Dr inż. Janusz Dębiński

Transkrypt

1 r inż. Janusz ębiński Mechanika teoretyczna zastosowanie metody prac wirtualnych 1. Metoda prac wirtualnych zadanie Zadanie 1 Na rysunku 1.1 przedstawiono belkę złożoną z pionowym prętem F, na którą działa obciążenie czynne. Metodą prac wirtualnych wyznaczyć: wszystkie reakcje funkcje sił przekrojowych w dwóch przedziałach siły poprzeczne oraz momenty zginające w zadanych punktach. F 0,5 Rys elka ciągła 1.. Przedział F Ponieważ pręt F jest pionowy i skomplikuje obliczenia należy się go pozbyć. Na rysunku 1.a przedstawiono odcięty pręt F. W punkcie tego pręta działają siły przekrojowe. Siła normalna Siła poprzeczna Moment zginający N =0,0 kn. (1.1) T =. (1.) M = 15,0 0,5= 7,50 kn m. (1.3) Na rysunku 1.b przedstawiono belkę złożoną. W punkcie działają siły, które zastąpiły pręt F. elka ta będzie podstawą do dalszy obliczeń. We wszystkich równaniach prac wirtualnych pozioma siła o wartości nie będzie uwzględniana, ponieważ poziome wirtualne przemieszczenie punktu wynosi zawsze zero. Z tego samego powodu nie można metodą prac wirtualnych wyznaczyć reakcji poziomych w belce złożonej. r inż. Janusz ębiński S-I

2 Metoda prac wirtualnych zadanie 1 M N T T F M 0,5 N Rys. 1.. elka złożona. odcięty pręt F, ostateczny schemat belki złożonej 1.3. Wyznaczenie reakcji podporowych by wyznaczyć pionową reakcję w utwierdzeniu należy zastąpić je podporą ślizgową. Na rysunku 1.3a przedstawiono belkę po tej operacji. Pręt zachowa się jako wózek widłowy, a pręt jako huśtawka. Przemieszczenia wirtualne belki przedstawiono na rysunku 1.3b. Siła wypadkowa z obciążenia ciągłego w przedziale W =8,0,0=. (1.4) Równanie pracy wirtualnej ma postać (praca momentu 7,50 knm jest ujemna, ponieważ moment ten kręci zgodnie z ruchem wskazówek zegara, a pręt obrócił się względem punktu przeciwnie do ruchu wskazówek zegar L= V 13,0 Δ 16,0 Δ 3 7,50 =0. (1.5) =Δ =Δ =,0, (1.6) Δ 3 =1,0. (1.7) L= V,0 13,0,0 16,0 1,0 7,50 =0. (1.8) Δ Δ ψ 3 V Rys Wyznaczenie reakcji V. schemat belki, przemieszczenia wirtualne r inż. Janusz ębiński S-I

3 Metoda prac wirtualnych zadanie 1 3 Ostatecznie reakcja V =17,5 kn. (1.9) by wyznaczyć moment w utwierdzeniu należy zastąpić je podporą przegubowo-nieprzesuwną. Na rysunku 1.4a przedstawiono belkę po tej operacji. Pręt zachowa się jako pompa ręczna, a pręt jako huśtawka. Przemieszczenia wirtualne belki przedstawiono na rysunku 1.4b. Siłę wypadkową w przedziale wyznaczono ze wzoru (1.4). Równanie pracy wirtualnej ma postać L=M 13,0 16,0 Δ 7,50 ψ =0. (1.10) Ostatecznie =1,5, (1.11) Δ =,5 =,0 ψ, (1.1) ψ =1,5, (1.13) Δ =1,0 ψ =1,0 1,5 ψ =1,5, (1.14) L=M 13,0 1,5 16,0 1,5 7,50 1,5 =0. (1.15) M = 30,13 kn m. (1.16) M Δ ψ 1 Δ ψ Δ ψ Rys Wyznaczenie reakcji M. schemat belki, przemieszczenia wirtualne by wyznaczyć pionową reakcję w przegubie należy go usunąć. Na rysunku 1.5a przedstawiono belkę po tej operacji. Pręt jest geometrycznie niezmienny, a pręt zachowa się jako huśtawka. Przemieszczenia wirtualne belki przedstawiono na rysunku 1.5b. Siłę wypadkową w przedziale wyznaczono ze wzoru (1.4). Równanie pracy wirtualnej ma postać (w przegubie działają dwie reakcje, jednak reakcja działająca na pręt nie wykona pracy, ponieważ pręt ten nie dozna przemieszczeń wirtualnych) L= V Δ 16,0 7,50 =0. (1.17) Δ =,0, (1.18) =1,0. (1.19) r inż. Janusz ębiński S-I

