Pracownia przetwarzania dokumentów 3. Matematyka w L A TEX-u

Transkrypt

1 Bartosz Ziemkiewicz Joanna Karłowska-Pik Pracownia przetwarzania dokumentów 3. Matematyka w L A TEX-u Materiały dydaktyczne do kształcenia na odległość dla studentów matematyki (specjalność: matematyka w ekonomii i finansach) Wersja z 30 października 2010 Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika Toruń 2010 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

2 Tryb matematyczny w L A TEX-u Do składu wyrażeń matematycznych służy w L A TEX-u specjalny tryb matematyczny. Wzory matematyczne wpisujemy pomiędzy znakami $ i $ (lub \( i \)). Tryb matematyczny powoduje m.in., że wszystkie litery pisane są kursywą. Jeśli trójkąt o bokach $a$, $b$ i $c$ jest prostokątny, przy czym $c$ jest jego przeciwprostokątną, to $a^2+b^2=c^2$. Jeśli trójkąt o bokach a, b i c jest prostokątny, przy czym c jest jego przeciwprostokątną, to a 2 + b 2 = c 2. Dłuższe wzory matematyczne powinny być wyeksponowane, tzn. wstawione pomiędzy akapitami w osobnym wierszu. Takie wzory umieszcza się pomiędzy znakami \[ i \]. Każdy student matematyki wie, czy wzór \[ \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6} \] jest prawdziwy. Każdy student matematyki wie, czy wzór jest prawdziwy. lim n n k=1 1 k = π2 2 6 W dalszej części skryptu będziemy najczęściej zakładać, że wzory są umieszczone pomiędzy znakami \[ i \] (nie będziemy ich pisać). 1

3 Większość znaków matematycznych uzyskujemy, wpisując odpowiednie polecenie, np. \cdot oznacza znak mnożenia. Należy pamiętać, żeby pomiędzy poleceniem a literą oznaczającą np. zmienną zostawiać spację. Nie $A\cdotB$ tylko $A\cdot B$, ale może być $A\cdot2$. Znaki działań arytmetycznych Zapisz w L A TEX-u nazwa działania polecenie L A TEX-a wynik plus + + minus - znak mnożenia \cdot \times znak dzielenia : : \div / / plus-minus \pm ± minus-plus \mp 24 : 6 2 8, a + b 3 5. Symbole relacji i działań nazwa relacji lub działania polecenie L A TEX-a wynik równości = = \neq nierówności ostre <, > <, > nierówności nieostre (bez polski) \leq, \geq, nierówności nieostre (z polski) \leq, \geq, 2

4 nazwa relacji lub działania polecenie L A TEX-a wynik zbiór pusty \emptyset przynależność do zbioru \in, \notin, / zawieranie się zbiorów \subset zawieranie nieostre \subseteq suma zbiorów \cup przekrój zbiorów \cap różnica zbiorów \setminus \ znak podzielności \mid znak równoległości \parallel znak prostopadłości perp negacja neg alternatywa \vee, \lor, koniunkcja \wedge, \land, kwantyfikator duży \forall kwantyfikator mały \exists nieskończoność \infty złożenie funkcji \circ Zapisz w L A TEX-u 2 3 5, (8 : 2) : 2 3, A B, x (A B) \ C, 6 n(n + 1)(n + 2), k l, (p q) r. 3

5 Indeksy górne i dolne Indeksy górne i dolne tworzymy za pomocą znaków odpowiednio ˆ i _. Aby w indeksie górnym lub dolnym umieścić więcej niż jeden znak, musimy użyć nawiasów { }. a_1, x^2, z_3^2, a_{12}, x^{23}, z_23. a 1, x 2, z 2 3, a 12, x 23, z 2 3. Indeksy górne i dolne można zagnieżdżać. a_{x^2}, x_{m_n}, z_{m_{n^2}}. a x 2, x mn, z mn 2. Zapisz w L A TEX-u a 2 + b 2 2ab, 2 n+1 < +, 2 xy (2 x ) y. Ułamki Do tworzenia ułamków służy polecenie \frac{licznik}{mianownik}. \frac{2}{3}, \frac{x^2}{k+1} 2 3, x 2 k + 1 4

