Analiza 1, cze ść druga
|
|
- Laura Wróblewska
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Analiza 1, cze ść druga Granica górna cia gu a n ) nazywamy res górny zbioru z lożonego z granic wszystich tych podcia gów cia gu a n ), tóre maja granice sończone lub nie). Oznaczamy ja przez lim sup a n lub lim sup a n. Granica dolna cia gu a n ) nazywamy res dolny zbioru z lożonego z granic wszystich tych podcia gów cia gu a n ), tóre maja granice sończone lub nie). Oznaczamy ja przez lim inf a n lub lim inf a n. Ca lowicie oczywiste jest stwierdzenie, że lim sup a n = lim inf a n cia g a n ) ma granice. wtedy i tylo wtedy, gdy Do tej pory wyrazy cia gu musia ly być liczbami rzeczywistymi. Teraz dopuścimy wśród wyrazów symbole + i. Definicje granic pozostaja bez zmian np. lim a n = + wtedy i tylo wtedy, gdy dla ażdej liczby M istnieje liczba n M taa, że jeśli n > n m, to a n > M. Chodzi o to, by nie ompliować nadmiernie zdań, tóre i ta zbyt rótie nie sa. Stwierdzenie 1. Jeśli dla ażdego n istnieje podcia g cia gu a n ), tórego granica jest g n i g = lim g n, to istnieje też podcia g cia gu a n ), tórego granica jest g. Niech g m = lim a νm,n) i νm, 1) < νm, 2) < νm, 3) <... νm, n) jest n tym wyrazem podcia gu zbieżnego do g m ). Za lóżmy na razie, że dla wszystich numerów m granica g m jest liczba rzeczywista. Istnieje wie c tai numer ν1, 1 ), że a ν1,1) g 1 < 1. Istnieje numer ν2, 2 ) > ν1, 1 ) tai, że zachodzi nierówność a ν2,2) g 2 < 1 2. Kontynuuja c definicja inducyjna) otrzymujemy cia g liczb naturalnych ν1, 1 ) < ν2, 2 ) < ν3, 3 ) <... tai, że dla ażdego n spe lniona jest nierówność g n a νn,n) < 1 n. Z twierdzenia o trzech cia gach wynia, że lim a νn, n) = lim g n + 1 n ) = lim g n 1 n ) = g. Jeśli dla niesończenie wielu n zachodzi g n = +, to g = + i oczywiście g jest granica podcia gu cia gu a n ), to samo dotyczy przypadu g n = dla niesończenie wielu n. Stwierdzenie 2. Dla ażdego cia gu a n ) zachodzi równość lim sup a n = lim sup {a : n} ). Dla ażdego cia gu a n ) zachodzi równość lim inf a n = lim inf {a : n} ). Udowodnimy to stwierdzenie tylo w przypadu granicy górnej, bowiem lim inf a n = lim sup a n ). Niech g = lim a n i niech m be dzie ustalona liczba naturalna. Dla dostatecznie dużych n zachodzi nierówność n > m, zatem a n sup{a j : j m}. Ponieważ dla prawie wszystie wyrazy cia gu a n ) zachodzi nierówność a n sup{a j : j m}, wie c również lim a n sup{a j : j m}. Ta ostatnia nierówność ma miejsce dla ażdej liczby naturalnej m. Mamy również 1
2 sup{a j : j 1} sup{a j : j 2} sup{a j : j 3}..., zatem można mówić o granicy lim sup {a : n} ) i co wie cej napisać lim a n lim sup {a : n} ). Wynia sta d, że res górny wszystich możliwych lewych stron tej nierówności, czyli granica górna cia gu a n ) spe lnia nierówność lim sup a n lim sup {a : n} ). Trzeba jeszcze wyazać nierówność przeciwna. Wyażemy dowodza c, że lim sup {a : n} ) jest granica pewnego podcia gu cia gu a n ). Jest ta oczywiście wtedy, gdy dla niesończenie wielu n zachodzi równość sup{a : n} = max{a : n } wybieramy wtedy te numery n j, dla tórych sup{a : n} = a j dla pewnego j n j, a naste pnie z cia gu j ) wybieramy podcia g ściśle rosna cy sam cia g j ) jest niemaleja cy, jego granica jest ). Jasne jest, że lim j = lim sup {a : j n} ). Teraz za lóżmy, że dla dostatecznie dużych n w zbiorze {a : ompliować oznaczeń za lożymy, że w żadnym zbiorze {a : n} nie ma liczby najwie szej. By nie n} nie ma liczby najwie szej. Ponieważ w zbiorze {a : n} nie ma liczby najwie szej, wie c b n := sup{a : n} jest granica pewnego podcia gu cia gu a n ). Na mocy stwierdzenia pierwszego również lim n jest granica pewnego podcia gu cia gu a n ), a to w laśnie mieliśmy wyazać. Stwierdzenie 3. Niech I = [lim inf a n, lim sup a n ]. Jeśli J I jest przedzia lem otwartym, to istnieje liczba n J n > n J, to a n J przy czym żaden mniejszy niż I przedzia l domnie ty tej w lasności nie ma. taa, że jeśli Prosty dowód tego stwierdzenia opuszczam, bo ażdy powinien go przeprowadzić samodzielnie, by sprawdzić czy zrozumia l poje cie granicy górnej. Ćwiczenie obowia zowe!) Wyazać, że lim supa n + b n ) lim sup a n + lim sup b n i podać przy lady świadcza ce o tym, że nierówność może być ostra. Niech x > 0 oznacza liczbe rzeczywista. Niech c n ) oznacza cia g dwustronny cyfr u ladu dziesie tnego, tzn. c n {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} o tej w lasności, że istnieje liczba naturalna taa, że jeśli n >, to c n = 0. Mówimy, że cia g c n ) jest cia giem cyfr liczby x wtedy i tylo wtedy, gdy dla ażdego m < spe lniona jest nierówność c 10 + c c m 10 m x c 10 + c c m + 1)10 m. Niech x m = c 10 + c c m 10 m. Be dziemy mówić, że x m jest przybliżeniem dziesie tnym x z b le dem nie przeraczaja cym 10 m. Z definicji przybliżenie dziesie tnego wynia od razu, że lim x n = x. Podamy trzy przy lady. Niech c j = 3 dla j = 0, 1, 2,... i c j = 0 dla j = 1, 2, 3,... Niech x = Dla j > 0 mamy j ) = j ) = j < 10 j. Wobec 2
