PRZEMIANY GAZÓW DOSKONAŁYCH I PÓŁDOSKONAŁYCH

Transkrypt

1 Polka Problemy Nauk Stoowanych, 07, om 6, Szczecin Prof WSE dr hab inż Benedykt LIKE Wyżza Szkoła echniczno-ekonomiczna w Szczecinie, Wydział ranortu Samochodowego Higher School of echnology and Economic in Szczecin, Faculty of Motor ranort PRZEMIANY GAZÓW DOSKONAŁYCH I PÓŁDOSKONAŁYCH Strezczenie Wtę i cele: W racy oiano rzemiany gazów dokonałych i ółdokonałych Dla rzemiany izochorycznej, izobarycznej, izotermicznej, adiabatycznej, izentroowej adiabatycznej nieodwracalnej odano odtawowe równania, zależności i arametry charakterytyczne Wzytkie rzemiany zilutrowano odowiednimi wykreami Materiał i metody: Materiał tanowią źródła z literatury z zakreu termodynamiki W racy zatoowano metodę analizy teoretycznej Wyniki: Dla rzemiany izochorycznej, izobarycznej, izotermicznej, adiabatycznej, izentroowej adiabatycznej nieodwracalnej oracowano min równania rzemian, cieło rzemiany, racę bezwzględną, racę techniczną Ponadto dla rzemiany izochorycznej i izotermicznej odano rzyrot entroii Wnioek: Oracowane równania tranformacji gazów jak również zależności ich charakteryzujących dla rzemian izochorycznej, izobarycznej, izotermicznej, adiabatycznej, izentroowej adiabatycznej nieodwracalnej ozwalają na dokonanie nie tylko wielu orównań lecz również na utrwalanie itniejących różnic Słowa kluczowe: Gazy dokonałe i ółdokonałe, rzemiany gazów, równania rzemian, cieło rzemian, raca techniczna i bezwzględna (Otrzymano: 60407; Zrecenzowano: ; Zaakcetowano: ) RANSFORMAIONS OF PERFEC AND SEMI-PERFEC GASES Abtract Introduction and aim: he aer decribe the tranformation of erfect and emi-erfect gae For iochoric, iobaric, iothermal, adiabatic, ientroic and adiabatic irreerible tranformation hae been gien ome baic equation, relationhi and characteritic arameter All tranformation are illutrated by aroriate grah Material and method: Material coer ome ource baed on the literature in the field of thermodynamic he method of theoretical analyi ha been hown in the aer Reult: For iochoric, iobaric, iothermal, adiabatic, ientroic and adiabatic irreerible tranformation hae been elaborated ome tranformational equation, heat of change, unreliability, technical work In addition, for entroy and iothermal tranformation ome entroy ha been gien in the conideration Concluion: he elaborated ga tranformation equation a well a their characteritic deendencie for iochoric, iobaric, iothermal, adiabatic, ientroic and adiabatic irreerible tranformation allow not only many comarion but alo the conolidation of exiting difference Keyword: Perfect and emi-erfect gae, ga tranformation, tranformation equation, heat tranfer, technical and abolute work (Receied: 60407; Reied: ; Acceted: ) B Litke 07 ermodynamika / hermodynamic

