Zestaw 3 Optymalizacja międzyokresowa

Transkrypt

1 Zestaw 3 Optymalizacja międzyokresowa W modelu tym rozważamy optymalny wybór konsumenta dotyczący konsumpcji w okresie obecnym i w przyszłości. Zakładając, że nasz dochód w okresie bieżącym i przyszłym wynoszą odpowiednio Y i Y 2 konsument staje przed ograniczeniem budżetowym w postaci: C C2 Y2 + = Y + gdzie + r to rynkowy czynnik dyskontujący + r + r Jednocześnie funkcja użyteczności przeciętnego konsumenta przyjmuje postać: U(c, c 2 ) = u(c ) + β u(c 2 ) gdzie > β > 0 Parametr β w powyższym równaniu pełni rolę subiektywnego czynnika dyskontującego. Jednocześnie jego wartość mniejsza od oznacza, iż w naszym modelu przyjmujemy założenie o tym, że konsument zawsze preferuje konsumpcję bieżącą od konsumpcji przyszłej (gdyby preferował je jednakowo β byłoby równe ). W celu określenia optymalnego poziomu konsumpcji w obydwu okresach należy zmaksymalizować funkcję użyteczności przy danym ograniczeniu budżetowym. A zatem należy obliczyć krańcową stopę substytucji pomiędzy okresem i 2: MU MRS = MU 2 Jednocześnie międzyokresowy wybór jest optymalny jeśli nie można osiągnąć korzyści z realokacji konsumpcji między okresami. To z kolei implikuje, iż standardowy warunek optimum konsumenta przyjmuje postać: MRS = + r A zatem w punkcie równowagi spełniony musi być warunek: u (c ) =( + r) β u (c 2 ) Rozważmy teraz przypadek małej gospodarki, gdzie przeciętny konsument staje przed problemem optymalizacji konsumpcji opisanej powyżej. Suma dochodu wszystkich

2 konsumentów w danym okresie równa będzie wielkości produkcji. Ta z kolei zależeć będzie od międzyokresowej granicy możliwości produkcyjnych oraz nachylenia funkcji ograniczenia budżetowego. W przypadku małej gospodarki zamkniętej brak jest możliwości wymiany handlowej, a zatem konsumpcja w danym okresie musi być równa produkcji. Przypadek ten przedstawiony jest na wykresie poniżej: C 2 Y 2 = C 2 U A Y = C C Jeżeli jednak nasza gospodarka otworzy się na wymianę z zagranicą, to wówczas możliwe będzie prowadzenie wymiany handlowej i osiągnięcie wyższego poziomu użyteczności. Zakładamy teraz, że nasza mała gospodarka przyjmuje jako daną światową stopę procentową, która jest niższa od stopy autarkicznej. To z kolei powoduje zmianę nachylenia krzywej ograniczenia budżetowego i zmianę poziomu produkcji. Zmiana nachylenia krzywej ograniczenia budżetowego pozwala zarazem na przejście na wyższą krzywą użyteczności, przy której nowy poziom konsumpcji wynosi odpowiednio i. Przypadek ten pokazano poniżej: C 2 C C 2 Y 2 konsumpcja dla gospodarki zamkniętej Y 2 konsumpcja dla gospodarki otwartej Y Y Efektem otwarcia gospodarki jest deficyt bilansu obrotów bieżących w pierwszym okresie (C > Y ) i nadwyżka w okresie drugim (C 2 < Y 2 ). C 2

