi firmami, które sa ceno-biorcami. Celem firm jest maksymalizacja zysku. W każdym okresie reprezentatywna firma rozwiazuje nastepuj acy problem (y t,l t,k t) y t r t k t w t l t p.w. y t = A t k α t l 1 α t Rozwiazuj ac za pomoca metody mnożników Lagranża dostajemy nastepuj ace warunki pierwszego rzedu r t = A t αkt α 1 lt 1 α (9) w t = A t (1 α)kt α lt α (10) oraz dodatkowo mamy funkcj e produkcji y t = A t k α t l 1 α t (11) 3
4 Oczyszczanie sie rynków Model domkniety jest za pomoca warunków na oczyszczanie sie rynków. Mamy w modelu trzy rynki do oczyszczenia: rynek dóbr, rynek pracy i rynek wynajmu kapita lu. Warunek na oczyszczanie sie rynku dóbr ma nastepuj ac a postać c t + x t = y t (12) Podstawiajac z (2) c t + k t+1 = y t + (1 δ)k t (13) otrzymujemy Natomiast warunek oczyszczania sie rynku pracy i rynku wynajmu kapita lu wprowadzamy za pomoca notacji. Zauważ, że zarówno w problemie gospodarstwa domowego oznaczamy podaż pracy i kapita lu, odpowiednio l t i k t ta sama litera co popyt na prace i kapita l w problemie firmy. 1.2 Równowaga Równowaga doskonale konkurencyjna Definicja 1.1 Równowaga doskonale konkurencyjna sk lada sie z endogenicznej alokacji {c t, l t, k t+1, y t } oraz endogenicznych cen {r t, w t } spe lniajacych (przy danych k 0, A t, β, δ) {c t, l t, k t+1 } rozwiazuje problem konsumenta przy danych cenach oraz k 0. {c t,k t+1,l t} β t u(c t, l t ) p.w.c t + k t+1 = w t l t + (r t + 1 δ)k t + Π t l t [0, 1], k 0 dane dla każdego t, (l t, k t, y t ) rozwiazuje problem producenta przy danych cenach (y t,l t,k t) y t r t k t w t l t p.w.y t = A t k α t l 1 α t rynki sie oczyszczaja c t + k t+1 = y t + (1 δ)k t W lasności modelu Równania opisujace gospodarke Problem konsumenta. Z problemu konsumenta otrzymaliśmy (3)-(5). Problem producenta u l (t) βu c (t + 1) Z problemu producenta otrzymaliśmy (9)-(11) = w t (14) = (r t δ) (15) t βt u (t) k t+1 = 0 (16) r t = A t αkt α 1 lt 1 α (17) w t = A t (1 α)kt α lt α (18) y t = A t kt α lt 1 α (19) 4
5 Warunek na oczyszczanie si e rynków (ograniczenie zasobowe) c t + k t+1 = A t k α t l 1 α t + (1 δ)k t (20) Zachowanie gospodarki w warunkach równowagi konkurencyjnej jest w pe lni opisane równaniami (14)-(20). Zauważ, że gdybyśmy dodatkowo chcieli zbadać zachowanie inwestycji to moglibyśmy wykorzystać do tego równanie na akumulacj e kapita lu (2). 1.3 W lasności Efektywna alokacja Nast epnie sprawdzimy czy alokacja doskonale konkurencyjna jest efektywna. Najpierw musimy zdefiniować co to znaczy efektywna. Zauważ, że ponieważ mamy do czynienia z modelem z reprezentatywnym konsumentem alokacja efektywna powinna maksymalizować jego użyteczność przy danym ograniczeniu zasobowym. Definicja 1.2. Alokacja {c t, l t, k t, y t } jest efektywna, jeżeli rozwiazuje problem spo lecznego planisty β t u(c t, l t ) {c t,k t+1,l t,y t} p.w. c t + k t+1 = A t kt α lt 1 α y t = A t kt α lt 1 α l t [0, 1], k 0 dane + (1 δ)k t Zauważ, że funkcja produkcji (y t = A t kt α lt 1 α ) nie jest ograniczeniem wiaż acym, ponieważ y t nie wystepuje ani w żadnym innym ograniczeniu ani w funkcji celu. Zatem konstruujac Lagranżjan możemy zignorować to równanie. Problem przybiera postać β 0 u(c 0 ) +...β t u(c t ) + β t+1 u(c t+1 ) +... {c t,k t+1,l t} p.w. c 0 + k 1 = A 0 k α 0 l 1 α 0 + (1 δ)k 0 c 1 + k 2 = A 1 k α 1 l 1 α 1 + (1 δ)k 1 c t + k t+1 = A t k α t l 1 α t.. + (1 δ)k t Lagranżjan ( ) L = β 0 u(c 0, l 0 ) +...β t u( c t, l t ) + β t+1 u(c t+1.l t+1 ) +... [ λ 0 (c 0 + k 1 A 0 k0 α l0 1 α (1 δ)k 0 ) λ t ( c t + k t+1 A t kt α 1 α l t (1 δ)kt )+ ] + λ t+1 (c t+1 + k t+2 A t+1 kt+1 α lt+1 1 α (1 δ) k t+1 ) +... Skracajac zapis otrzymujemy L = β t u(c t, l t ) λ t [c t + k t+1 A t kt α lt 1 α (1 δ)k t ] Nastepnie policzymy warunki pierwszego rzedu (pochodne Lagranżjana ze wzgledu na c t, l t i k t+1 ). Powyżej zaznaczone sa miejsca gdzie wystepuj a te zmienne: L ct = β t λ t = 0 L lt = β t u l (t) + λ t (1 α)a t kt α lt α = 0 L kt+1 = λ t + λ t+1 (A t+1 αkt+1 α 1 t δ) = 0 5