4 Metoda prac wirtualnych zadanie 1 4 V Δ ψ 1 V Rys Wyznaczenie reakcji V. schemat belki, przemieszczenia wirtualne Ostatecznie reakcja L= V,0 16,0 1,0 7,50 =0. (1.0) V =4,5kN. (1.1) by wyznaczyć reakcję na podporze należy ją usunąć. Na rysunku 1.6a przedstawiono belkę po tej operacji. Pręt jest geometrycznie niezmienny, a pręt zachowa się jako pompa ręczna. Przemieszczenia wirtualne belki przedstawiono na rysunku 1.6b. Siłę wypadkową w przedziale wyznaczono ze wzoru (1.4). Równanie pracy wirtualnej ma postać (praca momentu 7,50 knm jest dodatnia, ponieważ moment ten kręci zgodnie z ruchem wskazówek zegara, a pręt względem punktu obrócił się także zgodnie z ruchem wskazówek zegar L= V Δ 16,0 7,50 =0. (1.) Ostatecznie reakcja =1,0, (1.3) Δ =,0. (1.4) L= V,0 16,0 1,0 7,50 =0. (1.5) V =11,75 kn. (1.6) 1.4. Wyznaczenie funkcji sił przekrojowych by wyznaczyć funkcję siły poprzecznej w przedziale należy w dowolnym punkcie tego przedziału wstawić więz ślizgowy. Na rysunku 1.7a przedstawiono belkę po tej operacji. Zmienna rośnie od punktu w prawo. Pręt od punktu do miejsca wstawienia więzu ślizgowego jest geometrycznie niezmienny, dalej do punktu zachowa się jako wózek widłowy. Pręt zachowa się jako huśtawka. Przemieszczenia wirtualne przedstawiono na rysunku 1.7b. Siłę wypadkową w przedziale wyznaczono ze wzoru (1.4). Równanie pracy wirtualnej ma postać (siła poprzeczna działająca na lewą część pręta nie wykona pracy, ponieważ przemieszczenie wirtualne na kierunku tej siły wynosi zero) r inż. Janusz ębiński S-I

5 Metoda prac wirtualnych zadanie 1 5 Δ V Rys Wyznaczenie reakcji V. schemat belki, przemieszczenia wirtualne 1,5 T() Δ Δ Δ 3 T() Rys Wyznaczenie funkcji siły poprzecznej w przedziale. schemat belki, przemieszczenia wirtualne L= T 13,0 Δ 16,0 Δ 3 7,50 =0. (1.7) Ostatecznie funkcja siły poprzecznej w przedziale =Δ =Δ =,0, (1.8) Δ 3 =1,0. (1.9) L= T,0 13,0,0 16,0 1,0 7,50 =0. (1.30) T =17,5 kn. (1.31) by wyznaczyć funkcję momentu zginającego w przedziale należy w dowolnym punkcie tego przedziału wstawić przegub. Na rysunku 1.8a przedstawiono belkę po tej operacji. Zmienna rośnie od punktu w prawo. Pręt od punktu do miejsca wstawienia przegubu jest geometrycznie niezmienny, dalej do punktu zachowa się jako pompa ręczna.pręt zachowa się jako huśtawka. Przemieszczenia r inż. Janusz ębiński S-I