6 Można tworzyć ułamki piętrowe, odpowiednio je zagnieżdżając. \frac{\frac{n(n+1)}{(n+2)(n+3)}}{\frac{n(n-1)} {(n-2)(n+2)}} \frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{2}}}} n(n+1) (n+2)(n+3) n(n 1) (n 2)(n+2) Ułamki wyeksponowane w osobnym wierszu pisane są większą czcionką niż ułamki występujące w tekście. Granicą ciągu \[ \frac{n+1}{2n+3} \] jest liczba $\frac{1}{2}$. Granicą ciągu jest liczba 1 2. n + 1 2n + 3 Po dołączeniu do preambuły dokumentu pakietu amsmath \usepackage{amsmath} mamy możliwość: zmniejszania ułamków występujących w wyeksponowanych wzorach poprzez użycie komendy \tfrac zamiast \frac, zwiększania ułamków występujących w tekście poprzez użycie komendy \dfrac zamiast \frac. 5

7 Dołączając do preambuły pakiet amsmath, utwórz dokument, który po skompilowaniu będzie miał postać Granicą ciągu n+1 2n+3 jest 1 2. Pierwiastki Znak pierwiastka kwadratowego uzyskujemy za pomocą komendy \sqrt{}. Rozmiar znaku pierwiastka jest ustalany automatycznie. \sqrt{2}, \sqrt{x-y}, \sqrt{\frac{x-y}{y^2-1}} 2, x y, x y y 2 1 Pierwiastki wyższych stopni uzyskujemy za pomocą opcjonalnego parametru \sqrt[n]{}. \sqrt[5]{x^2-y^7} 5 x2 y 7 Zapisz w L A TEX-u 1 3n + 1, 2n n + 2, 2 3 2n n 6

8 Standardowe funkcje matematyczne Nazwy standardowych funkcji matematycznych (sin, cos, exp, log) powinny być pisane pismem prostym (w odróżnieniu od nazw zmiennych, które piszemy kursywą). L A TEX udostępnia odpowiednie komendy dla najczęściej używanych funkcji. nazwa funkcji polecenie L A TEX-a wynik sinus \sin sin cosinus \cos cos tangens (bez pakietu polski) \tan tan tangens (z pakietem polski) \tan, \tg tg cotangens (bez pakietu polski) \cot cot cotangens (z pakietem polski) \cot, \ctg ctg arcus sinus (bez pakietu polski) \arcsin arcsin arcus sinus (z pakietem polski) \arcsin arc sin arcus cosinus (bez pakietu polski) \arccos arccos arcus cosinus (z pakietem polski) \arccos arc cos arcus tangens (bez pakietu polski) \arctan arctan arcus tangens (z pakietem polski) \arctan arc tg sinus hiperboliczny \sinh sinh cosinus hiperboliczny \cosh cosh tangens hiperboliczny (bez polski) \tanh tanh tangens hiperboliczny (z polski) \tanh, \tgh tgh cotangens hiperboliczny (bez polski) \coth coth cotangens hiperboliczny (z polski) \coth, \ctgh ctgh secans \sec sec cosecans \csc csc funkcja wykładnicza \exp exp logarytm \log log logarytm naturalny \ln ln logarytm \lg lg minimum \min min maksimum \max max infimum \inf inf supremum \sup sup granica \lim lim granica dolna \liminf lim inf granica górna \limsup lim sup 7