2 B Litke Wtę Stan termodynamiczny różnic określają jednoznacznie arametry termodynamiczne Zmiana arametrów układu jet równoznaczna ze zmianą tanu Można rzyjąć, że każdej wartości jednego z arametrów odowiada tylko jedna wartość ozotałych Każdy rodzaj rzemiany może być oiany charakterytycznym dla niej równaniem rzemiany, w którym wytęują dowolne dwa arametry n, ;, ;, ;, lub inne Przebieg rzemiany może być rzedtawiony również w otaci wykreu n w układzie -, - lub innym Przemiany między dwoma tanami (Ry ) mogą rzebiegać niekończenie wieloma oobami Od rzebiegu rzemiany między tanami i zależy wartość wykonanej racy lub wymienionego cieła (ola od krzywymi rzemian) Należy więc amiętać, że raca i cieło nie ą arametrami tanu, gdyż zależą nie tylko od tanu oczątkowego i końcowego rzemiany, lecz i od drogi tej rzemiany W matematycznym ujęciu zagadnienia, wyrażenia dl i dq nie ą różniczkami zuełnymi funkcji l q l - q - Ry Przebiegi różnych rodzajów rzemian między tanami i Źródło: Oracowanie Autora Fig he grah of ariou kind of tranformation between tate and Source: Elaboration of the Author Sośród wielu możliwych rodzajów można wyodrębnić rzemiany charakterytyczne rzebiegające rzy ewnych zczególnych warunkach W dalzej części będą rozatrzone najczęściej toowane charakterytyczne rzemiany kg ubtancji W każdym rzyadku należy określić: definicję i warunki rzemiany, równania wiążące arametry tanu, rzebieg rzemian na wykreach - -, racę bezwzględną i techniczną cieło rzemiany, rzyroty energii wewnętrznej, entalii i entroii 84 Do określenia wymienionych wyżej wielkości zotaną wykorzytane: równania ierwzej zaady termodynamiki dla układów zamkniętych i otwartych, równania tanu gazów, wzory do obliczania energii wewnętrznej i entalii oczynkowej, zależności łużące do określenia rzyrotu entroii

3 Przemiany gazów dokonałych i ółdokonałych Charakterytyczna rzemiana wyróżnia ię tym, że rzebiega rzy jakimś założeniu, n rzemiana rzy tałej temeraturze nazwana izotermiczną W tym rzyadku twierdzenie = cont dotyczy rodziny rzemian izotermicznych, tj o różnych wartościach Przemiana izochoryczna Podcza rzemiany izochorycznej objętość właściwa (może dotyczyć również kończonej objętości V) jet tała: więc Równanie tanu gazów dokonałych a o urozczeniu rzyjmie otać lub = cont () d = 0, () = = (3) = Równania (5) i (6) wiążą arametry w rzemianie izochorycznej Cieło rzemiany Według równania ierwzej zaady termodynamiki dla rzemiany kończonej, (4) = (5) = (6) dq = du + d = du (7) q = u u = c( ) (8) Dorowadzone cieło zwiękza energię wewnętrzną czynnika Praca bezwzględna Praca techniczna a o całkowaniu otrzymujemy Przyrot entroii dl = d = 0 (9) dl t = d, (0) l = ( ) t () c ln R ln = + () 85

4 B Litke Ponieważ to =, (3) c ln = (4) Na wykreie o wółrzędnych - (Ry ), izochora jet krzywą logarytmiczną l t- q - Ry Przemiana izochoryczna na wykreach o wółrzędnych - - Źródło: Oracowanie Autora Fig Iochoric roce in the grah with coordinate - and - Source: Elaboration of the Author 3 Przemiana izobaryczna W rzemianie izobarycznej ciśnienie jet tałe: więc Równanie izobary ma otać: Cieło rzemiany: = cont (5) d = 0, (6) = = (7) = (8) dq = di d = di, (9) q = i i = c ( ) (0) Wymienione cieło zmienia entalię czynnika Praca bezwzględna określona jet wzorem: dl = d, () 86

5 Praca techniczna Przyrot entroii Przemiany gazów dokonałych i ółdokonałych l = ( ) () dl t = d = 0 (3) c ln = (4) Izobara na wykreie - (Ry 3) jet krzywą logarytmiczną, rzebiegająca mniej tromo niż izochora l - q- Ry 3 Przemiana izobaryczna na wykreach o wółrzędnych - - Źródło: Oracowanie Autora Fig 3 Iobaric roce in the grah with coordinate - and - Source: Elaboration of the Author 4 Przemiana izotermiczna Podcza rzemiany izotermicznej temeratura gazu jet tała: więc Równanie izotermy = cont (5) d = 0 (6) = Izoterma jet na wykreie - hierbolą równooiową Cieło rzemiany = (7) = = R (8) dq = c d + dl = dl, (9) q = l (30) 87

