Modele DSGE. Jerzy Mycielski. Maj Jerzy Mycielski () Modele DSGE Maj / 11

Transkrypt

1 Modele DSGE Jerzy Mycielski Maj 2008 Jerzy Mycielski () Modele DSGE Maj / 11

2 Modele DSGE DSGE - Dynamiczne, stochastyczne modele równowagi ogólnej (Dynamic Stochastic General Equilibrium Model) Elementy modelu równowagi ogólnej: sektor gospodarstw domowych sektor firm sektor publiczny (władza monetarna) Sektor gospodarstw domowych i sektor firm działają racjonalnie Maksymalizacja użyteczności i zysków: międzyokresowo w warunkach niepewności Władza monetarna ustala stopy procentowe zgodnie z określonymi regułami (bądź maksymalizuje własną funkcję celu) Jerzy Mycielski () Modele DSGE Maj / 11

3 Modele DSGE Rozwiązywanie i analiza Zwykle uzyskanie analitycznych rozwiązań zbyt trudne - stosuje się więc aproksymacje względem logarytmów Sprowadzić model do postaci zbliżonej do Mechanizmu Korekty Błędem Rozwiązanie modelu polega na znalezieniu wyrażeń dla oczekiwanych wielkości zmiennych jako funkcji zmiennych (a nie ich wartości oczekiwanych) Dalsza analiza polega na badaniu wartości dynamicznych modelu poprzez analizę funkcji reakcji, dokompozycję błędu prognozy etc. Jerzy Mycielski () Modele DSGE Maj / 11

4 Modele Przestrzeni Stanów Możliwe jest uzyskanie następującej reprezentacji zlineryzowanego modelu DSGE w przestrzeni stanów: x t =Hξ t ξ t+1 =Fξ t + v t+1 gdzie ξ t jest wektorem stanów a x t wektorem obserwowalnych zmiennych endogenicznych Tak zdefiniowany model jest zazwyczaj osobliwy: jest mniej szoków losowych niż zmiennych endogenicznych Za pomocą filtru Kalmana możliwe jest odfiltrowanie ξ t t 1 Przy użyciu ξ t t 1 można sformułować funkcję wiarygodności dla szacowanego modelu Jerzy Mycielski () Modele DSGE Maj / 11

5 Modele Przestrzeni Stanów Estymacja Model można oszacować za pomocą MNW jeśli liczba szoków strukturalnych jest równa liczbie zmiennych endogenicznych Zazwyczaj jednak liczba zmiennych endogenicznych większa niż liczba szoków strukturalnych (osobliwość) Możliwe rozwiązania: 1 Szacujemy model przy użyciu jedynie części zmiennych obserwowalnych 2 Dodajemy błędy losowe (pomiaru) do reprezentacji w przestrzeni stanów w takim przypadku model przyjmie postać: x t =Hξ t + u t ξ t+1 =Fξ t + v t+1 przy założeniu, że u t i v t+1 są nieskorelowane błędy pomiaru nie mają interpretacji strukturalnej Jerzy Mycielski () Modele DSGE Maj / 11

6 Estymacja bayesowska Wprowadzenie Często zdarza się, że mamy jakąś wiedzę a priori na temat wektora parametrów θ W taki przypadku możemy użyć podejścia Bayesowskiego, aby poprawić precyzję oszacowań Z twierdzenia Bayesa wynika, że f ( θ X) = f (X θ) f (θ), f (X) gdzie f ( θ X) jest gęstością a posteriori, f (θ) gęstością a priori, f ( X θ) funkcją wiarygodności, f (X) bezwarunkową funkcją gęstości zaobserwowanej próby Jerzy Mycielski () Modele DSGE Maj / 11

7 Estymatory bayesowskie Estymacja punktowa Popularnym sposobem uzyskiwania metodami Bayesowskimi oszacowań punktowych jest wykorzystanie wartości modalnej f ( θ X) Uwaga: w szczególnym przypadku rozkładu normalnego wartość modalna i średnia są sobie równe Z definicji wartości modalnej i monotoniczności logarytmu wynika, że max ln f ( θ X) = max [ln f (X θ) + ln f (θ)] θ Wzór ten jest równoważny do wzoru na estymator MNW, dla funkcji wiarygodności l (θ) = ln f (X θ) + ln f (θ) W przypadku rozkładu normalnego o rozkładzie a priori zakłada się zwykle, że ma postać θ N (0,Σ) Macierz Σ reprezentuje niepewność badacza na temat jego wiedzy a priori Przypadek dla którego Σ jest skrajnie mała reprezentuje przypadek kalibracji - wartości parametrów są znane Jerzy Mycielski () Modele DSGE Maj / 11

8 Metoda Symulowanych Momentów W przypadku kalibracji, wybieramy parametry tak by symulowane z modelu zachowanie zmiennych replikowało dane Tego typu podejście można sformalizować używając jako funkcję celu, funkcję która mierzy różnice między zachowaniami obserwacji rzeczywistych i tych wygenerowanych z modelu. Parametry oszacowane powinny minimalizować tę funkcję celu. Najprostszym sposobem porównywania danych rzeczywistych i symulowanych jest porównywanie ich momentów Oznaczmy jako m t and mi () obserwacje i obserwacje symulowane. Wtedy m = 1 T T t=1 m t, m = 1 τt τt t=1 m t gdzie τ oznacza liczbę obserwacji uzyskanych z symulacji Jerzy Mycielski () Modele DSGE Maj / 11

9 Metoda Symulowanych Momentów Estymacja Minimalizujemy: min [m m (θ)] W [m m (θ)] θ Gdzie W jest optymalną macierzą wag postaci: W = lim T Var ( ) 1 T 1 T m t t=1 Można pokazać, że, przy pewnych założeniach, metoda ta posiada pożądane własności statystyczne Jerzy Mycielski () Modele DSGE Maj / 11

10 Uogólniona Metoda Momentów Jest to metoda podobna do Metody Symulowanych Momentów W przypadku Uogólnionej Metody momentów rozwiązujemy następujący problem minimalizacyjny: min {m E [m (θ)]} W {m E [m (θ)]} θ Największym problem jest policzenie momentów teoretycznych E [m (θ)], co może być bardo uciążliwe Metoda Symulowanych Momentów i Uogólniona Metoda Momentów są zbiegają do tej samej granicy dla τ Metoda Symulowanych momentów jest mniej efektywna niż Uogólniona Metoda Momentów ale dla τ efektywność obu metod jest taka sama Metoda Symulowanych Momentów jest mniej efektywna numerycznie Jerzy Mycielski () Modele DSGE Maj / 11

11 Wnioskowanie pośrednie (Rozszerzona Metoda Symulowanych Momentów) Minimalizowanie dystansu między parametrami modelu VAR uzyskanymi oszacowanymi dla prawdziwych obserwacji i obserwacji uzyskanych z symulacji na podstawie modelu DSGE Dla η będącego wektorem oszacowań parametrów modelu VAR oszacowanego dla rzeczywistych danych oraz η (θ) będącego wektorem oszacowań parametrów modelu VAR oszacowanego dla danych symulowanych Znajdujemy θ, jako wartość, która rozwiązuje problem: min {η E [η (θ)]} W {η E [η (θ)]} θ Jerzy Mycielski () Modele DSGE Maj / 11