6 oraz warunek transwersalności 2 Upraszczajac λ t k t+1 = 0 t β t = λ t β t u l (t) = λ t (1 α)a t kt α lt α λ t = λ t+1 (A t+1 αkt+1 α 1 t δ) tk t+1 t = 0 Nastepnie einujemy λy. Podstawiajac z pierwszego równania pod λ t = β t i λ t+1 = β t+1 u c (t + 1) otrzymujemy Upraszczajac otrzymujemy β t u l (t) = β t (1 α)a t kt α lt α β t = β t+1 u c (t + 1) (A t+1 αkt+1 α 1 t δ) t βt u (t) k t+1 = 0 u l (t) βu c (t + 1) = (1 α)a t k α t l α t (21) = A t+1 αk α 1 t+1 l1 α t δ (22) Ponadto mamy jeszcze funkcj e produkcji oraz ograniczenie zasobowe Optymalna alokacja jest w pe lni opisana równaniami (21)-(25). t βt k t+1 = 0 (23) y t = A t k α t l 1 α t (24) c t + k t+1 = A t k α t l 1 α t + (1 δ)k t (25) Interpretacja warunków pierwszego rzedu Warunek optymalności wewnatrzokresowej wymaga aby krańcowa stopa substytucji (MRS (lt,c t)) jest równa krańcowej stopie technicznej substytucji (MRT S (lt,c t)) po jakiej technologia pozwala wymieniać czas wolny na konsumpcje, czyli krańcowej produktywności pracy. MRS(lt,c u l (t) t) = = (1 α)a tkt α lt α = MRT S(lt,c t) (26) Natomiast warunek optymalności miedzyokresowej mówi, że krańcowa stopa substytucji pomiedzy konsumpcja dziś a konsumpcja jutro musi być równa stopie transformacji po jakiej można wymieniać konsumpcje dziś na konsumpcje jutro (MRT S ct,c t+1 ). MRT S ct,c t+1 pokazuje ile jednostek c t+1 możemy uzyskać - przy danej technologii - za jednostke c t. MRS (ct,c t+1) = MRT S (ct,c t+1) (27) Aby znaleźć MRT S sprawdzimy co sie stanie jeżeli zrezygnujemy z jednostki konsumpcji dziś. W tym celu wykorzystamy warunek c t + k t+1 = y t + (1 δ)k t = A t kt α lt 1 α + (1 δ)k t. Zauważmy, że jeżeli tej jednostki konsumpcji nie skonsumujemy to bedziemy mogli ja zainwestować, co da nam jutro jednostke kapita lu wiecej. Zatem liczba jednostek konsumpcji jutro zwiekszy sie o A t+1 αkt+1 α 1 l1 α t+1 + (1 δ) MRT S(ct,c t+1) = At+1 αkt+1 α 1 l1 α t+1 + (1 δ) 2 Tak jak poprzednio nie b edziemy wyprowadzali tego warunku. 6
7 Ponieważ otrzymujemy MRS(ct,c t+1) = βu c (t + 1) βu c (t + 1) = A t+1αkt+1 α 1 l1 α t+1 + (1 δ). Twierdzenia Dobrobytu Możemy teraz sformu lować i udowodnić I i II Tw. Dobrobytu. Zaczniemy od I Twierdzenia. Twierdzenie 1.1 (I Twierdzenie Dobrobytu, FWT). Każda równowaga doskonale konkurencyjna (przy pewnych za lożeniach) jest efektywna. Dowód. Aby udowodnić to twierdzenie wystarczy pokazać, że jeżeli równania (3)-(20) sa spe lnione to spe lnione sa równania (21)-(25). Podstawiajac pod w t i r t z (17) i (18) do równań (14) i (15) otrzymujemy równania (21) i (22) u l (t) βu c (t + 1) = w t = A t (1 α)k α t l α t (28) = r t δ = A t αk α 1 t δ (29) Ponieważ pozosta le równania maja taka sama postać w obydwu wersjach to alokacja doskonale konkurencyjna jest efektywna. Teraz II Twierdzenie Dobrobytu. Twierdzenie 1.2 (II Twierdzenie Dobrobytu, SWT). ]. Dowolna alokacja efektywna może być zdecentralizowana jako alokacja doskonale konkurencyjna. Dowód. Rozważmy alokacje efektywna {c t, l t, k t, y t }. Wiemy, że spe lnia ona warunki (21)-(25). Nastepne możemy skonstruować ceny {w t, r t } wykorzystujac (17)-(18). Wówczas alokacja efektywna oraz te ceny spe lniaja (14)-(20), wiec stanowia równowage doskonale konkurencyjna. Obydwa twierdzenia sa ważne. Pierwsze mówi, że zasoby nie sa marnowane w równowadze doskonale konkurencyjnej. Drugie daje nam równoważność pomiedzy alokacja efektywna a doskonale konkurencyjna. Dzieki temu czesto możemy rozwiazać zwykle prostszy problem centralnego planisty zamiast szukać równowagi bezpośrednio. Potem wystarczy tylko skonstruować ceny wykorzystujac równania (17)-(18). Dodatkowo (równie ważne) wskazuja one na informacyjna role cen w równowadze doskonale konkurencyjnej. Wszelkie zaburzenia systemu cenowego prowadza do nieefektywności. Dynamika w modelu Ramsey a Za lóżmy u(c t, l t ) = log c t oraz δ = 1. Ten przypadek można rozwiazać analitycznie. Problem spo lecznego planisty {c t,k t+1,l t} β t ln c t p.w. c t + k t+1 = A t kt α lt 1 α l t [0, 1] Ponieważ l t nie wyst epuje w funkcji użyteczności to l t = 1 + (1 δ)k t Nast epnie wykorzystamy metod e wyedukowanego zgadni ecia. Zgadujemy, że stopa oszcz edności s jest sta la c t = (1 s) y t = sa t k α t 7
8 a nastepnie sprawdzimy czy warunki (21)-(25) sa spe lnione. Z (25) podstawiajac δ = 1 otrzymujemy oraz z (22) c t + k t+1 = y t (1 s) A t kt α + k t+1 = A t kt α k t+1 = sa t kt α = sy t c t+1 = A t+1 αkt+1 α 1 βc t (1 s)a t+1 kt+1 α β(1 s)a t kt α = A t+1 αk α 1 t+1 k t+1 = αβa t k α t co daje oraz TVC (23) s = αβ 1 t βt k t+1 = β t 1 c t t (1 αβ)a t kt α αβa t kt α Oznacza to, że nasze zgadni ecie okaza lo si e prawid lowe = t β t αβ (1 αβ) = 0 k t+1 = αβa t k α t Oznacza to, że stopa oszcz edności jest sta la i dla tych parametrów model Ramsey a zachowuje si e tak jak model Solowa. Rysunek Podstawowa zaleta modelu Ramsey a w stosunku do modelu Solowa sa mikropodstawy (co pozwala na analize skutków polityki) oraz metryke (dobrobyt konsumenta) pozwalajac a porównywać różne polityki. Przyk lad Rozważ model Ramseya o parametrach β = 0, 99, α = 0, 36, A = 1, δ = 0, 07 Wnioski warunki pierwszego rz edu doprowadź do dwóch równań z dwoma niewiadomymi c t oraz k t. zgadujac c 0 symuluj gospodarke na 200 okresów w przód. tak dobierz c 0 aby przynajmniej przez 150 okresów gospodarka znajdowa la sie na ścieżce do stanu ustalonego. Model Ramsey a replikuje stylizowane fakty. Jest to model egzogenicznego wzrostu (A t jest egzogeniczne). Ponieważ ma mikropodstawy możemy wykorzystywać go do analizy polityki. Ponieważ mamy w modelu użyteczność reprezentatywnego konsumenta to możemy wykorzystać ja jako kryterium do porównywania różnych polityk ilościowo. Podkreśla informacyjna role cen (jako przekaźnika informacji od firm do gospodarstw domowych). 8