3 tego cia g dwustronny , odpowiada liczbie 4 3. Cia g dwustronny , odpowiada, ja latwo można sprawdzić, liczbie 1. Cia g dwustronny , również odpowiada liczbie 1. Prosze sprawdzić szczegó lowo, że te stwierdzenia sa prawdziwe! Widzimy wie c, że w nietórych przypadach jednej liczbie moga odpowiadać dwa cia gi. Przeonamy sie zaraz, że wie cej już nie, a ażdej co najmniej jeden. Twierdzenie o przybliżeniach dziesie tnych Dla ażdej liczby x > 0 istnieje cia g x m ) przybliżeń dziesie tnych. Jeśli istnieje liczba naturalna j taa, że 10 j x, to istnieja do ladnie dwa różne cia gi przybliżeń dziesie tnych x m ) i x m ) oraz liczba ca lowita i taa, że x i = x i + 1 lub odwrotnie) i dla ażdego m < i zachodza równości x m = 9, x m = 0. Jeśli taa liczba j nie istnieje, to istnieje do ladnie jeden cia g przybliżeń dziesie tnych. Niech be dzie taa liczba, że 10 x < Taa liczba ca lowita istnieje, bo lim 10n = + i lim 10 n =, zatem istnieja pote gi dziesia ti wie sze niż x, to najmniejsza z nich w ażdym ograniczonym z do lu zbiorze z lożonym z liczb ca lowitych znaleźć można najmniejsza ). Niech c {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} be dzie najwie sza cyfra taa, że c 10 x. Zdefiniujemy cyfry c 1, c 2,... przez inducje. Za lóżmy, że zdefiniowaliśmy już cyfry c, c 1, c 2,..., c i j {i, i + 1, i + 2,..., } zachodzi nierówność w tai sposób, że dla ażdego c 10 + c c j 10 j x < c 10 + c c j + 1) 10 j. Z tej nierówności wynia natychmiast, że 0 x c 10 +c c j 10 j ) < 10 j = j 1, zatem 0 x c 10 +c c j 10 j ) 9 10 j 1. Teraz możemy zdefiniować c i 1 jao najwie sza liczbe ze zbioru {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} wie c cyfre ) taa, że 0 x c 10 +c c i 1 10 i 1 ) < 10 i 1, czyli że c 10 + c c i 10 i + c i 1 10 i 1 x < < c 10 + c c i 10 i + c i 1 + 1) 10 i 1. W ten sposób zdefiniowaliśmy dwustronny cia g c n ) spe lniaja cy ża dane waruni. Teraz zajmiemy sie jednoznacznościa. Za lóżmy, że dwa cia gi c n ) i c n ) zwia zane sa z liczba x. Niech be dzie najwie sza liczba ca lowita, dla tórej c c. Dla ustalenia uwagi za lóżmy, że c > c. Niech l be dzie taa liczba ca lowita, że dla j > l zachodzi c j = c j = 0. Niech m < be dzie liczba ca lowita. Mamy wie c 0 x c l 10 l + c l 1 10 l c c 10 + c c m 10 m ) 10 m oraz 0 x c l 10 l + c l 1 10 l c c 10 + c c m 10 m ) 10 m. Różnica liczb z przedzia lu o d lugości 10 m nie przeracza 10 m, wie c 10 m x c l 10 l + c l 1 10 l c c 10 + c c m 10 m ) [ x c l 10 l + c l 1 10 l c c 10 + c c m 10 m )] = = c c ) 10 + c 1 c 1 ) c m c m ) 10 m m = 10 m. Widać wie c, że jeśli c > c, to musza zachodzić równości. Wobec tego musza być spe lnione równości c = c + 1 i c 1 c 1 =... = c m c m = 9, czyli c = c + 1 i c 1 =... = c m = 0 i c 1 =... = c m = 9. 3
4 Ponieważ m oznacza tu dowolna liczbe mniejsza niż, wie c wyazaliśmy, że po c sa już jedynie zera i jednocześnie po c sa już tylo dziewia ti. Mamy wie c x = c l 10 l +c l 1 10 l 1 + +c c 10, bo 0 x c l 10 l + c l 1 10 l c c 10 ) 10 m dla ażdej liczby ca lowitej m <. Jeśli 0, to przyjmujemy j = 0, jeśli zaś < 0, to przyjmujemy j =. Dowód zosta l zaończony. Sformu lowanie twierdzenia i jego dowód nieco tylo nieco) sie uproszcza, gdy wprowadzimy poje cie sumy niesończonej, czyli szeregu liczb rzeczywistych albo zespolonych. Na razie jedna powiemy jeszcze ila s lów na temat liczb ca lowitych. Liczba ca lowita a jest dzielniiem liczby ca lowitej b wtedy i tylo wtedy, gdy istnieje liczba ca lowita taa, że a = b. Piszemy wtedy a b. Stwierdzenie Jeśli a b i b c, to a c. Jeśli b = a i c = bl, to c = la. Stwierdzenie Każda liczba ca lowita jest dzielniiem 0. Wynia to z tego, że a 0 = 0. Jeśli a i b sa liczbami ca lowitymi, b 0 i istnieja liczby ca lowite q, r taie, że a = bq + r i 0 q < b, to mówimy, że q jest ilorazem z dzielenia a przez b zaś r reszta z dzielenia a przez b. Stwierdzenie Dla dowolnych liczb ca lowitych a, b 0 istnieje do ladnie jedna para liczb ca lowitych q, r taa, że a = bq + r i 0 r < b. Z równości bq + r = b) q) + r wynia, że wystarczy udowodnić to stwierdzenie dla b > 0. W dalszym cia gu za ladamy, że b > 0. Niech q = sup{n : nb a}. Zasada masimum dla liczb ca lowitych gwarantuje, że q. Niech r = a qb. Oczywiście 0 r = a qb < q + 1)b qb = b. Istnienie ilorazu i reszty zosta lo wyazane. Jeśli bq + r = bq 1 + r 1 i 0 r, r 1 < b, to r r 1 = bq 1 q). Oczywiście q 1 q < b różnica dwu liczb nieujemnych mniejszych niż b ma wartość bezwzgle dna mniejsza niż b ). Wobec tego bq 1 q1) < b, ale to wymusza nierówność q 1 q < 1, czyli q 1 q = 0, wie c q 1 = q. Mamy wie c r r 1 = bq 1 q) = 0, co ończy dowód jednoznaczności ilorazu i reszty z dzielenia przez b. Liczba p nazywane jest pierwsza wtedy i tylo wtedy, gdy nie jest dzielniiem liczby 1 i z tego, że ab = p wynia, że jedna z liczb a, b jest dzielniiem jedyni. Najwie szym wspólnym dzielniiem liczb a, b nazywamy taa liczbe d, że d a, d b i taa, że jeśli d d 1, 4
