1 Otwarto± i domkni to±
|
|
- Eugeniusz Niemiec
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Topologia 1 1 Otwarto± i domkni to± (X, O) przestrze«topologiczna rodzina zbiorów otwartych O 2 X speªnia (i), X O, (ii) U 1, U 2 O U 1 U 2 O, (iii) ( j J U j O ) j J U j O. X D zbiór domkni ty X \ D O; D = {D 2 X : X \ D O}. 2 X B baza topologii O U O {Bj} j J B U = j J B j U O x U B B x B U. 2 X P podbaza topologii O { k i=1 P i : i=1,...,k P i P, k N } stanowi baz O. (Kryterium bazowo±ci ) 2 X B baza pewnej topologii O na X (i) x X B B x B, (ii) B1,B 2 B x B1 B 2 B B x B B 1 B 2. (Aksjomaty topologii zbiorów domkni tych ) D 2 X speªnia (i), X D, (ii) D 1, D 2 O D 1 D 2 D, (iii) ( j J D j D ) j J D j O. Zadanie 1.1. [Zbiory otwarte i domkni te] Sprawdzi,»e (X, O) stanowi przestrze«topologiczn, gdy 1. (dyskretna) O = 2 X, 2. (antydyskretna) O = {, X}, 3. O = {A 2 X : A p} { }, p X ustalony punkt, 4. (kosko«czona Zariskiego) O = {A 2 X : card (X \ A) < ℵ 0 } { }, 5. O = {A 2 X : card (X \ A) ℵ 0 } { }, 6. (dwupunktowa Sierpi«skiego) X = {0, 1}, O = {, {0}, {0, 1} }, 7. X = R, O = {(a, ) : a R} {, R}. Opisa zbiory domkni te w powy»szych topologiach. Zadanie 1.2. [Bazy] Sprawdzi,»e B 2 X stanowi baz pewnej topologii, gdy 1. (metryczna) B = {B(x, ε) : x X, ε E}, d metryka w X, B(x, ε) = {y X : d(y, x) < ε}, E = (0, ) lub (0, ) Q lub { 1 m : m N}, 2. (prosta Sorgenfreya = strzaªka) X = R, B = {[a, q) : a R, q Q}, 3. X = R, B = {[a, ) : a R}, 4. X = R, B = { (, 0], [ 1 n, ) : n N }, 5. X = Q, B = {(, q) Q : q Q} {, Q}, 6. (pªaszczyzna Niemyckiego) X = {(x, y) R 2 : y 0} = R [0, ), { ( B = B (x, y), 1 ) ( (, B x, ), 1 ) } {(x, 0)} : x R, y > 0, n N. n n n W ka»dym z przypadków poda (o ile mo»liwe) drug baz B tak, by B B =. Dlaczego podane bazy nie s topologiami (nawet po doª czeniu do nich i X)? Zadanie 1.3. [Podbazy] Potwierdzi,»e P 2 X stanowi podbaz pewnej topologii, gdy
2 Topologia 2 1. (lewa strzaªka) X = R, P = {(p, q] : p, q Q}, 2. X = R, P = {(, b), [a, ) : a, b R}. Sprawdzi,»e podane podbazy nie s bazami; wygenerowa stosowne bazy. Zadanie 1.4. Zbada, czy zbiór A X jest otwarty b d¹ domkni ty w znanych topologiach na X, gdy 1. X = R, A = (0, 2), [0, 2), (0, 2], (0, ), [0, ), ( 2 3, ), (, 0), (, 0], (, 0) (0, ), (, 0] [1, ), Q, Z, R \ Q, Q \ Z, 2. X = R [0, ), A = R {0}, R (0, ), [0, 1] {0}, [0, 1] [0, 1], (0, 1) (0, 1), (0, 1) [0, 1), (0, 1) (0, 1) {(0, 0)}, (0, 1) (0, 1) {( 1 2, 0)}. Zadanie 1.5. [Sªaba topologia] Niech G 2 X. Czy zawsze istnieje najsªabsza (najmniejsza wzgl dem inkluzji) topologia O 2 X, w sensie której wszystkie zbiory z G s otwarte? Poda przykªad G, gdzie rzeczywi±cie tak si dzieje, ale G nie stanowi ani bazy ani podbazy. Zadanie 1.6. Je±li P 2 X stanowi pokrycie X (tzn. P P P X), to P jest podbaz pewnej topologii O 2 X. 2 Domkni cie, wn trze i brzeg Int A = {x X : U O x U A} = A U O A = {x X : x U O A U } = A D D U wn trze A X. D domkni cie A X. Fr A = {x X : x U O A U (X \ A) U} brzeg A X. (Aksjomaty Kuratowskiego) : 2 X 2 X speªnia Int :2 X 2 X speªnia (i) =, (i) Int X = X, (ii) A A, (iii) A = A, (iv) A B = A B. (ii) Int A A, (iii) Int Int A = Int A, (iv) Int (A B) = Int A Int B. Zadanie 2.1. Przy wszelkich znanych sobie topologiach na X znale¹ domkni cie A, wn trze Int A i brzeg Fr A zbioru 1. A = {x X : x < }, X = R lub Q, 2. A = {(x 1, x 2 ) X : 1 < x 1 + x 2 4}, X = R [0, ). Zadanie 2.2. Uzasadni wzory (A, A j, B X): 1. D D A D A, 2. O U A U Int A, 3. A B ( A B Int A Int B ), 4. Int (X \ A) = X \ A, 5. A = A A Fr A A D, 6. Int A = A A O, 7. A B = A B, 8. j J A j j J A j, 9. Int A B = Int A B, 10. Int Int A = Int A, 11. Int j J A j = j J Int A j, 12. Fr A = A X \ A = A \ Int A, 13. Int Fr A =, 14. Fr =, 15. Fr Fr A Fr A, 16. Fr (A B) Fr A Fr B, 17. A B Fr A B Fr B, 18. Fr A = Fr (X \ A).
