Estymacja punktowa i przedziałowa
|
|
- Dominika Paluch
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Estymacja puktowa i przedziałowa Marta Zalewska Zakład Profilaktyki Zagrożeń Środowiskowych i Alergologii Populacja Próba losowa (próbka) Parametry rozkładu Estymatory (statystyki) Własości estymatorów Błąd estymacji Przedziały ufości
2 Populacja (zbiorowość) Rozważamy zbiór elemetów podlegających badaiu, ze względu a jedą cechę (a razie). Badaie komplete (całkowite, spis) Przebadae są wszystkie elemety zbioru (populacji). Dostarcza pełej iformacji o badaej cesze populacji. Często takie badaie jest iecelowe, kosztowe, czasochłoe bądź iewykoale. Badaiami kompletymi statystyka matematycza ie zajmuje się.
3 Badaie reprezetacyje Polega a wylosowaiu pewej grupy przedstawicieli liczej populacji. Powiedzmy, że wylosowao 0 oworodków w celu pozaia cech fizyczych dzieci urodzoych w Warszawie w tym roku. Przypuśćmy, że iteresującą as cechą jest zmiea losowa X ciężar ciała oworodka losowo wybraego z populacji Dyspoujemy ciągiem 0 liczb (w kg), możemy arysować dystrybuatę empiryczą. Rozkład badaej cechy w populacji utożsamiamy z rozkładem prawdopodobieństwa fikcyjej zmieej losowej X. Populacja i próbka losowa Badamy próbkę losową, aby dowiedzieć się czegoś o populacji (zbiorowości) Zakładamy że mamy do czyieia ze zmieymi losowymi X, X,.X i dae są realizacje tych zmieych losowych x i X i (ω), Nie zamy atomiast rozkładu prawdopodobieństwa, z którego te zmiee są wylosowae. Próbujemy dowiedzieć się czegoś o iezaym rozkładzie prawdopodobieństwa tych zmieych a podstawie obserwacji x, x,, x
4 Najczęściej zakładamy, że próbka jest tzw. prostą próbką losowa tz: ) każda jedostka populacji ma takie samo prawdopodobieństwo trafieia do próbki ) każda koleja jedostka jest wybieraa do próbki iezależie. ą dwa podstawowe rodzaje losowaia próbki: ) Losowaie bez zwracaia (zależe) ) Losowaie ze zwracaiem (jedostka może wielokrotie trafić do tej samej próbki, losowaie iezależe) Częściej stosowae jest losowaie bez zwracaia. Jeśli populacja jest skończoa to spełieie waruku iezależości wymaga losowaia ze zwracaiem. Jest to schemat matematyczie prostszy. Dla dużej populacji praktyczie zaciera się różica pomiędzy obydwoma sposobami losowaia.
5 Przykład. Aaliza ce komputerów Populacja: wszystkie sklepy komputerowe w Polsce Cecha: cea komputera (traktujemy jako cechę ciągłą) Cey odkładamy a osi poziomej, a osi pioowej odkładamy ile razy kokreta cea się powtórzyła, wyrażoą w procetach. Otrzymujemy rozkład wartości cey komputerów w Polsce (prawdopodobie krzywą dzwoową) pole pod tą krzywą rówe jest. Pole zakreśloe między dwoma ceami przedstawia % sklepów, w których cey zajdują się w tym przedziale. Jest to rozkład cechy w populacji. Najdroższe sklepy będą po prawej stroie, ajtańsze po lewej stroie osi poziomej. Wyiki próbki 00 elemetowej
6 Rozkład cechy w populacji traktujemy jako rozkład prawdopodobieństwa zmieej losowej X (ozaczającej wartość cechy dla jedostki losowo wybraej z populacji). Rozkład prawdopodobieństwa to jest charakterystyka populacji. Parametry rozkładu prawdopodobieństwa p. E(X)µ, Var(X) (a ogół iezae) traktujemy jako skrótowe charakterystyki populacji Wartość oczekiwaa jest charakterystyką populacji sklepów - jest średią ceą ze wszystkich sklepów. Odchyleie stadardowe mówi jak średio odchylają się wartości w pojedyczych sklepach od średiej. Oba parametry są iezae aby je pozać ależałoby zbadać wszystkie sklepy. Zwykle dostępa jest tylko próbka. W aszym przypadku będzie to próba 00 sklepów. Z puktu widzeia statystyki próbka - to iezależe zmiee losowe X, X, X 00 o takim samym rozkładzie prawdopodobieństwa jak X X jest wzorcową zmieą ceą komputera w losowo wybraym sklepie X, X, X 00 są to cey w 00 iezależie wybraych sklepach.
7 Na podstawie próbki oblicza się próbkowe odpowiediki wielkości populacyjych. Odpowiedikiem wartości oczekiwaej jest średia (w przykładzie z 00 wartości) i jest azywaa estymatorem iezaej liczby µ (mi), a wariacja z próbki jest estymatorem wariacji ) ( ˆ ˆ X X X X i i µ Estymatory to wielkości obliczoe a podstawie próbki, które oszacowują iezae parametry populacji. Wyiki oszacowaia cey w losowo wybraych 00 sklepach: ) ( ˆ ˆ X X X X i i µ Oszacowaie odchyleia stadardowego wyosi: 07.67
8 Należy odróżić estymator od wielkości estymowaej. Estymatory to zmiee losowe, bo jeśli dae są losowe to wszystko, co policzymy a podstawie tych daych, też będzie losowe. Przypuśćmy, że powtarzamy doświadczeie 0 razy, tz. 0 razy losujemy 00 sklepów z tej samej populacji. I otrzymujemy : 0 owych średich Podstawowe statystyki: Mi. st Qu. Media Mea 3rd Qu. Max Liczymy wartość oczekiwaą i wariację średiej. Jaka jest wartość oczekiwaa Jaka jest wariacja? Bo są iezależe Var( X ) Var( Var( X i ) A odchyleie stadardowe? i Var( X ) i X i ) Var( E(X ) µ ( ) D( X ) i X i )
9 Przykład Zmiea losowa X~N(,0. ) a rysuku kolor iebieski Zmiea losowa X ~N(, (0./sqrt(0)) ) 0 kolor czerwoy, odchyleie stadardowe Trzeba podzielić odchyleie stadardowe pojedyczej obserwacji przez sqrt() ) - Odchyleie stadardowe w populacji (rozrzut ce we wszystkich sklepach) - Estymator odchyleia stadardowego w populacji (rozrzut ce oszacoway a podstawie próbki) ) - Błąd stadardowy średiej próbkowej (a ile oa odchyla sięśredio od średiej populacyjej) - Estymator błędu stadardowego średiej próbkowej (oszacowaie dokładości z jaką estymujemy średią populacyją)
10 Parametr θ Odgrywa rolę idetyfikatora rozkładu prawdopodobieństwa Przykład. Liczba wypadków drogowych w ciągu tygodia ma w przybliżeiu rozkład Poissoa z parametrem θ λ Niech liczby X,X, X - ozaczają liczby wypadków w kolejych tygodiach. Zbiór możliwych wartości θ - przedział ieograiczoy od 0 do ieskończoości θ jest zarówo wartością oczekiwaą, jak i wariacją zmieej losowej X opisującej liczbę wypadków w ciągu tygodia.
