FALE MATERII. De Broglie, na podstawie analogii optycznych, w roku 1924 wysunął hipotezę, że

Transkrypt

1 FAL MATRII De Broglie, na podstawie analogii optycznych, w roku 194 wysunął hipotezę, że cząstki materialne także charakteryzują się dualizmem korpuskularno-falowym. Hipoteza de Broglie a Cząstce materialnej o masie spoczynkowej różnej od zera można przypisać falę, której parametry falowe: częstotliwość ν i długość fali λ są związane z wielkościami mechanicznymi cząstki: energią i pędem p relacjami h ν =, λ = (1.1) h p lub h ω =, k = p, k = p, =, π (1.) gdzie ω to częstość fali materii, k 34 jest wektorem falowym, a h = 6,63 10 Js to stała Plancka. W przypadku cząstki swobodnej poruszającej się ruchem jednostajnym wzdłuż osi równanie fali ( funkcji falowej ) może być zapisane jako Ψ = ( 0 (, ) i t k t Ae ω + ϕ ), (1.3) lub ogólniej Ψ = ( 0 ) (, ) i t kr rt Ae ω + ϕ. (1.4) W przypadku makrocząstek ich własności falowe nie ujawniają się, ponieważ długości związanych z nimi fal materii są znikome w porównaniu z wymiarami charakterystycznymi dla środowiska tych cząstek. Dla przykładu długość fali materii przypisana cząstce o masie 1g poruszającej się z prędkością 6,63 m/s wynosi 1

2 λ kl 34 h 6,63 10 Js = = = 3 p 10 kg 6,63m/s m. Dla kontrastu w przypadku takiej mikrocząstki jak elektron, który nabywa energię wskutek przebycia różnicy potencjałów U długość jego fali materii wynosi h h h λ = = = = = p m meu U 34 6,63 10 Js 1,5 [ ] k 9,1 10 kg 1,6 10 C U V [Å] (1.5) i dla U 100 V uzyskamy λ 1 Å (1 Å = m ). W tym przypadku długość fali jest porównywalna z charakterystycznymi wymiarami liniowymi środowiska elektronu np. atomu czy też stałymi sieci krystalicznej. Podobnie jak w optyce własności falowe dochodzą do głosu w takiej sytuacji. Działo elektronowe U = 54 V Θ= 50 detektor Dowodem doświadczalnym hipotezy de Broglie a było doświadczenie przeprowadzone przez Davissona i Germera w 197 roku, w którym zaobserwowano dyfrakcję elektronów na monokrysztale niklu. Z hipotezy de Broglie a mamy kryształ 1,5 λ = Å =1,67 Å. 54V Z drugiej strony z teorii dyfrakcji na siatce dyfrakcyjnej: Warunek na wzmocnienie Δ = nλ, Δ= bsin( Θ), dla n = 1otrzymamy Θ b=,15 A λ = bsin( Θ ) =,15Å sin( 50º ) = 1,65 Å. Zgodność obliczonych długości fal świadczy o słuszności hipotezy de Broglie a.

3 Interpretacja funkcji falowej Ψ Falowe własności mikrocząstek zostały także potwierdzone w innych doświadczeniach np. przy przechodzeniu elektronów przez folie folia metalowe. Płyta fotograficzna Na płycie fotograficznej zaobserwowano obraz dyfrakcyjny podobny jak przy padaniu na folię fal rentgenowskich. Każdy elektron przechodząc przez ciało o strukturze periodycznej i padając na płytę fotograficzną powoduje zaciemnienie jej niewielkiego obszaru. Jeśli na płytę pada duża liczba elektronów to rozkład zaciemnień odpowiada obrazowi dyfrakcyjnemu. Interpretacja fizyczna funkcji falowej jest statystyczna i została sformułowana przez Borna w 197 roku: Prawdopodobieństwo znalezienia cząstki dp w obszarze o objętości dv w chwili czasu t jest proporcjonalne do natężenia fal de Broglie a ΨΨ w tym obszarze dp ΨΨ dv = Ψ dv, (1.6) gdzie Ψ to funkcja falowa sprzężona ( w sensie liczby zespolonej ) do Ψ. Jeśli funkcja falowa spełnia warunek normalizacyjny V ΨΨ dv = 1, to dp = ΨΨ dv. dp Określając gęstość prawdopodobieństwa ρ = mamy dv dp ρ = =ΨΨ Ψ, (1.7) dv tak, więc sens fizyczny ma kwadrat modułu funkcji falowej, który określa gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w danym miejscu w danej chwili czasu. Na 3

4 podstawie tej interpretacji funkcja falowa funkcja falowa powinna spełniać wymagania stawiane prawdopodobieństwu mianowicie powinna być: ciągła gładka ( tzn. powinna mieć ciągłe pochodne ) jednoznaczna ograniczona całka ΨΨ dv powinna być skończona V Warunki powyższe noszą nazwę warunków naturalnych lub standardowych. Zasada nieoznaczoności Heisenberga Zasada ta jest konsekwencją natury falowej cząstek. Mówi ona, że nie można dokładnie wyznaczyć par pewnych wielkości fizycznych. Jedną z par takich wielkości jest pęd cząstki w danym kierunku i położenie cząstki w tym samym kierunku: Nie można jednocześnie ( w tej samej chwili czasu ) dowolnie dokładnie określić położenia i pędu cząstki w danym kierunku ΔΔp ΔyΔp ΔzΔp y z h, h, h. (1.8) Z zasady nieokreśloności ( niepewności ) wynika, nie można określić trajektorii ( tak jak w fizyce klasycznej ) cząstki kwantowej. 4