3 Topologia 3 Co ogólnie mo»na powiedzie o ci gu Fr A Fr Fr A Fr Fr Fr A...? Zadanie 2.3. Niech O 1 O 2 topologie na X. Porówna wynik operacji brania domkni cia, wn trza oraz brzegu A X przy jednej i drugiej topologii. 3 Ci gªo± f : (X, O X ) (Y, O Y ) przeksztaªcenie (cgp) ci gªe w punkcie x 0 X f(x0) W O Y x0 U O X f(u) W, (cg) ci gªe V OY f 1 (V ) O X ; (hom) homeomorzm, gdy f jest ci gªe oraz posiada ci gªe odwrotne f 1 : (Y, O Y ) (X, O X ). (Ci gªo± zªo»enia) Je±li f : (X, O X ) (Y, O Y ) ci gªe [w x 0 ], g : (Y, O Y ) (Z, O Z ) ci gªe [w f(x 0 )], to g f : (X, O X ) (Z, O Z ) ci gªe [w x 0 ]. (Charakteryzacje ci gªo±ci ) Ci gªo± f : (X, O X ) (Y, O Y ) jest równowa»na któremukolwiek spo±ród warunków: (i) B BY f 1 (B) O X, gdzie B Y baza O Y, (ii) P PY f 1 (P ) O X, gdzie P Y podbaza O Y, (iii) D DY f 1 (D) D X, gdzie D X, D Y rodziny zbiorów domkni tych w X, Y, (iv) A X f( A ) f(a), (v) B Y f 1 (B) f 1 ( B ), (vi) B Y f 1 (Int B) Int f 1 (B), (vii) B Y Fr f 1 (B) f 1 ( Fr B ). Zadanie 3.1. [Funkcje jednej zmiennej] Zbada ci gªo± f : (R, O 1 ) (R, O 2 ) przy ró»nych topologiach O 1, O 2 na R, gdy f(x) = x 2, [x], max{0, x}, χ R\Q (x), χ R\{0} (x). Zadanie 3.2. [Funkcje dwu zmiennych] Zbada ci gªo± f : (R [0, ), O 1 ) (R [0, ), O 2 ) przy ró»nych topologiach O 1, O 2 na R [0, ), gdy f(x, y) = (x, y), (x, y 2 ), (x + y, y), (y, y), (x, 0), ( 3, χ R\Q (x + y) ). Zadanie 3.3. [Póªci gªo± ] Funkcja f : R R jest póªci gªa z góry [odp. z doªu], gdy przy r R otwarte s zbiory postaci {x : f(x) < r} [odp. {x : f(x) > r}]. Opisa stosowne topologie w przeciwdziedzinie, wzgl dem których ci gªo± daje powy»sze póªci gªo±ci. Poda przykªady odwzorowa«póªci gªych, ale nie ci gªych. Zadanie 3.4. [Jednostronna ci gªo± ] Niech f : R R. Opisa stosowne topologie w dziedzinie, wzgl dem których ci gªo± wyra»a prawo- [odp. lewo-] stronn ci gªo± (tzn. lim x x + f(x) = f(x 0 ), odp. lim 0 x x f(x) = 0 f(x 0 ), dla x 0 R). Poda przykªady odwzorowa«jednostronnie ci gªych, ale nie ci gªych. Zadanie 3.5. [Sªaba topologia] Niech f j : X (Y j, T j ), j J. Skonstruowa najsªabsz (najmniejsz wzgl dem inkluzji) topologi w X, przy której wszystkie odwzorowania f j s ci gªe. Opisa sªab topologi w R wyznaczon przez f : R (R, T ) (T topologia naturalna prostej), gdy f(x) = [x], x, x 3, 4, e x, sgn x. 4 Oddzielanie (X, O) T 0 ( x1,x 2 X x 1 x 2 i=1,2 Ui O x i U i x 3 i ), (X, O) T 1 ( x1,x 2 X x 1 x 2 i=1,2 Ui O x i U i x 3 i ), (X, O) T 2 (Hausdora) ( x1,x 2 X x 1 x 2 U1,U 2 O x 1 U 1, x 2 U 2, U 1 U 2 = ), (X, O) T 3 (regularna) ( A D x X x A U1,U 2 O x U 1, A U 2, U 1 U 2 = ), ( ) (X, O) T 3 1 (caªkowicie regularna) 2 A D x X x A f:(x,o) [0,1], ci gªa f(x) = 0 a A f(a) = 1, (X, O) T 4 (normalna) ( A,B D A B = U1,U 2 O A U 1, B U 2, U 1 U 2 = ). (Lemat Urysohna) W przestrzeni normalnej (X, O) zbiory domkni te mo»na oddziela funkcyjnie: A,B D A B = f:(x,o) [0,1], ci gªa ( a A f(a) = 0) ( b B f(b) = 1).
4 Topologia 4 Zadanie 4.1. Sklasykowa ze wzgl du na aksjomaty oddzielania wszystkie znane sobie przykªady przestrzeni topologicznych. Zadanie 4.2. (X, O) speªnia 1. T 1, gdy x X {x} = {x}, 2. T 4, gdy jest T 1 i U,D X ( D = D U O V O D V V U ). Zadanie 4.3. Przestrze«sko«czona speªniaj ca T 2 musi by dyskretna. Co z T 1? Zadanie 4.4. Niech f : (X, O) (Y, T ) b dzie ci gªe oraz Y = f(x) (surjekcja). Je±li X speªnia warunek T i, to czy równie» Y musi speªnia warunek T i? Czy je±li Y speªnia T i, to równie» X musi speªnia T i? 5 Operacje na przestrzeniach Podprzestrze«M X przestrzeni (X, O) zaopatrujemy w topologi indukowan O M = {U M : U O}. Produkt Tichonowa ( j J (X j, O j ) = j J X j, ) j J O j przestrzeni (X j, O j ), j J, to iloczyn kartezja«ski j J X j zaopatrzony w topologi j J O j dan za pomoc bazy B = U j : j J U j O j, card {j J : U j X} < ℵ 0. j J (Charakteryzacja ci gªo±ci odwzorowa«w produkt ) Niech π j : j J X j X j rzutowanie na j-t wspóªrz dn, π j ( (x j ) j J ) = x j. Przeksztaªcenie g : (Z, T ) j J (X j, O j ) jest ci gªe j J π j g : (Z, T ) (X j, O j ) s ci gªe. Zadanie 5.1. [Podprzestrze«] Niech A M X. Pokaza,»e dla topologii indukowanej O M z (X, O) na M 1. A jest domkni ty w (M, O M ), gdy jest postaci A = D M, gdzie D jest domkni ty w (X, O), 2. A M = A M. Zadanie 5.2. [Sªaba topologia] Topologia O M indukowana na M X z (X, O) to sªaba topologia wyznaczona przez zanurzenie i : M (X, O), z M i(z) = z. Zadanie 5.3. Je±li f : (X, O) (Y, T ) jest ci gªe, M X, to f M : (M, O M ) (Y, T ) jest ci gªe. Zadanie 5.4. Niech f : (X, O) (Y, T ), X = D 1 D 2, X D 1, D 2 domkni te. Wówczas f jest ci gªe dokªadnie wtedy, gdy obci cia f Dj : (D j, O Dj ) (Y, T ) s ci gªe przy j = 1, 2. Zadanie 5.5. Niech L = R {0}, M = R (0, ), póªpªaszczyzna L M = R [0, ) b dzie zaopatrzona w topologi Niemyckiego O. Pokaza,»e 1. (L, O L ) = (L, 2 L ) dyskretna, 2. (M, O M ) = (M, T M ), gdzie (R 2, T ) pªaszczyzna z topologi naturaln (euklidesow ). Zadanie 5.6. [Produkt sko«czony] Uzasadni,»e w (X Y, O T ) 1. A B = A B, 2. Int (A B) = Int A Int B, 3. Fr (A B) = (Fr A B) (A Fr B).