11 Estymacja Estymacja - szacowaie parametrów populacji a podstawie obserwacji uzyskaych w próbie losowej θ - theta jest parametrem rozkładu cechy X w populacji (theta może być liczbą, parą liczb, itp.) Niezaą wartość θ szacujemy a podstawie - elemetowej próbki losowej (x, x,...x ) Estymator (puktowy) jest fukcja próby przybliżającą wartość parametru theta.
12 Estymacja Przykład: Badamy populację o rozkładzie z wartością oczekiwaą E(X) Średia arytmetycza x x i i z - elemetowej próby losowej jest ieobciążoym estymatorem wartości oczekiwaej populacji µˆ
13 Przykład: ieobciążoy estymator wariacji populacji (bez falki) [( x ˆ x) + ( x x) + + ( x x) obciążoy estymator wariacji populacji wariacja próbkowa [( x ~ x) + ( x x) + + ( x x) ] ] Najbardziej aturaly estymator wariacji jest obciążoy ˆ ~ JET OBCIĄŻONYM ETYMATOREM WARIANCJI POPULACJI Var( X ) Aby estymator wariacji był ieobciążoy, będziemy dzielić sumę kwadratów odchyleń przez / -
14 Aby estymator był ieobciążoy to jego wartość oczekiwaa musi być rówa estymowaemu parametrowi populacji E E ~ ( ) ( ) Estymator wariacji ma swoją wartość oczekiwaą, ma swoje odchyleie stadardowe i wariację ~ Var ( ) < Var( xxxxxxx xxx x x x x x x x ) obciążoy ieobciążoy Przykład Czasy wykoaia pewej aalizy wyiosły: 4., 5., 3.8, 6.4, 3, 5., 4.8, 6.4, 6., 5. Zbudować estymatory iezaych parametrów populacji a podstawie próbki.
15 Jaka jest iterpretacja czasów wykoaia aalizy w aszym przykładzie. Jeżeli weźmiemy typową zmiea losową opisującą czas wykoaia aalizy to : µ Jest E( X ) µ Var( X ) D( X ) to średi czas dla wszystkich ą to iezae parametry Jest to średi rozrzut dookoła średiej Nieobciążoy estymator wartości oczekiwaej populacji: µˆ x i x i 5 Nieobciążoy estymator wariacji populacji: ˆ [( x x) + ( x x) + + ( x x) ] 0.48
16 ~ BŚK E[ ( θˆ θ) ]
17 Estymacja przedziałowa Pamiętajmy dae w statystyce traktujemy jako zmiee losowe. Przyjmujemy założeie o tym, jaki jest rozkład prawdopodobieństwa. Obliczamy estymatory iezaych parametrów populacji. Estymatory oszacowaia iezaych parametrów populacji obliczamy a podstawie próbki.
18 Estymacja przedziałowa chcemy, aby iezay parametr zalazł się między dwoma oszacowaiami z góry określoym prawdopodobieństwie Zauważmy, że przedział ufości ma końce, które są zmieymi losowymi Przedział ufości Jest obliczoy a podstawie daych Jest założoe prawdopodobieństwo, że przedział ufości zawiera iezay param populacji. Pamiętajmy, że końce przedziału są losowe a parametr jest ielosowy. Poziom ufości przeważie 95% jest to prawdopodobieństwo, że przedział zawiera estymoway parametr populacji (może być: 99%, 99,9%, 90%)
19 Przedział ufości c.d. Przedział a poziomie ufości 0.95 to taki przedział, że jak wiele razy będziemy powtarzali eksperymet, to średio95% wyzaczoych w te sposób przedziałów zawiera szacoway parametr, a około 5% ie zawiera ich. Oczywiście igdy ie wiemy,czy trafimy a taki przedział, któryzawiera szacowaąwartośćczy teżie. Dlatego mówimy, że z ufością0.95(lub 95%) jesteśmy pewi, że w daym przedziale zawiera się szacoway parametr. Tworząc przedział dla iezaego parametru theta P ˆ θ θ ˆ θ ) α ( Kostruujemy dwa estymatory: ˆ θ i θˆ które dają się policzyć a podstawie daych z próbki. Chcemy, aby z dużym prawdopodobieństwem iezay parametr zalazł się w tym przedziale. W przykładzie skostruowaliśmy estymator 5 A teraz chcemy α to poziom ufości µˆ P( ˆ µ ˆ µ µ ) 0.95
20 ), ( 0.95 ) ˆ ˆ ( µ µ µ µ N P x z x z x ], [ + Zaa wariacja w populacji z.96 kwatyl rozkładu N(0, )
21 µ N( µ, ). Przedział ufości dla Próbka z rozkładu Należy wziąć przedział: [ x z, z zae Na lewo od z jest pole - α + α / z kwatyl rzędu( - α /) x + ] α / - α α / -z z z.96 kwatyl rozkładu ormalego rzędu(-0.05/) Tz. (pole a lewo od.96)0.975 pomiędzy z i z jest pole - α Przykład: kostruować przedział ufości dla a poziomie 95% jeżeli wiemy, że x 5 i Jak zaleźć kwatyl - 0,95 To 0.05 Ile jest - /? α zz d/ [ x α α z [ , ] µ Mówimy: Moje oszacowaie średiego czasu wykoaia aalizy wskazuje, że te czas powiie się mieścić w przedziale [4.3800,5.6980] Zaufaie do tego wiosku wyosi 95%, x + z [5,5 + ] 0 0 ]