9 nazwa funkcji polecenie L A TEX-a wynik stopień \deg deg argument \arg arg wymiar \dim dim wyznacznik \det det jądro \ker ker homomorfizm \hom hom największy wspólny dzielnik \gcd gcd największy wspólny dzielnik (z polski) \gcd, \nwd nwd prawdopodobieństwo \Pr Pr Zapisz w L A TEX-u x sin x + 1, log 2 4 3n, exp(ln 5). Odstępy w trybie matematycznym L A TEX sam dobiera szerokość odstępów wewnątrz wyrażeń matematycznych. Nie ma znaczenia liczba wpisanych spacji pomiędzy elementami tych wyrażeń. Odstępy te można korygować za pomocą odpowiednich instrukcji: \ (backslash spacja) wstawia zwykły odstęp międzywyrazowy, \quad wstawia odstęp o szerokości kwadratu (tzn. równej szerokości dużej litery M w bieżącym kroju pisma) ( ), \qquad wstawia odstęp o szerokości dwóch kwadratów ( ), \, wstawia odstęp o szerokości 3/18 kwadratu ( ), \: wstawia odstęp o szerokości 4/18 kwadratu ( ), \; wstawia odstęp o szerokości 5/18 kwadratu ( ), \! wstawia ujemny odstęp o szerokości 3/18 kwadratu, tzn. zamiast zwiększać zmniejsza odstęp ( ). 8

10 We wzorach wyeksponowanych w osobnej linii sugeruje się wstawiać odstęp \quad pomiędzy kolejnymi formułami. f_1=1,\quad f_2=1,\quad f_{n+2}=f_{n+1}+f_n,\quad n=1,2,\ldots f 1 = 1, f 2 = 1, f n+2 = f n+1 + f n, n = 1, 2,... Zapisz w L A TEX-u (zwracając uwagę na odstępy) a, a 2, a 3, a 4, a 5, x x 2 0. Przy zapisie zbiorów sugeruje się wstawianie odstępu \; przed warunkiem określającym zbiór. A=\{x; \; x^2-1\geq 0\} A = {x; x 2 1 0} Sumy, iloczyny i całki Operatory sumy, iloczynu, całki, sumy zbiorów i przekroju zbiorów uzyskujemy za pomocą instrukcji \sum, \prod, \int, \bigcup i \bigcap. Dolne i górne granice uzyskujemy za pomocą znaków _ i ˆ. W przypadku sumy i iloczynu położenie dolnych i górnych granic różni się w zależności od tego, czy umieścimy je między znakami $, czy \[ i \]. Granice mogą pojawiać się obok tych znaków lub poniżej i powyżej (dla całki zawsze obok). Jeżeli chcemy, aby dolne i górne granice pojawiały się pod i nad wspomnianymi znakami, a nie obok, używamy polecenia \limits. 9

11 \sum_{i=1}^n i^2, \int_{-1}^1 x\,dx, \int\limits_{-1}^{1}x^2\,dx, \prod_{k=1}^{+\infty}\frac{k}{k+1} n i 2, i=1 1 1 x dx, 1 1 x 2 dx, + k=1 k k + 1 Utwórz plik L A TEX-a i wpisz następujące komendy raz pomiędzy znakami $, a raz \[ i \]. \sum_{i=1}^n i^2, \prod_{i=1}^n i^2, \int_0^1 x^2\, dx, \bigcup_{i=1}^n A_i, \bigcap_{i=1}^n A_i. Całki wielokrotne otrzymujemy przy pomocy komend \iint, \iiint, \iiiint, \idotsint. \iint_a f(x,y)\,dx\,dy, \idotsint_b g(x_1,\ldots,x_n)\,dx_1\ldots dx_n f(x, y) dx dy, g(x 1,..., x n ) dx 1... dx n A Całki iterowane tworzymy za pomocą kilku poleceń \int. Aby zmniejszyć domyślny odstęp między całkami, zazwyczaj używamy wstecznej spacji. Należy pamiętać o wstawianiu odstępów \, przed i pomiędzy znakami różniczki (dx). B 10

