Mikro II: Technologia, Maksymalizacja zysku i Minimalizacja kosztów.

Transkrypt

1 Mikro II: Technologia, Maksymalizacja zysku i Minimalizacja kosztów. Jacek Suda (slajdy: Krzysztof Makarski) 1 / 39

2 Technologia Wst ep. Przypomnijmy: Teoria konsumenta. w szczególności krzywa popytu. Teraz krzywa podaży (analogicznie). Najpierw technologia (analogia do preferencji). 2 / 39

3 Technologia Nak lady i wyniki. Zarówno nak lady (czynniki produkcji) jak i wynik produkcji (produkt) sa strumieniami. 3 / 39

4 Technologia Opisywanie ograniczeń technicznych. Zbiór produkcyjny - zbiór takich kombinacji nak ladów i wyników, które obejmuja technicznie wykonalne sposoby produkcji. Patrz Rysunek 18.1 Funkcja produkcji - brzeg zbioru produkcyjnego (mierzy maksymalny, możliwy produkt przy danych nak ladach). W przypadku dwu czynników produkcji wygodnym sposobem opisywania funkcji produkcji sa izokwanty. Izokwanty - takie kombinacje nak ladów które daja ten sam poziom produktu. Izokwanty sa podobne do krzywych obojetności. Pamietaj jednak że poziom produkcji (np. 5 par butów) w odróżnieniu od poziomu użyteczności (np. 5 utyli) ma interpretacje ekonomiczna (zatem nie można stosować monotonicznych transformacji w odniesieniu do funkcji produkcji). 4 / 39

5 powrót Rysunek: Zbiór produkcyjny.

6 Technologia Przyk lady technologii. sta le proporcje - jeden cz lowiek, jedna lopata y = min{x 1, x 2 }. Patrz Rysunek 18.2 substytuty doskona le - czerwony i czarny o lówek. Patrz Rysunek 18.3 Cobb-Douglas - y = Ax1 axb 2. 6 / 39

7 powrót Rysunek: Sta le proporcje.

8 powrót Rysunek: Doskona le substytuty.

9 Technologia W lasności technologii (za lożenia) Monotoniczność - wiecej nak ladów nie wyprodukuje mniej produktu (lub inaczej w lasność swobodnego dysponowania). Mówimy, że funkcja produkcji f (x) jest monotoniczna, jeżeli dla każdego x 1 = (x1 1, x1 2,..., x1 n) i x 2 = (x1 2, x2 2,..., x2 n), x 1 x 2, wówczas f (x 1 ) f (x 2 ). Wypuk lość - średnie produkuja nie mniej niż ekstrema (dla dowolnych dwóch metod wytwarzania wytwarzajacych taki sam produkt, ich kombinacja nie wyprodukuje mniej). Mówimy, że funkcja produkcji f (x) jest wypuk la, jeżeli dla każdego x 1 = (x1 1, x1 2,..., x1 n) i x 2 = (x1 2, x2 2,..., x2 n), f (x 1 ) = f (x 2 ), wówczas dla każdego λ [0, 1], f (λx 1 + (1 λ)x 2 ) f (x 1 ). Patrz Rysunek 18.4 Mówimy, że funkcja produkcji f (x) jest ściśle wypuk la (średnie produkuja wiecej niż ekstrema), jeżeli dla każdego x 1 = (x1 1, x1 2,..., x1 n) i x 2 = (x1 2, x2 2,..., x2 n), f (x 1 ) = f (x 2 ), wówczas dla każdego λ (0, 1), f (λx 1 + (1 λ)x 2 ) > f (x 1 ). 9 / 39

10 powrót Rysunek: Wypuk lość.