22 W przybliżeiu: 95% przedział ufości Parametr populacji (mi) (średia próbkowa ± * (błąd stadardowy średiej) x ± * µ 5 ± 0.63 Na poziomie ufości 0.95 Zadaie. Z tych samych daych skostruować przedział ufości a poziomie 99% α 0.0 α z z z z [ x, x + ] [5,5 + ] ± µ [4.8545, ] Na poziomie ufości 0.99
23 Rozkład t lub rozkład t-tudeta) Dyspoujemy wyikami pomiarów, dla których możemy wyzaczyć estymatory parametrów populacyjych, jak średia i odchyleie stadardowe lub wariacja, ie zamy atomiast odchyleia stadardowego w populacji. Zagadieie to rozwiązał (w 908r.) W..Gosset (pseudoim tudet) podając fukcję zależą od tzw. stopi swobody (df) i poziomu istotości Wartości krytycze t t( α, ) rozkładu t-tudeta z tablicy topie swobody związae są z liczością próbki df - α µ N( µ, ). Przedział ufości dla Próbka z rozkładu Nie zamy wariacji Należy wziąć przedział: [ X t ( α ; ), X + t ( α ; ) ] Dla t(0.05,9) t α / t t 0.05 α / t t( α, ) t wartość krytycza rozkładu t tudeta z - stopiami swobody jest estymatorem ( t tak jak z tylko dla iego rozkładu)
24 Wartości krytycze t( α ; ) rozkładu t tudeta są stablicowae. topie swobody (-) w tablicy ozaczoe r zajdujemy w odpowiedim wierszu, a zadae α w odpowiediej kolumie. Na przecięciu wiersza i kolumy odczytujemy wartość t, dla - 9 i 0.05 t.6 α α Dla rozkładu t tablicuje się sumę dwóch ogoów Nie tak, jak dla rozkładu ormalego. Jeżeli chcemy mieć przedział jedostroy to aby mieć poziom 95% odczytujemy w tablicach t tudeta dla α czyli dla
25 Przykład. Wykorzystamy dae z poprzediego przykładu: Obliczoe a podstawie próbki: Średia5 Wariacja Odchyleie_stad.9405 [ X t ( α ; ), X + t ( α ; ) [ 5.6, ] ] µ [4.90, ] a poziomie ufości Zaufaie do tego wiosku wyosi 95% Długość przedziału: d t( α ; ) Przedziały jedostroe: (, X + t (α ; ) ) ( X t ( α ; ), + )
26 Przykład. Oszacować przeciętą ilość puktów uzyskiwaych a klasówce mając astępujące dae: 300, xi x i Populacja: łuchacze kursu statystyki Cecha X: Ilość puktów zdobyta a klasówce Założeie: Cecha X ma rozkład ormaly N( µ, ) Zadaie: Oszacować parametr Techika statystycza: Przedział ufości dla średiej µ Poziom ufości α 0.95 Obliczeia: xi x / [ x + x + x ] x x i (0.589) 0.03 t( α ; ) x t (0.05,99) ok..96 jak dla rozkł orm. t ( 0.05,9 ).96* 0.4/sqrt(300) 0.09 ( , ) Odpowiedź: µ (0.576,0.60) z zaufaiem 95%
27 Przybliżoy przedział ufości dla wskaźika struktury pˆ ( pˆ ) pˆ ( pˆ ) p ˆ * z, pˆ + * z Dla poziomu istotości z z z α α.96 Uwaga - musi być duże Z kwatyl rozkładu N (0, ) Przykład. Z populacji wyborców pobrao próbkę 000 osób i okazało się, że wśród ich 300 popiera partię X. Podać przedział ufości dla frakcji wyborców popierających partię X w populacji a poziomie ufości (-0.05)95%. Populacja: Wyborcy Cecha X: Poparcie dla partii X Założeie: Cecha X ma rozkład D(p)Bi(,p) Zadaie: oszacować parametr p Techika statystycza: przybliżoy przedział ufości dla prawdopodobieństwa Poziom ufości 0.95
28 Przykład cd. Obliczeia: k m0 ml p? pˆ k/ 300/ P pˆ ˆ p p ) 0.95 ( α 0.05 Z pˆ( p p: p ± ˆ ) ˆ z 0.3 ± ± p: [0.76, 0.384] Z ufością 95% Przeważie przekazując badaia opiii publiczej ie podaje się przedziału ufości lecz mówi się o błędzie (media podałyby: poparcie dla partii X wyosi 30%; błąd oszacowaia ± 3%)
PODSTAWY BIOSTATYSTYKI ĆWICZENIA
PODSTAWY BIOSTATYSTYKI ĆWICZENIA FILIP RACIBORSKI FILIP.RACIBORSKI@WUM.EDU.PL ZAKŁAD PROFILAKTYKI ZAGROŻEŃ ŚRODOWISKOWYCH I ALERGOLOGII WUM ZADANIE 1 Z populacji wyborców pobrao próbkę 1000 osób i okazało
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA
ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA Mamy populację geeralą i iteresujemy się pewą cechą X jedostek statystyczych, a dokładiej pewą charakterystyką liczbową θ tej cechy (p. średią wartością
Bardziej szczegółowoX i. X = 1 n. i=1. wartość tej statystyki nazywana jest wartością średnią empiryczną i oznaczamy ją symbolem x, przy czym x = 1. (X i X) 2.
Zagadieia estymacji Puktem wyjścia badaia statystyczego jest wylosowaie z całej populacji pewej skończoej liczby elemetów i zbadaie ich ze względu a zmieą losową cechę X Uzyskae w te sposób wartości x,
Bardziej szczegółowoZadanie 2 Niech,,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie,.
