Mechanika kwantowa I. Opracowanie: Barbara Pac, Piotr Petelenz

Transkrypt

1 Mchanka kwantowa I Opracowan: Barbara Pac, Potr Ptln

2 Zwycajowo, podstawy mchank kwantowj formułowan są w postac klku postulatów, których numracja konkrtna postać są różn w różnych ujęcach. W nnjsym bor a punkt wyjśca pryjmujmy następując sformułowan: Postulat Stan układu kwantowo-mchancngo opsany jst pr funkcję Ψ,,..., współrędnych n fn t cąstk awartych w układ pry cym każda cąstka ma f stopn swobody ora casu, lub funkcję Φ p, p,... p, pędów wsystkch cąstk awartych w układ ora casu. Funkcja ta nos nawę fn t funkcj falowj w rprntacj, odpowdno, współrędnych lub pędów, jst dfnowana pr tę właścwość, ż kwadrat jj modułu adaj gęstość prawdopodobństwa w lub w p nalna układu w danym punkc prstrn konfguracyjnj lub pędowj: n n n t Ψ,,..., t Ψ,,..., t Ψ w,,..., [W..a] n n p n t Φ p, p,... p, t Φ p, p,... p, t Φ w p, p,... p, [W..b] Postulat adaj rlację pomędy funkcjam falowym w rprntacj współrędnoścowj w rprntacj pędowj, manowc Ψ h nf... Φ nf p h dτ p [W..] Postulat Wartość spodwana wlkośc mchancnj F wyraża sę worm F Ψ Fˆ Ψdτ [W..] gd Fˆ onaca oprator tj wlkośc mchancnj, skonstruowany wdług rguł Jordana, manowc a w klasycnym wor okrślającym wlkość F, p jako funkcję współrędnych pędów astępujmy wsęd współrędną pr oprator ˆ mnożna pr tę współrędną: ˆ [W..] b w klasycnym wor okrślającym wlkość F, p jako funkcję współrędnych pędów astępujmy wsęd pęd p pr oprator h, gd onaca odpowdną współrędną. p h [W..5] Postulat żąda, aby funkcja falowa układu spłnała następując równan Schrödngra awrając cas Ĥ Ψ h Ψ [W..6] t gd Ĥ jst opratorm nrg układu opratorm Hamltona, hamltonanm, skonstruowanym wdług podanych wyżj rguł Jordana.

3 Konskwncj komntar:. Funkcja falowa w płn charaktryuj stan kwantowo-mchancny układu, tj. awra maksmum nformacj o układ, dostępnj na grunc opsu kwantowo-mchancngo.. Prawdopodobństwo nalna układu w pwnj objętośc prstrn konfguracyjnj lub pędowj dan jst całką po tj objętośc WV Ψ,,... N, t Ψ,,... N, t dτ Ψ dτ w,,... N, t dτ [W..7a] W Vp V Φ p, p,... pn, t Φ p, p,... pn, t d p Φ dτ p Vp wp p, p Vp Vp V τ,... p, t dτ [W..7b] W prypadku, gdy jst to całkowta objętość dostępna układow np. w skrajnym prypadku cała prstrń, powyżs całk musa być równa jdnośc układ na pwno najduj sę gdś ma jakś pęd, co naywamy warunkm normalacj. Ψ τ dτ [W..8a] Φ dτ p [W..8b] τp W dalsym cągu skoncntrujmy sę na funkcjach falowych Ψ w rprntacj współrędnoścowj. Są on rguły uyskwan pr rowąan równań różnckowych, co powoduj pojawn sę odpowdnch stałych całkowana. Jdna nch nawjmy ją N wynacana jst warunku normalacj. Prypuśćmy, ż rowąan odpowdngo równana prowad do funkcj Ψ ; wówcas unormowana funkcja falowa ma postać Ψ N Ψ' [W..9] / N [W..] Ψ' dτ τ gwarantuj spłnn wymagana normalacj. Uwaga: Warunk normalacj dla tw. stanów nwąanych ma nco nną postać n będ tu omawany.. Z ocywstych prycyn fycnych, funkcj falow musą być tw. funkcjam porądnym, nacj funkcjam klasy. Z dfncj onaca to, ż musą być skońcon, cągł jdnonacn.. Istnj odpowdnk wyrażna [W..] dla funkcj falowych adanych w prstrn pędów, al n będ on tu używany. Podobn, równan Schrödngra analogcn do [W..6] można równż apsać dla funkcj falowj Φ w rprntacj pędowj. 5. Opratory odpowadając mralnym wlkoścom mchancnym obsrwablom musą być lnow hrmtowsk. Oprator naywamy lnowym, jśl dla każdj pary funkcj u u F ˆ au + bu afu ˆ + bfˆ u [W..] Oprator naywamy hrmtowskm, jśl spłna on warunk u Fu ˆ dτ u Fu ˆ dτ [W..] V N p

