Mechanika kwantowa Schrödingera

Transkrypt

1 Fizyka 2 Wykład 2 1 Mechanika kwantowa Schrödingera Hipoteza de Broglie a wydawała się nie zgadzać z dynamiką Newtona. Mechanika kwantowa Schrödingera zawiera mechanikę kwantową jako przypadek graniczny (gdy stała Plancka h 0 tj. jest małe w porównaniu z innymi wielkościami fizycznymi). Teoria ta idzie o wiele dalej niż hipoteza de Broglie a: Podaje nie tylko długość fali materii ale też wszystkie szczegóły jej propagacji istnieje też relatywistyczna wersja mechaniki kwantowej Operator Â: sformułowana przez Diraca. Własności operatorów mechaniki kwantowej przyporządkowuje funkcji f funkcję g - dzieje się to w przestrzeni funkcyjnej (przestrzeń Hilberta)

2 Fizyka 2 Wykład 2 2 Przykłady: Dla ostatniego przykładu można napisać równanie operatorowe: Ważny wniosek: kolejność działań jest w mechanice kwantowej istotna

3 Fizyka 2 Wykład 2 3 Definicja: komutatorem nazywamy wyrażenie o o Operator Ĉ na ogół jest różny od zera. Jeśli Ĉ znika mówimy, że operatory komutują. Przykład: Proszę sobie sprawdzić, że Zagadnienie własne, wartości i funkcje własne Zagadnienie własne dla operatora  gdzie u n (x) jest funkcja własną operatora  w stanie n zaś a n jest wartością własną w stanie n. n może być liczba dyskretną albo też wielkością ciągłą.

4 Fizyka 2 Wykład 2 4 Jeżeli jednej wartości własnej a n odpowiada więcej niż jedna funkcja własna u n to mówimy,że jest ona zdegenerowana. Stany zdegenerowane pojawiają się również w fizyce klasycznej: np. orbity planet są zdegenerowane ze względu na energię tj. różnym kształtom orbit odpowiada ta sama wartość energii. Jednakże w fizyce klasycznej wielkości (w tym energia) nie są skwantowane. Zbiór wartości własnych danego operatora nazywamy jego widmem. Przykład: Gdy operatorem jest operator energii - wartości własne to dozwolone w danym układzie wartości energii. Dla cząstki swobodnej energia jest wielkością ciągłą (widmo energii jest ciągłe). Na ogół jednak widmo energii jest dyskretne (nieciągłe). Przykład: Niech w przestrzeni jednej zmiennej x gdzie i jednostka urojona

5 Fizyka 2 Wykład 2 5 Bez dodatkowych założeń Â miałby ciągłe widmo wartości własnych. Żądamy jednak dodatkowo: aby funkcje własne były periodyczne Zagadnienie własne dla operatora Â: Rozwiązaniem tego równania są funkcje własne Z podstawienia a n = k n a więc Uwaga: co daje Skwantowanie wartości własnych k n pojawiło się jako skutek warunku brzegowego (w przykładzie - warunku periodycznego). Gdy L to różnice wartości własnych maleją do zera (widmo quasi-ciągłe)

6 Fizyka 2 Wykład 2 6 Oprócz operatorów różniczkowych oraz operatorów mnożenia są też inne. Przykład: Jedna z 3 macierzy Paulliego związanych ze spinem cząstki z funkcjami własnymi: Proszę sprawdzić (ćwiczenie do domu!), że wartościami własnymi tych funkcji są: Operator hermitowski Ważną rolę w mechanice kwantowej odgrywają operatory hermitowskie - mają one rzeczywiste wartości własne tak jak większość wielkości mierzonych w doświadczeniu (tj. obserwabli). Funkcje własne tych operatorów są wektorami w przestrzeni Hilberta.

7 Fizyka 2 Wykład 2 7 W tej przestrzeni definiuje się dla nich iloczyn skalarny (rzut w przestrzeni Hilberta): gdzie gwiazdka oznacza sprzężenie w sensie zmiennej zespolonej. Funkcje własne należące do różnych wartości własnych są ortogonalne Funkcje własne są unormowane Zupełność funkcji własnych Zbiór wszystkich funkcji własnych danego operatora hermitowskiego stanowi bazę w przestrzeni funkcyjnej (przestrzeni Hilberta), w której ten operator działa. Zatem: jeśli f (r ) jest dowolnym stanem należącym do tej przestrzeni to można go rozwinąć na szereg funkcji własnych gdzie u n są funkcjami własnymi operatora. Suma rozciąga się po całym widmie tego operatora. Jeśli widmo jest ciągłe suma ta przechodzi w całkę.