Z adaie Niech,,, będą iezależymi zmieymi losowymi o idetyczym rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją. Wyzaczyć wariację zmieej losowej. Wskazówka: pokazać, że ma rozkład Γ, ODP: Zadaie Niech,,,
Bardziej szczegółowoStatystyka i Opracowanie Danych. W7. Estymacja i estymatory. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407
Statystyka i Opracowaie Daych W7. Estymacja i estymatory Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok407 ada@agh.edu.pl Estymacja parametrycza Podstawowym arzędziem szacowaia iezaego parametru jest estymator obliczoy a podstawie
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa
Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze
Bardziej szczegółowoLista 6. Estymacja punktowa
Estymacja puktowa Lista 6 Model metoda mometów, rozkład ciągły. Zadaie. Metodą mometów zaleźć estymator iezaego parametru a w populacji jedostajej a odciku [a, a +. Czy jest to estymator ieobciążoy i zgody?
Bardziej szczegółowo3. Tworzenie próby, błąd przypadkowy (próbkowania) 5. Błąd standardowy średniej arytmetycznej
PODSTAWY STATYSTYKI 1. Teoria prawdopodobieństwa i elemety kombiatoryki 2. Zmiee losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby daych, estymacja parametrów 4. Testowaie hipotez 5. Testy parametrycze 6. Testy
Bardziej szczegółowoEstymacja: Punktowa (ocena, błędy szacunku) Przedziałowa (przedział ufności)
IV. Estymacja parametrów Estymacja: Puktowa (ocea, błędy szacuku Przedziałowa (przedział ufości Załóżmy, że rozkład zmieej losowej X w populacji geeralej jest opisay dystrybuatą F(x;α, gdzie α jest iezaym
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 2 ESTYMACJA STATYSTYCZNA
Ćwiczeie ETYMACJA TATYTYCZNA Jest to metoda wioskowaia statystyczego. Umożliwia oszacowaie wartości iteresującego as parametru a podstawie badaia próbki. Estymacja puktowa polega a określeiu fukcji zwaej
Bardziej szczegółowo16 Przedziały ufności
16 Przedziały ufości zapis wyiku pomiaru: sugeruje, że rozkład błędów jest symetryczy; θ ± u(θ) iterpretacja statystycza przedziału [θ u(θ), θ + u(θ)] zależy od rozkładu błędów: P (Θ [θ u(θ), θ + u(θ)])
Bardziej szczegółowobędą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu jednostajnego na przedziale ( 0,
Zadaie iech X, X,, X 6 będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale ( 0, ), a Y, Y,, Y6 iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale ( 0, ), gdzie, są iezaymi
Bardziej szczegółowoθx θ 1, dla 0 < x < 1, 0, poza tym,
Zadaie 1. Niech X 1,..., X 8 będzie próbą z rozkładu ormalego z wartością oczekiwaą θ i wariacją 1. Niezay parametr θ jest z kolei zmieą losową o rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją 1.
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA
TATYTYKA MATEMATYCZNA ROZKŁADY PODTAWOWYCH TATYTYK zmiea losowa odpowiedik badaej cechy, (,,..., ) próba losowa (zmiea losowa wymiarowa, i iezależe zmiee losowe o takim samym rozkładzie jak (taką próbę
Bardziej szczegółowoWykład 11 ( ). Przedziały ufności dla średniej
Wykład 11 (14.05.07). Przedziały ufości dla średiej Przykład Cea metra kwadratowego (w tys. zł) z dla 14 losowo wybraych mieszkań w mieście A: 3,75; 3,89; 5,09; 3,77; 3,53; 2,82; 3,16; 2,79; 4,34; 3,61;
Bardziej szczegółowo1. Wnioskowanie statystyczne. Ponadto mianem statystyki określa się także funkcje zmiennych losowych o
1. Wioskowaie statystycze. W statystyce idetyfikujemy: Cecha-Zmiea losowa Rozkład cechy-rozkład populacji Poadto miaem statystyki określa się także fukcje zmieych losowych o tym samym rozkładzie. Rozkłady
Bardziej szczegółowoTrzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w
Zad Dae są astępujące macierze: A =, B, C, D, E 0. 0 = = = = 0 Wykoaj astępujące działaia: a) AB, BA, C+E, DE b) tr(a), tr(ed), tr(b) c) det(a), det(c), det(e) d) A -, C Jeśli działaia są iewykoale, to
Bardziej szczegółowoWykład 5 Przedziały ufności. Przedział ufności, gdy znane jest σ. Opis słowny / 2
Wykład 5 Przedziały ufości Zwykle ie zamy parametrów populacji, p. Chcemy określić a ile dokładie y estymuje Kostruujemy przedział o środku y, i taki, że mamy 95% pewości, że zawiera o Nazywamy go 95%
Bardziej szczegółowoEstymacja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 7
Metody probabilistycze i statystyka Estymacja Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze
Bardziej szczegółowoStatystyka opisowa. (n m n m 1 ) h (n m n m 1 ) + (n m n m+1 ) 2 +1), gdy n jest parzyste
Statystyka opisowa Miary statystycze: 1. miary położeia a) średia z próby x = 1 x = 1 x = 1 x i - szereg wyliczający x i i - szereg rozdzielczy puktowy x i i - szereg rozdzielczy przedziałowy, gdzie x
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadaie 1 Rzucamy 4 kości do gry (uczciwe). Prawdopodobieństwo zdarzeia iż ajmiejsza uzyskaa a pojedyczej kości liczba oczek wyiesie trzy (trzy oczka mogą wystąpić a więcej iż jedej kości) rówe jest: (A)
Bardziej szczegółowoMiary położenia (tendencji centralnej) to tzw. miary przeciętne charakteryzujące średni lub typowy poziom wartości cechy.
MIARY POŁOŻENIA I ROZPROSZENIA WYNIKÓW SERII POMIAROWYCH Miary położeia (tedecji cetralej) to tzw. miary przecięte charakteryzujące średi lub typowy poziom wartości cechy. Średia arytmetycza: X i 1 X i,
Bardziej szczegółowoPRZEDZIAŁY UFNOŚCI. Niech θ - nieznany parametr rozkładu cechy X. Niech α będzie liczbą z przedziału (0, 1).
TATYTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 3 RZEDZIAŁY UFNOŚCI Niech θ - iezay parametr rozkład cechy. Niech będzie liczbą z przedział 0,. Jeśli istieją statystyki, U i U ; U U ; których rozkład zależy od θ oraz U θ
Bardziej szczegółowoPODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH
PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH POMIAR FIZYCZNY Pomiar bezpośredi to doświadczeie, w którym przy pomocy odpowiedich przyrządów mierzymy (tj. porówujemy
Bardziej szczegółowoModa (Mo, D) wartość cechy występującej najczęściej (najliczniej).