4 6. Dla każdj pary opratorów F, G dfnujmy ch komutator [ Fˆ, Gˆ ] FG ˆ ˆ GF ˆ ˆ [W..] Mnożn opratorów jst na ogół nprmnn, wyjątkm prypadku, gdy komutator tych opratorów jst równy ru. 7. Z powyżsgo powodu, jśl w klasycnym wor okrślającym wlkość F,p jako funkcję współrędnych pędów pojawa sę locyn pędu odpowadającj mu współrędnj, to konstruując odpowdn oprator wdług rguł Jordana wyrażn to symtryujmy, tj. astępujmy locyn śrdną dwóch locynów, w których pęd współrędna apsan są w prcwnj koljnośc. 8. Oprator hrmtowsk posada pwn układ funkcj własnych, tj. takch, ż F φ F φ [W..] W powyżsym wyrażnu φ jst wana funkcją własną, a lcba F wartoścą własną. Funkcj własn opratora hrmtowskgo tworą bór a ortonormalny, tj. φ φ jdτ δj [W..5] dla j gd δ j [W..6] dla j b upłny, co onaca w praktyc ścsła dfncja n jst tu koncna, ż dowolna dostatcn rgularna funkcja g daj sę prdstawć jako srg funkcj własnych φ opratora F g c φ [W..7] gd c gφ dτ [W..8] l l 9. Pojdyncy pomar wlkośc mchancnj F moż dać jako wynk jdyn jdną wartośc własnych F opratora F. W długj sr takch pomarów poscgóln wartośc własn F pojawają sę prawdopodobństwm równym c.. Wartość wlkość mchancnj F jst ostro adana tj. każdy koljny jj pomar daj tn sam wynk F wtdy tylko wtdy, gdy układ najduj sę w stan własnym opratora F, tj. gdy opsująca go funkcja falowa g jst jdną funkcj falowych φ spłnających równan Fˆφ φ.. Dw wlkośc mchancn są równocśn ostro mraln wtdy tylko wtdy, gdy ch opratory kwantowo-mchancn sobą komutują, gdyż tylko w tym prypadku opratory t mają wspólny układ funkcj własnych. Z tgo powodu wartośc komutatorów są bardo stotn, gdyż dtrmnują fykę rowąywango problmu kwantowomchancngo. Pry ch wyprowadanu prydatn są następując alżnośc: [ Fˆ, Gˆ ] [ Gˆ, Fˆ ] [W..9] [ F ˆ, Gˆ + Hˆ ] [ Fˆ, Gˆ ] + [ Fˆ, Hˆ ] [W..] [ F ˆ, GH ˆ ˆ ] [ Fˆ, Gˆ ] Hˆ + Gˆ[ Fˆ, Hˆ ] [W..]. Równan [W..6] jst podstawowym równanm ruchu mchank kwantowj. Jgo rowąan powala wynacyć funkcję falową, tj. dobyć o układ wslk możlw nformacj, jst głównym problmm tortycngo opsu układów mkroskopowych. F

5 . Gdy hamltonan układu n alży od casu, równan [W..6] posada rowąana w postac Et h Ψ ψ [W..] pry cym funkcja ψ jst nalżna od casu spłna równan Schrödngra n awrając casu nalżn od casu H ˆ ψ Eψ [W..] Rowąana postac [W..] odpowadają tw. stanom stacjonarnym nawa wynka faktu, ż wlkośc mraln są w takch stanach stał w cas. 5

6 Prykład Dany jst bór unormowanych funkcj własnych jdnowymarowgo oscylatora harmoncngo χ π χ π χ π gd R. Wykaż bpośrdnm rachunkm, ż funkcja χ jst unormowana.. Wykaż bpośrdnm rachunkm, ż funkcj χ χ są ortogonaln.. Sprawdź, cy funkcja χ jst funkcją własną opratora Fˆ. Dla stanu opsango funkcją χ najdź wartość, dla którj gęstość prawdopodobństwa nalna cąstk jst maksymalna. 5. Dana jst kombnacja lnowa funkcj własnych oscylatora harmoncngo Χ a χ + χ + χ a Okrśl, cy funkcja X a jst unormowana. Jżl n - unormuj ją. b Oblc wartość śrdną w stan X a. c Zakładając, ż stanom własnym χ, χ, χ odpowadają wartośc nrg E, E, E okrśl: Jak wartośc nrg jakm prawdopodobństwm otryma sę w wynku długj sr pomarów, jżl układ najduj sę w stan opsanym funkcją: χ, χ, χ, X a. Jak są wartośc śrdn nrg w stanach: χ, χ, χ, X a. d d Ad. Funkcja unormowana mus spłnać warunk dany worm [W..8a]. W takm ra: χ χ d [..] Wstawając jawną postać funkcj χ mamy: χ χ d π d π d π π Funkcja χ spłna warunk [..] a atm jst funkcją unormowaną. Ad. Warunk ortogonalnośc funkcj falowych opsany jst woram [W..5] [W..6]. W nasym prypadku chod o funkcj χ χ - musą on spłnać warunk: [..] χ χ d [..] + + χ χ d π π d π d [..] Zrowa wartość całk potwrdająca ortogonalność funkcj χ χ jst tu konskwncją nparystośc funkcj podcałkowych. 6