9 1.4 Podsumowanie Podsumowanie Model Ramsey a to model który jest zbudowany na podstawach mikroekonomicznych. Bardzo wiele kluczowych modeli makroekonomicznych bazuje na nim. Pozwala na ilościowe porównywanie polityk. FWT oraz SWT sa spe lnione, zatem nie musimy znajdować równowagi bezpośrednio. Jak pokażemy później model można rozwiazać za pomoca iteracji funkcji wartości. W lasności można analizować za pomoca narzedzi matematycznych. Tylko prosty przyk lad można rozwiazać analitycznie. 2 Dodatek 2: Model Ramsey a w czasie ciag lym 2.1 Hamiltonian Continuous time Ramsey model. Continuous time Ramsey model. Consider the standard continuous Ramsey model with the utility function u(c t ) = c1 θ t 1 θ and the production function y t = A t k α t l 1 α t. Define a social planner allocation. Answer. Social planner allocation is an allocation (k t, c t, y t, l t, i t ) such that it satisfies the social planner problem 0 subject to e ρt u (c t ) dt i t + c t = y t = f(k t ) k t = i t (n + δ)k t Define an equilibrium in this economy. Answer. Denote N population, n growth rate of population, l t average hours. The production function in aggregate form Y t = F (K t, N t l t ), using the CRS and dividing both sides by N t we get y t = F (k t, l t ). Since in equilibrium l t = 1 (exogenous labor) y t = f(k t ) F (k t, 1) A competitive equilibrium is an allocation (k t, c t, y t, l t, i t ) and prices (w t, r t ) satisfying (k t, i t, c t ) solves the consumer problem given prices 0 subject to (y t, k t, l t ) solves the firm problem given prices e ρt u (c t ) dt i t + c t = w t + r t k t k t = i t (n + δ)k t y t w t l t r t k t subject to y t = F (k t, l t ) 9
10 markets clear c t + i t = y t Using Hamiltonian find the dynamic behavior of this economy. Answer. From firms problem w t = λ t F l (k t, l t ) r t = λ t F k (k t, l t ) λ t = 1 First notice that since in equilibrium l t = 1 we get r t = F k (k t, 1) = f (k) And using Euler s theorem for homogeneous functions we get Substituting Simplifying the consumers problem we get. F (k t, l t ) = k t F k (k t, l t ) + l t F l (k t, l t ) f(k t ) = k t f (k t ) + F l (k t, l t ) w t = F l (k t, l t ) = f(k t ) k t f (k t ) Constructing the present value Hamiltonian FOCs are: Solving 0 e ρt u (c t ) dt subject to k t + c t = w t + r t k t (n + δ)k t H = e ρt u(c t ) + λ t (w t c t + r t k t (n + δ) k t ) H c = 0 λ t = H k k t + c t = w t + r t k t (n + δ)k t t λ t k t = 0 e ρt u (c t ) = λ t λ t = λ t (r t (n + δ)) Since u(c t ) = c1 σ t 1 σ Substituting and simplifying λ t = c σ t e ρt λ t = σc σ 1 t e ρt ρc σ t e ρt λ t = λ t (r t (n + δ)) σc σ 1 t e ρt ρc σ t e ρt = e ρt c σ t (r t (n + δ)) σc 1 t ρ = (r t (n + δ)) c t = 1 σ [r t (n + δ + ρ)] 10
11 Substituting for r t from the firm problem c t = 1 σ [f (k t ) (n + δ + ρ)] Or alternatively we can constructing the current value Hamiltonian FOCs are: Solving H = u(c t ) + λ t (w t c t + r t k t (n + δ) k t ) H c = 0 λ t = ρλ t H k k t + c t = w t + r t k t (n + δ)k t t λ t k t = 0 u (c t ) = λ t λ t = ρλ t λ t (r t (n + δ)k t ) Since u(c t ) = c1 σ t 1 σ Substituting and simplifying Substituting for r t from the firm problem λ t = c σ t λ t = σct σ 1 σc σ 1 t = ρc σ t c σ t (r t (n + δ)) c t = 1 σ [r t (n + δ + ρ)] c t = 1 σ [f (k t ) (n + δ + ρ)] Next take k t + c t = w t + r t k t (n + δ)k t and substitute from the firms problem k t = f(k t ) k t f (k t ) + f (k t )k t c t (n + δ)k t k t = f(k t ) c t (n + δ)k t Thus the dynamics of the economy in competitive equilibrium can be described by the following equations c t = 1 σ [f (k t ) (n + δ + ρ)] k t = f(k t ) c t (n + δ)k t plus the TVC. Notice that this conditions are exactly the same as for the social planner problem. Thus the rest of the analysis we made earlier applies here (saddle path stability). 11
w modelu równowagi Zaawansowana Makroekonomia: Pieniadz 1 Model z ograniczeniem CIA Krzysztof Makarski Wprowadzenie Wst ep Model z pieniadzem.
