Mikro II: Oligopol. Jacek Suda (slajdy: Krzysztof Makarski) 1 / 31

Transkrypt

1 Mikro II: Jacek Suda (slajdy: Krzysztof Makarski) 1 / 31

2 Wst ep G lówny obszar zainteresowania to porównanie cen, ilości oraz efektywności poszczególnych struktur rynkowych. Poznaliśmy zachowanie ga l ezi dzia lajacych w innych strukturach rynkowych: doskona la konkurencja monopol konkurencja monopolistyczna Teraz czas na oligopol. 2 / 31

3 Wybór strategii. Klasyfikacja: brak zmowy zmowa gra sekwencyjna przywództwo ilościowe - Stackelberg przywództwo cenowe - pomini ete gra jednoczesna ustalanie produkcji - Cournot ustalanie ceny - Bertrand 3 / 31

4 Przywództwo ilościowe (model Stackelberga). I Lider ustala wielkość produkcji przed naśladowca, naśladowca wybierajac swoja wielkość produkcji y 2 zna wielkość produkcji lidera y 1 - asymetria. Naśladowca po zaobserwowaniu wielkości produkcji lidera wybiera swoja produkcje, kieruje sie maksymalizacja zysku. Problem naśladowcy: max y 2 [p(y 1 + y 2 )y 2 c(y 2 )] Rozwiazanie tego problemu daje funkcje reakcji naśladowcy y 2 = R 2 (y 1 ). Patrz Rysunek / 31

5 Przywództwo ilościowe (model Stackelberga). II Ponieważ lider może sobie też rozwiazać problem naśladowcy, to zna funkcje reakcji naśladowcy. Znajac ja bierze ta wiedze pod uwage maksymalizujac zysk. Problem przywódcy (lidera) max[p(y 1 + R 2 (y 1 ))y 1 c(y 1 )] y 1 y 2 Rozwiazanie tego problemu daje nam wielkość produkcji lidera y 1, co razem z funkcja reakcji daje wielkość produkcji naśladowcy y 2 i latwo też policzyć cene i zyski. Zauważ, że w równowaga sk lada sie ze strategii dla obydwu graczy (a nie ich akcji). Czym różni sie strategia od akcji. Strategia musi przewidywać jakie akcje gracze powinni podjać w każdym możliwym stanie świata, który może wystapić w trakcie gry. Ponieważ lider rusza sie pierwszy jego strategia to po prostu wybór wielkości produkcji, natomiast 5 / 31

6 Przywództwo ilościowe (model Stackelberga). III ponieważ naśladowca rusza sie drugi to jego strategia musi uwzgledniać każda możliwa decyzje lidera (stan świata) a zatem strategia naśladowcy jest funkcja (tutaj nazwana funkcja reakcji). Definicja. Równowaga Stackelberga sk lada sie ze strategii dla lidera y L oraz strategii dla naśladowcy R N (y L ), spe lniajacych (i) y L rozwiazuje problem lidera. (ii) y N = R N (y L ) rozwiazuje problem naśladowcy dla każdego y L. 6 / 31

7 Przywództwo ilościowe (model Stackelberga). IV Interpretacja graficzna. Jeżeli mamy liniowy popyt (i przyjmiemy dla wygody, że zyski sa zero), wówczas problem naśladowcy przyjmuje postać π 2 (y 1, y 2 ) = [a b(y 1 + y 2 )]y 2 = ay 2 by 1 y 2 by 2 2 a funkcja reakcji ma postać (po wyliczeniu pochodnej ze wzgl edu na y 2 ): y 2 = a 2b 1 2 y 1 Patrz Rysunek / 31

8 Przywództwo ilościowe (model Stackelberga). V Podobnie lider (firma 1) rozwiazuje π 1 (y 1 ) = [a b(y 1 + R 2 (y 1 ))]y 1 = ay 1 by 2 1 by 1 y 2 Podstawiajac pod R 2 (y 1 ) otrzymujemy π 1 (y 1 ) = [a b(y 1 + a 2b 1 2 y 1)]y 1 = [a b( 1 2 y 1 + a 2b )]y 1 = ay 1 b 2 y 2 1 a 2 y 1 = a 2 y 1 b 2 y / 31

9 Przywództwo ilościowe (model Stackelberga). VI aby znaleźć wielkość produkcji maksymalizujac a zysk policzymy pochodna ze wzgledu na y 1 : a 2 by 1 = 0 rozwiazuj ac ze wzgledu na y 1 otrzymujemy y 1 = a 2b Równowaga Stackelberga: strategia firmy 1 y 1 = a firmy 2 y 2 = a 2b 1 2 y 1. Patrz Rysunek b oraz strategia 9 / 31