7 Ad. d Funkcja χ jst funkcją własną opratora Fˆ, jżl spłnony jst warunk [W..], który d w nasym prypadku apsmy w postac: Fˆ χ Fχ [..5] ˆ d Fχ π π π χ [..6] d Dałając opratorm d Fˆ na funkcję χ uyskalśmy funkcję χ pomnożoną pr -. d d Funkcja ta jst atm funkcją własną opratora Fˆ a odpowadającą jj wartoścą własną jst d -. Ad. Gęstość prawdopodobństwa nalna cąstk dana jst pr kwadrat modułu funkcj falowj postulat, wór [W..a]. Kwadrat modułu funkcj χ to funkcja: χ π [..7] Maksymalna wartość gęstośc prawdopodobństwa nalna cąstk odpowada takj wartośc, dla którj powyżsa funkcja osąga maksmum. d π π [..8] d Warunk tn jst spłnony jdyn dla właśn dla tj wartośc gęstość prawdopodobństwa nalna cąstk jst maksymalna. Ad. 5a Aby funkcja X a była funkcją unormowaną mus być spłnony warunk [W..8a]. Mamy atm: N a a X X d Oblcmy wartość powyżsj całk: a a X X d χ + χ + χ χ + χ + χ χ χ d + χ χ d + χ χ d + χ + χ χ d + χ χ d + χ χ d + χ d χ d + χ d [..9] χ χ d + Nrow równ jdnośc wkłady do powyżsj sumy całk dały godn warunkam [W..5] [W..6] jdyn try cłony. W takm ra nas warunk [..9] ma postać: N a wartość stałj normującj N wynos Funkcja unormowana X A ma postać: X A NX a X a. χ + χ + χ [..] Zwróćmy uwagę, ż, po uwględnnu stałj normującj, suma kwadratów modułu współcynnków stających pry funkcjach własnych daj wartość. Jst to konskwncją ch fycngo nacna 7

8 opsango w komntaru 9 a równocśn powala od rau ocnć, cy dana kombnacja lnowa jst funkcją unormowaną cy n. Ad.5b Wartość śrdną spodwaną oblcymy korystając woru [W..], który w nasym prypadku będ mał postać: A A [..] X X d W takm ra: + χ + χ χ + χ + d χ χ [..] Podstawając jawn postac funkcj χ, χ χ mamy: π + π + π π + π + π d Uwględnając dalj tylko paryst funkcj podcałkow otrymujmy: [..] π + d π d [..] Ad. 5c Jżl układ najduj sę w stan własnym hamltonanu, to wartość nrg w tym stan jst ostro adana- każdy koljny pomar nrg da tę samą jj wartość równą wartośc własnj hamltonanu w tym stan porównaj: komntar. W prypadku stanów własnych opsanych funkcjam χ, χ, χ będą to odpowdno wartośc E, E, E : H ˆ χ χ [..5] n E n n Wartość śrdna mronj nrg w danym stan własnym będ ocywśc równa wartośc własnj hamltonanu. Układ opsany funkcją X a n najduj sę w stan własnym hamltonanu. Wartość śrdną nrg w tym stan możmy atm oblcyć korystając woru [W..], który w nasym prypadku ma postać: A A E X Hˆ X d [..6] Mamy atm: E + χ + + ˆ χ χ H χ + χ + χ d χ ˆ + ˆ + ˆ + ˆ Hχ d χ Hχ d χ Hχ d χ Hχ d + ˆ χ + ˆ + ˆ + ˆ Hχ d χ Hχ χ d χ Hχ d χ Hχ d χ Hˆ χ d + Wykorystując równan Schrödngra nalżn od casu [W..], [..5] ora warunk ortonormalnośc funkcj własnych [W..5] [W..6] mamy: E E + E + E [..7] Wynk tn był łatwy do prwdna. Zgodn nformacją awartą w komntaru 9 pojdyncy pomar nrg moż dać jako wynk jdyn jdną wartośc własnych E hamltonanu. Skoro funkcja falowa układu ma postać [..] to w długj sr pomarów poscgóln wartośc własn E pojawają sę prawdopodobństwm równym. 8