5 d 1 a i d 1 b, to liczba d1 d jest dzielniiem jedyni. Z tego, że a b i b 0 wynia oczywiście, że a b. Najwie szym wspólnym dzielniiem liczb 6 i 4 jest 2, ale również 2. Liczby a = 0 i b = 0 nie maja najwie szego wspólnego dzielnia. Jedynymi dzielniami jedyni sa liczby ±1. Studentów, tórym te definicje wydaja sie nieco dziwaczne chcia lbym uprzedzić, że w przysz lości zajmiemy sie podzielnościa w zbiorze wielomianów i wtedy przestana być dziwaczne. Można też rozpatrywać podzielność w innych zbiorach, np. [ 2], [ 5] itp. Tym nie be dziemy sie zajmować, bo ta tematya nie należy do analizy lecz do algebry oraz teorii liczb. Drobne wyjaśnienie tego o czym mowa znajduje sie w jednym z dalszych ćwiczeń. Twierdzenie o najwie szym wspólnym dzielniu Jeśli a, b sa liczbami ca lowitymi i co najmniej jedna z nich jest różna od 0, to maja one najwie szy wspólny dzielni, nwda, b) i istnieja liczby ca lowite, m taie, że liczba a + bm = nwda, b).* Rozważmy zbiór D = {ax+by: x i y i ax+by > 0}. D, bo jeśli a 0, to a D, gdyż a = a 1 + b 0, gdy a > 0 i a = a 1) + b 0, gdy a < 0. Niech d = a + bm be dzie najmniejsza liczba w zbiorze D. Ponieważ zbiór D z lożony jest z liczb dodatnich, wie c d > 0. Wyażemy, że d a. Jest ta, gdy a = 0. Za lóżmy, że a 0. Wtedy istnieja liczby ca lowite q, r taie, że a = qd + r i 0 r < d. Sta d r = a qd = a1 q) + b m). Jeśli r > 0, to r D, co przeczy temu, że najmniejsza liczba w zbiorze D jest d. Wobec tego r = 0, ale to oznacza, że a = qd, czyli że d a. Analogicznie d b. Wyazaliśmy, że d jest wspólnym dzielniiem liczb a, b. Jeśli δ a i δ b, to istnieja liczby λ, κ taie, że a = λδ i b = κδ, zatem d = a + bl = δλ + mκ), zatem δ d. Sta d wynia, że jeśli również d δ, to δ = ±d, wie c nwda, b) = d. Charateryzacja liczb pierwszych Liczba p 0 jest pierwsza wtedy i tylo wtedy, gdy nie jest dzielniiem 1 i z tego, że p ab wynia, że p a lub p b. Jeśli p nie jest liczba pierwsza, to istnieja liczby ca lowite a, b, tóre nie sa dzielniami jedyni i dla tórych zachodzi równość p = ab. Jeśli p a, to a = p dla pewnej liczby ca lowitej i wobec tego p = pb, wie c 1 = pb, co oznacza, że p i b sa dzielniami jedyni, wbrew za lożeniu. Za lóżmy teraz, że p ab i że p jest liczba pierwsza. Jeśli p a, to nwda, p) = 1, zatem istnieja liczby ca lowite, m taie, że a + pm = 1. Wobec tego b = ab + bpm. Z za lożenia p ab i oczywiście p bpm, wie c p ab + bpm) = b. Zasadnicze twierdzenie arytmetyi czyli twierdzenie o jednoznaczności roz ladu na czynnii pierwsze Niech a 0 be dzie liczba ca lowita, tóra nie jest dzielniiem 1. Istnieja wtedy liczby pierwsze p 1, p 2,..., p n taie, że a = p 1 p 2... p n. Jeśli a = p 1 p 2... p m i liczby p 1, p 2,..., p m sa pierwsze, to n = m i po ewentualnej zmianie olejności numeracji) zachodza równości p 1 = η 1 p 1, p 2 = η 2 p 2,..., p n = η n p n, gdzie η 1, η 2,..., η n sa pewnymi dzielniami jedyni. * W licznych sia żach poświeconych teorii liczb najwieszy wspólny dzielni liczb a,b oznaczany jest symbolem a,b). 5
6 Przed podaniem dowodu wypada powiedzieć, że to twierdzenie mówi, że ażda liczbe ca lowita, z wyja tiem 0, 1, 1 można przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszych na jeden tylo sposób, jeśli nie brać pod uwage zmian olejności czynniów i zmian ich znaów: 6 = 2 3 = 2) 3) = 3 2 = 3) 2). Wyażemy najpierw istnienie roz ladu na czynnii pierwsze. Zastosujemy inducje wzgle dem wartości bezwzgle dnej liczby ca lowitej, czyli udowodnimy twierdzenie dla liczb naturalnych. Jeśli a = 2, to twierdzenie jest prawdziwe, bo 2 jest liczba pierwsza, przyjmujemy wie c n = 1, p 1 = 2. Za lóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla wszystich liczb naturalnych mniejszych niż. Jeśli n jest liczba pierwsza, to dla teza też zachodzi. Jeśli liczba pierwsza nie jest, to dla pewnych liczb 1, 2, tóre nie sa dzielniami jedyni zachodzi równość = 1 2. Ponieważ liczby 1, 2 nie sa dzielniami jedyni sa różne od 0, wie c 1, 2 > 1 i wobec tego 1, 2 <. Wobec tego ażda z nich jest iloczynem liczb pierwszych, a sta d wynia od razu, że również jest iloczynem liczb pierwszych. Zaończyliśmy rozumowanie inducyjne. Teraz zajmiemy sie jednoznaczościa roz ladu. Jeśli a = p 1 p 2... p n = p 1 p 2... p m = p 1 p 2... p m ), to p 1 p 1 lub p 1 p 2 p 3... p m ). Jeśli p 1 p 1, to p 1 = η 1 p 1, a ponieważ p 1 jest liczba pierwsza i p 1 nie jest dzielniiem jedyni jao liczba pierwsza), wie c η 1 jest dzielniiem jedyni. Przyjmuja c, że a > 0 jest najmniejsza dodatnia liczba naturalna stwierdzamy, że liczba p 2 p 3... p m < a roz lada sie na iloczyn czynniów pierwszych tylo w jeden sposób z wymienionymi przed dowodem zastrzeżeniami na temat olejności czynniów i mnożenia ich przez dzielnii jedyni). Liczba ta dzieli sie przez p 1, zatem p 1 jest równa z do ladnościa do pomnożenia przez dzielni jedyni tórejś z liczb p 2, p 3,..., p m. Bez straty ogólności rozważań można przyja ć, że p 1 = p 2. Sta d wynia równość a p 1 = p 2 p 3 p 4... p n = p 1 p 3 p 4... p m. Liczbe ca lowita a p 1 < a można przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszych na jeden tylo sposób, bo jest mniejsza od a, a można przyja ć, że a jest najmniejsza liczba, dla tórej roz lad na czynnii pierwsze jest niejednoznaczny. Dowód zosta l zaończony. W sia żce The Higher Arithmetic, An Introduction to the Theory of numbers Harolda Davenporta prze lożonej na rosyjsi) można znaleźć prostszy dowód i ila innych dowodów zasadniczego twierdzenia arytmetyi. Ten najprostszy przytoczymy. Tym