Zaawansowana Makroekonomia: Model Realnego Cyklu Koniunkturalnego

Transkrypt

1 Zaawansowana Makroekonomia: Model Realnego Cyklu Koniunkuralnego Krzyszof Makarski 1 Model RBC Wprowadzenie ˆ Przedsawiamy najprosszy dynamiczny sochasyczny model równowagi ogólnej (model DSGE, kóry jes nazywany modelem realnego cyklu koniunkuralnego (RBC. ˆ Model en bazuje na modelu Ramseya do, kórego dodany jes sochasyczny proces opisujacy zachowanie echnologii. ˆ Rozwiazanie modeli DSGE (z wyjakiem prosego przyk ladu wymaga użycia meod numerycznych. My rozwiażemy model za pomoca liniowego przybliżenia w okolicy sanu usalonego. ˆ Technologia opisana jes za pomoca proces sochasycznego AR(1 (ln A ln A = ρ(ln A 1 ln A+ε gdzie ρ < 1. Gospodarswa domowe ˆ Inwesuja w kapia l x i wynajmuja go firmom za sope wynajmu kapia lu r. Kapia l sie deprecjonuje w empie δ. ˆ Wynajmuja firmom prace l za p lace realna w. ˆ Sa w laścicielami firm i uzyskuja z ego yu lu dywidende π. ˆ Opymalizuja miedzyokresowo (poprzez dososowania sopy procenowej oraz wewnarzokresowo (wybór konsumpcja praca. ˆ Gospodarswa domowe maksymalizuja oczekiwana użyeczność [ ] E β (log c + φ log (1 l = ˆ Ograniczenie budżeowe (mnożnik Lagranża λ c + x = w l + r k + π ˆ Równanie akumulacji kapia lu k +1 = x + (1 δ k 1

2 Firmy ˆ Problem firmy jes sayczny. Firma wynajmuje kapia l i prace a nasepnie wykorzysujac echnologie produkuje produk. ˆ Problem maksymalizacyjny firmy ma posać (brak niepewności uaj. max (y,l,k y r k w l p.w. y = A k α l 1 α ˆ Lagranżjan ˆ Warunki pierwszego rz edu L = y r k w l λ (y A k α l 1 α y : 1 λ = k : r + λ A αk α 1 l 1 α = l : w + λ A (1 αk α l α = ˆ Upraszczajac dosajemy nasepuj ace warunki pierwszego rzedu oraz dodakowo mamy funkcj e produkcji Oczyszczanie si e rynków ˆ Rynek dóbr si e oczyszcza (popy jes równy podaży r = A αk α 1 l 1 α (1.1 w = A (1 αk α l α (1.2 y = A k α l 1 α (1.3 c + x = y ˆ Warunek oczyszczania si e rynków czynników zapisany jes noacyjnie (przez użycie ego samego symbolu w problemie producena i konsumena. ˆ Zauważ, że w syuacji gdy mamy rzy rynki porzebujemy dwie ceny (prawo Walrasa a jedno dobro jes numeraire (w naszym przypadku dobro konsumpcyjne. Definicja równowagi doskonale konkurencyjnej. Równowaga doskonale konkurencyjna sk lada sie z alokacji {c, l, x, k, y } = oraz cen {r, w } = spe lniajacych ˆ {c, x, l, k } = rozwiazuje problem konsumena przy danych cenach max {c,k +1,l } = p.w. [ ] E β (log c + φ log (1 l = c + x = w l + r k + π k +1 = x + (1 δ k l [, 1] ˆ dla każdego, (l, k, y rozwiazuje problem producena przy danych cenach max (y,l,k p.w. y r k w l y = A k α l 1 α ˆ rynki sie oczyszczaja (popy na rynkach jes równy podaży c + x = y 2