6 Metoda prac wirtualnych zadanie 1 6 wirtualne przedstawiono na rysunku 1.8b. Siłę wypadkową w przedziale wyznaczono ze wzoru (1.4). Równanie pracy wirtualnej ma postać (moment zginający z lewej strony przegubu nie wykona pracy, ponieważ ta część pręta nie dozna żadnych przemieszczeń wirtualnych) L=M 13,0 16,0 Δ 7,50 ψ =0. (1.3) = 1,5, (1.33) Δ = 1,0 1,5 =,5 =,0 ψ, (1.34) ψ = 1,5 0,5, (1.35) Δ =1,0 ψ = 1,5 0,5. (1.36) L=M 13,0 1,5 16,0 1,5 0,5 7,50 1,5 0,5 =0. (1.37) Równanie to po uporządkowaniu wyrazów ma postać Funkcja momentu zginającego w przedziale M 30,13 17,5 =0. (1.38) M =17,5 30,13. (1.39) M() 1,5 ψ Δ ψ ψ 1 Δ ψ 1 Δ Rys Wyznaczenie funkcji momentu zginającego w przedziale. schemat belki, przemieszczenia wirtualne by wyznaczyć funkcję siły poprzecznej w przedziale należy w dowolnym punkcie tego przedziału wstawić więz ślizgowy. Na rysunku 1.9a przedstawiono belkę po tej operacji. Zmienna rośnie od punktu w prawo. Pręt jest geometrycznie niezmienny. zęść pręta od punktu do miejsca wstawienia więzu ślizgowego zachowa się jako pompa ręczna, pozostała część tego pręta zachowa się jako huśtawka. Ponadto kąty obrotów obu części pręta są jednakowe. Przemieszczenia wirtualne przedstawiono na rysunku 1.9b. Siły wypadkowe z poszczególnych części obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego Równanie pracy wirtualnej ma następującą postać W 1 =8,0, (1.40) W =8,0,0 =16,0 8,0. (1.41) r inż. Janusz ębiński S-I

7 Metoda prac wirtualnych zadanie 1 7,0,0,0 T() 8,0 16,0 8,0 Δ 3 ψ1 Δ Δ 4 T(),0 Rys Wyznaczenie funkcji siły poprzecznej w przedziale. schemat belki, przemieszczenia wirtualne L=T Δ T Δ 3 8,0 16,0 8,0 Δ 4 7,50 =0. (1.4) =0,5, (1.43) Δ =1,0, (1.44) Δ 3 =,0, (1.45) Δ 4 =0,5,0 = 1,0 0,5. (1.46) L=T 1,0 T,0 8,0 0,5 16,0 8,0 1,0 0,5 7,50 =0. (1.47) Równanie to po uporządkowaniu wyrazów ma postać Funkcja siły poprzecznej w przedziale,0 T 8,50 16,0 =0. (1.48) T = 8,0 4,5. (1.49) by wyznaczyć funkcję momentu zginającego w przedziale należy w dowolnym punkcie tego przedziału wstawić przegub. Na rysunku 1.10a przedstawiono belkę po tej operacji. Zmienna rośnie od punktu w prawo. Pręt jest geometrycznie niezmienny. zęść pręta od punktu do miejsca wstawienia przegubu zachowa się jako pompa ręczna, pozostała część tego pręta zachowa się jako huśtawka. Przemieszczenia wirtualne przedstawiono na rysunku 1.10b. Siły wypadkowe z poszczególnych części obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego wyznaczono ze wzorów (1.40) i (1.41). Równanie prac wirtualnych ma postać L= M M ψ 8,0 16,0 8,0 Δ 7,50 ψ =0. (1.50) r inż. Janusz ębiński S-I

