w modelu równowagi Zaawansowana Makroekonomia: Pieniadz 1 Model z ograniczeniem CIA Krzysztof Makarski Wprowadzenie Wst ep Model z pieniadzem.

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "w modelu równowagi Zaawansowana Makroekonomia: Pieniadz 1 Model z ograniczeniem CIA Krzysztof Makarski Wprowadzenie Wst ep Model z pieniadzem."

Transkrypt

1 Zaawansowana Makroekonomia: Pieniadz w modelu równowagi ogólnej Krzysztof Makarski Model z ograniczeniem CIA Wprowadzenie Wst ep Model z pieniadzem. Ocena modelu Optymalna polityka pieni eżna Koszty nieoptymalnej polityki pieni eżnej Podstawowe cechy modelu Model z pe ln a informacja. Inflacja ( P/P ) t = Pt Pt P t, gdzie P t poziom cen w okresie t. R t nominalna stopa procentowa. Realna stopa procentowa r t : ( + r t ) = + R t + ( P/P ) t jeżeli r t ( P/P ) t ma le r t R t ( P/P ) t Pieniadz ma zerowa nominalna stope procentowa, realna stopa procentowa wynosi ( P/P ) %. Wprowadzamy do gospodarki pieniadz. W świecie rzeczywistym dobra można podzielić na takie które można kupić za pomoca tylko pieniadza i sa dobra które można kupić za pomoca kredytu (np. karty kredytowej). Wprowadzimy to rozróżnienie do modelu. W modelu wystepuj a dwa typy dóbr: dobra pienieżne c t (można je kupić tylko z pomoca pieniadza) i dobra kredytowe c 2t (nie jest pieniadz konieczny do ich kupna, można je kupić za pomoca kredytu). Nie jest to jedyny możliwy sposób na wprowadzenie pieniadza do modelu. W literaturze wystepuje kilka sposobów na wprowadzenie pieniadza do modelu. Niemniej rezultaty, które pokażemy, wystepuj a w szerokiej klasie modeli. Ponadto aby uprościć analize nie bedziemy mieli w modelu kapita lu. Nastepnie pokażemy w jaki sposób przet lumaczyć sformu lowanie niektóre dobra można kupić tylko za pomoca pieniadza na jezyk modelu.

2 Rzad/bank centralny Prowadzenie polityki pienieżnej ma uproszczona postać. Bank centralny drukuje pieniadze i przekazuje je bezpośrednio konsumentowi T t > 0 (zauważ, że w modelu nie ma banków komercyjnych) - ekspansywna polityka pienieżna. Bank centralny może też zdecydować o zmniejszeniu pieniadza w gospodarce wtedy zabiera pieniadze konsumentom T t < 0 - restryktywna polityka pienieżna. Ograniczenie budżetowe banku centralnego: M t+ M t = T t Oznaczmy stope wzrostu pieniadza jako µ t : M t+ = ( + µ t ) M t = M t + T t (4.) Firmy co daje T t = M t+ M t = µ t M t (4.2) Firmy zatrudniaja si l e robocza i produkuja dobra pienieżne i dobra kredytowe. Obydwa dobra produkowane sa z użyciem tej samej technologii. Z uwagi na to że dobra te produkowane sa z użyciem tej samej technologii ich ceny dóbr pienieżnych i kredytowych sa takie same Oznaczmy ca lkowita produkcje jako y t, wówczas problem firmy ma postać π t = max (l t,y t) P ty t W t l t p.w. y t = A t l t gdzie W t p laca nominalna. Z uwagi na to że funkcja produkcji spe lnia sta le korzyści skali π t = 0. Konsumenci Reprezentatywny konsument w naszym modelu żyje w nieskończoność. W każdym okresie otrzymuje wynagrodzenie za prace oraz dywidendy z firmy. W gospodarce wystepuj a dwa rodzaje aktywów pieniadz oraz obligacje. Jeżeli dzisiaj kupimy obligacje za z l to jutro otrzymamy ( + R t+ ) z l. Oznaczmy obligacje zakupione w okresie t jako b t. Obligacje konsumenci wymieniaja miedzy soba. Jest to forma udzielania pożyczek. Zatem ograniczenie budżetowe konsumenta w okresie t ma postać: P t c t + P t c 2t + b t+ + m t+ = w t l t + π t + b t ( + R t ) + m t + T t (4.3) Z uwagi na wystepowanie dóbr pienieżnych mamy dodatkowe ograniczenie - ograniczenie cash-inadvance (CIA). Można je interpretować nastepuj aco, aby kupić dobro pienieżne musimy wcześniej nabyć pieniadz. Odgrywa ono bardzo ważna role, powoduje że konsumenci trzymaja pieniadz P t m t (4.4) Preferencje konsumenta w okresie t opisane sa nastepuj ac a funkcja u(c t, c 2t, l t ) = log c t + φ log c 2t + a log( l t ). Preferencje konsumenta w cyklu życia opisane sa za pomoca β t [log c t + φ log c 2t + a log ( l t )] Problem konsumenta max {c t,c 2t,l s t,bt+,mt+} β t [log c t + φ log c 2t + a log ( l t )] p.w. P t m t gdzie P t cena. P t c t + P t c 2t + b t+ + m t+ = w t l t + π t + b t ( + R t ) + m t + T t l t [0, ], m 0 dane, b 0 = 0 2

3 Oczyszczanie si e rynków Rynek pieniadza, popyt na pieniad, m t, równy podaży pieniadza, M t. m t = M t Rynek dóbr c t + c 2t = y t Ponieważ zobowiazanie jednego konsumenta jest aktywem drugiego konsumenta w równowadze b t = 0. Definicja równowagi doskonale konkurencyjnej Definicja. Równowaga doskonale konkurencyjna sk lada sie z alokacji {c t, c 2t, y t, b t, m t, l t } i cen {w t, R t, P t } : {c t, c 2t, l t, b t+, m t+ } rozwi azuje problem konsumenta przy danych cenach i transferach max {c t,c 2t,l t,b t+,m t+} β t [log c t + φ log c 2t + a log ( l t )] p.w. P t m t, P t c t + P t c 2t + b t+ + m t+ = w t l t + π t + ( + R t ) b t + m t + T t, l t [0, ], m 0 dane, b 0 = 0 dla każdego t, (l t, y t ) rozwiazuje problem producenta przy danych cenach. π t = max ty t w t l t (l t,y t) p.w. y t = A t l t dla każdego t, budżet rzadu jest zrównoważony budżet rzadu jest rynki sie oczyszczaja Rozwiazanie. Nastepnie znajdziemy równowage. Problem producenta. M t+ M t = T t m t = M t b t = 0 c t + c 2t = y t Korzystajac z problemu producenta znajdziemy p lace realna wt P t. Warunki pierwszego rzedu Problem konsumenta. w t P t = A t (4.5) y t = A t l t 3

