Estymacja przedziałowa parametrów strukturalnych zbiorowości generalnej

Transkrypt

1 Więcej dokumetów a stroie Estymacja rediałowa arametrów strukturalych biorowości geeralej Parametr biorowości geeralej () - miara oisowa,. średia arytmetyca (), odchyleie stadardowe ( ), cy wskaźik struktury ( ) biorowości geeralej, której wartość jest a ogół ie aa. Estymacja, cyli sacowaie arametrów, olega a odaiu oce arametrów oulacji geeralej a odstawie statystyki uyskaej róby losowej. tatystyki wylicoe a odstawie obraych oulacji gru losowych teorii estymacji osą awę estymatorów. Estymatorem jest więc każda statystyka wylicoa róby losowej, która służy do sacowaia odowiadającego jej arametru oulacji geeralej. Aby statystyki mogły być uae a dobre estymatory owiy charakteryować się ewymi cechami: 1) Nieobciążoość jeśli wartość ocekiwaa estymatora stosowaego do wyaceia ieaego arametru biorowości geeralej jest rówa wartości tego arametru, to taki estymator aywamy ieobciążoym: E ( T ) ) Zgodość własość estymatora owodująca, że wra e wrostem licebości róby wartość estymatora bliża się do arametru biorowości geeralej. Iymi słowy różica międy tymi wielkościami odlega diałaiu rawa wielkich licb: lim P{ T } 1 0 jest dowolie małą licbą 3) Efektywość sośród dwóch estymatorów wybieramy te, którego wariacja jest miejsa. Miarą efektywości estymatora jest jego wariacja D ( T ). Wyróżiamy dwa rodaje estymacji: 1) Estymacja uktowa olega a odaiu wielkości sacowaego arametru, która jest rówa wartości estymatora. Poieważ reguły wielkości estymatora różią się od wartości arametru oulacji geeralej, odaje się jedoceśie średi błąd sacuku, cyli odchyleie stadardowe estymatora. ) Estymacja rediałowa olega a skostruowaiu ewego rediału licbowego, waego rediałem ufości (Neymaa), który określoym rawdoodobieństwem okryje estymarowy arametr. Losowaie ieależe (e wrotem) roces wybory jedostek do róby, w którym każdoraowo elemety biorowości geeralej mają takie samo rawdoodobieństwo dostaia się do róby. Rokład estymatora w róbie rokład rawdoodobieństwa wskaujący a wsystkie możliwe wielkości, jakie może ryjąć daa statystyka (. średia arytmetyca w róbie, odchyleie stadardowe w róbie cy cęstość wględa w róbie). Błąd stadardowy odchyleie stadardowe estymatora T, które aisujemy ( T ). Zbieżość do rokładu ormalego jeśli licba jedostek obserwacji dąży do ieskońcoości (w raktyce oaca to awycaj 30 ), to rokład estymatora T jest bliżoy do rokładu ormalego.

2 Więcej dokumetów a stroie Wartość ocekiwaa średiej arytmetycej róby E () - wartość średiej w biorowości geeralej, - wartość średiej w róbie. Błąd stadardowy średiej arytmetycej róby Wartość ocekiwaa wskaźika struktury róby E( ) - ieaa wartość wskaźika struktury (cęstości wględej) biorowości geeralej Błąd stadardowy wskaźika struktury róby ( 1 ) - ieaa wartość wskaźika struktury róby Estymacja rediałowa ieaej wartości średiej oulacji geeralej Wsółcyik ufości dięki estymacji rediałowej wyaca się rediał licbowy, który ewym rawdoodobieństwem awiera ieaą wartość arametru. To rawdoodobieństwo aywae jest wsółcyikiem ufości, a osacoway rediał rediałem ufości (Neymaa). Wsółcyik ufości oaca się: 1. Najcęściej ma o takie wartości: 0,99 0,95 0,90 /,58 1,96 1,64 Prediał ufości Neymaa ma ostać ogólą: P { T / / ( T ) T ( T )} 1 - wartość mieej losowej w rokładie N (0;1 ), takiej że P ( Z ) 1 lub astęującą formułę: /