Zaawansowana Makroekonomia: Pieniadz w modelu równowagi ogólnej Krzysztof Makarski Model z ograniczeniem CIA Wprowadzenie Wst ep Model z pieniadzem. Ocena modelu Optymalna polityka pieni eżna Koszty nieoptymalnej
Bardziej szczegółowoMakroekonomia: Frykcje finansowe w postaci ograniczeń zastawowych
Makroekonomia: Frykcje finansowe w postaci ograniczeń zastawowych Krzysztof Makarski 1 Ograniczenie kredytowe 1.1 Wst ep Wprowadzenie Model RBC z frykcjami finansowymi. Żeby wyrazić d lug nominalnie wprowadzamy
Bardziej szczegółowoZaawansowana Makroekonomia: Wprowadzenie do teorii wzrostu
Zaawansowana Makroekonomia: Wprowadzenie do teorii wzrostu Krzysztof Makarski 1 Wst ep Jedna z ważniejszych cech światowej gospodarki w XX w. sa różnice w realnych dochodach pomie- dzy krajami. Pomimo,
Bardziej szczegółowoMikro II: Rynek i Preferencje
Mikro II: Rynek i Preferencje Krzysztof Makarski 1 Rynek Wst ep W tym rozdziale zasygnalizowane sa problemy jakimi bedziemy sie zajmować. Pytania jakie b edziemy sobie zadawać. Sposób w jaki b edziemy
Bardziej szczegółowoPrzyk ladowe Kolokwium II. Mikroekonomia II. 2. Na lożenie podatku na produkty produkowane przez monopol w wysokości 10 z l doprowadzi do
Przyk ladowe Kolokwium II Mikroekonomia II Imi e i nazwisko:...... nr albumu:... Instrukcje. Bez oszukiwania. Jeżeli masz pytanie podnieś r ek e. Cz eść I. Test wyboru. 1. W zmonopolizowanej branży cena
Bardziej szczegółowoMikro II: Rynek i Preferencje
Mikro II: Rynek i Preferencje Jacek Suda (slajdy: Krzysztof Makarski) 1 / 40 Rynek Wst ep W tym rozdziale zasygnalizowane sa problemy jakimi bedziemy sie zajmować. Pytania jakie b edziemy sobie zadawać.
Bardziej szczegółowoEkonomia matematyczna i dynamiczna optymalizacja
Ekonomia matematyczna i dynamiczna optymalizacja Ramy wyk ladu i podstawowe narz edzia matematyczne SGH Semestr letni 2012-13 Uk lady dynamiczne Rozwiazanie modelu dynamicznego bardzo czesto można zapisać
Bardziej szczegółowoMikro II: Technologia, Maksymalizacja zysku i Minimalizacja
Mikro II: Technologia, Maksymalizacja zysku i Minimalizacja kosztów Krzysztof Makarski 18 Technologia Wst ep Przypomnijmy: Teoria konsumenta w szczególności krzywa popytu Teraz krzywa podaży (analogicznie)
Bardziej szczegółowoMikro II: Technologia, Maksymalizacja zysku i Minimalizacja kosztów.
Mikro II: Technologia, Maksymalizacja zysku i Minimalizacja kosztów. Jacek Suda (slajdy: Krzysztof Makarski) 1 / 39 Technologia Wst ep. Przypomnijmy: Teoria konsumenta. w szczególności krzywa popytu. Teraz
Bardziej szczegółowoMikro II: Popyt, Preferencje Ujawnione i Równanie S luckiego
Mikro II: Popyt, Preferencje Ujawnione i Równanie S luckiego Krzysztof Makarski 6 Popyt Wstep Przypomnijmy: Podstawy teoria konsumenta. Zastosowanie wszedzie. W szczególności poszukiwanie informacji zawartych
Bardziej szczegółowoWyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego
Wyk lad 8 Rzad macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego 1 Określenie rz edu macierzy Niech A bedzie m n - macierza Wówczas wiersze macierzy A możemy w naturalny sposób traktować jako wektory przestrzeni
Bardziej szczegółowow teorii funkcji. Dwa s lynne problemy. Micha l Jasiczak
Równania różniczkowe czastkowe w teorii funkcji. Dwa s lynne problemy. Micha l Jasiczak Horyzonty 2014 Podstawowy obiekt wyk ladu: funkcje holomorficzne wielu zmiennych Temat: dwa problemy, których znane
Bardziej szczegółowoMikro II: Oligopol. Jacek Suda (slajdy: Krzysztof Makarski) 1 / 31
Mikro II: Jacek Suda (slajdy: Krzysztof Makarski) 1 / 31 Wst ep G lówny obszar zainteresowania to porównanie cen, ilości oraz efektywności poszczególnych struktur rynkowych. Poznaliśmy zachowanie ga l
Bardziej szczegółowoMikro II: Wymiana i Asymetria Informacji
Mikro II: Wymiana i Asymetria Informacji Krzysztof Makarski 29 Wymiana Wst ep. Do tej pory zajmowaliśmy sie g lównie analiza pojedynczych rynków. Analiza w równowadze czastkowej - teoria jednego wyizolowanego
Bardziej szczegółowoZaawansowana Makroekonomia: Model Realnego Cyklu Koniunkturalnego
Zaawansowana Makroekonomia: Model Realnego Cyklu Koniunkuralnego Krzyszof Makarski 1 Model RBC Wprowadzenie ˆ Przedsawiamy najprosszy dynamiczny sochasyczny model równowagi ogólnej (model DSGE, kóry jes
Bardziej szczegółowoMikro II: Krzywe kosztów, Podaż firmy i Podaż ga l
Mikro II: Krzywe kosztów, Podaż firmy i Podaż ga l ezi. Jacek Suda (slajdy: Krzysztof Makarski) 1 / 59 Krzywe kosztów Wst ep Celem jest wyprowadzenie funkcji podaży i jej w lasności. Funkcje podaży wyprowadzamy
Bardziej szczegółowoMikro II: Wymiana i Asymetria Informacji
Mikro II: i Asymetria Informacji Jacek Suda (slajdy: Krzysztof Makarski) 1 / 40 Wst ep. Do tej pory zajmowaliśmy sie g lównie analiza pojedynczych rynków. Analiza w równowadze czastkowej - teoria jednego
Bardziej szczegółowoWNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ
WNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ Dana jest populacja generalna, w której dwuwymiarowa cecha (zmienna losowa) (X, Y ) ma pewien dwuwymiarowy rozk lad. Miara korelacji liniowej dla zmiennych (X, Y
Bardziej szczegółowoRozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym.
