Teoria Sygnałów. II rok Geofizyki III rok Informatyki Stosowanej. Wykład 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Transformacja Hilberta. sgn( + = + = + lim.

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Teoria Sygnałów. II rok Geofizyki III rok Informatyki Stosowanej. Wykład 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Transformacja Hilberta. sgn( + = + = + lim."

Juliusz Karpiński
7 lat temu
Przeglądów:

1 Tora Synałów II rok Gozyk III rok Inormatyk Stosowanj Wykład 5 ) sn( d d d F Najprw nzbędny rzltat. Transormacja Forra (w sns rancznym) nkcj sn() F lm π sn Z twrdzna o dalnośc wynka, ż π sn Transormacja Hlbrta π sn

2 Transormacja Hlbrta - wprowadzn Transormacja Hlbrta jst bzpośrdno zwązana z transormacją Forra nkcj jdnostronnych tj. takch, ż są on równ zro dla < (nkcj przyczynow). Tora tych nkcj ma klczow znaczn w konstrkcj ltrów cyrowych ralzowalnych zyczn dla których odpowdź kład n moż występować przd pobdznm. Rozpatrzmy transormację Forra synał rzczywsto () tako ż () dla <. Dla synałów rzczywstych zachodz: R R G( ) parzysta Im G( ) nparzyst a π G( ) d [ RG( ) ImG( ) ( cos π sn π) RG oraz RG cos πd ImG( ) sn πd dla cos πd ImG( ) sn πd dla < Łatwo stąd wysnć wnosk, ż częśc rzczywsta rojona transormaty Forra n są od sb nzalżn. ( ) cos πd ImG( ) sn πd dla R G < d Powążmy R G() oraz Im G(): O [ ( ) sn oraz O sn O [ ( ) dz sn [ sn oraz sn O O [ sn O I[ sn Ponważ π RG( ) RG( ) G( ) ImG( ) ImG( ) G ImG RG( ) RG( ) ImG( )

3 Wnosk: Fnkcja przyczynowa jst całkowc zdnowana przy pomocy częśc rzczywstj (lb rojonj) swojj transormacj Forra. Dncja Transormacją Hlbrta nkcj () nazywamy splot: [ H ˆ * lb ( t) ˆ dt π t Dla nkcj przyczynowj (patrz poprzdn slajd) : ImG H RG RG H ImG [ [ Klka własnośc transormaty Hlbrta:. I H π [ [ I[ ˆ I G( ) sn( ) G( ) Ponważ sn ( ) π G G < wnoskjmy, ż transormacja Hlbrta n zmna wdma ampltdowo zaś wdmo azow przswa o -π/ dla > zaś o π/ dla < (dowodnć to).. Dwkrotn zastosowan transormaty Hlbrta sktkj przsnęcm wdma azowo nkcj o π zaś w dzdzn daj nkcję przcwną dyż: ( sn( ) ) π * * Wdać stąd, ż odwrotną transormacją Hlbrta otrzymjmy jako: ˆ * π Przykład: cos δ δ G( ) sn ( ) G( ) sn sn δ δ [ sn( ) G( ) G ( ) δ δ cos

4 3. Podobństwo: Przsnęc: Moc : Splot: H H H [ ( a) ˆ( a) Ortoonalność: ˆ d [ ( t) ˆ( t) * d ˆ * ˆ [ ˆ( ) ˆ d Transormacj Hlbrta podstawowych synałów: Dlta Draca - dncj otrzymjmy: H [ δ ˆ δ δ * π Klka nnych w tabl obok (proszę dowodnć!) Przykład Synały mnmalnoazow W ozyc synały przyczynow często nazywa sę synałam lmntarnym (alkam, an. wavlts). Szczólną pozycję wśród nch zajmją synały (alk) mnmalnoazow, tj tak dla których wdmo azow jst zwązan z loarytmm wdma ampltdowo poprzz transormację Hlbrta: Φ ( ) π lo P v ( v) dv Synały mnmalnoazow mają stotn własnośc:. Są on jdnoznaczn okrślon przz swoj wdmo ampltdow. Spośród wszystkch synałów o okrślonym wdm ampltdowym mają najkrótszy czas trwana 3. Spośród wszystkch synałów o okrślonym wdm ampltdowym mają najwększą nrę zromadzoną na początk synał. t mn d t> t d

5 Przykład Synał analtyczny Dncja Synałm analtycznym nazywamy nkcję zspoloną stowarzyszoną z synałm () równą : a H ( ) ˆ Część rojona synał analtyczno nazywana jst składnkm kwadratrowym. Synał analtyczny a jst tak zwązany z synałm jak synał p z synałm cos dyż: H cos sn Ponważ I I F [ a [ I[ H( ) F( ) [ sn( ) F( ) F( ) ( ) sn F( ) < Można stwrdzć, ż wdmo orrowsk synał analtyczno jst prawostronn. Formła powyższa pozwala na ktywn oblczan transormacj Hlbrta. Lczymy transormację Forra synał F(). Zastępjmy zram część jmnych częstotlwośc a część dodatnch mnożymy przz 3. Lczymy odwrotną transormację Forra jj część rojona to transormacja Hlbrta synał Zapsjąc analtyczny synał zspolony w postac bnowj: Φ A wdzmy, ż zmnna ampltda aza to synał moą być okrślon jako A ˆ ˆ a ( ) Faza z dokładnoścą do Φ ar a arct stałj addytywnj Tym samym A() Φ() są obwdną kątm azowym z dokładnoścą do stałj addytywnj. Procs tn nazywany jst często dmodlacją chwlowj ampltdy. Przykład: Nch Acos wtdy ˆ Asn stąd obwdna cosnsody ma wartość stałą A A

6 Można równż podać ormalną dncję częstotlwośc chwlowj jako d d Φ ˆ ˆ ˆ oraz azy chwlowj, która zawra okrślaną dowoln plsację odnsna daną jako Φ ϕ Stąd przb oólnony ma postać: A cos( ϕ ) Tak węc synał analtyczny zspolony można zapsać w postac trzch sparowalnych czynnków: Φ ϕ A A Transormacja Hlbrta pozwala przsnąć azę dowolno synał o dowolny kąt φ. Nch synałm tym będz na początk snsoda. ( t) sn( t) Transormacja Hlbrta to synał jak wadomo to cosns. ( t) ( t) ˆ cos Zastosjmy następjąc waowan tych synałów: ( t) cos( ) sn( t) sn( ) cos( t) sn( t ) Wdać, ż aza synał została przsnęta o kąt. Dla dowolno synał (t) powyższ waowan będz sktkować przsnęcm azy chwlowj o kąt : ( t) cos( ) ( t) sn( ) ˆ ( t)

Podobne dokumenty

Teoria Sygnałów. II rok Geofizyki III rok Informatyki Stosowanej. Wykład 4. iωα. Własności przekształcenia Fouriera. α α

Teoria Sygnałów. II rok Geofizyki III rok Informatyki Stosowanej. Wykład 4. iωα. Własności przekształcenia Fouriera. α α ora Sygałów rok Gozyk rok ormatyk Stosowaj Wykład 4 Własośc przkształca ourra własość. Przkształc ourra jst low [ β g ] βg dowód: rywaly całkowa jst opracją lową. własość. wrdz o podobństw [ ] dowód :