3 Zadanie. Który z poniższych krajów, według twojej oceny, ma międzyokresową granicę możliwości produkcyjnych ukierunkowaną w stronę bieżącej konsumpcji dóbr, a który w kierunku przyszłej konsumpcji dóbr? a) Kraj, który dopiero niedawno zezwolił na masowe osiedlanie się i do którego napływają duże grupy imigrantów (np. Argentyna lub Kanada w minionym stuleciu); b) Kraj, który przoduje w gospodarce światowej pod względem technologii, przy czym przewaga ta zmniejsza się wraz z procesem doganiania go przez inne kraje (np. Wielka Brytania w XIX wieku lub Stany Zjednoczone dziś); c) Kraj, w którym odkryto duże złoża ropy naftowej, nadające się do łatwego wydobycia przy niewielkich inwestycjach (np. Arabia Saudyjska); d) Kraj, w którym odkryto duże złoża ropy naftowej, ale można je eksploatować tylko po poniesieniu ogromnych inwestycji (np. Norwegia, gdzie ropa leży pod dnem Morza Północnego); e) Kraj taki jak Korea Południowa, który odkrył dużą zdolność do wytwarzania dóbr przemysłowych i szybko dogania kraje wysoko rozwinięte. Zadanie 2. W pewnym kraju będącym gospodarka zamkniętą, międzyokresowa granica możliwości produkcyjnych jest symetryczna względem linii 45 stopni (maksymalna produkcja bieżąca i przyszła są takie same). Wiadomo też, że gospodarka ta jest w długookresowej równowadze produkcyjnej, a produkcja bieżąca jest równa dokładnie połowie maksymalnej możliwej wartości bieżącej produkcji. a) Przedstaw tę sytuację na wykresie, zaznaczając na nim w szczególności: bieżącą i przyszłą produkcję oraz konsumpcję, linię izowartości zapewniającą równowagę produkcyjną oraz krzywą obojętności zapewniającą równowagę konsumpcyjną; b) Co się stanie z bieżącą i przyszłą produkcją i konsumpcją po otwarciu gospodarki, jeśli światowa stopa procentowa jest wyższa od autarkicznej? Zaznacz zmiany na wykresie. Co można powiedzieć o wartości salda bilansu obrotów bieżących w tym kraju (jest dodatnia, ujemna, czy równa zero) w okresie bieżącym oraz przyszłym? 3

4 Zadanie 3. Kraj AA ma międzyokresową granicę możliwości produkcyjnych ukierunkowaną w stronę bieżącej konsumpcji, natomiast kraj BB przeciwnie w kierunku przyszłej konsumpcji. Ponadto wiadomo, że obie gospodarki są otwarte, a krzywe obojętności są symetryczne względem linii 45 stopni. a) Przedstaw tę sytuację na wykresach (każdy kraj osobno), zawierających w szczególności: bieżącą i przyszłą produkcję oraz konsumpcję, linię izowartości zapewniającą równowagę produkcyjną oraz krzywą obojętności zapewniającą równowagę konsumpcyjną. Co można powiedzieć o wartości salda bilansu obrotów bieżących w obu krajach (jest dodatnia, ujemna, czy równa zero) w okresie bieżącym oraz przyszłym? b) Co się zmieni w obu gospodarkach jeśli obniży się wartość subiektywnego czynnika dyskontującego przyszłość β? Zaznacz zmiany na wykresach. c) Co się zmieni w obu gospodarkach, jeśli spadnie światowa realna stopa procentowa (r)? Zaznacz zmiany na wykresach. W kolejnych zadaniach będziemy rozważać mały kraj zamieszkany przez identycznych konsumentów. Posiadają oni dwuokresowy cykl życia, zaś ich preferencje dotyczące konsumpcji przedstawia poniższa funkcja: U(c, c 2 ) = log(c ) + β log(c 2 ) gdzie > β > 0 Każdy konsument może przeznaczyć swój dochód na konsumpcję oraz zakup zagranicznych papierów wartościowych. A zatem: C + + B B0 = r0 B0 Y gdzie B oznacza zagraniczne papiery wartościowe Na koniec przyjmijmy, że krajowa stopa procentowa jest równa światowej stopie procentowej oraz że: CA = B B0 Zadanie 4. Przyjmijmy, że mała gospodarka otwarta na w początkowym okresie nie posiada żadnych zagranicznych papierów wartościowych (B 0 = 0). a) Wyjaśnij dlaczego w równowadze musi być spełniony warunek, zgodnie z którym B 2 = 0. Wyprowadź równanie międzyokresowego ograniczenia budżetowego i wykaż, że CA = -CA 2. 4