Rozdzia l 11 Przestrzenie Euklidesowe 11.1 Definicja, iloczyn skalarny i norma Definicja 11.1 Przestrzenia Euklidesowa nazywamy par e { X K,ϕ }, gdzie X K jest przestrzenia liniowa nad K, a ϕ forma dwuliniowa
Bardziej szczegółowoMikro II: Popyt, Preferencje Ujawnione i Równanie S luckiego
Mikro II: Popyt, Preferencje Ujawnione i Równanie S luckiego Jacek Suda (slajdy: Krzysztof Makarski) 1 / 47 Popyt Wst ep Przypomnijmy: Podstawy teoria konsumenta. Zastosowanie wsz edzie. W szczególności
Bardziej szczegółowoMikro II: Popyt, Preferencje Ujawnione i Równanie S luckiego
Mikro II: Popyt, Preferencje Ujawnione i Równanie S luckiego Krzysztof Makarski 6 Popyt Wstep Przypomnijmy: Podstawy teoria konsumenta. Zastosowanie wszedzie. W szczególności poszukiwanie informacji zawartych
Bardziej szczegółowoMikroekonomia. Wykład 4
Mikroekonomia Wykład 4 Ekonomia dobrobytu Na rynku doskonale konkurencyjnym, na którym występuje dwóch konsumentów scharakteryzowanych wypukłymi krzywymi obojętności, równowaga ustali się w prostokącie
Bardziej szczegółowoHistoria ekonomii. Mgr Robert Mróz. Leon Walras
Historia ekonomii Mgr Robert Mróz Leon Walras 06.12.2016 Leon Walras (1834 1910) Jeden z dwóch ojców neoklasycznej mikroekonomii (drugim Marshall) Nie był tak dobrym matematykiem jak niektórzy inni ekonomiści
Bardziej szczegółowoKolokwium I z Makroekonomii II Semestr zimowy 2014/2015 Grupa I
Kolokwium I z Makroekonomii II Semestr zimowy 2014/2015 Grupa I Czas trwania kolokwium wynosi 45 minut. Należy rozwiązać dwa z trzech zamieszczonych poniżej zadań. Za każde zadanie można uzyskać maksymalnie
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera
Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu
Bardziej szczegółowoWprowadzenie z dynamicznej optymalizacji
Wprowadzenie z dynamicznej optymalizacji Lukasz Woźny 29 kwietnia 2007 Spis treści 1 Optymalizacja statyczna a optymalizacja dynamiczna 2 1.1 Ekstrema lokalne funkcji wielu zmiennych - statyka...... 2
Bardziej szczegółowocelu przyjmijmy: min x 0 = n t Zadanie transportowe nazywamy zbilansowanym gdy podaż = popyt, czyli n
123456789 wyk lad 9 Zagadnienie transportowe Mamy n punktów wysy lajacych towar i t punktów odbierajacych. Istnieje droga od każdego dostawcy do każdego odbiorcy i znany jest koszt transportu jednostki
Bardziej szczegółowoWyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna
Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy
Bardziej szczegółowoDyskretne modele populacji
Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 19 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których
Bardziej szczegółowoMikroekonomia. Wykład 5
Mikroekonomia Wykład 5 Model czystej wymiany Brak produkcji, tylko zasoby początkowe, czyli nie wiadomo jak czynniki produkcji zostały przekształcone w produkt końcowy. Równowaga ogólna: wszystkie rynki
Bardziej szczegółowoWzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych
Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych Pawe l Józiak 007-- Poje cia wste pne Wielomianem zmiennej rzeczywistej t nazywamy funkcje postaci:
Bardziej szczegółowoSterowanie optymalne dla uk ladów nieliniowych. Zasada maksimum Pontriagina.
Sterowanie optymalne dla uk ladów nieliniowych. Zasada maksimum Pontriagina. Podstawowy problem sterowania optymalnego dla uk ladów nieliniowych W podstawowym problemie sterowania optymalnego minimalizacji
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Bardziej szczegółowoUzgadnianie wyrażeń rachunku predykatów. Adam i orzeszki. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010
Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 1 Podstawienia Motywacja Podstawienie 2 Sk ladanie podstawień Motywacja Z lożenie podstawień
Bardziej szczegółowodr Bartłomiej Rokicki Katedra Makroekonomii i Teorii Handlu Zagranicznego Wydział Nauk Ekonomicznych UW
Katedra Makroekonomii i Teorii Handlu Zagranicznego Wydział Nauk Ekonomicznych UW Międzyokresowy handel i konsumpcja Międzyokresowy handel występuje gdy zasoby mogą być transferowane w czasie, czyli gdy
Bardziej szczegółowoMnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym
Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania optymalnego
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Formy kwadratowe I
Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można
Bardziej szczegółowoDyskretne modele populacji
Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 17 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Operacje elementarne na uk ladach wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wyróżniamy nastepuj ace operacje
Bardziej szczegółowoSterowalność liniowych uk ladów sterowania
Sterowalność liniowych uk ladów sterowania W zadaniach sterowania docelowego należy przeprowadzić obiekt opisywany za pomoc a równania stanu z zadanego stanu pocz atkowego ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), t [t,
Bardziej szczegółowoRachunek zdań - semantyka. Wartościowanie. ezyków formalnych. Semantyka j. Logika obliczeniowa. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010
Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 1 formu l rachunku zdań Wartościowanie i sta le logiczne Logiczna równoważność 2 Model formu ly Formu la spe lniona Formu la spe
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania
Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania 1 Przekszta lcenia liniowe i ich w lasności Definicja 9.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Przekszta lcenie f : V W spe lniajace warunki:
Bardziej szczegółowoTeoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej
Teoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej 27-28/10/09 ZBIORY MIERZALNE WZGLȨDEM MIARY ZEWNȨTRZNEJ Niech µ bȩdzie miar
