Wykład 9. Stateczność prętów. Wyboczenie sprężyste

Transkrypt

1 Wykład 9. Stateczność prętó. Wyoczenie sprężyste 1. Siła ytyczna pręta podpartego soodnie Dla pręta jak na rysunku 9.1 eźmiemy pod uagę możliość ygięcia się pręta z osi podczas ściskania. jest modułem Younga, momentem ezładności przeoju zględem osi z. Zapiszemy Moment zględem punktu o spółrzędnej na ugiętej osi elki: Rysunek 9.1. ostać ugięta pręta przy ściskaniu. M ) y ) ponieaż M ) y ) otrzymuje się rónanie różniczkoe zyczajne: y ) y ) przedstaiane zykle postaci: y ) k y ) gdzie k 9.1) z arunkami rzegoymi y) oraz y) ego roziązaniem jest: y ) Asink Bcos k 9.) odstaienie arunkó rzegoyc do rónania 9.) proadzi do jednorodnego układu rónań na spółczynniki A oraz B. A, B jest roziązaniem tryialnym i odpoiada postaci osioej ściskania. Warunkiem istnienia roziązania nietryialnego jest zeroanie się yznacznika macierzy przy nieiadomyc: 1 A 1 > sink cosk B det sink cosk > sink > knπ Dla n1 otrzymuje się najmniejszą siłę, przy której postać ugięta jest możlia. est to siła ytyczna ulera: π 9.) 1

2 . Inne arunki rzegoe ak łato zauażyć, postać linii ugięcia yoczenia pojedynczego pręta pod działaniem siły pionoej skupionej na jego końcu ędzie zasze podona do 9.): y ) Asink Bcos k y szczegó ln e Stałe A, B oraz eentualne inne parametry roziązania szczególnego zależą od arunkó rzegoyc. Można ykazać, że prostyc przypadkó zależność tę można sproadzić do zastąpienia długości pręta peną zastępczą długością zanej długością yoczenioą. π α 9.) Wartości parametru α częstyc arunkó podparcia: Rysunek 9.. Długości yoczenioe. Uaga: ako ćiczenie proszę spradzić artość α któregokoliek scematu!. Smukłość Oliczmy naprężenie odpoiadające sile ytycznej: π π π π π σ λ A A A λ r / A r π σ λ 9.5) W poyższym zorze A jest polem przeoju zaś r jest promieniem ezładności przeoju. Smukłość λ jest liczą carakteryzującą pręt. Zależy ona od łaściości przeoju, długości yoczenioej pręta ięc od arunkó podparcia) i od łasności materiału pręta. Znając materiału pręta oraz dopuszczalne naprężenie możemy yznaczyć jego dopuszczalną) łaścią smukłość. Dlatego można móić o smukłości ziązanej z materiałem z jakiego ykonany jest pręt. λ π dop σ dop

3 . Wyoczenie z uzględnieniem mimośrodu siły ściskającej Dla pręta ociążonego mimośrodoo jak na rysunku) Rys. 9. Wyoczenie przy ściskaniu mimośrodoym otrzymuje się rónanie różniczkoe zyczajne: y ) k y ) gdzie k z arunkami rzegoymi y)e oraz y)e ego roziązaniem jest: y ) Asink Bcos k odstaienie arunkó rzegoyc do rónania 9.) proadzi do niejednorodnego układu rónań na spółczynniki A oraz B. Można ięc yznaczyć A oraz B: cosk A e 1 ; B e sink 1 cosk roziązanie: y ) e sink cosk można zapisać postaci: sink y ma k k k y ) e sin sink cos cosk / cos W środku rozpiętości otrzymujemy: e e y / ) y ma π cos Założenie, że siła działa na mimośrodzie pozala oliczyć ugięcie, moment i naprężenia siły liskiej sile ytycznej. Zauażamy, że jeśli -> to y ma -> nieskończoności. Ćiczenie: oliczyć naprężenia i zroić yes ic zależności od poliżu siły ytycznej

4 5. Metoda energetyczna Z porónania energii enętrznej pręta zginanego A i pracy siły ściskającej na przemieszczeniu końca pręta W rysunek 9.) ynika zór energetyczny na oliczenie siły ytycznej. Rys. 9.. Oznaczenia do zoru na siłę ytyczną oliczoną metodą energetyczną A M ) d y )y )d y )) d ρ ) W 1 1 d dcosα ) 1 cosα )d tg αd y )) y )) d 9.6) y )) d We zorze tym y) jest roziązaniem zagadnienia yoczenia, najczęściej nieznanym. Można udoodnić, że dore przyliżenie artości siły ytycznej można otrzymać funkcji y), która jest ciągła i spełnia kinematyczne i statyczne arunki rzegoe. Można też ykazać, że jeśli uda się zapisać zór 9.6) penej rodziny funkcji kinematycznie dopuszczalnyc V, to najlepszym przyliżeniem siły ytycznej ędzie: d v )) d min v V v )) d 6. rzykład zastosoania metody energetycznej Dla pręta o zmiennym przeoju, jak na rysunku poniżej, roziązanie rónania różniczkoego może się okazać skomplikoane. Dlatego przyjęto przyliżoną postać funkcji ugięcia, która spełnia arunki rzegoe statyczne: M) oraz M). Doór spółczynnikó pozala spełnić rónież arunki kinematyczne: y), y). Rozpatrzymy najpier yoczenie płaszczyźnie y-. Zastosujemy metodę energetyczna przyjmując przyliżona linię ugięcia y): y'')a-) jest proporcjonalna do momentu i zeruje się przeguac elki.

5 5 B A a ) y 6 1 Rys ręt o linioo zmiennej szerokości przeoju A oraz B yznaczymy z arunkó y)y): B, A / a ) y Moment ezładności płaszczyźnie y: > < 1 / / z d d ) d ) / / / y W płaszczyźnie z posłużymy się tą samą metodą: > < 1 / / y d d ) d ) / / / z eśli to: ) , min z y Ćiczenie: spradzić, że y)sinπ/) otrzyma się.5 o /