Cetrale miary położeia Średia; Moda (domiata) Mediaa Kwatyle (kwartyle, decyle, cetyle) Moda (Mo, D) wartość cechy występującej ajczęściej (ajlicziej). Mediaa (Me, M) dzieli uporządkoway szereg liczbowy
Bardziej szczegółowoPodstawowe oznaczenia i wzory stosowane na wykładzie i laboratorium Część I: estymacja
Podstawowe ozaczeia i wzory stosowae a wykładzie i laboratorium Część I: estymacja 1 Ozaczeia Zmiee losowe (cechy) ozaczamy a wykładzie dużymi literami z końca alfabetu. Próby proste odpowiadającymi im
Bardziej szczegółowoCharakterystyki liczbowe zmiennych losowych: wartość oczekiwana i wariancja
Charakterystyki liczbowe zmieych losowych: wartość oczekiwaa i wariacja dr Mariusz Grządziel Wykłady 3 i 4;,8 marca 24 Wartość oczekiwaa zmieej losowej dyskretej Defiicja. Dla zmieej losowej dyskretej
Bardziej szczegółowoParametryczne Testy Istotności
Parametrycze Testy Istotości Wzory Parametrycze testy istotości schemat postępowaia pukt po pukcie Formułujemy hipotezę główą H odośie jakiegoś parametru w populacji geeralej Hipoteza H ma ajczęściej postać
Bardziej szczegółowoKorelacja i regresja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 12
Wykład Korelacja i regresja Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Wykład 8. Badaie statystycze ze względu
Bardziej szczegółowoKURS STATYSTYKA. Lekcja 3 Parametryczne testy istotności ZADANIE DOMOWE. Strona 1
KURS STATYSTYKA Lekcja 3 Parametrycze testy istotości ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Stroa Część : TEST Zazacz poprawą odpowiedź (tylko jeda jest prawdziwa). Pytaie Statystykę moża rozumieć jako: a) próbkę
Bardziej szczegółowoANALIZA DANYCH DYSKRETNYCH
ZJAZD ESTYMACJA Jest to metoda wioskowaia statystyczego. Umożliwia oa oszacowaie wartości iteresującego as parametru a podstawie badaia próbki. Estymacja puktowa polega a określeiu fukcji zwaej estymatorem,
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład II. Estymacja punktowa
Statystyka matematycza. Wykład II. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 dyskretych Rozkłady zmieeych losowych ciągłych 2 3 4 Rozkład zmieej losowej dyskretej dyskretych Rozkłady zmieeych losowych
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadaie. Wykoujemy rzuty symetryczą kością do gry do chwili uzyskaia drugiej szóstki. Niech Y ozacza zmieą losową rówą liczbie rzutów w których uzyskaliśmy ie wyiki iż szóstka a zmieą losową rówą liczbie
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA I ANALIZA DANYCH
TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica
Bardziej szczegółowoĆwiczenie nr 14. Porównanie doświadczalnego rozkładu liczby zliczeń w zadanym przedziale czasu z rozkładem Poissona
Ćwiczeie r 4 Porówaie doświadczalego rozkładu liczby zliczeń w zadaym przedziale czasu z rozkładem Poissoa Studeta obowiązuje zajomość: Podstawowych zagadień z rachuku prawdopodobieństwa, Zajomość rozkładów
Bardziej szczegółowoEstymacja parametrów populacji
Estymacja parametrów populacji Estymacja parametrów populacji Estymacja polega a szacowaiu wartości parametrów rozkładu lub postaci samego rozkładu zmieej losowej, a podstawie próby statystyczej. Estymacje
Bardziej szczegółowoZADANIA NA ĆWICZENIA 3 I 4
Agata Boratyńska Statystyka aktuariala... 1 ZADANIA NA ĆWICZENIA 3 I 4 1. Wygeeruj szkody dla polis z kolejych lat wg rozkładu P (N = 1) = 0, 1 P (N = 0) = 0, 9, gdzie N jest liczbą szkód z jedej polisy.
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2
STATYSTYKA Rafał Kucharski Uiwersytet Ekoomiczy w Katowicach 2015/16 ROND, Fiase i Rachukowość, rok 2 Rachuek prawdopodobieństwa Rzucamy 10 razy moetą, dla której prawdopodobieństwo wyrzuceia orła w pojedyczym
Bardziej szczegółowoMetrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie
Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,
Bardziej szczegółowoSTATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II
STATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II 1. Pla laboratorium II rozkłady prawdopodobieństwa Rozkłady prawdopodobieństwa dwupuktowy, dwumiaowy, jedostajy, ormaly. Związki pomiędzy rozkładami prawdopodobieństw.
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa - przedziały ufności
Estymacja przedziałowa - przedziały ufości Próbę -elemetową charakteryzujemy jej parametrami (p. x, s, s ). Służą oe do ocey wartości iezaych parametrów populacji (m, σ, σ). Nazywamy je estymatorami puktowymi
Bardziej szczegółowosą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie Poissona z wartością oczekiwaną λ równą 10. Obliczyć v = var( X
Prawdoodobieństwo i statystyka 5..008 r. Zadaie. Załóżmy że 3 są iezależymi zmieymi losowymi o jedakowym rozkładzie Poissoa z wartością oczekiwaą λ rówą 0. Obliczyć v = var( 3 + + + 3 = 9). (A) v = 0 (B)
Bardziej szczegółowo0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK
0.1. ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 1 0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK Zadaia 0.1.1. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie. Obliczyć ES 2 oraz D 2 ( 1 i=1 X 2 i ). 0.1.2.