4 Skonstruujmy Lagranżian (zauważ, że mamy po dwa ograniczenia dla każdego okresu t) L = β t [log c t + φ log c 2t + a log ( l t )] {... + λ t [P t c t m t ] + λ 2 t [P t c t + P t c 2t + b t+ + m t+ w t l t π t ( + R t ) b t m t T t ] + λ t+[p t+ c t+ m t+ ] + λ 2 t+[p t+ c t+ + P t+ c 2t+ + b t+2 + m t+2 w t+ l t+ π t+ ( + R t+ ) b t+ m t+ T t+ ] +...} gdzie λ t oznacza mnożnik Lagranża przy ograniczeniu CIA, a λ 2 t oznacza mnożnik Lagranża przy ograniczeniu budżetowym. Skracajac zapis L = β t [log c t + φ log c 2t + a log ( l t )] [λ t (P t c t m t ) + +λ 2 t (P t c t + P t c 2t + b t+ + m t+ w t l t π t ( + R t )b t m t T t, )] Nastepnie policzymy warunki pierwszego rzedu. Zauważ że w każdym okresie konsument wybiera c t, c 2t, b t+, m t+, l t. Podczas liczenia pochodnych należy zwrócić uwage gdzie wystepuj a m t+ i b t+. W równaniach powyżej sa one specjalnie zaznaczone. oraz CIA Przekszta lcaj ac: c t : β t c t λ t P t λ 2 t P t = 0 c 2t : β t φ λ 2 t P t = 0 c 2t b t+ : λ 2 t + λ 2 t+ ( + R t+ ) = 0 m t+ : λ t+ λ 2 t + λ 2 t+ = 0 l t : β t ( a) l t + λ 2 t w t = 0 P t m t β t P t c t = λ t + λ 2 t (4.6) β t φ P t c 2t = λ 2 t (4.7) λ 2 t λ 2 t+ = ( + R t+ ) (4.8) λ t+ + λ 2 t+ = λ 2 t (4.9) β t a = λ 2 t w t (4.0) l t Nast epnie wyeliminujemy λ-y i powyższe równania sprowadzimy do trzech równań + ograniczenie CIA. Skorzystamy z równań (4.6),(4.8) i (4.9). Przesuńmy równanie (4.6) jeden okres do przodu, a nast epnie podstawmy z równania (4.9), aby otrzymać β t+ P t+ c t+ = λ t+ + λ 2 t+ = λ 2 t (4.) Nast epnie podstawmy do równania (4.8) pod λ 2 t i λ 2 t+ z równania (4.) β t+ P t+c t+ β t+2 P t+2c t+2 = ( + R t+ ) 4

5 Opóźniajac to równanie o jeden okres i przekszta lcajac otrzymujemy β t P tc t β t+ P t+c t+ = ( + R t ) β t P t+ c t+ β t β P t c t = ( + R t ) P t+ c t+ P t c t = β ( + R t ) (4.2) Skorzystamy z (4.), (4.7), (4.2) i (4.9). Podstawmy z (4.7) do (4.) Upraszczajac i korzystajac z (4.2) β t+ = β t φ P t+ c t+ P t c 2t φ = β P t c 2t P t+ c t+ φp t+ c t+ = βp t c 2t φβ ( + R t ) P t βp t c 2t otrzymujemy φ ( + R t ) c 2t (4.3) Nast epnie podstawmy (4.7) do (4.0): Upraszczajac β t a = β t φ w t l t P t c 2t ac 2t l t = φ w t P t (4.4) Zatem problem konsumenta zosta l zredukowany do nastepuj acych równań (4.2), (4.3), (4.4) i CIA. Równowaga Nastepnie znajdziemy R t. Podstawiajac z (CIA) do (4.2): P t+ c t+ P t c t = m t+ m t = M t+ M t = β ( + R t ) + µ t = β ( + R t ) otrzymujemy stope procentowa R t = β ( + µ t ) (4.5) Aby znaleźć l t użyjemy warunku równowagi na rynku dóbr c t + c 2t = y t, funkcji produkcji y t = A t l t, oraz równań (4.3), (4.4) i (4.5). Podstawiajac z równania (4.5) do równania (4.3) pod R t φβ ( + µ t ) c 2t Rozwiazuj ac ze wzgledu na c t otrzymujemy Nastepnie rozwiazuj ac (4.4) ze wzgledu na c 2t otrzymujemy β φ ( + µ t ) c 2t (4.6) c 2t = φa t a ( l t) (4.7) 5

6 Podstawiajac z (4.6) do warunku równowagi na rynku dóbr z (4.7) c t + c 2t = y t = A t l t β φ ( + µ t ) c 2t + c 2t = A t l t ( ) β φ ( + µ t ) + c 2t = A t l t ( ) β + φ ( + µt ) φat φ ( + µ t ) a ( l t) = A t l t ( ) β + φ ( + µt ) ( l t ) = l t ( + µ t ) a Rozwiazuj ac ze wzgledu na l t ( ) ( ) β + φ ( + µt ) β + φ ( + µt ) l t + l t = ( + µ t ) a ( + µ t ) a ( ) ( ) ( + µt ) a + β + φ ( + µ t ) β + φ ( + µt ) l t = ( + µ t ) a ( + µ t ) a ( ) ( ) β + (a + φ) ( + µt ) β + φ ( + µt ) l t = β + φ ( + µ t ) l t = Aby znaleźć y t podstaw pod l t do funkcji produkcji y t = A t l t = A t β + φ ( + µ t ) Nast epnie znajdziemy c t i c 2t. W tym celu podstawimy pod l t do równania (4.7): c 2t = φa t a ( l t) c 2t = φa ( ) t β + φ ( + µ t ) a c 2t = φa ( ) t β + (a + φ) ( + µt ) β φ ( + µ t ) a c 2t = φa t a c 2t = a ( + µ t ) φa t ( + µ t ) a nast epnie podstawimy wstawimy l t do równania (4.6): Aby znaleźć ceny P t podstaw m t = M t do (CIA) : β φ ( + µ t ) c 2t β φa t ( + µ t ) φ ( + µ t ) P t m t 6 P t = M t c t

7 Ponieważ β+(a+φ)(+µ t) : { P t = M t β+(a+φ)(+µ t) P t = M t Aby znaleźć p lace nominalna w t wstawimy P t do równania (4.5): Pe lna odpowiedź w t = A t P t = A t M t = M t β Równowaga doskonale konkurencyjna sk lada si e z alokacji β+(a+φ)(+µ t), c 2t = φat(+µt) β+(a+φ)(+µ, y β+φ(+µ t) t = A t) t β+(a+φ)(+µ, l t) t = i{ cen } β+(a+φ)(+µ P t = M t) t, R t = β β+(a+φ)(+µ ( + µ t ), w t = M t) t β Inflacja Za lóżmy, że stopa wzrostu pieniadza jest sta la µ t+ = µ t = µ, dla każdego t. Formu la opisujaca stope wzrostu produktu (γ t ). Stopa wzrostu produktu zdefiniowana jest nastepuj aco γ t y t+ y t y t = y t+ y t Podstawiajac wartości w równowadze otrzymujemy β+φ(+µt) β+(a+φ)(+µ t), b t = 0, m t = M t } + γ t = A t+ Formu la opisujaca inflacje Inflacja zdefiniowana jest nastepuj aco β+φ(+µ t) β+(a+φ)(+µ t) β+φ(+µ A t ) t β+(a+φ)(+µ t ) β+φ(+µ) β+(a+φ)(+µ) β+φ(+µ) A t β+(a+φ)(+µ) = A t+ = A t+ A t (4.8) Podstawiajac wartości w równowadze ( P/P ) t = P t+ P t Podstawiajac z (4.8) ( P/P ) t = M β+(a+φ)(+µ t+) t+ + = β+(a+φ)(+µ M t) t + ( P/P ) t = M t+ M t A t A t+ + ( P/P ) t = ( + µ)m t M t ( + γ t ) ( + µ) + ( P/P ) t = ( + γ t ) Co dla wystarczajaco ma lych wartości ( P/P ) t i γ t daje M t+ β+(a+φ)(+µ) + M t β+(a+φ)(+µ) (4.9) ( P/P ) t µ γ t 7