11 Technologia Produkt krańcowy. Niech f (x 1, x 2 ) bedzie funkcja produkcji, MP 1 mówi ile dodatkowych jednostek produktu zostanie wyprodukowanych po zwiekszeniu nak ladu czynnika 1 o jednostke (przy niezmienionym nak ladzie czynnika 2). Aby policzyć wystarczy policzyć pochodna MP 1 = f 1 (x 1, x 2 ) MP 2 = f 2 (x 1, x 2 ) 11 / 39

12 Technologia Techniczna stopa substytucji. Techniczna stopa substytucji odpowiednik krańcowej stopy substytucji formu la TRS = MP 1 MP 2 interpretacja 12 / 39

13 Technologia Prawo malejacej krańcowej produkcyjności. Zwiekszanie nak ladu czynnika zwieksza produkt, ale te przyrosty sa malejace. Patrz Rysunek 18.5 Nazywamy to prawem malejacego krańcowego produktu. 13 / 39

14 powrót Rysunek: Funkcja produkcji.

15 Technologia D lugi i krótki okres. Wszystkie czynniki zmienne - d lugi okres. Niektóre czynniki sta le - krótki okres. 15 / 39

16 Technologia Korzyści skali. Mówimy, że funkcja produkcji spe lnia sta le korzyści skali, jeżeli dla każdego λ > 0, f (λx 1, λx 2 ) = λ 1 f (x 1, x 2 ) rosnace korzyści skali, jeżeli dla każdego λ > 0, f (λx 1, λx 2 ) = λ a f (x 1, x 2 ) i a > 1. malejace korzyści skali, jeżeli dla każdego λ > 0, f (λx 1, λx 2 ) = λ a f (x 1, x 2 ) i a < / 39

17 Technologia Przyk lad. 1 Miluchna uprawia róże. Jeżeli L oznacza ilość godzin pracy która ona wykonuje, a T obszar ziemi pod uprawe, to jej produkcja dana jest wzorem f (L, T ) = L 0,5 T 0,5 kwiatów róży. (a) Narysuj izokwante reprezentujac a 4 kwiaty róży. (b) Znajdź TRS w punkcie (4, 4). (c) Jakie korzyści skali cechuja te funkcje produkcji? (d) W krótkim okresie ilość ziemi jest sta la. Narysuj krzywa pokazujac a produkcje Miluchny w zależności od jej wk ladu pracy, jeżeli dysponuje ona 1 jednostka ziemi. Jak nazywamy w ekonomii nachylenie tej krzywej? Czy krzywa ta staje sie bardziej czy mniej stroma wraz ze wzrostem ilości pracy? (e) Narysuj wykres pokazujacy krańcowy produkt pracy. (f) Przypuśćmy, że ziemia pod uprawe rośnie do 4. Na rysunku do (d) narysuj nowa funkcje produkcji, a na rysunku do (e) nowy krańcowy produkt pracy. 17 / 39

18 Technologia Podsumowanie. Technologia opisana za pomoca funkcji produkcji (podobnie jak funkcja użyteczności opisuje preferencje). W lasności (monotoniczność, wypuk lość oraz korzyści skali). Prawo malejacej krańcowej produktywności. TRS oraz krańcowe produktywności. Lektura: Varian, rozdzia l 18, bez / 39

19 Maksymalizacja zysku Wst ep. Zaczeliśmy od technologii. Nastepny krok (opisu dzia lania) co jest celem firmy. Co z tego celu wynika. Na końcu funkcja podaży. 19 / 39

20 Maksymalizacja zysku Co jest celem firmy? W ekonomii przyjmuje si e, że celem firmy jest to co ich w laściciele chcieliby żeby firma robi la. Przy bardzo ogólnych warunkach sprowadza si e to do maksymalizacji wartości firmy. Przy troch e mocniejszych warunkach, sprowadza si e to do maksymalizacji zysku. 20 / 39

21 Maksymalizacja zysku Zyski. Zyski sa zdefiniowane jako przychody minus koszty. π = n m p i y i w i x i i=1 i=1 Wszystkie czynniki produkcji powinny być uwzgl ednione wed lug ich cen rynkowych (nawet jeżeli nie jest kupowane na rynku) Dlaczego? Bo może być sprzedane na rynku, zatem wykorzystywanie w produkcji a nie gdzieś indziej jest kosztem utraconych możliwości. (np. wk lad pracy w laściciela firmy). Sk ladniki zysku (koszty i przychody) sa mierzone strumieniami. 21 / 39