8 Fizyka 2 Wykład 2 8 Przykład: Często stany f badanego układu rozwija się na funkcje własne operatora pędu gdzie to operator nabla znany z elektrodynamiki. Mówimy wtedy, że stan f został przedstawiony w reprezentacji pędowej pˆ i Współczynniki tego rozwinięcia wyznaczamy korzystając z iloczynu skalarnego w przestrzeni Hilberta Jest to działanie analogiczne jak w przestrzeni Euklidesa: Niech będzie dany wektor ( 1,2,3) i 2i 3i x Aby znaleźć y-kową współrzędną tego wektora wykonuje się iloczyn skalarny y z

9 Fizyka 2 Wykład 2 9 Dany stany kwantowy (wektor stanu) może zostać rozwinięty na funkcje własne różnych operatorów: otrzymujemy wtedy różne reprezentacje tego samego wektora stanu: reprezentacja pędowa rozwinięcie na funkcje własne operatora pędu reprezentacja położeniowa - rozwinięcie na funkcje własne operatora położenia reprezentacja energetyczna - rozwinięcie na funkcje własne operatora energii i inne.

10 Fizyka 2 Wykład 2 10 Postulaty Fizyczne operacja obserwacji Postulaty mechaniki kwantowej Każdemu rodzajowi obserwacji przyporządkowuje się zespół liczb stanowiących zbiór wszystkich możliwych wyników obserwacji Jeżeli są dwa rodzaje obserwacji A i B to wtedy na ogół kolejność wykonywania tych obserwacji jest istotna tj. AB BA. zasada odpowiedniości Relacje klasyczne, w których nie występują pochodne zachodzą w mechanice kwantowej po zastąpieniu wielkości klasycznych odpowiednimi operatorami Przykład: Niech ˆ r ( x, y, z) oraz pˆ ( px, py, pz) odpowiednio. Wtedy operator momentu pędu otrzymuje się z relacji klasycznej: jako przy czym np. są operatorami położenia i pędu,

11 Fizyka 2 Wykład 2 11 Przykład: Całkowita energia (mechaniczna), która w mechanice klasycznej wyraża się w 2 p postaci: V ( r ) 2m w mechanice kwantowej ma swój odpowiednik w postaci operatora Hamiltona Hˆ 2 pˆ 2m Vˆ( rˆ) Przykład: Dana jest para mas M połączonych nieważkim prętem o długości 2d. Układ ten wiruje swobodnie z prędkością kątową wokół osi przechodzącej przez środek masy i prostopadłej do pręta. Znaleźć kwantowe równanie ruchu i wartości własne takiego rotatora jeśli wiadomo: a) klasyczne wyrażenie na energie kinetyczną w ruchu obrotowym gdzie L moduł momentu pędu a I = 2Md 2 - moment bezwładności

12 Fizyka 2 Wykład 2 12 b) operator kwadratu momentu pędu ma funkcje własne Y lm (, ) oraz wartości własne l(l+1) ħ 2, l = 0,1,2,... Odpowiedź: poszukiwane równanie ruchu: a energia własna tego układu: zasada komplementarności Każde dwie wielkości obserwowalne, z których jedna wiąże się z położeniem a druga,, wiąże się z pędem spełniają związek przemienności [ ˆ, ˆ] i Wielkości takie nazywamy komplementarnymi. Zasada komplementarności pozwala konstruować operatory

13 Fizyka 2 Wykład 2 13 Przykład: Przyjmujemy reprezentację położeniową a więc, że Aby był spełniony związek komutacyjny powyżej operator pędu musi przyjąć postać Przykład: Przyjmijmy tym razem reprezentację pędową: Wtedy ta sama relacja komutacji wymaga aby pˆ p Wyniki obliczeń otrzymane z różnych reprezentacji są równoważne ale wybór reprezentacji wiąże się z wyborem funkcji własnych, za pomocą których obliczenia są wykonywane. A to wiąże się ze stopniem trudności rachunkowych (podobnie jak w fizyce klasycznej wybór układu współrzędnych).

14 Fizyka 2 Wykład 2 14 Pośredni wniosek z zasady komplementarności Jeśli spełnione jest Aˆ, Bˆ] Cˆ [ dowodzi się, że gdzie <..> oznacza wartość średnią a nieoznaczoność A definiuje się tj. jako odchylenie średnie standardowe. Dla otrzymuje się Jest to zasada nieoznaczoności Heisenberga Są też inne wielkości spełniające tą zasadę jak np.

15 Fizyka 2 Wykład 2 15 postulaty matematyczne Jedynymi możliwymi wynikami obserwacji  są odpowiednie wartości własne a n Wynikiem obserwacji  w stanie własnym u n jest na pewno wartość własna a n Interpretacja: pomiar idealny w stanie własnym nie zmienia tego stanu Wartość średnia obserwacji w dowolnym stanie wyraża się wzorem gdzie całkowanie rozciąga się po całej dziedzinie stanu

16 Fizyka 2 Wykład 2 16 Interpretacja 1: 1) niech badany stan będzie (unormowanym) stanem własnym tj. u n 2) Jeśli stan nie jest stanem własnym (zakładamy, że jest unormowany) to łatwo wykazać (Ćwiczenie!!!) Interpretacja 2: W stanie, który nie jest stanem własnym Â, za każdym razem jak będziemy dokonywać obserwacji  otrzymamy różne wyniki; należą one do zbioru wartości własnych a n. Wartość średnia jest średnią ważoną z wagami w postaci kwadratów modułów (wielkości zespolone!) współczynników rozwinięcia stanu na funkcje bazy u n. Współczynniki rozwinięcia otrzymania wyniku a n. 2 n c mają przy tym więc sens prawdopodobieństwa