5 Topologia 5 Zadanie 5.7. [Sªaba topologia] Topologia produktowa O T w X Y to sªaba topologia wyznaczona przez rzutowania π X : X Y (X, O), π Y : X Y (Y, T ), π X (x, y) = x, π Y (x, y) = y, (x, y) X Y. Zadanie 5.8. Dla ci gªych f i : (X i, O i ) (Y i, T i ), i = 1, 2, deniujemy f 1 f 2 (x 1, x 2 ) = (f 1 (x 1 ), f 2 (x 2 )) dla (x 1, x 2 ) X 1 X 2. Wykaza ci gªo± f 1 f 2 : (X 1 X 2, O 1 O 2 ) (Y 1 Y 2, T 1 T 2 ). Zadanie 5.9. Sprawdzi,»e produkt dwu przestrzeni [anty]dyskretnych jest [anty]dyskretny. Zadanie [Produkt pudeªkowy] Produkt j J X j przestrzeni topologicznych (X j, O j ) mo»na stopologizowa za pomoc bazy B = { } j J U j : j J U j O j. Pokaza,»e rzutowania π j : j J X j X j, π j ((x j ) j J ) = x j, j J, s ci gªe w tej topologii. Zadanie [Produkt Tichonowa] Wyposa»amy zbiór ci gów rzeczywistych R N = n N R w topologi produktow Tichonowa, przy czym w ka»dym z czynników R zadana jest jedna i ta sama wybrana przez nas topologia prostej. Sprawdzi, które spo±ród poni»szych zbiorów s domkni te albo otwarte: 1. {(x n ) n N : x 1 = x 3 = 0}, 2. {(x n ) n N : x 1 < 0, x 4 > 0}, 3. {(x n ) n N : x 1 0, x 5 2}, 4. {(x n ) n N : n N 0 x n 1} = n N [0, 1], 5. {(x n ) n N : n N 0 < x n < 1} = n N (0, 1), 6. {(x n ) n N : n N 0 < x n < 1}. Zadanie Niech f : n N X n n N X n, f ( (x n ) n N ) = (x 1, x 1, x 3, x 3, x 5, x 5,...). Pokaza,»e gdy w dziedzinie i przeciwdziedzinie zadano t sam topologi produktow, albo Tichonowa, albo pudeªkow, to f jest przeksztaªceniem ci gªym. Przedyskutowa sytuacj, gdy topologie produktowe w dziedzinie i w przeciwdziedzinie s ró»ne. Zadanie [Oddzielanie pooperacyjne] Czy podprzestrze«t i -przestrzeni speªnia warunek T i? Czy produkt T i -przestrzeni speªnia warunek T i? W przypadku, gdy tak udowodni stosowne twierdzenie, w przypadku, gdy nie poda stosowny kontrprzykªad. 6 Zwarto± i spójno± (X, O) przestrze«spójna O D = {, X}. {U j } j J pokrycie otwarte zbioru A (X, O) j J U j A, j J U j O. {U i } i I podpokrycie pokrycia {U j } j J zbioru A j J U j A, I J. (X, O) przestrze«zwarta (X, O) przestrze«hausdora speªniaj ca {U j } j J, pokrycie otwarte X {U jk } n k=1, podpokrycie sko«czone X. (X, O) A zwarty/spójny (A, O A ) podprzestrze«zwarta/spójna. (Twierdzenie Tichonowa) Produkt Tichonowa przestrzeni zwartych jest zwarty. (Niezmienniczo± na ci gªe obrazy ) Niech f : X Y ci gªe. Je±li A X jest zwarty/spójny, to f(a) Y równie» jest zwarty/spójny. (Twierdzenie Weierstrassa) Funkcja ci gªa f : X R na przestrzeni zwartej X przyjmuje kresy tzn. x,x X f(x ) = inf x X f(x), f(x ) = sup x X f(x). Je±li f jest tylko póªci gªa z góry, to przyjmuje maksimum, a gdy tylko póªci gªa z doªu, to minimum. (Twierdzenie Darboux ) Funkcja ci gªa f : X R na przestrzeni spójnej X przyjmuje wszystkie warto±ci po±rednie tzn. x1,x 2 X y R f(x 1 ) < y < f(x 2 ) x X y = f(x). Zadanie 6.1. Zwerykowa pod k tem zwarto±ci i spójno±ci znane sobie przykªady przestrzeni. Zadanie 6.2. X K zwarty z ka»dego otwartego pokrycia K mo»na wybra podpokrycie sko«czone. Zadanie 6.3. [Charakteryzacja niespójno±ci za pomoc zbiorów rozgraniczonych] X S niespójny =A,B X S = A B, (A B) (A B) =. Zadanie 6.4. Zbada w ró»nych topologiach na X zwarto± i spójno± A X, gdy
6 Topologia 6 1. X = R, A = (, 0], (, 0), ( 2 3, ), [ 1 3, ), [0, 1], [0, 1), [0, 1] [2, 3]. 2. X = R [0, ), A = [0, 1] {0}, {0} [0, 1], [0, 1] (0, 1]. Zadanie 6.5. Je±li S X jest spójny, to S te» jest spójny. Co z Int S? Zadanie 6.6. Je±li S 1, S 2 X s spójne, przy czym S 1 S 2, to ich suma S 1 S 2 te» jest spójna. Co ze spójno±ci przekroju S 1 S 2? Zadanie 6.7. Je»eli K 1, K 2 X s zwarte, to suma K 1 K 2 X równie». Zadanie 6.8. [Produkt sko«czony] Produkt dwu przestrzeni X Y jest zwarty/spójny wtedy i tylko wtedy gdy obie przestrzenie X, Y s zwarte/spójne. Zadanie 6.9. [Podprzestrze«] Je±li X jest zwarta, to K X jest zwarty, gdy jest domkni ty. Zadanie [Twierdzenie RieszaCantora] Niech K n X b d zwarte i niepuste dla n = 1, 2,..., przy czym rodzina (K n ) n=1 zst puje (tzn. n N K n+1 K n ). Wówczas przekrój n=1 K n jest niepusty i zwarty. Zadanie [Oddzielanie] Ka»da zwarta przestrze«hausdora jest regularna (T 3 ) i normalna (T 4 ). Zadanie [O odwzorowaniu domkni tym] Je±li X jest zwarta, Y Hausdora, a f : X Y ci gª injekcj, to f jest domkni te (tzn. obrazy domkni tych s domkni te). W konsekwencji odwzorowanie odwrotne z obrazu f 1 : Y f(x) X jest ci gªe; inaczej: f : X f(x) stanowi homeomorzm. 7 Przestrze«odwzorowa«w C(X, Y ) wyz- Niech C(X, Y ) b dzie przestrzeni funkcji ci gªych. Podbaz topologii zwarto-otwartej naczaj zbiory postaci K, U = {f C(X, Y ) : f(k) U}, gdzie X K zwarty, Y U otwarty. W przypadku, gdy X jest zwart przestrzeni metryczn, a Y przestrzenia metryczn topologia zwarto-otwarta jest zgodna z topologi zbie»nosci jednostajnej wyznaczon przez metryk supremum Czebyszewa. Topologi zbie»no±ci punktowej w C(X, Y ) Y X nazywamy topologi indukowan z topologii Tichonowa w produkcie Y X = x X Y x = x X Y, Y x = Y. Zadanie 7.1. [Twierdzenie Diniego] Niech X b dzie zwarta, f n, f C(X, R), n N. Je±li ci g funkcyjny (f n ) n=1 zbiega do f punktowo, f n f, i monotonicznie, n N n f n f n+1, to zbiega równie» jednostajnie f n n f.