3 Więcej dokumetów a stroie / P { T / / t ( T ) T t ( T )} 1 t - wartość mieej losowej w rokładie t-tudeta ry 1 takiej że rawdoodobieństwo P ( T t / ) 1. stoiach swobody, Zbieżość rokładu średiej róby ( ) do rokładu ormalego wra e wrostem licby jedostek w róbie ( 30) estymator ma rokład bliżoy do rokładu ormalego o adiei matematycej (wartości ocekiwaej) rówej i odchyleiu stadardowym licb.. Jest to scególy ryadek diałaia rawa wielkich Normalość rokładu średiej rób ( ) - jeśli miea losowa X ma rokład ormaly, to także ma rokład ormaly, be wględu a wielkość róby. Zbieżość do rokładu t-tudeta gdy ie jest możliwe skorystaie e bieżości rokładu do rokładu ormalego, miea X w biorowości geeralej ma rokład ormaly ora ieae jest oulacji geeralej, wówcas korystamy e bieżości statystyki do rokładu t-tudeta o 1 stoiach swobody, gdie lub 30 lub 30, 1 w ależości od licebości róby (odowiedio ). osób budowy rediałów ufości dla w ależości od iformacji ochodących e biorowości geeralej, rokładu statystyki ora wielkości róby redstawia schemat. tak σ ae ie X N(, ) ma rokład ormaly lub asymtotycie ormaly o arametrach i ma rokład bliżoy do t-tudeta o -1 stoia swobody ie 1 30 tak

4 Więcej dokumetów a stroie 1) / ˆ 1 ) / 1) t ˆ / Objaśieie do owyżsego schematu: chemat te redstawia rediały ufości dla ieaej wartości średiej ( ) mieej X o rokładie ormalym lub bliżoym do ormalego 1) / to wartość Z o rokładie N (0,1 ), taka że P ( Z / 1 ) t / to wartość T o rokładie t-tudeta o 1 stoiach swobody, która sełia ależość P ( T t / Prykład 10 (a rediał ufości dla wartości ocekiwaej) W ewym akładie rodukcyjym ostaowioo badać staż racy racowików umysłowych. W tym celu oulacji tych racowików wylosowao gruę (losowaie ieależe (e wrotem)) o licbie 196 racowików, której oblicoo średią 6,9 lat. Dotychcasowe doświadceie wskauje, że rokład stażu racowików umysłowych jest rokładem ormalym odchyleiem stadardowym,8 lat ( ). Pryjmując wsółcyik ufości 1 0, 95 budować rediał ufości dla ieaego średiego stażu racy w oulacji racowików umysłowych w tym akładie. Zgodie e schematem ustalamy, że sełioe są waruki: - odchyleie stadardowe - rokład ormaly Zatem korystamy astęującego woru a rediał ufości dla ieaej wartości () e biorowości geeralej: / Na odstawie tablic dystrybuaty rokładu ormalego dla 1 0,95 wiemy, że

5 Więcej dokumetów a stroie F( / 0,05 / ) 1 ( ) 0,975 1,96,8 196,8 14 0, Prediał ufości ryjmuje ostać: / 6,9 1,96 0, 6,9 0,39 6,508 7,9 Od.: Z rawdoodobieństwem 0,95 możemy ryuscać, że średi staż racy w oulacji racowików umysłowych w tym akładie awiera się w rediale (6,508 lat; 7,9 lat). Iymi słowy 95% wsystkich takich rediałów okryje arametr (), atomiast 5% ie okryje. Godimy się więc ryykiem błędu, że w 5 ryadkach a 100 ieaa wartość średiego stażu racy w oulacji geeralej ajduje się oa wyacoym rediałem licbowym. Wykreśleie grafice f() F ( / ) 0,975 / 0 / Prykład 11 Odchyleie stadardowe W losowo wybraej gruie 450 samochodów osobowych marki FO 1500 rerowadoo badaie użycia beyy a tej samej dla wsystkich samochodów trasie długości 100 km. Okaało się, że odchyleie stadardowe użycia beyy dla tej gruy samochodów wyosiło 0,8 litra a 100 km. Zakładając, że badaa cecha ma rokład ormaly wyacyć rediał ufości dla odchyleia stadardowego e użyciem beyy re wsystkie samochody tej marki a takiej trasie. Pryjąć wsółcyik ufości 0,99. Rowiąaie