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2
STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD i 2 Literatura: Marek Cieciura, Jausz Zacharski, Metody probabilistycze w ujęciu praktyczym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 2 Statystyka to dyscyplia aukowa, której zadaiem jest
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania ze statystyki matematycznej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3
L.Kowalski zadaia ze statystyki matematyczej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3 Zadaie 3. Cecha X populacji ma rozkład N m,. Z populacji tej pobrao próbę 7 elemetową i otrzymao wyiki x7 = 9, 3, s7 =, 5 a Na poziomie
Bardziej szczegółowoPlan wykładu. Analiza danych Wykład 1: Statystyka opisowa. Literatura. Podstawowe pojęcia
Pla wykładu Aaliza daych Wykład : Statystyka opisowa. Małgorzata Krętowska Wydział Iformatyki Politechika Białostocka. Statystyka opisowa.. Estymacja puktowa. Własości estymatorów.. Rozkłady statystyk
Bardziej szczegółowoEstymacja parametrów rozkładu cechy
Estymacja parametrów rozkładu cechy Estymujemy parametr θ rozkładu cechy X Próba: X 1, X 2,..., X n Estymator punktowy jest funkcją próby ˆθ = ˆθX 1, X 2,..., X n przybliżającą wartość parametru θ Przedział
Bardziej szczegółowo1 Dwuwymiarowa zmienna losowa
1 Dwuwymiarowa zmiea loowa 1.1 Dwuwymiarowa zmiea loowa kokowa X = x i, Y = y k = p ik przy czym i, k N oraz p ik = 1; i k p i = X = x i = p ik dla i N; p k = Y = y k = p ik dla k N; k i F 1 x = p i dla
Bardziej szczegółowoElementy statystyki opisowej Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji (wykład I)
Elemety statystyki opisowej Izolda Gorgol wyciąg z prezetacji (wykład I) Populacja statystycza, badaie statystycze Statystyka matematycza zajmuje się opisywaiem i aalizą zjawisk masowych za pomocą metod
Bardziej szczegółowon n X n = σ σ = n n n Ponieważ zmienna losowa standaryzowana ma rozkład normalny N(0, 1), więc
5.3. Zagadieia estymacji 87 Rozważmy teraz dokładiej zagadieie szacowaia wartości oczekiwaej m zmieej losowej X o rozkładzie ormalym N(m, F), w którym odchyleie stadardowe F jest zae. Niech X, X,..., X
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa:
Estymacja przedziałowa: Zamiast szukad ajlepszego estymatora, tak jak w estymacji puktowej będziemy poszukiwad przedziału, do którego będzie ależał szukay parametr z odpowiedio dużym prawdopodobieostwem.
Bardziej szczegółowo1 Zmienne losowe. Własności dystrybuanty F (x) = P (X < x): F1. 0 F (x) 1 dla każdego x R, F2. lim F (x) = 0 oraz lim F (x) = 1,
1 Zmiee loowe Właości dytrybuaty F x = X < x: F1. 0 F x 1 dla każdego x R, F2. lim F x = 0 oraz lim F x = 1, x x + F3. F jet fukcją iemalejącą, F4. lim x x 0 F x = F x 0 dla każdego x R, F5. a X < b =
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA OPISOWA I PROJEKTOWANIE EKSPERYMENTU dr inż Krzysztof Bryś
1 STATYSTYKA OPISOWA I PROJEKTOWANIE EKSPERYMENTU dr iż Krzysztof Bryś Pojȩcia wstȩpe populacja - ca ly zbiór badaych przedmiotów lub wartości. próba - skończoy podzbiór populacji podlegaj acy badaiu.
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez. H 1 : µ 15 lub H 1 : µ < 15 lub H 1 : µ > 15
Testowaie hipotez ZałoŜeia będące przedmiotem weryfikacji azywamy hipotezami statystyczymi. KaŜde przypuszczeie ma swoją alteratywę. Jeśli postawimy hipotezę, Ŝe średica pia jedoroczych drzew owej odmiay
Bardziej szczegółowoStatystyka Matematyczna Anna Janicka
Statystyka Matematycza Aa Jaicka wykład XIII, 30.05.06 STATYSTYKA BAYESOWSKA Pla a dzisiaj. Statystyka Bayesowska rozkłady a priori i a posteriori estymacja Bayesowska: Bayesowski Estymator Największej
Bardziej szczegółowoSIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY
SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY Weryfikacja hipotez statystyczych WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE Wioskowaie statystycze, to proces uogóliaia wyików uzyskaych a podstawie próby a całą
Bardziej szczegółowo(X i X) 2. n 1. X m S
Wykład 8. Przedziały ufości i testowaie hipotez A gdy ie zamy wariacji σ 2? Załóżmy, że X ma rozkład ormaly, ale ie zamy wartości ai m ai σ 2. Jak wtedy szacować wartość średią m? Przypomijmy, że Wtedy
Bardziej szczegółowoWokół testu Studenta 1. Wprowadzenie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaniu hipotez dotyczących rozkładów normalnych
Wokół testu Studeta Wprowadzeie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaiu hipotez dotyczących rozkładów ormalych Rozkład ormaly N(µ, σ, µ R, σ > 0 gęstość: f(x σ (x µ π e σ Niech a R \ {0}, b
Bardziej szczegółowoma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y
Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:
Bardziej szczegółowoPorównanie dwu populacji
Porówaie dwu populacji Porówaie dwóch rozkładów ormalych Założeia:. X ~ N( m, σ ), X ~ N( m, σ ), σ σ. parametry rozkładów ie ą zae. X, X ą iezależe. Ocea różicy między średimi m m m m x x (,...) H 0 :
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna dla leśników
Statystyka matematycza dla leśików Wydział Leśy Kieruek leśictwo Studia Stacjoare I Stopia Rok akademicki 0/0 Wykład 5 Testy statystycze Ogóle zasady testowaia hipotez statystyczych, rodzaje hipotez, rodzaje
Bardziej szczegółowo1 Testy statystyczne. 2 Rodzaje testów
1 Testy statystycze Podczas sprawdzaia hipotez statystyczych moga¾ wystapić ¾ dwa rodzaje b ¾edów. Prawdopodobieństwo b ¾edu polegajacego ¾ a odrzuceiu hipotezy zerowej (H 0 ), gdy jest oa prawdziwa, czyli
Bardziej szczegółowoTESTY LOSOWOŚCI. Badanie losowości próby - test serii.