AM II /2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium
AM II.1 2018/2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium Normy w R n, iloczyn skalarny sprawd¹ czy dana funkcja jest norm sprawd¹, czy dany zbiór jest kul w jakiej± normie i oblicz norm wybranego
Bardziej szczegółowoZbiory i odwzorowania
Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):
Bardziej szczegółowoWykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.
Bardziej szczegółowoWykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
Bardziej szczegółowoFunkcje jednej zmiennej. Granica, ci gªo±. (szkic wykªadu)
Funkcje jednej zmiennej Granica, ci gªo± (szkic wykªadu) opracowaªa Gra»yna Ciecierska 1 Granica funkcji Denicja Niech 0 R, r > 0 Otoczeniem punktu 0 o promieniu r nazywamy przedziaª ( 0 r, 0 +r) Otoczeniem
Bardziej szczegółowoRachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych
Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych I. Malinowska, Z. Šagodowski Politechnika Lubelska 8 czerwca 2015 Caªka iterowana podwójna Denicja Je»eli funkcja f jest ci gªa na prostok cie P = {(x, y) : a x
Bardziej szczegółowo1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.
1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych
Bardziej szczegółowoZadania. 4 grudnia k=1
Zadania 4 grudnia 205 Zadanie. Poka»,»e dla dowolnych liczb zespolonych z,..., z n istnieje zbiór B {,..., n}, taki,»e n z k π z k. k B Zadanie 2. Jakie warunki musz speªnia ci gi a n i b n, aby istniaªy
Bardziej szczegółowoZdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt:
Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt: zdzedzej@mif.pg.gda.pl www.mif.pg.gda.pl/homepages/zdzedzej () 5 pa¹dziernika 2016 1 / 1 Literatura podstawowa R. Rudnicki, Wykªady z analizy
Bardziej szczegółowo1 Granice funkcji wielu zmiennych.
AM WNE 008/009. Odpowiedzi do zada«przygotowawczych do czwartego kolokwium. Granice funkcji wielu zmiennych. Zadanie. Zadanie. Pochodne. (a) 0, Granica nie istnieje, (c) Granica nie istnieje, (d) Granica
Bardziej szczegółowo. 0 0... 1 0. 0 0 0 0 1 gdzie wektory α i tworz baz ortonormaln przestrzeni E n
GAL II 2013-2014 A. Strojnowski str.45 Wykªad 20 Denicja 20.1 Przeksztaªcenie aniczne f : H H anicznej przestrzeni euklidesowej nazywamy izometri gdy przeksztaªcenie pochodne f : T (H) T (H) jest izometri
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Analiza matematyczna 2; MatematykaS-I 0 lic 21 maja 2018 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(, y b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu
Bardziej szczegółowoTwierdzenie 1 (Hindmana). Ustalmy dowolne kolorowanie zbioru liczb naturalnych na sko«czenie wiele kolorów. Wtedy istnieje zbiór niesko«- czony A
Twierdzenie 1 (Hindmana). Ustalmy dowolne kolorowanie zbioru liczb naturalnych na sko«czenie wiele kolorów. Wtedy istnieje zbiór niesko«- czony A taki»e wszystkie sko«czone sumy jego (ró»nych) elementów
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych
Zadania z analizy matematycznej - sem II Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych Denicja (Pochodne cz stkowe dla funkcji trzech zmiennych) Niech D R 3 b dzie obszarem oraz f : D R f = f y z) P 0 =
Bardziej szczegółowojest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)
Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)
Bardziej szczegółowoFunkcje. Oznaczenia i pojęcia wstępne. Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016
Funkcje Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016 Oznaczenia i pojęcia wstępne Niech f X Y będzie relacją. Relację f nazywamy funkcją, o ile dla dowolnego x X istnieje y Y taki, że (x, y) f oraz dla
Bardziej szczegółowoZbiory ograniczone i kresy zbiorów
Zbiory ograniczone i kresy zbiorów Def.. Liczb m nazywamy ograniczeniem dolnym a liczb M ograniczeniem górnym zbioru X R gdy (i) x m; (ii) x M. Mówimy,»e zbiór X jest ograniczony z doªu (odp. z góry) gdy
Bardziej szczegółowoZbiory, funkcje i ich własności. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16
Zbiory, funkcje i ich własności XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16 Zbiory Zbiory ograniczone, kresy Zbiory ograniczone, min, max, sup, inf Zbiory ograniczone 1 Zbiór X R jest
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Choqueta o mierzalno±ci rzutów
Twierdzenie Choqueta o mierzalno±ci rzutów (Na podstawie wykªadu prof. Michaªa Morayne) Mateusz Kwa±nicki 12. grudnia 2004. 1 Wst p Ten tekst jest skróconym zapisem wykªadów dr M. Morayne, po±wi conych
Bardziej szczegółowo*** Teoria popytu konsumenta *** I. Pole preferencji konsumenta 1. Przestrze«towarów 2. Relacja preferencji konsumenta 3. Optymalny koszyk towarów
*** Teoria popytu konsumenta *** I. Pole preferencji konsumenta 1. Przestrze«towarów 2. Relacja preferencji konsumenta 3. Optymalny koszyk towarów I.1 Przestrze«towarów Podstawowe poj cia Rynek towarów
Bardziej szczegółowo2. L(a u) = al( u) dla dowolnych u U i a R. Uwaga 1. Warunki 1., 2. mo»na zast pi jednym warunkiem: L(a u + b v) = al( u) + bl( v)
Przeksztaªcenia liniowe Def 1 Przeksztaªceniem liniowym (homomorzmem liniowym) rzeczywistych przestrzeni liniowych U i V nazywamy dowoln funkcj L : U V speªniaj c warunki: 1 L( u + v) = L( u) + L( v) dla