10 Rysunek: Funkcja reakcji oraz linie jednakowego zysku. powrót powrót

11 Rysunek: Równowaga Stackelberga i Cournot. powrót powrót

12 Jednoczesne ustalanie ilości (model Cournot). I Każda firma ustala wielkość swojej produkcji przy danym przypuszczeniu (jest to przypyszczenie a nie wiedza) co do wielkości produkcji drugiej firmy. Niech y 1 bedzie wyborem firmy 1 a y2 e niech bedzie przypuszczeniem 1 (z ang. belief) firmy 1 co do wielkości produkcji firmy 2. Firma 1 w oparciu o swoje przypuszczenie co do wielkości produkcji firmy 2, rozwiazuje problem max y 1 p(y 1 + y e 2 )y 1 c(y 1 ) Rozwiazanie tego problemu daje nam funkcje reakcji firmy 1: y 1 = R 1 (y2 e). Podobnie wygl ada problem firmy 2 max y 2 p(y e 1 + y 2 )y 2 c(y 2 ) którego rozwiazanie daje nam funkcje reakcji firmy 2: y 2 = R 2 (y1 e). 12 / 31

13 Jednoczesne ustalanie ilości (model Cournot). II Definicja. Równowaga Cournot sk lada si e ze strategii dla każdej firmy (y 1, y 2 ), gdzie y i, i {1, 2}, maksymalizuje zysk firmy i przy danej produkcji firmy j (drugiej firmy). Zatem w równowadze musi zachodzić y 1 = R 1 (y 2 ) y 2 = R 2 (y 1 ) 13 / 31

14 Jednoczesne ustalanie ilości (model Cournot). III Interpretacja graficzna. Jeżeli mamy liniowy popyt (i przyjmiemy dla wygody, że koszty sa zero), wówczas firma 2 rozwiazuje π 2 (y 1, y 2 ) = [a b(y 1 + y 2 )]y 2 = ay 2 by 1 y 2 by 2 2 a funkcja reakcji ma postać (po wyliczeniu pochodnej ze wzgl edu na y 2 ): a by 1 2by 2 = 0 y 2 = a 2b 1 2 y 1 a linia jednakowego zysku jest dana równaniem ay 2 by 1 y 2 by 2 2 π 2 = 0 Patrz Rysunek / 31

15 Jednoczesne ustalanie ilości (model Cournot). IV Podobnie firma 1 rozwiazuje π 1 (y 1, y 2 ) = [a b(y 1 + y 2 )]y 1 = ay 1 by 2 1 by 1 y 2 a funkcja reakcji ma postać (po wyliczeniu pochodnej ze wzgl edu na y 1 ): Patrz Rysunek 24.2 a 2by 1 by 2 = 0 y 1 = a 2b 1 2 y 2 1 W podreczniku jest to t lumaczone jako oczekiwanie, niestety nie jest to dobre t lumaczenie. W jezyku angielskim używa sie teorio growo pojecia belief, a nie expectation. Zatem należy w polskim też rozróżniać pomiedzy przypuszczeniem a oczekiwaniem. Sa to inne pojecia, chociaż wydaja sie podobne. 15 / 31

16 Wiele firm w warunkach równowagi Cournot. I Porównanie doskona lej konkurencji, oligopolu i monopolu. Przypuśćmy, że mamy n jednorodnych firm w danej ga l ezi, wówczas Y = y 1 + y y n. Wraz ze wzrostem ilości firm marża spada i w nieskończoności jest równa kosztowi krańcowemu. Wiemy, że w 16 / 31

17 Wiele firm w warunkach równowagi Cournot. II optimum MR = MC. W warunkach gry Cournot przychód firmy i = 1, 2,.., n, R i = p(y )y i = p(y y i y n )y i. Wówczas MR = p (y 1 +..y i y n )y i + p(y 1 +..y i y n ) = p(y ) + p (Y )y i = p(y ) + dp dy y i [ = p(y ) ] dp p(y ) dy y Y i Y [ ] = p(y ) 1 y i Y dy [ = p(y ) 1 s i ε p p dp Y ] 17 / 31