TESTY LOSOWOŚCI Badaie losowości próby - test serii. W wielu zagadieiach wioskowaia statystyczego istotym założeiem jest losowość próby. Prostym testem do weryfikacji tej własości jest test serii. 1 Dla
Bardziej szczegółowooznaczają łączne wartości szkód odpowiednio dla k-tego kontraktu w t-tym roku. O składnikach naszych zmiennych zakładamy, że:
Zadaie. Niech zmiee losowe: X t,k = μ + α k + β t + ε t,k, k =,2,, K oraz t =,2,, T, ozaczają łącze wartości szkód odpowiedio dla k-tego kotraktu w t-tym roku. O składikach aszych zmieych zakładamy, że:
Bardziej szczegółowo2.1. Studium przypadku 1
Uogóliaie wyików Filip Chybalski.. Studium przypadku Opis problemu Przedsiębiorstwo ŚRUBEX zajmuje się produkcją wyrobów metalowych i w jego szerokim asortymecie domiują różego rodzaju śrubki i wkręty.
Bardziej szczegółowoLista 5. Odp. 1. xf(x)dx = xdx = 1 2 E [X] = 1. Pr(X > 3/4) E [X] 3/4 = 2 3. Zadanie 3. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym
Lista 5 Zadaia a zastosowaie ierówosci Markowa i Czebyszewa. Zadaie 1. Niech zmiea losowa X ma rozkład jedostajy a odciku [0, 1]. Korzystając z ierówości Markowa oszacować od góry prawdopodobieństwo, że
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6..003 r. Zadaie. W kolejych okresach czasu t =,, 3, 4, 5 ubezpieczoy, charakteryzujący się parametrem ryzyka Λ, geeruje szkód. Dla daego Λ = λ zmiee N, N,..., N 5 są
Bardziej szczegółowoModele probabilistyczne zjawisk losowych
Statystyka-matematycza-II Wykład Modele probabilistycze zjawisk losowych Pojęcia podstawowe: Zdarzeia elemetare: ajprostsze zdarzeie mogące być wyróżioe dla daego doświadczeia losowego. Ω - zbiór zdarzeń
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa aaliza daych doświadczalych Wykład 7 8.04.06 dr iż. Łukasz Graczykowski lgraczyk@if.pw.edu.pl Semestr leti 05/06 Cetrale twierdzeie graicze - przypomieie Sploty Pobieraie próby, estymatory
Bardziej szczegółowoMetoda łączona. Wykład 7 Dwie niezależne próby. Standardowy błąd dla różnicy dwóch średnich. Metoda zwykła (niełączona) n2 2
Wykład 7 Dwie iezależe próby Często porówujemy wartości pewej zmieej w dwóch populacjach. Przykłady: Grupa zabiegowa i kotrola Lekarstwo a placebo Pacjeci biorący dwa podobe lekarstwa Mężczyźi a kobiety
Bardziej szczegółowoStatystyka opisowa. () Statystyka opisowa 24 maja / 8
Część I Statystyka opisowa () Statystyka opisowa 24 maja 2010 1 / 8 Niech x 1, x 2,..., x będą wyikami pomiarów, p. temperatury, ciśieia, poziomu rzeki, wielkości ploów itp. Przykład 1: wyiki pomiarów
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka Wnioskowanie statystyczne. Estymacja i estymatory. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407
Rachek rawdoodobieństwa i statystyka Wioskowaie statystycze. Estymacja i estymatory Dr Aa ADRIAN Paw B5, ok407 ada@agh.ed.l Estymacja arametrycza Podstawowym arzędziem szacowaia iezaego arametr jest estymator
Bardziej szczegółowoPodstawowe pojęcia. Próba losowa. Badanie próby losowej
METODY PROBABILISTYCZNE I STATYSTYKA WYKŁAD 8: STATYSTYKA OPISOWA. ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYSTĘPUJĄCE W STATYSTYCE. Małgorzata Krętowska Wydział Iforatyki Politechika Białostocka Podstawowe pojęcia
Bardziej szczegółowoElementy modelowania matematycznego
Elemety modelowaia matematyczego Wstęp Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Modelowaie daych (ilościowe): Metody statystycze: estymacja parametrów modelu,
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu.
Rachuek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystycza aaliza daych jakościowych Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok 407 ada@agh.edu.pl Wprowadzeie Rozróżia się dwa typy daych jakościowych: Nomiale jeśli opisują
Bardziej szczegółowoStatystyka opisowa - dodatek
Statystyka opisowa - dodatek. *Jak obliczyć statystyki opisowe w dużych daych? Liczeie statystyk opisowych w dużych daych może sprawiać problemy. Dla przykładu zauważmy, że aiwa implemetacja średiej arytmetyczej
Bardziej szczegółowoPodstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych (w zakresie materiału przedstawionego na wykładzie organizacyjnym)
Podstawy opracowaia wyików pomiarów z elemetami aalizepewości pomiarowych (w zakresie materiału przedstawioego a wykładzie orgaizacyjym) Pomiary Wyróżiamy dwa rodzaje pomiarów: pomiar bezpośredi, czyli
Bardziej szczegółowoLiczebnośd (w tys.) n
STATYSTYKA Statystyka bada prawidłowości w zjawiskach masowych (tz. takich, które mogą występowad ieograiczoą ilośd razy). Przedmiotem badao statyki są zbiory (populacje), których elemetami są wszelkiego
Bardziej szczegółowoModele tendencji rozwojowej STATYSTYKA OPISOWA. Dr Alina Gleska. Instytut Matematyki WE PP. 18 listopada 2017
STATYSTYKA OPISOWA Dr Alia Gleska Istytut Matematyki WE PP 18 listopada 2017 1 Metoda aalitycza Metoda aalitycza przyjmujemy założeie, że zmiay zjawiska w czasie moża przedstawić jako fukcję zmieej czasowej
Bardziej szczegółowoEstymacja punktowa i przedziałowa
Temat: Estymacja punktowa i przedziałowa Kody znaków: żółte wyróżnienie nowe pojęcie czerwony uwaga kursywa komentarz 1 Zagadnienia 1. Statystyczny opis próby. Idea estymacji punktowej pojęcie estymatora
Bardziej szczegółowod wymiarowy wektor losowy Niech (Ω, S, P) przestrzeń probabilistyczna Definicja Odwzorowanie X: Ω R nazywamy 1-wymiarowym wektorem
d wymiarowy wektor losowy Niech (Ω, S, P) przestrzeń probabilistycza Defiicja Odwzorowaie X: Ω R d azywamy d-wymiarowym wektorem losowym jeśli dla każdego (x 1, x 2,,x d ) є R d zbiór Uwaga {ω є Ω: X(ω)
Bardziej szczegółowoEstymatory nieobciążone o minimalnej wariancji
Estymatory ieobciążoe o miimalej wariacji Model statystyczy (X, {P θ, θ Θ}); g : Θ R 1 Zadaie: oszacować iezaą wartość g(θ) Wybrać takie δ(x 1, X 2,, X ) by ( θ Θ) ieobciążoość E θ δ(x 1, X 2,, X ) = g(θ)
Bardziej szczegółowoStatystyka Wzory I. Analiza struktury
Uiwersytet Ekooiczy w Katowicach Wzory I. Aaliza struktury 1. Miary tedecji cetralej (średie, przecięte Średia arytetycza Dla sz. ważoego Dla sz. ważoego dla z. ciągłej Dla szeregu wyliczającego: dla zieej
Bardziej szczegółowoStatystyka. Katarzyna Chudy Laskowska
Statystyka Katarzya Chudy Laskowska http://kc.sd.prz.edu.pl/ WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE Celem aalizy statystyczej ie jest zwykle tylko opisaie (prezetacja) posiadaych daych, czyli tzw. próby statystyczej.