8 Metoda prac wirtualnych zadanie 1 8,0 8,0,0,0 16,0 8,0 ψ ψ ψ Δ ψ Δ M(),0 Rys Wyznaczenie funkcji momentu zginającego w przedziale. schemat belki, przemieszczenia wirtualne Δ =1,0 =,0 ψ, (1.51) =,0 ψ, (1.5) =0,5 =0,5,0 ψ = 1,0 0,5 ψ, (1.53) Δ =,0 ψ = 1,0 0,5 ψ. (1.54) L= M,0 ψ M ψ 8,0 1,0 0,5 ψ 16,0 8,0 1,0 0,5 ψ 7,50 ψ =0. (1.55) Równanie to po wymnożeniu wyrażeń w nawiasach ma postać,0 Po uporządkowaniu otrzymano Funkcja momentu zginającego w przedziale M 8,0 4,0 16,0 8,0 8,0 4,0 7,50=0. (1.56),0 M 8,0 8,50=0. (1.57) M = 4,0 4,5. (1.58) r inż. Janusz ębiński S-I

9 Metoda prac wirtualnych zadanie Siły przekrojowe w punktach charakterystycznych by wyznaczyć siłę poprzeczną z lewej strony punktu należy nieskończenie blisko tego punktu wstawić więz ślizgowy. Na rysunku 1.11a przedstawiono belkę po tej operacji. Pręt od punktu do miejsca wstawienia więzu ślizgowego jest geometrycznie niezmienny, dalej do punktu zachowa się jako wózek widłowy. Pręt zachowa się jako huśtawka. Przemieszczenia wirtualne przedstawiono na rysunku 1.11b. Siłę wypadkową w przedziale wyznaczono ze wzoru (1.4). Równanie pracy wirtualnej ma postać (siła poprzeczna działająca na lewą część pręta nie wykona pracy, ponieważ przemieszczenia wirtualne tej części pręta wynoszą zero) L= T L 13,0 16,0 Δ 7,50 =0. (1.59) Ostatecznie siła poprzeczna =Δ =,0, (1.60) Δ =1,0. (1.61) L= T L,0 13,0,0 16,0 1,0 7,50 =0. (1.6) T L =17,5 kn. (1.63) T L Δ T L Δ Rys Wyznaczenie siły poprzecznej z lewej strony punktu. schemat belki, przemieszczenia wirtualne by wyznaczyć siłę poprzeczną z prawej strony punktu należy nieskończenie blisko tego punktu wstawić więz ślizgowy. Na rysunku 1.1a przedstawiono belkę po tej operacji. Pręt od punktu do miejsca wstawienia więzu ślizgowego jest geometrycznie niezmienny, dalej do punktu zachowa się jako wózek widłowy. Pręt zachowa się jako huśtawka. Przemieszczenia wirtualne przedstawiono na rysunku 1.1b. Siłę wypadkową w przedziale wyznaczono ze wzoru (1.4). Równanie pracy wirtualnej ma postać (siła poprzeczna działająca na lewą część pręta nie wykona pracy, ponieważ przemieszczenia wirtualne tej części pręta wynoszą zero) L= T P 16,0 Δ 7,50 =0. (1.64) =Δ =,0, (1.65) r inż. Janusz ębiński S-I