12 \int_a^b\int_c^d g(x,y)\,dx\,dy, \int_a^b\!\!\!\int_c^d g(x,y)\,dx\,dy, \int\limits_a^b\!\!\!\int\limits_c^dg(x,y)\,dx\,dy b d a c g(x, y) dx dy, b d a c g(x, y) dx dy, b d a c g(x, y) dx dy Strzałki Do uzyskiwania strzałek służy wiele komend, które można znaleźć w zestawieniu symboli matematycznych L A TEX-a. Tutaj podamy tylko kilka najczęściej spotykanych przykładów. \to, \leftarrow, \longrightarrow, \Rightarrow, \Longleftarrow =, \iff, \longmapsto, \longleftrightarrow, \hookrightarrow. Aby pod lub nad strzałką wstawić symbol, dodajemy pakiet amsmath i używamy komendy \xrightarrow[pod strzalką]{nad strzalką}. \xrightarrow[n\to+\infty]{p} P n + 11

13 Zapisz w L A TEX-u (p q) p q, f : A B, x x 2, 2n 3n + 1 n 2 3. Granice Granice otrzymujemy za pomocą poleceń: \lim, \limsup, \liminf, \varlimsup, \varliminf (te dwie ostatnie wymagają pakietu amsmath). \lim_{n\to+\infty}a_n, \liminf_{x\to 0^+}f(x), \varlimsup_{y\to 1/2}g(y) lim a n, n + lim inf f(x), lim g(y) x 0 + y 1/2 Granica umieszczona w tekście wygląda inaczej niż wyeksponowana. $\lim_{n\to+\infty}a_n$ lim n + a n \[ \lim_{n\to+\infty}a_n \] lim n + a n Uwaga: podobnie zachowują się polecenia \max, \min, \sup, \inf. 12

14 Alfabet grecki Małe litery alfabetu uzyskujemy za pomocą instrukcji typu \alpha, \beta, \gamma, \delta itd. α, β, γ, δ, ɛ, ζ, η, θ, ι, κ, λ, µ, ν, ξ, o, π, ϱ, σ, τ, υ, φ, χ, ψ, ω. Litery wielkie wstawiamy za pomocą komend \Gamma, \Delta itd. Γ,, Θ, Λ, Ξ, Σ, Υ, Φ, Ψ, Ω. Oryginalnie greckie litery epsilon i fi mają odpowiednio postać ɛ (\epsilon) i φ (\phi). Matematycy używają raczej ε i ϕ. Litery te uzyskujemy za pomocą komend \varepsilon, \varphi. Zapisz w L A TEX-u lim n n i=1 ω Ω. 1 i 2 = π2 6, Nawiasy i inne ograniczniki Nawiasy okrągłe i kwadratowe wstawiamy bezpośrednio z klawiatury. Nawiasy klamrowe wstawiamy za pomocą poleceń \{ i \}, a normę za pomocą poleceń \ i \. Wszystkie inne ograniczniki wstawiamy za pomocą specjalnych poleceń np. \langle, \rangle (, ), \lfloor, \rfloor (, ), \lceil, \rceil (, ) itp. L A TEX nie dopasowuje automatycznie rozmiaru nawiasu do rozmiaru wyrażenia, które się w nim znajduje. Aby to zmienić, należy nawias otwierający poprzedzić komendą \left, a zamykający \right. 13

15 (\frac{x}{y}), \left(\frac{x}{y}\right) ) ( x y ), ( x y Polecenia \left i \right zawsze występują parami. Jeżeli chcemy użyć tylko nawiasu otwierającego, wyrażenie zamykamy za pomocą polecenia \right. \left[\frac{x}{y}\right. [ x y Analogicznie postępujemy, gdy chcemy użyć tylko nawiasu zamykającego. W pewnych sytuacjach można samemu określić właściwy rozmiar ogranicznika. W tym celu używamy poleceń \big, \Big, \bigg i \Bigg. \big(x\big), \Big(x\Big), \bigg(x\bigg), \Bigg(x\Bigg). ( ) ( ) x, x, ( ) x, ( x ). Zmiana wielkości nawiasów może poprawiać czytelność wzorów. (m\cdot n)\left((x+y)-(a+b)\right), (m\cdot n)\big((x+y)-(a+b)\big) (m n) ((x + y) (a + b)), (m n) ( (x + y) (a + b) ) Według zasad typografii wielkość nawiasów przy operatorach ustala się tak, aby miały one wysokość równą z tymi znakami, lecz aby nie obejmowały wskaźników znajdujących się nad i pod nimi. 14