8 Wyniki Inflacja ( P/P ) t µ γ t Nominalna stopa procentowa R t = β ( + µ t ) Wp lyw inflacji na dobrobyt? Ocena modelu Dane i model: inflacja negatywnie skorelowana z PKB, a pozytywnie ze stopa wzrostu pieniadza. Brak dobrej motywacji do wystepowania pieniadza. Modele z dobra motywacja zbyt abstrakcyjne, do analiz polityki pienieżnej. Modelu CIA można używać do analizy polityki pieni eżnej. Optymalna polityka pieni eżna. Definicja. Alokacja efektywna to taka alokacja {c t, c 2t, y t, l t }, która rozwiazuje problem centralnego planisty max β t [log c t + φ log c 2t + a log ( l t )] {c t,c 2t,y t,l t} p.w. c t + c 2t = y t = A t l t l t [0, ] Alokacja efektywna (P oznacza efektywna lub inaczej Pareto alokacje) c P A t t = a + + φ, φa t cp 2t = a + + φ, lp t = + φ a + + φ Alokacja doskonale konkurencyjna c E t = l E t = (a + φ) ( + µ t ) + β, φ ( + µ t ) A t ce 2t = (a + φ) ( + µ t ) + β, β + φ ( + µ t ) (a + φ) ( + µ t ) + β Pytanie, kiedy równowaga doskonale konkurencyjna jest efektywna, c E t = c P t, c E 2t = c P 2t, l E t = l P t i y E t = y P t (4.20) Odpowiedź: zauważmy, że (4.20) jest spe lnione tylko i wy l acznie gdy (sprawdź to): µ t = β < 0 Definicja. µ t takie, że µ t = β, spe lnia regu l e Friedmana. Twierdzenie. () Przypuśćmy że bank centralny podaża regu l a Friedmana (czyli µ t = β ), wówczas równowaga doskonale konkurencyjna jest efektywna. (2) Jeżeli bank centralny nie podaża regu l a Friedmana (czyli µ t > β ), wówczas równowaga doskonale konkurencyjna nie jest efektywna. Dowód. Cześć : jeżeli bank centralny podaża regu l a Friedmana, wówczas równanie (4.20) jest spe lnione, a zatem alokacja doskonale konkurencyjna jest efektywna (alokacja doskonale konkurencyjna i alokacja efektywna sa takie same). Cześć 2: jeżeli bank centralny nie podaża regu l a Friedmana, wówczas gdyż µ t>β < (a + φ) ( + µ t ) + β (a + φ) ( + β ) + β = cp t co oznacza, że alokacja doskonale konkurencyjna nie jest efektywna (alokacja doskonale konkurencyjna i alokacja efektywna nie sa takie same). 8

9 Inflacja: Podstawiajac do (4.9): ( P/P ) t = ( + µ) ( + β ) β = = ( + γ t ) ( + γ t ) ( + γ t ) Jeżeli γ t > 0, ( P/P ) t < 0 (deflacja) (zauważ β < < + γ t ). Nominalna stopa procentowa przy optymalnej polityce pieni eżnej R t = β ( + µ t ) = R = β ( + β ) = 0 Intuicja. Dodatnia nominalna stopa procentowa dzia la jak podatek na dobra pieni eżne - zaburza wybór mi edzy dobrami pieni eżnymi a kredytowymi. Koszt nieoptymalnej polityki pieni eżnej Jak policzyć czy koszty odejścia do optymalnej polityki pienieżnej sa duże czy ma le Przedstawimy procedur e oraz interpretacj e wyniku Wyniki badań na nast epnych wyk ladach. Rozważmy dwie gospodarki różniace sie tylko polityka pienieżn a: () µ t = µ F = β ; (2) µ t = µ > µ F Dobrobyt: () : U F = (2) : U (µ) = β t [log c µf t + φ log c µf 2t + a log( l µf t )] β t [log c µ t + φ log cµ 2t + a log( lµ t )] Zasada: nie porównujemy wielkości użyteczności Zatem poszukamy x W gospodarce z µ > µ F zwiekszymy konsumpcje w okresie 0 (dzisiaj) o x tak aby osiagn ać poziom dobrobytu taki jak w gospodarce podażaj acej regu l a Friedmana. Formu la U F = β 0 [log ( + x) c µ 0 + φ log( + x)cµ 20 + a log( lµ 0 )] + β t [log c µ t + φ log cµ 2t + a log( lµ t )] Interpretacja Przypuśćmy że x = 0, 05, wówczas to znaczy, że jeżeli w gospodarce, w której polityka pienieżna dana jest przez µ, bank centralny zacznie podażać regu l a Friedmana to da to przyrost dobrobytu taki jaki można otrzymać przez zwiekszenie dzisiaj konsumpcji o 5% (przy innych czynnikach niezmienionych). Przekszta lcaj ac U F = β 0 [log ( + x) + φ log( + x)] + β 0 [log c µ 0 + φ log cµ 20 + a log( lµ 0 )] + β t [log c µ t + φ log cµ 2t + a log( lµ t )] t= t= 9

10 Zauważmy, że β 0 [log c µ 0 + φ log cµ 20 + a log( lµ 0 )] + t= βt [log c µ t + φ log cµ 2t + a log( lµ t )] = βt [log c µ t + φ log cµ 2t + a log( lµ t )] U F = ( + φ) log ( + x) + Ponieważ U(µ) = βt [log c µ t + φ log cµ 2t + a log( lµ t )] β t [log c µ t + φ log cµ 2t + a log( lµ t )] U F = ( + φ) log ( + x) + U(µ) (4.2) Przyk lad. Koszt nieoptymalnej polityki pienieżnej µ = 2% przy zerowym wzroście gospodarczym (co oznacza 2% inflacje). Rozważmy nastepuj ace parametry: φ = 2, a =, A t =, µ t = 2%, β = 0, 99. Jeżeli polityka pienieżna podażaj a regu l a Friedmana µ F = β : c F t = c F 2t = β + (a + φ)( + µ F ) = 0, 99 0, 99 + ( + 2) ( + 0, 99 ) = 4 φ( + µ F )A t β + (a + φ)( + µ F ) = 2 ( + 0, 99 ) 0, 99 + ( + 2) ( + 0, 99 ) = 2 4 l F t = A t β + φ( + µ F ) β + (a + φ)( + µ F ) = 0, ( + 0, 99 ) 0, 99 + ( + 2) ( + 0, 99 ) = 3 4 podstawiajac do formu ly na U F U F = [log(/4) + 2 log(2/4) + log( 3/4)] 0, 99 = 45, 89 Jeżeli polityka pienieżna dana jest za pomoca µ = 2%: c µ t = β + (a + φ)( + µ) = 0, 99 = 0, 244 0, 99 + ( + 2) ( + 0, 02) c µ 2t = φ ( + µ) A t β + (a + φ)( + µ) = 2 ( + 0, 02) = 0, 504 0, 99 + ( + 2) ( + 0, 02) l µ β + φ ( + µ) t = A t β + (a + φ)( + µ) = 0, ( + 0, 02) = 0, 748 0, 99 + ( + 2) ( + 0, 02) podstawiajac do formu ly na U(µ) U (2%) = [log 0, log 0, log( 0, 748)] 0, 99 = 45, 93 Nastepnie znajdziemy x korzystajac z równania (4.2) U F = ( + φ) log( + x) + U(µ) Rozwiazuj ac ze wzgledu na x Przekszta lcaj ac i podstawiajac e UF U(µ) +φ = e log(+x) = + x x = e UF U(µ) +φ = e ( 45,89) ( 45,93) +2 =, 34% Interpretacja: odejście od polityki pienieżnej wyznaczonej przez µ = 2% na rzecz polityki pienieżnej wyznaczonej regu l a Friedmana ma taki sam efekt jak zwiekszenie konsumpcji dziś o, 34%. Zauważ, że w przyk ladzie parametry gospodarki sa arbitralne, wiec nie należy, z tych wyliczeń, wyciagać jakichkolwiek wniosków, co do rzeczywistych kosztów 2% inflacji. 0

11 Podsumowanie Model z mikropodstawami, który ilustruje źród la kosztów inflacji. Z punktu widzenia kosztów inflacji uwzglednianych w modelu możemy zajać sie problemem optymalnej inflacji. Model umożliwia też ilościowe oszacowanie kosztów inflacji.