3 Warunki Pierwszego Rz edu Konsumen maksymalizuje funkcj e użyeczności E τ= pod warunkiem ograniczenia budżeowego β +τ (log c +τ + φ log(1 l +τ oraz równania ruchu kapia lu c +τ + x +τ = w +τ l +τ + r +τ k +τ + Π +τ k +1+τ = (1 δ k +τ + x +τ Podsawiajac pod x z równania ruchu kapia lu do ograniczenia budżeowego orzymujemy c +τ + k +1+τ = w +τ l +τ + (r +τ + (1 δk +τ + Π +τ Aby rozwiazać problem konsumena konsruujemy nasepuj acy Lagranżjan [ ( L = E β +τ (log c +τ + φ log(1 l +τ τ= Warunki pierwszego rz edu ] λ +τ (c +τ + k +1+τ w +τ l +τ (r +τ + (1 δk +τ Π +τ c : E [β u c, λ ] = l : E [β u l, λ w ] = k +1 : E [λ λ +1 (r δ] = gdzie u c, oznacza pochodna funkcji u( w okresie wzgledem c oraz u l, oznacza pochodna wzgledem l. Dodakowo warunkiem koniecznym na opimum jes poniższy warunek ranswersalności Upraszczajac Eliminujac λy Podsawiajac pod u c, oraz u l, orzymujemy lim τ β+τ E [λ +τ k +1+τ ] = c : β u c, = λ l : β u l, = λ w k +1 : λ = E [λ +1 (r δ] u l, = u c, w u c, = βe [u c,+1 (r δ] φc = w (1 l [ ] c 1 = βe (r +1 + (1 δ c +1 Równanie [ ] c 1 = βe (r +1 + (1 δ c +1 3

4 nazywane jes równaniem mi edzyokresowym lub równaniem Eulera. Naomias równanie φc = w (1 l nazywane jes równaniem wewnarzokresowym lub równaniem pracy. Z problemu producena orzymujemy równania (1.1-(1.3. Warunek na oczyszczanie si e rynków w = A (1 α k α l α r = A αk α 1 y = A k α l 1 α c + x = y oraz dodakowo gdybyśmy porzebowali inwesycje mamy równanie ruchu kapia lu, kóre pozwoli wyznaczyć inwesycje k +1 = x + (1 δ k l 1 α Podsumowujac: Równania (1.4 (1.11 w pe lni opisuja rozwiazanie modelu ˆ Z problemu konsumena praca (wybór wewnarzokresowy Euler (wybór mi edzyokresowy u l, = u c, w (1.4 u c, = βe [u c,+1 (r δ] (1.5 oraz warunek ranswersalności lim τ β+τ E [u c,+τ k +1+τ ] = (1.6 ˆ Z problemu producena w = A (1 α k α l α (1.7 r = A αk α 1 l 1 α (1.8 y = A k α l 1 α (1.9 ˆ Warunek na oczyszczanie si e rynków oraz równanie akumulacji kapia lu c + x = y (1.1 k +1 = (1 δk + x (1.11 Opymalna alokacja jes w pe lni opisana równaniami (1.4 - (1.11. Efekywność Nasepnie sprawdzimy czy rozwiazanie modelu jes efekywne. sensie Parea w rozważanym modelu. Najpierw zdefiniujemy efekywność w Definicja 1. Alokacja {c, l, k } = jes efekywna jeżeli rozwiazuje nasepuj acy problem spo lecznego planisy max {c,k +1,l } = p.w. E = β ln c c + k +1 = A k α l 1 α l [, 1] + (1 δk 4