16 [ ] Nie x k (\left[\sum_k x_k\right]), [ k a x k ](\Big[\sum_k x_k\big]). k Zapisz w L A TEX-u (zwracając uwagę na wielkość nawiasów) ( ( 1 n ) 2 ( 1 n 1 n ) ) 2 3, n 2 ( n ) ( n 2 i 3 ). i i=1 i=1 Inne pożyteczne symbole poziome kreski nad i pod wyrażeniami: \underline{wyrażenie}, \overline{2+3i} = 2-3i \overline{wyrażenie}, 2 + 3i = 2 3i \underline{2x^2}+3x - \underline{x^2}+3=x^2+3x+3 2x 2 + 3x x = x 2 + 3x + 3 poziome klamry nad i pod wyrażeniami: \underbrace{wyr1}_{wyr2}, \overbrace{wyr1}^{wyr2}, \underbrace{111 \ldots 11}_{2010} }{{}

17 wektory: \vec (krótka strzałka) lub \overrightarrow (długa strzałka), \vec{x}, \overrightarrow{ab} x, AB symbol Newtona: {wyr1 \choose wyr2} lub \binom{wyr1}{wyr2} (po dołączeniu pakietu amsmath, działa również w wersjach \tbinom i \dbinom podobnie jak \tfrac i \dfrac). {n \choose k} ( ) n k \binom{n}{k} \tbinom{n}{k} ( ) n k ( n ) k AMSL A TEX AMSL A TEX zestaw pakietów rozszerzający możliwości L A TEX-a w zakresie tworzenia tekstów zawierających złożone formuły matematyczne. Najważniejsze pakiety to: amsmath główny pakiet wspomagający tworzenie długich równań, macierzy oraz rozbudowanych wzorów matematycznych, amssymb zestaw wielu symboli matematycznych (relacji, strzałek, symboli geometrycznych), amsthm wspomaga tworzenie środowisk matematycznych twierdzeń, definicji itp. 16

18 W dalszej części zakładać będziemy, że wszystkie dokumenty mają następującą postać: \documentclass[12pt,a4paper]{article} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsmath} \usepackage{amsthm} \usepackage{polski} \usepackage[cp1250]{inputenc} \begin{document} Treść dokumentu \end{document} Fonty matematyczne Standardowy zestaw fontów matematycznych zawiera: \mathrm{tekst} pismo proste, \mathrm{e}x=0, \mathrm{var}x=1 EX = 0, VarX = 1 \mathbf{tekst} pismo pogrubione, Niech $\mathbf{x}=(x_1,\ldots,x_n)$. Niech x = (x 1,..., x n ). \mathbb{tekst} pismo tablicowe, $\mathbb{r}$ jest zbiorem liczb rzeczywistych. R jest zbiorem liczb rzeczywistych. \matcal{tekst} pismo kaligraficzne, $\mathcal{f}$ oznacza $\sigma$-algebrę zbiorów. F oznacza σ-algebrę zbiorów. 17