Bardziej szczegółowoep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 2 Tablice trwania życia
Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 2 Tablice trwania życia 1 Cele (na dzisiaj): Zrozumieć w jaki sposób można wyznaczyć przysz ly czas życia osoby w wieku x. Zrozumieć parametry
Bardziej szczegółowoWyk lad 3 Wyznaczniki
1 Określenie wyznacznika Wyk lad 3 Wyznaczniki Niech A bedzie macierza kwadratowa stopnia n > 1 i niech i, j bed a liczbami naturalnymi n Symbolem A ij oznaczać bedziemy macierz kwadratowa stopnia n 1
Bardziej szczegółowoZestaw 3 Optymalizacja międzyokresowa
Zestaw 3 Optymalizacja międzyokresowa W modelu tym rozważamy optymalny wybór konsumenta dotyczący konsumpcji w okresie obecnym i w przyszłości. Zakładając, że nasz dochód w okresie bieżącym i przyszłym
Bardziej szczegółowoMnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym
Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania optymalnego
Bardziej szczegółowoWyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych
Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych 1 Określenie podprzestrzeni Definicja 6.1. Niepusty podzbiór V 1 V nazywamy podprzestrzeni przestrzeni liniowej V, jeśli ma on nastepuj ace w lasności: (I)
Bardziej szczegółowoZestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala
Zestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala November 12, 2009 Przyk ladowe zadania z rozwi azaniami Zadanie 1. Oblicz pochodne nastȩpuj
Bardziej szczegółowoNormy wektorów i macierzy
Rozdzia l 3 Normy wektorów i macierzy W tym rozdziale zak ladamy, że K C. 3.1 Ogólna definicja normy Niech ψ : K m,n [0, + ) b edzie przekszta lceniem spe lniaj acym warunki: (i) A K m,n ψ(a) = 0 A = 0,
Bardziej szczegółowoANALIZA II 15 marca 2014 Semestr letni. Ćwiczenie 1. Czy dan a funkcjȩ da siȩ dookreślić w punkcie (0, 0) tak, żeby otrzymana funkcja by la ci ag la?
Ci ag lość i norma Ćwiczenie. Czy dan a funkcjȩ da siȩ dookreślić w punkcie (0, 0) tak, żeby otrzymana funkcja by la ci ag la? f (x, y) = x2 y 2 x 2 + y 2, f 2(x, y) = x2 y x 2 + y 2 f 3 (x, y) = x2 y
Bardziej szczegółowoOSOBNO ANALITYCZNYCH
Uniwersytet Jagielloński Instytut Matematyki Zbigniew B locki ZBIORY OSOBLIWOŚCI FUNKCJI OSOBNO ANALITYCZNYCH Praca magisterska Promotor: Prof. dr hab. Józef Siciak Kraków 99 .Wstȩp. Jeśli Ω jest zbiorem
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
29 marca 2011 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś
Bardziej szczegółowoStosowane modele równowagi. Wykład 1
Stosowane modele równowagi ogólnej (CGE) Wykład 1 Literatura Horridge M., MINIMAL. A Simplified General Equilibrium Model, 2001, http://www.copsmodels.com/minimal.htm dowolny podręcznik do mikroekonomii
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
31 marca 2014 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś
Bardziej szczegółowoWykład 17: Podejście międzyokresowe do bilansu płatniczego. Gabriela Grotkowska
Międzynarodowe Stosunki Ekonomiczne Makroekonomia gospodarki otwartej i finanse międzynarodowe Wykład 17: Podejście międzyokresowe do bilansu płatniczego Gabriela Grotkowska Plan wykładu Model czystej
Bardziej szczegółowoPlan wykładu. Dlaczego wzrost gospodarczy? Model wzrostu Harroda-Domara.
Plan wykładu Dlaczego wzrost gospodarczy? Model wzrostu Harroda-Domara. Model wzrostu Solowa. Krytyka podejścia klasycznego wstęp do endogenicznych podstaw wzrostu gospodarczego. Potrzeba analizy wzrostu
Bardziej szczegółowoModele wielorownaniowe
Część 1. e e jednorównaniowe są znacznym uproszczeniem rzeczywistości gospodarczej e jednorównaniowe są znacznym uproszczeniem rzeczywistości gospodarczej e makroekonomiczne z reguły składają się z większej
Bardziej szczegółowoKalibracja. W obu przypadkach jeśli mamy dane, to możemy znaleźć równowagę: Konwesatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 1
Kalibracja Kalibracja - nazwa pochodzi z nauk ścisłych - kalibrowanie instrumentu oznacza wyznaczanie jego skali (np. kalibrowanie termometru polega na wyznaczeniu 0C i 100C tak by oznaczały punkt zamarzania
Bardziej szczegółowoZESTAWY ZADAŃ Z EKONOMII MATEMATYCZNEJ
ZESTAWY ZADAŃ Z EKONOMII MATEMATYCZNEJ Zestaw 5 1.Narynkuistniejądwajhandlowcyidwatowary,przyczymtowarupierwszegosą3sztuki,adrugiego 2sztuki. a). Jak wygląda zbiór alokacji dopuszczalnych, jeśli towary
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera
Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa Wzory Cramera Metoda eliminacji Gaussa Metoda eliminacji Gaussa polega na znalezieniu dla danego uk ladu a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n =
Bardziej szczegółowoPrzyk ladowe Zadania z MSG cz
mgr Leszek Wincenciak, Katedra Makroekonomii i Teorii Handlu Zagranicznego Przyk ladowe Zadania z MSG cz eść handlowa 1. W modelu Ricardo mamy do czynienia z dwoma krajami prowadzacymi wymiane handlowa.
Bardziej szczegółowoROZDZIAŁ 8 POLITYKA FISKALNA A OPTYMALNE STOPY OSZCZĘDNOŚCI W MODELU WZROSTU GOSPODARCZEGO Z CZYNNIKIEM MIGRACJI LUDNOŚCI
Robert ruszewski ROZDZIAŁ 8 OLITYA FISALNA A OTYMALNE STOY OSZCZĘDNOŚCI W MODELU WZROSTU GOSODARCZEGO Z CZYNNIIEM MIGRACJI LUDNOŚCI Wprowadzenie W pracy skonstruuję model wzrostu gospodarczego z kapitałem
Bardziej szczegółowoZadania z ekonomii matematycznej Teoria produkcji
Paweł Kliber Zadania z ekonomii matematycznej Teoria produkcji Zadania Zad Dla podanych funkcji produkcji a fk z k + z b fk z 6k z c fk z k z d fk z k 4 z e fk z k + z wykonaj następujące polecenia: A
Bardziej szczegółowopieniężnej. Jak wpłynie to na: krzywą LM... krajową stopę procentową... kurs walutowy... realny kurs walutowy ( przyjmij e ) ... K eksport netto...