Mikro II: Oligopol. Jacek Suda (slajdy: Krzysztof Makarski) 1 / 31

Mikro II: Oligopol. Jacek Suda (slajdy: Krzysztof Makarski) 1 / 31 Mikro II: Jacek Suda (slajdy: Krzysztof Makarski) 1 / 31 Wst ep G lówny obszar zainteresowania to porównanie cen, ilości oraz efektywności poszczególnych struktur rynkowych. Poznaliśmy zachowanie ga l

Bardziej szczegółowo

Neoklasyczny model wzrostu

Neoklasyczny model wzrostu Neoklasyczny model wzrostu Krzysztof Makarski 1 Model 1.1 Za lożenia modelu Wst ep Ma wiele cech wspólnych z modelem Solowa. Oszczedności (oraz praca) sa endogeniczne. Oparty jest na mikropodstawach. Ponieważ

Bardziej szczegółowo

Mikro II: Popyt, Preferencje Ujawnione i Równanie S luckiego

Mikro II: Popyt, Preferencje Ujawnione i Równanie S luckiego Mikro II: Popyt, Preferencje Ujawnione i Równanie S luckiego Krzysztof Makarski 6 Popyt Wstep Przypomnijmy: Podstawy teoria konsumenta. Zastosowanie wszedzie. W szczególności poszukiwanie informacji zawartych

Bardziej szczegółowo

Makroekonomia: Frykcje finansowe w postaci ograniczeń zastawowych

Makroekonomia: Frykcje finansowe w postaci ograniczeń zastawowych Makroekonomia: Frykcje finansowe w postaci ograniczeń zastawowych Krzysztof Makarski 1 Ograniczenie kredytowe 1.1 Wst ep Wprowadzenie Model RBC z frykcjami finansowymi. Żeby wyrazić d lug nominalnie wprowadzamy

Bardziej szczegółowo

Mikro II: Popyt, Preferencje Ujawnione i Równanie S luckiego

Mikro II: Popyt, Preferencje Ujawnione i Równanie S luckiego Mikro II: Popyt, Preferencje Ujawnione i Równanie S luckiego Krzysztof Makarski 6 Popyt Wstep Przypomnijmy: Podstawy teoria konsumenta. Zastosowanie wszedzie. W szczególności poszukiwanie informacji zawartych

Bardziej szczegółowo

Mikro II: Popyt, Preferencje Ujawnione i Równanie S luckiego

Mikro II: Popyt, Preferencje Ujawnione i Równanie S luckiego Mikro II: Popyt, Preferencje Ujawnione i Równanie S luckiego Jacek Suda (slajdy: Krzysztof Makarski) 1 / 47 Popyt Wst ep Przypomnijmy: Podstawy teoria konsumenta. Zastosowanie wsz edzie. W szczególności

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera

Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu

Bardziej szczegółowo

Spis treêci. www.wsip.com.pl

Spis treêci. www.wsip.com.pl Spis treêci Jak by tu zacząć, czyli: dlaczego ekonomia?........................ 9 1. Podstawowe pojęcia ekonomiczne.............................. 10 1.1. To warto wiedzieć już na początku.............................

Bardziej szczegółowo

Mikroekonomia. Wykład 4

Mikroekonomia. Wykład 4 Mikroekonomia Wykład 4 Ekonomia dobrobytu Na rynku doskonale konkurencyjnym, na którym występuje dwóch konsumentów scharakteryzowanych wypukłymi krzywymi obojętności, równowaga ustali się w prostokącie

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia 5, Makroekonomia II, Rozwiązania

Ćwiczenia 5, Makroekonomia II, Rozwiązania Ćwiczenia 5, Makroekonomia II, Rozwiązania Zadanie 1 Załóżmy, że w gospodarce ilość pieniądza rośnie w tempie 5% rocznie, a realne PKB powiększa się w tempie 2,5% rocznie. Ile wyniesie stopa inflacji w

Bardziej szczegółowo

Mikro II: Wymiana i Asymetria Informacji

Mikro II: Wymiana i Asymetria Informacji Mikro II: Wymiana i Asymetria Informacji Krzysztof Makarski 29 Wymiana Wst ep. Do tej pory zajmowaliśmy sie g lównie analiza pojedynczych rynków. Analiza w równowadze czastkowej - teoria jednego wyizolowanego

Bardziej szczegółowo

Zaawansowana Makroekonomia: Wprowadzenie do teorii wzrostu

Zaawansowana Makroekonomia: Wprowadzenie do teorii wzrostu Zaawansowana Makroekonomia: Wprowadzenie do teorii wzrostu Krzysztof Makarski 1 Wst ep Jedna z ważniejszych cech światowej gospodarki w XX w. sa różnice w realnych dochodach pomie- dzy krajami. Pomimo,

Bardziej szczegółowo

Wykład 9. Model ISLM

Wykład 9. Model ISLM Makroekonomia 1 Wykład 9 Model ISLM Gabriela Grotkowska Katedra Makroekonomii i Teorii Handlu Zagranicznego Nasza mapa drogowa Krzyż keynesowski Teoria preferencji płynności Krzywa IS Krzywa LM Model ISLM

Bardziej szczegółowo

- potrafi wymienić. - zna hierarchię podział. - zna pojęcie konsumpcji i konsumenta, - zna pojęcie i rodzaje zasobów,

- potrafi wymienić. - zna hierarchię podział. - zna pojęcie konsumpcji i konsumenta, - zna pojęcie i rodzaje zasobów, WYMAGANIA EDUKACYJNE PRZEDMIOT: Podstawy ekonomii KLASA: I TH NUMER PROGRAMU NAUCZANIA: 2305/T-5 T-3,SP/MEN/1997.07.16 L.p. Dział programu 1. Człowiek - konsument -potrafi omówić podstawy ekonomii, - zna

Bardziej szczegółowo

Przyk ladowe Zadania z MSG cz

Przyk ladowe Zadania z MSG cz mgr Leszek Wincenciak, Katedra Makroekonomii i Teorii Handlu Zagranicznego Przyk ladowe Zadania z MSG cz eść handlowa 1. W modelu Ricardo mamy do czynienia z dwoma krajami prowadzacymi wymiane handlowa.

Bardziej szczegółowo

Mikro II: Rynek i Preferencje

Mikro II: Rynek i Preferencje Mikro II: Rynek i Preferencje Krzysztof Makarski 1 Rynek Wst ep W tym rozdziale zasygnalizowane sa problemy jakimi bedziemy sie zajmować. Pytania jakie b edziemy sobie zadawać. Sposób w jaki b edziemy

Bardziej szczegółowo

Mikro II: Rynek i Preferencje

Mikro II: Rynek i Preferencje Mikro II: Rynek i Preferencje Jacek Suda (slajdy: Krzysztof Makarski) 1 / 40 Rynek Wst ep W tym rozdziale zasygnalizowane sa problemy jakimi bedziemy sie zajmować. Pytania jakie b edziemy sobie zadawać.

Bardziej szczegółowo

dr Bartłomiej Rokicki Katedra Makroekonomii i Teorii Handlu Zagranicznego Wydział Nauk Ekonomicznych UW

dr Bartłomiej Rokicki Katedra Makroekonomii i Teorii Handlu Zagranicznego Wydział Nauk Ekonomicznych UW Katedra Makroekonomii i Teorii Handlu Zagranicznego Wydział Nauk Ekonomicznych UW Model klasyczny podstawowe założenia W modelu klasycznym wielkość PKB jest określana przez stronę podażową. Mamy 2 czynniki

Bardziej szczegółowo

Zestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala

Zestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala Zestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala November 12, 2009 Przyk ladowe zadania z rozwi azaniami Zadanie 1. Oblicz pochodne nastȩpuj

Bardziej szczegółowo

Mikro II: Krzywe kosztów, Podaż firmy i Podaż ga l

Mikro II: Krzywe kosztów, Podaż firmy i Podaż ga l Mikro II: Krzywe kosztów, Podaż firmy i Podaż ga l ezi. Jacek Suda (slajdy: Krzysztof Makarski) 1 / 59 Krzywe kosztów Wst ep Celem jest wyprowadzenie funkcji podaży i jej w lasności. Funkcje podaży wyprowadzamy

Bardziej szczegółowo

Akademia Młodego Ekonomisty

Akademia Młodego Ekonomisty Akademia Młodego Ekonomisty ABC eknomii Prof. Agnieszka Poczta-Wajda Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu 18 kwietnia 2019 r. Czym zajmuje się ekonomia? zasoby potrzeby ludzkie problem rzadkości naturalne

Bardziej szczegółowo

w teorii funkcji. Dwa s lynne problemy. Micha l Jasiczak

w teorii funkcji. Dwa s lynne problemy. Micha l Jasiczak Równania różniczkowe czastkowe w teorii funkcji. Dwa s lynne problemy. Micha l Jasiczak Horyzonty 2014 Podstawowy obiekt wyk ladu: funkcje holomorficzne wielu zmiennych Temat: dwa problemy, których znane