Bardziej szczegółowoRozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji
Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )
Bardziej szczegółowo1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci
Zebraª do celów edukacyjnych od wykªadowców PK, z ró»nych podr czników Maciej Zakarczemny 1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci dotycz cych funkcji elementarnych,
Bardziej szczegółowoPrzeksztaªcenia liniowe
Przeksztaªcenia liniowe Przykªady Pokaza,»e przeksztaªcenie T : R 2 R 2, postaci T (x, y) = (x + y, x 6y) jest przeksztaªceniem liniowym Sprawdzimy najpierw addytywno± przeksztaªcenia T Niech v = (x, y
Bardziej szczegółowoCz ± I. Analiza Matematyczna I
Cz ± I Analiza Matematyczna I ROZDZIAŠ Wst p.. Logika B dziemy rozwa»a zdania, o których mo»emy zawsze stwierdzi, czy s prawdziwe, czy faªszywe. Z punktu widzenia logiki istotne jest wyª cznie to, czy
Bardziej szczegółowoTopologia I*, jesień 2012 Zadania omawiane na ćwiczeniach lub zadanych jako prace domowe, grupa 1 (prowadzący H. Toruńczyk).
Topologia I*, jesień 2012 Zadania omawiane na ćwiczeniach lub zadanych jako prace domowe, grupa 1 (prowadzący H. Toruńczyk). Zadania w dużej mierze pochodzą z zestawu zadań w rozdziale 8 skryptu autorów
Bardziej szczegółowof(x) f(x 0 ) i f +(x 0 ) := lim = f(x 0 + x) f(x 0 ) wynika ci gªo± funkcji w punkcie x 0. W ka»dym przypadku zachodzi:
Pochodna funkcji Def 1 Pochodn wªa±ciw funkcji f w punkcie x 0 nazywamy granic f (x 0 ) := lim o ile granica ta istnieje i jest wªa±ciwa Funkcj f nazywamy wtedy ró»niczkowaln Przy zaªo»eniu,»e f jest ci
Bardziej szczegółowo1 Poj cia pomocnicze. Przykªad 1. A A d
Poj cia pomocnicze Otoczeniem punktu x nazywamy dowolny zbiór otwarty zawieraj cy punkt x. Najcz ±ciej rozwa»amy otoczenia kuliste, tj. kule o danym promieniu ε i ±rodku x. S siedztwem punktu x nazywamy
Bardziej szczegółowoCiągłość funkcji f : R R
Ciągłość funkcji f : R R Definicja 1. Otoczeniem o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O(x 0, δ) := (x 0 δ, x 0 + δ). Otoczeniem prawostronnym o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O +
Bardziej szczegółowoTEST A. A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty
TEST A A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty T 1 przestrzeni. Czym ta aksjomatyka różni się od aksjomatyki zbiorów otwartych? A-2. Ile różnych zbiorów otwartych
Bardziej szczegółowoRozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a).
Rozwi zania zada«z egzaminu podstawowego z Analizy matematycznej 2.3A (24/5). Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a). Zadanie P/4. Metod operatorow rozwi
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x, y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0, y 0 ) Pochodn cz stkow pierwszego rz du funkcji dwóch zmiennych wzgl
Bardziej szczegółowoRównania ró»niczkowe I rz du (RRIR) Twierdzenie Picarda. Anna D browska. WFTiMS. 23 marca 2010
WFTiMS 23 marca 2010 Spis tre±ci 1 Denicja 1 (równanie ró»niczkowe pierwszego rz du) Równanie y = f (t, y) (1) nazywamy równaniem ró»niczkowym zwyczajnym pierwszego rz du w postaci normalnej. Uwaga 1 Ogólna
Bardziej szczegółowoTopologia I Wykład 4.
Topologia I Wykład 4. Stefan Jackowski 24 października 2012 Przeciąganie topologii przez rodzinę przekształceń X zbiór. f = {f i : X Y i } i I rodziną przekształceń o wartościach w przestrzeniach topologicznych
Bardziej szczegółowor = x x2 2 + x2 3.
Przestrze«aniczna Def. 1. Przestrzeni aniczn zwi zan z przestrzeni liniow V nazywamy dowolny niepusty zbiór P z dziaªaniem ω : P P V (które dowolnej parze elementów zbioru P przyporz dkowuje wektor z przestrzeni
Bardziej szczegółowoMateriaªy do Repetytorium z matematyki
Materiaªy do Repetytorium z matematyki 0/0 Dziaªania na liczbach wymiernych i niewymiernych wiczenie Obliczy + 4 + 4 5. ( + ) ( 4 + 4 5). ( : ) ( : 4) 4 5 6. 7. { [ 7 4 ( 0 7) ] ( } : 5) : 0 75 ( 8) (
Bardziej szczegółowoI Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji. iloraz ró»nicowy x y x
I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji Niech f jest okre±lona w Q(x 0, δ) i x Q(x 0, δ). Oznaczenia: x = x x 0 y = y y 0 = f(x 0 + x) f(x 0 ) y x = f(x 0 + x) f(x 0 ) iloraz ró»nicowy x y x = tgβ,
Bardziej szczegółowoA = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta
Bardziej szczegółowoA-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty
A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty T 1 przestrzeni. Czym ta aksjomatyka różni się od aksjomatyki zbiorów otwartych? A-2. Wyprowadź z aksjomatów topologii
Bardziej szczegółowoTopologia - Zadanie do opracowania. Wioletta Osuch, Magdalena Żelazna, Piotr Kopyrski
Topologia - Zadanie do opracowania Wioletta Osuch, Magdalena Żelazna, Piotr Kopyrski 5 grudnia 2013 Zadanie 1. (Topologie na płaszczyźnie) Na płaszczyźnie R 2 rozważmy następujące topologie: a) Euklidesową
Bardziej szczegółowoPodstawy matematyki dla informatyków
Podstawy matematyki dla informatyków Wykªad 6 10 listopada 2011 W poprzednim odcinku... Zbiory A i B s równoliczne (tej samej mocy ), gdy istnieje bijekcja f : A 1 1 B. Piszemy A B lub A = B. na Moc zbioru
Bardziej szczegółowoStrategia czy intuicja?