22 Maksymalizacja zysku Organizacja przedsi ebiorstw.. Przedsi ebiorstwa indywidualne - jeden w laściciel. Spó lka - kilku w laścicieli. Korporacja - wielu w laścicieli. 22 / 39

23 Maksymalizacja zysku Zyski i wartość rynkowa akcji.. Maksymalizowanie wartości rynkowej firmy jest dobrze zdefiniowanym obiektem przy bardzo s labych za lożeniach. Oznacza to, że jest to bardzo ogólny rezultat. Ponadto maksymalizacja wartości firmy jest zgodne z interesem w laścicieli firmy. W świecie bez niepewności, wartości firmy jest równa dzisiejszej wartości przysz lych zysków, co powoduje, że maksymalizacja wartości firmy jest równoważne maksymalizacji wartości dzisiejszej zysków. Problemy pojawiaja sie w świecie z niepewnościa. Mimo to ograniczymy nasze analizy do prostszego problemu maksymalizacji zysku. 23 / 39

24 Maksymalizacja zysku Czynniki sta le i zmienne. czynniki sta le - wielkość zatrudnienia czynnika nie może być zmieniona (np. fabryka lub sprz et) quasi-sta le czynniki - można je wyeliminować tylko jeżeli produkuje si e zero (reklama, elektryczność, ogrzewanie, itp.). czynniki zmienne - można dowolnie wybierać ich wielkość. 24 / 39

25 Maksymalizacja zysku Krótkookresowa maksymalizacja zysku. Analitycznie można zapisać max x 1 pf (x 1, x 2 ) w 1 x 1 w 2 x 2 warunek optymalności: wartościowy produkt krańcowy równa si e wynagrodzeniu czynnika. pf (x 1, x 2 ) = w 1 pmp 1 (x 1, x 2 ) = w 1 25 / 39

26 Rysunek: Maksymalizacja zysku w krótkim okresie.

27 Maksymalizacja zysku Maksymalizacja zysku w d lugim okresie. Analitycznie można zapisać warunki optymalności max (x 1,x 2 ) pf (x 1, x 2 ) w 1 x 1 w 2 x 2 lub inaczej pf 1 (x 1, x 2 ) = w 1 pf 2 (x 1, x 2 ) = w 2 pmp 1 (x 1, x 2 ) = w 1 pmp 2 (x 1, x 2 ) = w 2 27 / 39

28 Maksymalizacja zysku Przyk lad. 1 Rozważmy przedsiebiorstwo wykorzystujace jeden czynnik produkcji x do produkcji y. Proces produkcyjny opisany jest nastepuj ac a funkcja produkcji f (x) = 16 x. Produkt kosztuje 100 z l, a czynnik produkcji 100 z l. (a) Zapisz problem maksymalizacji zysku. (b) Znajdź wielkości y, x maksymalizujace zysk. Ile bedzie wynosi l zysk w optimum? Pokaż na wykresie. 28 / 39

29 Maksymalizacja zysku Maksymalizacja zysku i korzyści skali. Sta le korzyści implikuja, że d lugoterminowe zyski wynosza zero. Gdyby by ly dodatnie wówczas firmy wybierajac nieskończona produkcje osiagn e lyby niekończone zyski. Niemniej fakt, że zyski wynosza zero nie oznacza, że czynniki produkcji nie sa wynagradzane (w tym kapita l). Rosnace korzyści skali i model doskonale konkurencyjny nie daja sie pogodzić. 29 / 39