Bardziej szczegółowo

Ekonomia matematyczna i dynamiczna optymalizacja

Ekonomia matematyczna i dynamiczna optymalizacja Ekonomia matematyczna i dynamiczna optymalizacja Ramy wyk ladu i podstawowe narz edzia matematyczne SGH Semestr letni 2012-13 Uk lady dynamiczne Rozwiazanie modelu dynamicznego bardzo czesto można zapisać

Bardziej szczegółowo

Makroekonomia II Polityka fiskalna

Makroekonomia II Polityka fiskalna Makroekonomia II Polityka fiskalna D R A D A M C Z E R N I A K S Z K O Ł A G Ł Ó W N A H A N D L O W A W W A R S Z A W I E K A T E D R A E K O N O M I I I I 2 MIERNIKI RÓWNOWAGI FISKALNEJ wykład I Co składa

Bardziej szczegółowo

Makroekonomia 1. Modele graficzne

Makroekonomia 1. Modele graficzne Makroekonomia 1 Modele graficzne Obieg okrężny $ Gospodarstwa domowe $ $ $ $ $ Rynek zasobów $ Rynek finansowy $ $ Rząd $ $ $ $ $ $ $ Rynek dóbr i usług $ Firmy $ Model AD - AS Popyt zagregowany (AD) Popyt

Bardziej szczegółowo

Model klasyczny. popyt na czynnik. ilość czynnika

Model klasyczny. popyt na czynnik. ilość czynnika Model klasyczny W modelu Keynesa wielkość produkcji określała suma wydatków, np.: Y C + I + G + NX W modelu klasycznym wielkość PKB jest określana przez stronę podażową. Mamy 2 czynniki produkcji (K i

Bardziej szczegółowo

Mikro II: Technologia, Maksymalizacja zysku i Minimalizacja

Mikro II: Technologia, Maksymalizacja zysku i Minimalizacja Mikro II: Technologia, Maksymalizacja zysku i Minimalizacja kosztów Krzysztof Makarski 18 Technologia Wst ep Przypomnijmy: Teoria konsumenta w szczególności krzywa popytu Teraz krzywa podaży (analogicznie)

Bardziej szczegółowo

Mikro II: Wymiana i Asymetria Informacji

Mikro II: Wymiana i Asymetria Informacji Mikro II: i Asymetria Informacji Jacek Suda (slajdy: Krzysztof Makarski) 1 / 40 Wst ep. Do tej pory zajmowaliśmy sie g lównie analiza pojedynczych rynków. Analiza w równowadze czastkowej - teoria jednego

Bardziej szczegółowo

Makroekonomia 1 Wykład 5: Model klasyczny gospodarki (dla przypadku gospodarki zamkniętej)

Makroekonomia 1 Wykład 5: Model klasyczny gospodarki (dla przypadku gospodarki zamkniętej) Makroekonomia 1 Wykład 5: Model klasyczny gospodarki (dla przypadku gospodarki zamkniętej) Gabriela Grotkowska Katedra Makroekonomii i Teorii Handlu Zagranicznego PKB jako miara dobrobytu Produkcja w gospodarce

Bardziej szczegółowo

Rachunek zdań - semantyka. Wartościowanie. ezyków formalnych. Semantyka j. Logika obliczeniowa. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010

Rachunek zdań - semantyka. Wartościowanie. ezyków formalnych. Semantyka j. Logika obliczeniowa. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010 Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 1 formu l rachunku zdań Wartościowanie i sta le logiczne Logiczna równoważność 2 Model formu ly Formu la spe lniona Formu la spe

Bardziej szczegółowo

Jednorazowa sk ladka netto w przypadku stochastycznej stopy procentowej. Ubezpieczenie na ca le życie z n-letnim okresem odroczenia.

Jednorazowa sk ladka netto w przypadku stochastycznej stopy procentowej. Ubezpieczenie na ca le życie z n-letnim okresem odroczenia. Jednorazowa sk ladka netto w przypadku stochastycznej stopy procentowej Ubezpieczenie na ca le życie z n-letnim okresem odroczenia Wartość obecna wyp laty Y = Zatem JSN = = Kx +1 0, K x = 0, 1,..., n 1,

Bardziej szczegółowo

Bardzo dobra Dobra Dostateczna Dopuszczająca

Bardzo dobra Dobra Dostateczna Dopuszczająca ELEMENTY EKONOMII PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Klasa: I TE Liczba godzin w tygodniu: 3 godziny Numer programu: 341[02]/L-S/MEN/Improve/1999 Prowadzący: T.Kożak- Siara I Ekonomia jako nauka o gospodarowaniu

Bardziej szczegółowo

Makroekonomia Gregory N. Mankiw, Mark P. Taylor

Makroekonomia Gregory N. Mankiw, Mark P. Taylor Makroekonomia Gregory N. Mankiw, Mark P. Taylor Popularny w USA i Europie Zachodniej podręcznik przeznaczony do studiowania makroekonomii na pierwszych latach studiów. Obejmuje takie zagadnienia, jak rachunek

Bardziej szczegółowo

Makroekonomia I ćwiczenia 4 Pieniądz

Makroekonomia I ćwiczenia 4 Pieniądz Makroekonomia I ćwiczenia 4 Pieniądz Tomasz Gajderowicz Agenda Przyporządkowanie tematów Pieniądz Co to jest Inflacja? Zadania Wykorzystując informacje z omawianych na zajęciach źródeł danych empirycznych,

Bardziej szczegółowo

Makroekonomia 1 Wykład 5: Klasyczny model gospodarki zamkniętej

Makroekonomia 1 Wykład 5: Klasyczny model gospodarki zamkniętej Makroekonomia 1 Wykład 5: Klasyczny model gospodarki zamkniętej Gabriela Grotkowska Katedra Makroekonomii i Teorii Handlu Zagranicznego PKB jako miara dobrobytu Produkcja w gospodarce Mierzyć już umiemy,

Bardziej szczegółowo

Przyk ladowe Kolokwium II. Mikroekonomia II. 2. Na lożenie podatku na produkty produkowane przez monopol w wysokości 10 z l doprowadzi do

Przyk ladowe Kolokwium II. Mikroekonomia II. 2. Na lożenie podatku na produkty produkowane przez monopol w wysokości 10 z l doprowadzi do Przyk ladowe Kolokwium II Mikroekonomia II Imi e i nazwisko:...... nr albumu:... Instrukcje. Bez oszukiwania. Jeżeli masz pytanie podnieś r ek e. Cz eść I. Test wyboru. 1. W zmonopolizowanej branży cena

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 10. Formy dwuliniowe i kwadratowe Formy dwuliniowe Definicja i przyk lady

Rozdzia l 10. Formy dwuliniowe i kwadratowe Formy dwuliniowe Definicja i przyk lady Rozdzia l 10 Formy dwuliniowe i kwadratowe 10.1 Formy dwuliniowe 10.1.1 Definicja i przyk lady Niech X K b edzie przestrzenia liniowa nad cia lem K, dim(x K ) = n. Definicja 10.1 Przekszta lcenie ϕ : X

Bardziej szczegółowo

WYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3

WYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3 WYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3 Definicja 1 Przestrzenia R 3 nazywamy zbiór uporzadkowanych trójek (x, y, z), czyli R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} Przestrzeń

Bardziej szczegółowo

Mikro II: Technologia, Maksymalizacja zysku i Minimalizacja kosztów.

Mikro II: Technologia, Maksymalizacja zysku i Minimalizacja kosztów. Mikro II: Technologia, Maksymalizacja zysku i Minimalizacja kosztów. Jacek Suda (slajdy: Krzysztof Makarski) 1 / 39 Technologia Wst ep. Przypomnijmy: Teoria konsumenta. w szczególności krzywa popytu. Teraz

Bardziej szczegółowo

Mikroekonomia. Wykład 3

Mikroekonomia. Wykład 3 Mikroekonomia Wykład 3 Model czystej wymiany Jednostki dysponują stałymi zasobami dóbr i dobra te mogą wymieniać między sobą (proces produkcji zostaje pominięty) Dwóch konsumentów (lub dwa rodzaje konsumentów):

Bardziej szczegółowo

Makroekonomia 1 Wykład 5: Model klasyczny gospodarki (zamkniętej)

Makroekonomia 1 Wykład 5: Model klasyczny gospodarki (zamkniętej) Makroekonomia 1 Wykład 5: Model klasyczny gospodarki (zamkniętej) Gabriela Grotkowska Katedra Makroekonomii i Teorii Handlu Zagranicznego Produkcja w gospodarce Mierzyć już umiemy, teraz: wyjaśniamy!!