Strategia czy intuicja czyli o grach niesko«czonych Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Grzegorzewice, 29 sierpnia 2009 Denicja gry Najprostszy przypadek: A - zbiór (na ogóª co najwy»ej przeliczalny),
Bardziej szczegółowoWYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach
Bardziej szczegółowoJAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1
J zyki formalne i operacje na j zykach J zyki formalne s abstrakcyjnie zbiorami sªów nad alfabetem sko«czonym Σ. J zyk formalny L to opis pewnego problemu decyzyjnego: sªowa to kody instancji (wej±cia)
Bardziej szczegółowoPrzekroje Dedekinda 1
Przekroje Dedekinda 1 O liczbach wymiernych (tj. zbiorze Q) wiemy,»e: 1. zbiór Q jest uporz dkowany relacj mniejszo±ci < ; 2. zbiór liczb wymiernych jest g sty, tzn.: p, q Q : p < q w : p < w < q 3. 2
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 1
ANALIZA MATEMATYCZNA 1 semestr zimowy 2015 dr Damian Wi±niewski, KAiRR Moje dane e-mail : dawi@matman.uwm.edu.pl www: http://wmii.uwm.edu.pl/ kairr/dawi godziny konsultacji : poniedziaªki 9:45-10:30, 12:45-14:00
Bardziej szczegółowoistnienie elementu neutralnego dodawania (zera): 0 K a K a + 0 = a, istnienie elementu neutralnego mno»enia (jedynki): 1 K a K a 1 = a,
Ciaªo Denicja. Zbiór K z dziaªaniami dodawania + oraz mno»enia (których argumentami s dwa elementy z tego zbioru, a warto±ciami elementy z tego zbioru) nazywamy ciaªem, je±li zawiera co najmniej dwa elementy
Bardziej szczegółowoEkstremalnie maªe zbiory
Maªe jest pi kne Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Nadarzyn, 27.08.2011 Zbiory silnie miary zero Przypomnienie Zbiór X [0, 1] jest miary Lebesgue'a zero, gdy dla ka»dego ε > 0 istnieje ci
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie metryczne. Elementy Topologii. Zjazd 2. Elementy Topologii
Zjazd 2 Przestrzenia metryczna (X, d) nazywamy parę złożona ze zbioru X i funkcji d : X X R, taka, że 1 d(x, y) 0 oraz d(x, y) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = y, 2 d(x, y) = d(y, x), 3 d(x, z) d(x, y)
Bardziej szczegółowo2 Liczby rzeczywiste - cz. 2
2 Liczby rzeczywiste - cz. 2 W tej lekcji omówimy pozostaªe tematy zwi zane z liczbami rzeczywistymi. 2. Przedziaªy liczbowe Wyró»niamy nast puj ce rodzaje przedziaªów liczbowych: (a) przedziaªy ograniczone:
Bardziej szczegółowo1 Przestrzenie metryczne
Topologia I Notatki do wyk ladu LITERATURA UZUPE LNIAJA CA R. Duda, Wprowadzenie do topologii, czȩść I. R. Engelking, Topologia ogólna. R. Engelking, K. Sieklucki, Wstȩp do topologii. W. Rudin, Podstawy
Bardziej szczegółowoTopologia I, Egzamin. II termin, 2013-03-05. Nr albumu: Nazwisko prowadzącego ćwiczenia: Nr grupy:
Stwierdź czy następujące zdania są prawdziwe, zakreślając właściwą odpowiedź i skreślając pozostałe. 1 Zad. 1. Jeżeli przekształcenie f : (X, T ) (R, T s ) jest ciągłe, to to samo odwzorowanie jest ciągłe
Bardziej szczegółowoMetodydowodzenia twierdzeń
1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych
Bardziej szczegółowoRelacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X.
Relacje 1 Relacj n-argumentow nazywamy podzbiór ϱ X 1 X 2... X n. Je±li ϱ X Y jest relacj dwuargumentow (binarn ), to zamiast (x, y) ϱ piszemy xϱy. Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór
Bardziej szczegółowoELEMENTARNA TEORIA LICZB. 1. Podzielno±
ELEMENTARNA TEORIA LICZB IZABELA AGATA MALINOWSKA N = {1, 2,...} 1. Podzielno± Denicja 1.1. Niepusty podzbiór A zbioru liczb naturalnych jest ograniczony, je»eli istnieje taka liczba naturalna n 0,»e m
Bardziej szczegółowoc Marcin Sydow Spójno± Grafy i Zastosowania Grafy Eulerowskie 2: Drogi i Cykle Grafy Hamiltonowskie Podsumowanie
2: Drogi i Cykle Spis Zagadnie«drogi i cykle spójno± w tym sªaba i silna k-spójno± (wierzchoªkowa i kraw dziowa) dekompozycja grafu na bloki odlegªo±ci w grae i poj cia pochodne grafy Eulera i Hamiltona
Bardziej szczegółowoZadania zadane jako prace domowe i niektóre spośród omawianych na ćwiczeniach.