5 W dowolnym okresie spo leczny planisa maksymalizuje E τ= pod warunkiem ograniczenia zasobowego β +τ [log c +τ + φ log(1 l +τ ] c +τ + k +1+τ = A +τ k α +τ l 1 α +τ Aby rozwiazać problem konsruujemy Lagranżjan [ ( L = E β +τ [log c +τ + φ log(1 l +τ ] τ= Warunki pierwszego rz edu + (1 δk +τ ] λ +τ (c +τ + k +1+τ A +τ k+τ α l+τ 1 α (1 δk +τ Upraszczajac c : E [β u c, λ ] = l : E [β u l, λ (1 αa +1 k+1l α +1 α k +1 : E [λ λ +1 (αa +1 k+1 α δ] = Rozwiazuj ac Podsawiajac pod u c, oraz u l, orzymujemy c : β u c, = λ l : β u l, = λ (1 αa +1 k+1l α +1 α k +1 : λ = E [λ +1 (αa +1 k+1 α δ] u l, = u c, (1 αa +1 k+1l α +1 α u c, = βe [u c,+1 (αa +1 k+1 α δ] φc = (1 αa +1 k α +1l α +1 (1 l [ c ( 1 = βe αa+1 k+1 α 1 c l1 α +1 + (1 δ] +1 Ponado, warunkiem koniecznym jes również warunek ranswersalności lim τ β+τ E [u c,+τ k +1+τ ] = Podsumowujac: Alokacja efekywna w pe lni opisana równaniami (1.12 (1.17 (w ym warunek ranswersalności u l, = u c, (1 αa k α l α (1.12 u c, = βe [u c,+1 (αa +1 k+1 α δ] (1.13 c + x = y + (1 δk (1.14 k +1 = (1 δk + x (1.15 y = Ak α l 1 α (1.16 lim τ β+τ E [u c,+τ k +1+τ ] = (1.17 Nasepnie pokażemy, że w rozważanym modelu obowiazuje I Twierdzenie Dobrobyu (FWT obowiazuje. 5

6 Twierdzenie 2. I Twierdzenie Dobrobyu: Jeżeli pewne warunki sa spe lnione dowolna alokacja doskonale konkurencyjna jes efekywna. Dowód. Najpierw uprościmy równania (1.4 (1.11. Podsawiajac z (1.7 (1.8 do (1.4 (1.5 orzymujemy u l, = u c, (1 αa k α l α (1.18 u c, = βe [u c,+1 (αa +1 k+1 α δ] (1.19 Zauważ, że równania (1.18, (1.19, (1.6, (1.9 (1.11 sa równoważne równaniom (1.12 (1.17. Oznacza o, że dowolna alokacja doskonale konkurencyjna jes efekywna. W modelu realnego cyklu koniunkuralnego zachodzi również II Twierdzenie Dobrobyu (SWT Twierdzenie 3. II Twierdzenie Dobrobyu: Jeżeli pewne warunki sa spe lnione dowolna efekywna alokacja może zosać zdecenralizowana jako alokacja doskonale konkurencyjna. Dowód. Rozważmy efekywna alokacje {c, l, k, y } =. Dla ej alokacji równania (1.12 (1.17 sa spe lnione. Nasepnie skonsruujmy ceny {w, r } = wykorzysujac (1.7 (1.8. Wówczas alokacja {c, l, k, y } = oraz ceny {w, r } = sanowia alokacje doskonale konkurencyjna ponieważ, równania (1.4 (1.11 sa spe lnione. Obydwa wierdzenia sa isone. FWT mówi nam, że zasoby w równowadze nie sa marnowane. SWT mówi nam, że możemy orzymać dowolna alokacje efekywna jako alokacje doskonale konkurencyjna. Dodakowo wierdzenia e sa echniczne pomocne, ponieważ pozwalaja na znalezienie alokacji efekywnej (rozwiazanie problem spo lecznego planisy w celu znalezienia doskonale konkurencyjnej alokacji. Gdy już znajdziemy mamy alokacje wówczas znalezienie cen jes rywialne, wysarczy wykorzysać równania (1.7 (1.8. Dodakowo wierdzenia dobrobyu pokazuja, że ceny sa nośnikiem informacji w gospodarce doskonale konkurencyjnej, i powinno sie unikać zaburzania ego mechanizmu przekazywania informacji, ponieważ może o prowadzić do nieefekywnej alokacji. Specjalny przypadek (Cobb-Douglas, log i δ = 1 Przypuśćmy, że u(c, l = log c + φ log(1 l, y = A k α l 1 α i δ = 1. Rozwiażemy problem zgadujac rozwiazanie (podsawa akiego zgadniecia może być np. problem ze skończonym horyzonem czasowym. Aby znaleźć rozwiazanie najpierw zgadniemy posać funkcyjna, nasepnie ja zweryfikujemy oraz znajdziemy warości paramerów. Wyuczone zgadniecie c = (1 s y Nasepnie sprawdzimy czy spe lnione sa równania (1.12 (1.17. Tuaj ograniczymy sie do równań (1.12, (1.13 i (1.17 ponieważ sprawdzenie pozosa lych jes rywialne. Zaczniemy od Eulera (1.12 [ ] c βe (r +1 + (1 δ = 1 c +1 [ ] (1 s y βe r +1 = 1 (1 s y +1 Wykorzysujac y = A k α l 1 α oraz r = αa k α 1 l 1 α [ (1 s y βe (1 s A +1 k α +1 l1 α +1 [ βe α y ] = 1 k +1 αa +1 k+1 α 1 l1 α +1 Ponieważ c + k +1 = y oraz c = (1 s y orzymujemy k +1 = sy, podsawiajac [ βe α y ] = 1 sy 6 ] = 1