razem nie sorzystamy z charateryzacji liczb pierwszych. drugi dowód zasadniczego twierdzenia arytmetyi Istnienie roz ladu wyazujemy ta, ja poprzednio, wie c tej cze ści dowodu nie przepisujemy. Za lóżmy, że a = p 1 p 2... p n = p 1 p 2... p m jest najmniejsza liczba naturalna, tóra ma dwa różne roz lady na czynnii pierwsze i że liczby naturalne p 1, p 2,..., p n, p 1, p 2,..., p m sa pierwsze. Jeśli roz lady sa różne, to żadna z liczb p 1, p 2,..., p n nie pojawia sie wśród liczb p 1, p 2,..., p m. Możemy przyja ć, że p 1 p 2... p m i p 1 p 2... p n. Ponieważ liczba a nie jest pierwsza, wie c n 2 i m 2, zatem a p 2 1 i a p2 1 i oczywiście p 1 p 1. Wobec tego a > p 1 p 1, zatem liczba a p 1 p 1 jest liczba naturalna mniejsza od a, zatem maja ca do ladnie jeden roz lad na iloczyn naturalnych czynniów pierwszych. Wobec tego liczba a p 1 p 1 jest podzielna przez p 1 oraz przez p 1 p 1, zatem również przez p 1 p 1, bo ta ma tylo jeden roz lad na czynnii, a z tego wynia, że jeśli jest podzielna przez jaa ś liczbe pierwsza, to ta liczba pierwsza wyste puje 6
7 w jedynym roz ladzie na czynnii pierwsze. Wobec tego a p 1 p 1 = p 1 p 1 q 1 q 2... q j dla pewnych liczb pierwszych q 1, q 2,..., q j. Dziela c te równość stronami przez p 1 otrzymujemy p 2 p 3... p n p 1 = p 1 q 1 q 2... q j, a sta d wynia, że liczba p 1 jest dzielniiem liczby p 2 p 3... p n < a, wie c przedstawialnej w postaci iloczynu liczb pierwszych w jeden tylo sposób. Sta d jedna wynia, że wśród liczb p 2, p 3,..., p n wyste puje liczba p 1, wbrew za lożeniu. Po tym dowodzie H.Davenport napisa l czytelni zgodzi sie, że chociaż dowód ten ani nie jest d lugi ani trudny, to jedna jest dosyć deliatny cieni). Zache cam do przemyślenia logii tego rozumowania, choć nie zamierzam go przedstawiać na wy ladzie moge po lub przed, np. w pia te.) Zadanie ale nie z analizy) Wyazać, że w zbiorze [ 2] = {a + b 2: a, b } jest jednoznaczność roz ladu na czynnii pierwsze, a w zbiorze [ 5] = {a + b 5: a, b } jednoznaczności roz ladu na czynnii pierwsze nie ma. W obu przypadach wyazać, że dzielniów jedyni jest niesończenie wiele. Opisać dzielnii jedyni! To zadanie z pewnościa nie powinno być robione na ćwiczeniach z analizy, tego typu zadania zapewne pojawia sie iedyś na na algebrze, ale nie na GAL u. Zamieszczam, by osoby studiuja ce matematye mog ly ewentualnie pomysleć o twierdzeniu o jednoznaczności roz ladu i lepiej zrozumieć, jaie trudności sa zwalczane. 7
PODSTAWOWE W LASNOŚCI W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH
PODSTAWOWE W LASNOŚCI DZIA LAŃ I NIERÓWNOŚCI W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH W dalszym cia gu be dziemy zajmować sie g lównie w lasnościami liczb rzeczywistych, funkcjami określonymi na zbiorach z lożonych
Bardziej szczegółowoDziedziny Euklidesowe
Dziedziny Euklidesowe 1.1. Definicja. Dziedzina Euklidesowa nazywamy pare (R, v), gdzie R jest dziedzina ca lkowitości a v : R \ {0} N {0} funkcja zwana waluacja, która spe lnia naste ce warunki: 1. dla
Bardziej szczegółowoW zbiorze liczb rzeczywistych wyróżnia sie pewne podzbiory. Zaczniemy od najważniejszego, tj. od zbioru liczb naturalnych.
LICZBY NATURALNE, CA LKOWITE, WYMIERNE W zbiorze liczb rzeczywistych wyróżnia sie pewne podzbiory. Zaczniemy od najważniejszego, tj. od zbioru liczb naturalnych. Definicja 9.1 (zbioru liczb naturalnych)
Bardziej szczegółowoSzeregi liczbowe wste
3 grudnia 2007 orawi lem dowód twierdzenia o rzybliżeniach dziesie tnych Zajmiemy sie teraz cia gami nieskończonym, ale zaisywanymi w ostaci sum. Definicja 2. (szeregu) Niech (a n ) be dzie dowolnym cia
Bardziej szczegółowoFUNKCJE LICZBOWE. x 1
FUNKCJE LICZBOWE Zbiory postaci {x R: x a}, {x R: x a}, {x R: x < a}, {x R: x > a} oznaczane sa symbolami (,a], [a, ), (,a) i (a, ). Nazywamy pó lprostymi domknie tymi lub otwartymi o końcu a. Symbol odczytujemy
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią analityczną
WYKŁAD. Własności zbiorów liczbowych. Podzielność liczb całowitych, relacja przystawania modulo, twierdzenie chińsie o resztach. Liczby całowite Liczby 0,±,±,±3,... nazywamy liczbami całowitymi. Zbiór
Bardziej szczegółowoMatematyka A, klasówka, 24 maja zania zadań z kolokwium z matematyki A w nadziei, że pope lni lem wielu b le. rozwia
Matematyka A, klasówka, 4 maja 5 Na prośbe jednej ze studentek podaje zania zadań z kolokwium z matematyki A w nadziei, że pope lni lem wielu b le dów Podać definicje wektora w lasnego i wartości w lasnej
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 2, cze ść dziesia ta
Analiza matematyczna 2, cze ść dziesia ta Informacja ogólna dla tych, którzy jeszcze ze mna chca rozmawiać o stopniach: zdecydowana wie kszość twierdzeń w matematyce, w analizie w szczególności, sk lada
Bardziej szczegółowoGranice funkcji, definicja cia
Granice funkcji, definicja Jednym z najważniejszych poje ć w matematyce jest poje cie funkcji Przypomnimy definicje Definicja 61 funkcji, wartości, obrazu, dziedziny i przeciwdziedziny Przyporza dkowanie
Bardziej szczegółowoDZYSZKOLNE ZAWODY MATEMATYCZNE. Eliminacje rejonowe. Czas trwania zawodów: 150 minut