Topologia I*, jesień 2013 (prowadzący H. Toruńczyk). Zadania zadane jako prace domowe i niektóre spośród omawianych na ćwiczeniach. Zadania w dużej mierze pochodzą z zestawu zadań w rozdziale 8 skryptu
Bardziej szczegółowoFunkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze
Funkcje, wielomiany Informacje pomocnicze Przydatne wzory: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 a 2 b 2 = (a + b)(a
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach
EGZAMIN MAGISTERSKI, 12.09.2018r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach Zadanie 1. (8 punktów) O rozkªadzie pewnego ryzyka S wiemy,»e: E[(S 20) + ] = 8 E[S 10 < S 20] = 13 P (S 20) = 3 4 P (S 10) = 1
Bardziej szczegółowoTypy homotopijne przestrzeni Aleksandrowa
Uniwersytet Mikoªaja Kopernika Wydziaª Matematyki i Informatyki Katedra Nieliniowej Analizy Matematycznej i Topologii Michaª Kukieªa numer albumu: 218160 Praca magisterska na kierunku matematyka Typy homotopijne
Bardziej szczegółowoOba zbiory s uporz dkowane liniowo. Badamy funkcj w pobli»u kresów dziedziny. Pewne punkty szczególne (np. zmiana denicji funkcji).
Plan Spis tre±ci 1 Granica 1 1.1 Po co?................................. 1 1.2 Denicje i twierdzenia........................ 4 1.3 Asymptotyka, granice niewªa±ciwe................. 7 2 Asymptoty 8 2.1
Bardziej szczegółowo1 0 Je»eli wybierzemy baz A = ((1, 1), (2, 1)) to M(f) A A =. 0 2 Daje to znacznie lepszy opis endomorzmu f.
GAL II 2012-2013 A Strojnowski str1 Wykªad 1 Ten semestr rozpoczniemy badaniem endomorzmów sko«czenie wymiarowych przestrzeni liniowych Denicja 11 Niech V b dzie przestrzeni liniow nad ciaªem K 1) Przeksztaªceniem
Bardziej szczegółowoAnaliza i aproksymacja nieliniowego modelu elastycznego ograniczaj cego odksztaªcenie
Analiza i aproksymacja nieliniowego modelu elastycznego ograniczaj cego odksztaªcenie Wojciech O»a«ski 9 Kwi 2015 Przykªad ukªadu mechanicznych o ograniczaj cym odksztaªceniu: nierozciagliwa struna σ spreżyna
Bardziej szczegółowo1 Podstawowe terminy. Funkcje Analityczne II. Literatura Pomocnicza:
Funkcje Analityczne II Literatura Pomocnicza: 1. J.Ch dzy«ski, Wst p do Analizy Zespolonej, PWN 2. J.Ch dzy«ski, Wst p do Analizy Zespolonej w Zadaniach, Wydawnictwo Uniwersytetu Šódziego 3. A.Birkholc,
Bardziej szczegółowoa) f : R R R: f(x, y) = x 2 y 2 ; f(x, y) = 3xy; f(x, y) = max(xy, xy); b) g : R 2 R 2 R: g((x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )) = 2x 1 y 1 x 2 y 2 ;
Zadania oznaczone * s troch trudniejsze, co nie oznacza,»e trudne.. Zbadaj czy funkcjonaª jest dwuliniowy, symetryczny, antysymetryczny, dodatniookre±lony: a) f : R R R: f(x, y) = x y ; f(x, y) = 3xy;
Bardziej szczegółowogranicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N W symbolicznym zapicie fakt, że f jest granicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N możemy wyrazić następująco: ε>0 N N
14. Określenie ciągu i szeregu funkcyjnego, zbieżność punktowa i jednostajna. Własności zbieżności jednostajnej. Kryterium zbieżności jednostajnej szeregu funkcyjnego. 1 Definicja Ciąg funkcyjny Niech
Bardziej szczegółowo1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0
1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f()=0 1.1 Metoda bisekcji Zaªó»my,»e funkcja f jest ci gªa w [a 0, b 0 ]. Pierwiastek jest w przedziale [a 0, b 0 ] gdy f(a 0 )f(b 0 ) < 0. (1) Ustalmy f(a 0
Bardziej szczegółowoCiągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych.
Ciągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych. Definicja (otoczenie punktu) Otoczeniem punktu x 0 R, o promieniu nazywamy zbiór x R taki, że: inaczej x x 0 x x 0, x 0 Definicja (ciągłość w punkcie)
Bardziej szczegółowo6. Granica funkcji. Funkcje ciągłe.
6. Granica funkcji. Funkcje ciągłe. 6.1. Sformułować definicję w sensie Heinego granicy (właściwej) funkcji w punkcie (właściwym). Podać ilustrację graficzną w różnych sytuacjach. Definicja Heinego granicy
Bardziej szczegółowoWielomiany o wspóªczynnikach rzeczywistych
Wielomiany o wspóªczynnikach rzeczywistych Wielomian: W (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + a n 2 x n 2 +... + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 wspóªczynniki wielomianu: a 0, a 1, a 2,..., a n 1, a n ; wyraz wolny: a 0
Bardziej szczegółowoKorzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone Pochodna Caªka nieoznaczona i oznaczona Podstawowe wielko±ci zyczne. Repetytorium z matematyki
Repetytorium z matematyki Denicja liczb zespolonych Wyra»enie a + bi, gdzie a i b s liczbami rzeczywistymi a i speªnia zale»no± i 2 = 1, nazywamy liczb zespolon. Liczb i nazywamy jednostk urojon, a iloczyn
Bardziej szczegółowosa dzie metryka z euklidesowa, to znaczy wyznaczaja ca cki, Wojciech Suwiński)
Zadanie 1 Pokazać, że dowolne dwie kule w R z metryka sa homeomorficzne Niech ρ be dzie metryka równoważna z, to znaczy wyznaczaja ca topologie na R Czy wynika z tego, że dowolne dwie kule w metryce ρ
Bardziej szczegółowoCi gªy fragment rachunku µ
Ci gªy fragment rachunku µ Marek Czarnecki Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 28 maja 2009 Motywacje 1. Rozwa»amy
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA. semestr zimowy dr Damian Wi±niewski, KAiRR
ANALIZA MATEMATYCZNA semestr zimowy 2015 dr Damian Wi±niewski, KAiRR Moje dane e-mail : dawi@matman.uwm.edu.pl www: http://wmii.uwm.edu.pl/ kairr/dawi godziny konsultacji : poniedziaªki 9:45-10:30, 12:45-14:00
Bardziej szczegółowoInformacje pomocnicze
Funkcje wymierne. Równania i nierówno±ci wymierne Denicja. (uªamki proste) Wyra»enia postaci Informacje pomocnicze A gdzie A d e R n N (dx e) n nazywamy uªamkami prostymi pierwszego rodzaju. Wyra»enia
Bardziej szczegółowoFunkcja. Poj cie funkcji i podstawowe wªasno±ci. Dziedzina
Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci Alina Semrau-Giªka Uniwerstet Technoloiczno-Przrodnicz 30 stcznia 209 Funkcj ze zbioru X w zbiór Y nazwam odwzorowanie, które ka»demu elementowi ze zbioru X przporz
Bardziej szczegółowoWstęp do przestrzeni metrycznych i topologicznych oraz ich zastosowań w ekonomii
Wstęp do przestrzeni metrycznych i topologicznych oraz ich zastosowań w ekonomii Mirosław Sobolewski 25 maja 2010 Definicja. Przestrzenią metryczną nazywamy zbiór X z funkcją ρ : X X R przyporządkowującą
Bardziej szczegółowoT O P O L O G I A O G Ó L N A WPPT WYK LAD 14 Topologie w przestrzeniach funkcji ci ag lych, Twierdzenie Stone a Weierstrassa
T O P O L O G I A O G Ó L N A WPPT WYK LAD 14 Topologie w przestrzeniach funkcji ci ag lych, Twierdzenie Stone a Weierstrassa Niech X i Y oznaczaj a przestrzenie topologiczne, zaś C(X,Y) bȩdzie zbiorem
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej Denicja 1. Niech X = R n b dzie przestrzeni unormowan oraz d(x, y) = x y.