18 Wiele firm w warunkach równowagi Cournot. III gdzie s i = y i Y udzia l firmy i w rynku, ε p elastyczność cenowa popytu. Podstawiajac do warunku MR = MC [ p(y ) 1 s ] i = MC ε p Jeżeli na rynku dzia la jedna firma s i = 1, wówczas ten warunek tak samo jak monopolisty. Wraz ze wzrostem liczby firm s i maleje 1 zatem marża firmy i µ i = [ ] maleje i ponieważ s i 0 to 1 s i n εp µ i 1. Zatem równowaga Cournot sytuuje sie n pomiedzy doskona l a konkurencja a monopolem. Ponadto oligopol w sytuacji zarówno równowagi Cournot jak i Stackelberga jest nieoptymalny. Obserwacja: Zauważ, że jeżeli mamy duża liczbe firm (w sytuacji gry Cournot) to równowaga doskonale konkurencyjna jest bliskim przybliżeniem zachowania na tym rynku. 18 / 31

19 Jednoczesne ustalanie ceny (model Bertranda). I W poprzednim modelu ustaliliśmy, że firmy konkuruja ilościowo. Tutaj przyjmiemy rozważymy podobna sytuacje gdy firmy konkuruja cenowo. Dla uproszczenia koszty krańcowe sa sta le i takie same we wszystkich firmach MC = c, a koszty sta le wynosza zero FC = 0. Definicja. Równowaga Bertranda sk lada si e ze strategii dla każdej firmy (p 1, p 2 ), gdzie y i, i {1, 2}, maksymalizuje zysk firmy i przy danej cenie firmy j (drugiej firmy). 19 / 31

20 Jednoczesne ustalanie ceny (model Bertranda). II Równowaga p i = c. Skad ten wynik, przypuśćmy, że firma 2 ustala cene na poziomie p 2 > c. Wówczas jest optymalnym dla firmy 1 ustalić cene p 1 = p 2 ε, gdzie ε jest dowolnie ma l a liczba, wówczas firma 1 przejmuje ca ly popyt. Firmy bed a tak sobie nawzajem obniżać ceny, aż dojda do p i = MC, gdy obniżenie ceny poniżej MC oznacza ujemne zyski. W równowadze Bertranda otrzymujemy ta sama wielkość produkcji i cene jak w doskona lej konkurencji. Alokacja w równowadze Bertranda jest Pareto efektywna. 20 / 31

21 Zmowa. I Firmy operujace na danym rynku zmawiaja sie i podejmuja wspólnie decyzje ile produkować tak aby zmaksymalizować wspólne zyski. Problem maksymalizacji zysku ma postać max p(y 1 + y 2 )(y 1 + y 2 ) c 1 (y 1 ) c 2 (y 2 ) (y 1,y 2 ) Niech yi K oznacza produkcje firmy i w warunkach kartelu, wówczas zyski obydwu firm wynosza π K 1 (y K 1, y K 2 ) = p(y K 1 + y K 2 )y 1 c 1 (y K 1 ) π K 2 (y K 1, y K 2 ) = p(y K 1 + y K 2 )y K 2 c 2 (y K 2 ) 21 / 31

22 Zmowa. II gdzie πi K zyski firmy i w warunkach kartelu. Rozwiazuj ac problem maksymalizacji zysku kartelu otrzymujemy (liczymy pochodne po y 1 i y 2 ) p (y 1 + y 2 )(y 1 + y 2 ) + p(y 1 + y 2 ) = MC 1 (y 1 ) (27.1) p (y 1 + y 2 )(y 1 + y 2 ) + p(y 1 + y 2 ) = MC 2 (y 2 ) (27.2) Zauważ, że w sytuacji zmowy kartelowej pojawia si e pokusa odejścia od niej. Przyjmijmy (bez utraty ogólności), że firma 1 trzyma si e umowy a firma 2 rozważa czy powinna si e trzymać umowy czy zdewiować. Wówczas π 2 (y 1, y 2 ) = p(y 1 + y 2 )y 2 c 2 (y 2 ) 22 / 31

23 Zmowa. III zatem przy ustalonym y 1 = y K 1 π 2 (y K 1, y 2) y 2 = p (y 1 + y 2 )y 2 + p(y 1 + y 2 ) MC 2 (y 2 ) ponieważ, chcemy policzyć czy op laca sie firmie 2 zdewiować z produkcji w warunkach kartelu y2 K obliczymy wartość tej pochodnej w punkcie (y1 K, y 2 K ): π 2 (y K 1, y K 2 ) y 2 = p (y K 1 + y K 2 )y K 2 + p(y K 1 + y K 2 ) MC 2 (y K 2 ) 23 / 31