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 3. Natalia Nehrebecka Dariusz Szymański. 13 kwietnia, 2010

Wyk lad 3. Natalia Nehrebecka Dariusz Szymański. 13 kwietnia, 2010 Wyk lad 3 Natalia Nehrebecka Dariusz Szymański 13 kwietnia, 2010 N. Nehrebecka, D.Szymański Plan zaj eć 1 Sprowadzenie modelu nieliniowego do liniowego 2 w modelu liniowym Elastyczność Semielastyczność

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 3 Wyznaczniki

Wyk lad 3 Wyznaczniki 1 Określenie wyznacznika Wyk lad 3 Wyznaczniki Niech A bedzie macierza kwadratowa stopnia n > 1 i niech i, j bed a liczbami naturalnymi n Symbolem A ij oznaczać bedziemy macierz kwadratowa stopnia n 1

Bardziej szczegółowo

Pieniądz. M1 = gotówka w obiegu + depozyty na żądanie M2, M3 zawierają M1 i mniej płynne rodzaje środków np.. obligacje

Pieniądz. M1 = gotówka w obiegu + depozyty na żądanie M2, M3 zawierają M1 i mniej płynne rodzaje środków np.. obligacje Pieniądz Główne pytania Dlaczego ludzie potrzebują pieniędzy? Dlaczego państwo chce wpływać na podaż pieniądza? Jak rynki finansowe są powiązane z realną gospodarką? Jaka jest zależność między pieniądzem

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach. Określenie wyznacznika

Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach. Określenie wyznacznika Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach Określenie wyznacznika 1 Określenie macierzy Niech K bedzie dowolnym cia lem oraz niech n i m bed a dowolnymi liczbami naturalnymi Prostokatn a tablice a 11 a 12 a 1n

Bardziej szczegółowo

Makroekonomia 1 - ćwiczenia. mgr Małgorzata Kłobuszewska Rynek pracy, inflacja

Makroekonomia 1 - ćwiczenia. mgr Małgorzata Kłobuszewska Rynek pracy, inflacja Makroekonomia 1 - ćwiczenia mgr Małgorzata Kłobuszewska Rynek pracy, inflacja Przed kolokwium 90 minut Kilka zadań testowych (nie więcej niż 10), raczej z pierwszej części materiału (PKB, rynek pracy,

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone, liniowa zależność i bazy Javier de Lucas. a d b c. ad bc

Liczby zespolone, liniowa zależność i bazy Javier de Lucas. a d b c. ad bc Liczby zespolone, liniowa zależność i bazy Javier de Lucas Ćwiczenie. Dowieść, że jeśli µ := c d d c, to homografia h(x) = (ax+b)/(cx+d), a, b, c, d C, ad bc, odwzorowuje oś rzeczywist a R C na okr ag

Bardziej szczegółowo

WNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ

WNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ WNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ Dana jest populacja generalna, w której dwuwymiarowa cecha (zmienna losowa) (X, Y ) ma pewien dwuwymiarowy rozk lad. Miara korelacji liniowej dla zmiennych (X, Y

Bardziej szczegółowo

Pieniądz. Polityka monetarna

Pieniądz. Polityka monetarna Pieniądz. Polityka monetarna Definicja Pieniądz można więc najogólniej zdefiniować jako powszechnie akceptowany w danym kraju środek płatniczy. Istota pieniądza przejawia się w jego funkcjach: środka wymiany

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy

Bardziej szczegółowo

Mikro II: Nadwyżka konsumenta, Popyt rynkowy i Równowaga.

Mikro II: Nadwyżka konsumenta, Popyt rynkowy i Równowaga. Mikro II: Nadwyżka konsumenta, Popyt rynkowy i Równowaga. Krzysztof Makarski 14 Nadwyżka konsumenta Wst ep Przypomnijmy: Podstawy teoria konsumenta. Zastosowanie wsz edzie. W szczególności poszukiwanie

Bardziej szczegółowo

Determinanty kursu walutowego w krótkim okresie

Determinanty kursu walutowego w krótkim okresie Determinanty kursu walutowego w krótkim okresie Wykład 9 z Międzynarodowych Stosunków Gospodarczych, C UW Copyright 2006 Pearson Addison-Wesley & Gabriela Grotkowska 2 Wykład 9 Kurs walutowy w krótkim

Bardziej szczegółowo

Pierwsze kolokwium z Matematyki I 4. listopada 2013 r. J. de Lucas

Pierwsze kolokwium z Matematyki I 4. listopada 2013 r. J. de Lucas Pierwsze kolokwium z Matematyki I 4. listopada 03 r. J. de Lucas Uwagi organizacyjne: Każde zadanie rozwi azujemy na osobnej kartce, opatrzonej imieniem i nazwiskiem w lasnym oraz osoby prowadz acej ćwiczenia,

Bardziej szczegółowo

Makroekonomia 1 Wykład 12: Naturalna stopa bezrobocia i krzywa AS

Makroekonomia 1 Wykład 12: Naturalna stopa bezrobocia i krzywa AS Makroekonomia 1 Wykład 12: Naturalna stopa bezrobocia i krzywa AS Gabriela Grotkowska Katedra Makroekonomii i Teorii Handlu Zagranicznego NATURALNA STOPA BEZROBOCIA Naturalna stopa bezrobocia Ponieważ

Bardziej szczegółowo

MAKROEKONOMIA 2. Wykład 1. Model AD/AS - powtórzenie. Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak

MAKROEKONOMIA 2. Wykład 1. Model AD/AS - powtórzenie. Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak MAKROEKONOMIA 2 Wykład 1. Model AD/AS - powtórzenie Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak Plan wykładu 1. Krótkookresowe wahania koniunktury Dynamiczny model zagregowanego popytu i podaży: skutki

Bardziej szczegółowo

Makroekonomia I ćwiczenia 4 Pieniądz

Makroekonomia I ćwiczenia 4 Pieniądz Makroekonomia I ćwiczenia 4 Pieniądz Tomasz Gajderowicz Agenda Kartkówka Pieniądz Inflacja Zadania Mechanizm mnożnikowy pieniądza Agregaty pieniężne M0 = H = C (gotówka w obiegu) + R (rezerwy) M1 = C +

Bardziej szczegółowo

1. Które z następujących funkcji produkcji cechują się stałymi korzyściami ze skali? (1) y = 3x 1 + 7x 2 (2) y = x 1 1/4 + x 2

1. Które z następujących funkcji produkcji cechują się stałymi korzyściami ze skali? (1) y = 3x 1 + 7x 2 (2) y = x 1 1/4 + x 2 1. Które z następujących funkcji produkcji cechują się stałymi korzyściami ze skali? (1) y = 3x 1 + 7x 2 (2) y = x 1 1/4 + x 2 1/3 (3) y = min{x 1,x 2 } + min{x 3,x 4 } (4) y = x 1 1/5 x 2 4/5 a) 1 i 2

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera

Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa Wzory Cramera Metoda eliminacji Gaussa Metoda eliminacji Gaussa polega na znalezieniu dla danego uk ladu a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n =

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych

Testowanie hipotez statystycznych Testowanie hipotez statystycznych Wyk lad 9 Natalia Nehrebecka Stanis law Cichocki 28 listopada 2018 Plan zaj eć 1 Rozk lad estymatora b 2 3 dla parametrów 4 Hipotezy l aczne - test F 5 Dodatkowe za lożenie

Bardziej szczegółowo

celu przyjmijmy: min x 0 = n t Zadanie transportowe nazywamy zbilansowanym gdy podaż = popyt, czyli n

celu przyjmijmy: min x 0 = n t Zadanie transportowe nazywamy zbilansowanym gdy podaż = popyt, czyli n 123456789 wyk lad 9 Zagadnienie transportowe Mamy n punktów wysy lajacych towar i t punktów odbierajacych. Istnieje droga od każdego dostawcy do każdego odbiorcy i znany jest koszt transportu jednostki

Bardziej szczegółowo

Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym

Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania optymalnego

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Wstęp (S. Marciniak) 11

Spis treści. Wstęp (S. Marciniak) 11 Makro- i mikroekonomia : podstawowe problemy współczesności / red. nauk. Stefan Marciniak ; zespół aut.: Lidia Białoń [et al.]. Wyd. 5 zm. Warszawa, 2013 Spis treści Wstęp (S. Marciniak) 11 Część I. Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Makroekonomia zaawansowana, rynek pracy

Makroekonomia zaawansowana, rynek pracy Uniwersytet Warszawski, Wydział Nauk Ekonomicznych Makroekonomia zaawansowana, rynek pracy Zestaw zadań: Leszek Wincenciak, Rozwiązania: Marcin Bielecki Zadanie 4 a Sekwencyjny proces zatrudniania FIFO.

