Czy umiemy mnożyć wektory?

Transkrypt

1 Czy umiemy mnożyć wektory? wprowadzenie do algebry geometrycznej Jacek Grela 1 UJ 2010

2 Plan działania Motywacja Wprowadzenie do algebry geometrycznej Algebra 2D, 3D Przykład fizyczny Algebra czasoprzestrzeni Podsumowanie Bibliografia 2

3 Motywacja Wektor skierowana prosta + wartość Iloczyny skalarne i wektorowe 3

4 Motywacja Co jest nie tak z tym mnożeniem? Iloczyn wektorowy: 1. Nie jest łączny 2. Istnieje tylko w 3 i 7 wymiarach (!) 3. Zależny od skrętności układu 4. Wprowadza pseudowektory 4

5 Motywacja Przekształcenia dla wektorów: O(3) Det = +1 (gr. SO(3)) Det = -1 (odbicia) V x V = PV PV x PV = PV V x PV = V 5 Pseudowektor!= wektor Bo inna transformacja

6 Motywacja Transformacja wektora: Dziwna transformacja pseudowektora: 6

7 Motywacja Może pseudowektory przedstawić inaczej? Cała informacja zakodowana Ale co nam to da? 7

8 Motywacja Dziwna transformacja wyjaśniona: wektory pseudowektory Brak śrub! 8

9 Motywacja Po co to wszystko? Szukamy lepszego iloczynu wektorowego 9

10 Wprowadzenie Iloczyn zewnętrzny a^b Grassmann Definiuje nową wielkość geometryczną - dwuwektor 10

11 Wprowadzenie Dwuwektor skierowana powierzchnia Własności: a^b = a b sin(a,b) a^b = - b^a a^a = 0 I więcej... 11

12 Wprowadzenie Poszerzenie na dowolną liczbę wymiarów tworzymy n-wektory Łączność (a^b)^c = a^(b^c) 12

13 Wprowadzenie Mamy więc lepszy iloczyn bo: Łączny Uogólniony na dowolny wymiar Z wyjaśnionym pochodzeniem pseudotransformacji Niezależny od skrętności Ale to nie koniec... 13

14 Wprowadzenie Kombinując nowy iloczyn zewnętrzny ze znanym iloczynem wewnętrznym : ab = a^b + a.b Otrzymujemy tzw. Iloczyn geometryczny (iloczyn Clifforda) 14 Clifford

15 Wprowadzenie Ale to niegłupie: Prostopadle iloczyn antykomutuje Równolegle iloczyn komutuje A pomiędzy rozwija skrzydła! Można dalej wyprowadzać : a(b+c) = ab + ac a(bc) = (ab)c 15

16 Wprowadzenie Pozostaje kwestia biwektor + skalar Suma n-wektorów = wielowektor 0-wektor 1-wektor 16

17 Wprowadzenie Algebra geometryczna należy do algebr Clifforda. Opiszemy euklidesową przestrzeń N- wymiarową i czasoprzestrzeń. 17

18 Algebra 2D Przestrzeń 2D z wektorami (orto) σ1, σ 2 Iloczyny wektorów bazy: Baza dla 4-wymiarowego wielowektora A: 18 a i to liczby

19 Algebra 2D Mnożąc dwa ogólne wielowektory: 1. Dostajemy znowu wielowektor 2. Obroty wersorów 3. Zauważamy: Dostaliśmy jednostkę urojoną! 19

20 Algebra 2D Algebra płaszczyzny zespolonej Notacja: taka algebra to Cl(2,0) 20

21 Algebra 3D A co w 3 wymiarach? (Cl(3,0)) 8-wymiarowy wielowektor Ogólnie wymiar = 2 N 21

22 Algebra 3D Przy mnożeniu: I znowu coś urojonego: Biwektory^2 = Ale: 22

23 Algebra 3D Zauważmy, że: Macierze Pauliego? Ale całkiem inna interpretacja geometryczna! 23

24 Algebra 3D Wielowektor w 3D: a = a i σ i b = b i σ i Algebra Pauliego 24

25 Algebra 3D Parzyste wektory: Tworzą algebrę kwaternionów Iσ 1 i, -iσ 2 j, iσ 3 k i 2 = j 2 = k 2 = ijk = -1 25

26 Algebra 3D Ostatni ważny wynik: a x b = -i a ^ b Operator dualny * (Hodge'a) a x b = -(a ^ b)* * : k-wektor (N-k)-wektor 26

27 Algebra 2D, 3D Bogactwo struktury algebraicznej: Struktura zespolona Struktura macierzy Pauliego Struktura kwaternionowa A znamy jeszcze coś... 27

28 Przykład fizyczny Przykład zastosowania algebry przestrzeni 3D są równania Maxwella Rozważmy pola wielowektorowe: a, b, α, β są funkcjami (x,y,z,t) 28

29 Przykład fizyczny Operator: Pole f postaci: Źródła: 29

30 Przykład fizyczny Tworzymy najprostsze równanie dla tego pola: Df = J... 30

31 Przykład fizyczny Wyzerujemy u,v i magnetyczne źródła... Voila, równania Maxwella 31

32 Algebra czasoprzestrzeni Przestrzeń niezwykła czasoprzestrzeń Sygnatura (+,-,-,-) Cl(1,3) Algebra Diraca 32

33 Algebra czasoprzestrzeni = 2 4 = 16 wielkości niezależnych Izomorfizm z algebrą Pauliego (przestrzeń 3D) k=

34 Algebra czasoprzestrzeni Podobieństwa z teorią Diraca: Ψ Ψ Tym razem więcej geometrii Cdn. Ψ γ μ Ψ Ψ σ μν Ψ Ψ γ 5 γ μ Ψ Ψ γ 5 Ψ 34

35 Podsumowanie Bogactwo struktury Prostota Unifikacja Niezależność od współrzędnych Zastosowania w fizyce I poza nią: robotyka, przetwarzanie obrazu oraz sygnałów 35

36 Bibliografia Geometric Algebra and its Applications to Mathematical Physics C. Doran 1994 Imaginary numbers are not Real the Geometric Algebra of Spacetime S. Gull, A. Lasenby, C. Doran 1993 Skalary, wektory i co dalej? - B. Jancewicz FOTON 103 Pseudowektory B. Jancewicz wykład Uwr 2010 (Ilustracje!) New Foundations of classical mechanics D. Hestenes 1999 Spacetime calculus with applications D. Hestenes 36

37 Koniec Dziękuję za uwagę! 37