19 \mathfrak{tekst} pismo gotyckie, $\mathfrak{c}$ oznacza moc zbioru wszystkich liczb rzeczywistych. c oznacza moc zbioru wszystkich liczb rzeczywistych. \mathscr{tekst} pismo ozdobne (wymaga dodatkowo pakietu mathrsfs). Niech $\mathscr{a}=\{(a,b);\; a,b\in\mathbb{r}, a<b\}$. Niech A = {(a, b); a, b R, a < b}. Uwaga: argumentami poleceń \mathrm, \mathbf i \mathfrak mogą być małe i wielkie litery oraz cyfry; polecenia \mathbb, \mathcal i \mathscr tylko dla wielkich liter działają zgodnie z powyższymi opisami; jeżeli jako argument podamy małą literę lub cyfrę, wyniki działania tych poleceń mogą być nieco zaskakujące. Załóżmy, że chcemy uzyskać tablicową jedynkę 1 (wykorzystywaną często jako symbol indykatora zbioru). \mathbb{1} Poprawny symbol możemy uzyskać za pomocą polecenia \mathbbm{1}. 1 Wymaga ono dołączenia do preambuły dokumentu pakietu bbm. Wymienione fonty ignorują spacje i polskie znaki diakrytyczne. $a_{-n}\geq 0 \mathrm{ dla każdego } n\geq 1.$ a n 0dlakadegon 1. Jeśli do otoczenia matematycznego chcemy wstawić tekst, używamy poleceń \textrm lub \text. (Warto pamiętać o spacjach przed i po tekście). 18

20 $a_{-n}\geq 0 \text{ dla każdego } n\geq 1.$ a n 0 dla każdego n 1. Zapisz w L A TEX-u Oznaczmy przez M mnogość wszystkich rodzin R spełniających warunek Z R. Wiadomo, że x y = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = y. Macierze Do tworzenia macierzy służą środowiska pmatrix, bmatrix, Bmatrix, vmatrix i Vmatrix. Za ich pomocą uzyskujemy macierze ograniczone znakami odpowiednio: (), [], {},,. Wiersze macierzy oddzielamy znakiem \\, a kolumny &. kolumny macierzy są wycentrowane. \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} ( 1 2 ) Wszystkie Aby utworzyć inną macierz (np. z kolumnami wyrównanymi do lewej lub z różnymi ogranicznikami lewym i prawym), możemy użyć środowiska array. Jako parametr tego środowiska podajemy liczbę i sposób wyrównania kolumn. Dla każdej kolumny wstawiamy jedną z liter l (left do lewej), c (center wyśrodkowane) lub r (right do prawej). Ograniczniki wstawiamy za pomocą komend \left i \right. 19

21 \left( \begin{array}{lcr} 1 & 2 & 3\\ 10 & 20 & 30 \\ 100 & 200 & 300 \end{array}\right] Zapisz w L A TEX-u (zwracając uwagę na wyrównanie kolumn) x + 1 x x 1 x 2 x 2 3 x x + 2 x 2, Środowisko cases Układy równań bądź funkcje definiowane za pomocą kilku wzorów najłatwiej jest utworzyć za pomocą środowiska cases. Wiersze oddzielamy od siebie za pomocą \\. Symbol & wstawiamy w miejscu, względem którego wiersze mają być wyrównywane (co najwyżej jeden symbol w każdym z wierszy). 20

22 \begin{cases} x+y = 5 \\ 2x-y=3 \end{cases} { x + y = 5 2x y = 3 f(x)=\begin{cases} x^2+1 & \text{dla } x\geq 0\\ x^2 & \text{dla } x<0 \end{cases} f(x) = Zapisz w L A TEX-u y cos x > 0 y sin x < 0, 0 < x < π 2 x 1 dla x 0 f(x) = 0 dla 0 < x < 2. 2x 4 dla x 2 Pakiet XY-pic { x dla x 0 x 2 dla x < 0 XY-pic to pakiet służący do rysowania grafów i diagramów. załadować, w preambule umieszczamy komendę Aby go \usepackage[all]{xy} Diagramy i grafy tworzymy za pomocą polecenia \xymatrix. Musimy je umieścić w środowisku matematycznym. 21