Bardziej szczegółowoTwierdzenia graniczne:
Twierdzeia graicze: Tw. ierówośd Markowa Jeżeli P(X > 0) = 1 oraz EX 0: P X k 1 k EX. Tw. ierówośd Czebyszewa Jeżeli EX = m i 0 < σ = D X 0: P( X m tσ) 1 t. 1. Z partii towaru o wadliwości
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 1. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady
WYKŁAD Zdarzeia losowe i prawdopodobieństwo Zmiea losowa i jej rozkłady Metody statystycze metody opisu metody wioskowaia statystyczego sytetyczy liczbowy opis właściwości zbioru daych ocea charakterystyk
Bardziej szczegółowoZMIENNA LOSOWA I JEJ PARAMETRY -powtórzenie
WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE ZMIENNA LOSOWA I JEJ PARAMETRY -powtórzeie,, S P przestrzeń probabilistycza (matematyczy model zjawiska losowego), zbiór wszystkich zdarzeń elemetarych, S zbiór zdarzeń, (podzbiory
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Prawdopodobieństwo i statystyka.0.00 r. Zadaie Rozważy astępującą, uproszczoą wersję gry w,,woję. Talia składa się z 5 kart. Dobrze potasowae karty rozdajey dwó graczo, każdeu po 6 i układay w dwie kupki.
Bardziej szczegółowoRozkład normalny (Gaussa)
Rozład ormaly (Gaussa) Wyprowadzeie rozładu Gaussa w modelu Laplace a błędów pomiarowych. Rozważmy pomiar wielości m, tóry jest zaburzay przez losowych efetów o wielości e ażdy, zarówo zaiżających ja i
Bardziej szczegółowoObserwacje odstające mają duży wpływ na średnią średnia nie jest odporna.
Wykład 8. Przedziały ufości dla średiej Średia a mediaa Mediaa dzieli powierzchię histogramu a połowy. Jest odpora ie mają a ią wpływu obserwacje odstające. Obserwacje odstające mają duży wpływ a średią
Bardziej szczegółowoPodstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych
Podstawy opracowaia wyików pomiarów z elemetami aalizepewości pomiarowych w zakresie materiału przedstawioego a wykładzie orgaizacyjym Pomiary Wyróżiamy dwa rodzaje pomiarów: pomiar bezpośredi, czyli doświadczeie,
Bardziej szczegółowoStatystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory
Statystyka i opracowaie daych Podstawy wioskowaia statystyczego. Prawo wielkich liczb. Cetrale twierdzeie graicze. Estymacja i estymatory Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok407 ada@agh.edu.pl Wprowadzeie Jeśli S
Bardziej szczegółowoStatystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory
Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VIII: Przestrzenie statystyczne. Estymatory 1 grudnia 2014 Wprowadzenie Przykład: pomiar z błędem Współczynnik korelacji r(x, Z) = 0, 986 Wprowadzenie Przykład: pomiar z błędem Współczynnik korelacji
Bardziej szczegółowoZBIEŻNOŚĆ CIĄGU ZMIENNYCH LOSOWYCH. TWIERDZENIA GRANICZNE
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 8. ZBIEŻNOŚĆ CIĄGU ZMIENNYCH LOSOWYCH. TWIERDZENIA GRANICZNE 1 Zbieżość ciągu zmieych losowych z prawdopodobieństwem 1 (prawie apewo) Ciąg zmieych losowych (X ) jest
Bardziej szczegółowoZDARZENIE ELEMENTARNE to możliwy wynik doświadczenia losowego. Wszystkie takie możliwe wyniki tworzą zbiór zdarzeń elementarnych.
STATYSTYKA to auka, której przedmiotem zaiteresowaia są metody pozyskiwaia i prezetacji, a przede wszystkim aalizy daych opisujących zjawiska masowe. Metody statystycze oparte są a rachuku prawdopodobieństwa.
Bardziej szczegółowoz przedziału 0,1. Rozważmy trzy zmienne losowe:..., gdzie X
Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.0 r. Zadaie. Mamy day ciąg liczb q, q,..., q z przedziału 0,. Rozważmy trzy zmiee losowe: o X X X... X, gdzie X i ma rozkład dwumiaowy o parametrach,q i, i wszystkie
Bardziej szczegółowoNiech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =.
Prawdopodobieństwo i statystyka 3..00 r. Zadanie Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX 4 i EY 6. Rozważamy zmienną losową Z. X + Y Wtedy (A) EZ 0,
Bardziej szczegółowo1 Przedziały ufności. ). Obliczamy. gdzie S pochodzi z rozkładu B(n, 1 2. P(2 S n 2) = 1 P(S 2) P(S n 2) = 1 2( 2 n +n2 n +2 n ) = 1 (n 2 +n+2)2 n.
Przedziały ufości W tym rozdziale będziemy zajmować się przede wszystkim zadaiami związaymi z przedziałami ufości Będą as rówież iteresować statystki pozycyje oraz estymatory ajwiększej wiarygodości (Eg
Bardziej szczegółowo