30 Maksymalizacja zysku Minimalizacja kosztów.. Aby rozwiazać problem maksymalizacji zysku, z wielu wzgledów, wygodne jest podzielenie problemu na dwa etapy. W pierwszym etapie rozwiazujemy problem minimalizacji kosztów, co pozwala znaleźć funkcje kosztów c(y). Natomiast w etapie drugim rozwiazujemy (uproszczony, bo uwzgledniaj acy funkcje kosztów c(y) wyprowadzona w problemie minimalizacji kosztów) problem maksymalizacji zysku. 30 / 39

31 Maksymalizacja zysku Podsumowanie. Cel firmy (zysk i wartość firmy) Maksymalizacja zysków w krótkim okresie. Maksymalizacja zysków w d lugim okresie. Dwustopniowe rozwiazanie problemu maksymalizacji zysków. Lektura: Varian, rozdzia l 19, bez 19.6, 19.8 i / 39

32 Minimalizacja kosztów Wst ep. Celem jest wyprowadzenie funkcji podaży i jej w lasności. Otrzymamy także funkcj e popytu na czynniki produkcji. Funkcje podaży wyprowadzamy z decyzji maksymalizujacych zysk firm. Problem maksymalizacji zysku rozwiazujemy dwustopniowo. Krok 1: Minimalizacja kosztów (wyprowadzenie funkcji kosztów c(y)) Krok 2: Maksymalizacja zysków przy użyciu funkcji kosztów c(y). 32 / 39

33 Minimalizacja kosztów Przyk lad. 1 Firma genealogiczna Korzenie produkuje korzystajac z jednego produktu. Funkcja produkcji f (x) = x. (a) Ile jednostek x jest potrzebnych do wyprodukowania y jednostek produktu. Jeżeli w = 10 ile bedzie kosztowa lo wyprodukowanie 10 jednostek produkcji? (b) Jeżeli w = 10 ile bedzie kosztowa lo wyprodukowanie y jednostek produkcji? (c) Znajdź funkcje kosztów c(y). (d) Znajdź koszt przecietny AC(y) = c(y) y.. Jakie korzyści skali cechuja funkcje produkcji? 33 / 39

34 Minimalizacja kosztów Minimalizacja kosztów. Celem problemu minimalizacji kosztów jest otrzymanie funkcji kosztów c(y) opisujacej ile bedzie kosztować wyprodukowanie y jednostek produktu w najtańczy możliwy sposób. Problem minimalizacji kosztów ma postać: Graficznie. Patrz Rysunek 20.1 Warunek na minimalizacj e kosztów c(y) = min (x 1,x 2 ) w 1x 1 + w 2 x 2 p.w. f (x 1, x 2 ) = y MP 1(x 1, x 2 ) MP 2 (x 1, x 2 ) = TRS(x 1, x 2 ) = w 1 w 2 (20.1) Wyprowadzenie tego warunku na ćwiczeniach. Przyk lady dla funkcji produkcji f (x 1 ; x 2 ) = min{x 1, x 2 }, wówczas c(w 1, w 2, y) = (w 1 + w 2 )y. Funkcja produkcji Cobba-Douglasa na ćwiczeniach. 34 / 39

35 powrót Rysunek: Minimalizacja kosztów.

36 Minimalizacja kosztów Korzyści skali i funkcja kosztów. Rosnace korzyści skali generuja malejace koszty przecietne (AC) Sta le korzyści skali generuja sta le koszty przecietne (AC) Malejace korzyści skali generuja rosnace koszty przecietne (AC) 36 / 39

37 Minimalizacja kosztów Koszty d lugookresowe i krótkookresowe. D lugi okres: wszystkie nak lady zmienne Krótki okres: niektóre nak lady sta le 37 / 39

38 Minimalizacja kosztów Koszty utopione. Koszy utopione - koszty które już zosta ly poniesione i nie moga być odzyskane. 38 / 39

39 Minimalizacja kosztów Podsumowanie. Minimalizacja kosztów. Warunek optymalności (minimalizujacy koszty) TRS = w 1 w 2 Korzyści skali a funkcja kosztów. Krótki i d lugi okres. Lektura: Varian, rozdzia l 20, bez / 39