6 B Litke Praca bezwzględna Z równania izotermy wynika, że Po odtawieniu do całki l = d (3) = = (3) = (33) d l ln R ln = = = Ponadto według (30) raca bezwzględna jet równa ciełu rzemiany Praca techniczna Ponieważ to l (34) = q (35) lt = d (36) =, (37) d l ln t = = = R ln Z równania I zaady termodynamiki mamy: t t (38) dq = c d + dl = dl (39) to znaczy, że raca techniczna jet równa wymienionemu ciełu l = q t aki am wnioek wynika o odtawieniu zależności Z zależności (30), (35) (40) wynika, że l = lt = q w miejce do wzoru (38) to znaczy raca bezwzględna jet równa racy technicznej i wymienionemu ciełu Na wykreie - ola racy bezwzględnej i technicznej ą jednakowe (40) (4) 88

7 Przemiany gazów dokonałych i ółdokonałych Zmiana entroii Zgodnie z definicją entroii: q =, (4) natomiat w rzyadku gazów dokonałych, gdy temeratura jet tała c ln R ln = +, (43) c ln R ln =, (44) cieła właściwe ą tałe i wówcza R ln R ln = = (45) l t- q - l - Ry 4 Wykrey rzemiany izotermicznej w układzie wółrzędnych -, - Źródło: Oracowanie Autora Fig 4 Grah of iothermal roce in the coordinate ytem -, - Source: Elaboration of the Author Zmiany energii wewnętrznej i entalii W rzyadku tałej temeratury rzemiany d = 0, (46) więc du = c d = 0 (47) di = c d = 0 (48) Podcza rzemiany izotermicznej energia wewnętrzna entalia ą tałe 89

8 B Litke 5 Przemiana adiabatyczna Przemiana adiabatyczna jet rzemianą, odcza której nie jet wymieniane cieło z otoczeniem, tzn nie jet dotarczane cieło z zewnątrz, ani odrowadzane z układu do otoczenia, to znaczy dq z = 0, (49) więc q 0 (50) z = Należy zaznaczyć, że odcza rzemiany adiabatycznej w układzie może wydzielać ię cieło w wyniku racy tarcia w ilości dq f = dl f (5) aka rzemiana jet również adiabatyczną, nazywaną rzemianą adiabatyczną nieodwracalną Przemiana adiabatyczna, odcza której nie owtaje cieło tarcia jet odwracalna i nazwana rzemianą izentroową, a całkowite cieło dorowadzone do układu: dq = dq + dq 0 (5) z f = Może zaitnieć zczególny rzyadek kiedy nie ma wymiany cieła ze źródeł cieła, a cieło tarcia w całości jet odrowadzane do otoczenia, to znaczy Wówcza całkowite cieło wymiany: q = (53) f q z dq = dq + dq 0 (54) f f = Przemiana taka nie jet rzemianą adiabatyczną, gdyż nie jet ełniony warunek, że dq z = 0 W rzemianie izentroowej zmiana entroii: dq d = = 0, (55) więc entroia jet tała, czyli = (56) Natomiat gdy zachodzi rzemiana adiabatyczna nieodwracalna zawze natęuje rzyrot entroii, gdyż 6 Zależności dotyczące rzemiany izentroowej 6 Zależności dla gazów dokonałych Równanie izentroy dq f d = > 0 (57) Dla izentroy równanie ierwzej zaady termodynamiki ma otać: Ponieważ dq = du + d = 0 (58) du = c d, (59) 90