Bardziej szczegółowo

Mikroekonomia. Wykład 5

Mikroekonomia. Wykład 5 Mikroekonomia Wykład 5 Model czystej wymiany Brak produkcji, tylko zasoby początkowe, czyli nie wiadomo jak czynniki produkcji zostały przekształcone w produkt końcowy. Równowaga ogólna: wszystkie rynki

Bardziej szczegółowo

Indeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl. krzywej zamknietej

Indeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl. krzywej zamknietej Indeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl edem krzywej zamkni etej 1. Liczby zespolone - konstrukcja Hamiltona 2. Homotopia odwzorowań na okr egu 3. Indeks odwzorowania ciag lego wzgledem krzywej zamknietej

Bardziej szczegółowo

Mikro II: Użyteczność, Ograniczenie budżetowe i Wybór

Mikro II: Użyteczność, Ograniczenie budżetowe i Wybór Mikro II: Użyteczność, Ograniczenie budżetowe i Wybór Jacek Suda (slajdy: Krzysztof Makarski) 1 / 49 Użyteczność Wst ep Przypomnijmy: Podstawy teoria konsumenta. Zastosowanie wsz edzie. W szczególności

Bardziej szczegółowo

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu 21 marca 2011 Zmienna losowa - wst ep Przeprowadzane w praktyce badania i eksperymenty maja bardzo różnorodny charakter, niemniej jednak wiaż a sie one z rejestracja jakiś sygna lów (danych). Moga to być

Bardziej szczegółowo

Polityka fiskalna i pieniężna

Polityka fiskalna i pieniężna Ćwiczenia z akroekonomii II Polityka fiskalna i pieniężna Deficyt budżetowy i cykle koniunkturalne na wstępie zaznaczyliśmy, że wielkość deficytu powinna zależeć od tego w jakiej fazie cyklu koniunkturalnego

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa do wydania polskiego Przedmowa WPROWADZENIE

Spis treści. Przedmowa do wydania polskiego Przedmowa WPROWADZENIE Spis treści Przedmowa do wydania polskiego Przedmowa xiii xv WPROWADZENIE l Rozdział l. Ekonomiczne opisanie świata 3 1.1. Stany Zjednoczone 4 1.2. Unia Europejska 10 1.3. Chiny 15 1.4. Spojrzenie na inne

Bardziej szczegółowo

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu 10 marca 2014 Zmienna losowa - wst ep Przeprowadzane w praktyce badania i eksperymenty maja bardzo różnorodny charakter, niemniej jednak wiaż a sie one z rejestracja jakiś sygna lów (danych). Moga to być

Bardziej szczegółowo

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 5 Kalkulacja sk ladki netto I

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 5 Kalkulacja sk ladki netto I Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 5 Kalkulacja sk ladki netto I 1 Kodeks cywilny Tytu l XXVII, Umowa ubezpieczenia Dzia l I. Przepisy ogólne Dzia l II. Ubezpieczenia majatkowe

Bardziej szczegółowo

Wykład 19: Model Mundella-Fleminga, część I (płynne kursy walutowe) Gabriela Grotkowska

Wykład 19: Model Mundella-Fleminga, część I (płynne kursy walutowe) Gabriela Grotkowska Międzynarodowe Stosunki Ekonomiczne Makroekonomia gospodarki otwartej i finanse międzynarodowe Wykład 19: Model Mundella-Fleminga, część I (płynne kursy walutowe) Gabriela Grotkowska Plan wykładu Model

Bardziej szczegółowo

Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym

Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania optymalnego

Bardziej szczegółowo

Model klasyczny. dr Bartek Rokicki. Ćwiczenia z Makroekonomii II. W modelu Keynesa wielkość produkcji określała suma wydatków, np.: Y = C + I + G + NX

Model klasyczny. dr Bartek Rokicki. Ćwiczenia z Makroekonomii II. W modelu Keynesa wielkość produkcji określała suma wydatków, np.: Y = C + I + G + NX Model klasyczny W modelu Keynesa wielkość produkcji określała suma wydatków, np.: Y = C + I + G + NX W modelu klasycznym wielkość PKB jest określana przez stronę podażową. Mamy 2 czynniki produkcji (K

Bardziej szczegółowo

MAKROEKONOMIA 2. Wykład 14. Podsumowanie. dr Dagmara Mycielska dr hab. Joanna Siwińska - Gorzelak

MAKROEKONOMIA 2. Wykład 14. Podsumowanie. dr Dagmara Mycielska dr hab. Joanna Siwińska - Gorzelak MAKROEKONOMIA 2 Wykład 14. Podsumowanie dr Dagmara Mycielska dr hab. Joanna Siwińska - Gorzelak Plan wykładu 1. Egzamin i warunki zaliczenia przypomnienie. 2. Czego się nauczyliśmy? Powtórka z wykładu

Bardziej szczegółowo

Korekta nierównowagi zewnętrznej

Korekta nierównowagi zewnętrznej Wykład 4 Korekta nierównowagi zewnętrznej Plan wykładu 1. System kursu walutowego 2. Korekta przy sztywnym kursie 1. System kursu walutowego W systemie płynnych kursów walutowych cena waluty jest wyznaczona

Bardziej szczegółowo

Analiza cykli koniunkturalnych model ASAD

Analiza cykli koniunkturalnych model ASAD Analiza cykli koniunkturalnych model AS odstawowe założenia modelu: ceny i płace mogą ulegać zmianom (w odróżnieniu od poprzednio omawianych modeli) punktem odniesienia analizy jest obserwacja poziomu

Bardziej szczegółowo

Warunkiem uzyskania zaliczenia ćwiczeń jest zdobycie minimum 51% punktów możliwych do uzyskania w semestrze. Punkty studenci mogą zdobyć za:

Warunkiem uzyskania zaliczenia ćwiczeń jest zdobycie minimum 51% punktów możliwych do uzyskania w semestrze. Punkty studenci mogą zdobyć za: Ćwiczenia: Makroekonomia I Prowadzący: Łukasz Goczek WWW: http://coin.wne.uw.edu.pl/lgoczek E-mail: lgoczek@wne.uw.edu.pl Dyżur: poniedziałek 14:00-14:55, sala 409-10 I. Cel zajęć Celem ćwiczeń prowadzonych

Bardziej szczegółowo

niestacjonarne IZ2106 Liczba godzin Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Studia stacjonarne 30 0 0 0 0 Studia niestacjonarne 24 0 0 0 0

niestacjonarne IZ2106 Liczba godzin Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Studia stacjonarne 30 0 0 0 0 Studia niestacjonarne 24 0 0 0 0 1. Informacje ogólne Nazwa przedmiotu Kod kursu Ekonomia stacjonarne ID1106 niestacjonarne IZ2106 Liczba godzin Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Studia stacjonarne 0 0 0 0 0 Studia niestacjonarne

Bardziej szczegółowo

Makroekonomia I ćwiczenia 4 Pieniądz

Makroekonomia I ćwiczenia 4 Pieniądz Makroekonomia I ćwiczenia 4 Pieniądz Tomasz Gajderowicz Agenda Pieniądz Co to jest Inflacja? Zadania Mechanizm mnożnikowy pieniądza NOWE! Literki, Literki, Literki CU, C gotówka w obiegu R rezerwy utrzymywane

Bardziej szczegółowo

Akademia Wychowania Fizycznego im. Bronisława Czecha w Krakowie. Karta przedmiotu

Akademia Wychowania Fizycznego im. Bronisława Czecha w Krakowie. Karta przedmiotu Akademia Wychowania Fizycznego im. Bronisława Czecha w Krakowie Wydział Turystyki i Rekreacji Karta obowiązuje studentów, którzy rozpoczęli studia w roku akademickim 01/013 Kierunek studiów: Turystyka

Bardziej szczegółowo

MODEL AS-AD. Dotąd zakładaliśmy (w modelu IS-LM oraz w krzyżu keynesowskim), że ceny w gospodarce są stałe. Model AS-AD uchyla to założenie.