23 Polecenie to pozwala tworzyć diagramy typu macierzowego, tzn. takie, których wierzchołki są rozmieszczone w wyrównanych rzędach i kolumnach. Rysowanie grafu zaczynamy od określenia jego wierzchołków. Umieszczamy je w macierzy, której kolumny odddzielamy znakiem &, a wiersze znakiem \\. \[ \xymatrix{ A & B & C \\ D & E & F } \] A B C D E F \[ \xymatrix{ U & & & \\ & Y & X & \\ & Z & V & \\ A & & & B } \] U Y X Z V A B Strzałki Strzałki tworzymy za pomocą komendy \ar[kierunek]. Strzałka łączy dwa elementy macierzy: ten, w którym została umieszczona, z tym 22

24 określonym przez parametr kierunek. Parametr ten jest ciągiem znaków u (up w górę), d (down w dół), l (left w lewo), r (right w prawo). Na przykład \ar[rd] oznacza strzałkę skierowaną w prawo i w dół, a \ar[llu] strzałkę skierowaną o dwie jednostki w lewo i jedną w górę (tzn. prowadzącą do wierzchołka leżącego dwie kolumny wcześniej i jeden wiersz wyżej). \[ \xymatrix{ A\ar[r]\ar[dr] & B\ar[r] & C\ar[d] \\ D \ar[u]& E\ar[l]\ar[ur] & F\ar[l] } \] A D B E C F \[ \xymatrix{ U\ar[ddd]\ar[drr] & & & \\ & Y\ar[r] & X\ar[rdd] & \\ & Z\ar[u] & V\ar[l]\ar[dr] & \\ A\ar[ur] & & & B\ar[lll] } \] U Y X Z V A B 23

25 Narysuj diagram K V A R M G Etykiety Do strzałek możemy dodawać etykiety. Służą do tego operatory: _ etykieta pod strzałką, ˆ etykieta nad strzałką, etykieta w strzałce. Faktyczne położenie etykiety zależy od kierunku strzałki. Aby na przykład ustalić położenie etykiety wstawionej za pomocą operatora _, stosujemy regułę prawej ręki. Należy sobie wyobrazić, że stoimy na strzałce i patrzymy zgodnie z jej kierunkiem. Wówczas etykieta zostanie umieszczona po naszej prawej stronie (tzn. pod strzałką skierowaną w prawo, nad strzałką skierowana w lewo, z prawej strony strzałki skierowanej w górę i z lewej strony strzałki skierowanej w dół). W przypadku operatora ^ stosujemy analogiczną regułę lewej ręki. \[ \xymatrix{ A\ar[r]^f\ar[drr] & B\ar[r]_g & C\ar[d]^h\\ D \ar[u]^b& E\ar[l] x & F\ar[l] y } \] A f B g C b D x E y F h 24

26 Narysuj diagram V i C(Q) F A F Style strzałek Możemy również zmieniać style strzałek. Służy do tego polecenie \ar@{styl}[kierunek]. owe style strzałek zostały zademonstrowane w przykładzie. \[ \xymatrix{ A\ar@{->}[rr]& &B\ar@{.<}[rr]& &C\ar@{=(}[rr]& &D\\ E\ar@{~>>}[rr]& &F\ar@{-->}[rr]& &G\ar@{~~)}[rr]& &H} \] A B C D E F G H Uwaga: wierzchołki umieszczone zostały w co drugiej kolumnie; dzięki temu strzałki pomiędzy nimi są dłuższe i bardziej czytelne. Narysuj diagram G ϕ Im ϕ G κ G/ ker ϕ Υ 25

27 Zmiana kształtu strzałek Strzałki nie muszą być odcinkami, mogą być też krzywymi. Kształt strzałki zmieniamy za pomocą poleceń i Możemy też określić wielkość zakrzywienia. \[ \ar@/_/[r] & \bullet} \] \[ \ar@/_4mm/[r] & \bullet} \] Narysuj diagram x +3 8 y