5 Uzasadnimy powyższe relacje rozpatrując dyfrakcję elektronów na pojedynczej szczelinie o szerokości a. Przed p a ϕ Δp szczeliną składowa pędu p ma wartość 0 oraz Δ p = 0. Po przejściu szczeliny nieoznaczoność Δ można oszacować jako a: Δ a, natomiast Δ, jak widać na rysunku, można p oszacować jako Δ p ~ psin( ϕ ), gdzie ϕ odpowiada pierwszemu minimum dyfrakcyjnemu. Z teorii dyfrakcji na pojedynczej szczelinie wiadomo, że warunek na pierwsze minimum natężenia ma postać: sin( ϕ) = λ / a. Dla iloczynu ΔΔ p otrzymamy λ h ΔΔ p apsin( ϕ) = ap = pλ = λ = h. a λ Zasadę nieoznaczoności Heisenberga spełnia także para wielkości: energia i czas t ΔΔt h (1.9) co oznacza, że jeśli chcemy w określonym miejscu dokładniej wyznaczyć energię cząstki w danym stanie to zajmie to więcej czasu. Równanie Schrödingera z czasem Równanie, które powinna spełniać funkcja falowa ( rt, ) Ψ przypisana cząstce nierelatywistycznej o masie m zostało zapostulowane przez Schrödingera w 196 roku Ψ i = ΔΨ+ V(, y, z, t) Ψ, (1.10) t m h gdzie i to jednostka urojona, =, π (, y,, ) Δ= = + + y z (w układzie kartezjańskim), V z t oznacza funkcję, której gradient ze znakiem minus jest siłą F działającą na 5

6 cząstkę F = V. V jest energią potencjalną cząstki w przypadku, kiedy nie zależy od czasu. Funkcja falowa Ψ ( nazywana też funkcją stanu ) będąca rozwiązaniem równania Schrödingera z czasem, zgodnie z interpretacją Borna, musi ponadto spełniać wymienione wyżej warunki naturalne. Stacjonarne równanie Schrödingera (196) W mechanice kwantowej bardzo ważne są takie stany cząstek, których gęstość prawdopodobieństwa nie zależy od czasu. Dowodzi się, że jeśli funkcja V (, y, z, t ) nie zależy od czasu, co oznacza, że jest energią potencjalną cząstki, to funkcję falową można przedstawić w postaci iloczynu czynnika zależnego od czasu i czynnika zależnego od współrzędnych ( ) ( ) ( ) i t i t V, y, zt, = V y,, z Ψ, y, zt, = e ψ( y,, z) = e ψ( r), (1.11) gdzie to energia całkowita cząstki, a r to wektor wodzący cząstki. W stanie opisanym funkcją (5.11) gęstość prawdopodobieństwa ρ nie zależy od czasu i t i t ρ =ΨΨ = e ψ( r) e ψ ( r) = ψ( r) ψ ( r). (1.1) Jeżeli gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w danym stanie nie zależy od czasu to taki stan nazywamy stanem stacjonarnym. Równanie, które spełnia funkcja falowa ψ ( r ) można otrzymać wstawiając do równania Schrödingera z czasem (1.10) postać (1.11) funkcji ( rt, ) Ψ i t i t i t i e ψ( r) = Δ e ψ( r) + V( r) e ψ( r), t m i t i t i t i e ψ( r) = e Δ ψ( r) + e V( r) ψ( r). m 6

7 Dzieląc powyższe równanie przez Schrödingera i t e uzyskamy stacjonarne ( bez czasu ) równanie ( r) V( r) ( r) ( r) m Δ ψ + ψ = ψ (1.13) Równania Schrödingera można zapisać w zwarty sposób wprowadzając operator Hamiltona ( hamiltonian ), który ma znaczenie operatora całkowitej energii cząstki Hˆ = ( ), m Δ+ V r (1.14) wtedy równanie Schrödingera z czasem przyjmuje postać Ψ i = Hˆ Ψ, (1.15) t a równanie Schrödingera bez czasu ma postać Hˆ ψ = ψ. (1.16) Rozwiązaniem równania Schrödingera są funkcje falowe (stany) cząstki oraz energie cząstki. Funkcje falowe muszą także dodatkowo spełniać warunki naturalne tzn. muszą być ciągłe, gładkie, jednoznaczne i ograniczone. Warunki naturalne w zagadnieniach, gdzie z klasycznego punktu widzenia ruch cząstki jest ograniczony, prowadzą do kwantowania wielkości fizycznych charakteryzujących cząstkę. Rodzaj rozpatrywanego zagadnienia fizycznego specyfikujemy w równaniu Schrödingera przez podanie postaci energii potencjalnej = 1 to V ( r )(potencjału) cząstki. Jeżeli przyjmiemy np. V( ) mω rozwiązujemy zagadnienie oscylatora harmonicznego, a jeśli w równaniu Schrödingera ( ) V r e = 4 to rozwiązujemy zagadnienie atomu wodoru itp. πε 0 r 7