MODEL AS-AD. Dotąd zakładaliśmy (w modelu IS-LM oraz w krzyżu keynesowskim), że ceny w gospodarce są stałe. Model AS-AD uchyla to założenie. MODEL AS-AD Dotąd zakładaliśmy (w modelu IS-LM oraz w krzyżu keynesowskim), że ceny w gospodarce są stałe. Model AS-AD uchyla to założenie. KRZYWA AD Krzywą AD wyprowadza się z modelu IS-LM Każdy punkt

Bardziej szczegółowo

Makroekonomia I ćwiczenia 4 Pieniądz

Makroekonomia I ćwiczenia 4 Pieniądz Makroekonomia I ćwiczenia 4 Pieniądz Tomasz Gajderowicz Agenda Kartkówka Pieniądz Co to jest Inflacja? Zadania Agregaty pieniężne M0 = H = C (gotówka w obiegu) + R (rezerwy) M1 = C + D (wkłady na żądanie)

Bardziej szczegółowo

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN Z MAKROEKONOMII I Wersja przykładowa

EGZAMIN Z MAKROEKONOMII I Wersja przykładowa EGZAMIN Z MAKROEKONOMII I Wersja przykładowa... Imię i nazwisko, nr albumu INSTRUKCJA 1. Najpierw przeczytaj zasady i objaśnienia. 2. Potem podpisz wszystkie kartki (tam, gdzie jest miejsce na Twoje imię

Bardziej szczegółowo

pieniężnej. Jak wpłynie to na: krzywą LM... krajową stopę procentową... kurs walutowy... realny kurs walutowy ( przyjmij e ) ... K eksport netto...

pieniężnej. Jak wpłynie to na: krzywą LM... krajową stopę procentową... kurs walutowy... realny kurs walutowy ( przyjmij e ) ... K eksport netto... ZADANIA, TY I 1. Rozważmy model gospodarki otwartej (IS-LM i B), z płynnym kursem walutowym, gdy (nachylenie LM > nachylenie B). aństwo decyduje się na prowadzenie ekspansywnej polityki krzywą LM krajową

Bardziej szczegółowo

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu 31 marca 2014 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia, Makrokonomia II, 4/11 października 2017

Ćwiczenia, Makrokonomia II, 4/11 października 2017 Ćwiczenia, Makrokonomia II, 4/11 października 2017 1. W gospodarce zamkniętej Francia produkowane i konsumowane są trzy produkty: Camembert, bagietki i czerwone wino. W poniższej tabeli przedstawiono ceny

Bardziej szczegółowo

Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010

Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010 R. Rȩbowski 1 WPROWADZENIE Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010 1 Wprowadzenie Powszechnie uważa siȩ, że metoda simplex, jako uniwersalny algorytm pozwalaj acyznaleźć rozwi azanie optymalne

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe, liniowa niezależność Javier de Lucas

Przestrzenie wektorowe, liniowa niezależność Javier de Lucas Przestrzenie wektorowe, liniowa niezależność Javier de Lucas Ćwiczenie 1. W literaturze można znaleźć pojȩcia przestrzeni liniowej i przestrzeni wektorowej. Obie rzeczy maj a tak a sam a znaczenie. Nastȩpuj

Bardziej szczegółowo

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 3 Tablice trwania życia 2

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 3 Tablice trwania życia 2 Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 3 Tablice trwania życia 2 1 Przypomnienie Jesteśmy już w stanie wyznaczyć tp x = l x+t l x, gdzie l x, l x+t, to liczebności kohorty odpowiednio

Bardziej szczegółowo

MAKROEKONOMIA 2. Wykład 2. Dynamiczny model DAD/DAS. Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak

MAKROEKONOMIA 2. Wykład 2. Dynamiczny model DAD/DAS. Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak MAKROEKONOMIA 2 Wykład 2. Dynamiczny model DAD/DAS Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak Plan wykładu Uwzględnienie dynamiki w modelu AD/AS. Modelowanie wpływu zakłóceń lub zmian polityki gospodarczej

Bardziej szczegółowo

REFORMA 2012. Wprowadzenie do ekonomii Ewelina Nojszewska. Podręcznik do nauki zawodu BRANŻA EKONOMICZNA

REFORMA 2012. Wprowadzenie do ekonomii Ewelina Nojszewska. Podręcznik do nauki zawodu BRANŻA EKONOMICZNA REFORMA 2012 Wprowadzenie do ekonomii Ewelina Nojszewska Podręcznik do nauki zawodu BRANŻA EKONOMICZNA Ilustrator: Jerzy Flisak Podręcznik do nauki zawodu technik ekonomista i innych zawodów z branży ekonomicznej

Bardziej szczegółowo

MAKROEKONOMIA 2. Wykład 2. Dynamiczny model DAD/DAS. Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak

MAKROEKONOMIA 2. Wykład 2. Dynamiczny model DAD/DAS. Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak MAKROEKONOMIA 2 Wykład 2. Dynamiczny model DAD/DAS Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak Plan wykładu Uwzględnienie dynamiki w modelu AD/AS. Modelowanie wpływu zakłóceń lub zmian polityki gospodarczej

Bardziej szczegółowo

Autonomiczne składniki popytu globalnego Efekt wypierania i tłumienia Krzywa IS Krzywa LM Model IS-LM

Autonomiczne składniki popytu globalnego Efekt wypierania i tłumienia Krzywa IS Krzywa LM Model IS-LM Autonomiczne składniki popytu globalnego Efekt wypierania i tłumienia Krzywa IS Krzywa LM Model IS-LM Konsumpcja, inwestycje Utrzymujemy założenie o stałości cen w gospodarce. Stopa procentowa wiąże ze

Bardziej szczegółowo

Sterowalność liniowych uk ladów sterowania

Sterowalność liniowych uk ladów sterowania Sterowalność liniowych uk ladów sterowania W zadaniach sterowania docelowego należy przeprowadzić obiekt opisywany za pomoc a równania stanu z zadanego stanu pocz atkowego ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), t [t,

Bardziej szczegółowo

Model Davida Ricardo

Model Davida Ricardo Model Davida Ricardo mgr eszek incenciak 15 lutego 2005 r. 1 Założenia modelu Analiza w modelu Ricardo opiera się na następujących założeniach: istnieje doskonała konkurencja na rynku dóbr i rynku pracy;

Bardziej szczegółowo

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 2 Tablice trwania życia

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 2 Tablice trwania życia Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 2 Tablice trwania życia 1 Cele (na dzisiaj): Zrozumieć w jaki sposób można wyznaczyć przysz ly czas życia osoby w wieku x. Zrozumieć parametry

Bardziej szczegółowo

Krzywa IS Popyt inwestycyjny zależy ujemnie od wysokości stóp procentowych.

Krzywa IS Popyt inwestycyjny zależy ujemnie od wysokości stóp procentowych. Notatka model ISLM Model IS-LM ilustruje równowagę w gospodarce będącą efektem jednoczesnej równowagi na rynku dóbr i usług, a także rynku pieniądza. Jest to matematyczna interpretacja teorii Keynesa.

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania

Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania 1 Przekszta lcenia liniowe i ich w lasności Definicja 9.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Przekszta lcenie f : V W spe lniajace warunki:

Bardziej szczegółowo