24 Zmowa. IV Podstawiajac z (27.2) otrzymujemy: π 2 (y K 1, y K 2 ) y 2 = p (y K 1 + y K 2 )(y K 2 + y K 1 y K 1 ) + p(y K 1 + y K 2 ) MC 2 (y K 2 ) (zauważ p ( ) < 0). = p (y K 1 + y K 2 )(y K 2 + y K 1 ) + p(y K 1 + y K 2 ) MC 2 (y K 2 ) p (y K 1 + y K 2 )y K 1 = p (y K 1 + y K 2 )y K 1 > 0 Zatem zwiekszaj ac produkcje ponad poziom wyznaczony przez kartel każda firma zwieksza swój zysk. 24 / 31

25 Strategie Kar I Ponieważ firmy maja bodźce do wy lamywania sie z umowy kartelowej potrzebna jest strategia kar. Potrzebujemy wówczas gry powtarzalnej (czyli przysz lości). Rozważmy duopol z lożony z dwóch identycznych firm. Niech π m bedzie zyskiem gdy obie firmy trzymaja sie umowy, a π c zyskiem Cournot, zauważ π m > π c. Rozważmy strategie: Trzymam sie umowy w okresie 0, jeżeli do momentu t (w l acznie) trzyma leś sie umowy to w okresie t + 1 też trzymam sie umowy, jeżeli do momentu t kiedykolwiek z lama leś umowe to ja cie karze produkujac na poziomie Cournot. Niech 1 1+r b edzie dyskontem czasowym 25 / 31

26 Strategie Kar II zysku (a r stopa procentowa). Wówczas wartość obecna wyp lat z powyższej strategii wynosi π m + π m 1 + r + π m (1 + r) = π m+ π m 1+r r = π m + π m 1+r 1+r 1 1+r = π m + π m r Natomiast wartość obecna z dewiacji z powyższej strategii (niech π d oznacza zysk gdy dewiujacej firmy gdy druga firma trzyma sie umowy, zauważ π d > π m ) wynosi π d + π c 1 + r + π c (1 + r) = π d + π c r 26 / 31

27 Strategie Kar III Kiedy dewiacja si e nie op laca? Gdy π d + π c r co po przekszta lceniach daje < π m + π m r r < π m π c π d π m Czyli dewiacja sie nie op laca jeżeli r jest wystarczajaco ma le, czyli 1 1+r wystarczaj aco duże co oznacza, że wystarczajaco dużo liczymy sie z przysz lościa. Zatem z powyższa strategia kar kartel może okazać sie stabilny. Inne podobne strategie, które daja podobny wynik, to karanie przez krótszy okres np. 1 okres lub kilka okresów. 27 / 31

28 Porównanie rozwiazań. Bertrand produkuje tyle co konkurencja doskona la (i jest efektywny), oligopol produkuje pomiedzy doskona l a konkurencja a monopolem. Monopol produkuje najmniej i najdrożej. 28 / 31

29 Podsumowanie. Różne typy oligopolu (Cournot, Stackelberg, Bertrand) Różne struktury daja różne ceny i produkcji. Mieści sie pomiedzy doskona l a konkurencja a monopolem. Lektura: Varian, rozdzia l 27. bez / 31

30 Pytania sprawdzajace I Zdefiniuj równowag e Cournot dla przypadku dwóch firm. Zapisz problem obydwu firm dla liniowej funkcji popytu i zerowych kosztów. Zilustruj równowag e na rysunku. Zdefiniuj równowag e Stackelberga dla przypadku dwóch firm. Zapisz problem naśladowcy i lidera dla liniowej funkcji popytu i zerowych kosztów. Zilustruj równowag e na rysunku. Zdefiniuj równowage Betranda dla przypadku dwóch firm, które maja sta ly i taka sama funkcje kosztów (zerowe koszty sta le i koszt krańcowy równy c). Znajdź równowage, wyjaśnij mechanizm dojścia do tej równowagi. Czy alokacja w równowadze Betranda jest efektywna? 30 / 31

31 Pytania sprawdzajace II Wyjaśnij czy możliwa jest zmowa w modelu jednookresowym, wyt lumacz intuicyjnie? A w modelu z nieskończonym horyzontem czasowym? Scharakteryzuj sytuacje rynkowa w modelu Cournot wzgledem monopolu i doskona lej konkurencji. Jak wyglada sytuacja w przypadku zawiazania kartelu. 31 / 31