9 to Przemiany gazów dokonałych i ółdokonałych Z równania tanu w otaci różniczkowej mamy: a rzyrot temeratury Różniczka iloczynu ma natęującą otać: c d + d = 0 (60) d( ) = R d, (6) d( ) d = (6) R d( ) = d + d (63) Po odtawieniu otatnich dwóch wyrażeń do wzoru (60) otrzymano: Ponieważ uzykano, że c ( d + d) + d 0 R = (64) R = c c (65) c κ = (66) c c c = = (67) R c c κ Po odtawieniu tego wyrażenia do wzoru (64) otrzymano: ( d + d) + d = 0 κ W celu uzykania otatecznej otaci równania izentroy wykonano kolejne zabiegi matematyczne Po rzekztałceniu wzoru (68) otrzymuje ię: Po redukcji otrzymujemy: (68) d + d + ( κ ) d = 0, κ (69) d + d + κ d d = 0 (70) κ d + d = 0, (7) a o odzieleniu obu tron równości (56) rzez owtanie równanie różniczkowe: W wyniku całkowania otrzymujemy: d d κ + = 0 (7) κ ln + ln = 0 (73) Otatecznie równanie izentroy w otaci wykładniczej ma otać 9

10 B Litke κ κ κ = = cont (74) = Po odtawieniu do wzoru (74) zależności: otrzymuje ię drugą otać równania izentroy: R = (75) κ κ κ = = cont (76) = rzecią otać równania izentroy otrzyma ię o odtawieniu do wzoru (74) wyrażenia otrzymamy Praca bezwzględna Ze związku otrzymujemy R = (77) κ κ κ κ = κ = κ (78) = cont dq = du + dl = 0 (79) dl = du (80) l = u u (8) Z owyżzego wynika, że raca bezwzględna jet wykonywana koztem energii wewnętrznej Ponieważ Z orzednich rozważań wiadomo, że u c, (8) l = c( ) (83) R c = (84) κ Po odtawieniu (84) do wzoru (83) uzykano natęne zależności na racę bezwzględną a o dalzych rzekztałceniach l l = R ( ) = ( ), κ κ = κ κ κ R = κ κ κ R = κ κ (85) (86) 9

11 Przemiany gazów dokonałych i ółdokonałych Praca techniczna Biorąc od uwagę zależność: otrzymujemy związek dq = di + dlt = 0 (87) dl t = di (88) l = i i t Jak widać raca techniczna jet wykonywana koztem adku entalii W wyniku odzielenia wzorów na racę techniczną rzez racę bezwzględną uzykuje ię zależność: więc l l i = u i u c = c ( ) ( ) c = c t = κ, (89) (90) lt = κ l (9) Podtawiając wzór na racę bezwzględną (86) do zalezności (9) otrzymuje ię: κ κ κ κ l R R t κ κ κ κ = = = κ κ κ Adiabata odwracalna (izentroa) na wykreie o wółrzędnych - jet krzywą wykładniczą, a w układzie - linią rotą tałej entroii 6 Zależności dla gazów ółdokonałych Równania izentroy dla gazów dokonałych (74), (76) i (78) mają zatoowanie również do gazów ółdokonałych Należy jednak uwzględnić zmienność wartości wykładnika κ, który oblicza ię ze średnich wartości cieła właściwego c i c dla temeratur tanów krajnych rzemiany: (9) c κ = (93) c Cieło i rzyrot entroii rzemiany izentroowej gazu ółdokonałego ą oczywiście równe zeru: Praca bezwzględna Praca bezwzględna jet określona wzorem: q = 0 (94) = 0 (95) 0 0 l = u u = c c (96) 93