7 s = αβ Nas epnie sprawdzimy równanie na podaż pracy (1.13 Podsawiajac c = (1 s y oraz w l = (1 α y (1 α y l w (1 l = φc (1 l = φ (1 s y 1 φ (1 αβ = 1 + l 1 α l = 1 α 1 α + φ (1 αβ Na koniec sprawdzimy warunek ranswersalności.... Rozwiazanie modelu można w skrócie zapisać za pomoca równania ruchu kapia lu (jeżeli mamy równanie ruchu kapia lu pozosa le zmienne sa bardzo lawe do znalezienia. k +1 = αβa k α l 1 α gdzie A jes opisane procesem sochasycznym AR(1,, najcz eściej AR(1, np. ln A ln A = ρ(ln A 1 ln A + ε, ρ < 1. San usalony W sanie usalonym wszyskie zmienne sa sa le, x = x 1 = x. W ekście zmienna bez indeksu czasu oznacza jej warość w sanie usalonym. Zaczniemy od równania Eulera [ ] c βe (r +1 + (1 δ = 1 c +1 kóre w sanie usalonym daje Nasepnie korzysajac z orzymujemy w sanie usalonym Korzysajac z równania akumulacji kapia lu r = β 1 (1 δ r k = A αk α 1 l 1 α k = αa k α l 1 α = αy rk = αy k = α y r = α β 1 (1 δ k +1 = (1 δ k + x uzyskujemy w sanie usalonym oraz Równanie zasobowe x y = δ k y = δk = x αδ β 1 (1 δ = c + x = y βαδ 1 β (1 δ 7

8 pozwala uzyskać c y = 1 x y = 1 βαδ 1 β (1 δ 1 β (1 δ βαδ = 1 β (1 δ (1 β + βδ (1 α = 1 β (1 δ Na końcu aby orzymać zarudnienie wykorzysamy równanie na podać pracy kóre w sanie usalonym ma posać w (1 l = φc w (1 l = φc wl y (1 l l = φ c y wykorzysujac w l = (1 α A k α l 1 α l = (1 α y orzymujemy przeksza lcaj ac (1 α (1 l = (1 β + βδ (1 α φ l 1 β (1 δ (1 α [1 β (1 δ] (1 l = φ [(1 β + βδ (1 α] l (1 α [1 β (1 δ] = [φ (1 β + φβδ (1 α + (1 α (1 β (1 δ] l (1 α (1 β + βδ (1 α = [φ (1 β + φβδ (1 α l = + (1 α (1 β + βδ (1 α] l (1 β (1 α + βδ (1 α (1 β ((1 α + φ + βδ (1 α (1 + φ Znalezienie pozosa lych zmiennych przy wykorzysaniu powyższych równań jes sosunkowo prose. Log-linearyzacja Log-linearyzacja jes opara na nasepuj acym przybliżeniu. gdzie ˆx log x x = log x log x. Równanie ruchu kapia lu x a = x a x a x a = x a e log xa log xa = x a e a log x x x a (1 + aˆx = x a e aˆx w sanie usalonym daje k +1 = (1 δ k + x δk = x k (1 + ˆk +1 k (1 + ˆk +1 = (1 δ k (1 + ˆk + x (1 + ˆx = (1 δ k (1 + ˆk + δk (1 + ˆx ˆk +1 = (1 δ ˆk + δˆx 8