10 Metoda prac wirtualnych zadanie 1 10 T P T P Δ Δ Rys Wyznaczenie siły poprzecznej z prawej strony punktu. schemat belki, przemieszczenia wirtualne Ostatecznie siła poprzeczna Δ =1,0. (1.66) L= T P,0 16,0 1,0 7,50 =0. (1.66) T P =4,5kN. (1.68) by wyznaczyć moment zginający w punkcie należy w tym punkcie wstawić przegub. Na rysunku 1.13a przedstawiono belkę po tej operacji. Pręt od punktu do jest geometrycznie niezmienny, dalej do punktu zachowa się jako pompa ręczna. Pręt zachowa się jako huśtawka. Przemieszczenia wirtualne przedstawiono na rysunku 1.13b. Siłę wypadkową w przedziale wyznaczono ze wzoru (1.4). Równanie pracy wirtualnej ma postać L=M 16,0 7,50 ψ =0. (1.69) Ostatecznie moment zginający Δ =1,0 =,0 ψ, (1.70) ψ =0,5, (1.71) =1,0 ψ =1,0 0,5 =0,5. (1.7) L=M 16,0 0,5 7,50 0,5 =0. (1.73) M = 4,5kN m. (1.74) by wyznaczyć siłę poprzeczną z lewej strony punktu należy nieskończenie blisko tego punktu wstawić więz ślizgowy. Na rysunku 1.14a przedstawiono belkę po tej operacji. Pręt jest geometrycznie niezmienny. Pręt zachowa się jako pompa ręczna, pręt jako nietypowa huśtawka. Przedstawiono ją na rysunku 1.14b. Polega ona na tym, że jeżeli długość lewego ramienia huśtawki dl dąży do zera, to przemieszczenie pionowe także dąży do zera. Przemieszczenia wirtualne belki przedstawiono na rysunku 1.14c. Siłę wypadkową w przedziale wyznaczono ze wzoru (1.4). Równanie pracy wirtualnej ma postać (prawa siła poprzeczna T L nie wykona pracy, ponieważ przemieszczenie wirtualne po kierunku tej siły wynosi zero) r inż. Janusz ębiński S-I

11 Metoda prac wirtualnych zadanie 1 11 ψ ψ M ψ Δ 1 Rys Wyznaczenie momentu zginającego w punkcie. schemat belki, przemieszczenia wirtualne dl c) T L Δ T L Rys Wyznaczenie siły poprzecznej z lewej strony punktu. schemat belki, nietypowa huśtawka, c) przemieszczenia wirtualne L=T L Δ 16,0 7,50 =0. (1.75) Ostatecznie siła poprzeczna =1,0, (1.76) Δ =,0. (1.77) L=T L,0 16,0 1,0 7,50 =0. (1.78) T L = 11,75 kn. (1.79) r inż. Janusz ębiński S-I

12 Metoda prac wirtualnych zadanie 1 1 by wyznaczyć siłę poprzeczną z prawej strony punktu należy nieskończenie blisko tego punktu wstawić więz ślizgowy. Na rysunku 1.15a przedstawiono belkę po tej operacji. elka jest geometrycznie niezmienna, a pręt zachowa się jako wózek widłowy. Przemieszczenia wirtualne belki przedstawiono na rysunku 1.15b. Pomimo tego, że punkt ten znajduje się nieskończenie blisko punktu rozpatrywanego powyżej przemieszczenia wirtualne są diametralnie inne. Równanie pracy wirtualnej ma postać L=T P =0. (1.80) Moment obrotowy o wartości 7,5 kn m nie wykona żadnej pracy, ponieważ pręt nie wykona obrotu. Siła poprzeczna T P =0,0kN. (1.81) T P T P Rys Wyznaczenie siły poprzecznej z prawej strony punktu. schemat belki, przemieszczenia wirtualne by wyznaczyć moment zginający w punkcie należy w tym punkcie wstawić przegub. Na rysunku 1.16a przedstawiono belkę po tej operacji. elka jest geometrycznie niezmienna, ponieważ przegub został wstawiony w miejscu, w którym i tak istnieje swoboda obrotu, czyli na podporze przegubowo-przesuwnej. Pręt zachowa się jako pompa ręczna. Przemieszczenia wirtualne przedstawiono na rysunku 1.16b. Siłę wypadkową w przedziale wyznaczono ze wzoru (1.4). Równanie pracy wirtualnej ma postać Ostatecznie moment zginający L=M 7,50 =0. (1.8) M = 7,50 kn m. (1.83) M M Rys Wyznaczenie momentu zginającego w punkcie. schemat belki, przemieszczenia wirtualne r inż. Janusz ębiński S-I