6 Więcej dokumetów a stroie P { / / } 1 = 0,8 (odchyleie stadardowe) 0,8 0,8,58 0,8, ,731 0,869 0, ,8 0,068 0,8 0,068 0,9 0,8 0,8,58 0,8, ,731 0,869 Od.: Otrymay rediał 0,731 i 0,869 jest jedym tych wsystkich możliwych do otrymaia rediałów, które rawdoodobieństwem 0,99 okrywają odchyleie stadardowe użycia beyy re samochody FO 1500 a trasie 100 km. Prykład 1 W celu osacowaia średiej długości ewego detalu rodukowaego w redsiębiorstwie wylosowao 17 detali i otrymao średią ich długość 3 cm ora odchyleie stadardowe 0,6 mm. Osacować ry wsółcyiku ufości 0,90 wartość ocekiwaą rodukowaych w tej firmie detali. Rowiąaie Rokład t-tudeta Rowiąaiem jest rediał licbowy dla ieaej (), który wyacymy e schematu ry ałożeiu, że biorowości geeralej ma rokład ormaly. Z tablic rokładu t-tudeta otrymujemy dla licby stoia 1, który u as rówa się i 0, 10 t / 1,746 korystamy e woru: t ˆ ˆ / ˆ 1 0, ,6 16 0,6 4 0,15 3 1,746 0,15 3 0,6 31,738 31,738 3,6

7 Więcej dokumetów a stroie Od.: W 90% możemy ryuscać, że w rediale od 31,738 do 3,6 rodukuje się średią długość detali w tym redsiębiorstwie. Wykres graficy f(t) 0,05 0,05 t / 0 t / t Grafica ilustracja P ( T t / 0, 10 Estymacja rediałowa ieaego wskaźika struktury biorowości geeralej Estymatorem wskaźika struktury frakcji (rawdoodobieństwa) jest wskaźik struktury róby losowej. Warukiem cęsto alecaym w rocedere sacowaia wskaźika struktury ( ) jest duża róba ( 100, a awet 10). W astosowaiach statystyki waruek te jest acie łagodiejsy ( 30). Ocywiście, im więksa róba, tym bardiej recyyje wyiki. Błąd stadardowy estymatora (1 ) Prediał ufości dla ieaego wskaźika struktury biorowości geeralej () / T / - wartość mieej losowej stadaryowaej w rokładie ormalym, ry daym 1, gdyż mamy awse do cyieia dużą róbą. Prediał ufości dla (rąd wielkości ie jest ay)

8 Więcej dokumetów a stroie / (1 ) Prykład 1 Chcemy aleźć rawdoodobieństwo tego, że losowo wybray racowik ewego dużego akładu będie miał wykstałceie wyżse. W tym celu wylosowao róbę licącą 400 racowików i stwierdoo, że 3 sośród ich osiada wykstałceie wyżse. Osacować a tej odstawie ry wsółcyiku ufości 0,95 udiał osób wykstałceiem wyżsym sośród atrudioych w tym redsiębiorstwie. Rowiąaie adaia T wskaźik struktury 3 0, ,08 0,9 F( / ) 0,975 P 0,08 1,96 0,08 0,9 400 / 0,08 0,07 1,96 0,053 P 0,107 Od.: Z 95% wiarygodością możemy ryuscać, że odsetek osób wykstałceiem wyżsym w tym redsiębiorstwie waha się w rediale od 5,3% do 10,7%. Moża iekiedy astosować ajostrożiejsy sosób ostęowaia. Polega o a ryjęciu maksymalej wartości : (1 ) 1, ry daym osiąga maksimum dla 1, cyli. Prediał ufości dla (ajostrożiejsy sosób ostęowaia ry daym ) / 1 Niebęda (miimala) licebość róby w ryadku sacowaia (wskaźika struktury)

9 Więcej dokumetów a stroie ( / ) (1 ), E gdie E / Gdy ie jest wstęie ae (. brak badań ilotażowych cy iych wceśiejsych iformacji), wówcas moża ryjąć: ( 1 ) (1 ) Zatem wór a iebędą licebość róby ryjmuje astęującą ostać: ( / ) (1 ) lub ry ostęowaiu w ajostrożiejsy sosób ( 1 ) : E /) ( 4E E - bewględy maksymaly błąd sacuku ( E / ). 1 Prykład 13 Właściciel skleu artykułami żywościowymi chce ustalić rocet swoich stałych klietów sośród ogółu klietów jego skleu. Jak licą gruę owiie wylosować, aby rawdoodobieństwem 95% maksymaly błąd sacuku ie rekracał 5%? Rowiąaie: T? 1 95 E 0,05 / 1,96 1 0,5 1,96 4 0,05 384,16 korystaliśmy tego właśie woru, gdyż brak jest jakichkolwiek iformacji o odsetku klietów owtarających akuy w tym skleie (to chcieliśmy właśie ustalić), atem ostąiliśmy w sosób ajostrożiejsy. Od.: Należy atem wylosować róbę licącą 385 klietów.