ZADANIA, TY I 1. Rozważmy model gospodarki otwartej (IS-LM i B), z płynnym kursem walutowym, gdy (nachylenie LM > nachylenie B). aństwo decyduje się na prowadzenie ekspansywnej polityki krzywą LM krajową
Bardziej szczegółowo6.4. Wieloczynnikowa funkcja podaży Podsumowanie RÓWNOWAGA RYNKOWA Równowaga rynkowa w ujęciu statycznym
Spis treœci Przedmowa do wydania ósmego... 11 Przedmowa do wydania siódmego... 12 Przedmowa do wydania szóstego... 14 1. UWAGI WSTĘPNE... 17 1.1. Przedmiot i cel ekonomii... 17 1.2. Ekonomia pozytywna
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
10 marca 2014 Zmienna losowa - wst ep Przeprowadzane w praktyce badania i eksperymenty maja bardzo różnorodny charakter, niemniej jednak wiaż a sie one z rejestracja jakiś sygna lów (danych). Moga to być
Bardziej szczegółowoMAKROEKONOMIA 2. Wykład 2. Dynamiczny model DAD/DAS. Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak
MAKROEKONOMIA 2 Wykład 2. Dynamiczny model DAD/DAS Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak Plan wykładu Uwzględnienie dynamiki w modelu AD/AS. Modelowanie wpływu zakłóceń lub zmian polityki gospodarczej
Bardziej szczegółowoHistoria ekonomii. Mgr Robert Mróz. Makroekonomia w XX wieku
Historia ekonomii Mgr Robert Mróz Makroekonomia w XX wieku 17.01.2017 Keynes To od jego Ogólnej teorii możemy mówić o nowoczesnej makroekonomii Sprzeciw wobec twierdzenia poprzednich ekonomistów, że rynki
Bardziej szczegółowoUproszczony dowod twierdzenia Fredricksona-Maiorany
Uproszczony dowod twierdzenia Fredricksona-Maiorany W. Rytter Dla uproszczenia rozważamy tylko teksty binarne. S lowa Lyndona sa zwartymi reprezentacjami liniowymi s lów cyklicznych. Dla s lowa x niech
Bardziej szczegółowoOptymalizacja Rozpoczniemy od przedstawienia kilku charakterystycznych przyk ladów zadań optymalizacji liniowej.
Optymalizacja Rozpoczniemy od przedstawienia kilku charakterystycznych przyk ladów zadań optymalizacji liniowej. Zagadnienie diety. Jak wymieszać wymieszać pszenice, soje i maczk e rybna by uzyskać najtańsza
Bardziej szczegółowoGrupy i cia la, liczby zespolone
Rozdzia l 1 Grupy i cia la, liczby zespolone Dla ustalenia uwagi, b edziemy używać nast epuj acych oznaczeń: N = { 1, 2, 3,... } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2,... } - liczby ca lkowite, W = { m n
Bardziej szczegółowoZESTAW 5 FUNKCJA PRODUKCJI. MODEL SOLOWA (Z ROZSZERZENIAMI)
ZESTAW 5 FUNKCJA PRODUKCJI. MODEL SOLOWA (Z ROZSZERZENIAMI) Zadanie 5.1 Dla podanych funkcji produkcji sprawdź, czy spełniają one warunki stawiane neoklasycznym funkcjom produkcji. Jeśli tak, zapisz je
Bardziej szczegółowoModele DSGE. Jerzy Mycielski. Maj Jerzy Mycielski () Modele DSGE Maj / 11
Modele DSGE Jerzy Mycielski Maj 2008 Jerzy Mycielski () Modele DSGE Maj 2008 1 / 11 Modele DSGE DSGE - Dynamiczne, stochastyczne modele równowagi ogólnej (Dynamic Stochastic General Equilibrium Model)
Bardziej szczegółowoMikroekonomia. Wykład 3
Mikroekonomia Wykład 3 Model czystej wymiany Jednostki dysponują stałymi zasobami dóbr i dobra te mogą wymieniać między sobą (proces produkcji zostaje pominięty) Dwóch konsumentów (lub dwa rodzaje konsumentów):
Bardziej szczegółowoProcesy Stochastyczne - Zestaw 1
Procesy Stochastyczne - Zestaw 1 Zadanie 1 Niech ξ i η bed a niezależnymi zmiennymi losowymi o rozk ladach N (0, 1). Niech X = ξ +η i Y = ξ η. Znaleźć rozk lad (X, Y ) i rozk lad warunkowy L X ( Y ). Zadanie
Bardziej szczegółowoWykład III Przewaga komparatywna
Wykład III Przewaga komparatywna W prezentacji zostały wykorzystane slajdy pomocnicze do książki: Microeconomics, R.S.Pindyck D.L.Rubinfeld. Możliwości produkcyjne - Dwa dobra, które Robinson może produkować:
Bardziej szczegółowoWYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3
WYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3 Definicja 1 Przestrzenia R 3 nazywamy zbiór uporzadkowanych trójek (x, y, z), czyli R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} Przestrzeń
Bardziej szczegółowoMakroekonomia I. Jan Baran
Makroekonomia I Jan Baran Model klasyczny a keynesowski W prostym modelu klasycznym zakładamy, że produkt zależy jedynie od nakładów czynników produkcji i funkcji produkcji. Nie wpływają na niego wprowadzone
Bardziej szczegółowoMikroekonomia II: Kolokwium, grupa II
Mikroekonomia II: Kolokwium, grupa II Prowadząca: Martyna Kobus 2012-06-11 Piszemy 90 minut. Sprawdzian jest za 70 punktów. Jest 10 pytań testowych, każde za 2 punkty (łącznie 20 punktów za test) i 3 zadania,
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar liniowej Baza liniowej Niech V bedzie nad cia lem K Powiemy, że zbiór wektorów {α,, α n } jest baza V, jeżeli wektory α,, α n sa liniowo niezależne oraz generuja V tzn V = L(α,,
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