9 βe [( β 1 (1 δ + ( β 1 (1 δ ˆr +1 + (1 δ + (ĉ ĉ +1 ( β 1 (1 δ + (1 δ ] = 1 Euler w sanie usalonym przybiera posać lub [ ] c βe (r +1 + (1 δ = 1 c +1 1 = β (r + (1 δ r = β 1 (1 δ βe [(1 + (ĉ ĉ +1 (r (1 + ˆr +1 + (1 δ] = 1 (Zauważ, że ponieważ wyrażenie ˆx ŷ jes wyrażeniem drugiego rz edu, w przybliżeniu pierwszego rz edu orzymujemy (1 + ˆx (1 + ŷ 1 + ˆx + ŷ Ponieważ r = β 1 (1 δ βe [(1 + (ĉ ĉ +1 (r + rˆr +1 + (1 δ] = 1 βe [(r + rˆr +1 + (1 δ + (ĉ ĉ +1 (r + (1 δ] = 1 Wybór wewnarzokresowy βe [( β 1 + ( β 1 (1 δ ˆr +1 + (ĉ ĉ +1 ( β 1] = (1 β (1 δ E [ˆr +1 ] + E [(ĉ ĉ +1 ] = 1 (1 β (1 δ E [ˆr +1 ] + E [(ĉ ĉ +1 ] = w sanie usalonym ma posać Równanie na p lac e w sanie usalonym daje w (1 l = φbc w (1 l = φc ( w (1 + ŵ 1 l(1 + ˆl = φc (1 + ĉ ( (1 + ŵ 1 l lˆl = φc w (1 + ĉ (1 l lˆl + (1 lŵ = (1 l (1 + ĉ (1 l lˆl + (1 lŵ = (1 l + (1 l ĉ ŵ (1 l lˆl = (1 l ĉ w = A (1 α k α l α w = A (1 α k α l α ( ( ( w (1 + ŵ = A 1 + Â (1 α k α 1 + αˆk l α 1 αˆl 9

10 upraszczajac (1 + ŵ = ( 1 + (1 Â + αˆk (1 αˆl 1 + ŵ = 1 + Â + αˆk αˆl ŵ = Â + αˆk αˆl Sopa wynajmu kapia lu r = A αk α 1 l 1 α w sanie usalonym r = Aαk α 1 l 1 α ( ( r (1 + ˆr = A 1 + Â αk α (α 1 ˆk ( l 1 α 1 + (1 α ˆl Upraszczajac (1 + ˆr = ( 1 + (1 Â + (α 1 ˆk (1 + (1 α ˆl 1 + ˆr = 1 + Â + (α 1 ˆk + (1 α ˆl ˆr = Â + (α 1 ˆk (α 1 ˆl Funkcja produkcji w sanie usalonym y = A k α l 1 α y = Ak α l 1 α ( ( ( y (1 + ŷ = A 1 + Â k α 1 + αˆk l 1 α 1 + (1 α ˆl Upraszczajac (1 + ŷ = ( 1 + (1 Â + αˆk (1 + (1 α ˆl Równanie na oczyszczanie si e rynków 1 + ŷ = 1 + Â + αˆk + (1 α ˆl ŷ = Â + αˆk (α 1 ˆl c + x = y w sanie usalonym Upraszczajac c + x = y c (1 + ĉ + x (1 + ˆx = y (1 + ŷ c y ĉ + x y ˆx = ŷ 1