5 b) Rozwiąż problem maksymalizacji użyteczności przeciętnego konsumenta. Zinterpretuj warunek pierwszego stopnia i wyprowadź funkcję konsumpcji w okresie i w okresie 2. c) Przyjmijmy, że Y oraz Y 2 przyjmują takie wartości, dla których gospodarka ma do czynienia z deficytem bilansu obrotów bieżących w pierwszym okresie. Pokaż na wykresie jak będzie wyglądała równowaga w tym przypadku. Przedstaw również graficznie potencjalne korzyści płynące z handlu (zakładając, że w pierwszym okresie gospodarka była gospodarką zamkniętą). d) Zdefiniuj autarkiczną stopę procentową. Wyjaśnij dlaczego w pierwszym okresie mamy do czynienia z deficytem bilansu obrotów bieżących (jaka jest zależność pomiędzy gospodarką zamkniętą, a światową stopą procentową?). Odpowiedzi można udzielić zarówno graficznie jak i algebraicznie. e) Załóżmy że β = oraz Y = Y 2 = Y. + r Przyjmijmy, iż obecnie mamy do czynienia z rządem, który prowadzi zbilansowaną politykę fiskalną w obu okresach, czyli: G i = T i gdzie i =, 2. Wyprowadź nowe ograniczenie budżetowe konsumenta. Pokaż co stanie się z poziomem konsumpcji w obydwu okresach oraz z bilansem obrotów bieżących w CA jeśli G > 0 i G 2 = 0. Co stałoby się z konsumpcją oraz bilansem obrotów bieżących jeśli G = G 2 = G > 0? Zadanie 5. Przyjmijmy, że β = 0.9. Jeśli kraj ma dostęp do międzynarodowych rynków finansowych to może pożyczać kapitał lub udzielać kredytów przy stopie procentowej r gdzie ( + r) = 0.9. Jednostkowy poziom dochodu wynosi y = 40 oraz y 2 = y ( + g) dla g = Krajowe zasoby zagranicznych papierów wartościowych wynoszą na początku okresu B 0 = 0. (a) Przyjmijmy, że z powodu braku międzynarodowej mobilności kapitału brak jest możliwości pożyczania i udzielania kredytów na międzynarodowych rynkach finansowych. Zdeterminuj w tym przypadku autarkiczną stopę procentową dla małej gospodarki. 5

6 (b) Załóżmy, że istnieje możliwość międzynarodowych przepływów kapitałowych. Zdeterminuj w tym przypadku optymalny poziom konsumpcji w pierwszym okresie. Czy mała gospodarka będzie w pierwszym okresie kredytobiorcą czy kredytodawcą? (c) Oblicz wartość bilansu obrotów bieżących w okresie i 2. (d) Przyjmijmy, że stopa wzrostu dochodu g wynosi 0.05 a nie Jak wpłynie to na wartość bilansu obrotów bieżących w pierwszym okresie? Zadanie 6. Załóżmy, że indywidualny poziom dochodu wynosi odpowiednio y oraz y 2. Przyjmijmy zarazem, że dochód w obydwu okresach jest na poziomie, który gwarantuje równowagę bilansu obrotów bieżących. Jeśli zasób kapitału nie może się natychmiast dostosować, to wówczas fala imigracji spowoduje czasowy spadek dochodu per capita poprzez redukcję zasobu kapitału per capita. Można to zapisać jako spadek y przy niezmienionym y 2. W Izraelu, we wczesnych latach 90-tych ubiegłego stulecia nastąpił ogromny napływ imigrantów z byłych krajów socjalistycznych. Jaki miało to wpływ na bilans obrotów bieżących Izraela? Zadanie 7. Przyjmijmy, że początkowo mała gospodarka posiada zasób zagranicznych papierów wartościowych na poziomie B 0 <0. To ostatnie implikuje, że zasób papierów wartościowych na koniec pierwszego okresu będzie wynosił B B 0 = rb 0 + Y C. Załóżmy dodatkowo, że β ( + r) =. Dochód w pierwszym okresie wynosi y i brak jest dochodu w okresie 2. (a) Zapisz międzyokresowe ograniczenie budżetowe i warunek optymalizacji konsumpcji. (b) Jaki byłby wpływ redukcji długu (wzrost bezwzględnej wartości B 0 ) na bieżącą wartość dochodu kraju? Jaki byłby wpływ na konsumpcję i bilans obrotów bieżących w pierwszym okresie? 6