XLIII MIE DZYSZKOLNE ZAWODY MATEMATYCZNE Eliminacje rejonowe Czas trwania zawodów: 150 minut Każdy uczeń rozwia zuje dwadzieścia cztery zadania testowe, w których podano za lożenia oraz trzy (niekoniecznie
Bardziej szczegółowoWyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie
1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z
Bardziej szczegółowo7. Klasyfikacja skończenie generowanych grup przemiennych
32 7 Klasyfiacja sończenie generowanych grup przemiennych W tym rozdziale zajmiemy sie sończenie generowanymi grupami przemiennymi Zgodnie z tradycja be dziemy sie pos lugiwać zapisem addytywnym Dzia lanie
Bardziej szczegółowo2a )2 a b2. = 2 4a ====== x + b. nawias
Wielomiany kwadratowe Wielomian a + + c nazywamy kwadratowym lu wielomianem drugiego stopnia, jeśli a jest licza różna od 0. W dalszym cia gu zak ladamy, że a i a 0. Możemy napisać a + + c = a ( + a )
Bardziej szczegółowoP (x, y) + Q(x, y)y = 0. g lym w obszrze G R n+1. Funkcje. zania uk ladu (1) o wykresie przebiegaja
19. O ca lkach pierwszych W paragrafie 6 przy badaniu rozwia zań równania P (x, y) + Q(x, y)y = 0 wprowadzono poje cie ca lki równania, podano pewne kryteria na wyznaczanie ca lek równania. Znajomość ca
Bardziej szczegółowoWzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych
Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych Pawe l Józiak 007-- Poje cia wste pne Wielomianem zmiennej rzeczywistej t nazywamy funkcje postaci:
Bardziej szczegółowoc a = a x + gdzie = b 2 4ac. Ta postać wielomianu drugiego stopnia zwana jest kanoniczna, a wyrażenie = b 2 4ac wyróżnikiem tego wielomianu.
y = ax 2 + bx + c WIELOMIANY KWADRATOWE Zajmiemy sie teraz wielomianami stopnia drugiego, zwanymi kwadratowymi. Symbol w be dzie w tym rozdziale oznaczać wielomian kwadratowy, tj. w(x) = ax 2 + bx + c
Bardziej szczegółowoUdowodnimy najpierw, że,,dla dostatecznie dużych x liczby a k x k i a 0 + a 1 x + + a k x k maja ten sam znak. a k
WIELOMIANY STOPNIA WYŻSZEGO NIŻ DWA Przypominamy, że wielomianem k tego stopnia nazywamy funkcje f postaci f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a k x k, gdzie wspó lczynnik a k jest liczba różna od 0. Piszemy
Bardziej szczegółowoPisemny egzamin dyplomowy. na Uniwersytecie Wroc lawskim. na kierunku matematyka. zadania testowe. 22czerwca2009r. 60 HS-8-8
EGZAMIN DYPLOMOWY, cze ść I (testowa) 22.06.2009 INSTRUKCJE DOTYCZA CE WYPE LNIANIA TESTU 1. Nie wolno korzystać z kalkulatorów. 2. Sprawdzić, czy wersja testu podana na treści zadań jest zgodna z wersja
Bardziej szczegółowoTeoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej
Teoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej 27-28/10/09 ZBIORY MIERZALNE WZGLȨDEM MIARY ZEWNȨTRZNEJ Niech µ bȩdzie miar
Bardziej szczegółowoi = n = n 1 + n 2 1 i 2 n 1. n(n + 1)(2n + 1) n (n + 1) =
Druga zasada inducji matematycznej Niech m będzie liczbą całowitą, niech p(n) będzie ciągiem zdań zdefiniowanych na zbiorze {n Z: n m} oraz niech l będzie nieujemną liczbą całowitą. Jeśli (P) wszystie
Bardziej szczegółowoWyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste
Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich
Bardziej szczegółowoWyk lad 2 Podgrupa grupy
Wyk lad 2 Podgrupa grupy Definicja 2.1. Pod grupy (G,, e) nazywamy taki podzbiór H G, że e H, h 1 H dla każdego h H oraz h 1 h 2 H dla dowolnych h 1, h 2 H. Jeśli H jest grupy G, to bedziemy pisali H G.
Bardziej szczegółowo13. Cia la. Rozszerzenia cia l.
59 13. Cia la. Rozszerzenia cia l. Z rozważań poprzedniego paragrafu wynika, że jeżeli wielomian f o wspó lczynnikach w ciele K jest nierozk ladalny, to pierścień ilorazowy K[X]/(f) jest cia lem zawieraja
Bardziej szczegółowog liczb rzeczywistych (a n ) spe lnia warunek
. Czy jest prawda, że a) R y R z R y + yz + = 0 ; b) R y R z R y + yz + 0 ; c) R y R z R y + yz + = 0 ; d) R y R z R y + yz + 0? 2. Czy jest prawdziwa nierówność a) ctg > ; b) tg < cos ; c) cos < sin ;
Bardziej szczegółowoKOMBINATORYKA 1 WYK LAD 9 Zasada szufladkowa i jej uogólnienia
KOMBINATORYKA 1 WYK LAD 9 Zasada szufladkowa i jej uogólnienia 18 grudnia 2006 Zasada szufladkowa, zwana też zasada Dirichleta, a w jez. ang.,,pigeonhole Principle może być sformu lowana naste puja co.
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera
Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu
Bardziej szczegółowoCiała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);
Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy
Bardziej szczegółowo1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.
1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.
Bardziej szczegółowo13 Zastosowania Lematu Szemerédiego
13 Zastosowania Lematu Szemerédiego 13.1 Twierdzenie Erdősa-Stone a (Rozdzia ly 7.1 i 7.5 podre cznika) Jednym z g lównych zagadnień ekstremalnej teorii grafów jest wyznaczenie parametru ex(n, H) = max{
Bardziej szczegółowo2. PRZELICZANIE OBIEKTÓW KOMBINATORYCZNYCH
2. PRZELICZANIE OBIEKTÓW KOMBINATORYCZNYCH Typeset by AMS-TEX 2. PRZELICZANIE OBIEKTÓW KOMBINATORYCZNYCH 7 Zasada bijekcji. Jeżeli istnieje bijekcja f : A B, tj. f jest funkcja różnowartościowa i,,na (tzn.