21 marca 2011 Zmienna losowa - wst ep Przeprowadzane w praktyce badania i eksperymenty maja bardzo różnorodny charakter, niemniej jednak wiaż a sie one z rejestracja jakiś sygna lów (danych). Moga to być
Bardziej szczegółowoWykład VII. Równowaga ogólna
Wykład VII Równowaga ogólna Efektywnośd w produkcji Założenia: 2 czynniki produkcji: kapitał (K) i praca (L) Produkcja 2 dóbr: żywnośd (f) i ubrania (c) Doskonała konkurencja na rynku czynników produkcji,
Bardziej szczegółowoMAKROEKONOMIA II K A T A R Z Y N A Ś L E D Z I E W S K A
MAKROEKONOMIA II KATA RZYNA ŚLEDZIEWSKA MAKROKONOMIAII Organizacja zajęć Zasady zaliczenia Struktura wykładu Podręcznik ORGANIZACJA ZAJĘĆ Wykładowca dr hab. Katarzyna Śledziewska Katedra Makroekonomii
Bardziej szczegółowoMakroekonomia 1 - ćwiczenia
Makroekonomia 1 - ćwiczenia mgr Małgorzata Kłobuszewska Zajęcia 6 Model klasyczny Plan Założenia modelu: Produkcja skąd się bierze? Gospodarka zamknięta Gospodarka otwarta Stopa procentowa w gospodarce
Bardziej szczegółowoPodstawy teorii zachowania konsumentów. mgr Katarzyna Godek
Podstawy teorii zachowania konsumentów mgr Katarzyna Godek zachowanie racjonalne wewnętrznie spójne, logiczne postępowanie zmierzające do maksymalizacji satysfakcji jednostki. Funkcje gospodarstwa domowego:
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne
Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V
Bardziej szczegółowoMakroekonomia II Polityka fiskalna
Makroekonomia II Polityka fiskalna D R A D A M C Z E R N I A K S Z K O Ł A G Ł Ó W N A H A N D L O W A W W A R S Z A W I E K A T E D R A E K O N O M I I I I 2 MIERNIKI RÓWNOWAGI FISKALNEJ wykład I Co składa
Bardziej szczegółowoWykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.
Bardziej szczegółowoMikro II: Monopol i Zachowania monopolistyczne.
Mikro II: Monopol i Zachowania monopolistyczne. Krzysztof Makarski 24 Monopol Wst ep Wiemy jak zachowuje sie ga l aź doskonale konkurencyjna. G lówny obszar zainteresowania to porównanie cen, ilości oraz
Bardziej szczegółowoPierwsze kolokwium z Matematyki I 4. listopada 2013 r. J. de Lucas
Pierwsze kolokwium z Matematyki I 4. listopada 03 r. J. de Lucas Uwagi organizacyjne: Każde zadanie rozwi azujemy na osobnej kartce, opatrzonej imieniem i nazwiskiem w lasnym oraz osoby prowadz acej ćwiczenia,
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone, liniowa zależność i bazy Javier de Lucas. a d b c. ad bc
Liczby zespolone, liniowa zależność i bazy Javier de Lucas Ćwiczenie. Dowieść, że jeśli µ := c d d c, to homografia h(x) = (ax+b)/(cx+d), a, b, c, d C, ad bc, odwzorowuje oś rzeczywist a R C na okr ag
Bardziej szczegółowoMakroekonomia 1 Wykład 5: Model klasyczny gospodarki (dla przypadku gospodarki zamkniętej)
Makroekonomia 1 Wykład 5: Model klasyczny gospodarki (dla przypadku gospodarki zamkniętej) Gabriela Grotkowska Katedra Makroekonomii i Teorii Handlu Zagranicznego PKB jako miara dobrobytu Produkcja w gospodarce
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Cia la i ich w lasności
Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,
Bardziej szczegółowoMakroekonomia 1 dla MSEMen. Gabriela Grotkowska
Makroekonomia dla MSEMen Gabriela Grotkowska Plan wykładu 5 Model Keynesa: wprowadzenie i założenia Wydatki zagregowane i równowaga w modelu Mnożnik i jego interpretacja Warunek równowagi graficznie i
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA
ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA DYNAMICZNYCH LOKAT KAPITAŁOWYCH Krzysztof Gąsior Uniwersytet Rzeszowski Streszczenie Celem referatu jest zaprezentowanie praktycznego zastosowania
Bardziej szczegółowoEkstrema funkcji wielu zmiennych.
Ekstrema funkcji wielu zmiennych. Adam Kiersztyn Lublin 2013 Adam Kiersztyn () Ekstrema funkcji wielu zmiennych. kwiecień 2013 1 / 13 Niech dana b ¾edzie funkcja f (x, y) określona w pewnym otoczeniu punktu
Bardziej szczegółowoRozdzia l 10. Najważniejsze normalne logiki modalne
Rozdzia l 10. Najważniejsze normalne logiki modalne 1. Logiki modalne normalne Definicja. Inwariantny zbiór formu l X jȩzyka modalnego L = (L,,,,, ) nazywamy logik a modaln a zbazowan a na logice klasycznej
Bardziej szczegółowoMikroekonomia. Zadanie
Mikroekonomia Joanna Tyrowicz jtyrowicz@wne.uw.edu.pl http://www.wne.uw.edu.pl/~jtyrowicz 18.11.2007r. Mikroekonomia WNE UW 1 Funkcję produkcji pewnego produktu wyznacza wzór F(K,L)=2KL 1/2. Jakim wzorem
Bardziej szczegółowoRównania ró znicowe wg A. Ostoja - Ostaszewski "Matematyka w ekonomii. Modele i metody".
Równania ró znicowe wg A. Ostoja - Ostaszewski "Matematyka w ekonomii. Modele i metody". Przyk ad. Za ó zmy, ze w chwili t = 0 populacja liczy P 0 osób. Roczny wskaźnik urodzeń wynosi b = 00, a roczna
Bardziej szczegółowo