9 Prykład Oprator składowj towj momntu pędu ma postać: Mˆ h [..] Oblc wartość komutatora ˆ [, ϕ ] a następn sprawdź, cy jst on a lnowy b hrmtowsk. M Korystając woru [W..] nas komutator apsmy w postac następującj sumy: ˆ [ M, ϕ ] ϕ[ Mˆ, ϕ] + [ Mˆ, ϕ] ϕ [..] Wartość opratora [ Mˆ, ϕ] będ łatwj oblcyć, jżl będmy nm dałać na pwną funkcję próbną ζ. Korystając ponadto dfncj [W..] mamy: [ Mˆ, ϕ] ζ [ h, ϕ] ζ h ϕ ϕ h ζ h ϕζ ϕ ζ h ζ + ϕ ζ ϕ ζ hζ [..] W takm ra: [ Mˆ, ϕ] h Wstawając powyżsą wartość do sumy [..] otrymujmy ostatcn: [..] Mˆ [, ϕ ] ϕ h hϕ hϕ [..5] Oprator jst lnowy, jżl jst spłnony warunk [W..]. Dla opratora [ M, ϕ ] apsmy go w następujący sposób:? + bu a hϕ u + b hϕ hϕ au u [..6] ˆ ˆ Równość prawj lwj strony n bud wątplwośc; oprator [ M, ϕ ] jst atm opratorm lnowym. Oprator jst hrmtowsk, jśl spłna on warunk [W..]. W nasym prypadku:? h ϕ udτ u u h ϕu dτ [..7] Ponważ: u hϕu dτ u hϕ u dτ ϕ u dτ u oprator n spłna warunku [..7] a węc n jst hrmtowsk. h [..8] 9

10 Zadana do samodlngo rowąana Zadan Dany jst bór unormowanych funkcj własnych jdnowymarowgo oscylatora harmoncngo χ π χ π χ π gd R. Wykaż bpośrdnm rachunkm, ż funkcj χ χ są unormowan.. Wykaż bpośrdnm rachunkm, ż funkcj. Sprawdź, cy funkcj χ χ χ są ortogonaln. χ są funkcjam własnym opratora Fˆ. Dla stanów opsanych funkcjam χ χ najdź wartość, dla którj gęstość prawdopodobństwa nalna cąstk jst maksymalna. 6. Dan są dw kombnacj lnow funkcj własnych oscylatora harmoncngo Χ Χ b c 6 χ + χ + χ χ + χ + χ d Która funkcj X b cy X c jst unormowana? Unormuj funkcję nnormowaną. Oblc wartość śrdną, w stanach: X b, X c. f Zakładając, ż stanom własnym χ, χ, χ odpowadają wartośc nrg E, E, E okrśl: Jak wartośc nrg jakm prawdopodobństwm otryma sę w wynku długj sr pomarów, jżl układ najduj sę w stan opsanym funkcją:, X b, X c. Jak są wartośc śrdn nrg w stanach: X b, X c. d d Zadan Dany jst bór unormowanych funkcj własnych a składowj towj momntu pędu M Φ ϕ π Φ ϕ π b hamltonanu rotatora stywngo ϕ Φ ϕ gd φ,π ϕ π Y ϑ, ϕ cos π ϑ gd φ,π, ϑ, π Y ϑ ϕ snϑ, π ϕ Y ϑ ϕ snϑ, π ϕ Oprator składowj towj momntu pędu ma postać: Mˆ h a hamltonan rotatora stywngo apsany w współrędnych sfrycnych ma postać: ˆ h H ϑ, ϕ snϑ + I snϑ ϑ ϑ sn ϑ. Wykaż bpośrdnm rachunkm, ż funkcj:, Φ ora Y ϑ, są unormowan. φ ϕ. Wykaż bpośrdnm rachunkm, ż funkcj Φ Φ są ortogonaln. φ φ

11 . Sprawdź, cy funkcj Φ Y ϑ, są funkcjam własnym ϕ ϕ a hamltonanu rotatora stywngo b składowj towj momntu pędu. Jśl tak, okrśl wartośc własn poscgólnych opratorów w obu stanach.. Korystając podanj wyżj postac opratora Hˆ ϑ, ϕ aps postać opratora kwadratu momntu pędu ˆM w współrędnych sfrycnych. 5. Opratory Mˆ, ˆM Hˆ ϑ, ϕ mają tn sam bór funkcj własnych. Korystając gd jst to możlw tj nformacj oblc wartośc komutatorów: [ Mˆ, Hˆ ] [ Mˆ, Hˆ ] [ Mˆ, Hˆ 5 ] [ Mˆ, ϕ] [ M ˆ, ϕ + 5] [ Mˆ, ˆ ϕ H ] [ Mˆ, Hˆ ] ˆ ˆ [ M, Hˆ ] 6. Sprawdź bpośrdnm rachunkm cy podan nżj opratory są: a lnow, b hrmtowsk Mˆ ; [ Mˆ, ˆ H ]; [ ˆ, ϕ] M M