11 Kalibracja ˆ Celem kalibracji jes przypisanie liczb paramerom. ˆ Isnieje kilka meod ekonomerycznych kóre pozwalaja na oszacowanie paramerów w modelach DSGE, np. meoda najwiekszej wiarygodności, GMM, Simulaed Mehod of Momens, Bayesowska esymacja, ec. Najbardziej popularne sa Bayesowska esymacja oraz kalibracja. ˆ My ograniczymy si e do kalibracji. ˆ Kalibracja oznacza akie usalenie paramerów aby gospodarka w modelu odpowiada la ej w danych w ak dużej liczbie wymiarów jak o możliwe. ˆ Kydland i Presco (1996 dyskuuja kalibracje w szczegó lach. ˆ My dobierzemy warości paramerów ak aby dopasować d lugookresowe cechy modelu do danych. Nas epnie przeesujemy jak dobrze odwzorowuje on zachowanie gospodarki w cyklu koniunkuralnym. ˆ Zanim skalibrujemy model musimy upewnić si e, że zachowanie model w sanie usalonym jes zgodne z d lugookresowymi rendami obserwowanymi w danych. ˆ Niech A = 1 dla dowolnego. Wówczas model RBC redukuje sie do modelu Ramsey a ze sa lym A. Niesochasyczny model Ramsey a zbiega do sanu usalonego. W sanie usalonym model ma nasepuj ace w lasności: produk na pracownika, kapia l na pracownika, konsumpcja na pracownika, konsumpcja na pracownika oraz inwesycje na pracownika sa sa le. Godziny sa sa le. Sosunek kapia lu do produku jes sa ly. Sosunek inwesycji do kapia lu jes sa ly. Udzia ly pracy i kapia lu w dochodzie sa sa le. ˆ Powyższe w lasności sa mniej wiecej zgodne z d lugookresowym zachowaniem gospodarki USA. ˆ Usalanie warości paramerów wzros jes ignorowany (lub mierzony jako średnia kwaralna sopa wzrosu PKB, z uwagi że roczna sopa wynosi oko lo 1, 6% o kwaralna b edzie równa ok., 4%. α jes usalona ak aby dopasować udzia l kapia lu w pracy α =.36 (szczegó ly parz Kydland i Presco, 1996 aby skalibrować δ podzielmy równanie akumulacji kapia l przez Y, k +1 y +1 = (1=δk + x y +1 y y y co daje w sanie usalonym (oznaczajac 1 + g = y /y 1 k y (1 + g = (1 δk y + x y upraszczajac x k = g + δ Jeżeli roczne x k =.76, ignoruj ac wzros dosajemy kwaralna δ =.76/4 =

12 Dynare ˆ Kod ˆ IRFy Najrudniejsze jes kalibrowanie szoków sochasycznych. Naj lawiej sobie poradzić z szokiem produkywności bo jes prawie obserwowalny. Wykorzysamy funkcje produkcji y = A k α l 1 α, kóra po zlogarymowaniu przyjmuje posać log y = log A + α log k + (1 α log l Nasepnie bierzemy odrendowione serie danych ln y, ln k (może być konieczne wykorzysanie inwesycji do orzymania ej serii danych oraz ln l i liczymy reszy Solowa ln A. Nasepnie zapuszczamy regresje (meoda najmniejszych kwadraów równania log A = ρ log A 1 +ε A, aby orzymać ρ oraz odchylenie sandardowe ε A, (Kydland i Presco, 1996 szacuja dla USA ρ =.95 oraz σ =.7. Z danych doyczacych godzin możemy wywnioskować φ ˆ Porównanie momenów. Rysunek 1: Funkcja reakcji na impuls echnologiczny (IRF.1 y.1 c.2 k x A r w Momeny ˆ Dane USA car s dev rel s dev au corr(,y y c i l y/l ˆ Model (parz plik log Podsumowanie ˆ Model ˆ Rozwiazanie specjalnego przypadku 12

13 ˆ Sanu usalony ˆ Log-linearyzacja ˆ Kalibracja ˆ Kodowanie w dynare ˆ Ocena modelu. 13