Bardziej szczegółowoW mowie potocznej formu lujemy takie zdania, o których możemy powiedzieć, że sa. du na to, jaka jest aktualna sytuacja w otaczaja
1. WIADOMOŚCI WSTE PNE. 1.1. Rachunek zdań. W mowie potocznej formu lujemy takie zdania, o których możemy powiedzieć, że sa prawdziwe ba dź fa lszywe bez wzgle du na to, jaka jest aktualna sytuacja w otaczaja
Bardziej szczegółowoWykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.
Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia
Bardziej szczegółowoPaweł Gładki. Algebra. pgladki/
Paweł Gładki Algebra http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Konsultacje: Środa, 14:00-15:00 Jeżeli chcesz spotkać się z prowadzącym podczas konsultacji, postaraj się powiadomić go o tym przed lub po zajęciach,
Bardziej szczegółowo2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność.
2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. 11 października 2008 r. 19. Wskazać takie liczby naturalne m,
Bardziej szczegółowoKOLOKWIUM Z ALGEBRY I R
Instrucje: Każde zadanie jest za 4 puntów. Rozwi azanie ażdego zadania musi znajdować siȩ na osobnej artce oraz być napisane starannie i czytelnie. W nag lówu ażdego rozwi azania musz a znajdować siȩ dane
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Dzia lania na macierzach. Określenie wyznacznika
Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach Określenie wyznacznika 1 Określenie macierzy Niech K bedzie dowolnym cia lem oraz niech n i m bed a dowolnymi liczbami naturalnymi Prostokatn a tablice a 11 a 12 a 1n
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Inducja matematyczna Inducja jest taą metodą rozumowania, za pomocą tórej od tezy szczegółowej dochodzimy do tezy ogólnej. Przyład 1 (o zanurzaniu ciał w wodzie) 1. Kawałe żelaza, tóry zanurzyłem w wodzie,
Bardziej szczegółowoWYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE
WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE Definicja 1 Algebra abstrakcyjna nazywamy teorie, której przedmiotem sa dzia lania na
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Wykład 2: Kombinatoryka. Gniewomir Sarbicki
Matematya dysretna Wyład 2: Kombinatorya Gniewomir Sarbici Kombinatorya Definicja Kombinatorya zajmuje się oreślaniem mocy zbiorów sończonych, w szczególności mocy zbiorów odwzorowań jednego zbioru w drugi
Bardziej szczegółowoWykład 21 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej
Wykład 2 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej czȩść II (opracował: Piotr Nayar) Definicja 2.. Niech (E, E) bȩdzie przestrzenia mierzalna i niech λ : E
Bardziej szczegółowoROZDZIA l 13. Zbiór Cantora
ROZDZIA l 3 Zbiór Cantora Jednym z najciekawszych i najcze ściej spotykanych w matematyce zbiorów jest zbiór Cantora W tym rozdziale opiszemy jego podstawowe w lasności topologiczne Najprościej można go
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2015/16
Na ćwiczeniach 6.0.205 omawiamy test kwalifikacyjny. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie jest liczbą naturalną, tzn. liczby naturalne są to liczby całkowite dodatnie.. Sformułować uogólnione cechy podzielności
Bardziej szczegółowoWyk lad 5. Analiza dla informatyków 1 DANI LI1 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu. 1. Granice niew laściwe
Analiza dla informatyków 1 DANI LI1 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu Wyk lad 5 1. Granice niew laściwe Definicja 1 Ci ag (x n ) d aży do (jest rozbieżny do) + jeśli c R N n > N x n > c a do
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Cia la i ich w lasności
Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,
Bardziej szczegółowoAnaliza B. Paweł Głowacki
Analiza B Paweł Głowaci Pojęcie liczby rzeczywistej uważać będziemy za intuicyjnie oczywiste. Tym niemniej celowe wydaje się przypomnienie i ugruntowanie nietórych fundamentalnych własności liczb rzeczywistych.
Bardziej szczegółowoWyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne
Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1 Dzia lanie w zbiorze Majac dane dowolne dwa przedmioty a b możemy z nich utworzyć pare uporzadkowan a (a b) o poprzedniku a i nastepniku b. Warunek na równość
Bardziej szczegółowoNiech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:
Teoria miary WPPT IIr semestr zimowy 2009 Wyk lad 4 Liczby kardynalne, indukcja pozaskończona DOBRY PORZA DEK 14/10/09 Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x
Bardziej szczegółowoWyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna
Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy
Bardziej szczegółowoFunkcja może mieć lokalne ekstrema jedynie w punktach, w których jej gradient, czyli wektor f = grad f = [ f
Matematyka A, egzamin, 7 czerwca 005 rozwia zania Mam nadzieje, że nie ma tu b le dów poza jakimiś literówkami, od których uwolnić sie jest bardzo trudno. Zache cam do obejrzenia rozwia zań zadań z egzaminu
Bardziej szczegółowoMatematyka A, egzamin, 17 czerwca 2005 rozwia zania
Matematyka A, egzamin, 7 czerwca 00 rozwia zania Mam nadzieje, że nie ma tu b le dów poza jakimiś literówkami, od których uwolnić sie trudno. Zache cam do obejrzenia rozwia zań zadań z egzaminu dla matematyki
Bardziej szczegółowoPierścień wielomianów jednej zmiennej
Rozdział 1 Pierścień wielomianów jednej zmiennej 1.1 Definicja pierścienia wielomianów jednej zmiennej Definicja 1.1 Niech P będzie dowolnym pierścieniem. Ciąg nieskończony (a 0, a 1,..., a n,...) elementów
Bardziej szczegółowoPEWNIK DEDEKINDA i jego najprostsze konsekwencje
PEWNIK DEDEKINDA i jego njprostsze konsekwencje W rozdzile ósmym stwierdziliśmy, że z podnych tm pewników nie wynik istnienie pierwistków z liczb rzeczywistych. Uzupe lnimy terz liste pewników jeszcze