12 B Litke Praca techniczna Praca bezwzględna jet określona wzorem: 0 0 l = i i = c c t (97) l t- l - Ry 5 Izentroowe rozrężanie gazu na wykreach w układach wółrzędnych - - Źródło: Oracowanie Autora Fig 5 Ientroic decomreion of a ga in the grah with coordinate ytem - and - Source: Elaboration of the Author W owyżzych wzorach temeratury wyrażone ą w kali Celjuza, gdyż wartości średnich cieeł właściwych odawane w tablicach odnieione ą rzeważnie do temeratury oczątkowej 0 C 7 Zależności dotyczące rzemiany adiabatycznej nieodwracalnej Przemianom adiabatycznym nieodwracalnym towarzyzy raca tarcia zamieniana na cieło Cieło tarcia dq f owoduje wzrot entroii: Cieło zewnętrzne: dq d f f = > 0 (98) dq z = 0 (99) Przemiana adiabatyczna odwracalna ( dq z = 0 i dq f = 0 ) zotała nazwana izentroową W celu ułatwienia oługiwania ię rzemianą nieodwracalną będzie dalej nazywana adiabatyczną, a linia rzemiany adiabatą Cieło tarcia dorowadzone do czynnika odcza rzemiany adiabatycznej owoduje wzrot jego objętości właściwej f i entroii f, co okazano na ryunkach 6 i 7 94

13 Przemiany gazów dokonałych i ółdokonałych adiabata izentroa adiabata izentroa q f f Ry 6 Rozrężanie od ciśnienia do według izentroy i adiabaty Źródło: Oracowanie Autora Fig 6 Decomreion from the reure to according to ientroe and adiabate Source: Elaboration of the Author f W wyniku cieła tarcia temeratura czynnika końca rzemiany jet wyżza w orównaniu z rzemianą izentroową, zarówno w wyniku rężania jak i rozrężania Przemiana adiabatyczna może być obliczana wg wzorów dla gazu dokonałego lub ółdokonałego Wybór zależy od wymaganej dokładności wyników Całkowite cieło rzemiany jet równe ciełu rozrazania racy Całkowite cieło rzemiany jet równe ciełu rozrazania racy jet określone wzorem: = q 3 = q f d (00) Na ryunkach 6 i 7 zakrekowane ola rzedtawiają cieła tarcia i ą równe racy tarcia l f Praca bezwzględna Praca bezwzględna dla gazu dokonałego zdefiniowana jet wzorem: R l 3 = u u3 = c ( 3 ) = ( 3 ), κ a dla gazu ółdokonałego określona jet wzorem: 3 (0) 3 l 3 = u u3 = c c (0) 95

14 B Litke f 3 adiabata 3 3 adiabata izentroa izentroa q f Ry 7 Izentroowe i adiabatyczne rężanie od ciśnienia do Źródło: Oracowanie Autora Fig 7 Ientroic and adiabatic comreion from the reure to Source: Elaboration of the Author f Praca techniczna Praca techniczna dla gazu dokonałego zdefiniowana jet wzorem: κ lt 3 = i i3 = c ( 3 ) = R( 3 ), κ a dla gazu ółdokonałego określona jet wzorem: 3 l = i i3 = c c 3 t3 0 0 (03) (04) 9 Wnioki Oracowane równania tranformacji gazów jak również zależności ich charakteryzujących dla rzemian izochorycznej, izobarycznej, izotermicznej, adiabatycznej, izentroowej adiabatycznej nieodwracalnej ozwalają na dokonanie nie tylko wielu orównań lecz również na utrwalanie itniejących różnic Literatura [] Nagórki A, Sobocińki R: Wybrane zagadnienia z termodynamiki technicznej Zbiór zadań Warzawa: Oficyna Wyd Pol Warzawkiej, 008 [] Ochęduzko S: ermodynamika toowana Warzawa: WN, 974 [3] Stanizewki B: ermodynamika Warzawa: PWN, 986 [4] Szargut J: ermodynamika Warzawa: PWN, 000 [5] Szargut J: ermodynamika techniczna Gliwice: Politechnika Śląka, 03, w 7 [6] Wiśniewki S: ermodynamika techniczna Warzawa: WN, 03 [7] Wrzeińki Zb: ermodynamika Warzawa: Oficyna Wyd Pol Warzawkiej, 008, w 8 o i roz [8] Zagórki J: ermodynamika Warzawa: Pol Warzawka, 974, w 4 96