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowoGRUPA PODSTAWOWA I X. GRZEGORZ ZBOROWSKI
GRUPA PODSTAWOWA GRZEGORZ ZBOROWSKI 1. Definicja i podstawowe poj cia Pierwszym krokiem do zdeniowania grupy podstawowej b dzie poj cie drogi w przestrzeni topologicznej, czyli mówi c nie±ci±le, krzywej
Bardziej szczegółowoZdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013
Zdzisław Dzedzej Politechnika Gdańska Gdańsk, 2013 1 PODSTAWY 2 3 Definicja. Przestrzeń metryczna (X, d) jest zwarta, jeśli z każdego ciągu {x n } w X można wybrać podciąg zbieżny {x nk } w X. Ogólniej
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń
Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Leszek Skrzypczak 1. Niech E = {x [0, 1] : x = k 2 n k = 1, 2,... 2 n, n = 1, 2, 3,...} Wówczas: (a) Dla dowolnych liczb wymiernych p, q [0,
Bardziej szczegółowon=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :
4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,
Bardziej szczegółowo1 Elementy analizy funkcjonalnej
M. Beśka, Dodatek 1 1 Elementy analizy funkcjonalnej 1.1 Twierdzenia o reprezentacji Zaczniemy od znanego twierdzenia Riesza Twierdzenie 1.1 (Riesz) Niech będzie zwartą przestrzenią metryczną i załóżmy,
Bardziej szczegółowoWyk lady z topologii I
Wyk lady z topologii I Wies law Kubiś Akademia Świȩtokrzyska ul. Świȩtokrzyska 15, 25-406 Kielce, Poland E-mail: wkubis@pu.kielce.pl 1 maja 2006 Spis treści 1 Przestrzenie metryczne 3 1.1 Definicje........................................
Bardziej szczegółowoZad.3. Jakub Trojgo i Jakub Wieczorek. 14 grudnia 2013
Zad.3 Jakub Trojgo i Jakub Wieczorek 14 grudnia 2013 W pierwszej części naszej pracy będziemy chcieli zbadać ciągłość funkcji f(x, y) w przypadku gdy płaszczyzna wyposażona jest w jedną z topologii: a)
Bardziej szczegółowoGeometria Algebraiczna
Geometria Algebraiczna Zadania domowe: seria 1 Zadania 1-11 to powtórzenie podstawowych poj z teorii kategorii. Zapewne rozwi zywali Pa«stwo te zadania wcze±niej, dlatego nie b d one omawiane na wiczeniach.
Bardziej szczegółowoEstymacja parametru gªadko±ci przy u»yciu falek splajnowych
Estymacja parametru gªadko±ci przy u»yciu falek splajnowych Politechnika Gda«ska Wydziaª Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Wisªa, 3-7.12.2012 Przestrze«Biesowa Przestrze«Biesowa B s p,q, 1 p,
Bardziej szczegółowoAnaliza portfelowa w czasie ciagłym dla ogólnych cen zakupu i sp. ze stałymi kosztami za transakcje
Analiza portfelowa w czasie ciagłym dla ogólnych cen zakupu i sprzedaży ze stałymi kosztami za transakcje Instytut Matematyczny PAN Problem bez stałych kosztów za transakcje (Ω, F, (F t ), P) przestrzeń
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAT1317
Analiza Matematyczna MAT37 Wydziaª Informatyki i Zarz dzania Listy zada«nr -0 cz ±ciowo na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykªady i zadania, GiS, Wrocªaw 008 M.Gewert,
Bardziej szczegółowo1 Funkcje i ich granice
Funkcje i ich granice Byªo: Zbiór argumentów; zbiór warto±ci; monotoniczno± ; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotno±ci; funkcja
Bardziej szczegółowoWykłady... b i a i. i=1. m(d k ) inf
Wykłady... CŁKOWNIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Zaczniemy od konstrukcji całki na przedziale domkniętym. Konstrukcja ta jest, w gruncie rzeczy, powtórzeniem definicji całki na odcinku domkniętym w R 1. Przedziałem
Bardziej szczegółowoMacierze. Dziaªania na macierzach. 1. Niech b d dane macierze , D = , C = , B = 4 12 A = , F = , G = , H = E = a) Obliczy A + B, 2A 3B,
Macierze Dziaªania na macierzach Niech b d dane macierze A = E = [ 2 3 0 3 2 3 2 0 [ 0 8, B = 4 2, F = [ 2 3, C = 3 2 2 3 0 0 0 4 0 6 3 0, G =, D = 0 2 0 2 0 3 0 3 0 2 0 0 2 2 0 0 5 0 2,, H = 0 0 4 0 0
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski
Twierdzenie Wainera Marek Czarnecki Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 3 lipca 2009 Motywacje Dla dowolnej
Bardziej szczegółowoRodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.
3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X
Bardziej szczegółowoWaldemar Sieg. Topologia dziedziny a rozkªady pewnych funkcji pierwszej klasy Baire'a na sumy i ró»nice funkcji o domkni tym wykresie
Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Wydziaª Matematyki i Informatyki Waldemar Sieg Topologia dziedziny a rozkªady pewnych funkcji pierwszej klasy Baire'a na sumy i ró»nice funkcji o domkni tym
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ
Bardziej szczegółowo