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania ćwiczenia
Algebra i jej zastosowania ćwiczenia A Pilitowska i A Romanowska 24 kwietnia 2006 1 Grupy i quasigrupy 1 Pokazać, że w każdej grupie (G,, 1, 1): (a) jeśli xx = x, to x = 1, (b) (xy) 1 = y 1 x 1, (c) zachodzi
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe wykład 3
Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel 3 kwietnia 203 Definicja (ciągu liczbowego). Ciagiem liczbowym nazywamy funkcję odwzorowuja- ca zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych. Wartość
Bardziej szczegółowoCiągłość funkcji f : R R
Ciągłość funkcji f : R R Definicja 1. Otoczeniem o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O(x 0, δ) := (x 0 δ, x 0 + δ). Otoczeniem prawostronnym o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O +
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe, liniowa niezależność Javier de Lucas
Przestrzenie wektorowe, liniowa niezależność Javier de Lucas Ćwiczenie 1. W literaturze można znaleźć pojȩcia przestrzeni liniowej i przestrzeni wektorowej. Obie rzeczy maj a tak a sam a znaczenie. Nastȩpuj
Bardziej szczegółowoKOMBINATORYKA 1 WYK LAD 10 Zbiory cze
KOMBINATORYKA 1 WYK LAD 10 Zbiory cze ściowo uporza dkowane 17 maja 2012 W rozdziale tym omówimy jedno z fundamentalnych poje ć kombinatoryki, jakim jest zbiór cze ściowo uporza dkowany. Pokażemy w jaki
Bardziej szczegółowoRozdzia l 2. Najważniejsze typy algebr stosowane w logice
Rozdzia l 2. Najważniejsze typy algebr stosowane w logice 1. Algebry Boole a Definicja. Kratȩ dystrybutywn a z zerem i jedynk a, w której dla każdego elementu istnieje jego uzupe lnienie nazywamy algebr
Bardziej szczegółowoCiagi liczbowe wykład 4
Ciagi liczbowe wykład 4 dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy, r. akad. 2016/2017 Definicja (ciagu liczbowego) Ciagiem liczbowym nazywamy funkcję
Bardziej szczegółowoWyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych
Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych 1 Określenie podprzestrzeni Definicja 6.1. Niepusty podzbiór V 1 V nazywamy podprzestrzeni przestrzeni liniowej V, jeśli ma on nastepuj ace w lasności: (I)
Bardziej szczegółowoWyk lad 8 Zasadnicze twierdzenie algebry. Poj. ecie pierścienia
Wy lad 8 Zasadicze twierdzeie algebry. Poj ecie pierścieia 1 Zasadicze twierdzeie algebry i jego dowód Defiicja 8.1. f: C C postaci Wielomiaem o wspó lczyiach zespoloych azywamy fucj e f(x) = a x + a 1
Bardziej szczegółowoCia la i wielomiany Javier de Lucas
Cia la i wielomiany Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Za lóż, że (F, +,, 1, 0) jest cia lem i α, β F. w laściwości s a prawd a? Które z nastȩpuj acych 1. 0 α = 0. 2. ( 1) α = α. 3. Każdy element zbioru F ma
Bardziej szczegółowoA i A j lub A j A i. Operator γ : 2 X 2 X jest ciągły gdy
3. Wyład 7: Inducja i reursja struturalna. Termy i podstawianie termów. Dla uninięcia nieporozumień notacyjnych wprowadzimy rozróżnienie między funcjami i operatorami. Operatorem γ w zbiorze X jest funcja
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2014/15
Ćwiczenia 5/6, 10, 17.03.2015 (obie grupy) 33. Połączyć podane warunki w grupy warunków równoważnych dla dowolnej liczby naturalnej n. a) liczba n jest nieparzysta b) liczba n jest względnie pierwsza z
Bardziej szczegółowo1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba)
1. Liczby wymierne. - wartość bezwzględna liczby. dla 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) - dla < 0 ( wartością bezwzględną liczby ujemnej jest liczba do niej przeciwna) W interpretacji
Bardziej szczegółowo4. Dzia lanie grupy na zbiorze
17 4. Dzia lanie grupy na zbiorze Znaczna cze ść poznanych przez nas przyk ladów grup, to podgrupy grupy bijekcji jakiegoś zbioru. Cze sto taka podgrupa sk lada sie z bijekcji, które zachowuja dodatkowa
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania ćwiczenia
Algebra i jej zastosowania ćwiczenia 14 stycznia 2013 1 Kraty 1. Pokazać, że każda klasa kongruencji kraty (K, +, ) jest podkrata kraty (K, +, ). 2. Znaleźć wszystkie kongruencje kraty 2 3, gdzie 2 jest
Bardziej szczegółowoPierścienie grupowe wyk lad 3. lewych podmodu lów prostych. Ogólniej, aby roz lożyć dany pierścień na sume. prosta
Pierścienie rupowe wyk lad 3 Już wiemy, że alebre rupowa CG skończonej rupy G można roz lożyć na sume lewych podmodu lów prostych Oólniej, aby roz lożyć dany pierścień na sume prosta jeo dwóch podmodu
Bardziej szczegółowoσ-ciało zdarzeń Niech Ω będzie niepustym zbiorem zdarzeń elementarnych, a zbiór F rodziną podzbiorów zbioru Ω spełniającą warunki: jeśli A F, to A F;
Zdarzenie losowe i zdarzenie elementarne Zdarzenie (zdarzenie losowe) - wyni pewnej obserwacji lub doświadczenia; może być ilościowy lub jaościowy. Zdarzenie elementarne - najprostszy wyni doświadczenia
Bardziej szczegółowo7. CIĄGI. WYKŁAD 5. Przykłady :
WYKŁAD 5 1 7. CIĄGI. CIĄGIEM NIESKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych, dodatnich, a wyrazami ciągu są wartości tej funkcji. CIĄGIEM SKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2014/15
Ćwiczenia 0.10.014 Powtórka przed sprawdzianem nr 1. Wzory skróconego mnożenia dwumian Newtona procenty. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Ćwiczenia 138.10.014 Sprawdzian nr 1: 1.10.014 godz. 8:15-8:40
Bardziej szczegółowoA i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A
Bardziej szczegółowodna szeregu. ; m., k N ; ó. ; u. x 2n 1 ; e. n n! jest, że
KILKA ZADAŃ O SZEREGACH Zbadać zbieżość i zbieżość bezwzgle da = a, jeśli a = a!! ; a + + ; c + ; ć! ; d +/ + 3 ; e! e 3 3+ ; f ; + g 000+ ; h ; + i! ; j k ; l 5 + l + 7 0 +3 6 0 + ; +3 ; ; m 3 + 3 ; +a
Bardziej szczegółowoFUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.
FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga
Bardziej szczegółowo5. Obliczanie pochodnych funkcji jednej zmiennej
Kiedy może być potrzebne numeryczne wyznaczenie pierwszej lub wyższej pochodnej funkcji jednej zmiennej? mamy f(x), nie potrafimy znaleźć analitycznie jej pochodnej, nie znamy postaci f(x), mamy stablicowane
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne
Wyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne 1 Warstwy grupy wzgl edem podgrupy Niech H bedzie podgrupa grupy (G,, e). W zbiorze G wprowadzamy relacje l oraz r przyjmujac, że dla dowolnych a, b G: a l b a 1 b
Bardziej szczegółowoPochodne wyższych rze
Ostatnie zmiany wprowadzono 5 lutego 017, godz 17:45 Podstawowe definicje i twierdzenia W wielu przypadkach dochodzi do obliczania pochodnej funkcji, która sama jest pochodna Przydatne jest to np wtedy,
Bardziej szczegółowoTekst poprawiony 27 XII, godz. 17:56. Być może dojda
Tekst poprawiony 27 XII, godz. 7:56. Być może dojda naste pne zadania Definicja 7. krzywej) Niech P oznacza dowolny przedzia l niezdegenerowany. Przekszta lcenie r: P IR k nazywamy krzywa. Jeśli r jest
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
I Newton sformu lowa l podstawowe zasady dynamiki Druga zasada dynamiki ma postać wzoru F = m a F oznacza tu si le dzia laja ca na cia lo o masie m, a oznacza przyspieszenie tego cia la Przyspieszenie
Bardziej szczegółowoProstota grup A n. Pokażemy, że grupy A n sa. proste dla n 5. Dowód jest indukcyjny i poprzedzimy go lematem.
Prostota grup A n. Pokażemy, że grupy A n sa proste dla n 5. Dowód jest indukcyjny i poprzedzimy go lematem. 1 2 0. Twierdzenie Schura Zassenhausa W tym rozdziale zajmiemy sie bardzo użytecznym twierdzeniem,
Bardziej szczegółowoLiczby naturalne i ca lkowite
Chapter 1 Liczby naturalne i ca lkowite Koncepcja liczb naturalnych i proste operacje arytmetyczne by ly znane już od oko lo 50000 tysiȩcy lat temu. To wiemy na podstawie archeologicznych i historycznych
Bardziej szczegółowoPodstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie)
. Zdarzenia odstawy rachunu prawdopodobieństwa (przypomnienie). rawdopodobieństwo 3. Zmienne losowe 4. rzyład rozładu zmiennej losowej. Zdarzenia (events( events) Zdarzenia elementarne Ω - zbiór zdarzeń
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA W SZKOLE HELIANTUS LICZBY NATURALNE I CA LKOWITE
1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 0-89 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 3 1 0 1 3 Oś liczbowa. Liczby ca lkowite x MATEMATYKA W SZKOLE HELIANTUS LICZBY NATURALNE I CA LKOWITE Prof. dr. Tadeusz STYŠ WARSZAWA 018 1
Bardziej szczegółowoPojȩcie przestrzeni metrycznej
ROZDZIA l 1 Pojȩcie przestrzeni metrycznej Definicja 1.1. Dowolny niepusty zbiór X z funkcja ρ : X X [0, ), spe lniaja ca naste puja ce trzy warunki M1: ρ(x, y) = 0 x = y, M2: ρ(x, y) = ρ(y, x), M3: ρ(x,
Bardziej szczegółowoWykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych
Arytmetyka liczb całkowitych Wykład 1 Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2,...}. Zakładamy, że czytelnik zna relację
Bardziej szczegółowoTreść wykładu. Pierścienie wielomianów. Dzielenie wielomianów i algorytm Euklidesa Pierścienie ilorazowe wielomianów
Treść wykładu Pierścienie wielomianów. Definicja Niech P będzie pierścieniem. Wielomianem jednej zmiennej o współczynnikach z P nazywamy każdy ciąg f = (f 0, f 1, f 2,...), gdzie wyrazy ciągu f są prawie
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne
Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V
Bardziej szczegółowoDzia lanie grupy na zbiorze. Twierdzenie Sylowa
Dzia lanie grupy na zbiorze. Twierdzenie Sylowa Niech G be dzie dowolna grupa, zaś X zbiorem. 1. Definicja. Dzia laniem grupy G na zbiorze X nazywamy funkcje µ: G X X, µ(g, x) = g x, spe lniaja ca dwa
Bardziej szczegółowoRozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone
Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 4: Podzielność liczb całkowitych Gniewomir Sarbicki Dzielenie całkowitoliczbowe Twierdzenie: Dla każdej pary liczb całkowitych (a, b) istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych
Bardziej szczegółowoDZIAŁANIA NA UŁAMKACH DZIESIĘTNYCH.
DZIAŁANIA NA UŁAMKACH DZIESIĘTNYCH. Dodawanie,8 zwracamy uwagę aby podpisywać przecinek +, pod przecinkiem, nie musimy uzupełniać zerami z prawej strony w liczbie,8. Pamiętamy,że liczba to samo co,0, (
Bardziej szczegółowo= (3x 2)(2x 3). Sta d wnioskujemy, że 6x 3 x 2 20x + 12 = =(x + 2)(3x 2)(2x 3), co kończy zadanie.
. Roz lożyć na czynniki 6 0 +. Rozwia zanie. Szukać możemy ca lkowitych lub ogólniej wymiernych pierwiastków tego wielomianu. Jedynymi kandydatami sa u lamki postaci p q przy czym q musi być dzielnikiem
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga
Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga Anna Romanowska January 29, 2016 4 Kraty i algebry Boole a 41 Kraty zupe lne Definicja 411 Zbiór uporza dkowany (P, ) nazywamy krata zupe lna,
Bardziej szczegółowoKONGRUENCJE. 1. a a (mod m) a b (mod m) b a (mod m) a b (mod m) b c (mod m) a c (mod m) Zatem relacja kongruencji jest relacją równoważności.
KONGRUENCJE Dla a, b, m Z mówimy, że liczba a przystaje do liczby b modulo m a b (mod m) m (a b) (a b (mod m) można też zapisać jako: a = km + b, k Z). Liczbę m nazywamy modułem kongruencji. Własności:
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Hilberta
Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba
Bardziej szczegółowoBadanie funkcji różniczkowalnych
Badanie funkcji za pomoca pochodnych: Ostatnie poprawki 0:35, 7 stycznia 04 r ekstrema i monotoniczność Twierdzenie 6 o monotoniczności funkcji różniczkowalnych Za lóżmy, że f jest funkcja cia g la w każdym
Bardziej szczegółowoGrupy i cia la, liczby zespolone
Rozdzia l 1 Grupy i cia la, liczby zespolone Dla ustalenia uwagi, b edziemy używać nast epuj acych oznaczeń: N = { 1, 2, 3,... } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2,... } - liczby ca lkowite, W = { m n
Bardziej szczegółowoZbiory ograniczone i kresy zbiorów
Zbiory ograniczone i kresy zbiorów Def.. Liczb m nazywamy ograniczeniem dolnym a liczb M ograniczeniem górnym zbioru X R gdy (i) x m; (ii) x M. Mówimy,»e zbiór X jest ograniczony z doªu (odp. z góry) gdy
Bardziej szczegółowo